Informe_2_geoestadistica. - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería de Minas
MI4040 Análisis Estadístico y Geoestadístico de Datos
PROYECTO N°2
ANÁLISIS GEOESTADÍSTICO DE
UN YACIMIENTO CUPRÍFEROARGENTÍFERO
Integrantes:
Héctor Toro Vega
Profesor:
Xavier Emery
Fecha de Entrega:
13 de Abril de 2012
1
Abstract
The following report deals with the study of geo-statistical variables (variables distributed
in space). In order to do that, the distributions of the Copper, silver and arsenic’s grades of
a Copper-Silver deposit are modeled using a dataset that contains the information of several
drilling samples in the area. The analysis consisted of an exploratory data study, a
variographic analysis, a cross-validation the creation of a blocks grid and estimates these
variables using kriging. Almost every step of the analysis was made using the software
Isatis, only the exploratory data study required the use of the software MS Excel.
Using the exploratory data study abnormal, wrong and outlier data were eliminated
from the database and some statistics parameters, such as the minimum, maximum, mean,
standard deviation and variance. With those results at hand, it was possible to implement
the variographic analysis and the cross-validation in order to establish the anisotropy of the
variables and to create a blocks grid. Starting from that grid, a block kriging model was
built. The model has the property of being the best linear, unbiased estimator for the
variables with this dataset.
2
Resumen ejecutivo
El siguiente informe trata del estudio de variables geo-estadísticas (variables
distribuidas en un espacio). Para ello, se utilizan el modelamiento de las distribución de
ley de concentrado de cobre, plata y arsénico en un yacimiento cuprífero- argentífero, a
partir de una base de datos con la información de muestras de sondajes en la zona. El
análisis constó de un estudio exploratorio de datos, análisis variográfico, validación
cruzada, creación de una grilla de bloques y estimación por kriging de las variables
mencionadas. Cada una de estas labores fue apoyada con el uso del software Isatis, y para
el estudio Exploratorio de datos se utilizó el software MS Excel.
Del análisis exploratorio de datos para las variables, donde se eliminaron datos erróneos,
outliers y aberrantes y se obtuvieron los siguientes parámetros estadísticos para el cobre, la
plata y el arsénico: mínimo, máximo, media, desviación estándar y varianza. Con lo
obtenido, se realizaron el análisis variográfico y validación cruzada para determinar las
anisotropías y finalizar con la creación de una grilla de bloques. A partir de ella se
realizó el modelo de kriging de Bloques, donde se debe cumplir las condiciones de insesgo,
linealidad y optimalidad, para estimar los valores de las variables en lugares que no se
tenga información.
3
Tabla de contenido
Abstract……………………………………………………………………………..2
Resumen ejecutivo………………………………………………………………….3
Introducción………………………………………………………………………...5
Importación de los datos en Isatis…………………………………………………..6
Estudio exploratorio de las variables……………………………………………….7
Análisis variográfico………………………………………………………………..9
Mapas Variográficos………………………………………………………………..9
Variograma experimental direccional…………………………………………...…15
Variograma modelado………………………………………………………….…..20
Grilla de bloques……………………………………………………………….…..27
Kriging en la grilla………………………………………………………………...28
Análisis de resultados………………………………………………………….…..30
Conclusiones……………………………………………………………………….34
4
Introducción
En el siguiente informe se realiza un estudio geoestadístico de datos a partir de una basa de
datos de un yacimiento cuprífero-argentífero ubicado en el norte de Chile, que
corresponden a muestras de sondajes y canales donde se midieron distintas variables
geometalúrgicas como cobre, arsénico, plata y antimonio junto a la respectiva ubicación en
el espacio de donde fueron extraídas las muestras.
El objetivo de este proyecto es modelar, a partir de la información obtenida de las muestras
de sondajes y canales de la base de datos “Datos.xls”, la distribución de leyes de cobre,
plata y arsénico del yacimiento cuprífero-argentífero.
Para la solución del problema se empleará el software “Isatis.exe”, con el cual se realizará
el estudio exploratorio de datos, el análisis variográfico y la posterior estimación de leyes a
través de un plan de kriging.
Las etapas en las que se divide el proyecto son las siguientes:
1. Importación de los datos a Isatis.
2. Estudio exploratorio y análisis variográfico de las variables (Cu, Ag y As).
3. La creación de una grilla de bloques con los siguientes parámetros:
3.1. Origen (8977.5 m, 25705 m, 2105 m).
3.2. Malla (5 m, 10 m, 10 m).
3.3. Número de nodos (33, 23, 20).
4. Plan de kriging de Cu, Ag y As en la grilla, a partir de los datos de sondajes y canales.
5. Análisis de los resultados.
5
Importación de los datos en Isatis
Primero se crea el proyecto “Yacimiento CupriferoArgentifero” en Isatis, en este se crea la
carpeta “Sondajes” dentro de la cual se crea el archivo “Datos de sondajes”.
Se importa la base de datos “datos.xls” en el archivo “Datos de sondajes”. Se designan las
variables Este, Norte y Cota como Easting (x), Northing (y) y Elevation (z)
respectivamente. Como en la base de datos las variables Ag, As, Cu, Sb que no se
encuentran muestreadas tienen el valor -99, entonces todas las variables que toman el valor
-99 se designan como N/A en Isatis.
Figura 1. Importación de datos.
6
Estudio exploratorio de los datos
El estudio exploratorio corresponde al análisis de los datos desde todas sus perspectivas de
manera obtener una visión generalizada de estos mediante la obtención de las medidas de
tendencia central y dispersión de los datos, entre otros parámetros estadísticos; como
también mediante la observación del comportamiento espacial de los datos utilizando por
ejemplo histogramas, mapas base, gráficos cuantil contra cuantil, etcétera.
Se tiene una base de datos de un yacimiento cuprífero-argentífero ubicado en el norte de
Chile (“Datos.xls”) correspondiente a muestras de sondajes y canales en donde se midieron
las leyes de cobre (Cu, medida en %), arsénico (As, medida en g/Ton) y antimonio (Sb,
medida en g/Ton). Cada muestra posee además información sobre sus coordenadas
geográficas Este, Norte y Cota (medidas en m) y la identificación del sondaje y/o canal
(ID).
Le geología del yacimiento indica que la mineralización ocurre principalmente bajo la
forma de enargita (Cu3AsS3), luzonita (Cu3AsS4), tetraedrita (Cu12Sb4S13), tenantita
(Cu12As4S13) y argentotenantita ((Cu,Ag)10(Zn,Fe)10(As,Sb)4S13).
Detección de anomalías y errores en la base de datos
1. Datos duplicados: se eliminan las filas de datos duplicados usando el comando
tools<duplicates.
2. Datos Atípicos u outliers: los datos atípicos son datos extremos en las variables a
estudiar (leyes). Estos pueden ser eliminados de la base de datos o atenuados, en este
caso se eliminan si es que son muy grandes en comparación con los datos vecinos
observándolo a partir de los mapas bases para cada una de las variables Ag, As y Cu.
3. Datos erróneos: los datos erróneos en la base de datos se pueden identificar ya que estos
son imposibles encontrarlos en la realidad, por lo que se debe a algún error en la
medición o transcripción de los datos. Los datos erróneos en la base de datos
“datos.xls” fueron eliminados directamente utilizando la herramienta “filtro” del
software Microsoft Excel.
Este
9118,89
9035,84
Norte
Cota
Cu
As Ag
Sb
ID
25800,06 2233,04 0,74 60
N/A
DD4960
-5
25708,54 2280,73 0,02 1900 4
DD5244C
-9
Tabla 1. Filas con datos erróneos eliminadas de la base de datos.
7
Despliegue de datos
La siguiente figura muestra los mapas base para las variables geometalúrgicas a estudiar,
donde se aprecian zonas de mayor ley en contraste con otras de baja ley.
Figura 2. Mapas base para Ag (g/Ton), As (g/Ton) y Cu (%) X0Y
Estadísticas elementales
Ag
As
Cu
N° de
datos
Mínimo
Máximo
Media
Varianza
5626
0,4
620
35,99
2824,33
5758
5
60000
1939,2 150202,94
5786
0,01
29,9
1,62
5,11
Tabla 2. Estadísticas elementales para Ag, As y Cu.
Ag
As
Cu
1
0,49
0,82
Ag
0,49
1
0,77
As
0,82
0,77
1
Cu
Tabla 3. Matriz de correlación para Ag, As y Cu.
8
Análisis variográfico
Un análisis variográfico busca describir y modelar la continuidad espacial de una variable
con el objetivo de poder descubrir presencias de anisotropías, si existen zonas de
continuidad espaciales preferenciales este se verán reflejadas en el mapa, esto un estudio a
priori pues las anisotropías se deben comprobar dentro de los variogramas, pero es del
análisis variográfico donde se encuentran pistas .
Para realizar este análisis se realizo un mapa variográfico para cada una de las leyes, donde
se visualiza el variograma en todas las direcciones del espacio.
Mapas Variográficos
Los mapas variográficos obtenidos para cada elemento en las direcciones Este, Norte y
Cota, representados por U, V y W respectivamente, utiliza los siguientes parámetros para su
construcción de acuerdo a los distintos planos formados por las direcciones especificadas:
Número de direcciones
Número de pasos
Paso (distancias)
Tolerancia en la
distancia
Tolerancia en la
dirección
Número mínimo de
pares de datos
Plano U-V
18
10
8,3 [m]
1 paso
Plano U-W
18
10
8,3 [m]
1 paso
Plano V-W
18
10
12 [m]
1 paso
1 sector
1 sector
1 sector
1
1
1
Tabla 4. Parámetros de mapa variográfico
Los parámetros fueron elegidos de tal manera de poder mapear al menos la mitad del plano,
pues así nos aseguramos de registrar anisotropías en el caso de existir.
Los ejes de referencia son XYZ o UVW, respectivamente.
9
• Cobre:
Figura 3. Mapa variográfico cobre, dirección U-V
Figura 4. Mapa variográfico cobre, dirección W-V
10
Figura 5. Mapa variográfico cobre, dirección W-U
Para el cobre las direcciones de anisotropías no son tan claras a la vista, de hecho en el
plano WV no existen, en el plano UV podría existir en la dirección N10 y su ortogonal
N100, en el caso del plano WU podría existir en la dirección Z15 y Z105.
11
• Plata:
Figura 6. Mapa variográfico de plata, dirección V-U
Figura 7. Mapa variográfico de plata, dirección W-V
12
Figura 8. Mapa variográfico de plata, dirección W-U
Para el cobre las direcciones de anisotropías no son tan claras a la vista, de hecho en el
plano WV no existen, en el plano UV podría existir en la dirección N10O y su ortogonal
N10, en el caso del plano WU podría existir en la dirección Z20 y Z110.
13
• Arsénico:
Figura 9. Mapa variográfico de arsénico, dirección V-U
Ilustración 10. Mapa variográfico de arsénico, dirección W-V
14
Figura 11. Mapa variográfico de arsénico, dirección W-U
Se puede observar que no existen direcciones claras de anisotropía para el arsénico.
Variograma experimental direccional
A continuación se presentan los variogramas experimentales direccionales, que se realizan
con el fin descartar o asegurar anisotropías, en el caso de existir estás se verán claras en el
variograma y así aseguramos la existencia, en caso contrario descartamos y solamente
utilizaremos el variograma omnidireccional, los parámetros utilizados fueron los siguientes:
Pasos (distancias)
8,56[m]
Número de pasos
10
Tolerancia en la distancia
0,5
Tabla 5. Parámetros variograma experimental direccionales
Las direcciones sospechosas fueron ya descritas anteriormente y son ellas las utilizadas
para calcular los variogramas.
15
•
Plata:
Figura 13. Variograma experimental direccional de plata, dirección U-V
Figura 14. Variograma experimental direccional de plata, dirección W-U
16
• Cobre:
Figura 15. Variograma experimental de cobre, dirección U-V
Figura 16. Variograma experimental de cobre, dirección W-U
17
El análisis es el mismo tanto para el cobre como la plata: la sospecha no es cierta, de hecho,
era de esperar pues en el mapa no eran claras las anisotropías y esto se corrobora con el
variograma experimental, en ambos casos el variograma es bastante similar.
Aunque pueden que difieran un poco, asegurar anisotropías sería irresponsable pues
estaríamos entregando mayor información, pero falsa, al krigging lo cual puede traer
errores en nuestros resultados. Por lo tanto, después de este análisis, no existen anisotropías
zonales para ningún tipo de variable.
Variograma experimental omnidireccional
Al no existir anisotropías solamente se trabajará con los variogramas omnidireccionales y
serán estos los modelados para después ser utilizados en el krigging. Los parámetros a
considerar son:
Pasos (distancias)
8,56[m]
Número de pasos
10
Tolerancia en la distancia
0,5
Tabla 6. Parámetros variograma experimental omnidireccional
• Cobre:
Figura 17. Variograma experimental omnidireccional de cobre
18
• Plata:
Figura 18. Variograma experimental omnidireccional de plata
• Arsénico:
Figura 19. Variograma experimental omnidireccional de arsénico
19
Variograma modelado
Un variograma experimental es incompleto en cuanto a que se calcula sólo para
algunas distancias y direcciones, y los valores obtenidos dependen directamente de los
parámetros y pares de datos utilizados en su cálculo, por lo tanto es necesario ajustarlo por
un modelo teórico que se adecue al variograma de la función aleatoria.
A continuación se presentan los variogramas modelados para cada variable a partir de la
suma de variogramas elementales (estructuras anidadas).
• Plata
Figura 20. Variograma modelado de plata
Este variograma se encuentra anidado por un modelo de efecto pepita y un modelo esférico
el cual presenta un alcance de 20,01 [m] y una meseta de 1851,79 y el efecto pepita es de
1758,73.
20
• Cobre
Figura 21. Variograma modelado del Cobre
Al igual que el variograma anterior, el cobre también presenta un modelo anidado del
efecto pepita y el modelo esférico. El modelo esférico tiene una meseta y un alcance de
2,55 y 19,94 m respectivamente y el efecto pepita es de 3,03.
• Arsénico
Figura 22. Variograma modelado del Arsénico
21
A diferencia de los otros variogramas, este está modelado por efecto pepita y un modelo
exponencial. Este último tiene un alcance de 38,58 m y meseta de 6.879.759,24 y el efecto
pepita es de 8.227.152,75.
Validación cruzada
Con el objetivo de validar los variogramas modelado y la vecindad escogida se realiza una
validación cruzada, es decir se estiman los datos a partir de los demás como si siguieran el
comportamiento del variograma modelado, obviamente existirá un error asociado, el cual es
nuestro parámetro de decisión para validar, tomamos como error una banda de 5% para
ambas lados (2.5 % por lado), sobre y sub estimación, los datos en rojo en las figuras se
encuentran sobre el error, y estos datos no deben superar el 5% del total de la muestra.
También se deben cumplir ciertas condiciones de sesgo, precisión, los cuales son detallados
a continuación,
•
•
•
•
Insesgo: el promedio de los errores deber ser cercano a cero.
Precisión: el valor de la varianza deber ser pequeño.
Varianza de errores estandarizados debe ser cercano a uno, el variograma cuantifica
adecuadamente la incertidumbre.
Nube de dispersión debe acercarse a la diagonal para cumplir insesgo condicional.
22
• Plata:
Figura 23. Validación cruzada de la Plata
5620 Datos
Promedio Varianza
Error
0,0285
2084,99
Error Std.
0,0006
0,91
Porcentaje
2.5%
Tabla 7. Datos validación cruzada de la plata
23
Todas las condiciones anteriores se cumplen salvo que la varianza del error sea un valor
pequeño, esto se explica pues en la nube de dispersión vemos que los valores con altas
leyes fueron estimados por valores más pequeños y estos aumentan la varianza, aun así es
la varianza más pequeña que se puede obtener, por lo tanto, se valida el variograma.
• Cobre
Figura 24. Validación Cruzada del Cobre
24
5598 Datos
Promedio
Varianza
Error
-0,0013
3,59
Error Std.
-0,0006
1,01
Porcentaje
3%
Tabla 8. Datos validación cruzada del Cobre
Todas las condiciones anteriores se cumplen por lo tanto, se valida el variograma.
• Arsénico
Figura 25. Validación cruzada del Arsénico
25
5570 Datos
Promedio
Varianza
Error
-2,774
12.016.896,91
Error Std
-0,001
1,14
Porcentaje
2.8%
Tabla 9. Datos validación cruzada del Arsénico
Todas las condiciones anteriores se cumplen salvo que la varianza del error sea un valor
pequeño, esto se explica pues en la nube de dispersión vemos que los valores con altas
leyes fueron estimados por valores más pequeños y estos aumentan la varianza, aun así es
la varianza más pequeña que se puede obtener, por lo tanto, se valida el variograma.
26
Grilla de bloques
Para realizar una estimación por kriging, es necesario definir una grilla que cubre la
zona muestreada con una malla definida de un cierto tamaño, de modo que se puedan
generar bloques para la cubicación del yacimiento. Para un modelo de Bloques en ISATIS,
se genera la siguiente grilla de bloques utilizando los siguientes parámetros, donde se
indican las coordenadas x, y, z de cada caso.
Parámetros
Origen
Malla
N° de Nodos
Coordenadas
Y(m)
25705
10
23
X(m)
8977,5
5
33
Z(m)
2105
10
20
Tabla 10. Parámetros grilla de bloques
Para cada malla de 5m x 10m x 10m se obtuvieron gráficos de la siguiente manera:
Figura 26. Vista XOZ de la Grilla del Cobre
27
Kriging en la grilla
La interpolación por Kriging se realiza en ISATIS. Los modelos para el Kriging pueden ser
adoptados con un soporte puntual o un soporte de bloques. Para mejor zonación, se
determinó utilizar modelo de bloques. Las mallas empleadas son de 10mx10mx5m. Este
método, se utilizara para las tres variables de la muestra (Cu, Ag y As).
• Plata:
Figura 27. Base kriging de la Plata, Vista X0Y y X0Z para estimación de leyes y
desviación std.
28
• Cobre:
Figura 28. Base kriging del Cobre, Vista X0Y para estimación de leyes y desviación std.
• Arsénico:
Figura 29. Base kriging del Arsénico, Vista X0Y para estimación de leyes y desviación
std.
29
Análisis de Resultados
Con el objetivo de validar el kriging es fundamental realizar ciertos análisis, como que la
variable siga comportándose de acuerdo a su distribución, que la media siga siendo la
misma y el comportamiento por dirección sea el mismo. Se sabe que el kriging subestima
las altas leyes y sobre estima las bajas leyes, por lo tanto veremos que en las zonas de alta
concentración, que no son muchas, existirá una atenuación y en las zonas de baja ley
aumentarán un poco, sin embargo la media debería ser bastante similar.
• Plata:
Analizando primero las estadísticas básicas se observa que la media es bastante similar,
36.71 contra 32.17, el número de muestras obviamente aumenta pues en el segundo caso se
estima para toda la malla. Efectivamente el máximo es menor bajando de 855 a 841 [gr/t] ,
y en ambos casos el comportamiento se mantiene pues ambas curvas son de la misma
forma en el QQPlot.
30
Para el caso de las leyes contra las direcciones espaciales, el kriging de cierta manera
compacta a los valores altos y aumenta los valores bajos pero no de la misma manera, pues
aun cuando ocurre esto las tendencias se mantienen, viendo por ejemplo los gráficos
siguientes, se observa que las zonas donde existían máximos siguen siendo las mismas.
31
• Cobre:
En el caso del sobre el análisis es similar al de la plata y las medias también se mantienen,
en el caso del comportamiento de la variable frente a una distribución normal (gráficos
QQPLOT), la variable después del kriging sigue manteniendo ese efecto curva pero se
atenuó en las bandas, su comportamiento es más parecido a una distribución normal que
log-normal, pero para aseverar tal hipótesis es necesario hacer un test estadístico.
32
Para el caso de las leyes versus las direcciones espaciales se comprueba que las tendencias
se mantienen mayoritariamente y los efectos del kriging se producen. Para el cobre las altas
leyes fueron más atenuadas que en el casa de la plata.
33
Conclusiones
A partir del estudio exploratorio de datos se puede concluir que es de primordial necesidad
hacer una limpieza de la base de datos, eliminando outliers, duplicados, datos incoherentes
y datos repetidos, pues al haber dejado estos en la base, el resultado habría distado mucho
del actual. Isatis en primera instancia entregó unos mapas bases de la distribución de leyes
de las muestras en el espacio, estos mapas dieron una idea principal de la localización del
cuerpo mineralizado de mayor ley, la cual coincidió con la localización final entregada por
el kriging, es decir, el análisis básico puede dar nociones de las distribuciones de leyes en el
espacio a gran escala, si se necesitara para un estudio menor, pero no para la distribución
continua de leyes que da el kriging. Luego se continúo con el análisis variográfico, tanto de
mapas como de variogramas, este paso es un fundamental pues es la herramienta
matemática que alimenta al kriging, y sobre en este caso cuando la media de la población es
desconocida. El análisis fue más bien conservador, pues en el momento de buscar
anisotropías en los mapas estás nunca se presentaron claras y se decidió validar o rechazar
tales hipótesis con los variogramas experimentales, en ningún caso se encontró direcciones
preferenciales por lo tanto se procedió a trabajar con los variogramas experimentales.
Esta tarea es relativamente fácil pues el Isatis entrega bastantes herramientas para modelar,
en todos los casos se utilizaron dos modelos, el efecto pepita y esférico o exponencial con
los valores señalados dentro del informe. Una vez hecho esto, la validación cruzada entregó
resultados positivos de sobre nuestros variogramas cumpliendo con todas las condiciones.
Por lo tanto los variogramas modelados de las variables son insesgados y precisos, más aún
cuántica adecuadamente la incertidumbre y no existe sesgo condicional.
Finalmente para obtener la interpolación espacial es necesario crear una grilla de bloques,
esto se hizo para cada variable por separado pues se tiene los variogramas por separado,
luego se agrega todo esta información al kriging, manteniendo la vecindad móvil utilizada
para los variogramas.
Las estadísticas básicas pre y post kriging se detallan a continuación,
Pre
Post
Cu
Media
1,66
1,74
Min
0,01
0,13
Max
29,9
17,84
Datos
5590
15180
Pre
Post
Ag
Media
36,71
32,17
Min
0,4
2,16
Max
855
31,74
Datos
5438
15168
34
Pre
Post
As
Media
1984,66
2257342
Min
5
14,72
Max
68340
22722
Datos
5570
15168
Se observan claramente los efectos del kriging, los mínimos aumentaron y los máximos
disminuyeron, las medias son relativamente iguales.
El kriging finalmente permite tener una continuidad en las leyes espaciales a partir de
modelos de bloques y con esto es posible poder estimar la cantidad de recursos totales del
yacimiento con la ley crítica, los bloques superando esa ley crítica serán rentables y luego
es el trabajo del planificador decidir el orden en el que se extraen.
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