“CEPRUNSA EXCELENCIA” LÓGICA

“CEPRUNSA EXCELENCIA”
LÓGICA - 6
Por comprensión: En cuyo caso en
lugar de enumerar los elementos, se
coloca la definición después de una x
que simboliza a los elementos. Ejemplo:
A= {x/x es una vocal fuerte}
Donde A es la clase de las vocales
fuertes, tales que (/), x es una vocal
fuerte.
SESIÓN 06
LÓGICA DE CLASES
Es parte de la lógica simbólica que, a
diferencia de la lógica proposicional (que se
ocupa del aspecto formal de las
proposiciones) y de la lógica de predicados
(que se ocupa del análisis de los predicados
de las proposiciones), se ocupa de los
argumentos o sujetos de las proposiciones.
1. NOCIÓN Y NOTACIÓN DE
CLASE
2. CLASES FUNDAMENTALES
2.1. CLASE UNIVERSAL: Representa a
todos los elementos enunciados. Este
concepto es relativo, ya que se
refiere sólo a todos los elementos de
un universo determinado. Se le
representa simbólicamente por una
“U” y gráficamente por un
rectángulo.
1.1. NOCIÓN DE CLASE: Una clase es
una colección o reunión de objetos
que presentan una característica
común. Ejemplo: “La clase de los
lógicos peruanos”.
1.2. NOTACIÓN DE CLASE: Las clases se
simbolizan con letras mayúsculas:
A,B,C... mientras que los elementos
se simbolizan con letras minúsculas:
a,b,c,... La pertenencia de un
elemento a una clase se simboliza
por una “” y la no pertenencia por
“”. Ejemplo:
bA
aA
Que se lee: el elemento b (podría ser
Francisco Miro Quesada) pertenece a la
clase A (La Clase de los Lógicos
Peruanos). Y el elemento a (Mario
Vargas LLosa) no pertenece a la Clase
de los Lógicos Peruanos.
La notación se puede hacer de dos
maneras:
Por enumeración: En este caso se
escriben todos los elementos separados
por comas, entre llaves y precedidos del
signo igual, el cual a su vez es
precedido por la letra mayúscula que
representa a la clase. Por ejemplo:
A={a,e,i,o,u}
En donde A es la clase de las vocales,
las cuales
son sus
elementos
componentes.
U
Y se le define: U={x/x:x}
2.2. CLASE VACÍA O NULA: Es la clase a
la cual no pertenece ningún
elemento en el universo del discurso.
Se le representa simbólicamente por
un cero “” y gráficamente por un
círculo sombreado o rayado en su
interior, con una letra adjunta.
A
Y se le define: ={x/xx}
3. RELACIONES DE CLASES
3.1. INCLUSIÓN: Se presenta cuando
todos los elementos de la primera
clase relacionada pertenecen a la
segunda, pero no viceversa. La
inclusión se simboliza por el signo
“” y se la define:
AB={x/xAxB}
1
“CEPRUNSA EXCELENCIA”
Que se lee: la clase A está incluida en B,
es igual a todos los elementos x,
tales que si x es elemento de A,
entonces x es elemento de B.
Ejemplo: la clase A conformada por los
arequipeños incluida en la clase B de
los peruanos.
Cuya representación gráfica de las
clases relacionadas se hace dentro de la
clase universal.
A
AB
LÓGICA - 6
Que se lee: la clase A está excluida de la
clase B, es lo mismo que decir que para
todos los x, si x pertenece a la clase A,
entonces x no pertenece a la clase B.
Ejemplo: La clase A de los números pares
está excluida de la clase B de los
números impares.
Cuya representación gráfica es:
A
B
AB
B
4.
3.2. IGUALDAD: Se presenta cuando
ambas clases tienen los mismos
elementos. Se le simboliza por el
signo
“=”
y
se
la
define:A=B:{x/xAxB}
4.1. UNIÓN O SUMA: Clase formada por
todos los elementos de las clases que
participan en la suma. La unión o
suma se simboliza por el signo “U”
y se la define: AB={X/XA V
XB}
Que se lee: hay unión de la clase A
con la clase B es igual a decir: para
todo x, tal que x pertenece a la clase A
o x pertenece a la clase B.
Ejemplo: La unión de la clase de los
números pares positivos y la de los
impares positivos es igual a la clase de los
números naturales.
A={0,2,4}
B={1,3,5}
AB={0,1,2,3,4,5}
Cuya representación gráfica es:
Que se lee: la clase A es igual a la clase B
significa, para cualquier x, tales que
x pertenece a la clase A, si y sólo si
x pertenece a la clase B.
Ejemplo: La clase A de los hombres es
igual a la clase B de los bípedos
racionales.
Cuya representación gráfica es:
A=B
A
OPERACIONES DE CLASES
Son operaciones lógicas con dos o más
clases para formar una nueva clase.
Entre ellas tenemos:
B
3.3. EXCLUSIÓN: Se presenta cuando
ningún elemento de la primera clase
relacionada es elemento de la
segunda. Se le simboliza por el signo
“” y se la define: AB=
{x/xAxB}
A
AUB
2
B
“CEPRUNSA EXCELENCIA”
4.2. INTERSECCIÓN O PRODUCTO: Clase
formada por los elementos comunes a las
clases intersecadas. La intersección se
simboliza por el signo “” y se la define:
AB={x/xA xB}
^
Que se lee: La intersección de las clases A
y B es igual a todos los elementos x, tales
que x son elementos de A y B.
Ejemplo: La intersección de la clase de
los arequipeños y la de los médicos es la
clase de los médicos arequipeños.
Cuya representación gráfica es:
A
B
LÓGICA - 6
clase dada. El complemento de una clase
se simboliza con una barra “¯”
superpuesta en la letra que representa a la
clase original “Ā” y se le define:
Ā={x/x U v xA}
Que se lee: el complemento de A, es igual a
todos los elementos x, tales que x son
elementos de la clase universal, y no son
elementos de la clase A. Ejemplo:
Considerando que la clase universal es la de
los animales. El complemento de la clase
de los hombres es la clase de los animales
no racionales.
Cuya representación gráfica es:
x
AB
A
4.3. DIFERENCIA
O
COMPLEMENTO
RELATIVO: entre dos clases, es la clase
formada por todos los elementos de la
primera, que no pertenecen a la segunda.
La diferencia se simboliza por el signo “–
” y se la define:
A
PRÁCTICA 6
1. La clase de todos los Diplomáticos son
cultos se denomina:
a) Clase Universal
b) Complemento de una clase
c) Clase no Vacía
d) Intersección de dos clases
e) Clase Vacía
A–B={x/xA xB}
^
Que se lee: la diferencia de las clase A–B, es
igual a todos los elementos x, tales que x
son elementos de A y no son elementos de
B. Ejemplo:
La diferencia entre la clase de los arequipeños
y la clase de los biólogos, es la clase de
los arequipeños que no son biólogos.
Cuya representación gráfica es:
A
A
2. En las operaciones de clase. La _______:
Es la clase formada por todos los
elementos de la primera que no
pertenecen a la segunda.
a) Unión
b) Intersección.
c) Diferencia.
d) Inclusión.
e) Igualdad.
B
A-B
x
4.4. COMPLEMENTO DE UNA CLASE: Es la
clase de los elementos que perteneciendo
a la clase universal, no pertenecen a la
3. En las relaciones de clase se dice que
todos los elementos de la primera clase
3
“CEPRUNSA EXCELENCIA”
relacionada pertenecen a la segunda, pero
no viceversa.
a) Una diferencia
b) Una igualdad
c) Una inclusión
d) Una intersección
e) Una exclusión
LÓGICA - 6
d) Una exclusión total.
e) Diferencia
8. El siguiente gráfico pertenece a:
S
4. Ningún filósofo es un artista ¿A qué
relación de clases pertenece?:
a) A la diferencia.
b) A la igualdad.
c) A la exclusión.
d) A la unión.
e) Al complemento.
a)
b)
c)
d)
e)
5. Relaciona las definiciones siguientes.
I.- La clase que tiene por lo menos un
elemento se denomina unitaria.
II.- La unión está formada por los
elementos que pertenecen únicamente
a la clase A y no a la clase B.
III.-Una clase es la reunión de elementos
que tienen características comunes.
IV.-Una clase universal es cuando designa
la reunión de todos sus miembros.
a) VFVF.
b) FFFF.
c) VVFF.
d) FVVV.
e) VFVV.
P
Igualdad
Complemento
Unión
Intersección
Diferencia
9. El siguiente grafico pertenece a:
B
A
a)
b)
c)
d)
e)
Inclusión total
Intersección
Exclusión parcial
Una exclusión total
Una diferencia
6. Dada la siguiente proposición:
Si se sabe que p  q es verdadera; r  t es
verdadera; y p  r es falsa; entonces los
valores de p, q, r y t son respectivamente:
a) VFFV
b) VFVV
c) VVFV
d) VVVF
e) VVVV
10. Halle la proposición representada en el
siguiente diagrama:
7. La expresión “Algunos jugadores son
entrenadores” es:
a) Inclusión Total.
b) Intersección
c) Exclusión parcial.
a)
b)
c)
d)
e)
4
Todos los materialistas son ateos.
Algunos materialistas son ateos.
Todos los ateos no creen en Dios.
Todos los ateos son materialistas.
Ningún materialista es ateo.