Procesamiento Digital de Señales

Procesamiento Digital
de Señales
CE16.10L2
Tema 3. Operaciones en
señales en tiempo discreto
Operaciones básicas con señales
„
Operación Producto (modulación):
„
Operación de Suma:
„
Operación de Multiplicación:
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Operaciones básicas con señales
„
Operación de desplazamiento en tiempo:
y[n] = x[n − N]
donde N es un entero.
„
Si N > 0, es una operación de retardo
… Unidad
„
de retardo
Si N < 0, es una operación de Avance
… Unidad
de avance
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Operaciones básicas con señales
„
Operación de inversión en Tiempo (folding):
„
Operación de Ramificación: Es usada para
proporcionar múltiples copias de una secuencia.
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Ejemplo con operaciones básicas
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Sistemas Discretos
„
„
Un sistema en tiempo discreto procesa una secuencia de
entrada dada x[n] para generar una secuencia de salida y[n]
con propiedades mas deseables
En muchas aplicaciones, el sistema en tiempo discreto es
normalmente un sistema de una entrada sencilla, una salida
sencilla
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Clasificación de los Sistemas
„
Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados
en función de sus propiedades:
…
Discretos vs. Continuos
…
Lineales vs. No-Lineales
…
Invariantes al desplazamiento vs. Variantes al desplazamiento
…
Causal vs. No-Causal
…
Sin Memoria – vs. Con Memoria
…
Estables vs. Inestables
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Linealidad
„
„
Sea y1[n] la salida producida por una entrada x1[n] y sea
y2[n] la salida producida por una entrada x2[n]. Un sistema
es lineal, si las siguientes propiedades son satisfechas:
Esta propiedad se debe mantener para cualquier
constante arbitraria α y β, además para todas las posibles
entradas x1[n] y x2[n] o cualquier numero de entradas
posible.
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Ejemplo : Acumulador
„
Un sistema discreto cuya relación entrada/ salida es dada
por
y[-1]
la segunda forma es usada si la
señal es causal, en cuyo caso
es la condición inicial
Esta representación es conocido como un acumulador, donde
la salida en cualquier instante, es simplemente la suma de
todas las entradas hasta ese instante.
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Invarianza al Desplazamiento
„
Un sistema es invariante al desplazamiento si
para toda m y n.
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Ejemplo: Muestreador Ascendente
„
Es un sistema cuyas carac. de entrada/salida pueden ser escritas como
es conocido como muestreador ascendente.
„
Lo que realiza este sistema es insertar L ceros entre cada muestra. Si
las muestras son insertadas basadas en sus amplitudes, entonces este
sistema es llamado interpolador
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Sistema Lineal Invariante en el Tiempo
„
„
Un sistema que satisface las propiedades de linealidad e
invarianza en el tiempo (desplazamiento) es llamado un
sistema LTI (linear time invariant).
Mas adelante veremos que este tipo de sistemas serán
muy importante en el procesamiento digital de señales:
…
Ya que son fáciles de analizar y caracterizar, por lo tanto fácil de
diseñar.
…
Algoritmos eficientes se han implementado para tales sistemas.
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Causalidad
„
„
Un sistema es causal si la salida y[n0], en el instante n0
depende únicamente de las muestras de entrada x[n] para n
≤ no y no depende de las muestras de entrada para n > no
Son los siguientes sistemas causales?
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Ejemplo: Muestreador Descendente
„
Un sistema cuyas características de entrada/salida
satisfacen
, donde M es un entero +, es
llamado muestreador descendente o decimador.
…
Este sistema reduce el numero de muestras por un factor M, es
decir removiendo M muestras entre dos muestras consecutivas.
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Memoria y Estabilidad
„
„
Un sistema se dice sin memoria si la salida depende
únicamente de entrada actual, pero no de las entradas
pasadas ni futuras. De otra forma decimos que el sistema
tiene memoria.
Un sistema en tiempo discreto es estable si y solo si para
toda entrada acotada, la salida también lo es.
…
„
Si y[n] es la respuesta a una entrada x[n] que satisface
y y[n] satisface
, entonces se dice que el sistema es
estable en sentido BIBO (entrada, salida acotadas).
Un sistema (filtro) que no es estable no es de uso practico
(excepto para aplicaciones muy especificas) y por lo tanto la
mayoría de los filtros son diseñados en el sentido BIBO
estables.
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Ejemplo: Filtro de Promedio Movil
„
„
„
„
Promedio Móvil de M puntos:
Usada en suavizar variaciones aleatorias de
datos.
Una implementación directa del sistema de
promedio móvil de M-puntos, requiere M sumas, 1
división y almacenamiento de las muestras de
entrada pasadas.
Una implementación más eficiente es presentada
a continuación.
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Ejemplo: Filtro de Promedio Movil
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Ejemplo: Filtro de Promedio Movil
„
El calculo del sistema de promedio móvil de
M-puntos modificado usando la ecuación recursiva,
requerirá ahora 2 sumas y 1 división.
„
Una aplicación puede ser:
„
x[n] = s[n] + d[n],
„
donde s[n] es la señal contaminada con ruido d[n]
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Ejemplo: Filtro de Promedio Movil
% Suavizado de la senal por un filtro de promedio
movil
R = 50;
d = rand(R,1)-0.5;
m = 0:1:R-1;
s = 2*m.*(0.9.^m);
x = s + d';
plot(m,d,'k-',m,s,'b--',m,x,'r:')
xlabel('indice de tiempo n','FontSize',14);
ylabel('Amplitud','FontSize',14)
legend('d[n]','s[n]','x[n]');
pause
M = input('Numero de muestras de entrada = ');
b = ones(M,1)/M;
y = filter(b,1,x);
figure
plot(m,s,'r-',m,y,'b--')
legend('s[n]','y[n]');
xlabel ('indice de tiempo n','FontSize',14);
ylabel('Amplitud','FontSize',14)
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„
n=0:99;
„
s=2*(n.*(0.9).^¨n);
„
d=rand(1:100);
„
x=s+d;
„
subplot(211)
„
plot(x);grid
„
for i=7:100;
„
y(i)=(1/7)*sum(x(i-1)+x(i-2)+x(i-3)
+x(i-4)+x(i-5)+x(i-6));
„
„
end
„
subplot (212)
„
plot(n,y);grid
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„FIN
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