colección de problemas de la asignatura

Seleccionados por Daniel Alonso Ramı́rez
IUdEA, Instituto Universitario de Estudios Avanzados y Facultad de Fı́sicas
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
i
ii
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Foreword
La mayor parte de los problemas propuestos en esta colección han sido seleccionados
de los de los textos que se encuentran en la bibliografı́a. Cada problema contiene
la cita al texto del que ha sido extraido. Por ejemplo,
• 2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista1
La llamada 1 a la nota de pie de página indica que el problema 2.2.1 lo puedes
encontrar en el texto Statistical mechanics(An Advanced course with problems and
solutions), por R. Kubo,H. Ichimura, T. Usui y N. Hashitsume. Publicado por
North-Holland publishing company, 1971, como consta en la entrada [Kubo et al.
(1971)] de la bibliografı́a.
1 [Kubo
et al. (1971)]
iii
iv
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Contents
Seleccionados por Daniel Alonso Ramı́rez
Foreword
1.
Problemas de repaso
1.1
1.2
1.3
2.
iii
1
Breve repaso de termodinámica . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ecuaciones fundamentales. . . . . . . . . . .
1.1.2 Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Relaciones termodinámicas. . . . . . . . . . .
1.1.5 El cuerpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelos Mecánicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Energı́a en centro de masas . . . . . . . . . .
1.2.2 Potencial cuártico . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Potencial de Lennard-Jones . . . . . . . . . .
1.2.4 Molécula diatómica . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Grados de libertad de un sistema . . . . . .
1.2.6 Velocidad media y energı́a cinética . . . . . .
1.2.7 Algunos órdenes de magnitud . . . . . . . .
1.2.8 Órdenes de magnitud para el Argón . . . . .
Repaso de Mecánica Cuántica. . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Principio de incertidumbre . . . . . . . . . .
1.3.2 Ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Energı́a media de una partı́cula “gaussiana”
1.3.4 Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Partı́culas idénticas . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Péndulo cuántico . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Átomo de Hidrógeno . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Mini-curso de teorı́a de bandas en sólidos . .
Colectividades de Gibbs
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1
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2
2
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3
3
4
4
4
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5
5
6
6
7
7
7
9
9
11
v
vi
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
2.1
2.2
2.3
2.4
Gibbs
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Presión de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gas ideal microcanónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El oscilador armónico microcanónico . . . . . . . . . . . .
Sistema con un número finito de niveles. Temperaturas
negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Gas ideal canónico e isotermo-isobárico . . . . . . . . . . .
2.1.6 Sistemas compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Función canónica y potenciales de interacción homogéneos
2.1.8 Relación entre la capacidad calorı́fica y fluctuaciones.
Colectivo canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 El gas ideal en un campo externo . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Fluctuaciones. Colectivo gran-canónico . . . . . . . . . . .
Gibss 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Gas ideal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Gases ideales: Moléculas diatómicas . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Distribución de velocidades de Maxwell . . . . . . . . . . .
2.2.5 Capacidad calorı́fica de sólidos cristalinos: contribución
fonónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Un electrón en un campo magnético . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Partı́cula libre en una caja. Colectivo canónico . . . . . . .
2.2.8 Oscilador armónico cuántico unidimensional. Colectivo
canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gibbs 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Teorema de equipartición . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Molécula diatómica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Gas ideal. Coletividad macrocanónica . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Equilibrio sólido-gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gibbs 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Función de partición de una partı́cula libre en una caja . .
2.4.2 Modelo de red para un fluido Lattice gas . . . . . . . . . .
2.4.3 Cadena molecular lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Molécula de hidrógeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Función de partición de un sistema sujeto a una perturbación
2.4.6 Sistemas de partı́culas confinadas en una caja y
armónicamente ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Partı́culas no idénticas en d-dimensiones . . . . . . . . . .
2.4.8 N-partı́culas en una superficie bidimensional . . . . . . . .
2.4.9 Cadena unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.10 Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas
polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
11
12
12
12
12
13
13
14
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15
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17
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19
19
20
20
20
21
21
22
22
22
22
23
23
23
24
24
24
24
Contents
2.4.11 Gas ideal cuántico en dos dimensiones: Weyl law, lı́mite
termodinámico y condiciones de contorno . . . . . . . . . .
Bibliography
vii
25
27
Chapter 1
Problemas de repaso
1.1
1.1.1
Breve repaso de termodinámica
Ecuaciones fundamentales.
Obtener la ecuación fundamental u = u(s, x) para los sistemas siguientes:
(1) un mol de gas perfecto con calores especı́ficos constantes;
(2) un mol de una sustancia paramagnética que obedece la ley de Curie, M =
CH/T y cuyo calor especı́fico cM es constante;
(3) una barra elástica que obedece la ley de Hooke con constante elástica E y calor
especı́fico c constantes;
(4) una celda galvánica cuya f.e.m. E es una función de la temperatura: E =
E 0 + (aT − T0 ) y cuya capacidad calorı́fica C es constante.
La variable x se identifica con, (a) x = v, volumen especı́fico; (b) x = M,
magnetización; (c) x = , esfuerzo; (d) x = z, carga eléctrica.
1.1.2
Gas ideal
Si un gas tiene una ecuación de estado de la forma
P V = φ(T )
(1.1)
con energı́a interna U función de la temperatura T U = ψ(T ). Deducir la ley de los
gases ideales a partir de la primera y segunda ley de la termodinámica.
1.1.3
Gases ideales
Mostrar que para un gas ideal se tiene:
Cp − Cv = R
con R la constante de los gases.
1
(1.2)
2
1.1.4
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Relaciones termodinámicas.
Si se toman como variables en un sistema expansivo el volumen V y la temperatura
T , deducir de la primera y segunda ley de la termodinámica que;
∂P
T dS = Cv dT + T (
)v dV.
∂T
Obtener una relación similar para Cp .
1.1.5
El cuerpo negro.
La radiación del cuerpo negro (un gas ideal de fotones en equilibrio) puede ser
caracterizado macroscópicamente. Se puede demostrar que la energı́a interna por
unidad de volumen u es una función que depende sólo de la temperatura, y que la
presión es P = u/3.
(1) Mostrar que la entropı́a del sistema esta dada por;
dS =
4u
V du
dT +
dV.
T dT
3T
(1.3)
(2) Demostrar que,
4 d u
1 du
=
( ).
(1.4)
T dT
3 dT T
(3) Demostrar a partir del resultado del apartado (2) conduce a que u = aT 4 con
a una constante sin determinar.
(4) Obtener que la entropia S verifica S = (4/3)aT 3 V , V el volumen, donde S(T =
0) = 0.
(5) Mostrar que en un proceso a entropı́a constante se verifica;
T 3 V = constante o, P V 4/3 = constante
(1.5)
vi) Deducir la función de Hemholtz F ,
1
1
F = − aT 4 V = − U
(1.6)
3
3
(6) Calcular la función de Gibbs G = U + P V − T S
(7) De las ecuaciones que has deducido cuales son las fundamentales para el sistema.
1.2
1.2.1
Modelos Mecánicos.
Energı́a en centro de masas
La energı́a cinética de un sistema de dos partı́culas es E = (m1 v12 + m2 v22 )/2.
Expresar la energı́a en términos de la velocidad de centro de masas V, y la velocidad
relativa v, donde V = (m1 v1 + m2 v2 )/(m1 + m2 ) y v = v1 − v2
Problemas de repaso
1.2.2
3
Potencial cuártico
Una partı́cula puntual se encuentra en un potencial unidimensional,
φ(x) = ax2 + bx4 para − ∞ < x < +∞
donde b es positiva y a puede ser negativa o positiva. Dibujar el potencial y localizar
los puntos de equilibrio de la partı́cula en el caso;
Describir el movimiento clásico de la partı́cula en este campo en los tres casos.
(1) a/b > 0
(2) a/b < 0
(3) a = 0.
1.2.3
Potencial de Lennard-Jones
Dos moléculas interaccionan a través del potencial de Lennard-Jones;
φ(r) = 4
r0
r
12
−
r0
r
6 Calcular la fuerza, F , de interacción cuando las moléculas están a distancia
(1)
(2)
(3)
(4)
r
r
r
r
1.2.4
= 0.9r0
= r0
= 21/6 r0
= 2r0 . ¿Hacia donde está dirigida la fuerza en cada caso?.
Molécula diatómica
La fuerza F para un modo de oscilación simple en una molécula diatómica cuyo
potencial φ(r) tiene un mı́nimo en r = rm puede escribirse F = −k(r − rm ). ¿Bajo
que condiciones?.
(1) Haciendo un desarrollo de Taylor de φ(r) en torno al mı́nimo, mostrar que la
constante de la fuerza k es;
k=
d2 φ
dr2
r=rm
(2) Derivar una expresión para k en el caso que tengamos el potencial de Morse,
φ(r) = (e−2(c/r0 )(r−d) − 2e−(c/r0 )(r−d) )
y obtener la frecuencia natural de vibración.
(3) Haz lo mismo para el potencial de Lennard-Jones.
4
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
1.2.5
Grados de libertad de un sistema
Determinar el número total de grados de libertad f = fT + fR + fV , (T=Traslación,
R=rotación y V=vibración) para las siguientes moléculas que se representan en la
figura 1.1.
Fig. 1.1
1.2.6
(a) molécula diatómica, (b) molécula triatómica, (c) molécula triatómica no lineal.
Velocidad media y energı́a cinética
La velocidad media de una molécula a temperatura ambiente es u ≈ 480m/seg.
¿Cuál es la energı́a cinética, E, de una molécula de oxı́geno a esta velocidad?.
Calcular el número n, de tales moléculas que serı́an necesarias par tener una enegı́a
cinética del orden E = 1J, y E = 10eV .
1.2.7
Algunos órdenes de magnitud
La raı́z cúbica del volumen por molécula puede usarse como una estimación simple
de la distancia entre átomos vecinos en una sustancia.
(1) La densidad de un sólido de argón a T = −233o C es ρ = 1.65gr/cm3 , y la masa
de un átomo es m = 43 × 10−24 gr. ¿Cuál es la distancia entre átomos usando
la estimación mencionada previamente?.
(2) Consideramos ahora que el potencial intermolecular es el de esferas duras que se
representa en la figura 1.2. Si tomamos una colección de partı́culas en empaquetamiento compacto (tan próximas como se pueda unas
√ de otras), en una caja,
encontrarı́amos que el volumen por molécula es σ 3 / 2, donde σ es el diámetro
de una molécula. ¿Cuál es el diámetro efectivo que entra en el potencial de
esferas duras para un átomo de argón en fase sólida a T = −233o C?.
Problemas de repaso
5
(3) Compara la estimación hecha en cada apartado.
Fig. 1.2
1.2.8
Potencial de esferas duras
Órdenes de magnitud para el Argón
La densidad del argón lı́quido a T = −189.4o C es ρ = 1.419gr/cm3 . La masa
de un átomo de argón es m = 43 × 10−24 gr. Estimar la distancia media s, entre
átomos vecinos en el argón en fase lı́quida. Si utilizas los resultados del problema
anterior, estima la separación, s1 , entre átomos de argón en términos del número de
diámetros atómicos entre dos átomos. Haz el mismo cálculo para el argón en fase
gaseosa a T = 0o C y presión P = 1atm si la densidad es ρ = 1.78kg/m3 .
1.3
Repaso de Mecánica Cuántica.
1.3.1
Principio de incertidumbre
(1) Emplear el principio de incertidumbre para estimar el mı́nimo de energı́an, E0 ,
de una partı́cula de masa m en una caja unidimensional de lado a. Compra tu
estimación con el resultado exacto.
(2) Determinar el mı́nimo de energı́a, E0 , de los electrones en un microscopio para
o
asegurar una resolución de R = 0.1 A. Determinar la energı́a correspondiente
E00 de un fotón.
6
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
(3) La incertidumbre en posición de un electrón es ∆x = 0.5Amstrong. Determinar
la incertidumbre ∆p, del momento lineal del electrón. Un electrón se encuentra
en una caja cúbica de lado a = 0.5Amstrong. Estimar la energı́a mas baja, E0 ,
a la que se puede encontrar el electrón.
(4) Un electrón de masa me = 9.11×10−31 kg y un proyectı́l de masa M = 10gramos
viajan a una velocidad de v = 1000m/seg. Si la precisión relativa de una medida de la velocidad es ∆v = 0.01%, calcular la incertidumbre mı́nima que
habrá en la medida de posición en cada caso. Considerando los lı́mites actuales en la resolución de medidad de longitud, ¿Produce esta incertidumbre
mı́nima , evaluada para el sistema macroscópico (la bala), alguna restricción en
el procedimiento para medir su posición?.
1.3.2
Ecuaciones de ondas
Las ecuaciones de ondas son conocidas desde el siglo XIX en varios contextos. Considérese una cuerda flexible, elástica que es elongada en el eje x, entre dos puntos
x = 0 y x = L. Sea u(x, t) un desplazamiento infinitesimal vertical en la posición
x en el instante t. La ecuación diferencial que verifica u(x, t) para el caso de vibraciones libres es;
∂2u
∂2u
= a−2 2 .
2
∂x
∂t
Se puede ver que el movimiento queda descrito como una superposición de dos
ondas de velocidad constante a.
(1) Demostrar que A sin(2πx/L) × cos(2πat/L) es una solución (aunque no la más
general) de la ecuación de ondas con las condiciones de contorno u(0, t) =
u(L, t) = 0 y la condición inicial ut (x, 0) = 0.
(2) Por analogı́a sea λ = L, v = a y Ψ(x, t) = C exp i(2π/λ)(x − vt). Substituye la
longitud de onda de de-Broglie, y expresa la velocidad de la partı́cula v y masa
m en término de su momento lineal p. Finalmente, mostrar que la ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión resulta cuando se
substituye Ψ en la ecuación resultante.
(3) Examinar detalladamente las hipótesis efectuadas en este ejemplo y discernir si
la ecuación de Schrödinger está bajo las mismas limitaciones.
1.3.3
Energı́a media de una partı́cula “gaussiana”
Evaluar la energı́a cinética media, hEi, para una partı́cula cuya función de ondas
es ψ(x) = A exp −(x − x0 )2 /2a2 + ip0 x/~.
Problemas de repaso
1.3.4
7
Oscilador armónico
Sea el oscilador armónico unidimensional. El hamiltoniano del sistema es;
h2
∂2
) 2 + kx2 /2
2
8mπ ∂x
La partı́cula está en el estado estacionario ψ(x) = A exp −x2 /2a. Encontrar
Ĥ = −(
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Los valores de A y a para los cuales ψ(x) es una función de ondas normalizada.
La densidad de probabilidad de observar a una partı́cula en el punto x.
El valor medio de la coordenada de posición, hxi.
El valor medio del desplazamiento cudrático, hx2 i.
La energı́a cinética media, hp2 /2mi.
La energı́a media, hp2 /2m + kx2 /2i.
1.3.5
Partı́culas idénticas
Calcular la energı́a mı́nima disponible;
(1) Para dos bosones idénticos y,
(2) para dos fermiones idénticos, si han sido dispuestos en un contenedor cúbico
de lado a. Escribir las funciones de ondas correspondientes (simétricas y antisimétricas). Determinar en cada caso la energı́a del primer estado exitado,
E1 .
1.3.6
Péndulo cuántico
Considerérese un péndulo como el que muestra la figura 1.3. La cuerda de longitud
R se presupone sin masa e inextensible. El sistema oscila con un pequeno arco θ0
entorno a la posición de equilibrio. En este caso se considera por tanto que efectúa
un movimiento armónico simple.
(1) Demostar que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la
función de ondas ψ esta dada por,
θ2
d2 ψ 2mR2
+
( − mgR )ψ(θ) = 0
2
2
dθ
~
2
para este movimiento.
(2) Transformando adecuadamente la variable independiente θ a una nueva variable
x, demostrar que la ecuación queda transformada a,
d2 ψ
+ (λ − x2 )ψ(x) = 0
dx2
con
2R
λ=
.
~(gR)1/2
8
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
(3) Efectuar la sustitución ψ(x) = Au(x)e−x
para u(x);
2
/2
, y encontrar la ecuación diferencial
d2 u
du
− 2x
+ (λ − 1)u(x) = 0
2
dx
dx
Demostrar que la solución a esta ecuación son
u(x) = Hn (x), (n = 0, 1, 2, .., ),
si λ = 2n + 1, (n = 0, 1, ..). Las funciones Hn (x) son los polinomios de Hermite
que satisfancen las relaciones de recurrencia,
Hn0 (x) = 2nHn−1 (x)
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − Hn0 (x).
con H 0 (x) = dH/dx.
Como ejercicio, escribir H4 (x) y verificar que satisface la ecuación diferencial
para λ = 9.
(4) Si el péndulo comienza en reposo en el ángulo θ = θ0 = 4o y tiene una masa
m = 0.1kg y longitud R = 0, 5mts, calcular su energı́a clásica c . Evaluar el
número cuántico vibracional que corresponde a dicha energı́a n = c y considera la siguienta pregunta: Cuando el péndulo se relentiza, ¿porqué su energı́a
parece decrecer continuamente?. Como consecuencia da sentido a la afirmación
que la mecánica cuántica cuando se aplica a sistemas macroscópicos conduce a
resultados consistentes con la mecánica Newtoniana.
Fig. 1.3
Péndulo
Problemas de repaso
1.3.7
9
Átomo de Hidrógeno
(1) Los niveles de energı́a de un electrón en un átomo de hidrógeno están dados por
En = me e4 /820 h2 n2 = (−2.17×10−18 /n2 )J = (−13.6/n2 )eV , con n = 1, 2, 3, ...
0 = (4π × 9 × 109 )−1 N m2 /C 2 es la permitividad. Supóngase que un neutrón
con energı́a cinética E = 6.0eV colisiona con un átomo de hidrógeno en reposo
y en el estado fundamental n = 1. Empleando las leyes de conservación de la
energı́a y momento lineal, demostrar que la colisión no puede dar lugar a un
estado exitado en el átomo de hidrógeno.
(2) Supóngase que el átomo de hidrógeno sufre una transición desde el estado n = 3
a un estado n = 2. Calcular la frecuencia, ν, y la longitud de onda λ, del fotón
emitido.
1.3.8
Mini-curso de teorı́a de bandas en sólidos
(1) Un modelo simplificado de los niveles de enegı́a de un electrón en un sólido
es tratar el problema de una partı́cula que se mueve en un potencial periódico
unidimensional. La ecuación de Schrödinger para este problema se escribe
~2 π 2 ψ
2πx
~2 d 2 ψ
= Eψ
−
cos
2
2m dx
20ma2
a
Sopóngase que ψ(x) puede escribirse como
−
∞
X
2πx
ψ(x) =
Cn exp i k +
x
a
n=−∞
Empleando las siguientes identidades cos(x) = (eix + e−ix )/2 y
Z
0
a
2π
0
dx exp i (n − n )x = aδnn0
a
encontrar una relación de recurrencia entre los coeficientes Cn .
(2) Si se toman todos los coeficientes Cn con valor cero excepto C0 y C−1 , determinar los niveles de energı́a en función de k. Dibujar la función de ondas ψ en
este caso.
10
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Chapter 2
Colectividades de Gibbs
2.1
Gibbs 1
2.1.1
Presión de un gas ideal
1
La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contine puede
entenderse como el promedio temporal del momento lineal que intercambian las
moléculas que lo componen al impactar con las paredes del recipiente por unidad
de tiempo y áread del recipiente.
Calcular la presión p y demostrar que
p=
2
n
3
donde n es el número medio de moléculas por unidad de volumen y es la energı́a
cinética media por molécula.
2.1.2
Gas ideal microcanónico
2
Un gas ideal de N partı́culas de masa m consideradas puntuales, se encuentran en
una caja de volumen V . Encontrar el número de estados Ω0 (clásicos) y deducir la
ecuación de estado del gas.
Nota: El volumen de una n-esfera de radio unidad es
Cn =
2.1.3
π n/2
Γ(n/2 + 1)
El oscilador armónico microcanónico
3
Los niveles de energı́a de un oscilador armónico de frecuencia ν son:
1 [Kubo
et al. (1971)]
et al. (1971)]
3 [Kubo et al. (1971)]
2 [Kubo
11
12
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
1
3
1
hν, hν, .., (n + )hν
2
2
2
Cuando el sistema consiste en N osciladores casi independientes tiene una energı́a
total:
E=
E=
1
N hν + M hν. M entero
2
(1) Encontrar el peso termodinámico WM y,
(2) determinar la relación entre la temperatura del sistema y la energı́a E.
2.1.4
Sistema con un número finito de niveles. Temperaturas negativas 4
Se tiene un sistema de N partı́culas independientes. Cada partı́cula está en uno
de los dos niveles de energı́a 0 , −0 . Encontrar el peso termodinámico WM de
un estado con energı́a total E = M 0 ; (M = −N, .., M = +N ) y discutir las
propiedades termodinámicas del medio para E < 0, derivando las relaciones entre
la temperatura y la entropı́a asi como el calor especı́fico.
2.1.5
Gas ideal canónico e isotermo-isobárico
5
Aplicar la función canónica y la isoterma-isobárica en el caso de una estadı́stica
clásica a un gas ideal de N partı́culas y derivar sus funciones termodinámicas.
2.1.6
Sistemas compuestos
6
Se tienen varios sistemas S1 , S2 , .. que son casi independiente. Si la interacción
entre los sistemas es muy débil se puede considerar como sistema total al sistema
S1 + S2 + · · · .
Demostrar que la función de partición ZS1 +S2 +··· y la energı́a libre FS1 +S2 +···
verifican;
ZS1 +S2 +··· = ZS1 · ZS2 · · · , y
FS1 +S2 +··· = FS1 + FS2 · · ·
2.1.7
Función canónica y potenciales de interacción homogéneos
(2.1)
7
Para un sistema de N partı́culas contenidas en una región V y hamiltoniano;
4 [Kubo
et al. (1971)]
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
6 [Kubo et al. (1971)]
7 [Kubo et al. (1971)]
5 [Fernandez
Colectividades de Gibbs
H=
N
X
pi 2
i=1
2m
13
+ U (r1 , r2 , · · · )
donde ri y pi son posiciones y momentos de la partı́cula i-ésima, la función de
partición canónica es;
Z(V, N, T ) =
1
N!
Z
exp −(βH) =
(2πmkT )3N/2
I(V, T )
N!
con
Z
Z
···
I(V, T ) =
exp −(βU (r1 , r2 , · · · ))dr1 dr2 · · · drN .
V
Demostrar que si el potencial es una función homogénea de grado n
(U (λr1 , λr2 , · · · ) = λn U (r1 , r2 , · · · )) la función V −N I(V, T ) lo es sólo de la variable
V −n/3 T .
2.1.8
Relación entre la capacidad calorı́fica y fluctuaciones. Colectivo canónico 8
Sea Z la función de partición canónica y < A > el promedio de una cantidad A del
sistema definido como;
hAi = Z −1
Z
A exp −βH
con H el hamiltoniano del sistema.
Demostrar que si Cv es la capacidad calorı́fica a volumen constante,
hH 2 i − hHi2 = kB T 2 Cv ,
y deducir que por lo tanto que el calor especı́fico no puede ser negativo. Nota:
Emplear la desigualdad de Schwartz.
2.1.9
El gas ideal en un campo externo9
Demostrar que la función de partición gran-canónica de un sistema confinado en
una región de volumen V y cuyo hamiltoniano H es;
H=
N
X
p2i
+ u(ri )
2m
i=1
esta dada por:
8 [Kubo
9 [Kubo
et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
et al. (1971)]
14
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
ZG (V, T, z) = exp (zq(V, T ))
donde z es la fugacidad y
q(V, T ) = (2πmkT )3/2
Z
exp −βu(r)dr.
V
Deducir que la ecuación de estado para este sistema sigue siendo la de un gas
ideal a pesar de la presencia del potencial u(r).
2.1.10
Fluctuaciones. Colectivo gran-canónico10
Demostrar que la fluctuación cuadrática media del número de partı́culas en la distribución gran canónica puede escribirse como:
hN 2 i − hN i2 = z∂z z∂z log ZG (V, T, z)
Deducir que para un gas ideal la raı́z cuadrada de la fluctuación cuadrática
media verifica;
2.2
h(N − hN i)2 i
hN i2
1/2
= hN i−1/2
Gibss 2
2.2.1
Gas ideal ultrarrelativista11
Determinar la función de partición de un gas ideal clásico de N partı́culas ultrarrelativistas contenidas en un recinto R de volumen V a la temperatura T . El
hamiltoniano del gas es,
HN = c
N
X
|pi |,
(2.2)
i=1
donde c es la velocidad de la luz. Calcular la energı́a media y la ecuación de estado
del gas.
10 [Fernandez
11 [Kestin
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs
2.2.2
Gas ideal relativista
15
12
El hamiltoniano de un gas ideal de N partı́culas relativistas contenidas en un dominio D es,
HN =
N q
X
pj 2 c2 + m2 c4 ,
(2.3)
j=1
donde m es la masa de las partı́culas y c es la velocidad de la luz. Determinar la
función de partición, la energı́a media y el calor especı́fico por patı́cula.
Nota: La funcion de Bessel de argumento imaginario Kn (x) tiene la siguiente
representación integral;
√
Kn (x) =
x 2
π
Γ(n + 1/2) 2
Z
∞
(sinh θ)2n e−xcoshθ dθ
0
1
1
1
<(n) > − , <(x) > 0 ó <(x) = 0 y
< <(n) < .
2
2
2
2.2.3
Gases ideales: Moléculas diatómicas
2.2.3.1
(2.4)
13
Energı́a media y capacidad calorı́fica
El hamiltoniano de una molécula diatómica contenida en un recinto R de volumen V
se escribe como la suma de términos asociados a su energı́a traslacional, rotacional
y vibracional,
H = Htras + Hrot + Hvib
(2.5)
con,
P2
+ V (R);
2M
2
2
µω
p
(r − r0 )2 ;
Hvib = r +
2µ
2
p2φ 1
2
Hrot =
p
+
2µr02 θ sin2 θ
Htras =
(2.6)
(2.7)
(2.8)
La energı́a traslacional es la del centro de masas de la molécula R, donde M e
la masa total de la molécula, P es el momento lineal del centro de masas y V (R)
es un potencial que confina a la molécula en el recinto R. En el hamiltoniano de
vibración, r es la distancia interatómica, pr su momento conjugado, este describe
vibraciones armónicas de una partı́cula de masa µ( masa reducidad de la molécula)
12 [Kestin
13 [Kubo
and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
et al. (1971)]
16
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
alrededor de r0 , que es la distancia de equilibrio entre los átomos de la molécula.
El hamiltoniano de rotación describe una partı́cula de masa µ moviéndose sobre la
superficie de una esfera de radio r0 , y esta caracterizado por las coordenadas polares
θ, φ, que determinan la orientación de la molécula y sus momentos conjugados pθ , pφ .
Calcular la función de partición de una molécula, obtener la energı́a media y
calor especı́fico de un gas ideal de N moléculas diatómicas.
2.2.3.2
Molécula diatómica en un campo magnético uniforme14
Considérese el caso de una molécula diatómica clásica de momento magnético µ,
orientado en el eje de la molécula, en un campo magnético B que tiene la dirección
del eje z. El hamiltoniano de este sistema es;
H=
p2φ 1 2
− µB cos θ
pθ +
2I
sin2 θ
(2.9)
donde I es el momento de inercia de la molécula, µ = |µ|, y el término −µB cos θ es
la energı́a de interacción del momento magnético con el campo. Calcular la función
de partición de la molécula y el momento magnético y la ecuación de la energı́a de
un sistema de N moléculas.
Considera el lı́mite βµB 1, e interpretar el resultado. Considerar asi mismo
el lı́mite βµB 1 y calcular la imanación (momento magnético por unidad de
volumen) y comprobar que es proporcional al campo externo B. La constante de
proporcionalidad se denomina susceptibilidad magnética, verifica que es inversamente proporcional a la temperatura (ley de Curie).
2.2.3.3
Molécula diatómica en un campo eléctrico uniforme
15
Considera el mismo sistema que en el problema anterior pero esta vez la enegı́a de
interacción coresponde a la de un campo eléctrico con la molécula diatómica, dicha
energı́a es 2.1;
−µE cos θ
(2.10)
donde E es la intensidad del campo eléctrico y µ es el momento dipolar eléctrico.
Calcular la polarización eléctrica P de un gas ideal de N partı́culas diatómicas de
momento dipolar µ contenidas en un volumen V . Considerar el lı́mite |µE| kT
y calcular la constante dieéctrica . (recuerda que el desplazamiento eléctrico es
D = E = E + 4πP .
14 [Kubo
15 [Kubo
et al. (1971)]
et al. (1971)]
Colectividades de Gibbs
Fig. 2.1
2.2.4
17
(a) molécula diatómica, (b) molécula triatómica, (c) molécula triatómica no lineal.
Distribución de velocidades de Maxwell
16
Se tiene una cavidad que contiene un gas a alta temperatura. A través de una
pequeña ventana se observa con un espectrómetro una lı́nea del espectro de las
moléculas del gas. La lı́nea observada se ensancha debido (entre otras causas que
no consideraremos) al efecto Doppler. Demostrar que la relación entre la intensidad
de la lı́nea espectral y la longitud de onda λ está dada por;
I(λ)α exp −
mc2 (λ − λ0 )2 2λ20 kT
(2.11)
Donde T es la temperatura de la cavidad, c es la velocidad de la luz, m es la
masa de una molécula dentro de la cavidad, y λ0 es la longitud de onda de la lı́nea
espectral cuando las moléculas estan en reposo.
2.2.5
Capacidad calorı́fica de sólidos cristalinos:
fonónica 17
contribución
En la aproximación armónica las oscilaciones de N átomos en una red alrededor
de sus posiciones de equilibrio pueden descomponerse en 3N modos normales, de
forma que el hamiltoniano del sólido se escribe como la suma de 3N osciladores
unidimensionales.
Considera los siguientes modelos.
16 [Kubo
et al. (1971)]
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
17 [Fernandez
18
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
2.2.5.1
Modelo clásico de Einstein
18
El modelo de Einstein de un sólido consiste en N osciladores armónicos de masa m
y con una constante elástica K igual para todos los osciladores. El hamiltoniano
del sistema es:
HN
N
X
p2j
1
=
+ K(rj − rj0 )2
2m 2
i=1
(2.12)
donde pj y rj denotan los momentos y las posiciones de las partı́culas y rj0 las
posiciones de equilibrio de los átomos en la red.
Determinar las propiedades termodinámicas del sólido, la densidad local de las
partı́culas y la fluctuación de la posición de las partı́culas alredeedor de las posiciones
de equilibrio.
2.2.5.2
Modelo cuántico de Einstein
Considera ahora que se tienen 3N osciladores armónicos cuánticos en una dimensión
distinguibles, de frecuencia ω. Calcula la función de partición, la enegı́a media y el
calor especı́fico por partı́cula.
2.2.5.3
Modelo cuántico de Debye para un sólido cristalino
Se tienen 3N osciladores cuánticos unidimensionales desacoplados. La enegı́a del
sólido es
E({ni }) =
3N
X
ni ~ωi ni =(0,1,2,...)
(2.13)
i=1
donde ωi es la frecuencia del modo normal i-ésimo. Las frecuencias de los 3N
modos de oscilación se determinan a partir de la relación de dispersión ω(k) y los
posible valores de k dependen de la red cristalina. La teorı́a se basa en las siguientes
aproximaciones:
(1) El vector de ondas k está dado por;
kx,y,z =
2πnx,y,z
L
(2.14)
con nx , ny , nz enteros, tales que k se encuentra en el interior de una esfera de
radio kD . Este radio está determinado como consecuencia de que se tienen 3N
modos.
18 [Fernandez
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs
19
(2) Para cada vector de onda k hay tres modos de vibración: uno longitudinal de
frecuencia ω1 (k) = cL k y dos transversales de frecuencias ω2 (k) = ω3 (k) = cT k,
donde cL y cT son las velocidades de las ondas sonoras longitudinal y transversal.
Determinar el calor especı́fico del sólido en este modelo.
Discute globalmente los diferentes resultados obtenidos en éstos modelos y su
relación.
2.2.6
Un electrón en un campo magnético
19
Considérese un electrón en un campo magnético uniforme de intensidad B. El espı́n
del electrón ~/2. El momento magnético es µB y σ̂ son la matrices de Pauli:
~ 01
~ 0 −i
~ 1 0
, σy =
, σz =
2 10
2 i 0
2 0 −1
El hamiltoniano de interacción entre el electrón y el campo es,
σx =
(2.15)
e~
(2.16)
2mc
donde e es la carga, m la masa del electrón y c la velocidad de la luz.
Calcular la función de partición canónica del sistema y el valor medio de σz .
¿Es este resultado consistente con el que se obtendrı́a en la colectividad microcanónica?. Discute la respuesta.
H = −µB (σ̂.B); µB =
2.2.7
Partı́cula libre en una caja. Colectivo canónico
20
Considera una partı́cula cuántica libre en una caja cúbica de lado L con codiciones
periódicas de contorno. Calcula el elemento de matriz del operador de densidad
canónico en la representación de posiciones. Esto es
hr|e−β Ĥ |r0 i
(2.17)
Analiza en el lı́mite clásico este elemento de matriz. Interpreta tu resultado.
Evaluar el valor medio de Ĥ. ¿Está este resultado en consonancia con el teorema
de equipartición ?.
2.2.8
Oscilador armónico cuántico unidimensional.
canónico 21
Colectivo
Calcular los elementos de matriz del operador de densidad canónico para un osp2
cilador armónico con hamiltoniano H = 2m
+ 12 mω 2 q 2 , en la representación de
~ω
posiciones. Discute el caso en el que kT
= β~ω 1.
19 [Kubo
et al. (1971)]
et al. (1971)]
21 [Kubo et al. (1971); Landau and Lifshitz (1980)]
20 [Kubo
20
2.3
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Gibbs 3
2.3.1
Teorema de equipartición
22
Aplicar el teorema de equipartición para evaluar el valor medio de la energı́a de los
siguientes hamiltonianos:
p2x + p2y + p2z
.
2m
2
2
2
px + py + pz
H=
+ mgz.
2m
p2x + p2y
+ κ(x2 + y 2 )/2.
H=
2m
p2 + p2θ /r2
H= r
+ κr2 /2.
2mq
H=
H = cp + c p2x + p2y + p2z .
2.3.2
Molécula diatómica cuántica
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
23
El hamiltoniano de rotación de una molécula diatómica de radio r0 y masa reducida
µ es,
H+
p2φ
L2
1
=
,
p2θ +
2µr0
2µr02
sin2 θ
(2.23)
donde L2 es el operador momento angular. Los estados estacionarios están caracterizados por los números cuánticos j y sus energı́as son,
Ej = j(j + 1)
~2
(j=0,1,2,...)
2µr02
(2.24)
con degeneración
gj = 2j + 1.
(2.25)
Calcular los desarrollos de la función de partición a altas y bajas temperaturas,
utilizando la fórmula de Euler-McLaurin:
∞
X
n=0
Z
f (n) =
∞
f (x) dx + f (0)/2
(2.26)
−f 0 (0)/12 + f 000 (0)/720 + ..
(2.27)
0
que es válida para funciones f (x) analı́ticas en [0, ∞).
22 [Fernandez
23 [Kubo
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Colectividades de Gibbs
2.3.3
2.3.3.1
Gas ideal. Coletividad macrocanónica
21
24
Distribución de Poisson
Sea un gas ideal de N moléculas contenidas en un volumen V a la temperatura T .
Probar, empleando la colectividad macrocanónica, que la probabilidad de encontrar
N 0 moléculas en un subvolumen V 0 abierto, viene dada por una distribución de
Poisson.
2.3.3.2
Fluctuaciones del número d partı́culas
Probar que la fluctuación de la densidad en la colectividad macrocanónica viene
dada por la expresión
hN 2 i − hN i2 =
kT
hN i2 χT ,
V
(2.28)
donde
χT = −
1
V
∂V
∂P
(2.29)
T,hN i
es el coeficiente de compresibilidad isoterma.
2.3.4
2.3.4.1
Equilibrio sólido-gas
25
Presión de vapor
Se tiene el siguiente modelo para el estudio del equilibrio gas-sólido. Supóngase
que el sólido es un modelo de Einstein clásico de N átomos con enerı́a de cohesión
por átomo y que el gas es ideal. Determinar la presión de vapor y el calor de
sublimación por átomo.
nota: El hamiltoniano del sistema se escribe
N N
X
X
p2j
+
K(rj − rj0 )2 /2 − ,
(2.30)
HN =
2m j=1
j=1
recuerda que en la coexistencia de las dos fases a temperatura T, las presiones y los
potenciales quı́micos son iguales.
2.3.4.2
Calor latente de sublimación
En este caso se tratan las oscilaciones de los átomos del sólido en torno a sus posiciones de equilibrio cuánticamente y todos los osciladores tienen la misma frecuencia
ω. Las energı́as de cada oscilador son:
En = n~ω, (n=0,1,2,...)
24 [Fernandez
25 [Fernandez
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]
(2.31)
22
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Calcular el calor latente de sublimación por átomo del equilibrio gas-sólido,
suponiendo que existe una energı́a de cohesión por átomo en el sólido y que el gas
es ideal.
2.4
Gibbs 4
2.4.1
Función de partición de una partı́cula libre en una caja
26
Encontrar expresiones aproximadas de la función de partición de una partı́cula
cuántica en un pozo infinito de dimensión L en los lı́mites de altas y bajas temperaturas. Obtener la capacidad calorı́fica CL y la ecuación de estado f (P, T, L) = 0
en los lı́mites mencionados.
2.4.2
Modelo de red para un fluido Lattice gas27
Un fluido compuesto por partı́culas que se repelen puede modelarse como un gas en
red del modo siguiente:
Se toma un recinto y se divide en N celdas, cada una de volumen v, comparable
con el volumen de una partı́cula. Una celda ocupada por una partı́cula o desocupada
tiene energı́a cero. Una celda ocupada por dos partı́culas tiene energı́a . Ninguna
celda puede ocuparse por más de dos partı́culas.
Empleando el colectivo gran canónico evaluar la energı́a media por celda, la
concentración c de partı́culas y calcular la presión P en función de la temperatura
y el potencial quı́mico.
2.4.3
Cadena molecular lineal
28
Una molécula larga y elástica se modela como una cadena lineal de N -nodos-huesos.
Cada estado de cada vı́nculo se caracteriza por dos números cuánticos l y n. La
longitud de los vı́nculos es l = a y l = b. El estado vibracional de cada vı́nculo
se modela como un oscilador armónico con frecuencia angular ωa para aquellos con
longitud a y ωb para aquellos con longitud b. La energı́a de un vı́nculo es;
(
E(n, l) =
(n + 1/2)~ωa ;
∀l = a
(n + 1/2)~ωb ;
∀l = b, n = 0, 1, · · ·
Si la cadena está en contacto con un baño térmico de temperatura T y se
mantiene con una tensión F , encontrar la energı́a media y longitud media de la
cadena. Analizar los lı́mites de altas y bajas temperaturas.
26 [Dalvit
et al. (1999)]
et al. (1999)]
28 [Dalvit et al. (1999)]
27 [Dalvit
Colectividades de Gibbs
2.4.4
Molécula de hidrógeno
23
29
La energı́a potencial entre los átomos de una molécula de hidrógeno se puede modelar por un potencial de Morse
V (r) = V0 e−2(r−r0 )/a − 2e−(r−r0 )/a ,
con V0 = 7 × 10−12 erg, r0 = 8 × 10−9 cm y a = 5 × 10−9 cm
(1) Encontrar la frecuencia angular más baja del movimiento rotacional y la frecuencia de las pequeñas oscilaciones.
(2) Estimar las temperaturas Trot y Tvib en las que la rotación y la vibración contribuyen significativamente a la energı́a interna.
2.4.5
Función de partición de un sistema sujeto a una perturbación 30
Considérese un sistema clásico con Hamiltoniano H = H0 + λH1 , con λ 1.
(1) Demostrar que la energı́a libre de Helmholtz F puede escribirse de la forma
F = F0 + λhH1 i0 , con ∗ 0 promedio para λ = 0.
(2.32)
(2) Dar una expresión de la energı́a interna correcta hasta primer orden en λ.
2.4.6
Sistemas de partı́culas
armónicamente ligadas
confinadas
en
una
caja
y
Se tiene un sistema de N partı́culas independientes de masa m, éstas están confinadas en una caja unidimensional de longitud 2a = L con paredes en x = ±a. Cada
partı́cula está armónicamente vinculada al origen x = 0 de forma armónica, de tal
forma que el hamiltoniano del sistema es:
H=
N
X
1
p2i
+ κx2i .
2m 2
i=1
(2.33)
(1) Calcular la función de partición del sistema.
(2) Con los parámetros β = (KB T )−1 y κ se puede formar otro con dimensiones
1
de longitud σ = (βκ)− 2 . Analiza la presión del sistema en los lı́mites L σ y
L σ.
(3) Demuestra que en el lı́mite L σ, σ puede interpretarse como la fluctuación
cuadrática media de la posición.
Rt
2
Nota: La función error se define como φ(y) = √2π 0 dξe−ξ .
29 [Dalvit
30 [Kubo
et al. (1999)]
et al. (1971)]
24
2.4.7
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Partı́culas no idénticas en d-dimensiones
31
Se tienen N partı́culas no indénticas en d-dimensiones. El hamiltoniano que describe
el conjunto de partı́culas es
H=
N
X
Ai |~
pi |s + |~
qi |t ,
i=1
con Ai , Bi constantes que caracterizan a las partı́culas individualmente y s, t son
enteros positivos. Si se considera el colectivo canónico evaluar la capacidad calorı́fica
del sistema. Discute los resultados.
2.4.8
N-partı́culas en una superficie bidimensional
32
Evaluar la función de partición canónica de N partı́culas que se mueven
(1) en la superficie de una esfera,
(2) en la superficie de un toro.
2.4.9
Cadena unidimensional
33
Se tiene una cadena unidimensional de n 1 elementos. La longitud de cada
elemento de la cadena es a y la longitud total es x. Encontrar la relación entre la
entropı́a del sistema y la temperatura T de la cadena y la fuerza de tensión necesaria
para mantener la longitud x. Asumir que las uniones son libres.
2.4.10
Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas
polares
Se tiene una partı́cula en dos dimensiones. En que en coordenadas cartesianas el
elemento de volumen en el esspacio de coordenadas es dxdy y en el espacio de
momentos es dpx dpy . Por lo tanto el elemnto de volumen en el espacio de fases de
la partı́cula es dΓ = dxdydpx dpy .
Se considera un cambio a coordenadas polares
x = r cos θ
y = r cos θ.
Prueba que
dxdy = rdrdθ y
dpx dpy = (1/r)dpr dpθ
y que por lo tanto dxdydpx dpy = drdθdpr dpθ .
31 [Dalvit
et al. (1999)]
et al. (1999)]
33 [Kubo et al. (1971)]
32 [Dalvit
Colectividades de Gibbs
2.4.11
25
Gas ideal cuántico en dos dimensiones: Weyl law, lı́mite
termodinámico y condiciones de contorno
Supóngase N partı́culas cuánticas independientes confinadas en una superficie de
área S y perı́metro L. Como las partı́culas son independientes se considera una de
ellas. Ésta evoluciona libremente acorde a la ecuación de Schödinger y se pueden
calcular las autoenergı́as de la misma resolviendo la ecuación de Schödinger estacionaria.
−~2 2
∇ Ψ = EΨ =⇒ ∇2 Ψ + κ2 Ψ = 0, (κ2 = 2mE/~2 ).
2m
Esta última ecuación tambien se le conoce como ecuación de Helmholtz.
Para obtener el espectro de energı́as del problema hay que imponer condiciones
de contorno en el perı́metro de la superficie. Dependiendo de las condiciones impuestas se tendrá un espectro de energı́as y por lo tanto el número de estados N (E),
del sistema con energı́a igual o menor a cierto valor E, i.e.
N (E) = {número de estados cuya energı́a es menor o igual a E}
Esta función es de extremada importancia para los propósitos de la Fı́sica Estadı́stica pues de ella se puede extraer la entropı́a del sistema en el lı́mite termodinámico (recordamos que estamos considerando el colectivo microcanónico).
La función N (E) depende en general de la superfie en la que están confinadas
las partı́culas, del perı́metro del recinto y de las condiciones de contorno, hay otras
dependencias pero éstas son las fundamentales. Por simplicidad vamos a considerar
dos situaciones
∇2 Ψ + κ2 Ψ = 0, Ψ|L = 0
2
2
∇ Ψ + κ Ψ = 0, ∂Ψ/∂n|L = 0
Problema de Dirichlet
(2.34)
Problema de Neumann
(2.35)
donde ∂Ψ/∂n es la derivada de Ψ en la direción normal a la superficie. En estos casos
la forma de N (E) es conocida de forma aproximada cuando E es suficientemente
grande (desarrollo de Weyl) y es:
Lκ
Sκ2
∓
+ · · · ordenes superiores
4
4
donde el signo − corresponde a las condiciones tipo Neunmann y + a las condiciones
tipo Dirichlet.
Discute el lı́mite termodinámico y el porqué las condiciones de contorno en ese
lı́mite no afectan a las prediciones de la Fı́sica Estadı́stica.
N (E) =
26
Problemas de Fı́sica Estadı́stica. Curso 2014-2015
Bibliography
Dalvit, D., Frastai, J. and Lawrie, I. (1999). Problems on Statistical Mechanics, Graduate
student series in physics (Institute of Physics Publishing).
Fernandez Tejero, C. and Rodriguez Parrondo, J. (1996). 100 problemas de Fı́sica Estadı́stica (Alianza Editorial).
Kestin, J. and J.R., D. (1971). A course in statistical thermodynamics (Academic Press).
Kubo, R., Ichimura, H., Usui, T. and Hashitsume, N. (1971). Statistical mechanics(An
Advanced course with problems and solutions) (North-Holland publishing company).
Landau, L. and Lifshitz, E. (1980). Statistical Physics: Course of Theoretical Physics,
Vol.5 (Pergamon).
27