1 Sistemas Ortonormales Completos.

En esta sección nos vamos a enfocar a los espacios completos, con una estructura de espacio vectorial y que tengan una norma o un producto interno
o ambos. Estos espacios, llamados espacios de Banach y espacios de Hilbert,
son muy importantes porque ahi viven los operadores diferenciales y las soluciones de un sinnumero de ecuaciones diferenciales. Esto le da una importencia
enorme a este tipo de espacios. Vamos a iniciar con la introducción de algunas
propiedades de las series en espacios normados y luego con la definición de los
espacios de Hilber para después pasar a su manipulación.
1
Sistemas Ortonormales Completos.
Como ya vimos, con la norma se pueden definir conceptos como continuidad,
convergencia, etc. Vamos a iniciar con las series en estos espacios y veamos un
concepto que generaliza el concepto de estas series. Sea (B, k · k) un espacio
de normado, y (xn ) una sucesión en B. Definimos inductivamente una sucesión
nueva (sn ).
Definición
1 Sea s1 = x1 , sn+1 = sn + xn+1 para toda n = 1, 2, · · · . sn =
Pn
x
se
llama
suma parcial n-esima de (xn ). Si (sn ) es convergente,
i=1 i
entonces s = lim sn , con s ∈ B, se llama serie infinita de (xn ), y se denota
P n→∞
por s = ∞
i=1 xi .
Comentario 2 Para B = ℜ, si (sn ) no es convergente, se consideran dos casos:
i) (sn ) es una serie propiamente divergente, es decir, lim sn = ∞, o
n→∞
P∞
lim sn = −∞, entonces se dice que la serie i=1 xi diverge propiamente a ∞
n→∞
o a −∞;
ii) En otro caso,
P∞tenemos una divergencia indeterminada de (sn ), se
dice que la serie i=1 xi es oscilalante.
Comentario 3 En ocasiones es útil iniciar la enumeración de (sn ) con n = 0,
o con algún otro número entero. Ası́ que, el analisis de series infinitas, en su
esencia, es el analisis
P de sucesiones
Pnespeciales, solo que en cada momento hay
que recordar que ∞
i=1 xi = lim (
i=1 xi ).
n→∞
Lema 4 (Criterio
necesario de convergencia de series) La convergencia
P∞
de la serie i=1 xi implica que lim xn = 0.
n→∞
Dem. 5 s =
P∞
i=1
xi = lim sn = lim sn+1 , con sn =
n→∞
n→∞
Pn
i=1
xi . Entonces
podemos escribir 0 = s − s = lim (sn+1 − sn ) = lim xn . n→∞
n→∞
Una aplicación práctica de este criterio de necesidad nos da a saber cuando
una serie no converge. Si se tiene que en una serie lim xn 6= 0, esto implica que
n→∞
P∞
la serie i=1 xi no converge. Sin embargo este criterio no es suficiente. Veamos
un ejemplo.
1
Ejemplo 6 Sea xn = ln(1 + n1 ), tenemos lim xn = 0. Para ver esto último,
n→∞
recordemos que el número de Euler e es el lı́mite de la sucesión creciente (1+ n1 )n ,
por eso (1 + n1 )n ≤ e para todo n ∈ N . Aplicando la función estrictamente
monótona ln, se obtiene que ln((1 + n1 )n ) ≤ ln(e) = 1, que implica n ln(1 + n1 ) ≤
1, y entonces 0 ≤ ln(1 + n1 ) ≤ n1 . Pero lim n1 = 0, y el criterio de comparació
n→∞
n nos da que 0 ≤ lim (1 + n1 ) ≤ 0, implicando lim (1 + n1 ) = 0.
n→∞
n→∞
Sin embargo, veamos que la serie diverge:
sn
=
=
=
n
X
n
n
X
X
1
1+i
ln(1 + ) =
ln(
(ln(i + 1) − ln(i))
)=
i
i
i=1
i=1
i=1
ln(2) − ln(1) + ln(3) − ln(2) + ln(4) − ln(3) + · · · + ln(n + 1) − ln(n)
ln(n + 1) − ln(1) = ln(n + 1),
lo cual claramente esPuna sucesión estrictamente creciente no acotada por arriba,
∞
lo cual implica que i=1 ln(1 + 1i ) = lim sn = lim ln(n + 1) = ∞
n→∞
n→∞
Recordemos algunos de los criterios más importantes de convergencia
para series, los cuales pueden ser muy utiles en el futuro.
P∞
Criterio 7 (de Cauchy)
Si i=1 xi es convergente, entonces la sucesión (sn )
Pn
definida por sn = i=1 xi es de Cauchy.
P∞
Es decir, i=1 xi converge sı́ y sólo sı́ para todo ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que
m > n ≥ nǫ implica que k sm − sn k=k xn+1 + xn+2 + · · · + xm k< ǫ.
P∞
P∞
Criterio 8 (de comparación) Si i=1 ai y i=1 bi son series con ai ≥ 0, bi ≥
0 para toda i, y si existe un número natural n tal que ai ≤ bi para toda i ≥ n,
entonces
P∞
P∞
Si Pi=1 bi converge, también
i=1 ai converge.
P
∞
∞
Si i=1 ai = ∞, entonces i=1 bi = ∞.
Criterio 9 (de cocientes de d’Alambert) Si xi > 0 para toda i, entonces,
si existe n ∈ N tal que i ≥ n implica
xi+1
≤q<1
xi
P∞
para un q fijo con 0 < q < 1 que no depende de i, P
entonces i=1 xi converge.
∞
xi+1
En caso de que i ≥ n e implique xi ≥ 1, la serie i=1 xi es divergente.
Si
xi+1
=g
lim
i→∞ xi
P∞
entonces i=1 xi es convergente para g < 1 y divergente para g > 1 (incluyendo
g = ∞).
2
Criterio 10 (de la raiz) Si xi > 0 para toda i, entonces, si existe n ∈ N tal
que i ≥ n implica
√
i
xi ≤ q < 1
P∞
para un q fijo con 0 < q < 1 que no depende de i,P
entonces i=1 xi converge.
√
∞
En caso de que i ≥ n e implique i xi ≥ 1, la serie i=1 xi es divergente.
Si
√
lim i xi = g
i→∞
P∞
entonces i=1 xi es convergente para g < 1 y divergente para g > 1 (incluyendo
g = ∞).
Vamos a regresar al tema principal de esta sección. Vamos a estudiar los
espacios ecuclidianos o unitarios completos. Estos espacios tienen una importancia especial y por eso reciben un nombre especial, se llaman espacios de
Hilbert. Los espacios completos, ya sean Euclidianos y Unitarios, asi como los
espacio normados, son muy importantes y es por eso que les vamos a dedicar
este capitulo. El espacio en donde viven los estados cuánticos son los espacios
de Hilbert, formalmente estos se definen como sigue.
Definición 11 Un espacio Unitario o Euclidiano completo se llama Espacio
de Hilbert.
Ejemplo 12 Como el conjunto de los reales es completo, entonces este espacio
con su producto interno canónico, es un espacio de Hilbert. Pero el conjunto de
los enteros o los racionales no puede ser de Hilbert ni de Banach.
Ejemplo 13 Un ejemplo
de espacio de Hilbert muy
es el espacio L2
P∞ conocido
2
l
<
∞
con el producto
definido antes: LP
2 = (l1 , l2 , · · · ) | li ∈ C tal que
i=1 i
∞
interno (x, y) = i=1 li m̄i para x = (l1 , l2 , · · · ), y = (m1 , m2 , · · · ). Este espacio es P
de Hilbert. Su producto interno se denota más comunmente como < x |
y >= ∞
i=1 li m̄i , y las li son los coeficientes de Fourier de algún desarrollo en
series.
Los sistemas ortonormales son los conjuntos más apropiados para describir
un espacio de Hilbert. Son base del espacio, pero ademas son ortonormales, con
lo que cualquier elemento del espacio puede ser escrito en terminos de él con
relativa sencilles.
En los espacio Euclidianos o Unitarios podemos hacer la siguiente definición.
Definición 14 Sea E un espacio Euclidiano (ó Unitario) y H ⊆ E. Sea {xi }i∈I
una familia de elementos de H e I una familia de ı́indices. {xi }P
i∈I se le llama
un sistema completo de H si para toda x ∈ H se sigue que x = i∈I (x, xi ) xi ,
es decir, la serie converge a x. Se dice que el sistema es ortonormal si
1) El sistema es completo
2) {xi }i∈I es una base ortonormal de H
3
En los espacios de Hilbert siempre existe un conjunto completo que lo genera. Esta propiedad es muy importante y constantemente utilizada por fı́sicos,
quı́micos e ingenieros. Para demostrar este teorema, es necesario ver primero la
siguiente proposición, la cual enunciaremos sin demostración.
Proposición 15 Sea E un espacio de Hilbert y {xi }i∈I una base ortonormal.
{xi }i∈I es completo sı́ y sólo sı́ se sigue que si x ∈ E y se cumple que (x, xi ) = 0
para todo indice i ∈ I, implica que x = 0.
Entonces se puede ver que
Teorema 16 Sea E un espacio de Hilbert. Entonces existe un sistema ortonormal completo {xi }i∈I en E.
Dem. 17 La idea de la demostración es usar la proposición anterior y construir
el sistema completo paso paso. En lo que sigue vamos a estudiar la identidad de Parseval. Esta identidad
sirve mucho en el cálculo de las normas en espacios Euclidianos y Unitarios.
Esta identidad la veremos en la siguiente proposición.
Proposición 18 (Identidad de Parseval) Sea E espacio Euclidiano o Unitario y sea {xi }i∈I un sistema ortonormal en H ⊂ E. {xi }i∈I es completo sı́ y
P
sólo sı́ k x k2 = i∈I (x, xi )2 para toda x ∈ H.
P
Dem. 19 ⇒) {xi }i∈I completo implica que para toda x ∈ H x = i∈I (x, xi ) xi ,
entonces


X
X
X
||x k2 = (x, x) = 
(x, xi ) xi ,
(x, xi ) (x, xj ) (xi xj ) =
(x, xj ) xj  =
i∈I
X
(x, xi ) (x, xj ) δij =
i,j∈I
j,i∈I
j∈I
X
2
(x, xi )
i∈I
⇐) Sea {yi }i∈I sistema ortonormal, x ∈ H fijo y yn =
yn es perpendicular a x − yn ya que
(yn , x − yn ) =
n
X
i=1
(x, yi ) (yi , x) −
n
X
Pn
i=1
(x, yi ) yi . Pero
(x, yi ) (x, yj ) (yi , yj ) = 0.
i,j=1
2
2
Entonces, por el teorema de Pitagoras ||x||2 = ||x −
Pynn || + ||yn ||2 y esto implica
2
2
2
2
que ||x|| − ||yn || =P
||x − yn || . Esto es ||x|| − i=1 | (x, yi ) | = ||x − yn ||2 .
∞
2
Pero como ||x|| = i=1 | (x, yi ) |2 esto implica que lim ||x − yn ||2 = 0 esto
n⇀∞
P∞
es lim yn = x =
(x, yi ) yi , que también podemos escribir como x =
i=1
P∞n⇀∞
i=1 (x, xi ) xi = y∞ para (xi )i∈i = (yi )i∈i y esto implica que (xi )i∈i es completo. 4
En fı́sica, quı́mica y otras disciplinas cientı́ficas, es muy conveniente escribir
las funciones de algún espacio en terminos de funciones conocidas. Generalmente
se trabaja en estas diciplinas con espacios completos en donde se puede definir
una base ortonormal. Entonces se eligen bases ortonormales que se estudian
intensamente para poder deducir despues propiedades generales de las funciones
a estudiar o se trabaja simplemente con estas funciones en términos de la base
del espacio de Hilbert, usandolas como una buena aproximación de las funciones
de interes.
Para esto tenemos la siguiente definición.
Definición 20 Sea {xi }i∈I un sistema ortonormal completo en un espacio de
Hilbert E. Entonces
· (x, xi )i∈I se llaman coeficientes de Fourier con respecto a x y la base
ortonormal.
P
· i∈I (x, xi ) xi se llama serie de Fourier.
Cada x ∈ E en un espacio de Hilbert puede ser representado en una serie de
Fourier, en donde esa x puede ser cualquier tipo de elemento, desde polinomios,
funciones periodicas, hasta funciones que son la solución de alguna ecuación
diferencial de importancia.
Notación 21 A pesar de que los elementos del espacio de Hilbert o Banach son
siempre vectores, a partir de aquı́ vamos a uniformizar la notación, entonces denotaremos los elementos de estos espacios ya no con negritias x, sino solamente
como x. De cualquier forma, los espacios de Hilbert que más vamos a usar, los
de mayor interes para nosotros, son los espacios vectoriales de funciones.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 22 Sea ℜn , con xi = ei , i = 1, · · · , n, la base canónica. P
n
Pn1) Sea x = (l1 , · · · , ln ). Entonces x se pude representar como x = i=1 li ei =
i=1 (x · ei ) ei .
2) Para los números complejos C n es análogo.
Ejemplo 23 Tomemos a L2 con la base
xi = ei = 0, · · · ,
1
i−esimo
,···
.
Sea {xi }i∈I = {xi }i=1,··· ,∞ , entonces {xi }i∈I es un sistema ortonormal completo, ya que si x ∈ L2 , se tiene que (x, xi ) = li , en donde x = (l1 , · · · ) y
2
∞
2
2
Σ∞
i=1 | (x, xi ) | = Σi=1 |li | = ||x|| .
De la identidad de Parseval se sigue que {xi }i∈I es completo.
5
Ejemplo 24 Sea Cℜ el conjunto de las funciones suaves f : ℜ → ℜ. La serie
de Taylor de esta función alrededor de 0 esta dada por
1 df 1 d2 f 1 d3 f 2
f (x) = f (0) +
x
+
x
+
x3 + · · ·
1! dx x=0
2! dx2 x=0
3! dx3 x=0
Entonces, toda función suave (de hecho en cualquier punto) se puede representar
por un polinomio f (x) = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · , donde los coeficientes
del polinomio estan dados por
1 dj f .
aj =
j! dxj x=0
Sea (P, ·) el conjunto de los polinomios de grado arbitrario con su producto
canónico y {pj }j=0,1,··· = {1, x, x2 , · · · }. Es claro que este conjunto de vectores
es un sistema completo en Cℜ . Entonces, toda función suave se puede escribir
como
∞
∞
X
i X
i
ai xi .
p·x x =
f (x) =
i=1
i=1
Ejemplo 25 Sea Fp ([0, 2π]) el conjunto de las funciones periódicas en [0, 2π].
Un sistema ortonormal completo de este espacio es
1
1
1
{xj }j∈I = √ , √ sin(jt), √ cos(jt)
π
π
2π
j=1,··· ,n
Los coeficientes
dados por
( de Fourier estan
R 2π
(f, cos(jt)) = 0 f cos(jt)dt,
R 2π
(f, xj )j∈I =
(f, sin(jt)) = 0 f sin(jt)dt,
Este conjunto es completo ya que si
Z 2π
Z 2π
0 = (f, xj ) =
f cos(jt)dt o
f sin(jt)dt = 0
0
0
para todo j = 0, · · · , n, se sigue que f = 0.
Ejemplo 26 Un ejemplo simple de funciones ortonormales
√ sobre las cuales se
puede hacer un desarrollo de Fourier son las funciones {1/ 2π exp (imx)}m∈I .
Estas funciones forman un sistema ortonormal completo en el intervalo [0, 2π],
ya que
1
1
′
√ exp (imx) , √ exp (im x)
=
2π
2π
Z 2π
1
exp (imx) exp (−im′ x) dx = δmm′
2π 0
6
para m, m′ ∈ Z. Este sistema ortonormal completo es de gran interes por su
uso en fı́sica, quı́mica e ingenierı́a. Se tiene que una función en el intervalo
[0, 2π] se puede escribir como
X
f (x) =
(f, exp (inx)) exp (inx) , donde
n∈I
1
√
2π
(f, exp (inx)) =
Z
2π
f (x) exp (−inx) dx
0
Ejemplo 27 Sea Pn (x) los polinomios de grado n definidos por la fórmula
r
n
dn
1
2n + 1
2
Pn (x) = cn · n x − 1 , con cn =
.
n
dx
n!, 2
2
Si integramos por partes n -veces el producto
Z 1
Pm (x)Pn (x)dx = δmn
−1
donde δmn es la delta de Kroneker, vemos que estas funciones son ortogonales.
Como este conjunto de funciones son polinomios de grado arbitrario, el espacio
generado por ellas es isomorfo a (P, ·). Entonces se puede demostrar que el
conjunto {Pn (x)}n=1,··· es un sistema completo en el espacio de funciones suaves
f : [−1, 1]→ ℜ. Esto quiere decir que toda función suave f en [−1, 1] se puede
escribir como
f (x)
∞
X
=
(f, Pn ) Pn , donde
n=0
2n + 1
2
(f, Pn ) =
Z
1
f (x)Pn (x)dx
−1
Estos polinomios son llamados polinomios de Legendre.
Ejemplo 28 Análogamente a los polinomios de Legendre se definen los polinomios asociados de Legendre como
Plm (x)
m
= (−1)
= (−1)m
dm+l x2 − 1
cn
1−x
dxm+l
m
d
P
(x)
m/2
l
1 − x2
dxm
2 m/2
l
con −l ≤ m ≤ l. Estos polinomios también son ortogonales, haciendo m integraciones por partes se puede ver que
(
Z 1
0
si l 6= l′
Plm (x)Plm
′ (x)dx =
2 (l+m)!
si l = l′
−1
2l+1 (l−m)!
7
Análogamente como en el caso de los polinomios de Legendre, este conjunto de
funciones también son polinomios de grado arbitrario, asi que el espacio generado por ellas es isomorfo a (P, ·). Entonces se puede demostrar que el conjunto {Plm (x)}n=1,··· es un sistema completo en el espacio de funciones suaves
f : [−1, 1]→ ℜ. Esto quiere decir que toda función suave f en [−1, 1] se puede
escribir como
f (x)
=
∞
X
(f, Plm ) Plm , donde
l=0
(f, Plm ) =
2n + 1 (l − m)!
2 (l + m)!
1
Z
−1
f (x)Plm (x)dx
Ejemplo 29 Finalmente, un ejemplo muy importante es una combinacion del
ejemplo 26 combinado con los polinomios asociados de Legendre. Si definimos
las funciones
s
2n + 1 (l − m)! m
m
m
Yl (θ, ϕ) = (−1)
P (cos(θ)) exp (imϕ)
4π (l + m)! l
se puede ver que el conjunto {Ylm }l,m∈I es un sistema ortonormal completo.
A las funcines Ylm (θ, ϕ) se les llama armónicos esfericos. Es fácil darse
cuenta que
Z
2π
dϕ
0
Z
1
−1
′
Ylm (θ, ϕ) Ylm
(θ, ϕ) d (cos (θ)) = δll′ δmm′
′
y por construcción, este sistema es una base del conjunto de funciones. Este
sistema es muy conveniente para escribir funciones que dependen solo de los
angulos θ y ϕ, es decir, funciones cuyo dominio se encuentra en la esfera. Por
eso los armónicos esfericos son muy usados en problemas con simetria esférica.
Toda función f que solo depende de estos dos angulos se puede escribir como
f (x)
=
∞ X
l
X
(f, Ylm ) Ylm , donde
l=0 m=−l
(f, Ylm )
2
=
2n + 1 (l − m)!
2 (l + m)!
Z
2π
dϕ
Z
1
−1
0
f (θ, ϕ)Ȳlm (θ, ϕ)d (cos (θ))
Operadores Adjuntos.
Ahora vamos a trabajar en los espacios normados completos, es decir, en los
espacios de Banach. Estos espacios tienen muchas propidades, en ellos viven
los operadores, especialmente los operadores cuánticos. Vamos a definir los
operadores adjuntos y autoadjuntos y veremos algunas de sus propiedades. La
definición de los espacios de Banach es como sigue.
8
Definición 30 Un espacio normado, completo, se llama Espacio de Banach.
Comentario 31 Como ya sabemos, todo Espacio Unitario o Euclidiano es normado, si estos además son completos, son espacios de Banach. Los espacios
normados son también métricos, por lo tanto los espacios de Banach son espacios métricos.
Más adelante vamos a necesitar el siguiente lema.
Lema 32 Sea xn una sucesión tal que lim xn = x0 y f una función. Entonces
n⇀∞
f es continua en x0 sı́ y sólo sı́ lim f (xn ) = f (x0 )
n⇀∞
Ejercicio 33 Demostrar el lema.
Proposición 34 Sean (E, || · ||) y (F, || · ||) espacios normados y A : E ⇀ F
función lineal. Entonces A es continua sı́ y sólo sı́ es continua en 0 (o en algún
punto x ∈ E.)
Dem. 35 ⇒) Trivial.
⇐) Supongamos que A es continua en 0. Sea xn una sucesión en E tal que
lim xn = x. Sea yn := xn − x, esto implica que lim yn = 0. Puesto que A es
n⇀∞
n⇀∞
continua en 0, se sigue que lim A (yn ) = A (0) = 0.
n⇀∞
Entonces
0 = lim A (xn − x) = lim [A (xn ) − A (x)] ,
n⇀∞
n⇀∞
se sigue que lim A (xn ) = A (x) n⇀∞
Las funciones lineales acotadas son las de mayor interés en fı́sica. Cuando
la función es acotada, esta tiene propiedades especiales. Vamos a definir lo que
es una función acotada.
Definición 36 Sean (E, || · ||E ) y (F, || · ||F ) espacios normados y A : E ⇀ F.
A se dice acotada, si
sup
||x||E =1
||A (x) ||F < +∞,
para todo x ∈ E
Ejemplo 37 Sea E = ℜ y A : ℜ ⇀ F , tal que A → A (x) = α · x ∈ F arbitrario
||A (x) || = ||x · α|| = |x| · ||α||.
Se sigue que
sup ||A (x) || = sup {||α||, −||α||} = ||α|| < +∞
|x|=1
9
Ejemplo 38 Sea C ([a, b]) el conjunto de las funciones continuas en [a, b]. Sea
A : C ([a, b]) ⇀ ℜ, tal que
f ⇀ A (f ) =
b
Z
f (x) dx.
a
Entonces
||A (f ) || = ||
Z
b
a
f (x) dx|| ≤
Z
a
b
||f (x) ||dx ≤ ||f || (b − a) .
Entonces se tiene que
sup ||A (f ) || ≤ b − a < +∞,
kf k=1
y esto implica que A es acotada.
El concepto de acotada para una función queda más claro despues del lema
siguiente, el cual enuciamos sin demostración.
Lema 39 Sean (E, || · ||E ) y (F, || · ||F ) espacios normados y A : E ⇀ F un
mapeo lineal. A es acotada sı́ y sólo sı́ existe c ∈ ℜ, tal que ||A (x) ||F ≤ c||x||E
Es decir, la función es acotada si la norma de sus valores son menores que
la norma del punto en donde se evaluo, para todo punto en el dominio. Las
funciones lineales acotadas son continuas, esta propiedad la demostramos en el
siguiente teorema.
Teorema 40 Sean (E, || · ||E ) y (F, || · ||F ) espacios normados y A : E ⇀ F
un mapeo lineal. Entonces A es continua sı́ y sólo sı́ A es acotada.
Dem. 41 .
⇒) Supongamos A continua. En particular es continua en 0, .i.e. para
toda ǫ > 0, existe δǫ tal que k A (x) − A(0) kF < ǫ, para toda x se sigue que
k x − 0 kE < δǫ . Pero A lineal implica A (0) = 0. Tomemos ǫ = 1. Entonces
k A (x) kF < 1, para toda x con k x kE < δ1
(*)
Sea
y
δ1
δ1
tal que k y ′ kE =
< δ1 .
y′ =
2 k y kE
2
Entonces por (*) k A (y ′ ) kF < 1 (**).
Además
2
2
k y kE ≤
k y kE
k A (y) kF =k A (y ′ ) kF
δ1
δ1
por (**). Esto quiere decir que
k A (y) kF ≤ c k y kE , con c =
10
2
δ1
para toda y ∈ E.
⇐) Supongamos A es acotada. Entonces existe c tal que k A (x) k≤ c k x k,
x ∈ E. Sea xn una sucesión en E, con lim xn = 0. Entonces
n⇀∞
k A (xn ) − 0 kF =k A (xn ) kF ≤ c k xn kE .
Pero lim xn = 0 sı́ y sólo sı́ lim k xn kE = 0. Se sigue que
n⇀∞
n⇀∞
0 ≤ lim ||A (xn ) kF ≤ lim c k xn kE = 0
n⇀∞
n⇀∞
o sea lim k A (xn ) kF = 0 pero esto es sı́ y sólo sı́ lim A (xn ) = 0 = A (0) .
n⇀∞
n⇀∞
Entonces A es continua en cero por lo que A es continua. El conjunto de funciones lineales acotadas, por tanto continuas, entre espacios normados, forma un espacio vectorial también. Este concepto lo escribiremos en la siguiente definición.
Definición 42 L (E, F ) = {A | A : E ⇀ F, lineal y acotada.}
Ya sabemos que L (E, F ) es un espacio vectorial, asociado a E y F . Existe
un caso particular de espacios normados muy interesante. Se puede definir una
clase de espacios asociados usando como norma la definición de acotado. Esto
se posible porque esta dafinición es a su vez una norma. Esto es
Lema 43 Sea A ∈ L (E, F ). Se tiene que
k A kL = sup k A (x) kF
kxkE =1
es una norma en L (E, F ).
Ejercicio 44 Demostrar el lema.
Ejemplo 45 Sea E = ℜ2 y sea A la transformación lineal representada por la
matriz
2 1
A=
1 0
Encontremos su norma ||A||. Tomemos un vector x cualquiera x = (l1 , l2 ). Se
tiene
||A|| =
=
sup k A (x) k
kxkE =1
sup k
kxkE =1
=
sup
kxkE =1
=
2 1
1 0
2
l1
l2
k
(2l1 + l2 ) + l12
q
sup 1 + 4l12 + 4l1 1 − l12
Esta ultima función toma valores maximos en 0.923. Por lo que ||A|| = 0.923.
11
Un resultado que es muy usado en el estudio de las normas de mapeos lineales
es el siguiente:
Lema 46 Sea A operador lineal. Entoces ||A (x)|| ≤ ||A|| · ||x||
Dem. 47 Tomemos
x ||A (x)|| = ||x|| · A
||x|| ya que A es lineal. Por otro lado es claro que si ||y|| = 1, se tiene que
||A (y)|| ≤ sup ||A (y)|| ,
kyk=1
por definición de supremo. De donde se sigue que
||A (x)|| ≤ ||x|| · ||A||
Con esta norma es posible entonces demostrar que el espacio L (E, F ) es a su
vez espacio de Banach, esto se ve en el siguiente teorema, que no demostraremos.
Teorema 48 Sea (L (E, F ) , k · kL ) el espacio nomado de las transformaciones
lineales y continuas de E a F . Entonces si F es un espacio de Banach, (L (E, F ) , k · kL )
es de Banach.
Observemos que k · kL es una norma en el espacio asociado, es una norma
para el espacio de funciones lineales. Si E = F , este espacio tiene un trato
especial. Podemos definir
Definición 49 Sea E espacio de Hilbert y L (E) = L (E, E) . Con la norma
k A k= sup k A(x) kE ,
L (E)
kxkE =1
es el espacio de Banach de las funciones de E en E lineales y continuas.
Ahora vamos a introducir el concepto de operador adjunto. Para esto,
veamos que en los espacios de Banach podemos construir un producto escalar.
Sea A ∈ L (E) . Podemos construir la forma bilineal B (x, y) = (Ax, y) con
x, y ∈ E. Tenemos entonces la siguiente prposición.
Proposición 50 Si E es un espacio de Hilbert real, entonces B es una forma
bilineal continua sobre E × E. (Si E es complejo, B es una forma bilineal continua sobre E, para y ∈ E fijo).
12
Dem. 51 B es bilineal ya que A es lineal y (·, ·) es bilineal. B es continua, ya
que
| B (x, y) | = | (Ax, y) |
≤
≤
k A (x) k · k y k por la desigualdad de Schwarz,
k A k · k x k · k y k por ser A lineal.
Entonces
sup
kxk=1,kyk=1
| B (x, y) |≤
sup
kxk=1,kyk=1
kAk·kxk·kyk
y como A es acotado, se tiene que
sup
kxk=1,kyk=1
| B (x, y) |≤k A k,
es decir B también es acotado. Ejemplo 52 Sea (ℜn , (·, ·)) con su producto canónico. Sea A la matriz representativa de una transformación lineal. Entonces (Ax, y) = Ax · y. Vamos a
tomar como ejemplo a la matriz.
−1 2
A=
1
0
entonces Ax · y = (−l1 + 2l2 , l1 ) · (m1 , m2 ) = −l1 m1 + 2l2 m1 + l1 m2 para
x = (l1 , l2 ) y y = (m1 , m2 )
P∞
Ejemplo 53 Sea E = L2 = (l0 , l1 , · · · ) | li ∈ ℜ tal que i=0 li2 < ∞ y supongamos que los números li son los coeficientes de Fourier de alguna función suave
f . Un operador seria la derivada de f . Como f es suave, su derivada también
tiene una representación de Fourier y por lo tanto la derivada es un operador
lineal tal que d/dx = A : E → E. Para ver un ejemplo, supongamos por simplicidad que f (x) = p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · , entonces los coeficientes aj = lj ,
para toda j = 0, 1, · · · . La derivada de f sera f ′ (x) = p′ (x) = a1 +2a2 x+· · · , por
lo que la tranformación lineal esta dada por A((l0 , l1 , l2 , · · · )) = (l1 , 2l2 , 3l3 , · · · ) .
Su representación matricial es entonces


0 1 0 0
 0 0 2 0 ··· 


A= 0 0 0 3



..
..
.
.
ya que



A

l0
l1
l2
..
.


 
 
=
 
13
l1
2l2
3l3
..
.





Ejemplo 54 Sea Fp ([0, 2π]) el conjunto de las funciones periodicas en [0, 2π].
Como ya vimos un sistema ortonormal completo de este espacio es
1
1
1
.
{xj }j∈I = √ , √ sin(jx), √ cos(jx)
π
π
2π
j=1,··· ,n
Cualquier función periodica en [0, 2π] puede escribirse como
n
n
1
1 X
1 X
f (x) = √ + √
aj sin(jx) + √
bj cos(jx)
π j=1
π j=1
2π
y su derivada será
n
n
1 X
1 X
f ′ (x) = √
jaj cos(jx) − √
jbj sin(jx),
π j=1
π j=1
por lo que la matriz (2n + 1) × (2n + 1) que representa esta transformación es


0 0 0
0
0
0
 0 0 0 ···
−1 0
··· 0 


 0 0 0
0
−2
0 




..
..
..
..


.
.
.
.




0
0
0
0
0
−n
B=
(1)

 0 1 0 ···

0
0
0


 0 0 2
0
0
0 




..
.
..
.
.
.


.
.
.
.
0 0 0 ··· n 0
0
··· 0
Ejercicio 55 Encuentrar la representación matricial de d2 /dx2 en L2 y en Fp .
Ejercicio 56 Encuentrar la representación matricial de 2d2 /dx2 − 3d/dx + 1
en L2 y en Fp .
Con estas bases podemos definir el operador adjunto de una función lineal,
su definición formal es como sigue.
Definición 57 Sea A ∈ L (E) y (Ax, y) = (x, A∗ y), con x, y ∈ E. A A∗ se
le llama el operador adjunto de A.
Ejemplo 58 Vamos a tomar de nuevo el ejemplo 52. Como ya vimos, la matrix
A cumple que (Ax, y) = (−l1 + 2l2 ) m1 + l1 m2 , donde
−1 2
A=
,
1
0
14
x = (l1 , l2 ) y y = (m1 , m2 ). Observemos ahora que de igual manera se tiene
(x, AT y) = x · AT y = x · (−m1 + m2 , 2m1 ) = (−l1 + 2l2 ) m1 + l1 m2 ,
por lo que en este caso A∗ = AT . En general veremos más adelante que para
toda matriz simétrica real, su matriz adjunta es la misma matriz original. En
el caso de matrices complejas, si la matriz transpuesta conjugada es la misma
que la matriz original, ésta es igula a su adjunta.
Ejercicio 59 Encontrar los operadores adjuntos de las matrices A y B de los
ejercicios 55 y 56.
Definición 60 Sea E espacio de Hilbert y A ∈ L (E). Entonces la norma de
||A|| = sup |(Ax, y)| .
kxk=1
Las principales propiedades de los operadores adjuntos son que ellos son
también funciones lineales, su norma es la misma que la de la función original
y el adjunto del adjunto es la misma función de salida. Esto lo vemos en la
siguiente proposición.
Proposición 61 Sea A∗ operador adjunto de A. Entonces
1) A∗ ∈ L (E)
2) k A∗ k=k A k
∗
3) (A∗ ) = A
Dem. 62 Demostremos 1) y 3).
1) A∗ es lineal. Sean x, y1 , y2 ∈ E,
(x, A∗ (α1 y1 + α2 y2 )) =
α1 , α2 , ∈ ℜ o C. Entonces
(Ax, α1 y1 + α2 y2 )
=
ᾱ1 (Ax, y1 ) + ᾱ2 (Ax, y2 )
=
=
ᾱ1 (x, A∗ y1 ) + ᾱ2 (x, A∗ y2 )
(x, α1 A∗ y1 ) + (x, α2 A∗ y2 )
Ademas, si 2) se cumple, A∗ es acotado y por tanto continuo.
3)
∗ x, (A∗ ) y = (A∗ x, y) , por la definición de adjunto
= (y, A∗ x) = (Ay, x) por las propiedades de (·, ·)
= (x, Ay)
por lo tanto (A∗ )∗ (y) = A (y) Otras propiedades importantes de los operadores adjuntos se refieren a la
suma de adjuntos, el producto por una constante y la composición de adjuntos,
estas son.
15
Proposición 63 Sean A, B ∈ L (E). α ∈ C
∗
1) (A + B) = A∗ + B ∗
∗
2) (αA) = α · A∗
∗
3) (A ◦ B) = B ∗ ◦ A∗
Ejercicio 64 Demostrar la proposición
Finalmente vamos a definir los operadores autoadjuntos, estos son muy importantes en fı́sica y quı́mica; se definen como sigue.
Definición 65 Sea E espacio de Hilbert y A ∈ L (E) .
· Si A = A∗ , A se llama operador autoadjunto.
· Si A = −A∗ , A se llama operador anti-autoadjunto.
Los operadores autoadjuntos o anti-autoadjuntos son los más interesantes en
fı́sica. En la teorı́a cuántica aparecen estos operadores muy amenudo. Normalmente los operadores diferenciales cumplen con esta propiedad. Veamos algunos
ejemplos.
Ejemplo 66 En los ejemplos 1, el operador diferencial B es anti-autoadjunto,
ya que B = −B T .
Ejemplo 67 Sea E espacio euclidiano y f : E ⇀ E lineal y continua. f lo
representamos por la matriz A. Si f es autoadjunto, la representación de A
cumple con
T
(Ax, y) = (Ax) y = xT AT y = (x, Ay) = xT Ay.
De donde se sigue el siguiente lema.
Lema 68 En un espacio euclidiano, todo operador autoadjunto tiene una representación con una matriz simétrica, i.e. AT = A. Asi mismo, un operador
anti-autoadjunto tiene una representación con una matriz antisimetrica, i.e.
AT = −A.
Lema 69 En un espacio unitario, todo operador autoadjunto tiene una representación con una matriz hermitiana, i.e. ĀT = A† = A. Asi mismo, un
operador anti-autoadjunto tiene una representación con una matriz antihermitiana, i.e. A† = −A.
Ejercicio 70 Demostrar los lemas 68 y 69.
16