como evolucionan los sistemas planetarios? Frederic Masset

Aventuras migratorias: ¿como evolucionan los sistemas planetarios?
Frederic Masset
Introducción
Desde el descubrimiento del primer exoplaneta (o planeta extrasolar) a finales del
1995 por Michel Mayor y Didier Queloz, se han descubierto a la fecha alrededor de
700 planetas extrasolares. Las características orbitales de estos planetas, en muchos
casos, no tienen nada en común con las de los planetas de nuestro sistema solar. Una
de las grandes sorpresas de la llamada « caza de planetas » ha sido el descubrimiento
de una gran proporción de planetas con órbitas muy pequeñas y períodos orbitales que
se miden en días, que se suelen llamar planetas « calientes ». Así mismo, se han
descubierto una gran proporción de planetas cuyas excentricidades son mucho
mayores a las de los planetas del sistema solar (ciertas excentricidades pueden superar
0.9 !). Otra sorpresa mas reciente es el descubrimiento de planetas calientes que
tienen una órbita retrograda, o sea que dan la vuelta alrededor de su estrella en sentido
contrario al sentido de rotación de esta última.
Este trabajo describe como los efectos de marea entre un planeta y el disco gaseoso
dentro del cual se forma pueden contribuir a entender la variedad de los sistemas
planetarios. Si bien estos efectos no son los únicos en esculpir los sistemas planetarios
nacientes, desempeñan un papel de primer orden. La importancia de estos efectos se
debe a la gran cantidad de masa disponible en el gas, la cual es susceptible de llevarse
o entregar al planeta una cantitad importante de momento angular y energía orbital, y
por ende de afectar sus elementos orbitales de manera considerable. La teoría de estos
efectos ha alcanzado un nivel de refinamiento bastante importante. Sin embargo,
muchos de los efectos de marea se manifiestan, como lo veremos a continuación,
como el residuo sútil entre grandes efectos antagónicos, lo cual implica que
necesitamos un conocimiento preciso de las condiciones que prevalecen en el disco
para que la teoría de los efectos de marea tenga algun poder predictivo.
Nuestro conocimiento de la física de los discos protoplanetarios en las regiones donde
se forman los planetas (típicamente debajo de 10 unidades astronómicas) es muy
escaso y dependiente de los modelos, ya que ningun instrumento todavía nos permite
resolver estas regiones altamente embebidas de la llamada fase T Tauri, durante la
cual la protoestrella está rodeada de un disco de gas masivo. A consecuencia, es
todavia prematuro poder predecir las propiedades de los sistemas planetarios a los
cuales estos objetos van a dar a luz. Sin embargo, esta situación va a cambiar en los
próximos años, gracias a la puesta en servicio de ALMA (Atacama Large Millimeter
Array), que permitirá resolver estas regiones en los objetos T Tauri.
En este trabajo voy a describir como las interacciones de marea afectan
principalmente al eje semi-mayor de un protoplaneta, proceso llamado migración
planetaria. Describiré los distintos tipos de migracion conocidos a la fecha, y como la
física del disco tiene impacto sobre la dirección y tasa de migración. Naturalmente,
los efectos de marea pueden tambien afectar los otros elementos orbitales
(excentricidad, inclinación, etc.), pero en este caso el efecto es, por lo general,
trivialmente una amortiguación de la excentricidad (es decir una circularización de la
órbita) o de la inclinación (es decir un alineamiento del plan del disco y de la órbita).
1. Migración de tipo I
Debido a la observación anterior (que los efectos de marea suelen amortiguar las
excentricidades, lo cual hacen sobre una muy corta escala de tiempo), es válido
suponer que las órbitas de los protoplanetas son casi-circulares. A consecuencia es
relevante considerar exclusivamente la componente tangencial de la fuerza de marea
debida al disco, y la torca de dicha componente. En el caso de la órbitas casí
circulares, el estudio de la migración se reduce a un estudio de las torcas de marea.
Si submergimos un planeta en un disco gaseoso inicialmente no perturbado, excita por
gravedad una estela espiral, de un brazo, que se propaga radialemente en el disco y
corota con el planeta. Esta situación se muestra en la figura 1.
Figura 1. Estela espiral excitada en un disco gaseoso delgado por un planeta de baja
masa. Se grafica en colores falsos la densidad de superficie del disco. El objeto
central (estrella de tipo T Tauri) está en el centro del disco negro central, que
corresponde a una región no cubierta por la malla de computo.
La estela así generada corresponde a regiones mas densas del disco (correspondiendo
a la estela) que ejercen una fuerza gravitatoria sobre el planeta, la cual es el resultado
neto de las fuerzas ejercidas por el brazo interno y por el brazo externo, que tienen
direcciones opuestas. Por razones históricas, la torca correspondiente se llama torca
de Lindblad. Existe otra componente de la torca, cuyo origen no es la estela, sino el
material que está cerca de la orbita, y que ejecuta, en el referencial corotante con el
planeta, trayectorias cerradas en forma de herradura. Este material deriva lentamente
con respecto al planeta, e intercambia con el momento angular cuando ejecuta vueltas
en U en las extremidades de la región herradura. La figura 2 muestra el aspecto de
unas líneas de corriente herradura.
Figura 2. Representación de algunas líneas de corriente en la región coorbital de un
planeta massivo (abajo, en en punto mas oscuro de la estela). El disco naranja
representa un elemento de fluido sentado en una línea herradura. Todas las líneas
mostradas aquí no son de tipo herradura, como se puede apreciar en la parte inferior
de la figura. Solamente las que yacen lo mas cerca de la órbita presentan la
característica « vuelta en U ». El ancho de la región herradura crece con la masa del
planeta, razón por la cual para esta figura se escogió un planeta gigante.
La tasa de intercambio de momento angular entre el planeta y los elementos de fluido
en las extremidades de la region herradura corresponde a lo que se llama la torca de
corotación. La torca total ejercida por el disco sobre el planeta corresponde a la torca
de corotación y a la torca diferencial de Lindblad. Vamos a presentar ambas torcas en
mas detalle.
1.1 Torca diferencial de Lindbad
La torca diferencial de Lindblad, que corresponde como lo mencionamos mas arriba,
a la torca ejercida por la estela, tiene la siguiente expresión (Ward, 1997 ;
Paardekooper et al. 2010):
LR  (2.5 1.7  0.1)2a4q2h 2

donde ∑ es la densidad de superficie del disco, a es el radio orbital del planeta, q el
cociente de masas del planeta y de la estrella, h la relación de aspecto H/R del disco.
Dentro del parentesis,  representa la pendiente (sin dimensión) del perfil de
temperatura :
d logT
,
d logr
y  representa la pendiente (sin dimensión) del perfil de densidad de superficie :
d log
.
 
d logr



La formula indicada para la torca de Lindblad es válida en discos localmente
isotérmicos, es decir cuando la temperatura en la vecindad del planeta se relaja hacia
su valor de equilibrio en un tiempo menor al tiempo dinámico (orbital) del sistema.
En el caso contrario, es necesario dividir la expresión de la torca por , cociente de los
calores específicos a presión y volumen constantes (indice adiabático). La expresión
de la torca muestra algunas características muy importantes, entre las cuales :
- con valores « razonables » de la pendiente de temperatura (una temperatura que
decae hacia afuera mas lentamente que r 1.47 ), la torca es negativa y a consecuencia la
migración se hace hacia el objeto central (el planeta pierde momento angular).
- El pequeño valor del coeficiente de  vuelve la torca casí insensible al gradiente
radial de densidad de superficie. A primera vista esto puede parecer contra-intuitivo :

nos esperamos que perfiles muy agudos, correspondiendo a discos que tienen mucho
mas materia dentro de la órbita
 que afuera, podría proporcionar una torca de signo
opuesto a discos con una pendiente opuesta. Sin embargo, los discos protoplanetarios
no son discos Keplerianos stricto sensu. El gradiente radial de presión entra en juego
en el equilibrio rotacional del disco, lo cual hace que la materia rota generalmente un
poco mas despacio que el planeta. Esto induce un tralasdo radial de la estela, cuyo
efecto contrarresta los del gradiente de densidad. Este mecanismo se llama el pressure
buffer (Ward 1997), y es el mayor responsable de que la migración planetaria sea tan
insensible a las propiedades del disco, e invariablemente dirigido hacia dentro.
Nótase que la fórmula de la torca de Lindblad ha sido obtenida en la aproximación
bidimensional. Hasta la fecha no existe una fórmula obtenida analíticamente para
discos tridimensionales que abarque a la vez el gradiente de densidad de superficie y
el gradiente de temperatura, pero existen evidencias numéricas con simulaciones
tridimensionales que la fórmula en discos 3D no ha de diferir mucho de la que aquí
proporcionamos (Casoli & Masset, en prep.).
1.2 Torca de corotación
Hasta el final de los años noventa, el estudio de la región coorbital y de la torca de
corotación habia sido bastante menospreciado. Había para esto dos razones :
- primero, estudios analíticos en el regimen lineal habian demostrado que a lo mucho,
la torca de corotación podía representar 50% de la torca de Lindblad, en valor
absoluto. Era entonces admitido que era la torca de Lindblad que llevaba la batuta,
imponiendo el sentido de la migración y el orden de magnitud de la tasa (Tanaka et al,
2002).
- Segundo, se suponía que la torca de corotación saturaba, es decir que su valor
tendiera hacia cero a largo tiempo (Masset, 2001 ; Balmforth & Korycansky, 2001).
Este proceso de saturación ha sido el enfoque de numerosos estudios recentes, con lo
cual es importante presentarlo en algun detalle. Vimos mas arriba que los elementos
de fluido de la región herradura intercambian periodicamente momento angular con el
planeta, cada vez que ejecutan una vuelta en U en las extremidades de la líneas en
herradura. Periodicamente, un elemento de fluido da y recibe del planeta la misma
cantitad de momento angular, que segun el caso lo promueve a una órbita de radio
superior o le hace decaer al lado interno de la órbita. En promedio sobre el tiempo, el
elemento de fluido ejerce entonces una torca nula sobre el planeta. Ocurre lo mismo
con cada uno de los elementos de fluido de la región herradura, con lo cual la torca
media ejercida por esta región sobre el planeta se cancela. Esta cancelación (o
saturación, en la terminología consagrada) se manifiesta varios tiempos de libración
despues de la inserción de un planeta en un disco. Inicialmente, podemos ver oscilar
la torca de corotación entre valores positivos y negativos, pero a gran tiempo el valor
decae hacia cero, debido a la mezcla de fase que ocurre en esta región (cada línea de
corriente herradura tiene su propio tiempo de libración, diferente a los demas).
El proceso de saturación se muestra en la figura 3.
Figura 3: Saturación de la torca de corotación. La gráfica de la izquierda es una
vista esquematica de la región herradura, y la gráfica de la derecha muestra la torca
de corotación en función del tiempo. La curva negra es el valor de la torca de
corotación total (sumada sobre toda la región), mientras que las líneas azul y roja
muestran de manera simplificada la contribución de dos líneas de corriente
individuales, con escala arbitraria.
A lo largo de la última década, sin embargo, se ha reconsiderado las dos razones
mencionadas mas arriba por la cual se descartaba la torca de corotación :
- Se ha mostrado que en muchos casos, incluso cuando la masa del planeta es
pequeña, la torca de corotación no alcanza su valor lineal, si no que entra en un
regimen no-lineal que le confiere un valor mayor al lineal, lo cual vuelve la torca de
corotación potencialmente capaz de oponerse a la torca de Lindblad (Paardekooper &
Papaloizou, 2009)
- Los procesos disipativos en el disco (evolución viscosa, difusión térmica) pueden
impedir la saturación de la torca, que converge a gran tiempo hacia un valor finito
(Masset & Casoli, 2010).
A estas dos grandes razones, conviene agregar una última : existe una nueva
componente de la torca de corotación en los discos, que escala con el gradiente radial
de la entropía del disco. Esta componente puede ser bastante grande, y oponerse a la
torca de Lindblad, con tal que los perfiles de densidad y de temperatura del disco
lleven a un fuerte gradiente radial de entropía (Paardekooper & Mellema, 2006 ;
Baruteau & Masset, 2008 ; Masset & Casoli, 2009, Paardekooper et al, 2010).
2. Migración de tipo II
La migración planetaria de los planetas de baja masa, sujetos a ambas torcas
(Lindblad y corotación) es tradicionalmente llamada migración de tipo I. Cuando la
masa del planeta aumenta, asistimos a dos fenómenos :
- La región herradura aumenta su ancho proporcionalmente a la raíz cuadrada de la
masa del planeta, hasta que el lóbulo de Roche de este emerja del disco. Cuando esto
ocurre, la region herradura se vuelva todavía mas ancha, lo cual incrementa la torca
de corotación, que puede volverse dominante sobre la torca de Lindblad.
- La vueltas en U se vuelven asímetricas, lo cual desemboca en el vaciamiento
progresivo de la región coorbital, donde el planeta socava un surco, como se
representa en la figura 4.
Figura 4. Vueltas en U asimétricas de un planeta gigante. Si seguimos el trayecto de
uno de los dos elementos L1 o L2 aquí representados, vemos que el flujo los mapea
respectivamente en L1’ y L2’, con lo cual los tiende a alejar de la órbita (línea
horizontal punteada). Despues de varios tiempos de libración herradura, esto lleva a
un vaciamiento de la región coorbital.
La figura 5 muestra el estado del disco 99 órbitas despues de la inserción de un
planeta de masa igual a una masa de Jupiter. Claramente la migración de un planeta
en este disco truncado por efectos de marea va a ser nítidiamente diferente de la de un
planeta de baja masa que no vacía su región coorbital. En particular, al no tener
materia en el surco, apagamos la torca de corotación. El planeta es exclusivamente
sujeto a la torca de Lindblad, y esta también es muy diferente al caso de baja masa.
Para entenderlo, hay que realizar que el disco es aquí particionado en dos regiones, el
disco interno y el disco externo, y en primera aproximación suponemos que ambas
partes no intercambian materia. Si suponemos que el disco tiene las propiedades
características de los discos de T Tauri, las cuales tienen una tasa de acreción sobre la
estrella de 10-7 a 10-9 masas solares por año, entonces la materia del disco deriva hacia
el objeto central. Si el planeta no se moviera, la orilla externa del surco se aproximaría
a el, favoreciendo la torca externa, la cual es negativa (el brazo espiral del disco
externo se ubica detras del planeta, si orientamos el disco en el sentido de su
rotación), con lo cual favoreceríamos una migración hacia dentro (a una velocidad
típica mucho mayor que la del disco). Al contrario, si el planeta migrara mas
rapidamente que el disco, se favorecería la torca interna (positiva), deteniendo del
mismo modo la migración. Vemos que tenemos aquí los elementos de un
enganchamiento, tal que las torcas conspiran para mantener el planeta en el medio del
surco y así forzarlo a migrar a la misma tasa que el disco : el planeta se ha vuelto un
« super elemento de fluido » del disco y participa con los demas a la deriva viscosa
hacia el centro. Este tipo de migración se llama migración de tipo II, y es el tipo de
migración que caracteriza los planetas gigantes (los planetas cuyo lóbulo de Roche es
de tamaño mayor al espesor del disco, Crida et al. 2006).
Figura 5. Surco en la región coorbital de un protoplaneta de masa joviana, 99
órbitas despues de la inserción del planeta en el disco. El planeta no está autorizado,
en esta simulación, a acretar gas del disco, con lo cual el surco es exclusivamente
vaciado mediante efectos de marea.
La migración de tipo II tal como está descrita en las lineas anteriores solamente puede
ocurrir si no hay comunicación entre el disco interno y el disco externo. En la
realidad, puede haber un flujo de materia entre ambos discos, una parte del cual puede
acabar desviada hacia el planeta, donde se acreta. Tambien hay que notar que el disco
moverá eficazmente el planeta solamente cuando la masa de ese último es comparable
con la masa del disco. En las últimas etapas de la formación planetaria, cuando el
disco se vuelve tenue, ya no puede absorber una cantitad de momento angular que
mueva significamente el planeta. Este último detiene su migración, y la materia
atraviesa el surco para que prosiga la acreción. La migración de tipo II es mucho
menos problemática que la migración de tipo I. Es mas lenta, y si bien el planeta se
acerca a la estrella en el tipo II, lo hace de manera cada vez mas lenta (por el
aumento de su propia masa y el decrecimiento de la del disco que lo rodea).
3. Migración de tipo III
La migración de tipo III, o desbocada, se da en ciertas condiciones, en discos
masivos, cuando la torca de marea se vuelve sensible a la tasa de migración del
planeta. Esta situación particular existe cuando un planeta depleta parcialmente su
region coorbital, es decir para planetas sub-gigantes, típicamente saturnianos. En
condiciones normales, la tasa de migración depende de la torca (que impone la tasa de
pérdida de momento angular, y por ende de radio orbital, para una órbita casícircular). Esto siempre es el caso, pero en el caso de la migración desbocada, la torca
es ademas una función de la tasa de migración. Tenemos entonces los ingredientes
para un ciclo de retroacción. En este caso, se trata de retroacción positiva : « la
consecuencia incrementa la causa ». Potencialmente, los ciclos de retroacción positiva
pueden dar lugar a desbocamiento. Esto pasa si el disco es lo suficientemente masivo
(Masset & Papaloizou, 2003). De manera mas precisa, es la torca de corotación la que
puede depender de la tasa de migración, a traves de la deformación que experimentan
las órbitas herradura cuando el planeta migra. La figure 6 muestra el diagrama
esquemático del ciclo de retroacción, y la figura 7 el diagrama de ocurrencia de la
migración de tipo III o desbocada en el espacio (Masa del planeta, Masa del disco).
Figura 7. La torca total es la suma de la torca de Lindblad (LR) y de la torca de
corotación (CR). Esta torca total, via el operador A de cadena directa, impone la tasa
de migración. Esta ultima, via el operador B de cadena de vuelta, altera la torca de
corotación. El tiempo de latencia del ciclo es del orden del tiempo de libración en las
órbitas herradura.
La migración de tipo III añade potencialmente una gran variedad a la « historia
migratoria » de un planeta dado. Al contrario de los dos otros tipos de migración (I y
II) que son esencialmente monótonos y cuyas tasas dependen exclusivamente de las
propiedades locales del disco, la migración de tipo III es reversible (se puede dar tanto
hacia adentro como afuera), y depende no solamente de las propiedades locales del
disco si no también de la tasa de migración instantánea del planeta, la cual depende de
su historial migratorio (cuya memoria está almacenada en la región herradura).
4. Migración Estocástica o Difusiva
Los tipos de migración contemplados anteriormente suponen un disco protoplanetario
laminar. Los discos protoplanetarios, si bien deben su acreción hacia el objeto central
a procesos que pueden modelizarse a gran escala como una viscosidad, son en
realidad turbulentos, y no laminares. El origen de dicha turbulencia, bastante
controversial, es generalmente atribuido a la llamada inestabilidad magnetorotacional
(MRI).
Figura 8. La región gris es el dominio de ocurencia de la migración desbocada. Esta
se ve preferencialmente para planetas de la masa de Saturno, embebidos en discos
mas masivos que la llamada MMSN (Minimum Mass Solar Nebula, o nebulosa solar
de masa mínima).
En un disco turbulento, el planeta, ademas de la torca de su propia estela, está
sometido a la torca estocástica originada por las fluctuaciones aleatorias de densidad
en su vecindad. Esta componente estocástica causa una caminata aleatoria del semieje mayor que se superpone a los efectos sistemáticos de la estela (Johnson et al.
2006). La evolución del protoplaneta puede entonces describirse en terminos
probabilísticos, con una densidad de presencia. Si arrancamos el planeta en una
posición dada, esta densidad es inicialmente una singularidad (una función  de
Dirac) que se va derramando, al mismo tiempo que su centro de simetría deriva
radialmente. En un sentido, agudiza los problemas de tiempo de migración de tipo I,
ya que tiende a bajar la esperanza de vida de un planeta dado (el tiempo que necesita
para caer en la estrella), pero por otro lado la naturaleza estadística de este tipo de
migración permite a una fracción de los planetas sobrevivir, por suerte, sobre todo el
tiempo de vida del disco.
5. Migración de varios planetas
Una situación importante y común, segun las estadísticas orbitales de exoplanetas, es
cuando se tienen varios planetas en el disco, que experimentan migración convergente
(el cociente de sus ejes semi-mayores tiende a decrecer con el tiempo). En este caso
los planetas suelen atraparse en resonancias de medio movimiento (sus períodos
orbitales se vuelven comensurables, con cocientes del tipo m :m+1 o m :m+2, donde
m es un entero). El tipo de resonancia en el cual se enganchan los planetas, así como
las propiedades del los angulos resonantes, almacenan información importante sobre
la manera en que se dio la migración convergente (Rein & Papaloizou, 2009) o sobre
las propiedades de la turbulencia en los discos (Lecoanet et al. 2009). Además, en el
caso de los planetas gigantes, los efectos mutuos pueden revertir la migración de tipo
II (Masset & Snellgrove, 2001). Este mecanismo, recientemente bautizado
« bordada », podría explicar a la vez porque en nuestro sistema solar Jupiter no migró
mas hacia adentro, porque la masa de Marte es pequeña, y podría rendir cuentas de las
fracciones de populaciones de diferentes cuerpos en el cinturón de asteroides (Walsh
et al. 2011).
Bibliografía
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