Primer Parcial 2013-1

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GUÍA PARA EL PRIMER EXAMEN PARCIAL
SEMESTRE 2013-1
MATEMÁTICAS
Instrucciones del Evaluador: esta guía incluye preguntas propuestas por los profesores de la
asignatura y las elaboradas por el evaluador, su objetivo es servir de referente para presentar el
primer examen parcial. Los temas a evaluar son: Espacios lineales, transformaciones lineales y
matrices, e introducción al estudio de la optimización lineal.
Temas
Espacios lineales
1. Responda verdadero o falso, según corresponda:
a) ¿Todo subespacio vectorial V contiene al cero?
b) ¿Todos los espacios vectoriales tienen subespacios propios?
c) ¿V no es un subespacio de sí mismo?
d) ¿El conjunto ℝ posee subespacios propios?
e) ¿El conjunto de puntos en ℝ3 que están sobre un plano que pasa por el origen es un espacio
vectorial?
f) ¿Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} es un subespacio propio de V.?
g) 𝑆1 ∪ 𝑆2 es subespacio vectorial de V.
h) 𝑆1 ∩ 𝑆2 es subespacio vectorial de V.
i) 𝑆1 ∩ 𝑆2 = ∅
j) Encuentre una base en ℝ4 para el siguiente hiperplano: 𝐻 = {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧): 5𝑤 + 10𝑥 −
3𝑧 − 𝑦 = 0}
2. Sea 𝑉 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 5𝑥 + 3, 𝑥 ∈ ℝ} ¿es un espacio vectorial?

3. Sea S=(1,2,3), (0,1,2), (1,1,1) un subconjunto de V=R3, y sea el vector x =(1,0,2).

Demuestre si x puede escribirse como una combinación lineal de los vectores en S.
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4. Diga si la matriz (
6
cuatro matrices:
1 0
1
(
),(
1 0
0
0
) puede escribirse como una combinación lineal de las siguientes
3
2
4 −1
−2 5
),(
),(
)
0
3 0
6 0
2
5. Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes:
1 1  1 0   1 1 

0 
, 
, 
a) S1  
1
1
0
1
 
 0



 1  x, x  2x,
b) S2  e x , cos x
c) S3
2
5  x2 , 2  x  x2

d) Encuentre una base en ℝ4 para el siguiente hiperplano:
𝐻 = {( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤): 5𝑤 + 10𝑥 − 3𝑧 − 𝑦 = 0}
e) Encuentre una base para el espacio solución del sistema homogéneo dado:
𝑥−𝑦 =0
−3𝑥 + 3𝑦 = 0
f) Escriba el polinomio p(x)= 1+2x+3x2 en términos de la base:
B=1+x,1-x2,1+x+x2
Transformaciones lineales y matrices
6. Determine el rango imagen, núcleo y espacio nulo de las siguientes transformaciones
lineales (determine en cada caso la representación matricial de la transformación):
𝑥
𝑦+𝑧
3
2
a) 𝑇: ℝ → ℝ , 𝑇 (𝑦) = ( 𝑦 )
𝑧
𝑥
𝑥+𝑧
𝑦
4
2
b) 𝑇: ℝ → ℝ , 𝑇 ( 𝑧 ) = (
)
𝑧−𝑤
𝑤
𝑥+𝑦
𝑥
c) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 , 𝑇 (𝑦) = ( 𝑥 − 𝑦 )
2𝑥 + 3𝑦
 x1  x2 


x


1
d) T: ℝ2 → ℝ3 definida como T     x1  x2  .
 x2    4x 
1 

 x y 


x


e) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 definida como T     2 y  2  .
 y   3y 


3
7. Encontrar la representación matricial de la siguiente transformación:
a
T  11
 a21
 a11  a12
a12  
   a22
a22  
 a12  a21


a11  a21 
a12  a22 
a21
a) Dada una función T: R2-R3, definida por T(x, y)=(x+y, 2x, 3x-4y).
b) Demostrar que es una transformación lineal.
c) Comprobar que T(e1)= T(1,0) =T(1,2,3); T(e2) = T(0,1) =T(1,0,-4), es una de las
imágenes para esta transformación lineal.
8. Diga si las siguientes transformaciones son 1-1 (inyectiva), sobre (suprayectiva) o un
isomorfismo. A
𝑥−𝑦
𝑥
a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇 (𝑦) = (−3𝑥 − 3𝑦)
𝑥
3𝑥 + 2𝑦
b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇 (𝑦) = (
)
5𝑥 + 7𝑦
𝑥 + 3𝑦
𝑥
c) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 , 𝑇 (𝑦) = ( 4𝑦 )
5𝑥 + 𝑦
𝑥
𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧
d) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 , 𝑇 (𝑦) = (
)
4𝑥 + 𝑦 + 6𝑧
𝑧
9. Responda verdadero o falso, según corresponda:
a) ¿Si la matriz real A de nxn tiene n valores propios distintos, los vectores propios de
esos valores propios constituyen una base para ℝ𝑛 ?
b) ¿La multiplicidad geométrica del valor propio es igual a la dimensión del espacio
propio correspondiente?
c) ¿La multiplicidad geométrica del valor propio es ≥ a su multiplicidad algebraica?
d) ¿Si la matriz real A de nxn es invertible, es un isomorfismo?
10. Dadas las siguiente matrices
1 6
𝐴=(
),
1 0
1 2 2
−4 0
𝐵=(
) , 𝐶 = ( 0 2 1)
0 −4
−1 2 2
a) Calcular los valores y vectores propios.
b) En caso de ser una matriz diagonalizable, encuentre la base de vectores propios
correspondiente.
4
11. ¿Para qué valor de a, la siguiente matriz es diagonalizable?
𝑎 𝑎 0
𝐴 = (𝑎 𝑎 0)
0 0 1
 2
 2

12. Diagonalice ortogonalmente la siguiente matriz: A  
2

1 
13. Pruebe ó refute las siguientes proposiciones suponiendo que, A y B son matrices invertibles
de nxn, entonces (indicar la inversa cuando corresponda):
a) A+B es invertible
b) AB es invertible
c) A3 es invertible
d) A2 + B3 es invertible
14. Encuentre los valores de a,b,c,d,e,f dado que los vectores:
(1,1,1) , (1,0,-1) y (1,-1,0) son los vectores propios de la matriz.
1
a

d
1
b
e
1
c 
f 
Introducción al estudio de la optimización lineal
15. Demuestre si es convexo el siguiente conjunto

C  {x  R3 | x1  2x2  5x3  4, x1  x2  4x3  6}
16. Resuelva los siguientes problemas de programación lineal, por los métodos gráfico y
simplex.
a) Maximizar 𝑍 = 12𝑥1 + 15𝑥2
s.a:
0.5𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9
5𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 60
𝑥1 , 𝑥2 ≤ 0
Encuentre la solución factible óptima del primal e indique en la tabla simplex que variable
representa el precio sombra.
5
b) Minimizar 𝑍 = 𝑥1 + 3𝑥2
s.a:
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 24
5𝑥1 + 𝑥2 ≥ 25
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 0
Encuentre la solución factible óptima del dual y establezca la del primal. Indique en la tabla
simplex que variable representa el precio sombra.