δ σ σ λ δ σ

CRECIMIENTO ÓPTIMO
MODELO DEL PLANIFICADOR
CASS-KOOPMANS
Modelo en magnitudes per cápita. No hay progreso técnico, pero su
introducción no engendraría problemas:
Max  0 e  t U  ct dt
s. a. kt  yt    n kt  ct
Suponemos:
yt  Akt 
ct 1 1
;
U  ct  
1
U '  ct   ;

U ' ct

U '' 
Solución
Ver repaso de Principio del Máximo en Apéndice
Hamiltoniano
ct1 1
H
  t  Akt     n kt  ct 
1
ct  var . control
kt  var . estado
 t  var . coestado
Condiciones de óptimo:
P.1 ct    t
P.2  Akt  1    n    
t
0
t
P.3 lim  t e  t kt  0
t 
Derivando P.1 respecto al tiempo y dividiendo por si misma:

ct
t

t
ct
que teniendo en cuenta P.2 se obtiene:
ct 1
  Akt  1    n   
ct 
que junto a
kt  Akt   n  kt  ct
determinan las condiciones dinámicas del modelo (algunas de las
dinámicas propiciadas por estas ecuaciones son “perversas”, pero la
condición de transversalidad las elimina).
Al tener este modelo la misma tecnología que Solow el EE se define por
Aks    n ks  cs
(k 0)
  Aks 1    n  
(c 0)
k  c  0 
 A 
ks *  

   n  
1
1
. Se demuestra fácilmente que ks  kRO , si  > 0.
El consumo óptimo en EE es:
*
1
   n  1    A  1
cs * 
    n 



DIAGRAMA DE FASES DE LA SOLUCIÓN
INTERPRETACIÓN DE CASS-KOOPMANS COMO EQUILIBRIO
COMPETITIVO
Consumidores
-
Ofrecen (inelásticamente) trabajo a las empresas por un salario
real 
Compran acciones de empresas que proporcionan rentabilidad r

0
Max  e
 t
ct1  1
dt
1
s. a. vt  ct  t   rt  n vt
donde
vt = demanda de acciones por consumidor.
Hamiltoniano del problema del consumidor:
 ct1 1

 q t   t   rt  n  v t  c t  
H 
 1

ct  var . control
vt  var . estado
qt  var . coestado
Condiciones de óptimo:
C.1 ct   qt  0
C.2 q t   qt   rt  n  qt
C.3 lim e t qt vt  0
t 
Empresas
t
Max V 0   0 e  0 rs  AK  N 1 t Nt  Kt  K t  dt   0 G  Kt , Nt , K t , t ,rt 
Condición de Euler:
 G 
d

G
K t 
 
 Kt
dt
t
G
  a AK  1 N 1   e  0 rsdt
 Kt
t
G
  e  0 rsdt
 K t
Pero:

d e  0 rsds
t
dt
e
  t0 rsds
 d  0t rsds   0t rsds
rt

 e
d
t


Luego:
 AK
 1
N
1
 e
  t0 rsds
 rt e
  0t rsds
  AK  1 N 1    rt
La condición de Euler respecto a N:
G
 0  (1   ) AK  N   t  0
 Nt
Por tanto, las condiciones de óptimo de las empresas:
E.1
1    AKt Nt   t
E.2  AKt  1 Nt1  rt  

1  Akt  t
  Akt 1  r  
Las mismas que las de un problema de optimización puntual.
Equilibrio Competitivo Dinámico:
Sucesión  ct * , Kt * , Nt * , t * , rt * , vt *  que cumplen con las condiciones de
óptimo de consumidores y empresas y vacían los mercados.
Teorema: Las sucesiones que constituyen un Equilibrio Competitivo
Dinámico resuelven el problema del Planificador
Si definimos t = qt:
C.1  P.1
C.2  E.1  P.2
C.3  kt  vt  P.3
De las condiciones se obtiene:
 Akt 1  rt  
t
   n  rt
t
En EE   0 , luego:
 Aks 1    n  
 A 
 ks *  

   n  
la misma que en la solución del Planificador.
Por otra parte, en EE:
q t  0  r    n
1
1
MODELO CASS-KOOPMANS CON GOBIERNO
Gobierno
Restricción presupuestaria:
Gt  rt Bt  Tt  B t
En términos per cápita (si, por simplicidad, hacemos n=0):
gt  rt bt  it  bt
Si suponemos que el Gobierno impone un impuesto sobre el consumo al
tipo :
it  ct
Si suponemos que impone un impuesto proporcional sobre la renta al tipo 
it  t  rt  vt  bt  
Por otra parte:
ct  kt   kt  gt  Akt
Consumidores

0
Max  e
 t
ct1 1
dt
1
sometido a (impuesto sobre el consumo):
at  1 ct  t  rt at
at  b t  v t
o sometido a (impuesto sobre la renta):
at  ct  (t  rt at ) 1 
at  b t  v t
r es la misma rentabilidad de ambos activos financieros (información
completa y ausencia de aversión al riesgo).
En ambos casos mantenemos n=0.
Variables de control:
Variable estado: at
ct, bt, vt
Hamiltoniano con impuesto sobre el consumo:
ct1 1
H
 qt  at bt  vt    t t  rt at 1 ct 
1
Hamiltoniano con impuesto sobre la renta:
ct1 1
H
 qt  at bt  vt    t  1 (t  rt at )  ct 
1
Condiciones de óptimo con impuesto sobre el consumo:
ct   1  t
 qt  0
 qt  0
t    t  qt   t rt
que junto a la condición de transversalidad se convierten en:
C '.1 ct   1  t
t
C '.2
   rt
t
C '.3 lim e  t  t at  0
t 
Condiciones de óptimo con impuesto proporcional sobre la renta:
C ''.1 ct    t
t
C ''.2
   rt 1 
t
C ''.3 lim e  t  t at  0
t 
En ambos casos el problema de la empresa es el mismo que cuando no
había Gobierno:
E.1
1  Akt  t
E.2  Akt 1  r  
Puede comprobarse fácilmente que el EE óptimo es, en cada uno de los
casos:
 Aks 1    
 Aks 1 


1
 A 
 ks *  

   
1
1
(impto. consumo)


 A 
 ks *  


 

1

1
1
(impto. renta )
El primero es el mismo que en el caso sin Gobierno (téngase en cuenta que
aquí hemos supuesto n=0). El segundo supone un k menor y, por tanto, una
menor renta per cápita.
El consumo per cápita en EE viene dado por:
cs*  Aks *  gs   ks*
Luego en el caso del impuesto sobre el consumo será menor, exactamente
por el valor de gs, que el consumo en el modelo sin Gobierno. En el caso
del impuesto sobre la renta será menor por una cuantía mayor, pues tanto k
como y será menor.
CRECIMIENTO OPTIMO CON “IMPUESTO” SOBRE INVERSIÓN
Yt  AKt  Nt1
K t  It   Kt
Ct  Yt  1  It
Varias posibles interpretaciones de ligadas a distorsiones institucionales.
En términos per cápita:
yt  Akt

yt  ct  1  kt   n  kt

Misma función objetivo del “Planificador” que en Cass-Koopmans.
Hamiltoniano:
 A  ct

ct1 1
 t 
 n  kt 
H
kt 
1
1
 1

Condiciones de óptimo:
ct   
t
1
 a A  1

kt   n   
 1

t    t   t 
lim e  t  t kt  0
t 
Derivando respecto al tiempo la primera, teniendo en cuenta la segunda:
t
ct

ct
t
que permite obtener:

ct 1   A  1
 
kt   n    
ct   1

que junto a la ecuación:
A  ct
kt 
kt 
  n  kt
1
1
definen la dinámica de la solución (restringida por la condición de
transversalidad).
En EE:
ct  0   A   n   1 ks1


A
ks *  

  n   1  
1
1
;


A
ys *  

  n   1  

1
La renta per cápita será menor que cuando no existe  y será menor cuanto
mayor sea.
Esta ilustración teórica de las consecuencias para el crecimiento de las
distorsiones institucionales recoge solamente un aspecto del desvío de
rentas.
APÉNDICE
Principio del Máximo de Pontryagin
Max  0 e   t g  xt ,vt d t
s.a.
x t  h  xt ,vt 
xt = variable estado; vt = variable control
Hamiltoniano:
H  g  x t ,v t    t h  x t ,v t 
Condiciones de óptimo:
 H  g h


0
 vt  vt  vt
t    t 
H
g
h
  t 
 t
 xt
 xt
 xt
lim e   T  T xT  0
T 
Cálculo de Variaciones
vt  xt
Max  0 g  xt , xt  d t
Condición de Euler:
g d  g 

 xt d t   x t 