Tema 2: Vibraciones y Ondas

Cuestiones y problemas resueltos, Tema 2 : VIBRACIONES Y ONDAS
A) MAS
1
CL-J07 Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico
simple de amplitud A y frecuencia f
Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula
en función del tiempo .
Deduzca la expresión de la energía mecánica de la partícula.
Resolución:
La posición de la partícula que oscila realizando un MAS, en función del
tiempo, sabemos que viene dada por:
x  Asen  t  0   x  Asen 2ft  0 
, siendo 2o, la fase inicial.
A partir de la relación anterior es posible deducir las leyes horarias de la
velocidad y de la aceleración (esta última ley la obtendremos para relacionar
la constante elástica, K, con los datos del ejercicio):
x  Asen  t  0   Asen 2ft  0 
dx d Asen 2ft  0  

 A2f cos 2ft  0 
dt
dt
d2x
2
2
a  2  A 2f  sen 2ft  0    2f  x 
dt
kx
2

 k  2f  m
m
v
Ya se puede responder a las preguntas:
1
1
2
2
mv2  m  A2f  cos2 2f  0   2m  Af  cos2 2f  0 
2
2
1
1
2
2
Ep  kx2  m 2f  A2sen2 2f  0   2m  Af  sen2 2f  0 
2
2
Ec 
EM  Ec  Ep  2m  Af 
2
Pues al sumar se puede sacar factor común 2m(ABf)2 que multiplica a un
seno al cuadrado más un coseno al cuadrado del mismo ángulo, el valor de
dicha suma es la unidad.
Observa cómo la energía total es directamente proporcional a la masa que
oscila y a los CUADRADOS de la amplitud y de la frecuencia de oscilación.
Ejercicios ondas/1
2
CL-J03 Una partícula inicia un movimiento
armónico simple en el extremo de su
trayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centro
de la misma. Si la distancia entre ambas
posiciones es de 20 cm, calcule: a) El
periodo del movimiento y la pulsación.
b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento.
Resolución:
a) Considera el gráfico adjunto en el que se muestra la posición inicial de la
partícula, el centro de la oscilación y el recorrido. Como el período es el
tiempo trascurrido entre el paso de la partícula por el mismo punto dos veces
consecutivas con el mismo sentido del movimiento, de A al centro, 0,1 s
corresponde a la cuarta parte del período, con lo que T=0,4 s
Para la pulsación, T, como se tiene:

b) 1 segundo es igual a:
2
2

 5 s-1
T
0, 4s
1s
 2,5 períodos
0, 4s
..o, lo que es lo mismo; 2 períodos más medio período. Tras dos períodos la
partícula vuelve a estar en la posición de partida y tras medio período más
se encontrará en el extremo opuesto, en B.
3
CL-J06 De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgan
sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de
longitud que el otro ¿El cuerpo vibrará con a misma frecuencia? Razone su
respuesta.
Resolución:
A partir de la ley de Hooke: F=-kx, donde F es la fuerza recuperadora del
cuerpo elástico, k la constante elástica, específica de cada cuerpo, y x es la
deformación del cuerpo, se tiene:
F=-kx=ma (2ª ley de Newton)  a=-
k
x
m
Por otra parte el estudio cinemático de un MAS llega a la siguiente relación:
a  2x
, donde T es la frecuencia angular o pulsación, relacionada con la frecuencia
de oscilación (L) por: T2BL
Si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se tiene en cuenta la relación
entre la frecuencia angular y la de oscilación, resulta:

Ejercicios ondas/2
1 k
2 m
Como se ve, dicha frecuencia depende sólo de la constante elástica y de la
masa del cuerpo que oscila conectado al elástico (que se supone sin masa).
Como no depende de la longitud, se llega a la conclusión de que en ambos
casos oscilan con la misma frecuencia.
4
A un muelle de constante elástica K le colocamos una masa m0. Al estirarlo
un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsación T0,
teniendo una energía cinética máxima E0 y una velocidad máxima v0. Si al
mismo muelle en lugar de m0 le colocamos una mas 4m0 y lo estiramos el
mismo valor
En función de T0, E0 y v0 determinar:
a) La nueva frecuencia angular.
b) La nueva energía cinética máxima.
c) La nueva velocidad máxima
Resolución:
a) La frecuencia angular, en función de las características de la particula
oscilante, viene dada por:

k
m
En este caso y ateniéndose a los datos, se tiene:
´

k
1 k

 0
4m 0 2 m 0
2

0
La nueva frecuencia angular resulta ser la mitad de la inicial.
b) La energía cinética máxima, que es igual a la energía potencial máxima por
ser constante la suma de ambas y ser nulo el valor mínimo de cualquiera de
ellas, se puede expresar, en consecuencia, así:
E0  EpMAX 
1 2
kA
2
Evidentemente, la constante elástica, no varía (depende de la naturaleza del
muelle y este no ha cambiado). Como la amplitud de oscilación es la mima,
se deduce que la nueva energía cinética máxima es la misma cuando oscila
la nueva masa.
c) Se puede obtener la nueva velocidad máxima relacionándola con los
apartados anteriores:
E0 
1 2
kA

k
2
 v´0  A
 A´ A 0
1 ´2
m
2

mv0
´
2
La velocidad máxima se ha reducido a la mitad.
Este último apartado se puede resolver también razonando del modo que
sigue:
Como la masa se ha cuadruplicado, la velocidad máxima ha debido reducirse
a la mitad pues:
Ejercicios ondas/3
E0 
5
v0
1
1
´
m0 v20  4m0 v´2
0  v0 
2
2
2
CL-S08 Una partícula de 0,1 kg de masa, se mueve con un movimiento
armónico simple y realiza un desplazamiento máximo de 0,12 m. La partícula
se mueve desde su máximo positivo
hasta un máximo negativo en 2,25 s. El
movimiento empieza cuando el
desplazamiento es x=+0,12 m
a) Calcule el tiempo necesario para que la
partícula llegue a x=-0,06 m
b) ¿Cuál será la energía mecánica de dicha partícula?
Resolución
a) Hay que obtener la ecuación del MAS que describe la partícula para poder
calcular el tiempo pedido. La ecuación general del MAS es, como se sabe:
x(t)  Asen  t  0 
, siendo A, la amplitud de oscilación, 0,12 m en este caso. No conocemos
la frecuencia angular o pulsación ω, pero se puede obtener a partir del
período de oscilación ya que:

2
2
4


rad / s
T
4,5s
9
, pues, como el tiempo que tarda en desplazarse la partícula de un extremo
de oscilación al otro es, por definición, el semiperíodo, que es dato, 2,25 s.
El período es, obviamente el doble, es decir; 4,5 s.
La fase inicial , 20, se determina teniendo en cuenta que para t=0s
x=+0,12 m:


0,12 m=0,12 m  sen  
t  0   1=sen0 
 0


 0  arc sen 1=
2
Con lo que la ecuación del MAS adopta la forma:

 4
x(t)=0,12sen 
t   (SI)
2
 9
Se quiere que x sea -0,06 m. Si se sustituye este valor en la ecuación
anterior, resulta:



 4
 1
-0,06=0,12sen 
t   (SI)  = arc sen    
2
 9
 2
7
6
11
6
Correspondiendo el primer ángulo al tercer cuadrante y el segundo al cuarto.
Ejercicios ondas/4
Nota que no se ha tomado en cuenta las soluciones anteriores más un nº
entero de vueltas porque estamos interesados en hallar la PRIMERA vez que
el móvil pasa por ese punto pues pasa infinitas veces.
Si en la última igualdad se sustituye 2 por su valor, resulta:

4
t 
9
2
7
3
t s
6
2
11
 t  3s
6
Siendo 3/2 s la solución, pues la otra solución corresponde al paso por el
punto x=-0,06 s moviéndose a derecha, como es fácilmente comprobable.
Gráficamente:
6
CL-J08 Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle horizontal
de constante elástica k=15 N/m. Se desplaza 2 cm respecto a la posición de
equilibrio y se libera, con lo que comienza a moverse con un movimiento
armónico simple.
a) ¿A qué distancia de la posición de equilibrio las energías cinética y
potencial son iguales?
b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará el
cuerpo
Resolución:
a) Evidentemente, el apartado se resuelve igualando
la energía cinética (en función de la posición) a la energía potencial elástica,
teniendo en cuenta el valor de la amplitud (2 cm):
1
k A2  x2
2






Ec , en función de la
distancia, x, al punto de equilibrio
1 2
2
kx  x=  A
  2cm
2
2

Ep
Luego existen dos puntos, a derecha (+) y a izquierda (-) de la posición de
equilibrio, en los que ambas energías son iguales.
b) La velocidad en función de la posición viene dada por:
v
k
A2  x2
m
Con el signo + indicando movimiento a derecha y a izquierda el signo -.
Prescindiendo del signo, es decir; del sentido del movimiento, , la velocidad
será máxima cuando x2 sea mínimo, pues el resto se mantiene constante.
Evidentemente, el valor mínimo de x2 es cero, con lo que resulta:
vmax 
k
A2 
m
k
15N / m
 2.102 m  0,077m / s
A
m
1kg
Ejercicios ondas/5
7
CL-J05 Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de período
T y amplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcule el
cociente entre sus energías cinética y potencial:
a) en los instantes de tiempo t=T/12, t=T/8 y t=T/6
b) cuando su elongación es x=A/4, x=A/2 y x=A
Resolución:
a) Como tantas veces sucede en ejercicios de un MAS, lo primero a destacar,
como se va a ver, es la ambigüedad del enunciado. Se enuncia que para t=0
x=0, pero, ¿moviéndose a derecha o a izquierda?. Nada se dice al respecto.
Hagamos el estudio a partir de la ecuación horaria de la elongación:
k/m

 condiciones iniciales:
0
x=0, t=0










x  Asen 
t
0
sen
0
0
0


 2 / T



siendo el significado físico de ambas soluciones:


 dx 
 A cos   t  0   A cos 0 
v(t 0)  

 dt (t 0)
 0

 A 
cos 0  A (>0, a dcha)
cos   A (<0, a izda)
Se va a suponer que para t=0 el móvil se encuentra en el origen moviéndose
a derecha, es decir; que 20=0. Resulta:
 A
2 T

 Asen 
T 12
6 2
 A 2
2 T
  Asen 
Asen
T 8
4
2
 A 3
2 T
  Asen 
Asen
T 6
6
2
Asen
x  Asent 
... y para las respectivas relaciones Ec/Ep, se tiene:
2
 A 

 1 3
A 
 2
1 2
2
kA
Ec ET  EP ET
A
2


1
1   1
1 2
Ep
EP
EP
X
kx
2
Ejercicios ondas/6
2

 A
A 2


2


 1 1



 A
A 3


2

1

 1 3


2
El caso b) es más sencillo de tratar por cuanto da directamente la relación
entre la elongación y la amplitud. Las tres últimas relaciones anteriores
toman ahora los siguientes valores:
2
1 2
2
kA
Ec ET  EP ET
A
2


1
1   1
1 2
Ep
EP
EP
X
kx
2
 A 

  1  15
A 
 4
2
 A 

 1 3
A 
 2
2
A
  1 0
A
Observa cómo en el último caso (x=A) al estar la partícula en el extremo de
la oscilación su velocidad es nula por lo que también lo es el cociente Ec/Ep.
8
CL-S04 Una partícula describe un movimiento armónico simple de 20 cm de
amplitud. Si alcanza una velocidad máxima de 5 ms-1 en el instante inicial,
a) ¿Cuál será la aceleración máxima de la partícula?
b) ¿Cuales serán la posición, velocidad y la aceleración de la partícula en el
instante t= 1s?
Resolución:
Se sabe que, cuando un móvil realiza un MAS la
velocidad es máxima en el centro de la oscilación
(y nula en los extremos, en los que invierte el
sentido). El enunciado es ambiguo pues en él se
dice que alcanza la velocidad máxima en el instante inicial (para t=0) pero
nada dice acerca del SENTIDO. Por ello vamos a suponer que para t=0
alcanza la velocidad máxima con sentido el creciente del eje X. (ver figura)
Las ecuaciones de este movimiento con los significados ya sabidos, son:
fase


inicial 



x
Asen
t




0 









dx
x2
2
 A cos  t  0   A 1  sen  t  0   A 1  2   A2  x2
v 
dt
A

dv

2
2
a  dt  A sen  t  0    x



a) A partir de los datos, como v es máxima en el instante inicial ( y hemos
supuesto movimiento a dcha) :
v MAX  valor máximo de A cos  t  0    A ...y tomamos el signo +
(movimiento en sentido creciente eje X)
Se tiene:
Ejercicios ondas/7
vmax  5m / s  A
   25rad/ s a   2x  amax  2A  125ms2

1
A  2  10 m
b) Determinemos la fase inicial a partir de la ecuación de la velocidad (que es
la magnitud de la que se tiene datos), en función del tiempo que es, como se
ha escrito:
v  A cos  t  0 
Como para t=0 dicha velocidad es máxima y hemos supuesto que es
positiva, resulta:
v  A cos  t  0  ;vmax(t 0)  cos 0  1  0 
0 (v>0)
 (v<0)
...ahora ya se pueden calcular la posición, velocidad y aceleración para t= 1s:
x(t 1s)  2.101sen 25rad  0,0265m

1
v(t 1s)  A cos  t   2.10 .25cos 25rad  4,96 m/s

2
2
1
2
a(t 1s)   x  25 .2.10 sen 25rad  16,54m / s
9
CL-S05 Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de k=5 N/m con un
movimiento armónico simple de amplitud 10-2 m.
a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcule qué fracción de la
energía mecánica es cinética y qué fracción es potencial.
b) ¿Cuánto vale la elongación de un punto en el cual la mitad de la energía
mecánica es cinética y la mitad es potencial?
Resolución:
a) Cuando una partícula oscila describiendo un MAS , cuando se encuentra
en los puntos extremos de la oscilación (x=±A) TODA su energía mecánica
es potencial por cuanto la cinética es nula. Teniendo esto en cuenta, resulta:
Ec  E M  Ep 
1 2 1 2 1
xA
2

kA  kx  k A2  x2 
2  2
2



EM EpMAX
A 

4


1  2
2
kA  x 
2 


 3 E
Ec

  ; p  Em  Ec  1  Ec  1  3  1


1 2
Em
4 Em
Em
Em
4 4
kA
2
2
Es decir; en ese punto los 3/4 de su energía mecánica es energía cinética y
el cuarto restante, potencial ( o 75% y 25%, si se prefiere)
b) Este apartado es opuesto al anterior: se conocen las fracciones de la
energía (tanta cinética como potencial) y se pide en qué punto(s) sucede:
Ejercicios ondas/8
1
1
k A2  x2  kx2  A2  2x2 
2
2
2
2
 x  A
 102
m
2
2
Ec  Ep 
10


CL-J05 Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba
la ecuación de dicho movimiento en unidades del S.I. en los siguientes casos:
a) su aceleración máxima es igual a 5B2 cm/s2, el período de las oscilaciones
es de 2 s y la elongación del punto al iniciarse el movimiento era 2,5 cm.
b) su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es 2,4 cm y la velocidad es
2 cm/s cuando su elongación es 2,8 cm. La elongación al iniciarse el
movimiento era nula.
Resolución:
a) Del estudio teórico del MAS se sabe:
a  2x

k 


m 
 

2 
T

Por un lado se conoce el período, con lo que resulta inmediato el cálculo de
la pulsación. Además, como se da el valor MÁXIMO de la aceleración y este
se alcanza (en valor absoluto) para x=A, resulta:
2
 2s     rad/ s

a  2x  amáxima  2xmáxima  2A  52cm / s2  A  5 cm
T
Para determinar la fase inicial se parte de la ecuación horaria de la elongación:
0,05m
0,05m




  rad/s

  rad/s

x  A sen   t  0   x(t 0)  A sen   0  0   0.025 








1
 sen0   0 
2


movimiento INICIAL (t=0) a derecha

  
..como se comprueba en la
6 

ley de la velocidad que da positiva
para ese valor


... con lo que si se


movimiento INICIAL (t=0) a izquierda
5  

..como se comprueba en la
6 

ley de la velocidad que da negativa
para ese valor


supone que inicialmente el objeto se mueve a derecha, resulta para la
elongación:

x  5.102 sen t  
6
 SI = 5.10
2


sen  t  1 SI
6
b) En este caso, como da la velocidad en función de la elongación, es
necesario relacionar ambas magnitudes. A partir de la conservación de la
energía mecánica para la partícula que describe el MAS, resulta:
Ejercicios ondas/9
Epotencial
elástica
Ecinética

 
1
1
mv2  kx2 
2
2
Epotencial
elástica MÁXIMA
o energía total

1 2
kA
2
v
k
 A2  x2 
m


k


m
A
2
 x2   
A
2
 x2 
... y sustituyendo datos:
A
2
v
(datos)
 x2  

2
3cm / s   A2  2,4cm 


2
2cm / s   A2  2,8cm 


resolviendo
el sistema


A  9,504cm2  3,083cm

2cm/ s
 1,55 rad/ s
9,504cm2  2,8cm2 


Obtengamos la fase inicial a partir de las condiciones iniciales (que, como casi
siempre, resultan ambiguas):

A

0,03083m
x
 1,55rad/s

sen   t  0   x(t 0) 




 sen0  0  0 

A
0,003083m
 1,55rad/s

sen   0  0   0 






movimiento INICIAL (t=0) a derecha


0 
..como se comprueba en la


ley de la velocidad que da positiva
para ese valor




movimiento INICIAL (t=0) a izquierda

 

..como se comprueba en la


ley de la velocidad que da negativa
para ese valor


Si, para emplear la expresión más sencilla, suponemos que inicialmente se
mueve a derecha, se tiene:
x  3,083.102 sen 1,55t  SI
11
M-J03 Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35
N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de
4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio,
calcule:
a) La fuerza ejercida sobre el bloque.
b) La aceleración del bloque.
c) La energía potencial elástica del sistema.
d) La velocidad del bloque.
Resolución:
a) La fuerza recuperadora es (ley de Hooke) :F=-kx, donde el signo menos
indica que dicha fuerza se OPONE al sentido en el que varía la longitud del
muelle. Si se sustituye en dicha igualdad, se obtiene:
F  35
Ejercicios ondas/10
N
 0,01m  0,35N
m
b) A partir de la 2ª Ley de Newton:
F  0,35N  ma  a 
0,35N
 7ms2
0,05kg
,donde el signo menos de la aceleración tiene la misma interpretación que el
de la fuerza.
c) El cálculo es inmediato a partir de la expresión de la energía potencial
elástica:
Ep 
1
1
N
kx2  0,35  102
2
2
m


2
m2  1,75  105 J
d) Interesa la ecuación que relaciona la velocidad con la posición del objeto:

v 
k
A2  x2 
m


0,35N
kg 42  12 104 m2 
0,05


 105102 ms1  0,102m / s
12
AR-S06 Una partícula de masa m = 20 g.
oscila armónicamente en la forma x(t)= A
senTt. En la figura se representa la velocidad
de la partícula en función del tiempo.
a) Determina la frecuencia angular T y la
amplitud A de la oscilación.
b) Calcula la energía cinética y la potencial de
la masa m en función del tiempo. Justifica
cuanto vale la suma de ambas energías.
Resolución:
a) Como se representa la velocidad en función
del tiempo, obtengámosla a partir de los datos:
v(t) 
dx(t) d Asent 

 A cos t
dt
dt
Y vemos que se corresponde con el gráfico (función coseno). El valor máximo
de la velocidad, a partir de la función, es:
vMAX  A
Del gráfico se puede obtener que dicho valor máximo es 10 B m/s. Por otra
parte, del mismo gráfico se obtiene que el período es 0,4 s, con lo que se
puede plantear:
Ejercicios ondas/11
2

T    0,4s    5rad / s

A  10  A  10  10  2m

5

Calcular la energía cinética en función del tiempo es inmediato por cuanto se
tiene la masa y la velocidad. Para expresar la energía potencial elástica
necesitamos obtener primero el valor de la constante recuperadora

k
2 N
2
2
2
2
 k  m  0,02kg  5  rad / s 
m
2 m
2
A


 




1
1
rad
Ek  mv2  0,02kg  2m5
cos5t 

2
2
s


 2 cos2 5t J




2

1 2 1
2
g 2sen5t   2sen2 5t J
Ep  kx 

2
2 2
Si sumamos la energía cinética y potencial antes obtenidas, resulta:
Ek  2 cos2 5t J
 Ek+Ep=2 cos2 5t J  2sen2 5t J 

2
2
Ep   sen 5t J
1
 
 
2
2
2
  cos 5t +sen 5t  J =2J




Obteniéndose el consabido resultado: la suma de ambas energía es constante
e igual al valor máximo de cualquiera de ellas.
Ejercicios ondas/12
B) Sobre la ecuación de la onda
13
CL-J01¿ En qué consiste el movimiento ondulatorio? . ¿Qué expresa
físicamente la ecuación de propagación de una onda en una dimensión.?
Respuesta:
“la transmisión de una perturbación que se origina en un estado de equilibrio
y que se propaga con el tiempo a través del espacio sin transporte neto de
materia”
Representa el estado de la perturbación de los diferentes puntos del medio
(variable x) alcanzados por la onda en función del tiempo. Ya que la función
es doblemente periódica. Si se fija x, es decir se observa un punto dado, la
función describe la perturbación de ese punto con el transcurrir del tiempo,
mientras que si se fija t, la función describe la perturbación de los diferentes
puntos del medio cuando se describe en un instante determinado.
14
CL-J03 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan una onda:
velocidad de propagación, velocidad de vibración, amplitud, periodo y número
de ondas. Indique en cada caso cual es la unidad correspondiente en el
Sistema Internacional
Respuesta:
a) Velocidad de propagación es aquella con la que se propaga la perturbación,
con la que los diferentes puntos son alcanzados por la onda. (m/s). Dicha
velocidad es cte para cada onda
b) Velocidad de oscilación es la velocidad (variable)con la que vibran alrededor
de la posición de equilibrio los diferentes puntos del medio afectados por la
onda. (m/s)
c) La amplitud o máxima perturbación de los puntos . Depende de lo que se
represente por A. Puede ser una longitud (m) , una presión (Pa), un campo
eléctrico (N/C)...
d) Período o tiempo que tarda la onda en recorrer un espacio igual a la
longitud de onda. También, desde otro punto de vista, tiempo que tarda una
partícula alcanzada por la perturbación, en realizar una oscilación completa.
(s).
e) nº de ondas o cte de propagación. Matemáticamente es la cte que se
introduce para que el argumento de la función armónica sea adimensional.
Físicamente representa el nº de longitudes de ondas que caben en 2B ( de ahí
el nombre) (m-1)
15
CL-J09 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan un movimiento
ondulatorio: amplitud; frecuencia; longitud de onda; número de onda. Indique
en cada caso las unidades correspondientes en el S. I.
Resolución:
La amplitud (R0), se refiere al máximo valor que alcanza la perturbación que
se propaga en el medio. Si , por poner un ejemplo muy sencillo, se considera
el caso de una onda en una cuerda, la amplitud, que en este caso es una
longitud, es la distancia del máximo o mínimo de la cuerda respecto a la
horizontal (cuerda tensa sin oscilación).
La frecuencia (L) hace referencia al número de pulsos u oscilaciones
completas que en la unidad de tiempo (usualmente , el segundo) ejecuta el
Ejercicios ondas/13
foco ( y el resto de los puntos del medio, al transmitirse la perturbación)
La longitud de onda (8)es la distancia mínima entre dos puntos que se
encuentran oscilando de idéntica manera (mismo valor de la perturbación, y
misma velocidad de oscilación)
El número de onda (k=2B8), matemáticamente es una constaste que se
introduce en la ecuación de la onda para hacer que la fase sea un ángulo.
Físicamente representa el número de longitudes de onda que caben en 2B
Las unidades en el SI son: Amplitud: depende de la magnitud que oscile:
puede ser metros, (ondas en una cuerda), pascales (ondas sonoras), N/C
(componente eléctrica de una onda electromagnética), etc. Frecuencia: s-1,
Longitud de onda: m. Número de onda: m-1
16
CL-S08 Escriba la expresión matemática de una onda armónica
unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga
las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:
a) Frecuencia angular T y velocidad de propagación.
b) Período T y longitud de onda 8
Respuesta:
La ecuación general de una onda monodimensional es:
(x, t)  Asen  t  kx  0 
Donde en la izquierda se representa la magnitud que oscila, siendo A, la
amplitud de oscilación, T, la frecuencia angular o pulsación , k el nº de ondas
y 20 la fase inicial. El signo menos corresponde a propagación a derecha y el
más a izquierda. Como se tiene:
k
Resulta:

v



(x, t)  Asen  t  x  0 
v


Además, a partir de las relaciones:
2
T
2
k


, se obtiene finalmente:
2
 2

(x, t)  Asen 
t
x  0 

 T

Ejercicios ondas/14
17
CL-S03 Explique brevemente cómo se clasifican las ondas según:
a) el medio de propagación;
b) la relación entre la dirección de oscilación y la dirección de avance de la
onda.
Proponga encada caso un ejemplo.
Respuesta:
a) Si una onda, como el sonido, necesita un medio material para propagarse,
recibe el nombre de onda mecánica. Si puede propagarse en el vacío como las
ondas de radio, luz visible, infrarrojo..
recibe el nombre de onda
electromagnética.
b) Las ondas en las que lo que oscila lo hace en dirección perpendicular a la
de avance de la onda, como las ondas en una cuerda o las ondas que se
producen en la superficie del agua, reciben el nombre de transversales
mientras que si la dirección de oscilación es la misma que la de propagación,
como las ondas sonoras o las generadas al estirar o comprimir un muelle, el
nombre que recibe esta clase de ondas es el de longitudinales.
18
CL-S04 ¿Qué se entiende por onda longitudinal y por onda transversal?. Las
ondas sonoras, son longitudinales o transversales?. Explique las tres
cualidades del sonido: intensidad, tono y timbre.
Respuesta:
Ondas longitudinales. En estas ondas coincide la dirección de oscilación con
la de propagación. Una onda longitudinal es una sucesión de compresiones
y expansiones del medio. Como ejemplos de esta clase de ondas tenemos las
sonoras y las ondas sísmicas P
Ondas transversales. En esta clase de ondas la dirección de propagación es
perpendicular a la de vibración de las partículas. Las ondas en una cuerda y
las ondas sísmicas S son ejemplos de esta clase de ondas.
Ver teoría “cualidades del sonido” (tema 2) para el resto de la cuestión.
19
CL-S01 a) Defina el concepto de intensidad de una onda.
b) Demuestre que, si no existe absorción, la intensidad de una onda esférica
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.
Resolución:
a) La intensidad de una onda es, por definición (ver teoría):
“La energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficie
colocada perpendicularmente a la dirección de propagación en ese punto” .
En el SI se mide en Js-1.m-2 = W.m-2.
b) Para un frente de onda esférico , teniendo en cuenta el valor de la
superficie de una esfera de radio, R se tiene, según la definición: I = Pe/4BR2
, siendo R la distancia del foco al punto considerado. Luego, tal como se
afirma en el enunciado, la intensidad disminuye con el cuadrado de la
distancia.
20
CL-S06 Discuta razonadamente cómo varían, en un movimiento ondulatorio,
las siguientes magnitudes cuando aumentamos la frecuencia de la onda: a)
Período; b) Amplitud; c) Velocidad de propagación; d) Longitud de onda
Resolución:
a) Como el período es la inversa de la frecuencia, al aumentar ésta disminuye
Ejercicios ondas/15
aquel
b) La amplitud es independiente de la frecuencia por lo que no varía.
c) La velocidad de propagación depende de las características del medio en
el que se propaga y al no variar éste tampoco lo hace la velocidad.
d) La longitud de onda disminuye por cuanto su relación con la frecuencia es:

v

Como aumenta el denominador (frecuencia) manteniéndose constante el
numerador (velocidad), el cociente (longitud de onda) disminuye.
21
CL-J96 Una varilla sujeta por un extremo vibra con una frecuencia de 400 Hz
y una amplitud de 1 mm. La vibración se propaga por el aire a 340 m/s.
Hallar: a) La ecuación de ese movimiento ondulatorio armónico.
b)La elongación que tendrá un punto que diste del origen 85 cm al cabo de
2 segundos de comenzar la vibración.
Resolución:
Como veremos una y otra vez, cuando a partir de determinados datos se
pide la ecuación de la onda se opera SIEMPRE comparando con la ecuación
general de un onda que suele adoptar una de estas formas:
2

k=  (C)
fase  




(A) Y  Y0sen(kx   t)
2

con   =
 2  (D)

T

t

kx
)
(B) Y  Y0sen(



fase  
   vT (E)

Con los significados ya sabidos:
k= cte de propagación o nº de ondas (representa el nº de longitudes de onda
que caben en 2B, de ahí su nombre).
T=pulsación
8= longitud de onda o período espacial (distancia entre puntos consecutivos
que se encuentran oscilando del mismo modo)
T=Período (temporal): tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia
igual a la longitud de onda (también tiempo que tarda un punto alcanzado por
la perturbación en completar una oscilación)
v= velocidad de propagación de la onda (cte).
La diferencia entre (A) y (B) es que la segunda presenta un desfase de 180º
respecto de la primera (fases opuestas). Cuando la primera alcanza valores
máximos, la segunda los mínimos (gráficamente la 2ª es simétrica de la 1ª
respecto al eje x). Se ha empleado como función armónica el seno. Se pudo
haber tomado, igualmente, el coseno. Decir, finalmente que el signo + indica
propagación a dcha, con lo que el - indicará avance a izda.
a) Aplicando las relaciones anteriores, resulta:
 
v 340 17
2
2 40 1
m k
m
 2   800 s-1;  = vT = 


17
T
 400 20

 40

Y  10 3 sen
x  800 t (SI)
 17

Ejercicios ondas/16
Se ha supuesto avance a dcha de la onda
b) Se trata de reemplazar en la ecuación de la onda x por 0,85 m y t por 2 s:
 40π

Y(x 0,85m;t 2s)  103 sen 
0,85  800π2  = 10 3 sen 2π  800π2  
 17

0


 10 sen  1158π  10 sen  1158π  0
3
22
3
CL-J09 Un foco sonoro emite una onda armónica de amplitud 7 Pa y
frecuencia 220 Hz. La onda se propaga en la dirección negativa del eje X a
una velocidad de 340 m/s. Si en el instante t = 0 s, la presión en el foco es
nula, determine:
a) La ecuación de la onda sonora .
b) La presión en el instante t =3 s en un punto situado a 1,5 m del foco .
Resolución:
a) En este caso, la magnitud que varía es una presión, como corresponde a
una onda sonora. Teniendo en cuenta que se propaga en el sentido negativo
(decreciente) del eje X, la forma general que adopta la ecuación de la onda es:
P(x, t)  P0sen kx  t  0  (1)
De los datos del ejercicio, se obtiene:

P0  7 Pa

  2  440 rad / s

2 2  440rad / s 22 1
k 
m

 

vT v
340m / s
17


Por otra parte, como para t=0 s la presión, P, en el foco (x=0 m), es nula
, la fase inicial, 20 , según (1), sólo puede ser 0 o B rad. Como nada se
especifica al respecto, tomaremos, por simplicidad, el primero de los dos
valores. Teniendo en cuenta todo lo anterior, la ecuación de la onda sonora
viene dada por:
 22

P  x, t   7sen 
x  440t  (SI)
 17

b) Dando en la ecuación anterior, a x y t los valores del enunciado, se
obtiene:
660x2 



 22 3 
3

P x
m, t  3s  7sen
 440.3 =
2
 17 2



 22 3 
=7sen 
  1,29 Pa
 17 2 


El resultado, presión negativa, puede resultar sorprendente pero tiene la
interpretación que sigue:
Ejercicios ondas/17
Cuando se dice que la amplitud es de 7 Pa quiere decir que 7 Pa el máximo
de presión de lo onda sobre la presión ordinaria que existe en el medio en
ausencia de onda. Si se propaga en el aire (lo que sugiere la velocidad de 340
m/s), quiere decir que la presión máxima de la onda sonora es la Patm+7Pa
y la mínima, Patm -7Pa. El resultado obtenido indica, en consecuencia, que
la presión en ese punto para ese valor del tiempo es 1,29 Pa menos que la
presión atmosférica.
23
CL-J98 Una onda armónica en un hilo tiene una amplitud de 0,015 m, una
longitud de 2,4 m y una velocidad de 3,5 m/s. Determina:
a) El periodo, la frecuencia y el número de onda.
b) La función de onda, tomando como sentido positivo del eje X el sentido de
propagación de la onda.
Resolución:
a) La amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación son datos.
Aplicando las relaciones ya sabidas, resulta:
T
 2,4 24
35
2
2
5 1


s    T 1 
Hz; k=


m
24

2,4
6
v 3,5 35
b) Para obtener la función de onda nos falta evaluar la pulsación T:
 
luego...
35
2
2


rads 1
24
12
T
35
5  m1
15103 m
Y
24
6

Y0 sen( k x 
35 
s1
..a 
dcha
12

5
35
3
 t)  Y  1510 sen(
x 
t) (SI)
6
12
CL-S97 Se genera una onda en una cuerda horizontal ,comunicándole a su
extremo 5 sacudidas verticales por segundo ,de amplitud 0,04m.Se observa
que un punto ,situado a 2m del extremo, comienza a oscilar a los 4 s después
del inicio de las sacudidas. Determine:
a) La longitud de onda y el período de las oscilaciones.
b) La elongación de un punto, distante 0,5 m del extremo, cuando éste se
encuentre en la posición de equilibrio.
Resolución:
a) Hay que observar que el dato de "5 sacudidas verticales” corresponde a
una frecuencia de 5 hercios, con lo que:
  vT 
1 1
v 12

 0,1 m ; T =   0,2 s
5

 5
b) Este apartado es un poco más complicado. Apliquemos la ecuación de la
onda al foco (x=0):
2
10  rads 1
T
0,04 m

Y  Y0 sen(
k
2
 20  m1

x


t);Y[Foco (x=0)]
(1)


 Y0sen(  t)  0  sen t  0
Es decir; ¿qué elongación tiene un punto de x=0,5 m cuando el foco tiene
elongación nula, o sea; cuando senTt=0? . Veámoslo, mediante desarrollo
Ejercicios ondas/18
matemático:
20  m1
Y(x  0,5)
0


 Y0sen(k0,5   t)  Y0 (sen
0,5 cos  t  cos k0,5sen t)  0
k
0
Al mismo resultado se pudo llegar razonando como sigue: El foco tiene en un
instante dado elongación nula. Como el punto cuya elongación me piden dista
de él 0,5 m que son 5 longitudes de onda, dicho punto estará repitiendo el
movimiento del foco..luego también será nula su elongación.
25
CLS03 Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8 m de longitud,
generándose una perturbación ondulatoria que tarda 3 s en llegar al otro
extremo. La longitud de onda mide 65 cm. Determine:
a) la frecuencia del movimiento ondulatorio.
b) la diferencia de fase (en grados sexagesimales) entre los dos extremos
libres de la cuerda.
Resolución.
a) A partir de la longitud de la cuerda y el tiempo que tarda la onda en
recorrerla, se calcula la velocidad de propagación o de fase:
v
l 8m 8

 ms1
t 3s 3
...y conociendo la velocidad de fase y la longitud de onda, es de cálculo
inmediato la frecuencia ( o su inversa, el período):
8
ms1
v
v
  vT      3
 4,1s1

 0.65m
b) Se puede calcular teniendo en cuenta que en 8 m caben 8/0,65 longitudes
de onda y que a cada una de ellas le corresponde una diferencia de fase de
360º, con lo que el desfasaje pedido resulta:
8
 360º  4430.77º
0,65
26
CL-J06 a) Escriba la ecuación de una onda que se propaga en una cuerda (en
sentido negativo del eje X) y que tiene las siguientes características: 0,5 m
de amplitud, 250 Hz de frecuencia, 200 m/s de velocidad de propagación y
la elongación inicial en el origen es nula. b) Determine la máxima velocidad
transversal de un punto de la cuerda
Resolución:
a) Ecuación general de una onda que se propaga a izquierda (sentido negativo
del eje X):
y(x, t)  Asen kx   t  0 
, siendo 20 la fase inicial, es decir; el valor de la fase correspondiente a la
oscilación del foco (x=0) en el instante inicial (t=0).Hay que calcular A,
(dato), k, T y 20. A partir de los datos, se obtiene:
Ejercicios ondas/19
2
 2  2 250Hz  500 rad/s
T
2 2 2 500 rad/s 5
k=
m1




vT
v
200 m/s
2

A  0,5m

, con lo que, al sustituir en la ecuación general de la onda, resulta:
 5

y(x, t)  0,5sen 
x  500 t  0 
 2

Hay que determinar 20. Para ello sabemos que el foco (x=0) en el instante
inicial (t=0) tiene una elongación nula (y=0). Al sustituir estas condiciones
en la ecuación anterior, se obtiene:
0  0,5sen 0   0 
0

En consecuencia, la ecuación de la onda es adopta la forma:
 5
0
y(x, t)  0,5sen 
x  500 t 


2


No se puede precisar más por cuanto el problema no especifica si en el
instante inicial el foco se está oscilado en sentido ascendente (v>0) o
descendente (v<0).
Volveremos sobre esta cuestión en el apartado b)
b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio se obtiene derivando
con respecto al tiempo, la elongación:
 500 
0 
 =
  
=
X
A
M
c
s
0
 

vo
t
x
 500 
r
o
l
a
v
 5
=250 cos 
 2
t
 5
dy d 
= 0,5 sen 
dt dt 
 2
x
voscilacion =
t
x
absoluto máximo 1



 5
0




=250
cos
500

  250 m/s +  , -  


2


e
t
C
Observa, en la expresión subrayada, cómo el foco (x=0), en el instante inicial
(t=0) tiene una velocidad positiva si 20=0 y negativa si su valor es B.
Evidentemente, el ejercicio se pudo realizar partiendo de una onda armónica
pero descrita por una función coseno en vez del seno que se ha empleado.
Ejercicios ondas/20
27
CL-S06 A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5
minutos en llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa.
a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escriba la
ecuación de la onda, en el sistema internacional de unidades, si la amplitud
de las olas es de 50 cm. Considere la fase inicial nula.
b) Si sobre el agua a una distancia de 300 m de la playa existe una boya, que
sube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquier instante
de tiempo. ¿Cuál es su velocidad máxima?
Resolución:
a) La frecuencia de las olas es: <= 15/60 Hz=1/4 Hz. La frecuencia angular
o pulsación T=2B/T=2B<=B/2 rad/s. Como tarda 5 min, es decir 300 s en
recorrer 600 m, se propaga con una velocidad de fase de 600/300 = 2 m/s.
Para hallar el nº de ondas , K, hay que obtener la longitud de onda de fácil
cálculo por cuanto se sabe tanto la velocidad de propagación como la
frecuencia:
1 1
s

2 2 2
4
 m1
k



v
v

4
2m s1

2
Al ser la amplitud 0,5 m y la fase inicial nula, resulta:
 
 x


y(x, t)  0,5sen  x  t   0,5sen   t  (SI)
2 
2 2
4

El doble signo ± corresponde a las dos posibilidades de avance de las olas
respecto al observador situado en la playa; a izquierda o a derecha.
b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio es, por definición:

 

d 0,5sen  x  t  
2 
dy

 x

4
vosc 
 
 0,5 cos   t  (SI) 
dt
dt
2
2 2

t


 vosc x 300m  0,5 cos   75   (SI)
2
2

, donde el signo mas corresponde a oscilación en sentido ascendente y el
menos a cuando se mueve en sentido descendente. El valor máximo de dicha
velocidad corresponde al valor máximo de la función coseno, (en valor
absoluto, 1), con lo que se obtiene:
 voscMAX  0,5

2
m/s (SI)


Ejercicios ondas/21
28
CL-J07 En las figuras se representa la variación de la posición, y, de un punto
de una cuerda vibrante en
función del tiempo y de su
distancia, x, al origen,
respectivamente.
a) Deduzca la ecuación de onda.
b) Determine la velocidad de
propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la cuerda
Resolución:
a) La ecuación general de una onda que se propaga a la derecha [como es el
caso, por los datos del gráfico y=f(x)], se sabe que es:
y(x, t)  Asen kx   t  0 
pudiendo, en este caso, adoptar la forma siguiente
y(x, t)  Asen kx   t 
En cualquiera de los dos gráficos puede observarse que la amplitud de la
oscilación es 0,2 cm. En el de la izquierda, además, que el período temporal,
T, es 8 s (período del MAS que describe la partícula y que corresponde al
tiempo mínimo necesario para que la partícula pase dos veces consecutivas
por el mismo punto con el mismo sentido del movimiento).
En el gráfico de la derecha se observa cómo el período espacial o longitud de
onda es 8= 4m pues esta representa la mínima distancia entre dos puntos
que se encuentran oscilado exactamente igual (misma elongación y sentido
del movimiento).
Ya podemos calcular los parámetros necesarios para expresar la ecuación de
la onda:


A  2.10 m


2 2  1 
t
3
k

 m
  y  2.10 sen  x   (SI)
4m 2
2
2


2 2 



 rad / s 
T
8s 4

 4m 1
  vT  v  
 m/ s
T 8s 2

b)
t 

d 2.103 sen  x   
2
2 
dy


t
vosc 
 
 2 .103 cos  x   (SI)
dt
dt
2
2
2
3
Ejercicios ondas/22
29
T
t t
x x
CL-J99 Cierta onda está descrita por la ecuación
R(x,t) = 0,02 sen(t - x/4)
(SI)
Determine:
a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación.
b) La distancia existente entre dos puntos consecutivos que vibran con una
diferencia de fase de 120º.
Resolución:
a) Si se compara la ecuación dada con la general de una onda se obtienen los
resultados siguientes:

2
1 -1 
=1 rads-1 
 2   
s 

( , )  0,02 sen(1t-x/4)
2




( , )   0 sen(t-kx) 
  1 1  2    8 m




4

8
    
 4 ms-1
2
m
k
T
v
b) Este apartado se puede resolver de dos modos. El primero y más sencillo
acudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción o
regla de tres:

8
3
m
x
i
S
2 rad es el defasaje de dos puntos separados 8 m ()

2/3 rad (120º) sera el desfasaje de 2 puntos.. x m

Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Se
trata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, observar la separación entre
dos puntos desfasados 120º:
 1   t  kx1 
 2 3 8


m
     1   2  k(x2  x1)  x2  x1 
14
3
 2   t  kx2 
k
30
CL-S02 Una onda transversal se propaga según la ecuación:
y  4 sen 2  t/4    x /1,8 en unidades S.I.
Determine:
a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máxima
de un punto alcanzado por la onda.
b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1m
en la dirección de avance de la onda.
Resolución:
a) Si se compara la ecuación dada con la ecuación general de una onda que
se propaga ( a izda), resulta:
y  4 sen 2  t/4    x /1,8


y  A sen t  kx 
2 2

   1,8 m
 1,8m

1,8
v 
 0,45ms1
T
4s
2 2


T4 s
T
4
k
Ejercicios ondas/23
La velocidad de vibración o de oscilación de una partícula viene dada por:
vvib 


dy d 4 sen 2  t/4    x /1,8
2

4
 cos 2  t/4    x /1,8
dt
dt
4
y dicha velocidad será máxima cuando lo sea el coseno, es decir; cuando su
valor (absoluto) sea 1, con lo que:
vMAX=±2B m/s
(no es difícil ver que el + representa velocidad máxima de oscilación en
sentido ascendente y el - en descendente)
b) Este apartado se puede resolver de dos modos. El primero y más sencillo
acudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción o
regla de tres:
Si 2 rad es el desfase de dos puntos separados 1, 8 m ()
2
10
rad 
rad
x
x rad será el desfase de 2 puntos separados 1 m
1,8
9

Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Se
trata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, de calcular la diferencia
angular entre dos puntos separados 1 m
1  t  kx1 
2
10
rad
 1m 
    1  2  k(x2  x1) 
2  t  kx2 
1,8m
9
31
CL-S09 Por una cuerda tensa situada sobre el eje x se transmite una onda con
una velocidad de 8 m/s. La ecuación de dicha onda viene dada por
y(x,t)=0,2sen(4Bt+kx)
a) Determine el valor de k y el sentido del movimiento de la onda. Calcule el
período y la longitud de onda y reescriba la ecuación de la onda en función de
estos parámetros.
b) Determine la posición, velocidad y aceleración de un punto de la cuerda
correspondiente a x=40 cm en el instante t=2s.
Resolución:
a) Como el signo entre el sumando espacial y el temporal de la fase es +, la
onda se propaga a izquierda.
Los cálculos para obtener el período y la longitud de onda son inmediatos. La
segunda forma de expresar la ecuación de la onda se hace atendiendo al
enunciado, que pide “en función de esos parámetros”
2
1

T s 
T
2

1

1
  vT  8ms  s  4m 
2

2 2  1

k

 m

4m 2


  4 
Ejercicios ondas/24
k 2
/  

 2/T

 
 
1
y
2.10
sen
4
t
x





2







y  2.101sen  2t  2x 
 1/ 2

4 

b) A partir de la ecuación de la posición se pueden obtener las de la
velocidad y aceleración. Seguidamente se particularizará con los valores que
se dan:
 



y  0,2sen  4 t  x   y(x 0,4m,t 2s)  0,2sen  8   
2 
5


 
 0,2sen    0,117m
5
vosc

 

d 0,2sen  4 t  x  
2 
dy
 



 
 0,2.4 cos  4 t  x  (SI) 
dt
dt
2 






 vosc x0,4m,t 2s  0,2.4 cos  4 .2  0,4   0,8 cos  8   
2
5



 
 0,8 cos    2,03m / s
5
a
dvosc
dt

 

d 0,2.4 cos  4 t  x  
2 
 
2


 
 0,2   4  sen  4 t  x  
dt
2 

   4  y  a x 0,4m,t 2s    4  y(x 0,4m,t 2s)    4   0,117 
2
2
2
 18,56m / s2
32
Una onda de 500 Hz tiene una velocidad de fase de 300 m/s y una amplitud
de 5 cm. Se propaga en el sentido positivo del eje X. Calcula: a) Ecuación de
propagación de la onda. b) ¿Cuál es la separación entre dos puntos que en el
mismo instante tienen una diferencia de fase de 60º?. c) ¿Cuál es la
diferencia de fase ente dos elongaciones del mismo punto separadas por un
intervalo de tiempo de 0,001 s?.
Resolución:
a) Los datos son la frecuencia, velocidad de fase (o de propagación) y
amplitud. Como la onda avanza a dcha, habrá que tomar el signo - en la
separación entre la parte espacial y temporal de la fase. Veamos los primeros
cálculos y resultados:
Ejercicios ondas/25


2 2 10


35
3

m
300 3

500 5
1
T
2


k

m
v
T
v


 2  1000 rads-1
 10

 3
t
)  5102
x
1
n
e
s


1000 
t

s
d
a
r
1
x
3
k
(
m
0
10 
n
e
s
Y


m
Y
5102






 1000  (SI)

b) y c) Se puede operar de dos modos, como en el apdo b) del ejercicio
anterior. El primero recurriendo al período y a la longitud de onda; el segundo,
basándonos en el concepto de fase:
Si 2 rad es el desfase de dos puntos separados 3 / 5 m ( )
1
 x m
 / 3 rad (60º ) sera el desfase de 2 puntos.. x m
10

Si 2 rad es el desfase de dos posiciones del mismo punto separados 0,002 s (T)
  x   rad
x rad sera el desfase de dos posiciones del mismo punto separados 0,001 s 
Veamos cómo se llega al mismo resultado a partir de fases:
 1  kx1   t 

 3

 0,1 m
     1   2  k(x1  x2 )  x1  x2 
 2  kx2   t 
k 10 / 3
0,001 s



 1  kx   t1 









(t
t

1
2
1
2 )  1000  0,001   rad
 2  kx   t 2 
Observa en este 2º procedimiento, cómo en el primer caso NO VARÍA t, pues
se observan dos puntos EN EL MISMO INSTANTE, mientras que en el
segundo, NO VARÍA la x al observarse dos posiciones de oscilación DEL
MISMO PUNTO con un intervalo de 0,001 s
33
y
y y
m
k
   20
s
m
v

m
y
La ecuación de una onda viene dada por: y = 5 sen (10Bt - Bx/2), donde x
e y se expresan en metros y t en segundos. Calcula: a) La amplitud, la
frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. b) La elongación y
la velocidad de un punto situado a 8 m del foco en el instante t = 2s. c) La
distancia mínima entre dos puntos en oposición de fase.
Resolución:
a) Esos datos se obtienen comparando la ecuación que se da con la forma
general:
 0 5

 5 sen (10t-x/2) (SI)
-1

    10 rads  2    5 Hz
 0 sen (t-kx)

 =vT=v  

1

2    4 m




2

1
b) No hay más que sustituir esos valores en la ecuación de la onda y de la
Ejercicios ondas/26
y
velocidad de oscilación de un punto alcanzado por la misma, respectivamente:
0


( 8 , t=2s)  5 sen (102-8/2)=5 sen 16=0
m
x
x
t
c
s
vo

x
t
dy d
= 5 sen (10 - /2)=50 cos (10 - /2) 
dt dt
1



=50
cos
(10
28/2)=
50 m/s



(x=8m, t=2s)
voscilacion =
El hecho de que la amplitud sea nula en ese punto e instante indica que se
haya en el origen de la oscilación que es en el que la velocidad es máxima,
como sabemos por el estudio del MAS, por lo que el resultado de la velocidad
de oscilación era de esperar: se trata de la máxima velocidad de oscilación.
Como ha dado positiva, la partícula está oscilando con máxima velocidad EN
SENTIDO ASCENDENTE.
c) Para poder realizar este apartado hay que recordar que estar en fase indica
una diferencia de fase de un nº par de veces B, mientras que “en oposición
de fase” indica un desfase igual a un nº impar de veces B. Como pide la
distancia MÍNIMA entre dos puntos en oposición de fase, el desfase entre
ellos será el nº impar MÍNIMO de veces B, es decir; 1vez B.
Ya se puede seguir a partir de la longitud de onda o de la idea de fase:
Si 2 rad es el desfase de dos puntos separados 4 m ()
  x  2m
 rad sera el desfase de 2 puntos separados x m 
 1  kx1   t 


2m
     1   2  k(x1  x2 )  x1  x2  
 2  kx2   t 
k  /2
Nota que la descripción del desfase entre los dos puntos se hace
simultáneamente (mismo t)
34
Una onda armónica de frecuencia 100 Hz y amplitud 0,5 m se propaga a
velocidad de 10 m/s en el sentido positivo del eje X . En el instante inicial la
elongación en el origen es de 0,5 m. Hallar: a) La ecuación de la onda. b) La
diferencia de fase entre dos puntos separados 0,2 m.
Resolución:
a) Este apartado es interesante porque, como vamos a ver, existe una fase
inicial NO NULA (usualmente, salvo que, como en este caso, no se diga
explícitamente, se supone fase inicial nula): ¿Motivo?. El enunciado dice que
en el instante inicial la elongación del foco es 0,5 m, es decir; para t=0 y
x=0, y=0,5. La ecuación general de la onda, adopta la forma:
fase
INICIAL

y  y0sen(kx   t   0 )

fase
Ejercicios ondas/27
A partir de los datos vamos a obtener el nº de onda o constante de
propagación y la pulsación, necesarios para formular la ecuación de la onda:
y0  0,5 m
v
10
1
2
2



vT



m

k


 20 m-1

-1
1
 100 10

v  10 ms 

10


  100 Hz 

2
-1
  T  2  200 rads
0,5m
20 m1
200 rads1
??


 y  y0 sen( k x 
 t  0 )
A continuación determinaremos la fase inicial sabiendo que para x=0 y t=0
la elongación, y vale 0,5 m:
x 
dy
d 
x 


y = sen 2 100t  voscilacion=

sen 2 100t 


20 
dt dt 
20  


la velocidad de oscilacion en ese punto
sera maxima cuando el coseno valga 1

10 

cos2 100t 20 

x 

 200 cos2 100t  voscilacion(x=10 cm,t)  200
20 

10 
10 


 1  2 100t  n n  N 
voscilacionMAX  cos2 100t 
20 
20 


0,005 s para n=0

n 1
s  0,01 s para n=1
t
200

....
y  5sen(20x  200t  0 );y(x0, t=0)  5  5  5sen0  sen0  1 



 0  arc sen 1= rad  y  5sen  20x  200t  
2
2

b) Ya hemos visto en ocasiones anteriores los dos modos de oprar con
diferencias de fase:
Si 2π rad es el desfase de dos puntos separados 0,1m (λ)
 Þ x=4π rad
x rad sera el desfase de 2 puntos separados 0,2 m 
 1  kx1   t 
    1   2 
 2  kx2   t 
Ejercicios ondas/28
0,2 m



 
k (x1  x2 )  4 rad
20  m 1
;
35
Dado un movimiento ondulatorio de ecuación: y = sen 2B(100t - x/20), donde
x e y se expresan en cm y t en s, calcula: a) Amplitud, período, frecuencia,
longitud de onda y velocidad de propagación. b) Distancia entre dos puntos
que estén en fase y en oposición de fase. c) ¿En qué instante alcanza su
velocidad máxima un punto que dista del foco 10 cm?.
Resolución:
a) La comparación entre la ecuación dada de la onda y la general nos permite
calcular los parámetros que se piden. Hay que observar que se da la ecuación
sacando factor común 2B en la fase, mientras que en la forma general, tal
como se ha expresado, no se ha hecho esto :
A  1 cm

x 


2

y = sen 2 100t  (SCGS)    200 
 T  102 s    100 Hz  
20 




T



y= A sen (t-kx)
2 2


k 

   20 cm


20

20

v 
 2000 cm/s
T 0,01
b) No hay más que recordar la definición de longitud de onda : dos puntos
desfasados 2B radianes están separados, por definición, la longitud de onda,
es decir; 20 cm. Si se encuentran en oposición de fase, o lo que es lo mismo,
desfasados B radianes la separación será la mitad de la anterior:10 cm.:
c) Debemos de tener cuidado con este apartado. Al ser un movimiento
ondulatorio periódico existirán infinidad de instantes en los que ese punto
alcance velocidad máxima . Además, debemos entender, creo, velocidad
máxima tanto el mayor valor positivo (sentido ascendente) como negativo
(descendente). En cualquier caso lo primero a obtener es la velocidad de
oscilación de una partícula alcanzada por la perturbación:
El primer tiempo obtenido,0,005 s es el que tarda la onda en desplazarse
desde el foco a ese punto pues la separación entre ambos puntos es de 10 cm
y la onda se propaga a 2000 cm/s por lo que el primer tiempo válido, con el
punto oscilando con máxima velocidad es 0,01s.
36
Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal, en el
sentido negativo del eje X, siendo 20 cm la distancia entre dos puntos que
están en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25 Hz y amplitud
de 3 cm. Halla: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La ecuación de
la onda, sabiendo que la elongación en el origen de coordenadas es nula en el
instante inicial. c) La velocidad y aceleración máximas de cualquier partícula
del resorte.
Resolución:
a) y b) Al desplazase a izda el signo entre la parte espacial y temporal de la
fase es +. Son datos, además, la longitud de onda o distancia MÍNIMA entre
dos puntos en fase (20 cm), frecuencia (25Hz) y amplitud (3 cm). La fase
inicial o valor angular para t y x nulos, puede parecer que es nula (8) por el
enunciado del problema, pero podría ser igualmente B(9):
Ejercicios ondas/29

se ha supuesto fase inicial

nula pera tb puede tomarse 



  2   50 rads 1  y  310  3 sen (10 x  50 t)

2
2
k

 10 


0,2
v
  vT   v     0,2  25  5m / s

A  310  3 m
c) Calcularemos las expresiones de la velocidad y de la aceleración de
oscilación y obtendremos su valores máximos haciendo ±1 el seno y/o cos
de la parte angular:
y  3103sen10x  50t 
1, para valor maximo de

la velocidad de oscilacion
A
 







dy d
3
3


v


310
sen
10

x

50

t

310
50

cos
10

x

50

t 



 oscilacion

dt dt 

A




 voscilacionMAX   3103 50  0,15m/s


1, para valor maximo de
2
la aceleracio de oscilacion
A



 

 


dvosc d
2
3
3
a













310
50
cos
10
x
50
t
50
310
sen
10
x
50
t 


  

 oscilacion
dt
dt 

2
A



 


2
 aoscilacionMAX   50 3103  7,52ms2

37
La ecuación de una onda armónica en una cuerda es: y(z,t) = 0,001 sen
(314t + 62,8z), escrita en el SI. Calcula: a) En qué sentido se mueve la onda
y con qué velocidad. b) 8, < y T. c) Ecuación de la velocidad y de la
aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentre en z = -3 cm.
Resolución:
a) y b) La onda se propaga en el sentido negativo(+en la ecuación) del eje Z.
Por comparación entre la ecuación general de una onda y la dada:

2
2
1
   314  T  T  314  0,02s    T  50Hz

y(z,t) = 10-3 sen(314t+62,8z)
2
2

  
 0,1m
  k  62,8 
62,8

y(z,t)=Asen( t+kz)



0,1

 v  T  0,02  5m / s

c) Apartado semejante al del ejercicio anterior:
Ejercicios ondas/30
y(z,t)  103 sen62,8z  314t 
dy d

3
3
voscilacion  dt  dt 10 sen62,8z  314t   10 314cos 62,8z  314t 

3
 voscilacion(z0,03)  10 314cos 62,8  (0,03)  314t  0,314cos 1,884  314t


98,596





dvosc d
2
3
3


aoscilacion  dt  dt 10 314cos 62,8z  314t     314 10 sen62,8z  314t 

 aoscilacion(z0,03)  98,596sen62,8  (0,03)  314t  98,596sen 1,884z  314t

38
Un foco puntual realiza un movimiento periódico, generando una onda de
ecuación: y = 5 cos 2B(t/8 + x/8) (SCGS). Si la longitud de onda es 250 cm,
calcula: a) velocidad de la onda. b) Diferencia de fase para dos posiciones de
la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es 1s. c) La
diferencia de fase en un instante dado de dos partículas separadas 200 cm.
d) Si la elongación de una determinada partícula en un instante determinado
es de 4 cm, ¿cuál será su desplazamiento 2 s más tarde?.
Resolución:
a) De la comparación entre la ecuación dada y la general de la onda...
2 2

x 
t


 T  8s

y  5cos2  
T
8
  
 8 250 


v    250  31,25 cm / s
y  A cos( t  kx)


T
8
b) Como siempre, dos modos de efectuar el cálculo: a partir del concepto de
período o de el de fase:
Si 2π rad es el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 8s(T)

x rad sera el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 1s 
π
 x= rad
4
2πt 1 2πx

+

2π t1+ 1 2πt 1 π
8
2,5
= rad
 =2 - 1 =
2π t1+1 2πx 
8
8
4
2 =
+
8
2,5 
1 =
c) Igual que en el caso anterior pero operando con el aspecto espacial:
Ejercicios ondas/31
Si 2π rad es el desfase de dos puntos separados 250 cm()

x rad sera el desfase de dos puntos separados 2m

8π
 x=
rad
5
2t 2x1


2  x1  2 2x1 8
8
2,5



rad
    2  1 
2,5
2,5
5
2t 2  x1  2 
2 


8
2,5
d) Se trata, únicamente, de un ejercicio de matemáticas, como se va a ver:
1 
x 
x 
t
 t
y = 5cos2  +
+
= 5 cos 

250 
125 
8
4



 
 t
x 
4
4=5 cos 
+
  5cos   cos  
125 
5
4





 

??

   t+2
 t
x 
x 2 



y=5 cos 
+
+
  5
  5cos     
4
125 
125 4 
2


4


0
1







 5  cos  cos  sen sen   5sen 
2
2



2

4 
 5   1  cos2   5    1      3 cm

 5  

No debe sorprender la doble respuesta. El anunciado, aunque no lo parezca,
es ambiguo. Para un determinado tiempo tiene una elongación de 4 cm ,
pero... ¿se encuentra ascendiendo o descendiendo?. La respuesta lo es a las
dos posibilidades.

39

Una cuerda tiene uno de sus extremos S unido a un vibrador animado de un
movimiento vertical sinusoidal de amplitud 1 cm y frecuencia 100 Hz. El otro
extremo está unido a un dispositivo que impide la reflexión de las ondas. Si
en el instante t=0 el extremo S está en su posición de equilibrio y
consideramos que su desplazamiento de subida se toma como positivo, da la
expresión de la elongación yS de S en función del tiempo. Si las vibraciones
se propagan con una velocidad de 30 m/s. Determina: a) longitud de onda. b)
La expresión de la elongación de un punto M situado a 45 cm del punto S.
Resolución:
a) El cálculo de la longitud de onda es inmediato puesto que se conoce la
velocidad de propagación de la onda y su frecuencia:
  vT 
Ejercicios ondas/32
v
30

 0,3 m
 100
b) Deduciremos simultáneamente la ecuación que da la elongación tanto del
foco como del punto M a partir de la expresión general de la longitud de onda.
Tal como dice el enunciado lo onda se desplaza en el sentido positivo del eje
z:
aplicaremos la ecuacion tanto al foco
A  102 m
S (z=0) como al punto M (z=0,45m)






2
20
20
z






2
m1


k 
  y  10 sen
 200t 

3
3





  2  200 rad/s 

2
yS  10 sen200t

2
yM  10 sen 200t  3 
40

z
H
0
1
=
2
2 0
,
=
v λ
=
ν
v ν
=
T
v
=
λ
1
-
m
π
0
1
=
2
π ,
2 0
=
π
2 λ
=
k
CL-J00 Se genera en una cuerda una onda transversal cuya velocidad de
propagación es de 2 m/s, cuya amplitud es de 8.10-3 m y cuya longitud de
onda es de 0,2 m. Determine:
a) El nº de ondas y la frecuencia
b) La velocidad máxima que pueden tener los puntos de la cuerda
Resolución:
a) A partir de las relaciones conocidas, resulta:
o
i
c
i
c
r
e
j
e
l
e
d
b
o
d
a
t
r
a
p
a
l
e
a
r
a
P
︶
1
s
π
0
2
=
ν
π
2
=
π
2 T
=
ω
  








b) Se trata aquí de calcular la máxima velocidad con la que oscila una partícula
del medio alcanzada por la perturbación. Estas partículas realizan un MAS y
su velocidad es variable (mientras que la de propagación de la onda es
constante y depende de las características del medio). Veamos el modo de
calcular esa velocidad de oscilación:
y  y0sen(kx   t); vosc =
dy d
y sen(kx   t) =-y0  cos(kx   t)
=
dt dt 0


Y, para obtener el máximo de esa velocidad de oscilación habría que igualar
a cero su derivada...pero no es necesario. Como y0 y T son ctes, la función
alcanzara su valor máximo cuando lo alcance el cos (kx-Tt)...pero el máximo
valor de una función coseno (o seno) es 1 ( o -1 , si consideramos valores
absolutos). Como se trata de obtener el valor numérico máximo de esa
velocidad de oscilación, prescindiendo del hecho de que sea + (8) o negativa
(9), resulta finalmente:
vosc
mo 1
valor
maxi


4 1
=-y0  cos(kx   t)  vosc MAX  y0   810 3  20 
ms
25
Ejercicios ondas/33
41
CL-J04 Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación:
y=0,2 cos (2t-0,1x) (S.I.)
Calcule:
a) La longitud de la onda y la velocidad de propagación.
b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en
x=0,2 m en el instante t=0,5 s.
Resolución:
a) De la comparación entre la ecuación dada y la general de una onda
armónica, resulta:
2
2

  2  T  T  2   s

y(x,t) = 0,2cos(2t-0,1x 
2
2



 20m

k  0,1 
y(x,t)=Acos(t-kx)
0,1




 20
 20m / s
v  
T


b)
y(x, t)  2.101 cos 2t  0,1x 

1
1
y(x 0,2m,t 0,5s)  2.10 cos 2.0,5  0,1.0,2  2.10 .0,557  0,111m

dy
d
voscilacion 
2.101 cos 2t  0,1x    4.101sen 2t  0,1x  

dt
dt


  voscilacion(x0,2m,t 0,5s)  2.101.2sen 2.0,5  0,1.0,2  0,332m / s

dvosc
d

 4.101sen 2t  0,1x    8.101 cos 2t  0,1x  


a
oscilacion

dt
dt

1
2
 aoscilacion(x 0,2m,t 0,5s)  8.10 cos 2.0,5  0,1.0,2  0,445m / s

, luego para ese valor del tiempo y esa posición, la partícula se encuentra
oscilando del modo siguiente:
0,111 m por encima del equilibrio, con una velocidad 9 de 0,332 m/s y una
aceleración de -0,445 m/s2,
lo que quiere decir que se encuentra en ese punto con una velocidad cada vez
menor. Como dicha velocidad es negativa, será mayor en valor absoluto.
42
Un foco puntual emite ondas a través de un medio material. La ecuación del
movimiento ondulatorio es y = 4 sen 2 B(t/6 + x/240) (cm). Se pide.
determinar:
a) La velocidad de propagación de la onda (módulo, dirección y sentido).
b) La diferencia de fase para dos posiciones de una misma partícula cuando
el intervalo de tiempo transcurrido es de 1 segundo.
c) Si el desplazamiento, y, de una partícula en un instante determinado es de
3 cm., ¿cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde?
Resolución:
a) Comparando la ecuación dada con la general de una onda monodimensional
que se propaga a izquierda, se obtiene:
Ejercicios ondas/34
 2


x 
t
 
 T  6s

y

4sen2




 6 240 
3
T



y  Asen  t  kx 
k    2    240cm

120


 240cm
=vT  v= 
 40cm
T
6s
Nota: Aunque la velocidad de propagación o de fase se puede obtener más
rápidamente, (haciendo nula la variación de la fase con el tiempo;
0  d dt  , este método permite obtener otros valores útiles para resolver
otros apartados.
b) Dos posibles modos de resolver este apartado:
1º) Si 2B es la diferencia de fase entre dos posiciones del mismo punto
observado con un intervalo de 6s (T), x será la diferencia cuando se observa
con un intervalo de 1s 6 x= B3 rad
2º) A partir del concepto de fase:
2πt 1 2πx

+

2π  t 1 + 1 2πt 1 π
6
240



=
=
= rad

2
1
2π  t 1 + 1 2πx 
6
6
3
2 =
+
6
240 
1 =
La x no varía por referirse al mismo punto.
Ejercicios ondas/35
C) Intensidad del movimiento ondulatorio. Absorción.
43
Una onda esférica que se transmite en un medio homogéneo e isótropo está
emitida por una fuente de 5 W. Calcula la intensidad de la onda a 3 m del foco
emisor.
Resolución:
Sólo hay que aplicar la definición de intensidad:
onda
esferica
I
44
P 

S
5
5
P
Wm 2
2 
2 
36
4 r
4 3
El Sol posee una potencia aproximada de emisión de 2,7 x 1020 MW. ¿Qué
intensidad luminosa se recibe en la Tierra?. ¿Y en Marte, que dista del Sol un
50% más que la Tierra?.
Resolución:
La intensidad de una onda esférica es, por definición:
I
P
(1)
4 r 2
Siendo P la potencia que emite el foco y r la distancia del foco al punto en el
que se quiere calcular la intensidad. En nuestro caso se trata de la Tierra que,
sabido es, dista del sol, r=1,51011 m. Aplicando la relación anterior se
obtiene:
I Tierra 
2,7  1026 W
P
W
2 
11 2  954,9
m2
4 r
4 (1510
,
)
Como el dato de Marte está ligado al de la Tierra, el mismo enunciado sugiere
que efectuemos cálculos para ese planeta basados en los que sabemos del
nuestro. Del enunciado:
rM  15
, rT 
3
r
2 T
. Si aplicamos
la relación (1) tanto a Marte como a la Tierra, resulta:
P
2
2
2
 rT 
IM
4 rM2  rT 
 2

    IM  IT    954,9     4244,1 Wm-2
P
 3
IT
 rM 
 rM 
4 rT2
45
Un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio absorbente
reduce su intensidad inicial a la mitad tras atravesar una capa de 6,93 cm.
¿Qué grosor se debería poner para conseguir reducir la intensidad hasta un
10% de la intensidad inicial?.
Resolución:
Los primeros datos se dan para poder hallar el coeficiente de absorción del
medio ($) a partir de la ley general de absorción: I  Ioe  x , donde I0 la
intensidad incidente (cuando comienza a atravesar el medio) , I la intensidad
tras atravesar un espesor x de medio y $ una cte específica de cada medio
(para una frecuencia dada) y, una vez obtenida, estaremos en condiciones de
responder a la pregunta .Nota que al ser el exponente adimensional, la
unidades de $ será la inversa de la de la longitud (x)
I0 / 2
6 ,93 cm


I
1
L2
 1
I  Ioe x  0  I0e  6,93   e  6,93  L     6,93   L2   
cm-1
 2
2
2
6,93
Ejercicios ondas/36
y seguimos...
0,1Io
L2
L2

x
x
6,93L10
L2
cm  23,02 cm
I  Ioe 6,93  0,1= e 6,93  L0,1   x
  L10  x 
6,93
L2
46
Un haz de ultrasonidos posee una intensidad de 10-2 W/m2 al penetrar en un
medio absorbente de 1 m de espesor. Si a la salida la amplitud se ha reducido
a la cuarta parte, determina el coeficiente de absorción del medio.
Resolución:
El ejercicio se resuelve aplicando la ley de absorción, teniendo en cuenta que
el dato es el de disminución de amplitud. Como la intensidad es directamente
proporcional al CUADRADO de la amplitud, si ésta se ha reducido a la cuarta
parte, aquello lo habrá hecho a la dieciseisava parte, con lo que resulta:
1m
I
1
 x
I  I0e
 0  I0e 
 e   L16       L16  4L2  2,77 m 1
16
16
I0
16
47
CL-S99 Una onda plana viaja a través de un medio absorbente,
observándose que tras avanzar una distancia de 2 m su
amplitud decrece de 10 cm a 4 cm. Calcule:
a) El coeficiente de absorción del medio
b) La amplitud de la onda tras atravesar otros 6 m
Resolución:
Sabemos que en un medio absorbente la intensidad de una onda
disminuye al atravesar el medio según la ley: I  Ioe x (1) , siendo I0 la intensidad
incidente (cuando comienza a atravesar el medio) , I la intensidad tras
atravesar un espesor x de medio y $ una cte específica de cada medio (para
una frecuencia dada). Además también conocemos la relación entre la
intensidad de una onda de la onda y su amplitud:
I  CA2 (2) . Si combinamos (1) y (2) obtenemos una relación de aplicación
inmediata al ejercicio presente:
A2  A20e x (3)
En (3) como la exponencial es adimensional, las unidades de A y A0 deben de
ser las mismas (pero no, obligatoriamente del SI)
a) Sustituyendo en (3), resulta:
2
2
5
 4
2
2 2
4  10 e
    e2  2L   2    L (m-1)=0,916m-1
 10 
5
2
Observa cómo las unidades de $ deben de ser m -1 pues hemos expresado en
m el espesor del medio y el exponente debe de ser adimensional.
b) “...tras atravesar OTROS 6 m, es lo mismo que tras atravesar 8 metros
desde el principio (cuando la amplitud de la onda era de 10 cm). Se obtiene:
Ejercicios ondas/37
2
2
8L
A  10 e
5
2
2
4
5
8L
A
5
A
2
A
 2
    e 2  2L  8L  L  4L  L   
10
2
10
5
 10 
 5
4
4
A  2
 2

    A  10   cm  0,256 cm
10  5 
 5
Nota.- Se ha tomado como inicial la intensidad cuando la amplitud era de 10
cm y por eso se han considerado 8 m de medio. Si se hubiese tomado como
amplitud 4 cm, el espesor a considerar hubiese sido de 6 m ( y,
evidentemente, el resultado, el mismo que el que se ha obtenido)
48
CL-S01a) Defina el concepto de intensidad de una onda.
b) Demuestre que, si no existe absorción, la intensidad de una onda esférica
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.
Respuesta:
a) “Se define intensidad, I, de un movimiento ondulatorio en un punto, como
la energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficie
colocada perpendicularmente a la dirección de propagación en ese punto. En
el SI se mide en Js-1.m-2 = W.m-2"
b) Teniendo en cuenta la definición anterior y que un frente de onda esférico
presenta una superficie de valor 4Br2, se tiene, en este caso:
E
P
Cte
I t 
 2
2
S
4 r
r
Al ser P la potencia emisiva (que emite el foco )
49
Una horquilla coloca verticalmente está animada de un movimiento armónico
de frecuencia 200 Hz y amplitud 1 mm, perpendicular a la superficie de
propagación. Las perturbaciones producidas en dos puntos O1 y O2 se
propagan en la superficie del líquido a velocidad de 120 cm/s. Calcula: El
estado vibratorio de un punto P situado a 18 mm de O1 y 9 mm de O2
Resolución:
Las ondas producidas en ambos focos son idénticas por lo que la combinación
de ambas en el punto P, aplicando el principio de superposición, se puede
expresar así:
y  y1  y2  Asen kx1  t   Asen kx2  t  
 ARsen kx  t 
Siendo x1 y x2 las distancias respectivas de los focos O1 y O2 al punto P
Operaremos de modo análogo a los ejercicios anteriores para hallar la amplitud
de la onda resultante:
Ejercicios ondas/38
A sen kx1  t   A sen kx2  t   AR sen kx  t  





senkx1 cos t  coskx1sent
senkx2 cos t  coskx2sent
senkx cos t  coskxsent
igualando cost
 Asenkx1+Asenkx2=ARsenkx (1)
igualando sent

 Acoskx1+Acoskx2=ARcoskx (2)
Elevando al cuadrado y sumando (1) y (2), resulta:



2
A2  senkx1+senkx2  =AR2 sen2kx 

2
2
2
2
A  coskx1+coskx2  =ARcos kx 


cos2 kx1 cos2 kx2 2coskx1coskx2

A2 2  2senkx1senkx2  2coskx1coskx2   AR2
sen2kx1 sen2kx2 2senkx1senkx2
...continuando las operaciones....



2A 1  senkx1senkx2  coskx1coskx2   AR2 





cosk
x
x


1
2


2
 2A2 1  cosk  x1  x2    AR2  AR  A 2 1  cosk  x1  x2   (3)
Como A es constante, según (3), AR tomará un valor mínimo (nulo en este
caso) cuando:
cosk(x1-x2)=-1 6 k(x1-x2)=(2n+1)B
Y se habla de interferencia destructiva mientras que dicho valor es máximo
cuando:
cosk(x1-x2)=1 6 k(x1-x2)=2nB
Y se habla, en este caso de interferencia constructiva
¿Qué sucede en nuestro caso concreto?
Como, tras calcular el número de onda, k, y x1-x2 se obtiene:
103  1
k
m ; x1-x2=9.10-3m  k  x1-x2   3
3
Al ser un nº impar de veces B, la interferencia es destructiva siendo nula la
amplitud de oscilación de P, es decir; P no oscila.
50
Calcula la ecuación del movimiento resultante de dos funciones de la misma
dirección dadas por: y1 = 3 sen 2t e y2 = sen (2t+B/2)
Resolución:
Se trata, en realidad, de un ejercicio de trigonometría. Hay que sumar dos
funciones correspondientes a dos MAS de la mima frecuencia y diferente
Ejercicios ondas/39
amplitud. Se puede entender como la interferencia de dos ondas en un punto.
Al fijarse el punto sólo hay que estudiar la oscilación del mismo. Podemos
plantear:


y  y1  y2  3sen2t  sen  2t    A sen 2t  0 



2
 



sen2t cos 0  cos2tsen0
cos2t
igualando sen2t
 3 = Acos0
igualando cos2t

 1= Asen0
Con lo que se obtiene un sistema cuya resolución da las dos incógnitas que
se necesitan: la amplitud resultante y la fase resultante. Resolvamos el
sistema:
elevando al cuadrado
3 = Acos0  ambas
igualdades y sumando
 10  A2  A  10
 
1= Asen0 
Observa que no se ha puesto unidades a A por cuanto no sabemos la de las
oscilaciones individuales (3 y 1).
Para hallar la incógnita que falta, la fase, procedemos así:
miembroamiembro
3 = Acos0  Dividiendo
1
la ecuación inferior entre la superior

 tg0  

1= Asen0 
3
1
 0  arctg  0,32rad
3
Con lo que el movimiento armónico resultante de la partícula situada en el
punto sobre el que inciden ambas ondas, viene dado por:
y  Asen 2t  0   10sen 2t  0,32
51
Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido,
tienen una misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una
amplitud de 0,02 m. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante, si las dos
ondas difieren en fase en B/6?
Resolución:
Es también, un ejercicio trigonométrico semejante al anterior. Resolveremos
el ejercicio de forma general y se particularizará con los datos. Recuerda que,
cuando se tenga que sustituir al final, en nuestro caso los datos son:
Ejercicios ondas/40
A  0,02m;   2  200rad / s

2
2


1
k    0,02m  100m ; 0  6 rad

Si perder generalidad, se puede suponer que la fase inicial de una de las dos
ondas es nula y N0, la fase inicial de la otra onda, con lo que las ecuaciones
de las dos ondas y de la resultante se pueden expresar, aplicando el principio
de superposición, del siguiente modo:
y  y1  y2  Asen kx  t   Asen kx  t  0  
 ARsen kx  t  0 
Siendo * la fase inicial de la onda resultante
Veamos el modo de proceder para obtener AR, que es lo que se pide:
Para simplificar los desarrollos llamaremos " a kx-Tt , con lo que se tiene:
Asen  Asen    0   ARsen    0 
Si se desarrolla el seno de una suma que aparece en ambos miembros de la
igualdad anterior, y se opera un poco, se obtiene:
Asen  A  sen cos 0  cos sen0    0  
 AR  sen cos 0  cos sen0 
igualando sen

 A+A cos 0  AR cos 0 
 (1)
igualando cos

 Asen0  AR cos 0

Como sólo se pide AR, basta con elevar al cuadrado y sumar las dos
igualdades anteriores, llegándose a:
 A+A cos 0 
sumando
 AR2 cos2 0  ambas
igualdades

 AR2  2A2 1  cos 0  

A2sen20  AR2 cos 0

2
 AR  A 2 1  cos 0 
Como puede verse, la amplitud resultante depende de la amplitud de las ondas
y de la diferencia de fase entre ellas. Por esta razón, si la diferencia de fase
no se mantiene constante (focos coherentes) , tampoco es constante la
Ejercicios ondas/41
amplitud de la onda resultante. Si se sustituyen los datos, resulta finalmente:


AR  2  102 2 1  cos m  2  102 2  3m
6

Nota que si en en sistema (1) se hubiera dividido miembro a miembro, se
hubiese obtenido la fase inicial de la onda resultante
Ejercicios ondas/42
52
Dos ondas se mueven en la misma dirección y cuyas ecuaciones escritas en
el sistema CGS son: y1 = 5 sen(1000t-100x) e y2 = 5 sen(1000t+100x).
Al interferir producen ondas estacionarias. Determina: a) La ecuación de la
onda resultante b) Amplitud de los vientres c) Distancia entre nodos
consecutivos.
Resolución:
Aunque se dice expresamente, es evidente que la interferencia de las dos
ondas dadas produce una onda estacionaria ya que, ver ecuaciones, son dos
ondas iguales que se propagan en en sentidos opuestos.
a) Obtengamos la ecuación de la onda estacionaria aplicando el principio de
superposición:
y  y1  y2  5 sen 1000t  100x 

sen1000t cos100x cos1000tsen100x
 5 sen 1000t  100x 


sen1000t cos100x  cos1000tsen100x
2
 5cos100x

 sen1000t
AR
b) Los vientres son aquellos puntos que oscilan con amplitud máxima. Como
la amplitud viene dada por:
AR  2  5cos100x
Su valor máximo corresponde al valor 1 de cos100x y toma el valor:
AR(max)  2  5  10cm , pues se opera en el SCGS
c) Los nodos son aquellos puntos que no oscilan, o de otro modo; que oscilan
con amplitud de oscilación nula. Se tiene en consecuencia, para esos puntos:
AR  0  cos100x  0  100x  2n  1
 x=2n  1

(n  N) 
2

(ecuación de los nodos)
200
¿Distancia entre nodos CONSECUTIVOS?. No hay mas que, en la ecuación de
los nodos dar a n valores consecutivos, por ejemplo N y N+1:

200



 
xN1  2 N  1  1
200 
2



 


 xN1  xN 
2 N  1  1  2N  1  
cm
200 
 100


xN=2N  1
Observa que, como se demuestra en teoría y se puede comprobar facilmente,
la distancia obtenida es la mitad de la longitud de onda.
Ejercicios ondas/43
53
La ecuación de una onda estacionaria viene dada por: y = cos Bx/3 sen 2Bt
(SI). Los límites del medio se hallan en x=0 y x=12 m. Se pide: a) Amplitud
máxima de vibración y amplitud de las ondas componentes. b) Longitud de
onda y frecuencia c) La velocidad de propagación de la onda y de vibración de
una partícula situada en x=6 m en cualquier instante. d) Indicar si en cada
extremo hay un nodo o un vientre e) ¿Qué valor debe de tener x a partir del
origen para que exista un nodo?.
Resolución:
a) y b) Para extraer información, compararemos la ecuación dada de la onda
estacionaria con la general:





x
 AR(max)  1m
AR  cos
x

3
y  cos
sen2t 


3


2A  1m  A  0,5m

y  2A
coskx
sen
t



2 2

AR




 6m


k


k  m1; =2rad/s  
3
3


 2


 1Hz
 
2 2


c) La velocidad de propagación de la onda estacionaria es nula por cuanto una
onda estacionaria, como su nombre indica, NO es una onda viajera. Si tienen
velocidad de propagación, las ondas que al interferir dan lugar a la
estacionaria.
La velocidad de vibración u oscilación de la partícula situada en x=6m en
cualquier instante (en función del tiempo) se obtiene del modo sabido:
x


d  cos
sen2t 
dy
3
  cos x  2sen2t
vosc 
 
dt
dt
3
6
vosc(x 6m)  cos
 2sen2t  2sen2t
3



1
d) La amplitud de la oscilación de la onda estacionaria viene dada por:
AR  cos
x
3
Los vientres son aquellos puntos en los que la amplitud es máxima
(cosBx/3=±1), luego los extremos (x=0 y x=12) son vientres por cuanto
esos valores hacen que valga 1 el coseno .
Ejercicios ondas/44
e) Los nodos tenían amplitud nula luego :
AR  cos
3
x
x

0
 2n  1  x  2n  1
3
3
2
2
Dando valores a n (0,1,2, 3..) obtenemos la posición de los distintos nodos.
Los valores respectivos que se obtienen son :3/2 m, 9/2 m, 15/2 m , 21/2 m
( y no más pues el medio acaba para x=12 m). El primer nodo está situado
pues en x=3/2m.
Ejercicios ondas/45