Capitulo 5 - Facultad de Ingeniería

119
CAPÍTULO
5
5.1
LAS ECUACIONES DISCRETAS.
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE
LOS ELEMENTOS FINITOS.
OBJETIVOS.
En este capítulo se realizará la versión discreta de las ecuaciones formuladas en capítulos anteriores usando el Método de los Elementos Finitos. Se presentará a veces en forma matricial y a veces usando la notación de Voigt9. En la mayor parte de los casos se mostrará la
estructura de matrices y vectores necesarios para la programación en tres dimensiones aunque
se dará también la versión en dos para algunos casos especiales teniendo siempre en cuenta
que detalles de la forma 2D y su programación pueden consultarse en la referencia [53].
5.2
SOBRE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.
Brevemente mencionaremos aquí algunas características generales que se han usado en
la formulación por el método mencionado. Todo lo que se ha desarrollado en la presente tesis
se ha incorporado al programa FECCUND (Finite Element Consolidation Code Using a Nonlinear Development) iniciado durante el desarrollo de la referencia [23] y que resolvía el problema de la consolidación de suelos arcillosos saturados con versiones muy rudimentarias de
no linealidad geométrica pero con énfasis en la no linealidad física. Este código fue ampliado
en 2003 a través de los trabajos descriptos en las referencias [10] y [53]. En la primera se incorporó el modelo para consolidación de suelos no saturados planteado en forma teórica en
referencia [40] y en la segunda se amplió la capacidad del modelo saturado por agregado de
una descripción mejorada de la no linealidad geométrica agregándose además el tratamiento
de tensiones y pre-consolidaciones iniciales.
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
120
El programa completo ha sido codificado en el lenguaje Fortran 90/95, y se encuentra
disponible en el Departamento de Mecánica Aplicada de la Facultad de Ingeniería de la UNNE.
Para los cálculos en dos dimensiones se utilizan elementos finitos rectangulares de ocho
nodos para la descripción del desplazamiento, y de cuatro nodos para la descripción de la variable presión de poros (usada en los modelos de suelos saturados), con 2 x 2 puntos de Gauss
para la integración numérica. Los problemas resueltos corresponden a estados planos de tensiones y estados planos de deformaciones, y fueron tomados en su mayoría de publicaciones
de reconocidos autores con el objeto de poder comparar y validar los resultados de los modelos desarrollados y programados en esta Tesis62, tanto para sólidos continuos como para suelos saturados. El problema tridimensional es resuelto con elementos isoparamétricos de 20
nodos para desplazamientos 8 para presiones de poro con integración 2 x 2 x 2.
En los ejemplos presentados se utilizan los criterios de plastificación de Von Mises para metales y de Estados Críticos Modificado para suelos compresibles.
Al aplicar el Método de los Elementos Finitos, los tensores simétricos son escritos como arreglos de menor orden para simplificar la codificación en programas computacionales. El procedimiento para realizar esta conversión se denomina regla de Voigt9. Así, las tensiones y las
deformaciones se convierten de tensores de segundo orden a matrices columnas (o vectores).
A modo de ejemplo, para un problema bidimensional se puede escribir:
σ 1  σ 11 
ε 1   ε 11 
σ 11 σ 12 
ε 11 ε 12 
  

  

σ≡
→ {σ} ≡ σ 2  = σ 22  , y ε ≡ 
→ {ε} ≡ ε 2  =  ε 22 


σ 21 σ 22 
ε 21 ε 22 
σ  σ 
ε  2ε 
 3   12 
 3   12 
(5.2-1)
En tanto, los tensores constitutivos de cuarto orden se convierten a matrices de segundo orden
de la siguiente manera:
σ = C:ε , ó
σ =C ε
ij
ijkl
    →
notación deVoigt
kl
{σ} = [C]{ε}
, ó σ a = C abε b
(5.2-2)
Lo que lleva, en problemas bidimensionales, a:
 C11

[C] ≡ C 21

C 31
Héctor Ariel Di Rado
C12 C13   C1111 C1122 C1112 
C 22 C 23  = C 2211 C 2222 C 2212 
C 32 C 33   C1211 C1222 C1212 
(5.2-3)
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.
121
La contracción de índices de la matriz constitutiva acompaña la contracción de los tensores de
tensión y deformación. A modo de ejemplo, se representa un problema 3D:
σ 11 

σ 
 22 
σ 33 


σ 23 
σ 
13


σ

 12 
 C1111

C
 2211
C3311
=
C 2311
C
1311

C
 1211
C1122
C1133
C1123
C1113
C 2222
C 2233
C 2223
C 2213
C 3322
C3333
C3323
C 3313
C 2322
C 2333
C 2323
C 2313
C1322
C1333
C1323
C1313
C1222
C1233
C1223
C1213
  ε 11 

ε 
C 2212
  22 
C 3312   ε 33 
 .

C 2312
 2ε 23 
C1312   2ε 13 


C1212 
  2ε 12 
C1112
(5.2-4)
que se transformará en:
σ 1 
 
σ
 2
σ 3 
 =
σ 4 
σ 
5
 

σ 6 

C11

C
 21
C31

C 41
C
51

C61
C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 24
C 25
C32
C33
C34
C35
C 42
C 43
C 44
C 45
C52
C53
C54
C55
C62
C63
C64
C65
  ε1 

ε 
C 26
 2 
C36   ε 3 
 .

C 46
 2ε 4 
C56   2ε 5 


C 66 
 2ε 6 
C16
(5.2-5)
Si el tensor C posee simetría mayor (3.9-2), la matriz [C] resulta simétrica. También es importante destacar que transformaciones del tipo (3.10-12) ó (3.11-8) no pueden realizarse en
notación de Voigt. Esta notación, también llamada notación matricial, utiliza los corchetes {}
y las llaves [] para identificar vectores y matrices respectivamente aunque cuado resulte redundante, se obviará esta diferenciación.
5.3 FORMA DISCRETA DE LAS ECUACIONES (2.5-13).
Para poder implementar en computador al sistema de ecuaciones obtenidos en el apartado 2.5 del capítulo 1 debemos primeramente llevarlas a su forma débil aplicando el método de
Galerkin que por tratarse de un procedimiento muy conocido, no se ha detallado aquí. Luego de obtener la forma débil del sistema (2.5-13), queda:
3,73
•
•
•
•
K uˆ + Csw pˆ w + Csg pˆ g = Fs
•
•
•
•
•
•
C ws uˆ + Pww pˆ w + Qwg pˆ g + H ww pˆ w = Fw
•
(5.3-1)
•
Cgs uˆ + Qgw pˆ w + Pgg pˆ g + H gg pˆ g = Fg
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
122
Siendo que, para problemas tridimensionales se tiene:
u : Vector velocidad de desplazamiento nodal,
&
{ ˆ}
{u} = {
ˆ&
T
& 1 , û
& 1 , û
& 1 ; û
& 2 , û
& 2 , û
& 2 ;... û
& n , û
& n , û
&n
û
1
2
3
1
2
3
1
2
3
}
(5.3-2)
{p̂ }: Vector tasa de presión de agua nodal,
&w
{p } = {
w T
ˆ&
& w1 ; p̂
& w 2 ;... p̂
& wn
p̂
}
(5.3-3)
}
(5.3-4)
{p̂ }: Vector tasa de presión de aire nodal,
&g
{p } = {
g T
ˆ&
& g 1 ; p̂
& g 2 ;... p̂
& gn
p̂
{p̂ w }, {p̂ }: Vectores presión de agua y aire respectivamente.
g
n = número de nodos del elemento finito.
N u : funciones de interpolación para desplazamiento:
{u& } = [N ]{u}, ó
u
ˆ
. &
u
 u&1   N1
  
u& 2  =  0
u&   0
 3 
0
u
N1
0
0
u
0
N1
.....
.....
.....
u
0
Nn
u
0
0
Nn
0
 û&11 
 &1 
û 2 
0  û& 31 
 
0  M 
u  &n
N n  û
 1 
û& 2n 
 &n
û 3 
(5.3-5)
N p : funciones de interpolación para presión de poros (agua o aire):
{p& } = [N ].{p&ˆ }, ó p
w
Héctor Ariel Di Rado
p
w
&
w
=
[N
p
1
.......
 p&ˆ 1w 
 
 M 
 p&ˆ w 
 n
N np ]
(5.3-6)
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.
123
: relación tasa de deformación – velocidad nodal:
[B]
 D1   u&1 1   N 1 1
 
 D   u&
22
  0
 2 
,ó  D3  =  u&3 3  =  0
  
 
 D4  u& 2 3 + u& 3 2   0
 D5   u&1 3 + u& 3 1   N 1 3
  
 
 D6   u&1 2 + u& 2 1   N 1 2
u
,
,
{D} = [B ]{u}
u
ˆ
. &
,
0
N 1,3
u
u
,
,
,
,
,
,
u
Con
yN
i
u
i, j
j
u
.....
N 1,2
u
∂u&
=
∂x
0
0
,
,
u& i , j
0
∂N
=
∂x
,
N 1,3
0
N
.....
N 1,2
.....
u
N 1,1
.....
N
u
0
.....
N
u
u
N 1,1
 û& 1 
0   &11 
 û
0   &21 
 û3 
 (5.3-7)
N 1 
 M 
N
2 
& 
û
1 
N 1 
 û& 2 
0   & 
û3 
0
1
n,
0
0
0
.....
u
u
N
u
1
n,
0
N
u
u
n,
u
3
n,
n,
0
3
n,
N
2
n,
u
n
u
n,
1
n,
n
n
u
i
j
Las matrices en (5.3-1), con dΩ en lugar de dϕ (% ) , son:
[K] = ∫ [Bu ]T [C][Bu ]dΩ
{F } = ∫ [N u ]T {b} dΩ + ∫ [N u ]T { t } dΓ
(5.3-8)
[C ] = ∫ [B ] a m[N ]dΩ
[C ] = ∫ [N ] m a [B ]dΩ
(5.3-9)
[C ws ] = ∫ [N p ]T m a1 [Bu ]T dΩ
[Csw ] = ∫ [Bu ]T 1 m [N p ] Ω
(5.3-10)
[Q ] = − ∫ [N ] [N ] Ω
[Q ] = − ∫ [N ] a [N ]dΩ
(5.3-11)
•
Ω
u T
sg
Ω
Ω
p T
wg
a
12
p
•
Ω
p
2
•
s
d
Ω
Γσ
p T
gs
2
u
Ω
a .
d
Ω
p T
gw
p
21
Ω
[H ww ] = ∫ ∇[N p ]T k wi ∇[N p ]dΩ [H ] = ∫ ∇[N p ]T Di (1 − S w )n ∇[N p ]dΩ
Ω
γw
P
gg
Ω
(5.3-12)
[Pww ] = − ∫ [N p ]T a11 [N p ]dΩ
[P ] = − ∫ [N ] a [N ]dΩ
(5.3-13)
{F& } = − ∫ [N p ]T {q& g }dΓ
{F& w } = − ∫ [N p ]T {q& w } dΓ
(5.3-14)
Ω
g
Γg
p T
gg
22
p
Ω
Γw
con los siguientes valores para los coeficientes (calculados en forma discreta en el tiempo anterior y siendo que los valores de saturación deberán obtenerse de la curva característica del
apartado 1.7):
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
y a2 = αS g
a1 = αS w
(5.3-16)


a12 =  (α − n ) S w  S g − (∆p g − ∆p w ) C s  + C sw 
n

 Ks

(5.3-17)


a21 =  (α − n) S g  S w + (∆p g − ∆p w ) C s  + C sg 
n

 Ks

(5.3-18)
 nS g
=n
∆S w
∆p c
+
P

s
(5.3-15)


a11 =  nS w + (α − n ) S w  S w + (∆p g − ∆p w ) Cs  − Csw 
Ks
n

 Kw

a22 = 
C
124
(α − n) S  S − (∆p g − ∆p w ) C s  − C g 


Ks g g
n  s 
, C sw = − S w
(5.3-19)
(α − n )  S − ∆p c ∆S w  y C g = − S (α − n)  S − ∆p c ∆Sw  (5.3-20)
s
g
KT  w
K T  g
∆p c 
∆p c 
5.4 FORMA DISCRETA DE LAS ECUACIONES (3.8-6).
Se verá ahora la forma discreta de la ecuación del principio de trabajos virtuales para
sólidos en general.
Se comienza por el producto δ L C τ D , que forma parte del primer miembro de la
t
:
t
:
t
(3.8-6). Este puede ser reemplazado por δ D C τ D , debido a la simetría menor (3.9-3) del
t
:
t
:
t
tensor C τ . Luego, la forma discreta del cuerpo continuo en elementos finitos, utilizando la
notación de Voigt, y teniendo en cuenta (3.5-4), la (3.8-6) se transforma de la siguiente manera:
{δuˆ } .
&
T
t
ϕ(B
{ }
)
T
= δu .
ˆ&
[B ] .[ C ][. B ] dϕ (JB ) {uˆ }+ {δuˆ } . ∫ [β] .[ σ ].[β].dϕ ( B ) {uˆ } =
u T
∫
∫
t
τ
t
u
.
&
T
&
T
t
[N ] .{ b}.ρ.dϕ ( B ) + {δu} . ∫ [N ]
ϕ(B
T
)
&
ˆ&
T
T
∂ ϕ(B
t
ϕ( B
{}
t
)
. t .d∂ϕ ( B )
&
.
&
(5.4-1)
)
siendo, para problemas tridimensionales β la relación gradiente espacial de velocidad – velocidad nodal, definida en esta Tesis de la siguiente forma
Héctor Ariel Di Rado
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.
 L1   u&1 1   N1 1
 L   u&  
 2   1 2   N1 2
 L3   u&1 3   N1 3
 
  
 L4   u& 2 1   0

  
 L5  = u& 2 2  =  0
 L   u&   0
 6  33 
 L7   u& 3 1   0
 L  u&  
 8  32  0
 L9   u& 3 3   0
0
0
0
u
,
.
u
,
.
u
,
{L} = [β].{uˆ& }, ó
.
u
N1 . 1
,
u
N1.2
,
u
N 1.3
,
0
0
0
,
,
,
con u&
i, j
=
∂u&
∂x
i
yN
j
u
i,j
=
∂N
∂x
u
i
0
0
0
0
0
0
125
N n .1
u
.....
N n .2
.....
N n .3
u
0
0
0
0
0
0
.....
.....
.....
u
.....
u
.....
u
.....
N 1.1
N 1.2
N1.3
0
0
0
u
.....
0
0
0
0
0
0
u
N n .1
u
N n .2
u
N n .3
0
0
0
u

 &1
  û1 
 û& 12 
  &1 
  û 3 
  M 
 
 û&1 
 &
1  û 2 
& 
2  û3 

3
n
N n.
u
n
N n.
u
(5.4-2)
n
N n.
, ambas medidas sobre la configuración ϕ (B ) .
t
j
La distribución de los elementos de la matriz [C τ ] , correspondiente a la relación constitutiva
Lv τ} = [C τ ].{D} , es similar a la de (5.2-5).
{
El cálculo del tensor C τ fue mostrado en (3.10-13), (3.11-8) o (3.11-12). La primer referencia
corresponde lo usual según la bibliografía mientras que los dos últimos corresponden a la
propuesta realizada en esta tesis según sean o no importantes las tensiones tangenciales (Apartado 3.11). Es importante presentar el formato de la parte simétrica y no simétrica de (3.11-9):
C sim =
2τ 11











C
0
2τ 22
0

0

0

asim
= 0

0


0

0
0
τ 13
0
τ 23
τ 23
2τ 11
0
τ 13
1
(τ 33 + τ 22 )
2
1
τ 21
2
1
(τ 33 + τ 11 )
2
Simetrico
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
τ 23
− τ 32
τ 12
τ 12
τ 13
0
− τ 31
1
− τ 21
2
0
1
τ 13
2
1
τ 23
2












(5.4-3)
1
(τ 22 + τ 11 )
2
τ 12
− τ 21
0
1
− τ 31
2
1
τ 32
2












1
(τ 33 − τ 22 )
2
1
1
(τ 33 − τ 11 )
− τ 12
2
2
1
1
1
(τ 22 − τ 11 )
τ 13
τ 23
2
2
2
(5.4-4)
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
126
Por otro lado, el arreglo de la matriz [ σ] es obtenido considerando la igualdad que se debe
t
mantener entre el producto tensorial y el producto matricial. Es de aclarar que no es la única
forma de generarlo, pero es la adoptada aquí. Teniendo en cuenta que
t
{ } [β] [ σ ][β]{u}
δL:t L .t σ = δuˆ&
T
T
.
.
t
.
. ˆ&
la matriz [ σ] viene dada por:
t
⇒
[ σ] ≡
t














t
t
t
σ11
σ12
σ 13
0
0
t
t
t
σ 21
σ 22
σ 23
0
0
t
t
t
σ 31
σ 32
σ 33
0
0
t
t
t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
σ11
σ12
σ 13
t
t
t
σ 21
σ 22
σ 23
t
t
t
σ 31
σ 32
σ 33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
t
σ11
σ12
σ 13
t
t
t
σ 21
σ 22
σ 23


0

0 

0 

0

0 
σ 31 

σ 32 

σ 33 
0
t
t
t
(5.4-5)
5.5 INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO DE (3.8-6).
Para buscar la solución paso a paso del problema no lineal, con pasos discretos de tiempo ∆t, se requiere que la (5.4-1) esté expresada en forma incremental. En consecuencia, es necesario transformar los diferenciales de tiempo (o tasas) a diferencias finitas:
v = u& ≡
∂u ∆u
≅
=
∂t
∆t
t
+ ∆t
u− u
t
∆t
(5.5-1)
De acuerdo a lo discutido en la sección 3.2, todas las magnitudes se definen sobre la última configuración equilibrada (tiempo t), y se pasa a la siguiente (tiempo t+∆t) mediante un
proceso iterativo, como el de Newton-Raphson modificado. Por lo tanto, se hace lineal al problema considerando que tanto las variables en tasas como sus incrementos están referenciados
sobre la configuración del tiempo t, es decir, se utilizan las mismas matrices β de (5.4-2) y B
de (5.3-7), medidas en el tiempo t, para el cálculo incremental. La matriz de rigidez del sistema de elementos finitos, que surge de hacer lineal el primer miembro de la (5.4-1), se denomina matriz de rigidez tangente.
Simplificando {δu&ˆ }T de la (5.4-1) y pasando a la forma incremental, se obtiene:
Héctor Ariel Di Rado
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.


 ∫
 ϕ( B
t
=
[B ] .[ C ][. B ] dϕ (JB ) + ∫ [β] .[ σ ].[β.]dϕ ( B ) {∆uˆ } =
u T
)
τ
t
T
u
t
[N ] .{∆b}.ρ.dϕ ( B ) +
T
∫
t
ϕ(B
127
.
)
[N ] .[∆t ].d∂ϕ ( B )
(5.5-2)

T
∫
∂ tϕ ( B
)
ϕ(B

t
)
El primer miembro se conoce comúnmente como fuerzas nodales internas, por ser las reacciones internas que equilibran al segundo miembro, conocido como fuerzas nodales externas.
Nótese que las fuerzas internas están relacionadas al incremento de los desplazamientos nodales ∆û a través de dos términos: el primero debido a la respuesta del material, y el segundo
debido al estado actual de tensiones, el cual lleva en cuenta todos los efectos geométricos de
la deformación, como rotaciones y elongaciones. En consecuencia, a estos términos se los denomina rigidez de material K mat y rigidez geométrica K geo , respectivamente, y la suma de
ambas forma la matriz de rigidez tangente del sistema de elementos finitos. En forma matricial compacta se puede escribir la siguiente ecuación:
ˆ = ∆F
(5.5-3)
(K mat + K geo ) . ∆u
ext
siendo:
K mat
=
t
∫
ϕ (B )
[B u ]T [t C τ ][B] dϕJB
.
[]
K geo =
t
∫ β
ϕ(B )
T
t
)
(5.5-5)
t
T
∫
ϕ( B
(5.5-4)
)
[ σ].[β ].dϕ ( B )
.
[N ] .{∆b}.ρ.dϕ ( B ) +
∆Fext =
(
.
[N ] .[∆ t ].d∂ϕ ( B )
(5.5-6)
T
∫
∂ tϕ ( B
)
La solución de la (5.5-3), que da los desplazamientos nodales ∆û , se calcula con cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas, luego de imponer las condiciones de borde (o de contorno) al sistema de elementos finitos, y en cada iteración del proceso incremental. Debido a que el problema es no lineal, y de acuerdo a lo discutido en la sección 3.2, al final de cada iteración o ciclo de cálculo aparece un error o residuo ℜ que, según
la (3.2-1) y para un proceso incremental, vale:
(5.5-7)
ℜ = ∆Fext − ∆Fint ≠ 0
Llevando en cuenta la (5.4-1), se obtiene la expresión para el cálculo del residuo:
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
128
ℜ = ∆Fext − (K mat + K geo ) . ∆uˆ

= ∆Fext − 
 ∫
 ϕ (B )
t
[B ] .[ C ].{∆eˆ} dϕJ(B ) +
u T
t
T
[ σ].∇{∆uˆ }.dϕ (B )  ≠ 0
∫β .
τ
t
ϕ (B )

t
(5.5-8)

donde ∆ê es el incremento de deformación lineal nodal, en la configuración actual, definido a
partir de (3.4-19) y (5.3-7) como:
 ∆ê1   ∆ê11 
∆ê   ∆ê 
 2   22 
∂∆uˆ
 ∆ê33 
∆ê3 
 
ˆ

1  ∂∆u
ˆ =
+
∆ˆe= B.∆u
=
 , con ∆eˆ = 
2 ∂ x
∂x
∆ê4  2∆ê23 

∆ê5  2∆ê13 

  

2∆ê12 
∆ê6 
 
i
t
ij
t
t
j
i
j




(5.5-9)
y ∇∆û es el gradiente espacial del incremento de los desplazamientos nodales, definido a partir de (3.4-17) y (5.4-2) como:
∇∆û1   ∆û1 1 
∇∆û   ∆û 
2
 12

∆∇û3   ∆û1 3 


 
∇∆û 4   ∆û 2 1 

 

ˆ
ˆ = β.∆u
ˆ = ∇∆û5  = ∆û 2 2  , con ∆u
∇∆u
∇∆û   ∆û 
6

  33
∇∆û 7   ∆û3 1 

 

∇∆û8  ∆û3 2 
∇∆û9   ∆û3 3 
,
,
,
,
t
,
i, j
=
∂∆uˆ
∂x
i
t
(5.5-10)
j
,
,
,
,
El cálculo del residuo ℜ con la (5.5-8) puede introducir, en algunos casos, errores numéricos por redondeo, que se acumulan hacia adelante al avanzar en el tiempo con los incrementos de carga. Para evitar estos errores y lograr un mejor control en el cálculo de la tensión
total en el tiempo t+∆t, se puede calcular el vector residuo como la diferencia que surge de
plantear el equilibrio del cuerpo en un instante determinado t+∆t, con el total de los esfuerzos
actuantes en ese momento, es decir:
ℜ = { + ∆ Fext }− { +∆ Fint( ) } ≠ 0
t
ℜ=
{t
+ ∆t
F
ext
t
}− ∫ [Bu ]T .{t
t
Héctor Ariel Di Rado
t
ϕ (B )
t
+ ∆t
i
σ i }.dϕ (B ) ≠ 0
( )
(5.5-11)
(5.5-12)
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.
129
Siendo, (i), una iteración por no linealidad. El vector residuo ℜ , calculado con (5.5-8) o
(5.5-12), es tenido en cuenta como carga para la siguiente iteración de cálculo. El proceso iterativo se detiene, para proceder con el siguiente incremento de tiempo (o carga), cuando el valor de ℜ se hace menor o igual a una cierta tolerancia preestablecida.
5.6 FORMA DISCRETA DE LAS ECUACIONES (4.3-1).
Para hacer discreta la ecuación de equilibrio (4.3-1) de manera análoga a lo hecho en los
apartados 5.3 y 5.4 , debemos fijar nuestra atención en la manera de definir la matriz de rigidez del elemento. La ecuación (4.3-1) debe sustituirse en el primer término de la primer ecuación de la (2.5-13) o más recientemente, de la (5.3-1). Recordando esta última:
•
•
•
•
K uˆ + C sw pˆ w + C sg pˆ g = Fˆ
(5.6-1)
s
Ahora, la matriz K, a diferencia de (5.5-2), y en notación de Voigt, será:
K=
t
∫
ϕ(B
+
[B ] .[ C ][. B ] dϕ (JB ) +
u T
)
u
[β] .[ σ].[β].dϕ (B ) +
T
t
τ
t
∫
ϕ(B
[B ] . a . p .{m}{. m} .[B ].dϕ (B ) +
t
t
)
∫
ϕ( B
u T t
t
w
T
u
1
(5.6-2)
)
[B ] . a . p .{m}{. m} .[B ].dϕ (B )
+
t
∫
ϕ(B
u T t
t
g
T
u
2
)
y:
∫ [N ] .{b}.ρ .dϕ ( B ) + ∫ [N ] . {t}.d∂ϕ ( B )
F& ext =
u
t
ϕ(B
)
T
u
&
∂ tϕ ( B
T
.
(5.6-3)
)
donde β y Bu son las relaciones {L} - {u&ˆ } , según (5.4-2), y {D} - {u&ˆ } , según (5.3-7), respectivamente, pero expresados ambos en términos de [N u ] . Además, el valor de las constantes se dan en (2.5-13) ó (5.3-15), y el de [C τ ] se obtiene de (4.2-10).
5.7 INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO DE (5.3-1).
Durante el párrafo 5.5 se indicó la necesidad de aprovechar la integración en el tiempo
para lograr la solución paso a paso de un problema no lineal. Ahora volvemos a realizar lo
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
130
mismo sobre el sistema indicado en (5.3-1) con la incorporación de la no linealidad indicada
en (5.6-2). En esta ocasión nos detendremos sobre la técnica de integración por la aparición
•
•
conjunta de ( pˆ w ,pˆ g ) y ( pˆ w ,pˆ g ) en el sistema de ecuaciones. Para ello se puede recurrir al
método del parámetro ϑ
9,61
aplicado, por ejemplo, a la incógnita genérica p. Así, se tiene:
&
p
= ϑ . +∆
t
con 0 ≤ ϑ ≤ 1 ; y considerando que: (∗& ) =
K
C ws
C gs
C sw
Pww
Q gw
C sg
Q wg
Pgg
0
0
+ 0 H ww
0
0
0
0
H gg










t
t
t
t
(5.7-1)
+ ( 1 − ϑ ). p&
+ ∆t
t
(∗)− (∗)
t
∆t
C sw
Pww
Q gw
, se puede escribir:
ˆ 
 u
 w
ˆ +
 p
g
 p
 ˆ 
C sg
Q wg
Pgg
+ ∆t
uˆ 
0
0
+∆
w
ˆ ϑ * ∆t + 0 H ww
p
+∆
g
ˆ 
p
0
0

t
t
t
&
p
uˆ  K
+∆
w
ˆ  − C ws
p
+∆
g
ˆ 
p
 C gs
t
t
+ ∆t
t
t
t
t
 • 
ˆ 
 u
 F•s 
 w
 
ˆ (1 − ϑ )∆t = Fw  ∆t
 p
g
 p
 • 
 ˆ 
 Fg 
 
0
0
H gg
t
t
(5.7-2)
t
t
t
ó
t
 +∆ ∆u
ˆ 
 +∆ ˆ w 
 ∆p  +
g
 +∆ ∆p
ˆ 


K
Csw
Csg
Cws (Pww + H ww ϑ ∆t )
Q wg
(Pgg + H ggϑ ∆t )
Cgs
Qgw
t
+ ∆t
0 0
0
0 H ww 0
0 0 H gg
o también:
Héctor Ariel Di Rado





ϑ
uˆ 

pˆ w  = ∆t ϑ
ϑ
pˆ g 

t
t
t
t
t
t
t
t
Fs +( − ϑ ) F& s 
+∆ &
Fw +( − ϑ ) F& w 
+∆ &
Fg +( − ϑ ) F& g 
t
t
t
t
+ ∆t &
t
t
1
1
1
t
t
t
(5.7-3)
Capítulo 5: LAS ECUACIONES DISCRETAS. APLICACIÓN DEL MEF.
t
K
C sw
Csg
C ws (Pww + H wwϑ ∆t )
Q wg
(Pgg + H wwϑ ∆t )
C gs
Q gw
t
+
0
0
0 (∆t H ww )
0
0
0
0
(∆t H gg )





uˆ 
pˆ w =
pˆ g 
t
t
t
t
+ ∆t
ˆ 
 ∆u
 ˆ w
∆p  +
g
 ∆p
 ˆ 
131
(5.7-4)
 ∆Fs 


∆Fw 
 ∆F 
 g
La expresión (5.7-4) luego de ser montada para todo el dominio en estudio, e incluidas
las correspondientes condiciones de contorno, conduce al sistema de ecuaciones algebraicas
incrementales que son resueltas en forma iterativa, de acuerdo a lo discutido en la sección 3.2,
debido a que el problema es no lineal. Se hace especial referencia a que las matrices son tomadas en el tiempo anterior equilibrado para el cálculo de cada incremento de las incógnitas y
es por esto que en (5.3-16) a (5.3-20) se usan los incrementos del tiempo anterior.
El proceso iterativo se extiende hasta que el error o residuo ℜ sea menor o igual a una
tolerancia preestablecida. Este residuo, análogamente a (5.5-12), se calcula para medios porosos saturados de la siguiente manera y usando notación de Voigt:
{ℜ} = {t + ∆t F G
ext
}− {t
+ ∆t
FG
i
( )
int
} (G indica general)


{t+∆t Fext }


t w
t +∆t
ℜ = − ∆t [H]ww { pˆ }+ {∆ Fw } +
 − ∆t [H] {t pˆ g }+ {∆t +∆t F } 
gg
g 

[ ]


− ∫ Bu {t +∆t σ(i ) }dϕ (B )


Ω

t + ∆t ( i ) t
t +∆t
w
t + ∆t
g 
+ − [C]ws { uˆ − uˆ }− ([P]ww + α ∆t [H]ww ) { ∆pˆ }− [Q]wg { ∆pˆ }
 − [C] {t +∆t uˆ (i ) −t uˆ }− [Q] {t +∆t ∆pˆ w }− ([P] + α ∆t [H] ){ t +∆t ∆pˆ g } 
gs
wg
gg
gg




T
donde
{ +∆ σ ( ) }
t
t
i
(5.7-5)
(5.7-6)
es el vector de tensiones totales (tensiones efectivas mas presión de poros)
de Cauchy, calculado a partir de (3.5-5), como:
Héctor Ariel Di Rado
Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geométrica.
Análisis de consolidación de suelos no saturados.
t + ∆t
σ (i ) =
t + ∆t
(J
−1
R.τ ′.R T
)i
( )
+
t + ∆t
(a
1
.
p wI
)i
( )
+
t + ∆t
(a
2
132
.
p gI
)i
( )
(5.7-7)
La anterior se da en términos de la tensión co-rotacional efectiva de Kirchhoff τ cuyo valor
en la iteración (i) del tiempo t+∆t es directamente la sumatoria de los incrementos de tensión
efectiva hasta ese momento. El mismo tratamiento se hace para p w y p g .
Héctor Ariel Di Rado