Problema de Sistemas (19 sep 2005)

Problema de Dinámica de sistemas. 19 de Septiembre 95
Sea un disco homogéneo de masa m y radio R que se mueve en un plano vertical. Sea Oxy una referencia
cartesiana rectangular del mismo en la que Oy es la vertical ascendente y el eje Ox es un suelo rugoso con
coeficiente de rozamiento al deslizamiento del disco f . El disco se mueve sobre el suelo sin poderse despegar.
Para fijar la posición del mismo se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i) la coordenada
cartesiana x de su centro de masas, ii) el ángulo ϕ que forma el radio que inicialmente está en contacto con
el suelo con la vertical descendente (VER FIGURA 1).
Inicialmente el disco se encuentra en reposo en la posición x = 0, ϕ = 0 y se aplica sobre el punto de
coordenada x más negativa del mismo una percusión de valor P (cos α~ı − sin α ~) (VER FIGURA 2).
1) Supongamos que en la etapa de percusión el disco no puede deslizar; se pide:
a) Escribir la condición cinemática de no deslizamiento.
b) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ0 (α), ϕ̇0 (α).
c) Hallar las percusiones sobre el disco en el punto de contacto.
d) Comprobar cuando es válida la hipótesis de no deslizamiento y expresar la misma mediante una
relación del tipo f ≥ Φ(α).
e) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión.
2) Supongamos que en la etapa de percusión hay deslizamiento (f < Φ(α)); se pide:
a) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ0 (f, α), ϕ̇0 (f, α).
b) Calcular la velocidad de deslizamiento del disco a la salida de la percusión y comprobar su compatibilidad con el resultado de 1.(d).
c) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión.
d) Determinar el instante (t∗ ) en que se termina el deslizamiento.
e) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento para t > t∗ .
y
y
x
G
2
P
ϕ
1
α
x
x
O
O
PROBLEMA DE DINÁMICA DE SISTEMAS SEPTIEMBRE 95
SOLUCIÓN
1.a) Ver Figura 2.
Se denomina:
sólido 2: al disco
sólido 1: al sistema de referencia inercial fijo al suelo.
Sean las siguientes coordenadas generalizadas:
ξ: la coordenada cartesiana x de G en 1
ϕ: el ángulo que forma un radio fijo al disco con la vertical descendente.
Si llamamos I al punto de contacto de ambos sólidos, la velocidad de deslizamiento
del sólido 2 con respecto al sólido 1 es:
˙ı + ϕ̇~k ∧ −R~ = (ξ˙ + Rϕ̇)~ı
v̄ I = v̄ G + ω̄21 ∧ GI = ξ~
21
21
Para que no haya deslizamiento dicha velocidad debe ser nula. Por tanto se tiene:
ξ˙ + Rϕ̇ = 0
(1)
1.b) 1.c) Ecuaciones de la Dinámica Impulsiva en Mecánica newtoniana (α ∈]0, π2 [):
y
P cos α
P sin α
H
O
x
V
Figura 1: Esquema de Percusiones sobre el disco
Las condiciones iniciales en velocidades generalizadas son nulas (reposo).
X
G
P̄ext = m∆v̄21
⇒
P cos α − H = m ξ˙0
(2)
−P sin α + V
(3)
X
M̄GPext = ∆H̄G
⇒
=0
1
P R sin α − H R = mR2 ϕ̇0
2
(4)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1, 2-4), la primera particularizada
a la salida de la percusión, se tiene:
2P
ξ˙0 =
(cos α − sin α)
3m
2P
ϕ̇0 =
(sin α − cos α)
3mR
P
H = (cos α + 2 sin α)
3
V = P sin α
π
⇒ Sale para atrás
4
π
Si α > ⇒ Gira a izquierdas
4
Si α >
1.d) La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando no hay deslizamiento
impone la siguiente condición:
|2 sin α + cos α| α∈]0, π2 [ 2
1
|H| ≤ f |V | ⇒ f ≥
=
+
|3 sin α|
3 3 tan α
1.e) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana:
y
ξ
G
2
mg ϕ
1
FR I
N
O
x
Figura 2: Posición genérica del disco con su esquema de fuerzas
X
F̄ext = m
G
dv̄21
dt
⇒
= m ξ¨
−FR
N − mg = 0
X
M̄GFext =
dH̄G
dt
⇒
=
−FR R
1
mR2 ϕ̈
2
(5)
(6)
(7)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1,5-7), con condiciones iniciales
en coordenadas generalizadas nulas y con las velocidades generalizadas a la salida de la
percusión, se tiene:
ξ¨ = 0 ⇒
ϕ̈ = 0 ⇒
N(t) = mg
FR (t) = 0
ξ˙ = ξ˙0
ϕ̇= ϕ̇0
⇒
⇒
ξ(t) = ξ˙0 t
ϕ(t) = ϕ̇0 t
< f mg = f N(t)
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)
2.a) Ecuaciones para percusiones en Mecánica newtoniana (ver Figura 1):
X
G
P̄ext = m∆v̄21
⇒
P cos α − H = m ξ˙0
X
(9)
−P sin α + V
M̄GPext = ∆H̄G
⇒
(8)
=0
1
P R sin α − HR = mR2 ϕ̇0
2
(10)
La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando hay deslizamiento introduce la ecuación adicional siguiente:
(HIPÓTESIS H > 0, V > 0)
|H| = f |V |
⇒
H = fV
(11)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (8-11) se tiene:
P
ξ˙0 = (cos α − f sin α)
m
2P
ϕ̇0 =
(1 − f ) sin α
mR
H = f P sin α > 0
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)
V = P sin α > 0
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)
Si f > cot α ⇒ Sale para atrás
2.b) La velocidad de deslizamiento a la salida de la percusión es:
P
I
(v̄21
)0 = (ξ˙0 + Rϕ̇0 )~ı = [cos α + (2 − 3f ) sin α]~ı
m
I
Para que exista deslizamiento |(v̄21
)0 | > 0; en nuestro caso, por ser H > 0, debería ser
I
(v̄21 )0 ·~ı > 0, lo que implica:
1
2
(0 <)f < +
3 3 tan α
Lo que significa que tenemos la condición opuesta a la deducida en 1.d).
2.c) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana (ver Figura 2):
X
F̄ext = m
G
dv̄21
dt
⇒
−FR
= m ξ¨
(12)
(13)
N − mg = 0
X
M̄GFext =
dH̄G
dt
⇒
−FR R
=
1
mR2 ϕ̈
2
(14)
La hipótesis de Coulomb/Morin con deslizamiento es:
|FR | = f |N|
(HIPÓTESIS FR > 0, N > 0)
⇒
FR = f N
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (12-15) se tiene:
(15)
ξ¨ = −f g
⇒
2f g
⇒
R
N(t) = mg > 0
ϕ̈ = −
FR (t) = f mg
ξ˙
f gt2
+ ξ˙0 t
2
2f gt
f gt2
ϕ̇ = −
+ ϕ̇0
⇒ ϕ(t) = −
+ ϕ̇0 t
R
R
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)
= − f gt + ξ˙0
> 0
⇒
ξ(t) = −
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)
I
2.d) El instante en el que se termina el deslizamiento será aquel en el que |v̄21
(t∗ )| = 0,
con lo que se tendrá:
I
˙ ∗ ) + Rϕ̇(t∗ )| = | − f gt∗ + ξ0 − 2f gt∗ + Rϕ̇0 | = 0 ⇒
|v̄21
(t∗ )| = |ξ(t
ξ˙0 + Rϕ̇0
P [cos α + (2 − 3f ) sin α]
t∗ =
=
3f g
3f gm
(16)
2.e) Las ecuaciones que rigen en esta fase son idénticas a las del apartado 1.e), luego su
solución general es la misma y lo que varían son las condiciones iniciales.
Las condiciones iniciales serán las del instante de no deslizamiento (??):
f g(t∗ )2
+ ξ˙0 t∗
2
∗ 2
f
g(t
)
+ ϕ̇0 t∗
ϕ(t∗ ) = −
R
˙ ∗ ) = P [ 2 cos α − 2(1 − f ) sin α]
ξ(t
m 3
4P
ϕ̇(t∗ ) =
(sin α − cos α)
9mR
ξ(t∗ ) = −
y la solución es:
˙ = ξ(t
˙ ∗ ) (t − t∗ ) + ξ(t∗ )
ξ(t)
ϕ̇(t) = ϕ̇(t∗ ) (t − t∗ ) + ϕ(t∗ )
N(t) = mg
FR (t) = 0
< f mg = f N(t)
(COMPROBADA LA HIPÓTESIS)