Aplicaciones Conicas

Problemas de Aplicación de las Cónicas.
1. Un arco parabólico tiene 18 metros de altura y 24 metros de base. Hallar la altura de un punto que se encuentre a 10 metros
de la base.
2. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco parabólico. Los pilares que lo soportan tienen una
altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10
metros sobre la calzada del puente. Tomanodo como eje X la horizontal que de…ne el puente y como eje Y el eje de simetría de
la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.
3. Una antena está diseñada de tal manera que la sección transversal que pasa por su eje es una parábola con foco en el receptor
de la señal. La antena mide 5 pies de ancho en la abertura y 0.8 pies de profundidad. Localiza el foco de la misma.
4. La sección transversal de un recipiente es una porción de parábola que tiene 6 metros de abertura y 3 metros de profundidad.
Encuentre la ecuación de la curva.
5. El tramo de un puente colgante está distribuído uniformemente entre dos torres gemelas separadas 180 metros y tienen una
altura de 45 metros sobre el viaducto. El cable que une ambas torres adopta una forma parabólica, la parte más baja del cable
está a 5 metros del camino.
(a) encuentra la ecuación de la parábola
(b) si para soportar el puente se utilizan nueve cables verticales igualmente separados y …jos al cable que une las torres, ¿cuál
es la longitud total de los soportes?
6. Se coloca un re‡ector con forma parabólica a una altura de 10 metros; el re‡ector tiene una abertura de 30 centímetros y una
profundidad de 25 cm. Encuentre el foco y determine aproximadamente que longitud iluminará a dicha altura.
2
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7. La trayectoria de una avioneta está descrita por la ecuación x16 + y8 = 1 [Km]: Determina los dos puntos posibles de despegue
(focos), la distancia que existe entre éstos y la excentricidad de la órbita elíptica que trazó.
8. Un balón de fútbol americano es lanzado por un jugador y describe cierta trayectoria, la cual es grabada por un estudiante
a…cionado. El estudiante al llegar a casa reproduce la grabación y haciendo cálculos respecto a la longitud del campo y algunas
conversiones de unidades determina los siguientes datos que se muestran. Supón que la trayectoria se aproxima a la descrita
por una elipse. Determina las coordenadas de los focos, vértices (uno es el origen), excentricidad y coordenada de uno de los
extremos del eje menor.
9. Se desea construir una plazoleta en forma elíptica teniendo como ecuación 4x2 + 9y 2 + 8x 18y 23 = 0: Para alumbrar dicha
plazoleta, se pondrán postes con luminarias en los siguientes puntos: centro, vértices, focos, extremos de cada lado recto y
extremos del eje menor. Indique los puntos donde deben ir los postes (considere un sistema de coordenadas con origen (0,0)).
Gra…que.
Algunas respuestas:
1. La altura es de 5.5 metros
2. Aproximadamente 15.12 metros
3. El foco es F (1:95; 0) o F (0; 1:95)
4. La ecuación es x2 = 3y
5. La ecuación es x2 =
810
4 (y
5) y la longitud total es 141 metros
6. El foco es F (0; 0:0225) y la amplitud es 1:89 metros
p
p
p
p
7. Focos F ( 2 2; 0) y F (2 2; 0) distancia entre los focos 4 2 y excentricidad 22
p
p
p
8. Focos F (32 4 55; 0) y F (32 + 4 55; 0), vértices V 0 (0; 0); V (64; 0); excentricidad e = 855 ; Coordenadas extremo eje menor
(32; 12):
p
p
p
9. C( 1; 1);p V 0 ( 4; 1); Vp(2; 1); F 0 ( p5 1; 1); F ( 5 1; 1):Extremos eje menor ( 1; 3); ( 1; 1): Extremos lado recto: ( 5
1; 37 ); (
5 1; 73 ); (
5 1; 13 ); ( 5 1; 31 ):