2006 - EMESTRADA, exámenes de selectividad de Andalucía

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2006
MATEMÁTICAS II
TEMA 4: FUNCIONES

Junio, Ejercicio 1, Opción A

Junio, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 1, Opción A

Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción B
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Determina un punto de la curva de ecuación y  x  e  x en el que la pendiente de la recta
tangente sea máxima.
MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
2
R E S O L U C I Ó N
La pendiente de la recta tangente es máxima en el punto de inflexión. Luego vamos a calcular los
puntos de inflexión de esta función.
y '  1 e  x  x  ( 2 x)  e  x  e  x  (1  2 x 2 )
2
2
2
y ''   2 x  e  x (1  2 x 2 )  (4 x)  e  x  e  x  (4 x 3  6 x)
2
2
2
Igualando a cero la segunda derivada, obtenemos:

x  0

3

 x2
3
3
y ''  0  e  (4 x  6 x)  0  (4 x  6 x)  0   x 
2


3
x  
2

De los tres posibles puntos de inflexión, el de pendiente máxima es el (0,0), ya que:
m  y '( x  0)  1

m  y '  x 


m  y '  x  

3

3
2


2

e

2 
3

3
  2  e 2
2
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x4  3
, para x  0 .
x
a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.
b) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f.
c) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
d) Esboza la gráfica de f.
MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
Sea f la función definida por f ( x ) 
R E S O L U C I Ó N
a) El dominio de la función f ( x ) es
  0  . La función no corta a ninguno de los dos ejes.
Asíntotas Verticales: La recta x  0 es una asíntota vertical ya que lim f ( x)   
x 0
3x 4  3
 0  x  1
b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' 
x2
(―,―1)
(―1,0)
(0,1)
(1,)
Signo y '
+
―
―
+
Función
C
D
D
C

Máximo(―1,―4)

No existe

mínimo(1,4)
6x 4  6
; y ''  0  NO
c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: y '' 
x3
(―,0)
(0,)
Signo y '
―
+
Función
Cn
Cx
d)
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Sea f : 
la función definida por f ( x )  Ln ( x 2  1) , siendo Ln la función logaritmo
neperiano.
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la
función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa
negativa.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( x) 
(―,0)
(0,)
Signo y '
―
+
Función
D
C
2x
0 x 0
x 2 1

mínimo (0,0)
b) Los posibles puntos de inflexión son las soluciones de f ''( x)  0 .
f ''( x) 
2  ( x 2  1)  2 x  2 x 2 x 2  2
 2
 0  x  1
( x 2  1) 2
( x  1) 2
Nos están pidiendo la recta tangente en x   1 . Su ecuación será:
y  f (1)  f '(1)  ( x  1)  y  ln 2  1 ( x  1)  y   x  1  ln 2
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 1
1 
Calcula lim 

 siendo Ln la función logaritmo neperiano.
x 1
 Ln x x  1 
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
1
1
x
1 
x  1  ln x 0
 1
lim 

     lim
  lim


x 1 ln x
x 1 ( x  1)  ln x
x 1 
0 x 1 1 ln x  ( x  1)  1

x
x 1
x 1
0
1
1
x
 lim
 lim
  lim

x 1 x  ln x  ( x  1)
x 1 x  ln x  ( x  1)
0 x 1 1 ln x  x  1  1 2
x
x
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x2  x 1
x2  x 1
a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores
que alcanza en ellos la función f.
c) Esboza la gráfica de f.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 2 EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
Sea f :

la función definida por f ( x ) 
R E S O L U C I Ó N
a) El dominio de la función f(x) es
Asíntotas Verticales: No tiene.
x 2  x 1
1  y 1
x 
x  x 2  x  1
Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal.
Asíntotas Horizontales: lim f ( x)  lim
b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' 
2 x2  2
 0  x  1 y 1
( x 2  x  1) 2
(―,―1)
(―1,1)
(1, )
Signo y '
+
―
+
Función
C
D
C

Máximo (―1,3)

 1
mínimo 1, 
 3
c)
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x ( Ln x ) 2
, siendo Ln la función logaritmo
( x  1)2
neperiano. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función.
En caso de que exista, hállala.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
Sea f : (1,   ) 
la función dada por f ( x ) 
R E S O L U C I Ó N
1
1
1
1  (ln x) 2  2 ln x   x
2 ln x   2 

x   lim
x
x 
x

2  ( x  1)

2
1
2
2 (ln x  1) 
x  0 0
 lim
  lim
x 
x

2x

2
2
x (ln x) 2 
lim
  lim
x  ( x  1) 2
 x 
Luego, la recta y  0 es la asíntota horizontal.
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Se sabe que la función f :[0, 5] 
2

si 0  x  2
 ax  bx
definida por f ( x )  

  4  x  1 si 2  x  5
es derivable en el intervalo (0, 5) .
a) Calcula las constantes a y b.
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) La función es derivable, luego, tiene que ser continua.
lim ax  bx 2  2a  4b 

  2a  4b  3
lim  4  x  1  3 
x 2

x 2 
a  2bx

Calculamos f '( x)   1
 2 x 1

si 0  x  2
si 2  x  5
Como es derivable se cumple que: f '(2  )  f '(2  )  a  4b 
1
2
2a  4b  3
7

Resolviendo el sistema:
1   a  ; b 1
2
a  4b  
2 
b) La ecuación de la recta tangente en x = 2 es y  f (2)  f '(2)  ( x  2)
f (2)  3
1
f '(2) 
2
1
Luego la recta tangente en x = 2 es y  3   ( x  2)  x  2 y  8  0
2
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Sea f :  la función definida por f ( x )  x 3  ax 2  bx  1
a) Determina a , b  sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de
inflexión de abscisa x = 0.
b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de
inflexión.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la primera y segunda derivada de f ( x)  x 3  ax 2  bx  1
f '( x)  3x 2  2ax  b ; f ''( x)  6 x  2a
Pasa por (2,2), nos dice que f (2)  2  8  4a  2b  1  2  4a  2b  7
Punto de inflexión en x = 0, nos dice que f ''(0)  0  2a  0
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos:
4a  2b  7 
7
 a 0 ; b  
2a  0 
2
7
La función es f ( x)  x 3  x  1
2
b) El punto de inflexión tiene de abscisa x = 0 , luego la ecuación de la recta tangente en x = 0 es
7
y  f (0)  f '(0)  ( x  0)  y  1   ( x  0)  7 x  2 y  2  0
2
La ecuación de la recta normal en x = 0 es
y  f (0)  
1
2
 ( x  0)  y  1  ( x  0)  2 x  7 y  7  0
f '(0)
7
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Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una
superficie total de 200 cm 2 . Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el
volumen sea máximo.
MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Función que queremos que sea máximo es: V   r 2 h
200  2 r 2 100   r 2

2 r
r
c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.
b) Relación entre las variables: 200  2 r 2  2 r h  h 
V   r 2h   r 2 
100   r 2
 100 r   r 3
r
d) Derivamos e igualamos a cero
V '  100  3  r 2  0  r  
100
3
Solo vale la solución positive ya que estamos calculando dimensiones, luego:
r
100
100
cm ; h  2 
cm
3
3
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Sea f :  la función definida por f ( x )  x 2  x
a) Estudia la derivabilidad de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
2

 x  x si x  0
a) f ( x)  x  x   2

 x  x si x  0
Las funciones x 2  x y x 2  x por ser polinómicas son continuas y derivables en . En el único
punto donde puede haber problemas es en x  0 , que es el punto donde cambiamos de una a otra.
Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en x  0
Veamos la continuidad de f(x) en x  0 :
1) f (0)  0
2
lim ( x 2  x)  0

2)
  lim f ( x)  0
2
lim ( x  x)  0  x0
x 0

3) f (0)  lim f ( x)  0
x 0 
x 0
Por lo tanto, la función es continua en x  0
Estudiamos ya la derivabilidad de f(x), en particular en x  0
2 x  1 si x  0
f '( x)  
2 x  1 si x  0
f '(0  )  1



  f '(0 )  f '(0 )  No derivable

f '(0 )  1

b y c) Igualamos a cero la primera derivada:
1
2x 1  0  x  
2
1
2x 1  0  x 
2
1

 ,  
2

 1 
  ,0
 2 
 1
 0, 
 2
1 
 ,
2 
Signo y '
―
+
―
+
Función
D
C
D
C

 1 1
m  , 
 2 4


1 1
Pico (0, 0) m  ,  
2 4
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Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el
otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas
de ambos recintos sea mínima.
MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
2
x2
 x
El área del cuadrado es S 1    
16
4
La longitud de la circunferencia es L  2 r  1  x , de donde r 
1 x
, y por tanto el área del
2
2
 1 x 
(1  x) 2
círculo es S 2   r   
 
4
 2 
2
x 2 (1  x) 2

La función a optimizar es la suma de las áreas: S ( x)  S 1  S 2 
16
4
Calculamos la 1ª derivada S '( x ) y la igualamos a 0.
S '( x ) 
2 x 2(1  x) 8 x  32  32 x (   4) x  4
4



0 x 
16
4
64
8
4
Calculamos la 2ª derivada S ''( x) para comprobar que es un mínimo.
4
S ''( x) 
 0  mínimo
8
Los trozos en que se ha dividido el alambre tienen de longitud x 
4
4


y 1 x  1
,
4
4 4
para que las sumas de las áreas sea mínima.
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Halla la función f :  sabiendo que f ''( x )  12 x  6 y que la recta tangente a la gráfica
de f en el punto de abscisa x  2 tiene de ecuación 4 x  y  7  0 .
MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Como f ''( x)  12 x  6 , es una función de primer grado, la función f ( x) debe ser de tercer grado, es
decir, f ( x)  ax 2  bx 2  cx  d . Calculamos la segunda derivada e igualamos a la que nos dan.
f ''( x)  12 x  6  6ax  2b  a  2; b   3
Como la recta y  4 x  7 es la recta tangente a f ( x) en x  2 , entonces se cumple que:
f '(2)  4  12a  4b  c  4  24  12  c  4  c  8
Además como y  4 x  7 es la recta tangente a f ( x) en x  2 , entonces en x  2 coinciden la
ordenada de la función y la de la recta tangente, es decir:
f (2)  y (2)  8a  4b  2c  d  1  16  12  16  d  1  d  13
Por lo tanto, la función que nos piden es: f ( x)  2 x 2  3x 2  8x  13
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