∑ ∑

HOJA DE PROBLEMAS 3
ECONOMETRÍA I
Dpto. de Análisis Económico: Economía Cuantitativa
Curso 2005-06
1. (Stock y Watson, p. 367) Considere el modelo de regresión con un solo regresor
Yi = β0 + β1 X i + u i . Suponiendo que se cumplen las condiciones que aseguran la
consistencia de la estimación MCO:
i) Comprobar que Xi es un instrumento válido. Es decir, se verifican las
condiciones de relevancia y exogeneidad cuando Zi =Xi.
ii) Comprobar que se satisfacen los supuestos de la regresión mediante variables
instrumentales cuando Zi =Xi.
iii) Comprobar que el estimador de variables instrumentales construido a partir
de Zi =Xi coincide con el estimador MCO.
2. (Stock y Watson, p. 367) Estamos interesados en la varianza del término de error de
la ecuación Yi = β0 + β1 X i + u i cuando estimamos mediante variables instrumentales
i) Supongamos que se utiliza el estimador obtenido en la regresión de la segunda
1 n
2E
etapa en la estimación MC2E: σˆ 2a =
( Yi − βˆ MC
− βˆ 1MC 2 E X̂i ) 2 donde X̂ i
0
∑
n − 2 i =1
es el valor ajustado obtenido en la regresión de la primera etapa. ¿Es consistente
este estimador? Para responder supóngase que la muestra es muy grande y que
los estimadores MC2E son prácticamente iguales a β 0 y β1 .
1 n
2E
ii) El estimador σˆ 2b =
( Yi − βˆ MC
− βˆ 1MC 2 E X i ) 2 , ¿será consistente?
0
∑
n − 2 i =1
3. (Stock y Watson, p. 368) Considere el estimador MC2E con una sola variable
endógena y un único instrumento. El valor ajustado para la regresión de la primera etapa
es X̂ i = πˆ 0 + πˆ 1 Zi . Utilice la definición de la varianza muestral y de la covarianza
muestral para probar que sX̂Y
= πˆ 1sZY y que s2X̂ = πˆ 12s2Z .
4. Considerando el modelo y t = αy t −1 + u t en el cual u t = θε t −1 + ε t donde se cumple
que α y θ son menores a 1 en valor absoluto, y ε t ~ N(0,σ2 ) e incorrelado.
i) Obtener el sesgo asintótico del estimador MCO de α .
ii) Probar la validez como instrumento de y t −2 .
iii) Escribir la expresión del estimador MC2E de α .
5. En la función de consumo Ct = β Rt +ut donde 0<β<1, ut ~ N(0,σ2 u) e incorrelado,
donde la renta Rt = Ct + It , It ~N( I, σ 2I ) y cov(It, ut)=0, con It la inversión.
i) Probar que la estimación MCO de β no es consistente. ¿Qué efectos tendría
utilizar dicha estimación sobre las estimaciones de las propensiones media y
marginal al consumo?
ii) Para proponer un estimador consistente de β, discutir las condiciones de
validez que deberían cumplir instrumentos como Ct-1 y R t-1 .
iii) Comprobar que It cumple las condic iones para ser un instrumento válido.
Escribir la expresión del estimador MC2E de β y comprobar su consistencia.
6. Ejemplo del fichero de Eviews: ejemplo_t3.wf1. Se pretende estimar la relación de
equilibrio macroeconómico IS para EE.UU. que establece la siguiente relación:
∆ log( PIB t ) = β 0 + β1 interes t + β 2 ∆ log( inversion t ) + β3 ∆ log( gasto_publ ico t ) + u t
Es decir, se explican las variaciones del PIB por medio del tipo de interés (se supone en
sentido inverso) y las variaciones del gasto público y de la inversión (ambas en sentido
directo). Las variaciones del gasto público se suponen exógenas. Sin embargo, del tipo
de interés y de las variaciones de la inversión se cree que son endógenas, esto es,
responden a su vez a las variaciones del PIB.
Para evitar el problema de estimación inconsistente por causalidad simultánea, se
plantea la estimación por MC2E. Como posibles instrumentos para el tipo de interés se
piensa en las variaciones de la oferta monetaria (saldos reales) y la inflación. Como
instrumentos para las variaciones de la inversión se utilizarán las variaciones de la
inversión y el tipo de interés real, ambos retardados.
Se plantean las siguientes cuestiones:
i) La estimación MCO del modelo de partida sería inconsistente. Conforme a la
teoría macroeconómica convencional, ¿estarían sesgados (asintóticame nte) al
alza o a la baja los estimadores de β1 y de β 2 ?
ii) Realizar en Eviews la estimación MC2E utilizando la lista de instrumentos
comentada. Contrastar en el modelo estimado las hipótesis de significatividad
individual. ¿Se obtienen los signos esperados?
iii) Estimar las regresiones auxiliares de la primera etapa en la regresión MC2E
y contrastar mediante el estadístico F la relevancia conjunta de los instrumentos
para cada uno de los regresores endógenos.
iv) Comprobación de la exogeneidad de los instrumentos. ¿Es posible llevar a
cabo el contraste de sobreidentificación mediante el contraste J? De ser así,
estimar la regresión auxiliar de los residuos MC2E sobre los instrumentos y las
variables exógenas y contrastar dicha hipótesis.
v) En vista de los resultados anteriores, ¿sería correcto eliminar alguno de los
instrumentos por resultar débil mejorando las propiedades de la estimación
MC2E?
Notas:
- Por variación de una variable se entiende la diferencia del loga ritmo (tasa de
variación
logarítmica),
por
ejemplo,
para
el
PIB,
∆ log( PIB t ) = log( PIB t ) − log( PIB t −1 ) . En Eviews se indica mediante el
comando dlog(pib).
- Estimar todas las regresiones anteriores de modo robusto a heterocedasticidad.
Ejemplo del fichero de Eviews: ejemplo_t3.wf1
ii) Estimación MC2E (ecuación IS)
Dependent Variable: DLOG(PIB)
Method: Two-Stage Least Squares
Sample(adjusted): 1975:3 1999:4
Included observations: 98 after adjusting endpoints
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Instrument list: DLOG(GASTO_PUBLICO) DLOG(SALDOS_REALES)
INFLACION DLOG(INVERSION(-1) ) TIPO_REAL(-1)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
TIPO_INTERES
DLOG(INVERSION)
0.008446
-0.058469
0.181124
0.317797
0.001803
0.024067
0.030353
0.051488
4.683391
-2.429414
5.967246
6.172246
0.0000
0.0170
0.0000
0.0000
DLOG(GASTO_PUBLICO)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.827988
0.822498
0.003815
37.38373
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Durbin-Watson stat
0.008628
0.009054
0.001368
2.257976
iii) Relevancia de los instrumentos (ecuaciones auxiliares de la primera etapa
Relevancia1 y Relevancia2 del fichero)
Ecuación del tipo de interés:
Dependent Variable: TIPO_INTERES
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1975:3 1999:4
Included observations: 98 after adjusting endpoints
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.007059
-0.024697
0.951152
0.014377
0.816700
0.054105
0.004043
0.097064
0.074067
0.039540
0.075432
0.127607
1.746003
-0.254440
12.84179
0.363616
10.82699
0.423998
0.0841
0.7997
0.0000
0.7170
0.0000
0.6726
DLOG(SALDOS_REALES)
INFLACION
DLOG(INVERSION(-1))
TIPO_REAL(-1)
DLOG(GASTO_PUBLICO)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.826014
0.816558
0.011890
0.013005
298.3849
1.950266
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.068255
0.027760
-5.967039
-5.808776
87.35542
0.000000
Contraste de relevancia de instrumentos. Hipótesis: c(2)=c(3)=c(4)=c(5)=0
Wald Test:
Equation: EQ_RELEVANCIA1
Test Statistic
F-statistic
Chi-square
Value
53.90251
215.6100
df Probability
(4, 92)
4
0.0000
0.0000
Ecuación de dlog(inversión)
Dependent Variable: DLOG(INVERSION)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1975:3 1999:4
Included observations: 98 after adjusting endpoints
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.031339
-0.141336
-0.170722
0.193069
-0.420298
-0.168319
0.012701
0.321925
0.237198
0.134763
0.253492
0.531089
2.467491
-0.439035
-0.719744
1.432658
-1.658036
-0.316931
0.0155
0.6617
0.4735
0.1553
0.1007
0.7520
DLOG(SALDOS_REALES)
INFLACION
DLOG(INVERSION(-1))
TIPO_REAL(-1)
DLOG(GASTO_PUBLICO)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.100849
0.051982
0.041137
0.155684
176.7437
1.976016
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.013824
0.042249
-3.484565
-3.326302
2.063755
0.077038
Contraste de relevancia de instrumentos. Hipótesis: c(2)=c(3)=c(4)=c(5)=0
Wald Test:
Equation: EQ_RELEVANCIA2
Test Statistic
F-statistic
Chi-square
Value
df
Probability
2.214766
8.859065
(4, 92)
4
0.0734
0.0647
iv) Contraste de sobreidentificación
Es posible ya que hay 4 instrumentos y 2 regresores endógenos.
A partir de la regresión de la ecuación IS, se guardan los residuos en res_is. Se estima la
regresión sobre los instrumentos y la exóge na (ecuación Exogeneidad en el fichero)
Dependent Variable: RES_IS
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1975:3 1999:4
Included observations: 98 after adjusting endpoints
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
-0.001146
0.072885
0.014500
0.008641
0.009157
-0.019955
0.001090
0.030512
0.020034
0.009173
0.020909
0.051777
-1.051858
2.388746
0.723768
0.941992
0.437948
-0.385398
0.2956
0.0189
0.4710
0.3487
0.6625
0.7008
DLOG(SALDOS_REALES)
INFLACION
DLOG(INVERSION(-1))
TIPO_REAL(-1)
DLOG(GASTO_PUBLICO)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.063800
0.012919
0.003731
0.001281
411.9672
2.191103
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-1.04E-18
0.003755
-8.285046
-8.126783
1.253913
0.290689
Contraste de sobreidentificación de instrumentos. Hipótesis: c(2)=c(3)=c(4)=c(5)=0
Wald Test:
Equation: EQ_EXOGENEIDAD
Test Statistic
F-statistic
Chi-square
Value
df
Probability
1.846447
7.385788
(4, 92)
4
0.1266
0.1169
J=m*F=4*1.846447=7.385788 cuyo p-valor permite aceptar la nula, si bien
marginalmente.
v) Sí, las variaciones de los saldos reales. En la ecuación, IS_1 se ha prescindido de esa
variable como instrumento. El contraste de exogeneidad realizado en la ecuación
Exogeneidad1 muestra la mejora sustancial en el contraste J.
Hipótesis c(2)=c(3)=c(4)=0
Wald Test:
Equation: EQ_EXOGENEIDAD1
Test Statistic
F-statistic
Chi-square
Value
df
Probability
0.017483
0.052448
(3, 93)
3
0.9968
0.9969