listado 4

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
HPV/
LISTADO 4
520141
1. En los ejercicios siguientes use las reglas de derivación para obtener una fórmula para la derivada de la función dada
x
x2 + 3x + 2
a) f (x) =
b) f (x) = 4
x 1
x + x2 + 1
x sin x
c) f (x) =
d) f (x) = (2 x2 ) cos(x2 ) + 2x sin(x3 )
2
1+x
r
p
1 2x
e) f (t) = (3t + 1) 7t + 5
f) y =
3x +p2 p
2
3
4
g) f (x) = 1 + x1
2 + x12
h) f (x) = 4x 2x 3 3x + 2
q
p
p
i) f (x) = x + x + x
j) f (x) =
sin(x2 1)
;
1 x
x 6= 1
, f (1) =
2:
2. Para las funciones:
f (x) = sin x1 ; x 6= 0 ; f (0) = 0
g(x) = x sin x1 ; x 6= 0 ; g(0) = 0
h(x) = x2 sin x1 ; x 6= 0 ; h(0) = 0
analice su continuidad y derivabilidad en cada punto de su dominio (todo el
conjunto de los reales). ¿Es la derivada de h una función continua en el punto
a = 0?
Use un PC para gra…car estas funciones en un intervalo que contenga al origen.
3. Analice la derivabilidad de la función en cada punto de su dominio:
a) f (x) = j4
b) f (x) =
x2 j
x3 2x + 1 si x 1
2x2 3x
si x > 1
4. Sea f (x) = x2 + ax + b; x 2 R. Encuentre valores de a y b tales que la recta
y = 2x sea tangente al grá…co de f en el punto (2; 4).
5. Considere el grá…co del polinomio cúbico f (x) = x x3 , sobre el intervalo
[ 2; 2]. Encuentre constantes m y b tales que la recta y = mx + b sea tangente al grá…co de f en el punto ( 1; 0). Una segunda recta que pasa por
( 1; 0) también es tangente al grá…co de f en un punto (a; c); encuentre las
coordenadas de a y c.
6. Encuentre un polinomio p(x) = ax3 +bx2 +cx+d tal que p(0) =
p00 (0) = 3 y p000 (0) = 12.
2, p0 (0) = 1,
7. Encuentre una ecuación de la recta tangente al grá…co de la ecuación dada, en
el punto que se indica:
a) sin(x + y) = 2x , en (0; )
b) x3 + y 3 = 3xy , en
c) x3 + y 2
xy
3 3
;
2 2
3 = 0, en (1; 1) :
8. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse 9x2 + 16y 2 = 52, que
son paralelas a la recta 9x 8y = 1:
9. Muestre que la función f (x) = 20 cos 3x 7 sin 3x satisface la ecuación diferencial
d3 y
d2 y
dy
+
9
9y = 0
dx3 dx2
dx
10. Un círculo de radio 1 y centro en el eje y se inscribe en la parábola y = 2x2 .
Determine los puntos en que el círculo y la parábola se tocan.
11. Un proyectil es lanzado verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial
de v0 [pies/seg]. La altura del proyectil t segundos después del lanzamiento
está dada por la fórmula
f (t) = v0 t 16t2
a) Muestre que la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo de t a
t + h está dada por
(v0 32t 16h)[pies=seg]
y deduzca que la velocidad instantánea en el instante t es
(v0
32t)[pies=seg]
b) Encuentre el tiempo requerido para que la velocidad sea cero.
c) ¿Cuál es la velocidad de retorno a la Tierra?
d) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial para que el proyectil retorne a la Tierra
10 seg. después de lanzado?
e) Muestre que el proyectil se mueve con aceleración constante.
12. A las 12 horas de un cierto día, un camión está a 500 km. al este de un
automóvil. El camión viaja hacia el oeste a 50 km/h y el automóvil hacia el
de la distancia entre ellos,
norte a 100 km/h. Encontrar la razón de cambio ds
dt
para cada instante t:
2
13. Hallar los valores de las constantes a; b y c para los cuales los grá…cos de los
polinomios de ecuación
f (x) = x3
ax + 2x + b
y g(x) = x2 + cx
3
se corten en el punto (1,2) y sus respectivas rectas tangentes sean perpendiculares en dichos puntos.
14. La sección transversal de una artesa de 5 pies de largo es un trapecio isósceles
con base inferior de 2 pies, base superior de 3 pies y 2 pies de altura. Si se llena
3
¿A qué rapidez aumenta el nivel del agua cuando
con agua a razón de 1 pie
min
éste alcanza 1 pie de altura?
15. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice
hacia abajo. La altura es de 10 mts. y el radio basal 15 mts. Inicialmente
el nivel del agua es de 6 mts. Se saca
h 3un
i tapón en el vértice de modo que
h 3 iel
m
m
agua sale por el fondo a razón de 1 seg . Si se vierte agua a razón de c seg
,
h i
m
calcular el valor de c para que el nivel del agua ascienda a 4 seg
cuando el
agua alcanza una altura de 8 mts.
16. Una esfera de hierro de 8 cm. de diámetro está recubierta con una capa de
hielo de grosor uniforme. Si el hielo se derrite a razón de 10 cm3 = min :
a) ¿con qué velocidad disminuye el grosor de la capa de hielo en el instante en
que mide 2 cm.?
b) ¿con qué rapidez disminuye el área de la super…cie exterior del hielo en el
mismo instante?
17. Una piscina tiene 8 mts. de ancho y 12 mts. de largo, 1 mt. de profundidad
en un extremo y 3 mts. de profundidad en el otro, siendo el fondo un plano
m3
inclinado. Si se bombea agua dentro de la piscina a razón de 0:3 min
. ¿Con que
rapidez se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 1:12m. de profundidad
en el en el extremo más hondo?
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