Serie de Dyson - IFT UAM/CSIC: members

Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
8-1
8. Serie de Dyson.
[Ros XVI.7]
Motivación
La serie de Dyson, y la consecuente fórmula de Dyson, constituyen el equivalente de
la serie de Born en el contexto de la teorı́a de matriz S, en el sentido de que establecen
una conexión directa entre amplitudes de transición e interacciones. Dado que el
formalismo de matriz S es mucho más general que el de dispersión a dos cuerpos en
cuyo ámbito estudiamos la serie de Born, su rango de aplicabilidad es mucho mayor.
Evolución temporal en la imagen de interacción
Nos planteamos la construcción del operador ÛI (t, t0 ) que satisface
ÛI (t, t0 )|α; t0 iI = |α; tiI
∀α, t, t0 .
Tomando la derivada respecto a t en ambos miembros se obtiene
∂
∂
ÛI (t, t0 ) |α; t0 iI =
|α; tiI
∂t
∂t
i (int)
= − ĤI (t)|α; tiI
~
i (int)
= − ĤI (t)ÛI (t, t0 )|α; t0 iI ,
~
(8.1)
(8.2)
y dado que {|α; t0 i} es un conjunto completo de estados ∀α, t0 se sigue que ÛI
satisface la ecuación diferencial de primer orden
∂
i (int)
ÛI (t, t0 ) = − ĤI (t)ÛI (t, t0 ) .
∂t
~
(8.3)
Para que la solución esté perfectamente determinada, hay que añadir una condición
de contorno; la elección natural es
ÛI (t0 , t0 ) = 1̂ .
(8.4)
Teniendo en cuenta esta condición, es posible integrar formalmente y convertir (8.3)
en la ecuación integral
Z
i t 0 (int) 0
dt ĤI (t )ÛI (t0 , t0 ) .
ÛI (t, t0 ) = 1̂ −
(8.5)
~ t0
8-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Solución iterativa
Dado que (8.5) es una ecuación de tipo Volterra, podemos resolverla de forma iterativa, del mismo modo que hicimos con la serie de Born. La solución se puede
escribir como una serie de la forma
ÛI (t, t0 ) =
∞
X
(n)
ÛI (t, t0 ) ,
(8.6)
n=0
con
(0)
ÛI (t, t0 ) = 1̂ ,
(n)
ÛI (t, t0 )
i
=−
~
Z
t
t0
(int)
dt0 ĤI
(n−1)
(t0 )ÛI
(t0 , t0 ) ,
n ≥ 1.
(8.7)
Expı́citamente:
(0)
ÛI (t, t0 ) = 1̂ ,
(1)
ÛI (t, t0 ) = −
i
~
Z
t
t0
(int)
dt1 ĤI
(0)
(t1 ) ÛI (t1 , t0 ) ,
| {z }
=1̂
Z
Z t1
i 2 t
(2)
(int)
(int)
ÛI (t, t0 ) = −
dt1
dt2 ĤI (t1 )ĤI (t2 ) ,
~
t0
t0
...
(n)
ÛI (t, t0 ) =
Z
Z t1
Z tn−1
i n t
(int)
(int)
(int)
dt1
dt2 · · ·
dtn ĤI (t1 )ĤI (t2 ) · · · ĤI (tn ) .
−
~
t0
t0
t0
(8.8)
Nótese que el orden del producto de hamiltonianos (y, consistentemente, la estructura de los lı́mites de integración) es importante, ya que en general
(int)
[ĤI
(int)
(t), HI
(t0 )] 6= 0 ,
t 6= t0 .
(8.9)
Ordenación temporal de productos de operadores
Dados dos operadores dependientes del tiempo Â(t1 ), B̂(t2 ) definimos el producto
ordenado temporalmente (o T-producto) como
(
n
o
Â(t1 )B̂(t2 ) , t1 > t2 ,
T Â(t1 )B̂(t2 ) =
(8.10)
B̂(t2 )Â(t1 ) , t1 < t2 ,
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8-3
o, equivalentemente,
o
n
T Â(t1 )B̂(t2 ) = θ(t1 − t2 )Â(t1 )B̂(t2 ) + θ(t2 − t1 )B̂(t2 )Â(t1 ) ,
(8.11)
donde θ es la función escalón. Esta definición se generaliza de manera trivial al
producto de un número arbitrario n de operadores: basta considerar las n! permutaciones posibles, y elegir aquella que corresponde al orden decreciente de los
argumentos temporales.
La ventaja de introducir el T-producto es que permite reescribir de manera
sencilla las integrales que acabamos de encontrar en la construcción de ÛI . En
particular, se demuestra fácilmente que
Z tn−1
Z t1
Z t
dtn Â(t1 )Â(t2 ) · · · Â(tn ) =
dt2 · · ·
dt1
t0
t0
t0
=
1
n!
Z
t
Z
t
Z
t0
t
dt2 · · ·
dt1
t0
n
o
dtn T Â(t1 )Â(t2 ) · · · Â(tn ) .
t0
(8.12)
Nótese que ahora todos los intervalos de integración son idénticos, y el orden de
las integrales es intercambiable. Para ver que en efecto (8.12) es cierta ∀n se puede
proceder por inducción; la técnica queda suficientemente ilustrada con el caso n = 2:
Z t
Z t
Z t
n
o Z t
n
dt1
dt2 T Â(t1 )Â(t2 ) =
dt1
dt2 θ(t1 − t2 )Â(t1 )Â(t2 )
t0
t0
t0
t0
o
+ θ(t2 − t1 )Â(t2 )Â(t1 )
Z t
Z t1
Z t
Z t2
=
dt1
dt2 Â(t1 )Â(t2 ) +
dt2
dt1 Â(t2 )Â(t1 )
t0
t0
t0
t0
{z
}
|
relabel t1 ↔t2
Z
t
=2
Z
t1
dt1
t0
dt2 Â(t1 )Â(t2 )
q.e.d.
t0
(8.13)
Fórmula de Dyson
Si introducimos (8.12) en (8.7) el término n-ésimo de la serie se puede escribir como
Z
Z t
Z t
n
o
1
i n t
(n)
(int)
(int)
(int)
ÛI (t, t0 ) =
−
dt1 dt2 · · · dtn T ĤI (t1 )ĤI (t2 ) · · · ĤI (tn )
n!
~
t0
t0
t0
n Z t
1
i
(int)
:=
T −
dt0 HI (t0 )
.
n!
~ t0
(8.14)
8-4
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Con esta definición, la serie (8.6) tiene el aspecto formal del desarrollo en serie de
Taylor de una exponencial. Por lo tanto, podemos conseguir una notación compacta
definiendo la T-exponencial
Z t
i
(int)
ÛI (t, t0 ) := Texp −
dt0 HI (t0 ) .
(8.15)
~ t0
Es importante señalar que esta es una expresión formal, y el cálculo detallado requiere evaluar orden a orden las integrales de (8.7). Por otra parte, la última ecuación
proporciona una fórmula muy sugestiva para la matriz S: basta tomar el lı́mite
t0 → −∞, t → +∞ para escribir
i
Ŝ = Texp −
~
Z
+∞
0
dt
−∞
(int)
HI (t0 )
.
(8.16)
Esta es la llamada fórmula de Dyson.
Discusión
La fórmula de Dyson nos proporciona una expresión exacta para el operador matriz S
en términos de la parte del hamiltoniano que describe las interacciones del sistema.
Por lo tanto, en el momento en que hayamos construido observables de dispersión
en términos de la matriz S (más concretamente, de las amplitudes de transición),
podremos utilizarla para conseguir información sobre Ĥ (int) a partir de los mismos.
Como hemos mencionado varias veces, la serie de Dyson es esencialmente una
generalización de la serie de Born. En particular, también es útil para tratar en la
práctica los sistemas en los que las interacciones sean débiles, de manera que tenga
sentido tratar Ĥ (int) como una perturbación en Ĥ = Ĥ0 + Ĥ (int) . En ese contexto la
serie (8.6) se puede interpretar como una expansión perturbativa, y al primer orden
no trivial la matriz S tendrı́a la forma
Z +∞
i
(int)
Ŝ ≈ 1̂ −
dt0 HI (t0 ) .
(8.17)
~ −∞
Esta última ecuación puede considerarse (el punto de partida para) una versión
generalizada de la aproximación de Born.