1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

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1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Ejemplo 1.10.1 Decaimiento radiactivo
El isótopo radiactivo Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad
presente. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 mg. en una semana,
encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier instante. Encuentre también
el intervalo de debe transcurrir para que la masa caiga a la mitad de su valor original.
Siendo Q(t ) (en miligramos), la cantidad de Torio 234 presente en cualquier instante t (en
días).[1]
La función
d
Q(t ) = α Q
dt
(1)
Donde α representa la proporcionalidad y la podemos sustituir por k quedando
d
Q(t ) = kQ
dt
(2)
Siendo esta una constante negativa que se debe determinar, deseamos la solución que
satisfaga las condiciones iniciales Q(0) = 100 y Q(7) = 82.04
Utilizando la ecuación general de decaimiento comentada en la sección 1.1
Q(t ) = ce kt
(3)
Donde c es una constante arbitraria, la primera condición inicial requiere c = 100 por lo
que tenemos
Q(t ) = 100e kt
(4)
Trabajando con la segunda condición haciendo t = 7 y Q(t ) = 82.04 tenemos que
ln(.8204)
82.04 = 100e7 k , por lo tanto k =
7
Resultando k = −0.02828(días ) −1
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(5)
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Sustituyendo (5) en la ecuación (4), queda Q(t ) = 100e −.02828t mg
de t en cada instante.
el cual representa el valor
El periodo en el cual la masa a la mitad de su valor original, se le conoce como vida media
del material.
Sea τ el tiempo en el cual Q(t ) = 50mg
Obteniendo la ecuación 50 = 100e kt o bien kτ = − ln ( 2 ) , las ecuaciones anteriores no son
solo válidas para el Torio 234, sino para cualquier material que obedezca la ecuación
diferencial inicial.(3), Q (t ) = ce kt
Sustituyendo para el Torio 234 en la ecuación nos queda τ =
−ln ( 2 )
.02828
24.5(dias )
Ejemplo 1.10.2 Población
Suponiendo que un estanque de lagartos posee inicialmente 100 especimenes, y que su tasa
de mortandad es ∂ = 0 (de tal manera que no se están muriendo en ese momento), la tasa de
natalidad es β = (0.0005) de tal manera que aumenta conforme aumenta la población.
De tal manera que podemos manejar la fórmula
De lo cual
dP
= ( β − ∂ ) P2
dt
(6)
dP
= (.0005 ) P 2 , β = 0 con t dada en años .
dt
Separando variables,
dP
∫P
2
= ∫ (.0005 ) dt
1
= 0.0005t + c cuando t = 0, P = 100
p
1
2000
Entonces c = −
, de tal manera que P(t ) =
20 − t
100
Integrando −
2000
= 200 , lo cual significa que después de 10 años se
20 − 10
duplicará la población de lagartos.
Si t = 10 entonces P (10) =
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Ejercicio 1.10.3 Mezclas
En un gran tanque con 1000 litros de agua pura se comienza a vaciar un solución salina con
una velocidad constante de 6 L / min . La solución dentro del tanque se mantiene revuelta
y sale del tanque a razón de 6 L / min también. Si la concentración de sal en la solución
que entra en el tanque es de 0.1 Kg / L .
Figura 1.10.1 Tanque para líquido, con la misma razón de flujo
¿Determinar el momento en que la concentración de sal en el tanque llegue a 0.05 Kg / L ?
Podremos ver el tanque como un compartimiento que contiene sal. Siendo x(t ) es la masa
de la sal, en el tanque en el instante t , podemos determinar la concentración de sal en el
tanque dividiendo x(t ) entre el volumen del fluido en el tanque en el instante t
Utilizando
dx
= razón de entrada - la razón de salida
dt
(7)
para encontrar x(t ) , determinaremos la razón con la que sale la sal del tanque.
La solución fluye hacia el tanque a razón de 6 L / min , con la concentración de 0.1
Kg / L .
Kg 
Kg
 L 
La razón de entrada de sal en el tanque es  6
  0.1
 = 0.6
L 
min
 min  
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(8)
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La solución salina se mantiene perfectamente mezclada, de modo que podemos suponer
que la concentración de sal en el tanque es uniforme. O sea, en cualquier instante t la
concentración es x(t ) en cualquier parte del tanque, entre el volumen del fluido en el
tanque. Como el tanque al inicio tenía 1000 L , y la razón de flujo de entrada y salida del
tanque es la misma, el volumen se mantiene constante en 1000 L ,
De tal manera que la razón de salida de la sal es
 L    x(t )   Kg   3x(t ) kg
6


 =
 min   1000   L   500 min
(9)
Al inicio el tanque contenía agua pura, o sea x(0) = 0
Al sustituir las ecuaciones anteriores, en
dx
= razón de entrada - la razón de salida
dt
(10)
Para encontrar x(t ) , tenemos
dx
3
= 0.6 −
x
500
dt
(11)
Tal ecuación es el modelo matemático para un problema de mezclas.
Ahora resolviendo la ecuación (11),
Despejando
dx 300 − 3x
=
500
dt
dx
dt
=
300 − 3 x 500
1
1
Integrando, tenemos − ln(300 − 3x) =
t+c
3
500
Multiplicando por −3 nos queda
ln(300 − 3x) = −
3
t − 3c
500
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(12)
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Aplicando propiedades de logaritmos e
O bien 300 − 3x = 3ce
x = 100 − ce
−
−
3
t
500
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ln (300 − 3 x )
despejando, − x = ce
=e
−
−
3
t
500
3
t + 3c
500
− 100 , finalmente
3
t
500
(13)
Sustituyendo condiciones iniciales para x = 0, t = 0 tenemos que 0 = −ce0 + 100
De lo que la ecuación quedaría como c = 100 , resultando
3
−
t 

x = 100  1 − e 500 


(14)
3
−
t 

Y nuestra ecuación final se establece como x(t ) = 100 1 − e 500 


Pero en el tanque tenemos 1000 litros de agua, por lo que la ecuación de la concentración
de sal en el instante t . que corresponde es
3
−
t
x(t )
= 0.1(1 − e 500 ) Kg / L
1000
(15)
Para determinar el instante en el que la concentración de sal sea 0.05 Kg / L igualamos la
anterior ecuación de lo cual resulta 0.1(1 − e
e
−
3
t
500
=−
−
3
t
500
) = 0.05
3
3
−
t
−
t
0.05
3
+ 1 , e 500 = 0.5 , ln(e 500 ) = Ln(0.5) quedando −
t = −0.6931
0.1
500
 500 
Resultando t = −0.6931 −
 t = 115.52 min , en otras palabras, la concentración del
 3 
tanque será de 0.05 Kg / L una vez que haya transcurrido 115.52 min
Ejemplo 1.10.4. Circuito Eléctrico
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Suponiendo que un condensador de C Farads soporta una carga inicial de Q Coulombs.
Para modificar esa carga, se aplica un voltaje constante de V Volts, a través de una
resistencia de R Ohms, Describir la carga del condensador para t > 0
Como E (t ) = V es constante, utilizando la siguiente ecuación la cual es determinada por la
ley de Kirchhoff.
R
dq (t ) q (t )
+
= E (t ) , ecuación de Voltaje en un circuito RC
dt
C
(16)
Dividiendo entre R ,
d
1
V
q(t ) +
q(t ) =
dt
RC
R
(17)
La cual queda en la forma estándar de una ecuación lineal.
Siendo p(t ) =
1
1
dt
t
1
y el factor de integración u (t ) = e ∫ RC , u (t ) = e RC
RC
Resolviendo la ecuación diferencial, multiplicando por el factor de integración a la
ecuación diferencial
1
1
t  dq (t )
t V
1

e RC 
+
q (t )  = e RC
RC
R
 dt

(18)
Observando (18), vemos que el lado izquierdo de la ecuación corresponde a
1
1
t 
t
d  − RC
V − RC
=
e
q
e


dt 
 R
(19)
Expresando la integral de ambos lados
Completando el diferencial
1
1
 d  − RC
t 
t
V RC
=
e
q
e
dt




∫  dt 
∫
R



1
1
 d  − RC
t 
t
V RC
=
e
q
RC
e
dt



∫  dt 
∫
R
 

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1
t
Integrando e RC q = RC
q = CV + ke
−
61
1
1
1
t
t
t
V RC
e + k , simplificando e RC q = CVe RC + k , despejando
R
1
t
RC
(20)
Por lo que nos queda
q (t ) = CV + ke
−
1
t
RC
(21)
Como la condición inicial es q(t ) = Q , en t = 0 entonces
Sustituyendo condiciones iniciales en (21) , Q = CV + ke
−
1
( 0)
RC
Por lo tanto Q = CV + k , despejando k = Q − CV
Sustituyendo el valor de k nos queda q (t ) = CV + (Q − CV )e
−
1
t
RC
Ejemplo 1.10.5 Población
En cierta época la población del mundo era 5.5 mil millones de habitantes, la tasa de
crecimiento aumentó a 250 mil personas diariamente, Suponiendo que la tase de natalidad
y mortalidad se mantuvieron constantes.
¿En cuantos años se esperaría una población mundial de 11 millones, (o sea el doble)? [5]
De la ecuación, y (t ) = y0 e kt , mencionada en la sección 1.1, renombrando las variables,
P (t ) = p0 e kt
(22)
Donde P (t ) es la población mundial en miles de millones y el tiempo t en años, tomando
t = 0 correspondiente al año inicial, de modo que P0 = 5.5 , como P fue aumentando en
250 mil, o bien 250*10−6 mil millones de personas diarias en el instante t = 0
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Tenemos de (22), P (t ) = p0 e kt en t = 0 P´(0) = 0.00025(365.25) , ya que un año equivale
a 365.25 días . O bien P´(0) = 0.0913125 miles de millones por año
Derivando P´(t ) = kp0 e kt
(23)
Ya que es la razón de cambio del crecimiento de la población con respecto al tiempo
Despejando la constante
k=
P´(t )
p0 e kt
(24)
Si t = 0 , entonces k =
P´(0)
0.0913125
, resulta
, por lo que k =
5.5
p0
k = 0.0166
De tal manera que la tasa de crecimiento en esa fecha fue de 1.66%
Si se desea determinar el tiempo en el cual la población será de 11 millones, entonces
11
11 = P(T ) = 5.5e0.0166T o bien
= e0.0166T
5.5
 11 
De tal manera que ln ( e0.0166T ) = ln 
 , de lo cual resulta 0.0166T = ln ( 2 )
 5.5 
Despejando T =
ln ( 2 )
0.0166
, resultando que T =
T = 41.75 años
0.6931
, por lo que
0.0166
(25)
De tal manera que basándose en la referencia, y que las tasas de natalidad y mortandad se
mantuvieran constantes, en casi 42 años la población sería el doble, de la fecha hipotética.
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