Tema 3 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
CLASE #3
ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS
LINEA POLIGONAL: Se llama línea poligonal a la …gura formada por la unión de segmentos de recta.
FIGURA PLANA: Es una región del plano limitada por una línea cerrada.
POLÍGONO: Es una …gura plana limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de recta que
forman la poligonal se llaman lados del polígono.
Si los lados del polígono sólo se intersectan en los extremos, llamados vértices del polígono, y cualquier
línea recta que atraviesa el polígono, sólo lo interseca en dos puntos, decimos que el polígono es convexo,
en caso contrario decimos que es cóncavo.
Si todos los lados de un polígono convexo son congruentes, decimos que el polígono es regular.
Los polígonos reciben nombres especiales de acuerdo con el número de lados, así:
No.de lados
3
4
5
6
7
...
n
Nombre
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
...
Eneágono
1
CUADRILÁTEROS
De acuerdo con los lados y los ángulos, algunos cuadriláteros reciben nombres especiales,así:
Cuadrado: Es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes, y sus cuatro ángulos internos son rectos.
Rectángulo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y sus cuatro ángulos internos son
rectos.
Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Trapecio: Es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO: Es la suma de las medidas de los lados del polígono.
El perímetro se mide en unidades de longitud, como: milímetro [mm], centímetro [cm], pies [f t],entre otras.
ÁREA DE UN POLÍGONO: Es la medida de la super…cie limitada por los lados del polígono. El área
se expresa en unidades cuadradas
2
Unidad cuadrada:
Es la …gura limitada por un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud. Se usan, entre otras:
Centímetro cuadrado [cm2 ]: …gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 cm.
Milímetro cuadrado [mm2 ]: …gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 mm.
El área de un polígono es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir "perfectamente" la …gura
(sin traslapos).
CIRCUNFERENCIA: Es la línea cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto …jo llamado centro. A la distancia …ja la llamamos radio de la
circunferencia, y la denotamos r:
CÍRCULO: Es una …gura plana limitada por una circunferencia.
Se llama diámetro d de la circunferencia al segmento de recta que une dos puntos sobre la circunferencia,
y pasa por el centro, entonces d = 2r.
PERÍMETRO Y ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS
1. Rectángulo:
b: base.
h: altura.
Perímetro:
P = 2(b + h)
Área:
A = bh
3
2. Cuadrado:
l: lado
Perímetro:
P = 4l
Área:
A = l2
3. Paralelogramo:
b: base.
h: altura.
l: lado adyacente a la base.
Perímetro:
P = 2(b + l)
Área:
A = bh
4. Triángulo:
b: base.
h: altura.
a y c: los otros dos lados:
Perímetro:
P =a+b+c
Área:
1
A = bh
2
5. Trapecio:
B: base mayor.
b: base menor.
h: altura
a y c: los otros dos lados.
Perímetro:
P =a+B+b+c
Área:
1
A = (B + b) h
2
4
6. Círculo:
R: radio
d: diámetro
Longitud de la Circunferencia:
C=2 R= d
Área del círculo:
A = R2
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al
ángulo recto se llama hipotenusa.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Si ABC es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos.
Prueba:
Sea h la medida de la hipotenusa, es decir de BC, y a; b las medidas de los catetos AB y AC del
Construyamos un cuadrado cuyos lados tienen longitud a + b, así:
Área del cuadrado de lado a + b : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Área del cuadrado de lado h : h2
ab
Área de los cuatro triángulos cuyos catetos son a y b : 4 = 2ab
2
5
ABC:
Luego, a2 + 2ab + b2 = 2ab + h2
Y así, h2 = a2 + b2
El teorema de Pitágoras se puede interpretar geométricamente diciendo que el área del cuadrado construido
teniendo la hipotenusa como lado, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de los cuadrados construidos
teniendo como lado cada uno de los catetos.
Esta a…rmación es válida si en vez de cuadrados, sobre los lados del triángulo se construyen …guras proporcionales.
Ejemplo:
¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero si la longitud de sus lados es 10 cm?
Solución:
Consideremos el ABC de la …gura.
Tracemos la altura del triángulo sobre AB y llamemos D al punto de intersección de ésta con el lado AB.
Como ABC es isósceles, la altura CD también es mediana y entonces AD = DB y cada uno mide 5 cm.
6
Si consideramos ahora
tenemos que:
CDB, rectángulo en D y cuya hipotenusa es CB, aplicando el Teorema de Pitágoras,
2
CB
102
100
2
CD
2
CD
CD
=
=
=
=
=
=
2
CD + DB
2
CD + 52
2
CD + 25
100 25
75
8:66 cm
2
Ejercicio:
Pruebe, justi…cando cada uno de los pasos, que en un triángulo equilátero de lado a, la altura h =
p
3
a.
2
Ejemplo:
Se tiene una ventana compuesta de un cuadrado y un semicírculo en la parte superior, como se muestra en
la siguiente …gura:
Si el perímetro de la ventana es 8 m, ¿qué cantidad de vidrio debemos comprar para cubrir la ventana?
Solución:
Sea x la longitud del lado del cuadrado. Entonces, el radio del semicírculo es
7
x
. (Ver …gura).
2
Área de la ventana = área del cuadrado + área del semicírculo.
1
x
1 2
x , entonces el área de la ventana
Como el área del cuadrado es x2 y el área del semicírculo es ( ( )2 ) =
2
2
8
1
es x2 (1 +
), y necesitamos calcular el valor de x:
8
x i
1h
2
= 3x + x = x 3 +
;
Como el perímetro de la ventana es P = 3x +
2
2
2
2
tenemos que x 3 +
2
= 8;
y entonces el valor de x es
x=
8 2
16
=
:
6+
6+
Calculemos ahora el área de la ventana,
A = x2 (1 +
Luego, debemos comprar 16
1
)=
8
2
16
6+
8+
8
= 16
8+
:
6+
8+
m2 de vidrio para cubrir la ventana.
6+
VOLUMEN DE SÓLIDOS:
Un sólido o cuerpo geométrico es una …gura geométrica de tres dimensiones: largo, ancho y alto, que
ocupa un lugar en el espacio y por lo tanto tiene volumen.
Los sólidos o cuerpos geométricos se pueden clasi…car en: poliedros y cuerpos redondos.
Un poliedro es un sólido limitado por polígonos y un cuerpo redondo es un sólido que tiene al menos una
cara curva.
Los poliedros se clasi…can en prismas y pirámides.
Una pirámide es un poliedro que tiene un polígono como base y las demás caras son triángulos que se
encuentran en un punto llamado vértice de la pirámide.
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos congruentes y las demás caras son
paralelogramos.
El volumen de un sólido es la medida del espacio que ocupa dicho cuerpo y se mide en unidades cúbicas.
Un cubo es un poliedro limitado por cuadrados, llamados caras del cubo. Un cubo tiene 6 caras.
Unidad cúbica:
Es un cubo en el cual cada lado (arista) mide una unidad de longitud. Se usan entre otras:
Centímetro cúbico [cm3 ]: cubo en el que cada lado mide 1 cm.
Milímetro cúbico [mm3 ]: cubo en el que cada lado mide 1 mm.
8
El volumen de un sólido es el número de unidades cúbicas que contiene el sólido (sin traslapos).
El área super…cial de un sólido es el la suma de las áreas de las …guras que limitan el sólido.
VOLUMEN Y ÁREA SUPERFICIAL DE ALGUNOS SÓLIDOS
1. Paralelepípedo: Se llama así por ser un prisma de 6 caras, cada una de las cuales es un paralelogramo.
a: ancho.
b: largo.
h: altura.
Volumen:
V = abh
Área Super…cial:
A = 2ab + 2ah + 2bh
Un paralelepípedo es un cubo si a = b = h.
2. Cilindro Circular Recto: Es un cuerpo redondo limitado por dos círculos congruentes y paralelos
llamados bases del cilindro, y por una cara curva que al abrirse es un rectángulo en el cual un lado
es la longitud de la circunferencia que encierra el círculo y el otro es la altura del cilindro. Cualquier
sección transversal es un círculo paralelo y congruente a las bases.
r: radio de la base.
h: altura.
Volumen:
V = r2 h
Área Super…cial:
A = 2 r2 + 2 rh
3. Cono Circular Recto: Es un cuerpo redondo que tiene como base un círculo y su super…cie lateral
se obtiene al unir un punto exterior, llamado vértice del cono, con cada punto de la circunferencia por
medio de segmentos de recta. La recta que contiene cada uno de estos segmentos se llama generatriz
del cono.
r: radio de la base.
h: altura.
Volumen:
1 2
V =
r h
3
Área Super…cial:
A = rl + r2
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4. Esfera: Es el sólido limitado por la línea cerrada formada por todos los puntos del espacio que
equidistan (están a la misma distancia) de un punto …jo llamado centro. A la distancia …ja la llamamos
radio de la esfera y la denotamos r:
r: radio.
Volumen:
4 3
V =
r
3
Área Super…cial:
A = 4 r2
Ejemplo:
Se va a construir en cemento el sólido que se muestra en la fígura compuesto por un cilindro circular recto
de 18 cm de altura y 7 cm de radio con 2 semiesferas en sus extremos.
¿Cuánto cemento se requiere para la construcción del sólido? Si se quiere proteger el sólido con una lámina
de acrílico, ¿que cantidad de acrílico se necesita?.
Solución:
El volumen del sólido es igual al volumen del cilindro circular recto más el volúmen de dos semiesferas, o
equivalentemente, el volumen del cilindro más el volumen de una esfera:
V =
72
18 +
4
3
73 =
3958
3
cm3 :
En forma similar, el área super…cial es igual al área super…cial de dos semiesferas (o de una esfera) más el
área super…cial de la parte cilíndrica:
A=4
Entonces se requieren
3958
3
72 + 2
7
18 = 448 cm2 :
cm3 para construir el sólido, y 448 cm2 de acrílico para recubrirlo.
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