Geometría Analítica

Geometría Analítica
Laboratorio #1
Agosto 2015
Distancia entre dos puntos
I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados.
1) 𝐴(3, −3), 𝐵(−3, 1), 𝐶(0, 3)
3) 𝑅(4, 4), 𝑆(7, 4), 𝑇(6, 7)
2) 𝑂(−2, −3), 𝑃(2, 3), 𝑄(0, 2)
II.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.
1) 𝐴(−2, 1), 𝐵(−5, −2), 𝐶(−2, −2)
2) 𝐴(3, 0), 𝐵(6, 3), 𝐶(0, 3)
III.- Demostrar que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y calcular su área.
1) A( -3, 4) B( -8, 5) C( -6, 2)
2) 𝐴(4, 0), 𝐵(0, −2), 𝐶(4, −2)
IV.- Demostrar que los puntos dados son colineales.
1) 𝐴(2, 2), 𝐵(4, 4), 𝐶(−2, −2)
2) 𝐴(0, 3), 𝐵(−2, 1), 𝐶(3, 6)
V.- Hallar las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados.
1) 𝐴(4, 3), 𝐵(2, 7), 𝐶(−3, −8)
2) 𝐴(2, 3), 𝐵(4, −1), 𝐶(5, 2)
VI.- Hallar.
1) Encuentra un punto sobre el eje y que equidiste de (5, 8) y (−3, −2).
2) Encuentre el punto de abscisa2 que dista 5 unidades del punto (−2, 5).
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Laboratorio # 2
Agosto 2015
Pendiente, punto medio y razón
I.- Hallar la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados.
a) (2, 1) (−5, −4)
b) (3, −2) (−4, −5)
II.- Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados.
a) (2,3)(4,0)(−2, −3)
b) (7,1)(3, −2)(−6,6)
III.- Resuelve los siguientes problemas.
a) Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son
(2,5) (4,2) (1,1). Halla las coordenadas de sus vértices.
b) Una recta de pendiente 2 pasa por el punto 𝐶(2, −2) y por los puntos 𝐴 y 𝐵.Si la
ordenada de 𝐴 es 2, y la abscisa de 𝐵 es 3, ¿Cuál es la abscisa de 𝐴 y la ordenada de
𝐵?
c) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La línea recta inicial pasa por los
puntos (−2,1) y (9,7) y la recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto 𝐴 cuya
abscisa es −2.Hallar la ordenada de 𝐴.
d) Si 𝐴(5,3), 𝐵(−3, −4) y 𝐶(−2,4) son los vértices de un triángulo, conteste lo siguiente
justificando su respuesta.
i. Halle sus puntos medios
ii. ¿El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles?
iii. ¿El triángulo formado por los puntos medios es isósceles?
iv. Halle el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶.
e) Determinar si las retas que pasan por los siguientes pares de puntos son paralelas,
perpendiculares o ninguna de las dos
i. 𝑙1 = (−1, −2)(2,3)
𝑙2 = (−2,1)(1,3)
ii. 𝑙1 = (1,2)(2, −3)
𝑙2 = (−2,5)(−1, −1)
iii. 𝑙1 = (−2,5)(4,1)
𝑙2 = (−1,1)(3,7)
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Agosto 2015
iv. 𝑙1 = (2,4)(7,3)
𝑙2 = (6, −2)(1, −1)
IV.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento determinado por 𝑃1
y 𝑃2 en la razón 𝑟 =
→
𝑃1 𝑃
→
.
𝑃 𝑃2
a) 𝑃1 (−2, −4), 𝑃2 (1,4)
b) 𝑃1 (−5, −4), 𝑃2 (−1,2)
𝑟 = 1⁄6
𝑟 = 1⁄2
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Agosto 2015
Laboratorio # 3 Gráfica de una función
I.- Estudiando intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y asíntotas, trazar la gráfica de la
ecuación dada.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
𝑦(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 5 = 0
𝑦 2 − 6𝑦 − 2𝑥 + 8 = 0
𝑦3 − 𝑥2 = 0
𝑦(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 9 = 0
𝑥𝑦 − 4𝑦 + 3𝑥 = 0
𝑦 + 1 = 𝑥3
𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
II.- En el mismo sistema de coordenadas trazar la gráfica de las ecuaciones dadas. Resolver el sistema
algebraicamente.
1)
2)
3)
𝑦 = 𝑥2; 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
𝑥 2 + 8𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0; 𝑦 = 𝑥
𝑦 2 − 4𝑥 − 7 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 9
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Laboratorio # 4
Agosto 2015
Lugar Geométrico
I.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos
tales que:
1) Equidistan de (-8, 1) y de (1, 3).
2) La suma de la distancia de un punto P a los puntos A(-8, 7) y B(2, 8) sea siempre igual a
3.
3) Su distancia al punto A(-4, 3) siempre sea igual a 2.
4) La diferencia de sus distancias del punto P a A(1, 0) y (-4, 5) es siempre igual a 8.
5) La suma de los cuadrados de sus distancias a (2, 3) y (1, 5) es igual a 20.
6) Equidiste de y = 3 y de (2, 2)
7) La distancia del punto P a (-2, -3) es siempre igual al doble de la distancia de P(x, y) al
eje x.
8) El producto de la distancia a los ejes coordenados es siempre igual a 8.
9) Su distancia a A(1, 3) siempre es igual a 500.
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Laboratorio # 5
Agosto 2015
Línea Recta
I.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Determina la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes condiciones y exprésalas
en la forma general
a) Pasa por (6, 1⁄2) y (−2, 3⁄4)
b) 𝑚 = − 1⁄2 y pasa por (−3,2)
c) 𝑚 = 4 y 𝑏 = − 1⁄2 (ordenada en el origen
d) Intercepciones con el eje x y el eje y, respectivamente 1⁄2 y 3⁄2
2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2,6) y es paralela a la recta 2𝑥 − 4𝑦 =
15
3) Halle el valor de 𝑘, tal que 𝑘𝑥 + (2𝑘 − 3)𝑦 = −𝑘 2 sea perpendicular a 6𝑥 − 4𝑦 = 10
4) Dada 𝑎𝑥 + (2 − 𝑏)𝑦 = 33 y (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑏𝑦 + 25 = 0. Halla 𝑎 y 𝑏 tal que las dos
rectas pasen por (3,4)
5) Halla el ángulo formado por las rectas 5𝑥 − 8𝑦 + 10 = 0 y 6𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0
6) Encontrar la reta de la ecuación mediatriz del segmento de extremos (6,3) y (−2, −5)
7) Para el triángulo cuyos vértices son los puntos (−3,4) (5, −3) y (6, −4) Halla:
a) Las ecuaciones de sus alturas
b) Las ecuaciones de sus medianas
c) Las ecuaciones de sus mediatrices
d) Demuestra que los puntos de intersección de las alturas, medianas y
mediatrices son colineales
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Laboratorio # 6
Agosto 2015
Familia de Rectas
I.-Escribir la ecuación de la familia de rectas que cumplen la condición dada.
1) La abscisa al origen igual a 5
2) Tiene pendiente igual a 1⁄3
3) Pasa por el punto (5, 3)
4) La coordenada al origen es 7
5) El producto de sus coordenadas es 4
II.-Sin obtener el punto de intersección de la recta, obtener:
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
3𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0 y 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 y por el punto (3, 1)
2) Encuentre la ecuación de la familia de rectas que son paralelas a la recta 5𝑥 +
12𝑦 + 7 = 0. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que estén
a 3 unidades del punto (2, 1)
3) Encuentre la ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de
𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0 y 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0. Encuentre el miembro de la familia con
pendiente igual a 3
III.-Resuelva los siguientes ejercicios
1) Encuentra el área y perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝑀(−3, 5),
𝑁(−3, −3) y 𝑃(4, 1)
2) Encuentre la distancia de la recta 2𝑥 = −10𝑦 − 5 a los puntos (5, 3), (1, −4) y
(0, 9)
3) Determine el valor de “k” para que la distancia del origen a 𝑥 + 𝑘𝑦 = 7 sea 2
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Laboratorio # 7
Agosto 2015
Circunferencias
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar las coordenadas del centro y el valor del radio de
la circunferencia descrita por esta, así como su gráfica.
1) 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑦 +
6
61
5
=0
9
3) 𝑥 2 − 5 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 2 = − 25
6
2) 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑦 + 4 𝑥 −
2
2
4) 16𝑥 − 32𝑥 + 16𝑦 +
5) 13𝑥 2 + 13𝑦 2 + 24𝑥 − 68𝑦 − 30 = 0
103
16
3088
3
=0
= 0 + 256𝑦 = 0
II.- Hallar la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas.
1) Tiene su centro en (2,2) y pasa por el punto (−3, 5).
2) Tiene su centro en el origen y pasa por el punto (2, 8).
3) Uno de sus diámetros es el segmento determinado por (−1, 0) y (2, 4).
4) Tiene radio 5 , pasa por el origen y el centro tiene abscisa igual a −3.
5) Es tangente al eje x y pasa por los puntos (1, 1) y (5, 2). También grafique.
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar el valor de 𝑘 de modo que la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 𝑘 = 0 represente
una circunferencia de radio 3.
2) Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto (3, 2) a la circunferencia 𝑥 2 +
𝑦 2 + 8𝑥 + 7𝑦 − 20 = 0
3) Hallar el valor de 𝑘 de modo que la longitud de la tangente trazada desde el punto
(5, 5) a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑘𝑦 = 0 sea igual a 1.
4) Halle una ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2) y (8, 3), tal que la
distancia entre estos puntos sea el diámetro de la circunferencia.
5) Grafique la circunferencia del ejercicio III.1) (Señale las coordenadas de 4 puntos de la
circunferencia)
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Agosto 2015
6) Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los vértices (0, 𝑏) y (𝑎, 0) de un
triángulo rectángulo como el de la figura y cuyo centro es la mitad de la hipotenusa de dicho
triangulo. Nota: 𝑎 > 𝑏.
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Laboratorio # 8
Agosto 2015
Transformación de coordenadas
I.- Determinar las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen O´.
1) 𝑃(3, 2), 𝑂 , (4, 1)
2) (−5, −7), 𝑂, (3, −6)
3) (4, −6), 𝑂, (−2, 3)
4) 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 ; 𝑂, (−1, 2)
5) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 = 0 ; 𝑂, (0, 1)
II.- Encontrar el punto al cual debe trasladarse el origen de modo que la ecuación transformada no contenga
términos de primer grado. Trazar la gráfica correspondiente.
1) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0
2) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 = 5
3) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 − 12𝑦 + 3 = 0
4) 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 16𝑥 − 6𝑦 = 3
5) 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0
6) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 − 14𝑦 = 7
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Laboratorio # 9
Agosto 2015
Parábola
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola. Hallar sus
elementos y trazar el lugar geométrico correspondiente.
1) 𝑦 2 − 18𝑦 + 4𝑥 + 89 = 0
2) 𝑥 2 − 10𝑥 + 8𝑦 + 41 = 0
3) − 𝑦 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 61 = 0
4) 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 64
5) 𝑥 2 − 𝑦 + 7 = 0
II.- Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas.
1) 𝐹(−3, −2), 𝑉(−3, −5)
2) 𝐹(4, −6), 𝑉(2, −6)
3) 𝐹(−5, 5), 𝑉(−5, 8)
4) 𝑉(3, 0) 𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 − 10 = 0
1
7
5) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑉 (− , 1) 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃( , 2)
2
2
6) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑒𝑗𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 y𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 (−1, −9), (4, −19)𝑦 (2, −3)
7) 𝐹(5, 1)𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 + 7 = 0
7 5
1
8) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 "y" y pasa por los puntos (0, - ), ( , 2) , (− , −2)
4 2
2
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Encuentra la ecuación de la circunferencia de 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 5 con centro en el vertice de la
parabola cuyo 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝐹(1, −1) y cuya directriz es la recta 𝑥 = −3.
2) Encuentra la ecuación general de la recta con pendiente 𝑚 = −3 que pasa por el foco
1
de la parabola con vertice 𝑉(−2, 2)𝑦 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 2.
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3) Encuentra los puntos de intersección de la recta 𝑥 − 𝑦 − 21 = 0; 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 − 𝑦 2 −
𝑥 + 8𝑦 + 21 = 0.
4) Encuentra los puntos de intersección de la parábola −𝑦 2 + 6𝑥 + 18 =
0 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 − 9 = 0.
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Laboratorio # 10 Elipse
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, hallar sus
elementos y trazar la gráfica correspondiente.
1)
2)
3)
4)
4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 32𝑥 − 18𝑦 + 37 = 0
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 8𝑦 − 32 = 0
9𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
II.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Sus vértices son los puntos (0, 8) y (0, −8) y focos (0, 5) y (0, −5).
Sus vértices son los puntos (5, 0) y (−5, 0) y pasa por el punto (2, 4).
𝐶(−2, −1), un vértice (3, −1) y 𝐿𝐿𝑅 = 4.
Contiene su centro en (0, 0); un vértice en (0, −6) y el extremo de su eje menor
en (4, 0).
Contiene sus focos en (0, −8) y (0, 8); longitud del eje mayor = 34.
Vértices en (−1, 3) y (5, 3); también sabemos que la longitud del eje menor es 4.
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1)
2)
Halle los puntos de intersección de las elipses 𝑥 2 + 9𝑦 2 − 9 = 0 y 9𝑥 2 + 𝑦 2 −
9 = 0.
Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse 4𝑥 2 + 6𝑦 2 = 8, que es paralela a
la recta 2𝑥 − 𝑦 = 4.
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Laboratorio # 11 Hipérbola
I.- Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, hallar
sus elementos y trazar su gráfica.
1)
2)
3)
4)
9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 54𝑥 + 8𝑦 + 113 = 0
𝑥 2 − 9𝑦 2 − 4𝑥 + 36𝑦 − 41 = 0
𝑥 2 + 4𝑦 2 − 6𝑥 + 16𝑦 + 21 = 0
9𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
II.- Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Vértices en (6, −1), (0, −1) y pasa por el punto (7,5)
Vértices en (1,6), (1, −4) y focos (1,8), (1, −5)
𝑉(−5,2), 𝐶(−5,4), 𝑒 = 5⁄4
Vértices en (0, −2), (0,2), distancia focal igual a 6
Vértices en (−3, −2), (−3,6) una de sus asíntotas es la recta 𝑥 + 3𝑦 = 9
Tiene 𝐶(3,3), 𝐹1 (7,3) y 𝑉1 (4,3)
III.
1) Halle la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 6𝑥 2 − 12𝑦 2 = −40 que es
perpendicular a la recta 6𝑥 − 𝑦 = 4
3
2) Determine los valores de 𝑚 para los que la recta 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑚
𝑥2
a) Corta a la hipérbola 36 −
𝑦2
9
= 1 Es tangente
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Agosto 2015
Laboratorio # 12 Ecuación General de Segundo Grado
I.-Hallar la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el
ángulo indicado.
1)
2)
3)
;
;
II.- Mediante una rotación de ejes coordenados transforme la ecuación en otra que no contenga el
término “ x y “.
1)
2)
3)
4)
III.- Identificar el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reducir la ecuación a
su forma canónica y trazar la gráfica correspondiente.
1)
2)
3)
4)
5)
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