Apuntes Tema 3

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA FINANCIERA Y ACTUARIAL
FACULTAD DE ECONMÍA
UNIVERSIDAD DE VALENCIA
Licenciatura en Ciencias Actuariales y Financieras
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
Apuntes Tema 3
Profesores: José Enrique Devesa Carpio (Coordinador)
Carlos Vidal Meliá
Curso 2005-2006
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
J. E. DEVESA y C. VIDAL
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE1
(Versión 24-02-2006)
3.1.-CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
3.2.-EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE ANUAL.
3.2.1.- CASO PARTICULAR
3.2.2.- CASO GENERAL
3.3.-EL SISTEMA DE REPARTO ATENUADO O DE CUOTA MEDIA
ESCALONADA.
3.4.-EL CASO ESPAÑOL.
3.5.-BIBLIOGRAFÍA.
3.6.-PRÁCTICAS.
Versión provisional sujeta a correcciones. Prohibida la reproducción total o parcial de este material, así
como su cita. Sólo está permitida la utilización a los alumnos matriculados en el módulo “Técnicas de la
Seguridad Social”, año académico 2005-2006.
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TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
J. E. DEVESA y C. VIDAL
3.1.-CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Un sistema financiero-actuarial es un modelo matemático de naturaleza
estocástica que permite establecer la equivalencia financiero-actuarial entre primas
(aportaciones) y prestaciones (reembolsos) de un colectivo en un horizonte temporal
determinado. Con esto se consigue que el valor actual-actuarial de las prestaciones que se
prevé que se van a conceder al colectivo, sea equivalente al valor actual-actuarial de las
aportaciones que se prevé que se van a realizar. En todos los cálculos anteriores
intervienen, principalmente, -como se verá más adelante- las probabilidades de
supervivencia y el tipo de interés técnico.
Uno de los sistemas financiero-actuariales más utilizados es el denominado de
reparto simple, que tal y como se vio en el tema anterior se divide en
1.- Sistema de reparto simple anual.
2.- Sistema de reparto simple atenuado, o de cuota media escalonada.
En líneas generales, el reparto simple anual establece la equivalencia entre las
primas satisfechas en un año por todo el colectivo y las prestaciones de un año.
Algunos autores2 distinguen entre reparto simple cuando se definen a priori las
aportaciones en función de los gastos esperados y reparto puro cuando los gastos se
satisfacen a medida que se van produciendo. En el caso de que el equilibrio entre primas y
prestaciones se haga en un horizonte temporal más amplio se le denomina reparto simple
atenuado, o de cuota media escalonada. La Seguridad Social española emplea, en general,
el sistema de reparto simple, anual.
Desde el punto de vista financiero, la principal característica de este sistema es
que las prestaciones causadas no quedan financiadas totalmente en el momento en
que se producen, ni siquiera se suele valorar o contabilizar la deuda contraída. Las
garantías financieras sólo existen mientras existan personas activas que realicen las
aportaciones necesarias. Hay transferencia intergeneracional. También se puede decir
que el sistema de reparto es un método transversal en sentido demográfico, tanto para
las cotizaciones como para las prestaciones. Esto se puede representar gráficamente:
Edad
w
PRESTACIONES
β
COTIZACIONES
α
t0
t
donde:
w: edad límite de la tabla de mortalidad.
β: edad de jubilación.
α: edad de incorporación al mercado laboral.
2
Véase, por ejemplo, Betzuén y Blanco (1989).
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TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
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t0: intervalo de referencia.
Se va a tomar como base para el desarrollo del tema la pensión de jubilación.
3.2.-EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE ANUAL.
En el reparto simple anual se establece la equivalencia entre las primas de todo
el colectivo y las prestaciones de un año. Veamos algunas opiniones sobre el mismo.
Según Muñoz y Esteve (1995) el sistema de reparto está basado en el principio de
la solidaridad intergeneracional permanente, y se fundamenta en que los activos
financian las pensiones de los jubilados, a través de cotizaciones sociales u otros
mecanismos impositivos, en el entendimiento -existe un contrato social implícito- de
que cuando ellos se jubilen los nuevos activos en el mercado de trabajo harán lo
mismo.
Para Mateo (1997), en este sistema se trata de repartir a los jubilados lo que se
recauda por cotizaciones de la generación que trabaja en cada momento.
Para Zubiri (1996), las cotizaciones pagadas por los activos se utilizan, no en
inversiones, sino en pagar las pensiones de los jubilados. De esta forma, la pensión de
cada persona se financia, no con las cotizaciones que él realizó, sino con las que realizan
quienes están trabajando. Esto es, los jóvenes pagan las pensiones de los jubilados en la
confianza de que en el futuro la siguiente generación de jóvenes hará lo mismo. Este
sistema permite pagar pensiones desde el momento inicial, porque al principio el
esfuerzo es pequeño.
Para Valdés (2002), la clave de la financiación del sistema de reparto está en que la
deuda por pensiones en una fecha determinada está respaldada por un activo inusual:
los impuestos que tendrán que pagar personas que aún no son miembros del grupo
(afiliados al plan), pero que lo serán en el futuro (incluso los no nacidos), y también de
personas que ya son miembros del grupo, pero que tendrán que hacer más
aportaciones en el futuro. ¿Es éste un activo más? No lo es, porque no está protegido
por derechos de propiedad y, además, para adquirirlo no es necesario un
desembolso inicial. Al crearse este activo se produce un excedente de caja que puede
ser destinado a subsidiar a las generaciones vivas en el momento de crearse el activo. Este
activo no se acumula en un fondo, y por ello los miembros futuros del grupo dejan
de recibir ingresos por intereses. Por otro lado, las generaciones futuras deben
asumir la deuda que se les impone, sin poder cobrar por aceptarla. Los recursos
obtenidos son repartidos entre las generaciones vivas. A pesar de esto, las futuras
generaciones pueden recibir una rentabilidad positiva de su participación, para lo
cual tiene que repetirse el mismo proceso (contrato implícito).
3.2.1.- CASO PARTICULAR3.
En un primer supuesto, se va a adoptar un caso menos general que el que se
analizará posteriormente, pero que va a permitir comparar los distintos valores de la
prima. Las hipótesis que se adoptan en este caso son:
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Para el desarrollo del caso particular se ha seguido, principalmente, a Nieto y Vegas (1993).
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H1) Estructura demográfica estable en el tiempo. Se considera que una
población evoluciona de manera estable cuando sus tasas de fecundidad y mortalidad no
sufren cambios a lo largo del tiempo y no aparecen intercambios migratorios. Entre otras
cuestiones, población estable implica que el peso relativo de cualquier grupo de edad x
permanece o se mantiene constante, es decir, el tamaño relativo de las distintas cohortes
no cambia a lo largo del tiempo. Debe ser un colectivo abierto.
Se va a considerar que la edad que da derecho a la pensión de jubilación es “x+r” y que la
estructura demográfico-financiera, en cualquier momento, es la siguiente:
Edad
Número de personas
x
x+1
.
.
.
x+r-1
Salario medio
lx
lx+1
.
.
.
lx+r-1
Wx
Wx+1
.
.
.
Wx+r-1
H2) Pensión anual de jubilación constante, θ WF , que se calcula como un
porcentaje, θ, de la media de los salarios durante los últimos años, WF. Lo cual no significa
ninguna pérdida de generalidad, ya que se pueden considerar salarios reales.
Se va a suponer, además, que el pago de las primas y de las prestaciones se
distribuye uniformemente a lo largo del tiempo.
Con lo cual tendremos:
Año 1: (Primer año en que se jubila alguien del colectivo)
[1.]
Prestaciones = θ WF lx+r
Siendo:
WF: Salario medio (base reguladora) de los últimos años.
θ: Porcentaje (tasa de sustitución) a aplicar sobre la base reguladora para calcular la pensión.
lx+r: Número de personas que alcanzan la jubilación en el primer año.
r −1
Aportaciones = c1 Wx lx + ... + c1 Wx+r-1 lx+r-1 = c1 ∑ Wx+k l x+k
[2.]
k =0
donde, c1 es el porcentaje (tasa de cotización) a aplicar sobre el salario.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
la prima del primer año (suponiendo que es la variable a determinar), calculada como un
porcentaje sobre el salario, c1 , es:
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TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
c1 =
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θ WF l x+ r
[3.]
r −1
∑ Wx+k l x+k
k =0
Año 2:
Prestaciones = θ WF lx+r + θ WF lx+r+1 = θ WF lx+r + θ WF lx+r px+r =
= θ WF lx+r (1 + px+r)
[4.]
siendo:
lx+r: Número de personas que alcanzan la jubilación en el 2º año, y que por hipótesis es el
mismo número que las que la alcanzaron en el año anterior.
lx+r+1: Número de personas que alcanzaron la jubilación en el primer año, y que continúan
vivas en el segundo año.
px+r: Probabilidad de que una persona de edad “x+r” alcance la edad “x+r+1”, esto es, que
viva un año más.
Aportaciones = c2 Wx lx + ... + c2 Wx+r-1 lx+r-1 = c 2
r −1
∑ Wx+k l x+k
[5.]
k =0
que es el mismo sumatorio que en el año 1, por las hipótesis establecidas.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
el porcentaje del salario que se aporta, como prima, el segundo año, c2 , es:
c2 =
θ WF l x+ r (1 + p x+ r )
r −1
∑ Wx+k l x+k
[6.]
h =0
Si comparamos c1 con c2, el denominador de ambas ecuaciones es el mismo, pero el
numerador de la segunda es mayor, ya que hay más jubilados en el colectivo, con lo cual
c1< c2.
Año 3:
Prestaciones = θ WF lx+r + θ WF lx+r+1 + θ WF lx+r+2 =
= θ WF lx+r + θ WF lx+r px+r + θ WF lx+r 2px+r =
= θ WF lx+r (1 + px+r + 2px+r )
[7.]
siendo:
lx+r: Número de personas que alcanzan la jubilación en el tercer año, y que por hipótesis es
el mismo número que las que la alcanzaron en el 2º y en el primer año.
lx+r+1: Número de personas que alcanzaron la jubilación en el 2º año, y que continúan vivas
en el tercer año.
lx+r+2: Número de personas que alcanzaron la jubilación en el primer año, y que continúan
vivas en el tercer año.
2px+r: Probabilidad de que un individuo de edad “x+r”, alcance la edad “x+r+2”, es decir,
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que viva 2 años más.
r −1
Aportaciones = c3 Wx lx + ... + c3 Wx+r-1 lx+r-1 = c 3 ∑ Wx+k l x+k
[8.]
k =0
que es el mismo sumatorio que en el año 1 y en el año 2, por las hipótesis establecidas.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
el porcentaje de aportación del tercer año, c3 , es:
c3 =
θ WF l x + r (1 + p x + r +
r −1
2
p x+r )
[9.]
∑ Wx+k l x+k
k =0
Con c1 < c2 < c3.
Año s:
En general, en un año cualquiera s, tendremos:
Prestaciones = θ WF lx+r + θ WF lx+r+1 + ... + θ WF lx+r+s-1 =
= θ WF lx+r + θ WF lx+r px+r + ... + θ WF lx+r
s-1px+r
= θ WF lx+r (1 + px+r + ... + s-1px+r )
r −1
Aportaciones = cs Wx lx + ... + cs Wx+r-1 lx+r-1 = c s ∑ Wx+k l x+k
=
[10.]
[11.]
k =0
que es el mismo sumatorio que en los años anteriores por las hipótesis establecidas.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
el porcentaje de aportación del año s, cs , es:
cs =
θ WF l x + r (1 + p x + r +
r −1
2
p x + r + ... +
∑ Wx+k l x+k
s −1
p x+r )
[12.]
k =0
Con c1 < c2 < c3< ... < cs.
Año “w-x-r” > s:
A partir de un cierto valor “w-x-r”, se cumple que la probabilidad de que un
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individuo de edad “x+r” alcance la edad “w” es cero, y, además, todas las probabilidades a
partir de dicho año también son cero; ya que, “w” representa la edad límite del colectivo y,
por definición, no hay supervivientes de esa edad.
w-x-rpx+r=0:
probabilidad de que un individuo de edad “x+r” alcance la edad límite w.
cumpliéndose: w-x-rpx+r = w-x-r+1px+r = w-x-r+2px+r =… =0
Con lo que
c w - x -r =
θ WF l x + r (1 + p x + r +
r −1
∑
k =0
p
2 x+r
+ ... +
p )
w - x -r -1 x + r
= c w -x -r +1 = c w -x -r + 2 = ...
[13.]
Wx + k l x + k
Con c1 < c2 < c3< ... < cw-x-r = cw-x-r+1 =cw-x-r+2 = …
En matemática actuarial se llama esperanza de vida a la edad “x+r”, representado
por ex+r, a la expresión:
ex+r = px+r + 2px+r + 3px+r + ... + w-x-rpx+r
[14.]
con lo cual, a partir de “w-x-r”, el porcentaje de aportación permanecerá constante, siendo
igual a:
c w - x -r =
θ WF l x + r (1 + e x + r )
r −1
∑
k =0
= c w -x -r +1 = c w -x -r + 2 = ...
[15.]
Wx + k l x + k
El porcentaje de aportación a partir del año “w-x-r” se puede considerar
constante desde el punto de vista actuarial, porque a partir de ese momento, los
fallecimientos durante ese año de las personas que están cobrando la pensión de
jubilación (nº de salidas de pasivos), se iguala con el número de personas que se jubilan
durante ese año (nº de entradas de pasivos), con lo que el número de pasivos queda
constante.
Gráficamente:
Ct
C1
1
t
w-x-r
H2) Veamos qué ocurre si relajamos la hipótesis 2, es decir, se va a suponer que
la pensión y el salario medio de los activos, transcurridos “s” años desde el comienzo del
sistema, no es constante, sino que toma los valores:
7
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Pensión promedio de jubilación = θ WF (1+α)
[16.]
[17.]
Salario medio anual = Wx (1+ß)
Siendo:
α: variación de la pensión promedio de jubilación, “s” años después de haber comenzado
el sistema a funcionar,
ß: variación del salario medio “s” años después de haber comenzado el sistema a
funcionar.
Con lo cual, el nuevo porcentaje de aportación del año “s”, c´s , será:
c' s =
θ WF (1 + α ) l x + r (1 + p x + r +
r −1
p
2 x+ r
∑ Wx+k (1 + β )
k =0
+ ... +
l x+k
p )
n −1 x + r
=
(1 + α )
c s = (1 + γ ) c s
(1 + β )
[18.]
donde (1+γ) representa la variación de la prima ante cambios en la pensión y en el salario,
pudiendo tomar los siguientes valores:
a) Mayor que 1, lo cual significa que (1+α) > (1+ß), es decir, el incremento de las
pensiones ha sido superior al de los salarios; lo que se traduce en un mayor valor de la
prima c´s > cs.
b) Menor que 1, con lo que (1+α) < (1+ß), es decir, el incremento de las
pensiones ha sido menor que el de los salarios, lo que se traduce en un menor valor de la
prima: c´s < cs.
c) Igual a 1, con lo que (1+α) = (1+ß), es decir la variación de los salarios y de la
pensión ha sido la misma, por lo que no repercute en la prima: c´s = cs.
H1) En el caso de relajar la 1ª hipótesis, es decir, suponer que la estructura
demográfica no es estable en el tiempo, se pueden producir consecuencias más
importantes, como ahora veremos.
En el caso de una evolución regresiva del crecimiento demográfico (un menor
número de cotizantes a medida que transcurren los años), se podría llegar a producir una
prima excesivamente alta, con lo cual el activo no estaría dispuesto a seguir cotizando,
por el alto precio a pagar, y además porque nadie le garantiza financieramente su pensión
en el momento que se jubile.
En el caso límite de que consideremos un colectivo cerrado respecto a las entradas
y sólo salidas por jubilación, fallecimiento o abandono del colectivo, después de un número
de años elevado, el número de activos sería cero y, por lo tanto, la prima sería del 100%
del salario (matemáticamente tendería a infinito, pero aquí viene limitada por la cuantía del
salario). La regresividad demográfica puede llegar a hacer inviable el modelo, por lo que su
sostenibilidad dependerá de que exista una realimentación adecuada del colectivo mediante
la entrada de nuevos miembros, o en todo caso que los que queden sean cada vez más
productivos.
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3.2.2.- CASO GENERAL.
En este segundo supuesto, se va a analizar un caso más general, donde el número
de individuos de una determinada edad y sus salarios varían con el paso del tiempo.
Además, se va a suponer que el pago de la prima y de las prestaciones se distribuye
uniformemente a lo largo del tiempo.
Se va a considerar que la edad que da derecho a la pensión de jubilación es “x+r” y
que la estructura demográfico-financiera, en un año “t”, es la siguiente:
Edad
x
x+1
.
.
.
x+r-1
Número de personas
Salario medio
Wtx
Wtx+1
.
.
.
Wtx+r-1
l tx
ltx+1
.
.
.
ltx+r-1
Año 1: (Primer año en que se jubila alguien del colectivo)
Prestaciones: K1 = θ1 W1F l1x+r
[19.]
Siendo:
θ1: porcentaje (tasa de sustitución) a aplicar sobre la base reguladora para calcular la
pensión de los que se jubilan durante el primer año.
W1F: salario medio (base reguladora) aplicable a los que se jubilan durante el primer año.
l1x+r: número de individuos que alcanzan la jubilación durante el primer año.
Aportaciones: P1 = c1 W1x l1x + c1 W1x+1 l1x+1 +... + c1 W1x+r-1 l1x+r-1 =
r −1
= c1 ∑ Wx1+k l 1x+k
[20.]
k =0
siendo:
W1x+k: salario medio de los individuos que durante el primer año tienen edad x+k.
l1x+k: número de individuos que tienen la edad x+k durante el primer año.
sabiendo que k= 0, 1, 2, ......(r-1).
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
la prima (calculada como fracción del salario, es decir, como un porcentaje sobre el salario)
del primer año, c1 , es:
c1 =
θ1 WF1 l 1x+ r
r −1
∑
k =0
Wx1+k l 1x+k
9
[21.]
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Año 2:
2
Prestaciones: K2 = θ1 W1F l1x+r px+r + θ2 W2F l2x+r = ∑ θh WhF lhx+r
2-hpx+r
[22.]
h=1
Siendo:
θ2: porcentaje (tasa de sustitución) a aplicar sobre la base reguladora para calcular la
pensión de los que se jubilan el segundo año.
W2F: salario medio (base reguladora) aplicable a los que se jubilan durante el segundo año.
l2x+r: número de individuos que alcanzan la jubilación durante el segundo año.
Aportaciones: P2 = c2 W2x l2x + c2 W2x+1 l2x+1 +... + c2 W2x+r-1 l2x+r-1 =
= c2
r −1
∑ Wx2+k l 2x+k
[23.]
k =0
siendo:
W2x+k: salario medio de los individuos que durante el segundo año tienen edad x+k.
l2x+k: número de personas que tienen la edad x+k durante el segundo año; y donde, en
general, l2x+k ≠ l1x+k , ya que pueden salir o incorporarse al colectivo nuevos individuos.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
la prima (calculada como fracción del salario, es decir, como un porcentaje sobre el salario)
del segundo año, c2 , es:
2
c2 =
∑
h =1
θ h WFh l hx + r
r −1
∑
k =0
Wx2+k
2 -h
p x+r
[24.]
l 2x +k
En este caso, la relación entre c2 y c1 no está clara porque habría que conocer la
relación entre los salarios y los individuos del año anterior y del actual, pero lo normal
durante los primeros años es que c2 sea mayor que c1.
Año 3 :
Prestaciones: K3 = θ1 W1F l1x+r 2px+r + θ2 W2F l2x+r 1px+r + θ3 W3F l3x+r =
3
= ∑ θh WhF lhx+r
3-hpx+r
[25.]
h=1
siendo:
θ3: porcentaje (tasa de sustitución) a aplicar sobre la base reguladora para calcular la
pensión de los que se jubilan durante el tercer año.
W3F: salario medio (base reguladora) aplicable a los que se jubilan durante el tercer año.
l3x+r : número de individuos que alcanzan la jubilación en el tercer año.
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Aportaciones: P3 = c3 W3x l3x + c3 W3x+1 l3x+1 +... + c3 W3x+r-1 l3x+r-1 =
r −1
= c 3 ∑ Wx3+k l 3x+k
[26.]
k =0
siendo:
W3x+k : salario medio de los individuos que durante el tercer año tienen edad x+k.
l3x+k: número de individuos que tienen la edad x+k durante el tercer año; y donde, en
general, l3x+k ≠ l2x+k ≠ l1x+k, ya que pueden salir o incorporarse al colectivo nuevos
individuos.
Aplicando el principio de equivalencia colectivo (Prestaciones = Aportaciones),
la prima, calculada como fracción del salario del tercer año, c3 , es:
En general, se cumplirá: c3 > c2 > c1.
3
c3 =
∑
h =1
θ h WFh l hx + r
r −1
∑
k =0
Wx3+k
3-h
p x+r
[27.]
l 3x +k
Año s :
Prestaciones: Ks = θ1 W1F l1x+r
+ θ2 W2F l2x+r
s-1px+r
s
= ∑ θh WhF lhx+r
s-2px+r
+... + θs WsF lsx+r =
s-hpx+r
[28.]
h=1
siendo:
θs: porcentaje (tasa de sustitución) a aplicar sobre la base reguladora para calcular la pensión
de los que se jubilan durante el s-ésimo año.
WsF: salario medio (base reguladora) aplicable a los que se jubilan durante el s-ésimo año.
lsx+r : número de individuos que alcanzan la jubilación en el año s-ésimo.
Aportaciones: Ps = cs Wsx lsx + cs Wsx+1 lsx+1 +... + cs Wsx+r-1 lsx+r-1 =
= cs
r −1
∑ Wxs+k l sx+k
[29.]
k =0
siendo:
Wsx+k el salario medio de los individuos que durante el año s-ésimo tienen edad x+k.
lsx+k el número de individuos que tienen la edad x+k durante el año s-ésimo; y donde, en
general, lsx+k ≠ ... ≠ l2x+k ≠ l1x+k, ya que pueden salir o incorporarse al colectivo nuevos
individuos.
La ecuación que permite calcular la prima como fracción del salario, es decir,
como un porcentaje sobre el salario del año s-ésimo, cs , es:
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TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
s
cs =
∑
h =1
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θ h WFh l hx + r
r −1
∑
k =0
Wxs+k
s -h
p x+r
[30.]
l sx +k
En este caso, con “s” suficientemente grande, cs puede ser mayor, menor o
igual que cs-1, dependiendo de todas las variables que aparecen en la ecuación.
Las características más importantes del sistema de reparto simple son:
1.- No genera reservas, puesto que la prima pagada corresponde a la prima
natural, es decir, está destinada a pagar los siniestros de ese año. Esto es en teoría, pues
posibles desviaciones darían lugar a superávit o déficit de caja. Al no tener que constituir
reservas por las prestaciones causadas, su facilidad para la manipulación política es
muy elevada.
2.- Se basa en una transferencia íntegra de los recursos de los activos a los
pasivos.
3.- Financieramente, este sistema no garantiza “a priori” sus pensiones a los
pasivos, ni a los activos sus futuras pensiones, ya que dependen de la existencia de una
realimentación del colectivo adecuada. Sin embargo, en la práctica suelen estar garantizadas
por el propio Estado, aunque las cuantías pueden ser distintas de las inicialmente previstas.
4.- Es muy sensible a la evolución demográfica de los activos, que puede llegar a
hacer inviable el sistema, debido al continuo crecimiento de las cotizaciones.
5.- Su aplicación práctica exige la obligatoriedad en la afiliación al colectivo
asegurado, o bien que sea la entidad o institución la que financie, en todo o en parte, el
coste de las prestaciones.
6.- En general, se considera inadecuado para planes privados de previsión,
salvo que afecte a un colectivo cerrado y que previamente pueda garantizarse su viabilidad a
la vista de la previsión de pagos.
7.- En España, desde el punto de vista legal, ninguna Compañía de Seguros, o
Entidad de Fondos de Pensiones puede utilizar este sistema. Sólo se aplica en la Seguridad
Social, donde hay obligatoriedad de afiliación.
3.3.-EL SISTEMA DE REPARTO ATENUADO O DE CUOTA MEDIA
ESCALONADA.
El sistema de cuota media escalonada4 establece la equivalencia entre las
primas de todo el colectivo y las prestaciones en un horizonte temporal superior a
un año.
4
Actualmente, este sistema está establecido en Costa Rica.
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TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
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Este sistema, debido a Zelenka y Thullen, se caracteriza porque se forman
periodos de equilibrio de varios años, siendo la prima constante durante esos
periodos, bien en valor absoluto, bien como una tasa constante de salario. Bajo la
suposición de que las prestaciones son crecientes (como es lo usual), como las primas son
constantes, se producirá durante los primeros años un excedente, lo cual da lugar a la
constitución de reservas (denominadas fondos de nivelación de cuotas). Llegará un
momento en que las aportaciones y las prestaciones se igualarán y posteriormente las
prestaciones superarán a las aportaciones, consumiendo las reservas constituidas
previamente. Al final del horizonte temporal las reservas deben ser nulas, para que se
cumpla el postulado de equivalencia.
Se puede catalogar como un sistema situado entre el de reparto simple y el de
reparto de capitales de cobertura.
Según Thullen, la prima debería elegirse con arreglo a los siguientes principios:
a) Que no varíe mucho de un periodo a otro.
b) Que tenga un valor intermedio entre la prima del sistema de reparto y la de
capitales de cobertura.
c) El cálculo de las reservas debe tener en cuenta la situación del mercado de
capitales, para que permita obtener, no sólo seguridad, sino también rentabilidad
en las inversiones.
Se va a considerar que la edad que da derecho a la pensión de jubilación es “x+r” y
que la estructura demográfico-financiera, en un año “t”, es la siguiente:
Número de personas
Edad
x
x+1
.
.
.
x+r-1
Salario medio
Wtx
Wtx+1
.
.
.
Wtx+r-1
l tx
ltx+1
.
.
.
ltx+r-1
* Primer horizonte de planificación:
Si consideramos un horizonte económico de “s” años y que el sistema nace en
este momento, las prestaciones serán análogas a las obtenidas en el caso general del
sistema de reparto simple; pero, además, como sólo habrá una ecuación de
equivalencia financiero-actuarial, habrá que calcular el valor actual-actuarial de
dichas prestaciones, para lo que se va a suponer que siguen una distribución uniforme, y
que están valoradas a mitad de año:
K1
0
1/2
K2
1
3/2
Ks
...
2
13
... s-1
s-(1/2)
s
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K(0) = K1 V1/2 + K2 V3/2 + K3 V5/2 + ... + Ks Vs-(1/2) =
1
= ∑ θh WhF lhx+r
1-hpx+r
2
∑
V1/2 +
h=1
θh WhF lhx+r
2-hpx+r
V3/2 + ....+
h=1
s
+ ∑ θh WhF lhx+r
s-(1/2) =
s-hpx+r V
h=1
s
j
j=1
h=1
∑ ∑
θh WhF lhx+r
j-hpx+r
Vj-(1/2)
[31.]
siendo:
h: número de generaciones jubiladas desde el inicio del sistema.
s: número de años para los que se plantea la equivalencia plurianual.
Vt = (1+i)-t
K(0): valor actual actuarial de las prestaciones previstas en los próximos “s” años.
Las aportaciones anuales serán análogas a las obtenidas en el caso general del
sistema de reparto simple; excepto que en las ecuaciones de todas las aportaciones
tendrá que aparecer un único porcentaje de prima constante, c1c, que sustituya a c1, c2,
c3, ..., cs; y, además, como sólo habrá una ecuación de equivalencia actuarial, habrá que
calcular el valor actual-actuarial de dichas prestaciones, para lo que se va a suponer que
siguen una distribución uniforme, y que están valoradas a mitad de año:
P1
0
1/2
P2
Ps
...
2
3/2
1
...
s-1
s-(1/2)
s
P(0)= P1 V1/2 + P2 V3/2 + ... + Ps Vs-(1/2) =
=
c 1c
r −1
∑
k =0
Wx1+k l 1x +k
V1/2
+
c 1c
r −1
∑
k =0
=
Wx2+k l 2x +k
c 1c
s
V3/2
+...+
c 1c
r −1
∑ Wxs+k l sx+k
k =0
r −1
∑ ∑ Wxj +k l jx+k
Vs-(1/2) =
Vj-(1/2)
[32.]
j=1 k =0
siendo:
P(0): valor actual actuarial de las aportaciones o primas previstas en los próximos “s”
años.
La ecuación de equivalencia actuarial se obtendrá al igualar el valor actualactuarial de las prestaciones y de las aportaciones :
K(0) = P(0)
[33.]
de donde se puede obtener el porcentaje constante c1c que se aplicará al salario, cada uno
de los “s” años que dura el horizonte de planificación:
14
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
s
c1c =
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j
∑ ∑ θ h WFh l hx + r
j=1 h =1
s
r −1
∑ ∑
j=1 k =0
j-h
p x +r V j-(1/2)
[34.]
Wxj + k l xj + k V j-(1/2)
En este sistema sí que se generan reservas, al utilizarse un esquema de “prima nivelada”.
Su valor se obtiene como diferencia entre lo que se recauda y lo que se paga cada año, más
las reservas constituidas hasta ese año. La evolución del valor de estas reservas será el
siguiente:
r −1
V1 = c1c ∑ Wx1+ k l1x + k − θ1 WF1 l1x + r
[35.]
k =0
r −1
2
k =0
r −1
h =1
3
k =0
h =1
V2 = V1 (1 + i) + c1c ∑ Wx2+ k l 2x + k − ∑ θ h WFh l hx + r
2-h p x + r
[36.]
V3 = V2 (1 + i) + c1c ∑ Wx3+ k l 3x + k − ∑ θ h WFh l hx + r
3-h p x + r
[37.]
………………………….
r −1
s
k =0
h =1
Vs = Vs-1 (1 + i) + c1c ∑ Wxs + k l sx + k − ∑ θ h WFh l hx + r
s -h p x + r
=0
[38.]
El valor de Vs tiene que ser igual a cero para que se cumpla el principio de equivalencia
financiera.
* Segundo horizonte de planificación:
El planteamiento para el siguiente período de planificación, suponiendo que es de la
misma amplitud que el anterior y que además 2s < w-(x+r):
Ks+1
s
s+(1/2)
Ks+2
s+1
s+(3/2)
K2s
...
s+2 ... 2s-1 2s-(1/2)
2s
K(s) = Ks+1 V1/2 + Ks+2 V3/2 + Ks+3 V5/2 + ... + K2s Vs-(1/2) =
s +1
= ∑ θh WhF lhx+r
s+1-hpx+r
s+ 2
∑
V1/2 +
h=1
+
2s
∑
θh WhF lhx+r
θh WhF lhx+r
s+2-hpx+r
V3/2 + ....+
h=1
s-(1/2) =
2s-hpx+r V
h=1
2s
j
∑ ∑
j=s +1 h=1
Las prestaciones en este caso serían:
15
θh WhF lhx+r
j-hpx+r
Vj-s-(1/2)
[39.]
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Ps+1
s
s+1/2
Ps+2
...
s+3/2
s+1
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P2s
s+2 ... 2s-1 2s-(1/2)
2s
P(s)= Ps+1 V1/2 + Ps+2 V3/2 + ... + P2s Vs-(1/2) =
= c c2
r −1
∑ Wxs++1k l sx++1k
k =0
V1/2 + c c2
=
c c2
r −1
∑ Wxs++k2 l sx++2k
V3/2 +...+ c c2
k =0
2s
r −1
∑ ∑ Wxj +k l jx+k
r −1
∑ Wx2s+k l 2sx+k
Vs-(1/2) =
k =0
[40.]
Vj-s-(1/2)
j=s +1 k =0
por tanto:
2s
c c2 =
j
∑ ∑ θ h WFh l hx + r
j=s +1h =1
2s
r −1
∑ ∑
j=s +1 k =0
j-h
p x +r V j-s-(1/2)
[41.]
Wxj + k l xj + k V j-s-(1/2)
La evolución del valor de las reservas será el siguiente:
r −1
s +1
k =0
h =1
Vs+1 = c c2 ∑ Wxs++1k l sx++1k − ∑ θ h WFh l hx + r
r −1
s+ 2
k =0
h =1
r −1
s +3
k =0
h =1
[42.]
s +1-h p x + r
Vs+2 = Vs+1 (1 + i) + c c2 ∑ Wxs++2k l sx++2k − ∑ θ h WFh l hx + r
Vs+3 = Vs+ 2 (1 + i) + c c2 ∑ Wxs++3k l sx++3k − ∑ θ h WFh l hx + r
s + 2-h p x + r
[43.]
s +3-h p x + r
[44.]
………………………….
r −1
2s
k =0
h =1
h
h h
V2s = V2s-1 (1 + i) + c c2 ∑ Wx2s+ k l 2s
x + k − ∑ θ WF l x + r
2s-h p x + r
=0
[45.]
* N-ésimo horizonte de planificación:
Finalmente, en el último año del n-ésimo periodo de planificación se alcanzaría el
16
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número máximo de generaciones jubiladas que sería:
n s = w-(x+r),
En este caso, se podría decir que el sistema estaría en plena madurez, y la fórmula para el
cálculo de la tasa de cotización para dicho período sería:
ns
∑
c cn =
j
∑ θ h WFh l hx + r
j= (n -1)s +1 h =1
ns
∑
r −1
∑
j= ( n −1)s +1 k =0
j-h
p x +r V j-(n -1)s-(1/2)
Wxj + k l xj + k V j-(n -1)s-(1/2)
[46.]
A partir de “w-x-r” se puede considerar constante el número de generaciones
jubiladas, cada año se extingue completamente la generación incorporada “w-x-r” años
antes y es completamente sustituida por los que alcanzan la jubilación durante ese año.
Gráficamente se puede representar la evolución de la reserva, donde se aprecia la
formación de reservas al principio de cada horizonte económico y su posterior
compensación:
Reserva
Pensiones
Cotizaciones
Pensiones
Cotizaciones
Reservas
0
s
2s
t
Las características más importantes se pueden resumir en las siguientes:
1) La prima es muy sensible a la evolución demográfica del colectivo.
2) No existe ninguna garantía financiera “a priori” ni para los activos ni para
los pasivos; con lo que se mantiene uno de los principales inconvenientes del sistema
anterior.
3) Existe una transferencia de recursos intergeneracional de activos a pasivos.
4) Para ser viable desde el punto de vista operativo, debe ser obligatorio, o bien
que sea la entidad o institución la que financie, en todo o en parte, el coste de las
prestaciones.
5) Desde el punto de vista legal, ninguna Compañía de Seguros, o Entidad de
Fondos de Pensiones puede utilizar este sistema.
17
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
J. E. DEVESA y C. VIDAL
6) Se crean reservas por nivelación de prima (cuota), lo cual genera la necesidad de
una gestión adecuada.
3.4.-EL CASO ESPAÑOL.
En la Ley General de la Seguridad Social, Real Decreto Legislativo 1/1994, de
20 de junio, se establece que el sistema financiero de todos los regímenes de la
Seguridad Social será el de Reparto, para todas las contingencias y situaciones
amparadas por cada uno de ellos, sin perjuicio de la excepción en materia de Accidentes
de trabajo.
Según Monasterio, Sánchez y Blanco (1996) el sistema de pensiones de jubilación
español es de carácter público, contributivo, obligatorio y está basado en el modelo de
reparto. Es público porque es el Estado quien se encarga de regular y gestionar el
sistema, es contributivo y obligatorio porque todos los trabajadores, ya lo sean por
cuenta propia o ajena, están obligados a dedicar un porcentaje de sus rentas del
trabajo a su financiación, y es de reparto porque las prestaciones que se pagan a los
trabajadores retirados, se financian con las cotizaciones que en ese momento están
pagando los trabajadores que permanecen en activo, sin que exista una acumulación
sustancial de reservas. Los sistemas de reparto descansan sobre un contrato
intergeneracional implícito que liga a las diversas generaciones de cotizantes y
pensionistas. En un sistema de este tipo resulta necesario determinar qué parte de las rentas
del trabajo ha de ser transferida a los pensionistas y cuánto va a permanecer en manos de
los trabajadores.
Según Musgrave (1981) hay tres tipos principales de contratos conforme a los
cuales pueden determinarse los recursos que las generaciones en activo han de transferir a
las generaciones jubiladas:
1) Tasa fija de sustitución (TFS). Es el equivalente a los sistemas de prestación
definida. La pensión que recibe un trabajador es igual a un porcentaje constante de su
salario en activo. El tipo de cotización se convierte en la variable dependiente y debe
adaptarse a las necesidades recaudatorias del sistema. Los desequilibrios del sistema son
asumidos por los activos. La ecuación de equilibrio es:
C=
siendo:
C: tipo de cotización.
P: pensión per cápita.
J: número de jubilados.
W: salario per cápita.
L: número de trabajadores.
P⋅ J
W⋅L
[47.]
Responde al esquema efectuado en el desarrollo teórico.
2) Tasa fija de contribución (TFC). Es el equivalente a los sistemas de
aportación definida. En este caso, la tasa de cotización se fija previamente y la tasa de
sustitución pasa a depender de los recursos disponibles, con lo que la pensión per
cápita se obtiene al despejarla de la ecuación anterior:
18
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
P=
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
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C⋅W⋅L
J
[48.]
Los desequilibrios del sistema son asumidos por los pasivos.
3) Posición relativa fija (PRF). Es el equivalente a los sistemas mixtos. La
pensión se calcula como una proporción constante, r, del salario neto (el salario
bruto, menos la cotización) de los trabajadores. Tanto la tasa de cotización como las
pensiones se adaptan para mantener fija dicha razón. Los desequilibrios del sistema son
asumidos por los activos y por los pasivos. La pensión será:
P = r W (1-C)
[49.]
P=
C⋅W⋅L
J
[50.]
C =
r ⋅J
r ⋅J + L
[51.]
y como tiene que cumplirse:
sustituyendo y despejando queda:
El sistema de pensiones de jubilación español ha seguido un modelo de TFS;
calculándose la pensión inicial en función de las bases de cotización anteriores a la
jubilación. Esto significa que la evolución de la pensión no está normativamente
condicionada por la evolución de la tasa de dependencia pensionistas/cotizantes,
ni por la evolución de los salarios reales. Además, las pensiones se revalorizan en
función de la inflación prevista, con la finalidad de que éstas mantengan su poder
adquisitivo. Todo esto da lugar a que un aumento de la tasa de dependencia recaiga
enteramente sobre la población cotizante. Este modelo resulta atractivo en un contexto
de crecimiento demográfico y salarial, pero no en uno de envejecimiento de la población,
ya que conduce a un aumento del tipo de cotización.
19
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TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
J. E. DEVESA y C. VIDAL
3.5.- BIBLIOGRAFÍA.
Asociación Internacional de la Seguridad Social (1998): El debate sobre la reforma de la
Seguridad Social. En busca de un nuevo consenso. Un resumen. AISS, Ginebra.
Betzuen, A. y Blanco, F. (1989): Planes y Fondos de Pensiones: Su cálculo y Valoración Deusto.
Bilbao.
Devesa, J.E. y Vidal, C. (1999): "Apuntes del curso de Doctorado: Planes de previsión
públicos y privados" Mímeo. Universidad de Valencia.
Enríquez, R. (1986): “Combinación óptima de los métodos financieros de un sistema de
pensiones”. Investigaciones Económicas (Segunda época). Vol. X, nº 1.
Mateo Dueñas, R. (1997): Rediseño General del Sistema de Pensiones Español. EUNSA. Navarra.
Monasterio, C, Sánchez, I. y A. Francisco (1996): Equidad y Estabilidad del Sistema de
Pensiones Español. Fundación BBV. Bilbao.
Muñoz de Bustillo, R. y Esteve, F. (1995): "La economía básica de las Pensiones de
Jubilación" Hacienda Pública Española. Núm. 132.
Musgrave, R.A. (1981): A Reappraisal of Financing Social Security, en Skidmore, F. (Ed.)
(1981): “Social Security Financing”. MIT Press, pp. 89-127.
Nieto, U. y Vegas, J. (1993): Matemática Actuarial. Mapfre, Madrid.
Thullen, P. (1995): Técnicas Actuariales de la Seguridad Social. Regímenes de las pensiones de invalidez,
de vejez y de sobrevivientes. Informes O.IT. Ministerio de Trabajo y Seguridad Social.
Madrid.
Valdés, S. (2002): Políticas y mercados de Pensiones. Ediciones Universidad Católica de Chile,
Santiago de Chile.
Zubiri, I. (1996): Provisión Pública versus Provisión Privada de los Planes de Pensiones. Fundación
BBV. Bilbao.
20
TEMA 3: EL SISTEMA DE REPARTO SIMPLE
TÉCNICAS DE LA SEGURIDAD SOCIAL
J. E. DEVESA y C. VIDAL
3.6.- PRÁCTICAS.
EJERCICIO 1. SISTEMA DE REPARTO SIMPLE ANUAL
Dada la Tabla adjunta, de cotizantes, salarios y probabilidades de supervivencia; asumiendo
H1 (Población estable) y H2 (Pensiones y salarios constantes en términos reales);
determínese:
a) Evolución de la población cotizante y pensionista a lo largo del tiempo.
b) Año en el que se estabiliza el ratio cotizantes-pensionistas.
c) La evolución de la tasa de cotización necesaria para financiar las pensiones, suponiendo
que la pensión de jubilación se determina como media de los 25 últimos años.
d) ¿Cómo afectaría a la tasa de cotización la determinación de la pensión de jubilación
como media salarial de toda la carrera laboral?
EJERCICIO 2. SISTEMA DE REPARTO SIMPLE ANUAL
Con la misma Tabla del ejercicio anterior; asumiendo H1 (Población estable) y H3
(Pensiones y salarios evolucionan de manera diversa); determínese:
a) Evolución la pensión inicial, calculando la pensión de jubilación como media salarial de
toda la carrera laboral, y suponiendo un crecimiento salarial anual constante del 2%
b) Evolución de la masa pensional a lo largo del tiempo si las pensiones se revalorizan un
1%.
c) Evolución de la tasa de cotización necesaria para financiar las pensiones.
d) ¿Cómo afectaría a la tasa de cotización la determinación de la pensión de jubilación
como media salarial de toda la carrera laboral y un incremento salarial del 3%?
EJERCICIO 3. SISTEMA DE REPARTO DE CUOTA MEDIA ESCALONADA
Con la Tabla del ejercicio número 1; asumiendo H1 (Población estable) H2 (Pensiones y
salarios constantes en términos reales); horizonte de planificación de cinco años con
prestaciones y cotizaciones que se va a suponer que siguen una distribución uniforme con
valoración a mitad de año y tanto efectivo del 4%; determínese:
a) Tasa de cotización necesaria para financiar las pensiones.
b) Evolución anual de las reservas del sistema.
EJERCICIO 4. SISTEMA DE REPARTO DE CUOTA MEDIA ESCALONADA
Con la Tabla del ejercicio número 1; asumiendo H1 (Población estable) y H3 (Pensiones y
salarios evolucionan de manera diversa); horizonte de planificación de 10 años con
prestaciones y cotizaciones que se va a suponer que siguen una distribución uniforme con
valoración a mitad de año y tanto efectivo del 4%; determínese:
a) Tasa de cotización necesaria para financiar las pensiones si el crecimiento anual de los
salarios es un 2% y el de las pensiones un 1%.
b) Evolución anual de las reservas del sistema.
c) ¿Cómo evolucionaría la tasa de cotización y las reservas del sistema si el crecimiento
salarial anual se estableciera en un 2,5% anual?
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