MONOGRAFIA - ciencias empresariales

“AÑO DEL CENTENARIO DE MACCHU PICCHU PARA EL MUNDO”
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA DE ECONOMIA
INTEGRANTES:
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Calderón Ramírez, Rocío.
Carranza García, Ivonne.
Huamanchumo Bustamante, Milagros.
Olivera Vitella, Evelyn.
Pacherres Cajusol, Esteban Eduardo.
Tejada Ramírez, Erika.
Villa Deza, Eddy Pool.
DOCENTE:
Gonzales Piscoya, Amador Alejandro.
CURSO:
Matemática para Economistas.
CICLO:
II
CHICLAYO-PERÚ
2011
DEDICATORIA:
CALCULO DIFERENCIAL
Este trabajo está dedicado a nuestro
profesor Amador Gonzales Piscoya,
quien nos ha guiado en nuestra primera
unidad, a través de sus enseñanzas y nos
ha ayudado a desarrollar y aprovechar
los talentos de cada uno de nosotros.
INTRODUCCIÓN:
2
CALCULO DIFERENCIAL
Este estudio está relacionado con él cálculo integral, que es fundamental en
nuestra carrera de Economía, en donde veremos técnicas que nos ayude a
encontrar los integrales indefinidas. También métodos de integración con ejemplos
de lo más simple a lo más complejo.
En primer lugar veremos que la integral es la operación contraria a la derivada,
antiderivación. Fórmulas básicas de integración. Técnicas de integración:
Sustitución, integración por partes, fracciones parciales, regla de la cadena.
En segundo lugar presentaremos el concepto de integral definida. Teorema
fundamental del cálculo y como último el uso de la integral para el cálculo de
volúmenes. Como ya hemos visto estos métodos sirven de ayuda en los negocios y
en la economía a ver y aplicar mejor nuestros conocimientos de manera precisa,
correcta y versátil.
Todo esto ya anunciado conforma lo que es el cálculo integral en la matemática
para economistas.
ÍNDICE:
3
CALCULO DIFERENCIAL
Integral indefinida.
5
Fórmulas básicas de integración
6
Métodos de integración
7
Sustitución o cambio de variable
7
Integración por partes
7
Fracciones parciales
8
Regla de la cadena
8
Integral definida
9
Propiedades de la integra definida
9
Áreas
10
Ejercicios propuestos
11
Ejercicios resueltos
12
Lincografía
15
4
CALCULO DIFERENCIAL
INTEGRALES INDEFINIDAS
Una función F(x) cuya derivada, en cierto intervalo del eje x, F(x) =f(x) es la
primitiva o integral indefinida de f(x). La integral indefinida de una función dada no
es única; así por ejemplo:
𝑥 2 , 𝑥 2 + 5, 𝑥 2 − 4
Son las primitivas o integrales indefinidas de f(x)= 2x, ya que:
𝑑 2
𝑑 2
𝑑 2
(𝑥 ) =
(𝑥 + 5) =
(𝑥 − 4) = 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Todas las primitivas de f(x)=2x están representadas por la expresión 𝑥 2 + 𝐶, en
la que C es una constante cualquiera y se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f(x) se representa por medio del
símbolo:
integral indefinida
∮ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶
Antiderivada de la f(x)
función Antiderivada
xn
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
sen 𝑥
−cos 𝑥
cos 𝑥
sen 𝑥
tan 𝑥
ln|sec 𝑥|
cot 𝑥
ln|sen 𝑥|
sec 𝑥
csc 𝑥
ln|sec 𝑥
+ tan 𝑥|
ln|csc 𝑥|
− cot 𝑥
𝑒𝑥
ex
1
x
ln|𝑥|
5
CALCULO DIFERENCIAL
FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
[𝑓(𝑥)]𝑛+1
∫[𝑓(𝑥)] 𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑛+1
𝑛
∫ sin[𝑓(𝑥)]𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 = − cos[𝑓(𝑥)] + 𝐶
∫ cos[𝑓(𝑥)]𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 = sen[𝑓(𝑥)] + 𝐶
∫ tan[𝑓(𝑥)]𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sin[𝑓(𝑥)]| + 𝐶
∫ sec[𝑓(𝑥)]𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sin[𝑓(𝑥)] + tan[𝑓(𝑥)]| + 𝐶
∫ csc[𝑓(𝑥)]𝑓¨(𝑥)𝑑𝑥 = ln|csc[𝑓(𝑥)] − cot[𝑓(𝑥)]| + 𝐶
∫ 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝐶
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CALCULO DIFERENCIAL
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
En este capítulo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos
permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de
funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos
típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten
llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
Estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en
reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las
de la tabla, o bien reducirla a una integral más sencilla.
CAMBIOS DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN
∫ 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝑔(𝑢) + 𝑘
El cambio de variable procede cuando en el integrando aparece una función u y
su derivada multiplicada por una constante.
Además que la integral de la variable u sea posible resolverla.
INTEGRACIÓN POR PARTES
Todos los métodos de integracion tienen por objeto transformar una integral
dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.
La integración por partes (IPP) consiste en descomponer una integral en una
suma una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida.
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. Sea
u y v funciones derivables de x. en estas condiciones:
u= f(x)
v=g(x)
∫ 𝑑(𝑢. 𝑣) = ∫ 𝑢. 𝑑. 𝑣 + ∫ 𝑣. 𝑑. 𝑢
d(u.v)=∫ 𝑢. 𝑑. 𝑣 + ∫ 𝑣. 𝑑. 𝑢
∫ 𝑢. 𝑑. 𝑣 = 𝑑(𝑢. 𝑣) − ∫ 𝑣. 𝑑. 𝑢
7
CALCULO DIFERENCIAL
¿Cómo se resuelve una integral por partes?
Este metodo consiste en identificar a u con una parte de la integral y dv con el
resto, con la pretencion de que al aplicar la fórmula, la integral del segundo
mienbro sea más sencillo de obtener que la primera.
Para empzar a resolver un ejercicio con este método debe hacer la identificación de
𝑑𝑣, ésta debe contener siempre a 𝑑𝑥.
FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales son aquellas que debieron generar a p(x)/q(x) al sumarse y
tienen la cualidad de que sus denominadores o son lineales o cuadrático
irreductibles. Así generalmente las fracciones simples resultantes se integran más
fácilmente usando las algunas fórmulas.
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
1
𝐴
𝐵
=
+
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 − 1 𝑥 + 2
1
𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
1 = 𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵𝑥 − 𝐵
0𝑥 + 1 = 𝑥(𝐴 + 𝐵) + (2𝐴 − 𝐵)
𝐴+𝐵 =0
2𝐴 + 𝐵 = 1
𝐴 = −𝐵
2(−𝐵) − 𝐵 = 1
−3𝐵 = 1
𝐵 = − 1⁄3 , 𝐴 = 1⁄3
REGLA DE LA CADENA
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable)
afirma que si f es diferenciable en x y g es una función diferenciable en f(x),
entonces la función compuesta es diferenciable en x.
𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑟(𝑥)))
𝑓¨(𝑥) = 𝑔 (ℎ(𝑟(𝑥))) ℎ¨(𝑟(𝑥))𝑟¨(𝑥)
8
CALCULO DIFERENCIAL
INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida de una función en un intervalo [a,b] es el número I que
satisface la siguiente condición 𝐼 =
lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑋𝑘 , para cualesquier
||𝑃||→0+
elección de números ck en las subdivisiones de la partición. El número I se
representa por y se lee “integral de f de x desde a hasta b”.
Cuando la selección de los ck de cada intervalo corresponde con el máximo en
el intervalo, se dice que se tiene una Suma superior de Riemann y se representa
por UP porque depende la parición. De igual forma, si la selección se hace sobre los
mínimos de cada subintervalo, se obtendrá una Suma inferior de Riemann, escrita
LP.
∫ Es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1.
El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites
de integración.
2.
Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
9
CALCULO DIFERENCIAL
3.
Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos
[a, c] y [c, b].
4.
La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales.
5.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
AREAS Y VOLÚMENES
Sea el intervalo [a,b] para el cual f(x) y g(x) son continuas y f(x)≥g(x), sea K
la región limitada por las rectas x = a, x = b, f(x) y g(x). Luego el área de K
es:
𝑏
∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑎
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CALCULO DIFERENCIAL
PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CÁLCULO INTEGRAL.
1.2.3.-
4.5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.14.-
15.16.1 7 . - Calcule el área entre f(x) = x3 y el eje x en el intervalo [–3,3].
18.- Calcule el área bajo la curva f(x) = ex, en [1,2].
19.- Encuentre el área de la región limitada por las curvas 4x2+y = 4 y x4–y = 1
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CALCULO DIFERENCIAL
20.- Sobre la parábola x = y2, se construye un sólido cuya sección es un
rectángulo con base sobre la parábola y su altura es igual la mitad de su ancho.
¿Cuál será el volumen del sólido? Si se limita por el plano x = 5.
21.- Un sólido se forma al hacer girar alrededor del eje y la hipérbola x = 2/y
limitada por las rectas y = 2 e y = 5. Calcula el volumen del sólido.
22.- Si la parábola f(x) = x2+1, se hace girar sobre el eje x, limitada por las
rectas x = – 1 y x = 1. ¿Cuál será el volumen del sólido?
23.- La región limitada por la recta y = x y la parábola y = x2. Se hace girar
sobre el eje x. ¿Cuál es el volumen limitado por el sólido?
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CALCULO DIFERENCIAL
PROBLEMAS RESUELTOS DEL CÁLCULO INTEGRAL.
1. ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
Sea:
𝑑𝑣= 𝑑𝑥
u= lnx
1
du= 𝑥 𝑑𝑥
v=x
Aplicando la fórmula:
1
∫ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥= x ln x-∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
= x ln x- x+c
2. ∫ 𝒙𝟑 𝒆− 𝒙 𝒅𝒙
u
dv
𝑢 = 𝑥3
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 – ∫
𝑣 = 𝑒− 𝑥
3𝑥 2 𝑒 −𝑥
–1
𝑑𝑥
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 + 3 ∫ 𝑥 2 . 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
U
dv
𝑢 = 𝑥2
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒− 𝑥
du = 2x dx
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 + 3[− 𝑥 2. . 𝑒 − 𝑥 − ∫ −2𝑥. 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥]
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 + 3[− 𝑥 2. . 𝑒 − 𝑥 + 2 ∫ 𝑥. 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥]
U
u=x
du = dx
dv
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒− 𝑥
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 + 3 {− 𝑥 2 . 𝑒 −𝑥 + 2 [− 𝑥. 𝑒 −𝑥 − ∫ − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥]}
− 𝑥 3 . 𝑒 −𝑥 + 3{− 𝑥 2 . 𝑒 −𝑥 + 2[− 𝑥. 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 ]} + 𝐶
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CALCULO DIFERENCIAL
− 𝑒 −𝑥 [𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 6] + C
3.
Calcular:
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 8)4
𝑓¨(𝑥) = 4((𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 8)3 (2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
BIBLIOGRAFÍA.
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CALCULO DIFERENCIAL
1. http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_ejercicios2.html
2. http://agonzales.bligoo.es/media/users/14/708310/files/95833/Cuaderni
llOo_de_C_lculo.pdf
3. http://www2.udec.cl/webmath/ej_resueltos_de_calculo_integral_int_por_pa
rtes.htm.
4. http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/gillian/definicion.htm
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