Universidad de Costa Rica 2 de diciembre de 2015

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA2210 Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
2 de diciembre de 2015
Segundo ciclo de 2015
Una solución del Tercer Examen Parcial
1. (20 pts.) halle la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales que se da a
contimución:
d2 x
d2 y
dx
+
+
2
dt2
dt
dt2
dy
dx
+
dt
dt
= x + 3 y + t2
= 2x+2y +2
d
En términos del operador diferencial D =
se tiene:
dt
D2 + 2 D − 1 x + D2 − 3 y
= t2
(D − 2) x + (D − 2) y
= 2
Restando a la primera ecuación D veces la segunda y manteniendo la segunda ecuación,
se obtiene:
(4 D − 1) x + (2 D − 3) y
= t2
(D − 2) x + (D − 2) y
= 2
Restando a la primera ecuación 2 veces la segunda y manteniendo la segunda ecuación,
se obtiene:
(2 D + 3) x + y
(D − 2) x + (D − 2) y
= t2 − 4
= 2
Finalmente, para eliminar y de la segunda ecuaión, se resta a la segunda ecuación (D − 2)
veces la primera y; manteniendo la primera ecuación, se obtiene:
(2 D + 3) x + y
= t2 − 4
−2 (D + 1) (D − 2) x = 2 t2 − 2 t − 6
Ahora, consideramos la segunda ecuación (D + 1) (D − 2) x = 3 + t − t2 , que tiene
una solución particular de la forma xp (t) = A + B t + C t2 .
Al sustituir en la ecuación anterior se obtiene
1
1
1
1
xp (t) = − − t + t2 ⇒ x(t) = C1 e−t + C2 e2t − − t + t2
2
2
2
2
Ahora,
y(t) = − (2 D + 3) x + t2 − 4 = − C1 e−t − 7 C2 e2t −
1
1
+ t − t2
2
2
2. (20 pts) Considere la función


0 si






f (t) = 1 si






t − 2
0≤t≤1
1<t≤3
si
t>3
t
Z
Calcule la transfomada de Laplace de
et−x x f (x) dx
g(t) =
0
f (t) = u1 (t) − u3 (t) + u3 (t) · (t − 2) = u1 (t) + u3 (t) · (t − 3)
⇒
e−s
e−3s
L {f (t)} (s) =
+ 2
s
s
−s
−3s
−s
d e
e
e−3s (3 s + 2)
e (s + 1)
+ 2
−
= −
ds
s
s
s2
s3
Luego,
d
L {t f (t)} (s) = −
ds
e−s
e−3s
+ 2
s
s
=
e−3s (3 s + 2)
e−s (s + 1)
+
s2
s3
Ahora,
t
g(t) = e ∗ (t f (t))
⇒
L {g(t)} =
1
s−1
e−s (s + 1)
e−3s (3 s + 2)
+
s2
s3
Esto es,
e−3s (3 s + 2)
e−s (s + 1)
+
L {g(t)} = 2
s (s − 1)
s3 (s − 1)
3. (20 pts) Resuelva la ecuación
dy
(t) + 2 y(t) + 5
dt
Z
t
y(x) dx = 1,
con
y(0) = 1
0
Aplicando transformada de Laplace y llamando Y a la transformada de Laplace de y(t)
se tiene:
2
5
1
s +2s+5
1
sY −1+2Y + Y =
⇒
Y = 1+
⇒
s
s
s
s
Y =
s2
s+1
s+1
=
+2s+5
(s + 1)2 + 22
⇒
y(t) = e−t cos(2t)
4. (20 pts) Halle una función f (t) tal que su transformada de Laplace sea
1
2
(s + 2) (s − 4 s + 5)
1
=
(s2
A
Bs+C
+ 2
s+2
s −4s+5
− 4 s + 5)
1 = A s2 − 4s + 5 + (Bs + C) (s + 2)
(s + 2)
⇒
A =
⇒
1
6
1
, B = −
, C =
.
17
17
17
Entonces,
−1
f (t) = L
1 −1
L
17
1
17
1
s−6
− 2
s + 2 s − 4s + 5
=
1
s−2
1
−
+4
2
s + 2 (s − 2) + 1
(s − 2)2 + 1
=
e−2t (1 − cos t + 4 sen t)
17
5. Dos tanques, cada uno con 100 litros de lı́quido se encuentran interconectados por medio
de tubos. El lı́quido fluye del tanque A hacia el tanque B a razón de 3 litros por minuto
y de B hacia A a razón de 1 litro por minuto. El lı́quido contenido en el interior de cada
tanque se mantiene homogéneo en todo instante.
Una solución de salmuera con una concentracin de 2 kilogramos de sal por litro entra
del exterior al tanque A. a razón de 6 litros por minuto. La solucición fluye hacia el
exterior proveniente del tanque A a razón de 4 litros por minuto y, también, fluye hacia
el exterior, proveniente del tanque B a razón de 2 litros por minuto.
Inicialmente el tanque A contenı́a agua pura y el B contenı́a 200 kilogramos de sal
disueltos.
a) (10 pts.) Haga un dibujo que ilustre la situación descrita.
b) (10 pts.) Escriba un sistema de ecuaciones diferenciales para las razones de cambio en
las cantidades de sal x(t) y y(t) disueltas en los tanques A y B, respectivamente,
incuyendo las condiciones iniciales.
dx
x
y =
12 +
−7
dt
100
100
dy
=
dt
3
x
y
−3
100
100
x(0) = 0,
y(0) = 200