Profesorado de Educación Secundaria en Matemáticas

Profesorado de Educación
Secundaria en Matemática
INGRESO 2015
Coordinadora: Prof. Adriana Mabel Lescano
La propuesta de ejercicios fue realizada por los siguientes Estudiantes
del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática:
Alonso Romina
Barrios Maximiliano
Blasco Roberto
Castro Víctor
Córdoba Cecilia
Escalona Emmanuel
Fuenzalida Irene
García Betsabé
Herrera Adriana
Lusi Yemina
Madrid Melisa
Racca Estefanía
Saavedra Ivana
Se desea agradecer la lectura atenta y sugerencias de los Profesores:
Boiteux Yanina, Celina Corrías, Martínez Julián, Zárate Érika.
1
Estimados Ingresantes:
Este cuadernillo contiene cinco grandes temas: Conjuntos numéricos, Polinomios, Función polinómica - racional,
Función exponencial - logarítmica y Función trigonométrica. Si bien los conceptos matemáticos que abordamos
ya han sido vistos en la escuela secundaria, el tipo de tratamiento que se propone no es tan habitual en esa
instancia de la escolaridad. Nuestro principal objetivo es, no sólo que ingresen a nuestra Institución, sino además
que permanezcan en el Profesorado. Es desde aquí que asumimos este compromiso, pues el abordaje de
estos temas es fundamental para comenzar con un cursado exitoso.
Para ello te proponemos que te comprometas en participar activamente en las actividades de manera que
puedas construir tu propio proyecto como futuro alumno y futuro profesional de la educación. Profundizando de
manera reflexiva cada una de las actividades para re-pensar la elección que has realizado y plantearte así, tus
propios propósitos para tu futuro desempeño profesional.
Es importante solicitarte que resuelvas por anticipado los ejercicios para poder consultar las dificultades que
pudieran presentarse, en los encuentros de consulta durante el mes de febrero
Este trabajo ha sido elaborado por estudiantes avanzados del profesorado, dirigidos por quien se desempeña en
este momento como Coordinadora de la carrera. Se contó con la lectura atenta y las sugerencias de los
Profesores: Zárate Érika, Corrías Celina, Yanina Boiteux y Julián Martínez Cinca.
Deseo agradecer la colaboración de las Licenciadas Cintia Fredes y Miriam Fernández.
Esperamos así, que al final del camino propuesto, puedan reafirmar su elección.
Nuestro pensamiento:
“El Éxito no es producto de la casualidad sino del esfuerzo".
Profesora Adriana Mabel Lescano
Coordinadora del Profesorado de Matemática
2
DATOS IMPORTANTES:
Cursado:
Desde el miércoles 11/02/2015 al viernes 13/02/2015 inclusive y desde el miércoles 25/02/2015 al viernes
27/02/2015
Horario: 18:30 a 20:30
Modalidad: presencial
Asistencia: no obligatoria
Consulta: 2 y 3 de marzo del 2015
Horario: 18:30 a 20:30
Examen obligatorio: 05/03/2015
Horario: 18:30 (traer documento de identidad)
Publicación de resultados: 13/03/2015
Publicación de exámenes con consulta:13/03/2015
Horario: 18:30 a 20:30.
Título que se otorga:
PROFESOR/A DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
Duración de la carrera:
4 (cuatro) AÑOS
3
TRABAJO PRÁCTICO N° 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Este trabajo práctico propuesto tiene la intención de lograr un repaso de los números reales, complejos,
ecuaciones y propiedades fundamentales pertenecientes a cada campo numérico. Es probable que usted ya esté
familiarizado con estos conceptos, pero es útil hacer un repaso para ver cómo estas ideas trabajan juntas para
resolver problemas y modelar o describir situaciones del mundo cotidiano.
Para estar preparado para el cálculo, el estudiante requiere no sólo habilidades técnicas, sino también
entender con claridad sus propiedades.
Nuestra selección de ejercicios ha sido clasificada con todo cuidado para que impulsen al estudiante en el
entendimiento de conceptos y desarrolle sus habilidades para resolver problemas. Los ejercicios van desde el
desarrollo de habilidades elementales hasta problemas más complejos.
Esperamos les sean útiles, ya que consideramos que son fundamentales para la comprensión del cálculo
matemático.
4
ACTIVIDADES:
1. Completa los siguientes enunciados de modo que resulten verdaderos
a) Si a, b
, a + b ………….….
b) Si a
,a+
……………...
c)
……….….…
d)
e)
f)
g)
2.
π ………….…
Entre dos números reales diferentes existen …………...…… números reales.
Un número irracional expresado en forma decimal presenta ………………….
La suma de dos números racionales es ................………………………………
Marca con una X la respuesta correcta
a) a, b
, (a / b)
cuando:
a=b
b=
a<b
b) Si a =
b<c<a
0, 25 , b= 3 0,15 , c= 3 (6)
c>a>b
a>b
1
c<a<b
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
c) Un comerciante vende tres tipos de café: brasileño, colombiano y cubano. El peso total es de 885 kg. Si el
peso del café brasileño corresponde a del total y el del colombiano a los que quedan:
Las cantidades de café brasileño y colombiano son las mismas.
Hay más café brasileño que colombiano.
Hay más café colombiano que brasileño.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
d) Se reparte un premio entre tres apostadores, A, B y C. Si A recibió el 25%, B el 45% del resto y C $ 8.250,
entonces:
Falta mayor información
A ganó lo mismo que C
El apostador que más ganó obtuvo $ 8.250
El premio era de $ 20.000
e) Al pagar con tarjeta de crédito, el comercio le aplica un recargo del 35% al 50% del valor del producto. Si lo
abonado fue $ 411,25:
El recargo es de $ 61,25
El producto costaba $ 350,00
Todas las respuestas anteriores son correctas
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
f) Si a - 3 = b, entonces podemos afirmar que:
b–a=-3
b+a=-3
a+b=3
a–b=-3
g) Un huerto tiene forma rectangular de lados 80m y 150m. Se quiere ampliar añadiendo la misma longitud
a cada lado, de forma que el nuevo perímetro mida 660 m. ¿Cuál será la dimensión del largo del nuevo
terreno?
5
190 m
200 m
235 m
220 m
3. Resuelve:
 2

a) 0, 6 -    2 
 3

2
1
3 
1
(0,973  1) 
(4

) 
 2
5 
3 

(0,2) : (0,2)  0, 4   (1 ) 
2 

b)
3
3
c)
5
2

4. Expresa como intervalo los siguientes conjuntos de
a) A =
^-2 x
b) B =
^-
c)
d)
e)
f)
C=
D=
E=
F=
^ |- 2x| 8}
^ |5 - 2x| < 4}
^ (5 - 2x) < 4}
^ |3 - x| > }
g) G =
^ |4 - 3x| > 5}
y grafica de en la recta:
2x
5. Resuelve analítica y gráficamente las siguientes operaciones, a partir de los siguientes conjuntos.
A=
^-4 -x
, B = [- 5; 5], C =
^ - 2x > 3}
a) A
C
b) B
C
c) (A
B)
C
6. Con respecto a los resultados de los ítems a), b) y c) del ejercicio anterior, indica si es verdadera o
falsa cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si x A entonces x C ……………….
b) Si x B, x A ………………..
c) x A si x C ………………
7. Según las afirmaciones dadas, indica la/s respuesta/s correcta/s con una X
a) Si a, b
y n, m
, con respecto a la potenciación se cumple:
es conmutativa,
=
es (
=
es distributiva respecto de la adición,
=
+
b) Si a, b
y n, m
, m > 3 ^ n > 3 con respecto a la radicación se cumple:
=
=
d) (-
+2
) . (2
)=
6
e)
=
4
2
f)- Al simplificar la expresión
8
obtenemos:
6.182 n
g) El valor de la expresión 1 2 n 1 n  2 obtenemos:
2 .6 .9
h)
a
4 x 1
.
a
2 x 3
es:
4
0
a
6 x 2
1
2
  .  a 
a
 
8. Se ha llegado a la mínima expresión de:
2
2
1
1
2
    a
a
a
Analiza y completa en cada paso con la definición, propiedad o propiedades que se aplicaron:
0
1
2
  .  a 
1a 2
a
i.

2
2
a 2  a 2  a 2
1
1
2
    a
a
a
0
1
2
  .  a 
1a 2
a
 
ii.

2
2
a 2  2a 2
1
1
2


a
 
 
a
a
0
1
2
  .  a 
a 2
a

iii.
2
2
a 2 1  2a 4 
1
1
2


a
 
 
a
a
0
1
2
  .  a 
1
a


iv.
2
2
1  a 4
1
1
2


a
 
 
a
a
7
0
1
2
  .  a 
a4
a
v.

2
2
2  a4
1
1
2


a
 
 
a
a
9. Nombra las propiedades de las operaciones que se realizan en los siguientes ejercicios:
a)
=
b)
:
=
c) 4 x y + 2 z = 2 z+ 4 x y
d) . =
e)
=
f)
3
25.24  3 25 . 3 24
10. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza
resultados, cuando sea necesario
a)
(x
b)
1
2
c)
d)
3/2

2
: x ) . y . xy
1
1/2
5 3

1
1
; con x e y ≠ 0

6 (2  3)

2
 3 37.32 . 3 


3

3 .27 

2
11. Dados
números complejos:
a) z1  z2  z3
, resuelve las siguientes operaciones entre
b) z2  z1
c)
 z2 
2
z3
12- Aplicaciones
a) Volumen del mar: El promedio de la profundidad del mar es de 3,7 .
, y la superficie del mar es
de 3,6 .
¿Cuál es el volumen total del mar en litros? (Un metro cúbico contiene 1000 litros).
b) Número de moléculas: Un cuarto aislado de hospital mide 5m de ancho, 10m de largo y 3m de alto, se
llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 litros y 22.4 litros de cualquier gas contiene
6,02 .
moléculas (número de Avogadro) ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en el cuarto?
c) Herencia: Un señor decide realizar el reparto de sus bienes a sus tres hijos, antes de morir. Al primero
le otorga la cuarta parte del total, al segundo la mitad del resto. Si al tercero le tocó 300.000$ ¿Dé cuánto
era la herencia?
d) Halla
a) 50% de 1890…………………………………………………………………
b) 15% de 4010…………………………………………………………………..
c) 125% de 1000…………………………………………………………………
d) 157% de 6300…………………………………………………………………
e) 0.5% de 2500…………………………………………………………………
e) Cada porcentaje tienes su número decimal, completa
8
50%
0,50
23%
150%
238%
2,38
0,05
340%
5,62
f) Completa la tabla como en el ejemplo:
TOTAL
%
PARTE
300
60%
180
5020
700
38,8%
1757
987
540
55,5%
414,54
f) En el centro de compras se anuncian las siguientes ofertas. Calcula cuánto gastaré si decido
comprar todas éstas prendas.
PRECIOS REBAJADO
EL 18 %
$33,5
$
$95
$98,5
$234
$110
13. Halla el valor de z:
2
3 i
43
a) 2 + 2 i =
b) i  (i 7 1)  z
z
14. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza
resultados, cuando sea necesario:
a)
b)

(
+
2
1
a 3 :a
2

1
.
1 1
.b ; con a y b
a 2b
1
 3535
3

 
.
c)
 4 24
81 


d)


2
5 3 . 3
8
9
15. Para cada uno de los siguientes enunciados, sólo una de las respuestas es correcta. Marca con una X
la respuesta correcta.
a) El desarrollo de


2
5  2a es:
25 + 4.a
5+2
5 +4
Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.
b) Si
3i+2=
i2
 i , entonces z es igual a :
z
5i
6
6
i
5
i13  . i15 1
Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.
2
c)
-2 i + 1
es igual a:
2i+1
2i -1
Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.
16- Simplifica la expresión y elimina todos los exponentes negativos.
4
1
3
2



a) b .  .b  . 12.b
8

b)
a
c)
 2.s .t  . 14 .s  . 16.t  
3
.b4  /  a 5 .b5  
1
3
6
2
17-Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de números
reales:
a) A ={ x / 5 < x < 9}
c) C = { x / x < 2 ó x > 2}
b) B = { x / -1  x  3}
d) D = { x / -4< x < 2 y x  -1}
18- Resuelve los siguientes ejercicios combinados.
20  45  80
a)
b)
3  2 2  · 4 - 3 2 
c) 5 8
3 a
d)

2  3 18

b  c  3 a  b3
ab
19- Extrae factores del radical
3
250x3 y 4
4
32a5b8c
7. 4 22.76
10
20-Expresa en forma binómica los siguientes complejos:
a) 5 + (− 81 i)
b) 3 – ( −100 i)
c) 2 + ( − 7 i)
Elaborado por Herrera Adriana, García Betsabé y Racca Estefanía
Revisión: Prof. Lescano Mabel
11
TRABAJO PRÁCTICO N° 2: POLINOMIOS-FUNCIONES POLINÓMICAS
Debido a los múltiples inconvenientes que encuentran los estudiantes en primer año fundamentalmente,
hacemos hincapié en el tema de factorización para hallar las raíces de un polinomio, pues a partir de ellas se
efectúan diversos cálculos interesantes a la hora de realizar los gráficos de las funciones polinómicas
Cuando las funciones polinómicas son de grado mayor que dos, sus gráficas parecen ser un poco más
complicadas porque tendrás que realizar una tabla con muchos valores para tener una idea de la forma de la
función. Sin embargo podemos realizar una gráfica aproximada de un polinomio sin la trabajosa tabla de
valores, teniendo en cuenta algunas características de las funciones polinómicas:
 Los puntos de contactos entre el gráfico y el eje x son las raíces del polinomio.
 Si el polinomio tiene raíces reales distintas la gráfica cruza el eje x.
 Si el polinomio tiene raíces reales repetidas (iguales) la gráfica toca el eje x pero no lo cruza
(rebota).
 En el intervalo formado por raíces consecutivas la gráfica se mantiene sobre el eje x o debajo de
él porque el polinomio toma valores positivos o negativos.
 El gráfico corta el eje y en el valor del termino independiente.
Consideramos un breve repaso de algunas nociones básicas:
Los monomios también se llaman términos y en general trabajaremos con monomios cuyos elementos
están afectados por las operaciones multiplicación y potenciación.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras.
M  x   ax n
Donde a es cualquier número real y n es un número natural.
Si a  0 , n es el grado del monomio; si a  0 , el monomio es de grado cero.
Un polinomio es la suma de monomios de distinto grado, si el polinomio es de dos términos se llama
binomio, de tres, trinomio, etc.
El grado de un polinomio es el grado del término de mayor grado.
El valor numérico de un polinomio es el que se obtiene al sustituir la indeterminada x por un número
real a y efectuando las operaciones indicadas en el polinomio.
P( x)  3x 5  5x4  2 x  9
Cuando x  2
Las operaciones con polinomios cumplen las mismas propiedades que los números reales.
P( x)  3x3  2 x 2  5x ; Q( x)  5x2  3x  2 x 2  1
P(x) + Q(x) ; P(x).Q(x) ; P(x) - Q(x)
Existen algunos productos que aparecen con mayor frecuencia en los cálculos algebraicos y con los que
tendrás que familiarizar debido a si interés práctico.
PRODUCTO
( x  a)( x  a)  ( x  a)2  x 2  2 xa  a 2
NOMBRE
Diferencia de cuadrados
( x  a)( x  a)  ( x  a)2  x 2  2 xa  a 2
Trinomio cuadrado perfecto
( x  a)( x  a)  ( x  a)  x  2ax  a
( x  a)( x  a)( x  a)  ( x  a)3  x3  3x 2a  3xa 2  a3
( x  a)( x  a)( x  a)  ( x  a)3  x3  3x 2a  3xa 2  a3
Trinomio cuadrado perfecto
2
2
2
Cuatrinomio cubo perfecto
Cuatrinomio cubo perfecto
Como hemos visto, la adición, la sustracción, y la multiplicación, no presentan mayores inconvenientes. La
división de polinomios merece una mención especial.
Recordemos que el algoritmo de la división de números reales es
12
Esa expresión también es válida en el cociente de polinomios, acompañada por el algoritmo de la
división para funciones polinómicas.
El algoritmo de la división de polinomios consiste en el conjunto de las siguientes instrucciones:
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el del polinomio divisor, ambos deben tener la
misma letra y para poder efectuar la división hay que seguir los siguientes pasos:
1) Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes de la indeterminada. Si
falta algún término se completa el polinomio colocando los coeficientes nulos en los términos faltantes o
dejando un lugar vacío en el mismo.
2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con lo que resulta el primer
término del cociente.
3) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo
dividendo.
4) Con el dividendo obtenido en el paso 3), se repiten las operaciones de los pasos 2) y 3) hasta que se
obtenga un resto igual a cero o de menor grado que el del divisor.
Regla de RUFFINI
Cuando tenemos una división entre un polinomio y un binomio de la forma (x-a), siendo
a un número real, se aplica una regla práctica (Ruffini) para encontrar los coeficientes del cociente pues el
grado es siempre una unidad menor que el del polinomio dividendo.
Ejemplo:
Para dividir, aplicando la Regla de Ruffini se deben realizar los siguientes pasos:
1) Colocamos en un renglón solamente los coeficientes del polinomio ordenado en forma decreciente
(completando con ceros si falta algún término)
2) En el renglón que sigue, el 1, que es valor de x con el que el divisor x-1 se hace cero, es decir, el cero o
raíz del polinomio divisor.
3) Las operaciones que se realizan en el esquema son:
a) Bajamos el primer coeficiente donde lo indica la flecha (tercer renglón)
b) Los multiplicamos por el número del segundo, el 1, el producto se coloca en ese mismo renglón
debajo del segundo coeficiente.
c) Se realiza la operación indicada verticalmente, colocando el resultado en el tercer renglón.
d) Se repiten los pasos b) y c) hasta haber trabajado con el último coeficiente.
e) El último resultado es el resto y los anteriores son los coeficientes del polinomio cociente.
f) Armamos el polinomio cociente ordenado y de un grado menor que el dividendo.
TEOREMA DEL RESTO
El resto (r) al dividir un polinomio por otro de la forma (x-a), siendo a un número real, es igual al valor
numérico del polinomio al hacer x=a, es decir P(a),
Con x=a el algoritmo de la división resulta:
P(a) = (a-a). C(a) + r =0, por lo tanto,
r= P(a)
CÁLCULO DE LOS CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO. FACTORIZACIÓN.
Recordemos que los ceros de una función f(x), gráficamente son las intersecciones de la misma con el
eje x.
Decimos que: a es un cero o raíz de P(x) si al calcular P(a) obtenemos por resultado cero. En forma simbólica:
X=a es raíz de P(x)
P(a)=0
Es decir, las raíces dan las intersecciones de la gráfica de y= P(x) con el eje x. Se calculan haciendo P(x)=0
Combinemos el teorema del resto y el algoritmo de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la forma
(x-a):
13
P(x)= (x-a). C(x) + P(x), Si P(x)=0 entonces:
(*) P(x) = (x-a) . C(x)
¿Cuántas raíces tiene un polinomio dado?
Esta pregunta la contesta un teorema, cuya demostración necesita de un conocimiento matemático más
avanzado, que se llama: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio de grado n tiene n raíces (reales o complejas, iguales o distintas) Si conocemos de un
polinomio de grado n, sus n raíces y son números reales: x1 , x2 ,...., x n y siendo el coeficiente principal an
podemos escribirlo:
P( X )  an ( x  x1 ).( x  x2 ).( x  x3 )...( x  xn )
Y esta expresión es la conocida Descomposición factorial de un polinomio de grado n
Es muy importante conocer la descomposición factorial de un polinomio porque es el camino que nos
lleva a resolver más adelante las ecuaciones de grado mayor o igual que dos. Además es un recurso muy útil
para graficar funciones.
La expresión (*) podemos escribirla también así:
xn  an  ( x  a)( xn1  xn2 a  x n3a 2  ...  a n1
Se lee: P(x) es divisible por
(x-a)
Decir es divisible por nos asegura que el resto de ese división es cero. Ahora podemos generalizar este
concepto para cualquier división entre polinomios diciendo:
Si al realizar P(x) : Q(x) = C(x) y el resto es cero entonces P(x) es divisible por Q(x).
Este concepto matemático se conoce como Divisibilidad.
A veces un polinomio de grado no nulo es posible expresarlo como producto de polinomios de grado
menor, se dice que es un polinomio primo.
La descomposición factorial de un polinomio conocidas sus raíces, no es la única forma de expresar
un polinomio como un producto de polinomios primos (factorizar), recordaremos otras maneras que sn muy
útiles cuando se trabaja con operaciones entre expresiones algebraicas enteras y fraccionarias, a saber:
FACTOR COMÚN: Dado el polinomio P( x)  2 x  4 x , el mecanismo de extraer factor común es:
La x es la letra común a ambos términos y la extraemos elevada al menor exponente; entre los números
también se extraen factores comunes, luego se divide cada término del polinomio por dicho factor común.
4
2
FACTOR COMÚN POR GRUPO: Dado el polinomio P(x)= ax + ay + bx + by, podemos observar que el primer
término tienen de común el factor a, y los dos últimos, el factor b.
Encerramos los dos primeros términos entre paréntesis y a los dos términos restantes dentro de otros paréntesis
precedidos por el signo +:
ax + ay + bx + by= (ax +ay) + (bx + by)
Luego extraemos de cada paréntesis el factor común:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x +y)
Observamos que han quedado dos términos que tienen como factor común (x + y), entonces extraemos ese
factor común:
ax + ay + bx + by = (x + y) (a + b)
Los polinomios que se pueden factorizar de esta forma cumplen con el siguiente requisito:
Los grupos de términos que tienen factores comunes deben tener el mismo número de términos.
Si es un polinomio de 6 términos podemos hacer dos grupos de tres términos o también tres grupos de dos
términos y llegaremos al mismo resultado.
14
Llamamos trinomio cuadrado perfecto a aquel trinomio que factorizado es el cuadrado de un
binomio. Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos, que cumplen con las siguientes condiciones:
1. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
2. El término restante es el duplo del producto de las bases de los cuadrados perfectos.
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadráticos son siempre positivos, en cambio el termino del duplo
del producto de las bases de los cuadrados pueden ser negativo; en cuyo caso es negativo uno de los términos
del binomio.
El cuatrinomio cubo perfecto factorizado es el cubo de un binomio. Consta de cuatro términos y
cumplen las siguientes condiciones:
1) Dos de los términos son cubos perfectos
2) Un tercer término, es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo.
3) El cuarto término, es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo
cubo. x n  a n
SUMA O DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS ELEVADOS A LA n: Factorizar x  a o x  a es un tema
muy utilizado en Cálculo, por lo tanto conviene aprenderlo bien ahora para cuando se les presente en sus futuros
n
cursos y no tengan dificultades en resolverlos. Lo que deben averiguar es si
n
n
n
x n  a n o x  a Son divisibles
por x  a O por x  a ; en ambos casos el secreto está en si n (numero natural) es par o impar
Observa:
n
n
En x  a si n es par al aplicar el teorema del resto haciendo x=-a queda: (a)n  a n  a n  a n  2a n por
lo tanto:
n
n
n
n
a n  a n  0 es un polinomio primo, no se puede factorizar
x n  a n si n es impar al aplicar el teorema del resto para x= -a
(a)n  a n  a n  a n =0 por lo tanto:
En
x n  a n es divisible por
xa
, es decir por la suma de las bases de las potencias, y en forma general
queda factorizado así:
xn  an  ( x  a)( xn1  xn2a  x n3a 2  ...  a n1 )
Debes tener en cuenta que este binomio tan particular solamente tiene una raíz real.
Observando el segundo factor:
El exponente de x decrece desde n-1 hasta 0, en cambio el de a crece desde 0 hasta n-1. Además los signos de
los términos se van alternando.
En x n  a n si n es impar al aplicar el teorema del resto para x=a a n  a n  0 por lo tanto:
x n  a n es divisible por
xa
, es decir por la diferencia de las bases de las potencias, y en general queda
factorizado así:
xn  an  ( x  a)( xn1  xn2 a  x n3a 2  ...  a n1 )
Este binomio también tiene sólo una raíz real.
Si n es par x n  a n es divisible por x  a y también por x  a , pero generalmente nos conviene
factorizarlo como una diferencia de cuadrados porque obtenemos más cantidad de factores. Este binomio tiene
dos raíces reales opuestas.
15
ACTIVIDADES:
1. Determine los valores constantes de a, b y c para que los polinomios P y Q sean iguales.
a. P(x)  (a  2b) x3  0,5x 2  (3c  d ) x  1 , Q( x)  3x3  (c  d ) x 2  4 x  a  d
b. P( x)  x4  (2a  3b) x 2  (c  d ) x  7
, Q( x)  (c  d ) x 4  5x  (a  b)
2. Dados los siguientes polinomios:
P(x)  2 x 2  x  1 , Q( x)  x3  5 , R( x)  0,3x  4
Halle si es posible
a) P( x)  Q(x)
b) (2 / 3) P(x)  3Q(x)
c) Q(x) / P(x)
d) P(x).Q(x)
e) P(1).Q(3)  R (0)
3. Aplique la regala de Ruffini para determinar el cociente y el resto en los siguientes casos:
a) (2 x4  x  1) : (1  x)
b) (12 x4  30 x2  30 x  12) : (6 x  12)
c) ( x3  2 x  3x 2 ) : (2  x)
4. Divida cada polinomio P por D. Luego exprese P( x)  D(x).Q(x)  R( x)
P( x)  x3  6 x 2  x  30 a) D( x)  x  2 a’) D( x)  x  3
P( x)  5x5  3x4  2 x2  3 b) D( x)  2 x 2  x  1
5. Factor común
a) P( x)  (4 / 3) x  (5 / 3) y , donde y es una constante real
b) T( x)  0,1x2  3x3  x
c) R( x)  exy   x3  2 x5 z , donde y, z, 
Nepper.
y e son irracionales, siendo este último el número de
6. Factor común por grupos
a) ab  a  b  1
b) acm  adm  bcm  bdm  can  and  bcn  bdn
c) 6bc  12cn  27cm  4bx  8nx  18mx
7. Trinomio cuadrado perfecto
a) R( y)  y6  a4  2a2 y3
b) Q(t )  5  t 6  2 5t 3
8. Cuatrinomio cubo perfecto
a) P(a)  0,027a3  2,7a 2b  90ab2 1000b3 , con b  R
b) Q(b)  27a12b6  9a12b4  a12b3  27a12b5
9. Diferencia de cuadrados
a) P( x)  2 x 2  1
16
3 2
y 9
4
c) R( x)  a 2 x 2  8b2 , con a, b  R
d) T ( y)  ( y  2)2  1
b) Q( y ) 
10. Suma o Diferencia de dos potencias de igual grado
a)
b)
c)
d)
P( x )  x 3  a 3
Q( x)  x6a  y 3b
R( x)  125  x3
S ( y)  0,01  y4
11. Factorización de trinomios de la forma P( x)  ax2  bx  c (a, b, c reales)
a) P( x)  x 2  8x  15
b) Q( x)  3x2  9 x  30
c) T ( y)  2 y 2  36 y  64
12. Resuelve:
x  3 x  3 12 x


a)
x  3 x  3 x2  9
x3  x 2  x  1 x 2  1
b) 2
:

y  2 xy  x 2 3 y  3x
13. Escribir al lado de cada gráfica su función polinómica correspondiente.
a) f ( x )  x 2  x  2
b) f ( x)  ( x3 / 5)  (4 x2 / 5)  (7 x / 5)  2
1
1
c) f ( x)  ( x  4)(x  1)(x  1)(x  3) 
14
2
1
d) f ( x)  ( x  4)(x  1)(x  1)(x  3)(x  2)  2
20
a)
17
b)
c)
d)
Elaborado por: Alonso Romina, Barrios Maximiliano, Castro Víctor
Revisado por: Prof. Lescano Mabel
18
TRABAJO PRÁCTICO N° 3: FUNCIONES RACIONALES
INTRODUCCIÓN
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente. Una función
racional tiene la forma:
, donde
, y además, P y Q son polinomios.
Ejemplo:
;
;
Dominio
El dominio de una función racional es el conjunto de los números reales, excepto aquellos para los que
.
Analicemos el dominio de las funciones del ejemplo anterior:
la función f no está definida para x=0. Por lo que el dominio de la función es:
la función no está definida cuando
, resolviendo la ecuación obtenemos que para x=3 la
función no está definida, luego
o también
la función no está definida para x=4, entonces
Asíntotas
Consideremos nuevamente la función
Tanto en la gráfica como en la tabla de valores vemos que a medida que x tiende
a cero ya sea por izquierda o derecha, los valores de f(x) se aproximan cada vez
más a la recta x=0 pero no la tocan.
A la recta x=0 se la llama asíntota vertical de la gráfica.
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de
las variables (x o y) tienden al infinito.
Se distinguen tres tipos:
 Asíntota Vertical (AV)
 Asíntota Horizontal (AH)
 Asíntota Oblicua (AO)
Ejemplo:
Esta función tiene una asíntota vertical en x=-2 y una asíntota
horizontal en y=1
19
Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u
oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).

La división de polinomios proporciona las asíntotas horizontales u oblicuas.
=
1) Si m<n, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = 0.
2) Si m=n, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = pm/qn (el cociente de los coeficientes principales).
3) Si m>n, no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador,
hay una asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.
Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador.
Ejemplo 1 : f  x  
2x 2  4 x  5
x 2  2x  1
1) Factorizamos el denominador
f x 
2x 2  4 x  5 2x 2  4 x  5
, luego la recta x=1 es una asíntota vertical.

2
x 2  2x  1
 x  1
2) Multiplicamos por el inverso de
1
4 5
2  2
2x 2  4 x  5 x 2
x x
f x  2


2 1
x  2x  1 1
1  2
x x
x2
Las expresiones fraccionarias
4 5 2 1
, , ,
tienden a 0 cuando x tiende a
x x2 x x2
4 5

x x 2  2  0  0  2 , así la asíntota horizontal es la recta y=2
Por lo que y 
2 1
100
1  2
x x
2
Ejemplo 2: f  x  
x2  4 x  5
x 3
1) No posee asíntota horizontal porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
2) x=3 es una asíntota vertical.
3) Como el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota
oblicua.
x 2  4 x  5  x  1   x  3
8
8
, por lo tanto y=x-1 es la asíntota oblicua


  x  1 
x 3
x

3
x

3
x
 
 
  3
20
Actividades:
1. Dadas las siguientes funciones, complete el cuadro, colocando la función correspondiente a cada gráfica.
Gráfica 1
Gráfica 2
Gráfica 3
Gráfica 4
21
FUNCIONES
Grafico n°
Dominio
Imagen
Asíntotas Horizontales
Asíntotas Verticales
Ceros o Raíz
Intervalo de Positividad
Intervalo de Negatividad
Intervalo de Crecimiento
Intervalo de Decrecimiento
t(x)= 1/(1-
)
f(x)=4/(x-2)
g(x)= 1/x
h(x)=( x-3)/
-9)
2. Complete el Siguiente Cuadro y Grafique.
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
22
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
f(x) =
f(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
23
3. Dadas las siguientes funciones marque con una cruz en el casillero la opción correcta.
f(x) =
f(x) =
A. Vertical en y=+4, y= -4
A. Horizontal en x=+ 4, x= -4
A.Vertical en x=+4
A.Vertical en x=-4
f(x) =
A.Vertical en x=+3,x= -3
A.Horizontal en y=+3,y=-3
A.Horizontal en y=+3
A.Vertical en x=-3
f(x) =
A.Horizontal en y=+3,y=0
A.Vertical en x=+9, x=-9
A.Vertical en x=3
A.Vertical en x=+3,x=-3
f(x) =
f(x) =
I de Crecimiento (
I de Crecimiento (
I de Decrecimiento (-4,
I de Decrecimiento
(
I de Crecimiento (4,
I de Decrecimiento (-3,
I de Crecimiento
(
I de Decrecimiento
(
f(x) =
Cero en y= 4
cero en x= 2
cero en x=0
Cero en x= -2
y=
I de Crecimiento
(
I de Decrecimiento (-3,3)
I de Decrecimiento
I de Crecimiento
(- ,-3)U(-3,-1)
f(x) =
f(x) =
cero x=
cero x= 3
ceros: no posee
ceros x=
ceros x=
ceros: no posee
Cero en x=9
Cero en x = -9
y=
A Vertical en x=-1, x=1
A vertical en x=0, x=2
A vertical en x= 1, x=0
A Vertical en x=1, x=2
Dominio: (0,
Dominio: IR
Dominio: IR –{1}
Dominio: IR- {0,1}
f(0) = 1
f(0) = 0
f(0) = 1/6
f(0) = 6
4. Decir si las siguientes expresiones son equivalentes. Justifica tu respuesta.
;
5. ¿Es
una expresión algebraica racional? Justifica
6. Con las expresiones P(x) =
i)
ii)
iii)
;
y Q(x) =
calcular:
P(x).Q(x)
P(x):Q(x)
P(x)+Q(x)
7. Unir con flechas
24
i)
a.
ii)
b.
iii)
c.
d.
iv)
e. NRA
Elaborado por: Fuenzalida Irene y Lusi Yemina
Revisión: Prof. Corrías Celina
25
TRABAJO PRÁCTICO N° 4:
¿Qué es la trigonometría?
El primer paso antes de entrar de lleno en el análisis del significado de la palabra trigonometría es
proceder al establecimiento de su origen etimológico. En este sentido tenemos que exponer que el citado se
encuentra en el griego donde podemos observar cómo está formada aquella por la unión de trigonon que
equivale a “triángulo”, metron que puede definirse como “medida” y tria que es sinónimo de “tres”. medidas de
precisión.
La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de
los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo,
son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre
puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Esta especialidad interviene en diversas áreas de las matemáticas en las que se necesita trabajar con
precisión.
Unidades angulares
En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la
vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad
natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se
usa en topografía, arquitectura o en construcción.




Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo
más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.
Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales
Transportador en radianes
Transportador en grados sexagesimales
26
Transportador en grados centesimales
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y
ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de
funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí
mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
Razones trigonométricas fundamentales
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente,
del ángulo α, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto
sobre la hipotenusa.
si consideramos una circunferencia de radio 1 tenemos que AB=1 por lo que tenemos
27

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
si consideramos una circunferencia de radio 1 tenemos que AB=1 por lo que tenemos
 La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
28
ACTIVIDADES:
1. Complete el siguiente cuadro:
Ángulo
Nulo
Recto
Llano
Giro completo
Α
Medida en el sistema
sexagesimal
0º
90º
Medida en el sistema radial
360º
 360 
 
 
 2 
0 radianes
 radianes
2 radianes
 2 
 
 
 360 
2. Responda, indicando los cálculos necesarios para justificar. ¿Cuántos grados mide aproximadamente
un radián?
3. Convierta a grados la medida de los siguientes ángulos que en el sistema radial miden:
a)
7
 radianes
6
b)

radianes
2
c)
6
 radianes
4
d)
3
 radianes
2
e) 1,84 radianes
f) 4,6 radianes
4. Convierte a radianes los ángulos que en el sistema sexagesimal miden:
a) 0º
b) 20º
c) 120º
d) 340º
e) 82º
f) 270º
29
5. En una circunferencia de radio r = 1 marque un ángulo α = 45º e indique gráficamente cuál es el sen ,
cos  y la tg
6. Dibuje dos circunferencias de radio r =1 y otra de r = 2. En ambas dibuje un ángulo de 60º y calcule el
sen60 y el cos 60 . Saque conclusiones observando las dos gráficas y comparando los resultados
obtenidos.
7. Sabiendo que sen  0,86 calcule, sin utilizar calculadora, las demás razones trigonométricas
directas e indirectas ( cos  , tg , cos ec , sec y ctg ).
8. Sabiendo que tg  
1
y que  pertenece al segundo cuadrante, halle las demás razones
3
trigonométricas.
9. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β
50 cm
30 cm
40 cm
10. Halle las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
a) 135º
b) 560º
c) 360º
d) 135º
e) 45º
11. Compruebe las siguientes identidades trigonométricas:
a) tg  ctg  sec  cos ec
b)
1
 sen2  cos 2   cos4 
2
sec 
c) ctg 2  cos2    c tg  cos  
2
d) ctg  sec  cos ec
e) sec2   cos ec 2 
1
 cos 2 
2
sen 
30
f)
 2sen  3
2tg  3sec 
 cos 
12. Calcule la altura de un árbol que a una distancia de 10m se ve bajo un ángulo de 30º
13. Calcule x e y para los siguiente casos.
31
14. Calcule el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
15. Calcula el valor de los lados x e y.
16. Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas una torre bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia
entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halle la altura de la torre.
32
17. Calcule las relaciones trigonométricas ( sen , cos  , tg ) de los ángulos que se mencionan, sin
usar calculadora y apoyándose en el Teorema de Pitágoras. A modo de ejemplo se calculan dos
relaciones. Complete la tabla. En caso de ser necesario, racionalice
Ejemplo:
Se toma un triángulo isósceles y se traza la altura “y”, con lo que quedan determinados dos triángulos
rectángulos. Aplicando el Teorema de Pitágoras se calcula el cos 60 :
cos 60 
r 1

2 2
sen60 
r 1

2 2
(cateto adyacente sobre hipotenusa)
(cateto opuesto sobre hipotenusa)
cos30  y
r2
3r 2 r
y r  

3
4
4
2
2
cos 30 
r 3
2
33
Ángulo
sen
cos 
30º
1
2
3
2
45º
60º
1
2
90º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
Elaborado por: Blasco Roberto y Saavedra Ivana
Revisión: Prof. Julián Martínez Cinca – Prof. Mabel Lescano
34
tg
TRABAJO PRÁCTICO N° 5
Función exponencial:
y = k.
k: coeficiente de la función. Es un número IR no nulo
a: base de la función. Es un número positivo distinto de 1.
Actividad N°1:
Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica. En todos los casos, a es un número
real positivo.
 a.an = a n+1
 an.an =


n

= ( )p
: a = a n-1
–n
=
Actividad N°2:
Observa los siguientes gráficos a),b),c) yd).Completa:
Dominio, imagen, ceros, conjuntos de negatividad y positividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos.
Gráfico a)
Gráfico b)
35
Gráfico c)
Gráfico d)
36
Actividad N°3:
Resolver encontrando la función que modelice y graficarla:
a) En el banco “Mendoza” se obtiene una tasa de interés del 1,5% mensual por la colocación de dinero a plazo
fijo. Un ahorrista deposita $1500. ¿Cuál será el monto de su cuenta después de tres meses? ¿Y después de un
año?
b) Una sustancia radiactiva pierde el 3% de su masa cada día. Diez días después de comenzada la observación,
se tiene 150g de masa. ¿Cuántos gramos de sustancia había al comienzo de la observación? ¿Cuál es el
porcentaje de decrecimiento por hora? ¿Y por semana?¿Después de cuánto tiempo se reduce la masa de la
sustancia a la mitad?
Actividad N°4:
Une la función con su asíntota:
y=
y = 1/2
y=
y=5
y=
+ 1/8
y = -3
y=
+5
y = 1/8
Actividad N°5:
Hallar la fórmula de la función exponencial que pasa por los puntos:
*(0,5) y (-1,5/2)
*(0,2) y (-3,1/4)
*(1,-8) y (-2,-1)
*(-2,8) y (1,1)
Actividad N°6:
Dadas las funciones f(x) =
y g(x)=
Indicar para qué valores de x resulta:
a) f(x) > g(x)
b) f(x) = g(x)
.
37
c) f(x) < g(x)
Actividad N°7:
Hallen los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes igualdades.


=
2 – x.6 = 32x :7


2 – 3x.
2x+1 = 8 x.
Actividad N°8:
Resolver las siguientes ecuaciones:
7
7
FUNCIONES LOGARÍTMICAS SON AQUELLAS QUE RESPONDEN A LA FORMA:
log a x  y si y sólo si a y  x .Siendo a la base y el número x , el argumento.
En donde a debe ser un número positivo. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales.
En este apartado te proponemos unas actividades que resaltarán lo más importante de este tipo de función.
9) Completar los espacios en blanco.
Las siguientes proposiciones corresponden a las propiedades de logaritmos.
=………….., cualquiera sea su base.
Para toda…...……....,
= 1.
El logaritmo de un producto :
………………+………………..., para todo x >0 , y>0.
El logaritmo de un cociente :
= …………….-……………….. y , para todo x > o ,y є IR
10) Completar con el valor de verdad de las siguientes proposiciones
No existe el logaritmo de un número con base negativa. …………
Existe el logaritmo de cero. ……..
El logaritmo de 1 es cero. ………
38
Los números negativos tienen logaritmo. ……..
El logaritmo en base “a” es igual al exponente. ……
11) Calcular el valor de Y ,aplicando la definición de logaritmo
a)
=y
b)
y
c)
=y
d)
=y
12) Resolver aplicando las propiedades
a.
b.
c.
)=
=
+
=
13) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas
a)
b)
c)
d) 2.
e) 3
f)
=2
=0
=
=
=
=
13) Observa las siguientes funciones y determina
39
Función
f(x)= log(x- 2)
g(x)= ln(x - 2)
h(x)=
Dominio
Imagen
Asíntota
14) Indicar la fórmula apropiada para la función logarítmica del tipo:
que pasa por los puntos: o (4,1) y p ( 10,2)




y=
y=
y=
y=
15) Plantear y resolver:
a) La población de cierta ciudad es de 80.000 habitantes. Si aumenta 5% cada año, estimar cuál será la
población al cabo de 10 años.
b) Un automóvil comprado en $ 35.000 disminuye su valor en un 12 % cada año. Calcular su valor al cabo de 6
años.
Elaborado por: Córdoba Cecilia y Madrid Melisa
Revisado por: Prof. Zárate Érika
40
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA PARA CONSULTA:
James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (2009) Precálculo. Quinta Edición. Editorial:
Cengage Learning
41
GRILLA DE RESPUESTAS: TRABAJO PRÁCTICO N° 1
1)
a)
b)
c)

d)
e)
f)
g)

Infinitos
Infinitas cifras decimales no periódicas
Un número racional.
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
b=0
c<a<b
Las cantidades de café brasileño y colombiano son las mismas.
El premio era de $20.000. El apostador que más ganó obtuvo $ 8.250
Todas las respuestas anteriores son correctas
b-a = - 3
200m
3)
101
a)
92
49
b) 
170
5489
c)
225
4)
7

a)  2; 
2

 5 2
b)   ; 
 2 3
c)
 4; 4
1

d)  ; 4,5 
2

e)
f)
 0,5;  
 ;2,75   3, 25;  
1

g)  ;     3;  
3

Gráficos
a)
42
b)
c)
d)
e)
f)
g)
5)
a) A  C   ; 4
3

b) B  C   5;  
2

3

c) ( A  B)  C   5;  
2

Gráficos
a)
b)
43
c)
6)
a) F
b) F
c) F
7)
a)
n
m
(a )  a
n. m
b) m a.b  m a .m b
c) 7
d)
2
8
e) 3 - 2
8
f)
9
g)
a
3 x 1
8) Propiedades de la potenciación, Asociatividad de la adición, Recíproca de la distributiva, División
de potencias de igual base, Simplificación, Regla de los signos, Inverso multiplicativo en .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
9)
Distributiva de la potencia respecto del producto.
División de Potencias de bases iguales.
Conmutativa de la adición.
Multiplicación de potencias de igual base.
Potencia de otra potencia.
Distributivad de la raíz respecto del producto.
10)
a)
x
y2
b)
5 3
4
c)
3+2 3
d) 9 3
11)
44
a) 2  i
b) - 5+2 2i
c) 2 2  i
12)
a) 1,332 1021 litros
b) 4,03 1027 moléculas
c) $800.000
d) a)945 b)601,5
c)1250
d)9891
e)12,5
e)
50%
0,50
23%
0,23
5%
0,05
150%
1,50
238%
2,38
340%
3,40
562%
5,62
f)
TOTAL
%
PARTE
300
60%
180
5.020
35%
1,757
700
38,8%
271,6
g) Total de gastos $ 468,22
13)
1
a) z= -1+ i
2
b) z= i
14)
a)
5 3
10
13 6
.b
2
b)
a
c)
24
27
3
d)
7
3
6
30
2
2
15)
a) Ninguna es correcta
b) Ninguna es correcta
c) Ninguna es correcta
16)
45
987
42%
414,54
540
55,5%
299,7
a)
4
b2
a2
b)
b
c) 8.s9 .t
17)
a)  5;9 
b)
c)
d)
 ; 2   2;  
 1;3
 4; 1   1; 2
18)
a)
5
b) 24 - 17 2
c) -160
d) b 6
a.c 2
b
19)
a) 5xy 3 2y
b)
2ab2 . 4 2ac
c)
7 4 14
20)
a)
z=81,1527331´56,2" forma polar
b) z=100,0448816´54" forma polar
c)
z=7,2828556´43,4" forma polar
46
GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 2
1)
13
1
7
5
a) a  , b   , c   , d  
4
8
4
4
b) a  21, b  14, c  3, d  2
a)
b)
c)
d)
e)
2)
P( x)  Q( x)  x3  2 x 2  x  6
2
4
2
46
P( x)  3Q( x)  3x3  x 2  x 
3
3
3
3
Q( x) 1
1
 x
P( x) 2
4
P( x).Q( x)  2 x5  x 4  x3 10 x 2  5x  5
P(1).Q(3)  R(0)  4
3)
a) 2 x  2 x2  2 x  1
b) 2 x3  4 x2  3x  1
c) x 2  x
3
4)
a) ( x  8 x  15).( x  2)   0
a’) ( x 2  9 x  26).( x  3)   48
2
1
11
7
55
 5
 29
b) ( x3  x 2  x  ).(2 x 2  x  1)  
x
4
8
16
16
 2
 16
5)
1
a) P( x)  (4 x  5 y )
3
b) T ( x)  x(0,1x  3x 2  1)
c) R( x)  x(ey   x 2  2 x 4 z )
6)
a) (b  1).(a  1)
b) (a  b).(m  n).(c  d )
c) (2b  4n  9m).(3c  2 x)
7)
a) R( y)  ( y3  a 2 )2
b) Q(t)  ( 5  t 3 )2
8)
a) P(a)  (0,3a  10b)3
47
b) P(b)  a12 .b3 .(3b  1)3
9)
a) P( x)  ( 2 x 1).( 2 x  1)
3
3
y  3).(
y  3)
2
2
c) R( x)  (ax  8b).(ax  8b)
b) Q( y )  (
d) T ( y)   y  2   1 .  y  2   1
a)
b)
c)
d)
10)
11)
a) P( x)  ( x  3)(x  5)
b) Q( x)  ( x  5)(x  2)
c) T ( x)  ( x  2)( x  16)
12)
a) P( x)  0
b) P( x) 
3( x  1) 2
( y  x).( x  1)
13)
La función (a) corresponde a la gráfica (d)
La función (b) corresponde a la gráfica (a)
La función (c) corresponde a la gráfica (b)
La función (d) corresponde a la gráfica (c)
48
GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 3
Ejercicio 1:
FUNCIONES
Grafico n°
Dominio
Imagen
Asíntotas
Horizontales
Asíntotas
Verticales
Ceros o Raíz
Conjunto de
Positividad
Conjunto de
Negatividad
Intervalos de
Crecimiento
Intervalos de
Decrecimiento
f(x)=4/(x-2)
3
g(x)= 1/x
1
h(x)=( x-3)/(x2-9)
2
y=0
y=0
y=0
y =0
x = 1; x = -1
x=2
x =0
x = -3
No tiene Raíz
No tiene Raíz
No tiene Raíz
No tiene Raíz
No crece
No crece
t(x)= 1/(1-
)
4
Ejercicio 2
a)F(x) =
b) F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas
Horizontales
Conjuntos de
Positividad
Conjuntos de
Negatividad
Intervalos de
Crecimiento
Intervalos de
Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
x=0
No posee
No posee
No posee
x=2
y=0
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
No decrece
Intervalos de Decrecimiento
d) F(x) =
c) F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
No crece
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
x = -2
x = 1; x = -1
y=2
49
x = -2
x=1
y=1
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
e)F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
g)F(x)
f) F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
x = -5
x =0
y=1
No crece
x = -5
x = -4; x = 4
y= -1,7
h) F(x) =
=
Dominio
Imagen
Raíz
x =-1,42; x =1,42
Asíntotas
x = -3; x = 3
Verticales
Asíntotas
y =2
Horizontales
Conjuntos de
Positividad
Conjuntos de
Negatividad
Intervalos de
Crecimiento
Intervalos de
Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
x = -1 ; x = 2
x = -4 ; x = 3
Asíntotas Horizontales
y =2
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
i)F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
No crece
j) F(x) =
=
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
x = -4
x =4
Y= -0,06
No Crece
50
y = -1/2
No posee
No posee
No posee
No Posee
No crece
No decrece
k)F(x) =
l) F(x) =
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
Dominio
Imagen
Raíz
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Conjuntos de Positividad
Conjuntos de Negatividad
Intervalos de Crecimiento
Intervalos de Decrecimiento
No tiene
x = -1
y=0
No Crece
Ejercicio n°3
a) F(x) =
A. Vertical en x=-4
b) F(x) =
A. Vertical en x=-3
c) F(x) =
A. Vertical en x=+3,x=-3
d) F(x) =
I de Decrecimiento (
e) F(x) =
I de Crecimiento (
f) F(x) =
g) F(x) =
h) F(x) =
i)
F(x) =
j)
F(x) =
(4,
I de Crecimiento (
Cero o Raíz en x= 2
Cero o Raíz en x= 3
Ceros: No posee
A vertical en x= 1, x=0
51
x = -1
x=5
No tiene
I= (7,5 ;
k) F(x) =
Dominio :
F(x) =
f(0)=
Ejercicio 4
Las expresiones son equivalentes, si factorizamos la segunda y tercera expresión quedan igual a la primera.
Ejercicio 5
No es una expresión algebraica racional pues en el denominador tenemos la expresión
que no es un
polinomio.
Ejercicio 6
i)
ii)
iii)
Ejercicio 7
i) d)
ii) a)
iii) b)
iv) c)
Gráficas ejercicio 2
Gráfica (a) f(x) = (x2+3x)/(x+3)
52
Gráfica (b) f(x) = (x+5)/(x2+3x-10)
Gráfica (c) f(x) = (x+2)/(1-x2)
Gráfica (d) f(x) = (x+2)/(x-1)
Gráfica (e) f(x) = (x+5)/x
53
Gráfica (f) f(x) = (5x+25)/(x2-16)
Gráfica (g) f(x) = (2x2-4)/(x2-9)
Gráfica (h) f(x) = (2x2-2x-4)/(x2+x-12)
Gráfica (i) f(x) = (x+4)/(x3-64)
54
Gráfica (j) f(x) = (9-x2)/(2x2-18)
Gráfica (k) f(x) = 1/(x+1)
Gráfica (l) f(x) = (3x3+x+4)/(x-5)
55
GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 4
1) Complete el siguiente cuadro:
Ángulo
Medida en el sistema
sexagesimal
0º
90º
180º
360º
α=(360º/2л).α
Nulo
Recto
Llano
Giro completo
Α
Medida en el sistema radial
0 radianes
л/2 radianes
Л radianes
2л radianes
α=(2л/360º).αº
2) ¿Cuántos grados mide aproximadamente un radián?
α=(360º/2л).α
α= 1 radián = (360º).1radian = 57º 17’
2л radianes
3) Convierte a grados la medida de los siguientes ángulos que en el sistema radial miden:
g)
h)
i)
j)
k)
l)
7/6 л radianes:
л/2 radianes :
6/4 л radianes:
3/2 л radianes:
1,84 radianes:
4,6 radianes:
66º 50’ 42’’
90º
85º 56’ 37’’
85º 56’ 37’’
105º 25’ 27’’
263º 33’ 38’’
4) Convierte a radianes los ángulos que en el sistema sexagesimal miden:
g)
h)
i)
j)
k)
l)
60º
20º
120º
340º
82º
270º
:
:
:
:
:
:
1,047 rad.
0,349 rad.
2,094 rad.
5,93 rad.
1,431 rad.
4,712 rad.
5) En una circunferencia de radio uno (1) marque un ángulo de 45º e indique gráficamente cuál es el sen, cos y la
tg del ángulo mencionado.
56
6) Dibuje una circunferencia de radio uno (1) y otra de radio (2). En ambas dibuje un ángulo de 60º y calcule el
sen 60º y el cos 60º en las dos circunferencias. Saque conclusiones observando las dos gráficas y comparando
los resultados obtenidos.
57
Tomamos primero la circunferencia de radio 1:
▲
La hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma FAE mide 1
Por el teorema de Pitágoras tenemos : Hip2= (Cat. Op.)2 + (Cat. Ady.)2
Reemplazando por los valores de la gráfica : 12 = (Cat. Op.)2 + 0,52
Despejando
(Cat. Op.)2 = 1 – 0,25 = 0,75
Cat. Op. = √0,75 = 0.866
Entonces: sen 60º= Cat. Op = 0,866 = 0,866
Hip.
1
cos 60º = Cat. Ady. = 0,5 = 0,5
Hip.
1
En la circunferencia de radio 1 tenemos: sen 60º = 0,866
cos 60º = 0,5
Tomamos luego la circunferencia de radio 2:
▲
La hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma GAD mide 2
Por el teorema de Pitágoras tenemos : Hip2= (Cat. Op.)2 + (Cat. Ady.)2
Reemplazando por los valores de la gráfica : 22 = (Cat. Op.)2 + 12
Despejando
(Cat. Op.)2 = 4 – 1 = 3
Cat. Op. = √3 = 1,732
Entonces: sen 60º= Cat. Op = 1.732 = 0,866
Hip.
2
cos 60º = Cat. Ady. = 1 = 0,5
Hip.
2
En la circunferencia de radio 2 tenemos: sen 60º = 0,866
cos 60º = 0,5
Conclusión: Los valores de sen y cos de un ángulo son independientes del valor del radio de la circunferencia
utilizada para calcularlos.
7) Sabiendo que sen α = 0,86 ; calcula las demás razones trigonométricas directas e indirectas (cos, tg, cosec,
sec y cotg)
Utilizamos la relación trigonométrica fundamental : sen2 α + cos2 α = 1
cos α = √ 1- sen2 α = 0,51
tg α = sen α = 1,68
cotg α = cos α = 1
58
= 0,59
cos α
sen α tg α
cosec α = 1 = 1,16
sen α
sec α = 1 = 1,96
cos α
8) Sabiendo que tg α = -1/√3 ; y que α está en el 2º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas.
tg α = -1
√3
= - 0,5773
arc tg -0,5773 = 150º
sen 150º= 0,5
cos 150º= -0,866
sec 150º= -1,15
cotg 15º= -1,73
cosec 150º= 2
9) Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β
50 cm
30 cm
40 cm
sen α = 40 cm = 0,8
50 cm
cos α = 30 cm = 0,6
50 cm
tg α = 40 cm = 1,33
30 cm
sen ß= 30 cm = 0,6
50 cm
cos ß = 40 cm = 0,8
50 cm
tg ß = 30 cm = 0,75
40 cm
10) Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
f)
g)
h)
i)
135º
560º
360º
45º
sen
cos
tg
cotg
cosec
sec
135º
0,707
-0,707
-1
-1
1,414
-1,414
560º
-0,342
-0,939
0,363
2,754
-2,923
-1,065
360º
0
1
0
∞
∞
1
11) Comprobar las siguientes identidades:
59
45º
0,707
0,707
1
1
1,414
1,414
g) tg α + cotg α = sec α . cosec α
sen α + cos α = __1_ . __1__
cos α sen α cos α sen α
sen2α + cos2α = ____1_____
cos α . sen α cos α . sen α
sen2α + cos2α = 1
h) 1/sec2 α = sen2 α . cos2 α + cos4 α
cos2 α = cos2 α (sen2 α + cos2 α)
cos2 α = cos2 α . 1
cos2 α = cos2 α
i) cotg2 α = cos2 α + (cotg α . cos α)2
_ 1__ = cos2 α + ( _1__. cos α)2
tg2 α
tg α
_ 1__ = cos2 α + cos2 α
tg2 α
tg2 α
2
_ 1__ = cos α ( 1 + ___1_ ) No se cumple la igualdad
tg2 α
tg2 α
j) cotg α . sec α = cosec α
1 _ . __1__ = __1__
tg α cos α
sen α
cos α . __1__ = __1__
sen α cos α sen α
__1__ = __1__
sen α sen α
k) sec2 α + cosec2 α = 1/ sen2 α . cos2 α
__1___ + __1____ = _____1________
cos2 α
sen2 α
sen2 α . cos2 α
2
2
sen α + cos α_ = _____1_______
cos2 α . sen2 α
sen2 α . cos2 α
sen2 α + cos2 α = 1
l) (2 sen α + 3) / (2 tg α . 3 sec α) = cos α
(2 sen α + 3)___ = cos α
2 sen α . __1___
cos α 3 cos α
(2 sen α + 3). cos2 α = 3 cos α sen α
2
2 sen α . cos2 α + 3 cos2 α = 3 cos α sen α
2
No se cumple la igualdad
12) Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
60
tg 30º = ___y___ → y = tg 30º . 10 m = 0,577 . 10 m = 5,77 m
10 m
y = 5,77 m
13) Calcula x e y:
tg 30º = ____y____ →
x + 40 m
tg 47º = y
→
x
y = tg 30º . (x + 40 m)
1
y = tg 47º . x
2
De 1 y 2 :
tg 30º . (x + 40 m) = tg 47º . x
x . tg 30º + 40 m . tg 30º = x . tg 47º
x . tg 47º - x . tg 30º = 40 m . tg 30º
x . (tg 47º - tg 30º) = 40 m . tg 30º
x = 40 m . tg 30º = 46,65 m
(tg 47º - tg 30º)
y = tg 47º . x = 1,07236 . 46,65 m = 50,03 m
x = 46,65 m
y = 50,03 m
14) Calcula x e y
61
x = 115,47
y = 57,73
15) Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m).
y = 7,75
16) Calcula el valor de los lados x e y.
x = 2,64 m
y = 1,96 m
17) Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas, una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre
sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.
62
h = 79,88
18) Calcular las relaciones trigonométricas (sen, cos, tg) de los ángulos que se mencionan, sin usar calculadora y
apoyándose en el Teorema de Pitágoras. A modo de ejemplo se calculan dos relaciones. Completar la tabla. En
caso de ser necesario, racionalice.
Ejemplo:
Se toma un triángulo isósceles y se traza la altura “y”, con lo que quedan determinados dos triángulos
rectángulos. Aplicando el Teorema de Pitágoras calculo el cos 60º:
cos 60º= r/2 = ½
r
(cateto adyacente sobre hipotenusa)
sen 60º = r/2 = ½
r
(cateto opuesto sobre hipotenusa)
cos 30º = y
r
y= √r2-r2/4 = √3r2/4 = r.√3
2
cos 30º = r.√3 = √3
2.r
2
ángulo
sen
cos 
tg
30º
½
√3
2
√3
3
45º
√2
2
√2
2
1
60º
√3
2
½
√3
63
90º
1
0
∞
√3
2
-½
-√3
120º
135º
√2
2
-√2
2
-1
150º
½
-√3
2
-√3
3
180º
0
-1
0
210º
-½
-√3
2
√3
3
225º
-√2
2
-√2
2
1
240º
-√3
2
-½
√3
270º
-1
0
-∞
300º
-½
√3
2
-√3
3
315º
-√2
2
√2
2
-1
330º
-√3
2
½
-√3
360º
0
1
0
64
GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 5
1)
V,F,V,V,F
2)
Gráfico
D(f)
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR
I(f)
C(+)
C(-)



IR
IR
IR
IR
IR
IR
IR

IR
IR
IR
IR
IR







IR


Intervalo de
crecimiento






IR(crece)
IR
IR
IR

IR(crece)

Intervalo de
decrecimiento
IR(decrecen)
IR
IR
IR
IR
IR




IR(decrece)

IR(decrece)
3) a)
,pues cada mes aumenta 1,5% entonces obtiene 100%+1,5%=101,5%.
Quedando
.
b) Sabemos que disminuye el 3% diario, entonces cada día queda 97% de la sustancia de lo que había el día
anterior. En consecuencia la masa se debe multiplicar por 0,97.Para calcular la masa inicial nos dan datos: 10
días después la masa es de 150g.Entonces:
Luego:
4)
y=
+
+5
5) La fórmula es
, entonces nuestro primer punto es (0,5)
Ahora hay que averiguar , para ello usamos el segundo punto
65
Para los puntos (1,-8) y (-2,-1) la fórmula es:
(0,2) y (-3,1/4) la fórmula es
(-2,8) y (1,1)
la fórmula es
6)
7)
Propiedad de la potenciación
Aplicamos a ambos miembros propiedad de los logaritmos
Pasaje de términos
Luego, verificamos:
Luego, se cumple la igualdad para x 
11
7
Rta:
Rta:
Rta:
8)
Rta:
Rta:
Definimos que:
Resolvemos la ecuación de 2º grado
Luego,
tanto este valor no nos sirve.
No existen los logaritmos de números negativos, por lo
66
Entonces de (1)
Rta:
Rta:
9) a: 0, b: a, c:
y
10) V, f, v, v, f
11) a.
y=5
b.
y=2
c.
y=-7
d.
6
12)
y=-1
y=6,77
13)
x=11/3
x=1
x=-2
Por definición de logaritmo
Luego para x=0
no existen log de nº negativos
Entonces solo podemos usar x=5
x=42
14)
D(f)=(2, , I(x)=IR, asíntota vertical x=2
D(f)=(2, , I(x)=IR, asíntota vertical x=2
D(x)= (-1, ), I(x)=IR, asíntota vertical x=-1
15) Según la fórmula
16) a: 120000
b: 9800
67