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01 Fis-Quim 4ºESO
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6
1
3 · El
movimiento
Formula
VAMOS A CONOCER…
1. Sistema de referencia
2. ¿Qué es el movimiento?
3. La trayectoria
4. Magnitudes vectoriales
5. Distancia recorrida y vector
desplazamiento
6. Velocidad media
7. Movimiento rectilíneo
uniforme
8. La aceleración
9. Movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
10. Caída libre
11. Movimiento circular uniforme
¿QUÉ SABES DE ESTO?
1. Un automóvil pasa a las once de la mañana por el km 15 de una carretera. Si al mediodía
está en el kilómetro 90, ¿cuál fue su velocidad? Expresa esa cantidad en unidades del SI.
2. De las siguientes gráficas, señala la que describe mejor tu actividad en un día de clase,
desde que sales de tu casa por la mañana hasta que regresas a primera hora de la tarde.
Distancia recorrida
8h
tiempo
Posición respecto
a tu casa
15h
8h
tiempo
Posición respecto
a tu casa
15h
8h
tiempo
Distancia recorrida
15h
8h
tiempo
15h
3. Si dejas caer una hoja de papel arrugada y otra lisa desde una cierta altura, ¿cuál cae
antes? ¿Por qué?
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Primeros versos
de la Iliada (I 1-7)
Canta, diosa, la cólera del Pelida Aquiles
funesta, pues que tantos males a los
aqueos causó
y muchas almas valerosas mandó de
cabeza al Hades
de héroes, a quienes hizo presa de los
perros
La Ciencia que estudia el movimiento de los objetos se denomina Cinemática. Y se puede decir que la Física nace cuando el científico italiano Galileo Galilei descubre, en el siglo XVII,
la ley que rige la caída de un objeto en la superficie de la
Tierra.
En esta unidad didáctica se definen las magnitudes que describen el movimiento de los objetos sin entrar en las causas
que los producen.
Y
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Física y Química
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Y
1. Sistema de referencia
AP-7
En el transcurso de un viaje se suele preguntar por la distancia que se ha
recorrido, por la que falta por recorrer, si se va deprisa o despacio o a la
hora que se llegará a un determinado lugar.
km
Para contestar a esas preguntas, y en general en el estudio del movimiento,
se deben relacionar las distancias y los lugares que ocupan los objetos con
el tiempo transcurrido.
225
En primer lugar hay que situar a los objetos y para ello hay que relacionarlos con otros objetos que se eligen como referencia.
a Los hitos kilométricos de las carreteras y
autopistas indican la distancia desde el punto
elegido como km 0.
d
Un sistema de referencia es un punto o un conjunto de puntos respecto
de los que se localiza un objeto.
d
Posición es el lugar que ocupa un objeto respecto de un sistema de referencia.
Un punto se puede situar sobre una línea, sobre el plano o en el espacio.
En todos los casos hay que elegir otro punto respecto del que se describen
las posiciones denominado origen del sistema de referencia.
Para localizar un punto en una línea recta, en el plano o en el espacio se
utiliza un sistema de referencia cartesiano.
d
Un sistema de referencia cartesiano son unos ejes de coordenadas que
se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
Para la descripción del movimiento se necesita conocer el instante en el que
un objeto ocupa una posición determinada, y por ello también hay que elegir un origen para el tiempo. En general, el origen de tiempo coincide con
el instante en el que comienza la observación.
SISTEMAS DE REFERENCIA
En una dimensión
En dos dimensiones
Y
Y
e
0
O
En tres dimensiones
x
x
x
X
Origen
de referencia
P (x,y)
y
La posición de un punto en
una línea curva se determina
con una única coordenada,
e, que indica la distancia, siguiendo la línea, desde el
punto elegido como origen
del sistema de referencia.
X
La posición de una partícula
en una línea recta se fija con
una única coordenada, x,
que indica la distancia desde
el origen del sistema de referencia hasta el punto considerado.
P (x,y,z)
z
x
O
Origen
y
O
Para localizar un objeto en
un plano se precisan dos coordenadas (x, y), que expresan la distancia desde dos
ejes de coordenadas hasta el
punto considerado
X
Z
Un punto en el espacio se localiza con tres coordenadas
(x, y, z), que son igual a las
distancias desde los tres ejes
de coordenadas hasta el
punto considerado.
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1 · El movimiento
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2. ¿Qué es el movimiento?
En la siguiente figura se observa un tren que pasa frente a una estación
a
El estado de movimiento depende del sistema de referencia.
Si se pregunta a unos viajeros, sentados en sus asientos, sobre su estado de movimiento, contestan que no se han movido durante todo el viaje. Sin embargo las
personas situadas en el andén observan que se alejan cada vez más.
Entre las dos afirmaciones hay una contradicción, que desaparece al acompañarlas de la correspondiente referencia. Los viajeros se alejan respecto de
la estación, pero están en reposo unos respecto de los otros.
d
El estado de reposo o de movimiento de un objeto depende del sistema de referencia elegido para realizar la descripción.
El asegurar que un objeto se mueve o está en reposo no tiene sentido, si no
se añade el sistema de referencia elegido. El estado de reposo o de movimiento de un objeto es siempre relativo respecto a otro objeto, que se utiliza como referencia.
a A las personas situadas dentro de un medio
de transporte les parece que el paisaje se
mueve hacia atrás.
El movimiento
de la Tierra
Un libro encima de una mesa está en reposo respecto a unos ejes de coordenadas colocados en un rincón de la clase. Si el sistema de referencia estuviera colocado en el Sol: la Tierra, el aula, la mesa y el libro no están en
reposo. Así mismo, el Sol se traslada en torno al centro de la galaxia.
d
Un objeto está en movimiento cuando su posición, con relación a un
sistema de referencia, se modifica a lo largo del tiempo transcurrido.
Tanto el estado de reposo como el movimiento son relativos. Uno y
otro dependen del sistema de referencia elegido.
No existe ningún sistema de referencia inmóvil, por lo que no se puede
conocer la velocidad absoluta de un objeto. Sólo se puede determinar su
velocidad respecto a un sistema de referencia.
A la Tierra se la puede considerar en
reposo, para describir los movimientos
que transcurren sobre su superficie.
En la antigüedad se pensaba que la
Tierra estaba inmóvil, en el Universo,
por lo que se consideraba la posibilidad del movimiento absoluto.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Pon ejemplos en los que algún objeto esté en reposo respecto a un sistema de
referencia y en movimiento respecto a otro.
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Y
3. La trayectoria
d
La trayectoria es la línea imaginaria que une las sucesivas posiciones
que ocupa un objeto respecto del sistema de referencia.
La trayectoria es una línea en un mapa, una carretera, un camino, las huellas marcadas en la nieve o la estela que deja en el cielo un avión reactor.
Las trayectorias pueden ser líneas rectas o líneas curvas. Las trayectorias
curvilíneas pueden ser circunferencias, elipses, parábolas u otro tipo de
curva cualquiera.
a Trayectoria
rectilínea
a Trayectoria
circular
a Trayectoria
curvilínea
4. Magnitudes vectoriales
Para localizar con precisión la posición de los objetos, respecto de un sistema de referencia, hay que expresar además del valor numérico y la unidad de esa distancia, la dirección y el sentido en que se encuentran. Esa
información la indican las magnitudes vectoriales.
d
dirección
módulo
sentido
Un vector es un segmento orientado y se escriben en negrita v o con una
flecha encima v . Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad, la
aceleración y la fuerza.
de una magnitud vectorial.
El módulo de un vector es el valor numérico de la magnitud, acompañado
de la unidad correspondiente y es igual a la distancia desde el origen hasta
el extremo del segmento orientado y se representa:
punto de
aplicación
a Representación
Una magnitud se representa por un vector cuando para su descripción
hay que conocer su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
v = |
v|
A
sentido
O
dirección
B
sentido
La dirección es la recta que contiene al
vector y el sentido indica hacia dónde se recorre la recta.
a
La dirección es la recta que contiene al segmento orientado y el sentido es
la orientación del mismo dentro de la recta. En una misma recta hay dos
sentidos diferentes. Por ello, dos vectores del mismo módulo pueden tener
sentidos distintos y una misma dirección. El punto de aplicación del vector
es el origen del segmento orientado.
En contraposición con las magnitudes vectoriales, se denominan magnitudes
escalares a las que se determinan solo con un número real y una unidad,
como por ejemplo: la masa, el volumen, el tiempo y la distancia recorrida.
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1 · El movimiento
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Operaciones con vectores
→
→
a
Una de las diferencias más notables entre las magnitudes escalares y las
magnitudes vectoriales es el tratamiento matemático al que obedecen.
b
→
A las magnitudes escalares se les aplican las operaciones matemáticas convencionales. Sin embargo, al operar con vectores hay reglas y operaciones
diferentes que forman el conjunto de la matemática vectorial. Un ejemplo
de ello es la suma y la resta de magnitudes vectoriales.
b
→
a
b , se traslada uno a continuación de otro y el
Para sumar dos vectores a y
vector suma, c , se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del
b , basta sumarle al vector a el
segundo. Para restar a un vector a el vector vector opuesto de b , es decir, el vector – b .
Cuando dos vectores tienen su origen en el mismo punto, entonces el vector suma es la diagonal del paralelogramo cuyo origen coincide con el de
los vectores. La otra diagonal es igual a la diferencia.
→
a + b
→
→
b
→
→
a – b
→
a
→
→
a – b
→
b
a Suma
y diferencia de vectores.
Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido, el vector
suma tiene la misma dirección y sentido que los sumandos y su módulo es
igual a la suma de ambos módulos: c = a + b
Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido contrarios, el
vector suma tiene por módulo la diferencia de ambos módulos y su dirección
y sentido coinciden con los del vector de módulo mayor: c = a – b
→
→
b
→
a
→
b
→
a
→
→
c=a+b
Suma de vectores
de la misma dirección
y sentido
c=a+b
→
→
→
+
a
c=
→
b
b
→
→
→
b
a
→
a
a
→
→
b
→
c=a+b
Suma de vectores
de la misma dirección
y sentido contrario
c=a–b
→
a
a Suma
de vectores perpendiculares.
Suma de vectores de la misma dirección.
Si los dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo del vector suma
se determina aplicando el teorema de Pitágoras, ya que es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los módulos de los dos
vectores sumandos.
a2 + b2
|
c | = c = →
5a
vector a,
El producto de un número real n por un
es otro vector de módulo n
ay
veces el módulo del vector a , su dirección es la misma que la del vector su sentido es el del vector a , si n es positivo, y el opuesto, si n es negativo.
a
|n · a | = n · |
a| = n · a
a Producto
→
de un vector por un número.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
2. En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, dibuja un vector de 3 unidades sobre el eje X y otro de 4 unidades sobre el eje Y, tomando como origen de
los vectores el del sistema de referencia. Súmalos gráficamente y calcula el módulo del vector suma.
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Y
5. Distancia recorrida y vector desplazamiento
Distancia recorrida
Al realizar un viaje o dar un paseo interesa conocer la distancia que se ha
recorrido, cuyo valor dependerá del camino que se haya seguido.
eB
eA
O
Origen de
referencia
La distancia recorrida se mide sobre la
trayectoria.
a
Cuando un móvil se traslada entre dos posiciones, puede hacerlo en línea
recta o siguiendo cualquiera de las numerosas trayectorias curvilíneas que
unen esas posiciones.
Para analizar ese cambio de posición que experimenta el móvil se utilizan
las magnitudes distancia recorrida y vector desplazamiento.
d
Distancia recorrida es la longitud de la trayectoria que sigue un objeto entre dos posiciones distintas.
La distancia recorrida entre dos posiciones A y B se determina restando los
valores de las correspondientes posiciones, expresadas por una coordenada, e, que indica la distancia desde el origen del sistema de referencia
siguiendo la trayectoria.
distancia recorrida = ∆e = eB – eA
Tal es el caso de la distancia recorrida sobre una carretera, que se calcula
restando los valores de los correspondientes puntos kilométricos.
La distancia recorrida es una magnitud escalar que se mide en el SI en
metros.
Un móvil se puede trasladar entre dos posiciones siguiendo numerosas trayectorias. Sin embargo, si el objeto se dirige en línea recta entonces la trayectoria es única.
Trayectoria
to
ien
am
laz
p
s
De
Desplazamiento
B
Trayectoria
A
Para desligar la posición de la trayectoria se define una nueva magnitud
denominada vector desplazamiento.
Distancia recorrida
O xA
Origen de
referencia
a El
d
xB
Desplazamiento
desplazamiento es la distancia más corta
entre dos posiciones.
, es un vector tiene su origen en la posición
Vector desplazamiento, ∆x
inicial del móvil y su extremo en la posición final.
Si se elige un sistema de referencia con el eje X coincidente con la dirección
del vector desplazamiento, entonces se puede prescindir de la notación vectorial y su valor se calcula restando a la coordenada de la posición final, xB,
la de la posición inicial xA, acompañadas de su signo correspondiente.
∆x = xB – xA
El módulo del vector desplazamiento se mide en el SI en metros.
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1 · El movimiento
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x inicial = 2 m 
 ∆x = 5 m – 2 m = 3 m
xfinal = 5 m 
x inicial = 5 m 
 ∆x = 3 m – 5 m = –2 m
xfinal = 3 m 
∆x
O
x inicial
desplazamiento
De esta forma, si al recorrer la trayectoria en un sentido el vector desplazamiento tiene un signo, al seguirla en sentido contrario el signo es el
opuesto.
∆x
xfinal
O
xfinal
x inicial
El vector desplazamiento, entre dos posiciones, es siempre el mismo
independientemente de cuál sea la trayectoria que recorra el móvil. Sin
embargo, la distancia recorrida depende de la trayectoria seguida.
a El desplazamiento es independiente de la
trayectoria.
El vector desplazamiento no es solamente una distancia, es una distancia siguiendo un determinado sentido a lo largo de una dirección concreta.
d
La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento coinciden cuando la trayectoria es una línea recta y no hay cambios en el sentido del movimiento.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Una pista de scalextric tiene un tramo en forma de semicircunferencia de 1,5 m de radio. Dibuja la trayectoria y el vector desplazamiento. Calcula la distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento cuando el coche va desde un
extremo al otro de ese tramo de pista.
La distancia recorrida es igual a la longitud de la semicircunferencia.
Trayectoria
2·π·R
∆e = = π · 1,5 m = 4,7 m
2
El módulo del vector desplazamiento coincide con el valor del diámetro la semicircunferencia.
∆x = 2 · R = 2 · 1,5 m = 3 m
Radio = 1,5 m
Posición
inicial
Desplazamiento
Posición
final
Una pelota se lanza rodando contra una pared desde un punto situado a 1 m de una señal realizada en el suelo. Al
cabo de un tiempo choca contra una pared situada a 7 m y regresa deteniéndose a 4 m de dicha marca. Representa en un
diagrama las posiciones inicial y final de la bola. Dibuja la trayectoria y el vector desplazamiento. Calcula su valor y el de
la distancia recorrida.
Identificando trayectoria con el eje de coordenadas X y el origen del sistema de referencia en la señal, las posiciones de la pelota y de la pared son:
Distancia recorrida
xinicial = 1 m; xfinal = 4 m; xpared = 7 m
El valor del vector desplazamiento es: ∆x = xfinal – xinicial = 4 m – 1 m = 3 m
La pelota recorre 6 m hasta que choca contra la pared, para después regresar por el
mismo camino y recorrer 3 m hasta detenerse.
∆x
O xinicial
xfinal
distancia recorrida = 6 m + 3 m = 9 m
El módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida no coinciden porque hay cambios en el sentido del movimiento.
xpared
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6. Velocidad media
∆e
X
∆x
x1
O
a Distancia
Y
x2
recorrida y vector desplazamiento.
Cuando un automóvil va por una carretera hay que saber si se desplaza y si
lo hace deprisa o despacio y, con frecuencia, hay que determinar en qué
sentido recorre la trayectoria.
Para indicar si un objeto va deprisa o despacio, sin precisar la dirección y
el sentido del movimiento, se utiliza la magnitud rapidez media.
d
Rapidez media es la relación entre la distancia recorrida por un móvil,
medida sobre la trayectoria, y el tiempo empleado en recorrerla.
∆e
distancia recorrida
rapidez media = = ∆t
tiempo empleado
La rapidez media es una magnitud escalar y no informa de la dirección y
sentido del movimiento.
Para especificar tanto la distancia recorrida como la dirección y el sentido en el
que se realiza un movimiento se emplea la magnitud vector velocidad media.
d
∆e
O
∆x
x1
X
x2
Vector velocidad media, v media, es la relación entre el desplazamiento
realizado por un móvil y el tiempo empleado en efectuarlo.
Si la trayectoria es una línea recta y se elige un sistema de referencia con la
dirección de la trayectoria sobre el eje X, se cumple que:
a El módulo del vector desplazamiento y la
distancia recorrida coinciden cuando la
trayectoria es una línea recta.
v
media
∆
x
∆x
= y su módulo: |
v media| = vmedia = ∆t
∆t
La velocidad media es una magnitud vectorial, de dirección y sentido los
del vector desplazamiento.
Conversión
de unidades
Para expresar la velocidad de unas unidades a las otras se utilizan los factores
de conversión:
1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s
d
km
km 1 000 m
1h
1 = 1 · · h
h
1 km
3 600 s
m
m
3 600 s
1 km
1 = 1 · · s
s 1 000 m
1h
km
km
3
0
e
v>0
La mayoría de los movimientos se producen sobre trayectorias curvilíneas,
que se conocen previamente. Por tanto, para describir un movimiento basta
con conocer la rapidez con la que se realiza y el sentido en el que se recorre la trayectoria.
Por ello, la velocidad media de un objeto se identifica con la distancia
que recorre sobre la trayectoria en la unidad de tiempo.
∆e
vmedia = ∆t
Y se establece un criterio de signos, de forma que si al recorrer la trayectoria en un sentido a la velocidad se le asigna el signo positivo, al recorrerla
en sentido contrario la velocidad tiene signo negativo.
La rapidez media y la velocidad media se miden en el sistema internacional en m/s y en la práctica en km/h.
O
v<0
a El
signo de la velocidad indica el sentido en
el que se recorre la trayectoria.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
3. Expresa la velocidad del sonido, v = 340 m/s en la unidad km/h y la velocidad de
100 km/h en la unidad m/s.
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Velocidad instantánea
La velocidad media determina la rapidez de un móvil en un cierto intervalo
de tiempo. Sin embargo, con frecuencia, interesa conocer la velocidad de
un móvil en un instante determinado o en una posición de la trayectoria, tal
es el caso de los vehículos con el fin, por ejemplo, de respetar las normas
de circulación.
Cuando el intervalo de tiempo entre dos observaciones es muy pequeño,
entonces el valor medio de la velocidad es igual a la velocidad instantánea.
Esta cantidad es la que muestra el velocímetro de los vehículos.
La velocidad instantánea es una magnitud vectorial de dirección la de la
tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Su unidad de
medida en el SI es el m/s.
a El velocímetro indica el módulo del vector
velocidad instantánea y el cuentakilómetros
indica la distancia recorrida.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Las figuras siguientes representan el movimiento de un ciclista a lo largo de dos trayectorias distintas. Calcula su velocidad media en cada uno de los ejemplos.
20
0
20
x final
20 s
40
60
80
100
120 x (m)
x inicial
0
0s
30
40
50
60
70
10
e inicial
e final
0h
4h
En los dos ejemplos se conoce la trayectoria del movimiento, por lo que hay que calcular la rapidez e indicar el sentido en el que se
recorre la trayectoria. La velocidad es negativa en la trayectoria en línea recta y positiva en la curvilínea.
xfinal – xinicial
∆x
0 m – 120 m
a) Trayectoria rectilínea: vmedia = = = = –6 m/s
∆t
20 s
∆t
efinal – einicial
∆e
70 km – 10 km
b) Trayectoria curvilínea: vmedia = = = = 15 km/h
∆t
4h
∆t
Un atleta corre la carrera de 100 m lisos en 9,84 s. Determina su velocidad media y exprésala en m/s y en km/h.
distancia
100 m
La velocidad media es: vmedia = = = 10,16 m/s
tiempo
9,84 s
m
m
3 600 s
km
La velocidad expresada en km/h es: vmedia = 10,16 = 10,16 · · = 36,58 km/h
s
s
h
1 000 m
Un atleta de maratón recorre los 42,195 km de que consta la prueba en un tiempo de 2 h 13 min 16 s. Determina la
velocidad media expresada en km/h y en m/s.
h
h
En primer lugar se expresa el tiempo total en horas: t = 2 h 13 min 16 s = 2 h + 13 min + 16 s = 2,22 h
60 min
3 600 s
distancia
42,195 km
km
La velocidad media es: vmedia = = = 19 tiempo
2,22 h
h
km
km 1 000 m
m
h
En unidades del SI: vmedia = 19 = 19 · · = 5,28 h
h
km
s
3 600 s
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Física y Química
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O
∆x = distancia recorrida
Origen x0
de referencia
a Movimiento
→
X
7. Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta y es
uniforme si el módulo el vector velocidad permanece constante.
x
v
Y
rectilíneo uniforme.
Si se hace coincidir el eje X del sistema de referencia con la trayectoria y si,
además, el origen de tiempo coincide con el instante inicial, t0 = 0 s, entonces el módulo del vector velocidad se expresa:
∆x
x – x0
x – x0
= ⇒ v · t = x – x0
v = = ∆t
t – t0
t
Ordenando términos, se tiene la ecuación de la posición del movimiento:
x = x0 + v · t
Donde x es la posición en cualquier instante, x0 la posición inicial, v la
velocidad, t el tiempo transcurrido e ∆x = x – x0 la distancia recorrida.
De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la posición, x – x0,
es una cantidad positiva entonces la velocidad tiene signo positivo y si esa
variación es negativa, a la velocidad se le asigna el signo negativo.
∆e = distancia recorrida
e0
e
La ecuación anterior también se aplica a cualquier movimiento uniforme.
Origen de referencia
e = e0 + v · t
0
a Movimiento
uniforme.
Donde e0 es la posición inicial, e es la posición en cualquier instante y la
distancia recorrida medida sobre la trayectoria es ∆e = e – e0.
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
x
x = x0 + v · t
∆t
x0
O
x
x0
∆x
Pendiente =
∆x
∆x
Pendiente =
=v
∆t
∆x
=v
∆t
v
v>0
x = x0 – v · t
O
t
∆t
t
Gráfica posición frente al tiempo de un
móvil con velocidad positiva.
O
v<0
t
Gráfica posición frente al tiempo de un
móvil con velocidad negativa.
Gráfica de la velocidad frente al tiempo.
Al representar gráficamente la posición, x, en el transcurso del tiempo, t, se
obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la posición inicial,
x0, y cuya pendiente es igual al módulo del vector velocidad.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
4. Escribe la ecuación de la posición para los
movimientos rectilíneos representados en la
figura adjunta.
x (m)
45
36
A
27
5. Escribe las ecuaciones de los siguientes moviB
18
mientos y represéntalos gráficamente.
C
9
a) Un móvil sale de un punto situado a 5 km
del origen y se aleja con una velocidad de
0
2 4 6 8 10 12 t (s)
2 km/h.
b) Durante el recreo un compañero que está situado a 30 m de ti, se te acerca
con una velocidad de 2 m/s.
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1 · El movimiento
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ACTIVIDADES RESUELTAS
Un automovilista se encuentra en un instante en el kilómetro 10 de una carretera y transita con una velocidad media
de 80 km/h. Escribe la ecuación de la posición en cualquier instante. ¿Dónde se encontrará una hora y media más tarde?
¿En qué instante pasará por la posición 190 km?
Si se elige como sistema de referencia para la posición el km 0, la posición inical es e0 = 10 km y la expresión de la posición en cualquier instante es:
e = e0 + v · t = 10 km + 80 km/h · t
Cuando haya transcurrido un tiempo t =1,5 h su posición será:
e = 10 km + 80 km/h · t = 10 km + 80 km/h · 1,5 h = 130 km
Para calcular cuándo pasa por la posición 190 km, se sustituye en la ecuación de la posición y se despeja el tiempo.
e = 10 km + 80 km/h · t; 190 km = 10 km + 80 km/h · t ⇒ t = 2,25 h = 2 h 15 min
Dos autobuses salen al encuentro desde dos ciudades, A y B, que distan 750 km. El que sale desde la ciudad A arranca
a las ocho de la mañana con una velocidad media de 50 km/h. El otro sale desde la ciudad B a las once y su velocidad
media es de 70 km/h. Determina el lugar y la hora a la que se cruzan en el camino. Representa en un diagrama de posición frente al tiempo el movimiento de los dos vehículos.
a) Se elige como origen del sistema de referencia la posición de la ciudad A
y como origen de tiempos el instante en el que sale el autobús más madrugador, las ocho de la mañana.
t salida = 0 h
En este sistema de referencia, la velocidad del autobús situado en la ciudad
B tiene signo negativo.
Ciudad A
e 0, A = 0 km
t salida = 3 h
vA = 50 km/h
vB = 70 km/h
Ciudad B
e 0, B = 750 km
Las posiciones, en cualquier instante, de los dos autobuses son:
eA = 0 km + 50 km/h · t; eB = 750 km – 70 km/h · (t – 3 h)
Los autobuses se cruzan cuando en el mismo instante ocupen la misma posición.
eA = eB ; 50 km/h · t = 750 km – 70 km/h · (t – 3 h) ⇒ t = 8 h
Los autobuses se cruzan cuando son las 8 h + 8 h = 16 h, a las cuatro de la tarde.
La posición de cruce es igual a la distancia que se encuentran de la ciudad A.
eB = eA = 50 km/h · t = 50 km/h · 8 h = 400 km
b) Para representar de forma gráfica el movimiento de los autobuses, se construye una tabla de valores en la que se registran sus posiciones cada hora que transcurre y que se trasladan a la correspondiente gráfica.
tiempo
transcurrido (h)
posición
autobús A (km)
posición
autobús B (km)
e (km)
800
0
0
750
700
1
50
750
600
2
100
750
3
150
750
4
200
680
5
250
610
300
6
300
540
200
7
350
470
8
400
400
Las dos gráficas se cruzan en el punto de encuentro.
Autobús A
500
400
ús
B
b
uto
A
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8 t (m)
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Física y Química
18
Y
8. La aceleración
La velocidad, considerada como una magnitud vectorial, tiene las características de módulo, dirección y sentido. Por tanto, el vector velocidad se
modifica siempre que cambie su módulo, su dirección o su sentido.
d
Aceleración es la magnitud vectorial que mide las variaciones del vector velocidad en el transcurso del tiempo.
La aceleración, así entendida, tiene dos contribuciones: una que modifica
al módulo del vector velocidad y otra que cambia la dirección del mismo.
d
a La
aceleración modifica al vector velocidad.
→
atangencial
La aceleración tangencial, a t, es la responsable de la variación del módulo del vector velocidad y habitualmente se conoce como aceleración . Siempre que se modifica el módulo del vector velocidad hay aceleración tangencial.
Es un vector tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento si
aumenta la velocidad y el contrario, si la velocidad disminuye. Su módulo
se representa por: |
a t| =at = a, y se determina mediante la relación entre la
variación del módulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en producirse. La aceleración tangencial es positiva si el módulo de la velocidad
aumenta y negativa si disminuye.
∆v
a = ∆t
d
a El vector aceleración tangencial siempre
tiene la dirección de la recta tangente a la
trayectoria.
La aceleración normal, a n, es la responsable del cambio de dirección
del vector velocidad.
Es un vector perpendicular a la trayectoria en cada punto y su sentido es
hacia el centro de curvatura. Su módulo se representa por: |
a n| = an y en un
determinado instante es igual a la relación entre el cuadrado del módulo del
vector velocidad, v, y el radio R de curvatura de la trayectoria.
v2
an = R
La unidad de medida de la aceleración en el SI es el m/s2.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
6. Los siguientes esquemas representan el movimiento de un objeto en cuatro situaciones diferentes.
→
anormal
80 km/h
80 km/h
80 km/h
A
80 km/h
50 km/h
B
a El vector aceleración normal tiene siempre
la dirección de la recta perpendicular a la
trayectoria.
80 km/h
C
50 km/h
80 km/h
D
Para cada ejemplo señala si se modifica algún atributo del vector velocidad e
identifica esa variación con el tipo de aceleración correspondiente.
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1 · El movimiento
Clasificación de los movimientos según su aceleración
19
Aceleración normal
Los movimientos se clasifican de dos formas:
a) Según sea su trayectoria.
b) Según se modifica el módulo del vector velocidad.
O que es lo mismo, se clasifican en función de las aceleraciones tangencial
y normal.
cero
otro valor
rectilíneo
curvilíneo
a) Según la trayectoria:
• Rectilíneos: no se modifica la dirección del vector velocidad y la
aceleración normal es igual a cero.
• Circulares: cuando el radio de la curva es constante. Se modifica la
dirección del vector velocidad y por ello hay aceleración normal.
• Curvilíneos: si el radio de la curva no es constante. Se modifica la
dirección del vector velocidad y por tanto, hay aceleración normal.
Módulo de la
aceleración tangencial
cero
constante
variable
uniforme
uniformemente
acelerado
variado
b) Según el módulo del vector velocidad:
• Uniformes: no se modifica el módulo del vector velocidad, lo que
significa que la aceleración tangencial es igual a cero.
• Uniformemente acelerados: el módulo del vector velocidad se
modifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo de
la aceleración tangencial es constante.
• Variados: el módulo del vector velocidad no se modifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tangencial no es constante.
En un movimiento rectilíneo nunca hay aceleración normal.
En un movimiento circular o curvilíneo siempre existe aceleración normal.
ACTIVIDADES RESUELTAS
El guepardo es un animal capaz de alcanzar una velocidad de 72 km/h en 2 s. ¿Cuál es la aceleración del citado animal,
supuesta esta constante?
Expresando la velocidad en unidades del SI: v = 72 km/h = 20 m/s
∆v
20 m/s – 0 m/s
A partir de la definición de aceleración: a = = = 10 m/s2
∆t
2s
Considerando a la órbita terrestre como una circunferencia de 150 millones de km de radio, determina la velocidad, en
km/h, y la aceleración, en m/s2, con que la Tierra se mueve alrededor del Sol.
Como la Tierra recorre la longitud de la circunferencia (2 · π · R) en un año su velocidad de traslación alrededor del Sol es:
2 · π · 150 · 106 km
distancia
1 día
km
1 año
v = = · · = 107 589 tiempo
h
365 días 24 h
1 año
que expresada en unidades del SI es: v = 107 589 km/h = 29 886 m/s
Como el módulo del vector velocidad es constante la aceleración tangencial es igual a cero. Solo existe aceleración normal que modifica a la dirección del vector velocidad en cada instante.
v2
(29 886 m/s)2
m
Su módulo es: an = = = 6 · 10–3 R
150 · 109 m
s2
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Física y Química
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Y
9. Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado
Un movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado cuando la trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante.
Aplicando la definición de aceleración tangencial y considerando que el
instante inicial de la observación es t0 = 0, se cumple que:
∆v
v – v0
v – v0
= ⇒ a · t = v – v0
a = = ∆t
t – t0
t
Durante una carrera se modifica continuamente la velocidad de los automóviles.
a
Ordenando términos, se tiene la ecuación de la velocidad del movimiento:
v = v0 + a · t
Ecuación que relaciona el módulo la velocidad en un instante, v, y el de la
velocidad inicial, v0, con la aceleración, a, y el tiempo transcurrido, t.
De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la velocidad,
v – v0, es una cantidad positiva entonces la aceleración tiene signo positivo
y si esa variación es negativa, como ocurre al frenarse un móvil, entonces a
la aceleración se le asigna el signo negativo.
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
x
v = v0 + a · t
∆t
v0
O
v
v0
∆v
∆v
∆v
Pendiente =
=a
∆t
∆v
=a
∆t
a
a>0
v = v0 – a · t
O
t
∆t
t
Gráfica de la velocidad frente al tiempo
de un móvil con aceleración positiva.
h
Pendiente =
Movimiento
rectilíneo
En tu CD Selección de Encarta de Microsoft, en la carpeta estudio del movimiento puedes encontrar más información sobre el movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
O
a<0
t
Gráfica de la velocidad frente al tiempo
de un móvil con aceleración negativa.
Gráfica de la aceleración frente al
tiempo.
Al representar gráficamente la velocidad, v, de un móvil en el transcurso del
tiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la
velocidad inicial, v0, y cuya pendiente es igual al módulo de la aceleración.
∆v
pendiente = = a
∆t
ACTIVIDADES PROPUESTAS
7. Escribe la ecuación de la velocidad para
los movimientos representados en la figura adjunta.
v (m/s)
40
32
A
24
8. Escribe las ecuaciones de la velocidad de
B
16
los siguientes movimientos y represéntaC
los gráficamente.
8
a) Un móvil que lleva una velocidad cons0
2
4
6
8 10 12 t (s)
tante de 10 m/s.
b) Un móvil lleva una velocidad de 36 km/h y acelera con a = 2 m/s2.
c) Un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s se frena con una aceleración de
3 m/s2.
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1 · El movimiento
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ACTIVIDADES RESUELTAS
El conductor de un automóvil que lleva una velocidad de 54 km/h, pisa el acelerador con lo que imprime al vehículo
una aceleración de 2 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad mientras se acelera el vehículo. Determina en qué instante
alcanza la velocidad de 90 km/h. Calcula su velocidad a los 4 s después de comenzar a acelerar.
En primer lugar se expresan las velocidades en unidades del SI:
v = 54 km/h = 15 m/s y v = 90 km/h = 25 m/s
a) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v = v0 + a · t = 15 m/s + 2 m/s2 · t
b) Sustituyendo en la ecuación anterior:
v = 15 m/s + 2 m/s2 · t; 25 m/s = 15 m/s + 2 m/s2 · t ⇒ t = 5 s
c) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad:
v = 15 m/s + 2 m/s2 · t = 15 m/s + 2 m/s2 · 4 s = 23 m/s
que expresada en km/h: v = 23 m/s = 82,8 km/h
La gráfica de la figura adjunta representa la velocidad de un
móvil en el transcurso del tiempo. Determina la aceleración del móvil en cada uno de los tramos de la gráfica y representa sus valores
en un diagrama.
v (m/s)
14
12
10
En cada uno de los segmentos que forman la gráfica la aceleración es una
cantidad constante y su valor coincide con el de la pendiente.
8
Aplicando la definición de aceleración a cada segmento de la gráfica, se
cumple que:
4
∆v
2 m/s – 0 m/s
m
aA = = = 1 ∆t
2s–0s
s2
0
∆v
14 m/s – 2 m/s
m
= 4 aB = ∆
t =
5s–2s
s2
6
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t (s)
a (m/s2)
6
4
∆v
10 m/s – 14 m/s
m
aC = = = –4 ∆t
6s–5s
s2
2
0
aD = 0 (velocidad constante)
-2
∆v
0 m/s – 10 m/s
m
aE = = = –5 ∆t
10 s – 8 s
s2
-4
t (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-6
Un móvil A, arranca desde el reposo con una aceleración de 5 m/s2 y
otro B, sale con una velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración de
1 m/s2. Construye la gráfica de la velocidad frente al tiempo para los seis
primeros segundos e indica si en el instante t = 5 s se encuentran los móviles.
Aplicando la ecuación de la velocidad: v = v0 + a · t, se construyen las correspondientes tablas de valores.
v (m/s)
30
25
B
20
15
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
vA (m/s)
0
5
10
15
20
25
30
vB (m/s)
20
21
22
23
24
25
26
Lo único que se puede afirmar es que en el instante t = 5 s se igualan sus velocidades. Se desconoce si los móviles se chocan ya que no se sabe si recorren la misma
trayectoria.
A
10
5
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
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Física y Química
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Y
La ecuación de la posición
Para cualquier tipo de movimiento, la distancia recorrida por un móvil coincide con el área delimitada por la representación gráfica de la velocidad
frente al tiempo y el eje de abscisas.
Velocidad
v
v
+
= v0
a·
t
triángulo
v – v0 = a · t
v0
rectángulo
t
a Grafica
Tiempo
de la velocidad frente al tiempo.
Área total = área rectángulo + área triángulo
1
∆x = v0 · t + · (v – v0) · t
2
Por la definición de aceleración: v – v0 = a · t y como ∆x = x – x0, la expresión de la posición en este tipo de movimiento es:
1
x = x0 + v0 · t + · a · t2
2
Ecuación que relaciona la posición, x, de un móvil en un instante, t, con la
posición inicial, xo, la velocidad inicial, vo y la aceleración, a.
La ecuación de la posición se aplica a cualquier movimiento en el que el
módulo de la aceleración tangencial es constante, siempre que la posición
se indique con una coordenada, e, que representa la distancia desde el origen de referencia siguiendo la trayectoria.
1
e = e0 + v0 · t + · a · t2
2
GRÁFICAS DE LA POSICIÓN FRENTE AL TIEMPO
x
x
a<0
a>0
x0
O
x0
t
Gráfica de la posición frente al tiempo
de un móvil con aceleración positiva.
O
t
Gráfica de la posición frente al tiempo
de un móvil con aceleración negativa.
La ecuación de la posición en el transcurso del tiempo es una función polinómica de segundo grado, cuya representación gráfica es la rama de una
parábola, cuya forma depende de las características de cada movimiento.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un automóvil pasa de cero a 100 km/h en 8 s. Calcula la aceleración supuesta constante y la distancia que recorre hasta
alcanzar la citada velocidad.
En primer lugar se expresa la velocidad en el SI: v = 100 km/h = 27,8 m/s
v – v0
27,8 m/s – 0 m/s
Aplicando la definición de aceleración: a = = = 3,47 m/s2
t
8s
1
1
Por tanto: ∆e = vo · t + · a · t2 = · 3,47 m/s2 · (8 s) 2 = 111 m
2
2
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Página 23
1 · El movimiento
23
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un conductor está situado a 100 de un semáforo de una carretera y frena el vehículo al observar que el semáforo cambia
a color rojo. Si el automóvil tarda en detenerse 10 s y el conductor no comete infracción, calcula la máxima velocidad a la
que circulaba y expresa ese resultado en km/h. Construye las gráficas velocidad frente al tiempo y posición frente al tiempo.
a) Se elige como origen del sistema de referencia el punto en el que al automovilista comienza a frenar, a 100 m del semáforo.
Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado y como la máxima distancia recorrida es 100 m, resulta que:
v = vo + a · t ⇒ 0 = vo + a · 10 s
1
1
e = eo + vo · t + a · t2; 100 m = vo · 10 s + a · (10 s)2
2
2
Despejando la velocidad en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, resulta que:
1
v0 = –a · 10 s ⇒ 100 m = (–a · 10 s) · 10 s + a · (10 s)2; 100 m = –a · 100 s2 + a · 50 s2 = –a · 50 s2
2
Despejando: a = –2 m/s2, negativa ya que el coche se frena.
Por lo que la velocidad inicial es: v0 = –a · 10 s = – (–2 m/s2) · 10 s = 20 m/s = 72 km/h
b) Con el sistema de referencia indicado y aplicando las ecuaciones de la velocidad y de la posición se construyen las correspondientes tablas de valores y con ellas las gráficas pedidas.
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v (m/s)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
e (m)
0
19
36
51
64
75
84
91
96
99
100
v (m/s)
20
e (m)
100
18
90
16
80
14
70
12
60
10
50
8
40
6
30
4
20
2
10
0
1
2
3 4
5
6
7 8
9 10
t (s)
0
1
2
3 4
5
6
7 8
9 10
t (s)
El movimiento de un objeto, que recorre una trayectoria en una línea recta, está descrito por la ecuación: x = 5 + 8 t + 2 t2
en unidades del SI. Indica la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. ¿Cuándo pasará por la posición 100 m?
a) Comparando la ecuación del movimiento con la ecuación general: x = xo + vo t +
1/2
a t2, se deduce que:
La posición inicial, t = 0 s, es: xo = 5 m y la velocidad inicial es: vo = 8 m/s
1
Como 2 · t2 = a · t2, entonces la aceleración es: a = 4 m/s2
2
b) Aplicando la ecuación del movimiento:
x = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t2; 100 m = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t2
Despejando el tiempo en la ecuación de segundo grado: 2 · t2 + 8 · t – 95 = 0
t1 = 5,2 s
–8 ± 82 – 4
·2 · (–95)
–8 ± 28,7
t = = ⇒
2·2
4
t2 = –9,2 s
Solo tiene significado físico la solución: t = 5,2 s
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Física y Química
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Y
10. Caída libre
Se denomina caída libre al movimiento que experimenta un objeto cuando
se suelta a cierta altura sobre la superficie de la Tierra y en sus proximidades.
Al dejar caer simultáneamente un trozo de tiza y una hoja de papel, se
observa que cae antes la tiza. Esta y otras experiencias parecidas hacen pensar que los objetos más pesados caen antes que los ligeros.
La velocidad con que cae un objeto no
depende de su masa.
a
Si se toman dos hojas de papel y se arruga una de ellas hasta hacer una
pelota, se observa que la bola de papel cae antes. De esto se deduce que la
velocidad de caída de los objetos no depende de su masa.
Experiencias como esta no se consideraron hasta el Renacimiento, por lo
que en la Antigüedad se pensaba que cuanto más pesado fuera un objeto
antes caía.
En el siglo IV a.C., el filósofo griego Aristóteles consideraba que el estado
natural de los objetos es el del reposo y que a él tienden siguiendo trayectorias en línea recta.
Una piedra tiende a ocupar su estado natural, que es en el suelo, más rápidamente que una pluma de ave formada, en parte, por aire.
a Cuanto
más inclinada esté la superficie del
plano, más se asemeja el movimiento de la
bola a la caída libre.
Todas estas ideas perduraron sin modificarse durante 2 000 años hasta que
Galileo, en el siglo XVI, se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la existencia del vacío. Se percató que el movimiento de los objetos,
ya sean piedras o plumas de ave, siempre ocurren en un medio resistente
como el aire o el agua y, por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo.
Experimentó con planos de diversas inclinaciones y pulidos con esmero,
dejando caer, por los mismos, bolas de diversas masas y tamaños. De sus
experiencias llegó a la conclusión siguiente:
d
Todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en ausencia de
aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa,
forma o tamaño.
Esta aceleración, llamada aceleración de la gravedad, se designa con la
letra g y tiene el valor de 9,8 m/s2 en la superficie de la Tierra.
moneda
Si una hoja de papel y una bola de papel no caen al mismo tiempo es porque no tienen la misma forma y por ello presentan diferente aerodinámica
y oponen distinta fricción o resistencia al aire.
Ecuaciones del movimiento
pluma
En ausencia de un medio resistente la
pluma y la moneda caen al mismo tiempo.
a
El movimiento vertical de un objeto es un caso particular de movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado. Se elige como sistema de referencia el
eje Y , coincidente con la vertical, a la posición se le da el nombre de altura
y se designa con la letra h. El signo positivo o negativo de cada magnitud
depende del criterio de signos adoptado en cada caso. Las ecuaciones del
movimiento son:
1
h = h0 + v0 · t + · g · t2 ; v = v0 + g · t
2
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Página 25
1 · El movimiento
25
ACTIVIDADES RESUELTAS
Verticalmente desde el suelo y hacia arriba, se lanza un objeto con una velocidad inicial de 30 m/s. Prescindiendo del
rozamiento con el aire y aproximando el valor de g a 10 m/s2, determina:
a) La altura a la que llega y el tiempo que tarda en alcanzarla.
b) El tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad con la que llega al mismo.
c) Representa gráficamente la velocidad, la posición y la distancia recorrida en función del tiempo.
Se elige como origen de un sistema de referencia el suelo, el eje Y la vertical y se asigna el signo
positivo a todas las magnitudes que tienen sentido hacia arriba.
vf = 0
a) Al subir: la velocidad inicial es positiva y la aceleración negativa.
Aplicando la ecuación de la velocidad y como en el punto más alto el objeto se detiene:
h
v = vg + g · t; 0 m/s = 30 m/s + (–10 m/s2) · t ⇒ tsubir = 3 s
Sustituyendo en la ecuación de la posición:
1
1
h = ∆h = h – h0 = v0 · t + · g · t2 = 30 m/s · 3 s + · (–10 m/s2) · (3 s)2 = 45 m
2
2
b) Al bajar: la posición inicial es positiva, la posición final es el origen, la velocidad inicial es igual
cero y la aceleración es negativa. Aplicando la ecuación de la posición:
1
1
h = h0 + v0 · t + · g · t2 ; 0 m = 45 m + (–10 m/s2) · t2
2
2
Despejando: tbajar = 3 s, el mismo que el que empleó para subir.
g
v0 = 30 m/s
h0 = 0 m
h0 = 45 m
v0 = 0
Sustituyendo en la ecuación de la velocidad.
v = v0 + g · t = 0 + (–10 m/s2) · 3 s = –30 m/s
La misma con la que se lanzó y sentido hacia abajo.
h = 45 m
c) Para construir la tabla de valores, que se representará gráficamente, se mantiene el sistema de
referencia ya descrito y se aplican las ecuaciones:
1
v = v0 + g · t y h = h0 + v0 · t + · g · t2
2
La distancia recorrida siempre aumenta. A la distancia recorrida al subir se le suma la recorrida
al bajar.
0
1
2
3
4
5
6
velocidad (m/s)
30
20
10
0
–10
–20
–30
posición (m)
0
25
40
45
40
25
0
distancia recorrida (m)
0
25
40
45
50
65
90
20
10
-10
-20
-30
1
hf = 0 m
tiempo (s)
v (m/s)
30
0
g
2
3
4
5
6 t (s)
h (m)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6 t (s)
Distancia recorrida (m)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5
6 t (s)
vf
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Física y Química
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Y
11. Movimiento circular uniforme
→
v
→
Un movimiento es circular cuando la trayectoria que recorre el móvil es una
circunferencia. En este movimiento siempre hay aceleración normal, que
modifica en cada instante la dirección del vector velocidad.
v
→
v
→
v
a En el movimiento circular se modifica continuamente la dirección del vector velocidad.
Un movimiento circular es uniforme si el módulo del vector velocidad es
constante. Por tanto, la aceleración tangencial es igual a cero y el módulo
de la aceleración normal es constante.
En este movimiento el móvil repite cada cierto tiempo las mismas posiciones, hecho que se describe mediante las magnitudes: período y frecuencia.
d
Período (T) es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta completa de la trayectoria.
d
Frecuencia (f) es el número de vueltas o ciclos que recorre el móvil en
la unidad de tiempo.
Las dos magnitudes se relacionan mediante la ecuación:
1
T = f
En el Sistema Internacional, la frecuencia se mide en hercios (Hz). Un hercio es igual a un ciclo cada segundo (c.p.s). En la práctica se expresa en
revoluciones (vueltas) cada minuto (r.p.m.).
a Las sillas del carrusel describen trayectorias
circulares.
Para medir las magnitudes angulares en el movimiento circular se emplea
como unidad el radián (rad), en vez de los grados sexagesimales.
d
e2 = R2
Un radián (rad), se define como la medida del ángulo comprendido por un
arco de circunferencia de longitud igual al radio con el que se ha trazado.
Unas y otras unidades están ligadas por la relación: 2 · π rad = 360º
e1 = R 1
11.1. Velocidad angular
Una forma de describir la posición de un móvil en una trayectoria circular
es indicando el radio de la circunferencia y el ángulo recorrido a partir de
un radio elegido como origen. Las magnitudes: radio (R), ángulo (ϕ) expresado en radianes y la longitud del arco (e), están ligadas por la ecuación:
ϕ = 1 rad
R1
R2
a Un
radián.
e=ϕ·R
e
ϕ
R
En este sistema de referencia la variación de la posición del móvil en la trayectoria se expresa mediante la magnitud velocidad angular media.
d
Origen
Velocidad angular media (ω) se define como la relación entre el ángulo descrito y el tiempo empleado en recorrerlo.
∆ϕ
ϕ – ϕ0
ω = = ∆t
t – t0
a Sistema
descrito.
de referencia basado en el ángulo
Su unidad de medida en el SI es el rad/s, que también se puede expresar
como s–1.
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1 · El movimiento
27
11.2. Ecuaciones del movimiento
Cuando el móvil recorre una vuelta completa, el ángulo descrito es igual a
2π rad y el tiempo transcurrido es igual al período (T), por lo que:
2·π
ω = = 2 · π · f
T
Si se describe el movimiento mediante la distancia recorrida se tiene la
ecuación que liga la velocidad lineal (v) con la velocidad angular (ω).
∆e
∆ϕ · R
v = = = ω · R
∆t
∆t
Aplicando la definición de velocidad angular y considerando que el instante inicial de observación es t0 = 0, se tiene:
∆ϕ
ϕ – ϕ0
ω = = ⇒ ϕ – ϕ0 = ω · t
∆t
t
a Todos
los puntos de la rueda tienen el
mismo período, frecuencia y velocidad
angular.
Despejando se deduce la ecuación del movimiento circular uniforme:
ϕ = ϕ0 + ω · t
Ecuación que relaciona el ángulo descrito (ϕ), con el ángulo inicial (ϕ0), la
velocidad angular (ω) y el tiempo transcurrido (t). Esta ecuación es semejante a la de la posición de un móvil en el movimiento rectilíneo uniforme.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un tiovivo que gira con una frecuencia de 12 r.p.m. tiene los caballitos
situados a 2,5 m del eje de giro. Calcula:
→
→
a) La frecuencia, expresada en hercios, el período, la velocidad angular y la
velocidad con que se trasladan los caballitos.
→
→
v1
b) El ángulo descrito y la distancia recorrida por ellos, si cada viaje dura 4 min.
v2
v4
→
v3
v5
1 2 3 4
5
c) La aceleración a la que está sometida una persona sentada en uno de ellos.
a) La frecuencia, el período y la velocidad angular de un punto no depende de la distancia al eje de giro, es la misma para todos los puntos del tiovivo.
vueltas
vueltas min
vueltas
f = 12 r.p.m. = 12 = 12 = 0,2 = 0,2 Hz
min
min 60 s
s
1
1 vuelta
T = = = 5 s
f
0,2 vuelta/s
ω
a La
velocidad lineal de los puntos de un
radio de una rueda es mayor cuanto más
alejado esté del centro.
vuelta
rad
rad
ω = 2 · π · f = 2 · π · 0,2 = 0,4 · π s
s
vuelta
rad
m
La velocidad lineal depende de la distancia al eje: v = ω · R = 0,4 · π · 2,5 m = π s
s
b) El ángulo que describe cualquier punto del tiovivo es:
ϕ = ω · t = 0,4 · π rad/s · 4 min · 60 s/min = 96 · π rad
que corresponden a 48 vueltas.
La distancia recorrida por un punto depende de la distancia al eje:
∆e = v · t = π m/s · 240 s = 240 · π m
c) En el movimiento circular cada punto del tiovivo está sometido a una aceleración
normal que modifica continuamente a la dirección del vector velocidad. Mientras
que el movimiento sea uniforme, la aceleración tangencial es igual a cero.
v2
an = R
v=ω·R
ω2 · R2
an = = ω2 · R = (0,4 · π rad/s)2 · 2,5 m = 3,9 m/s2
R
c
d
Y
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Y
PARA SABER MÁS
El movimiento y la ciencia moderna
Desde antiguo, las personas han anotado y estudiado el movimiento de los astros.
Los sacerdotes babilonios recogieron, durante muchas generaciones, la posición
Tierra
del Sol, la Luna y de los planetas. Encontraron regularidades en sus movimientos,
describieron las trayectorias que recorrían y, con ellas, predijeron eclipses.
Estas observaciones las recogieron los pensadores griegos. La regularidad del
movimiento de los objetos celestes y la irregularidad de los movimientos terrestres les llevó a considerar a la trayectoria circular como símbolo de perfección.
Luna
a Aristóteles
sitúa a la Tierra en el centro
del Universo. Los astros se mueven a su
alrededor siguiendo trayectorias circulares.
Así, Aristóteles (384-322 a.C.) distingue entre las trayectorias circulares y perfectas del movimiento de los planetas y las trayectorias caóticas del mundo de la
superficie terrestre, que él llamó mundo sublunar.
Los movimientos del mundo sublunar los clasifica en naturales y violentos.
El movimiento natural es propio de la naturaleza de los objetos. Cada objeto tiene
un lugar en el espacio y si no lo ocupa, tiende a alcanzarlo moviéndose. La caída de
los objetos es un movimiento natural, cayendo antes los pesados que los ligeros.
Para justificarlo recurre a que la materia está constituida por cuatro elementos
básicos: tierra, aire, fuego y agua. Estos elementos sufren la acción de dos fuerzas: la gravedad o tendencia de la tierra y del agua a hundirse, y la ligereza o tendencia del aire y fuego a ascender. Una piedra, formada por tierra, tiende a
ocupar su estado natural, que es el suelo, más rápidamente que una pluma de un
ave formada, en parte, por aire.
El movimiento violento es consecuencia de la actuación de alguna fuerza. Un
carro se mueve por que tira de él una caballería, y un barco, porque el viento
empuja las velas.
Para Aristóteles no hay movimiento sin el concurso de una fuerza, siendo el
estado natural de los objetos el reposo, con la excepción de los objetos celestes
que describen una trayectoria circular sin principio ni fin. Según Aristóteles, en el
movimiento de los planetas no se precisaba del concurso de ninguna fuerza.
Estas ideas perduraron hasta el nacimiento de la ciencia moderna, cuando Galileo Galilei (1564-1642) se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la
existencia del vacío.
Comprendió que el movimiento siempre ocurre en un medio resistente como el
aire o el agua y por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Esta es la
razón por la que hay que aplicar continuamente una fuerza sobre un objeto para
mantenerlo en movimiento.
Después de considerar la posibilidad del movimiento en ausencia de aire, experimentó con planos inclinados con el fin de amortiguar la aceleración de caída.
a Galileo lanzando objetos desde lo alto
de la torre de Pisa.
Cuanto más inclinado está el plano más rápidamente cae el objeto, y el caso límite
es la caída vertical.
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Halló que las distancias recorridas durante intervalos de tiempo iguales estaban
en la proporción 1:3:5:7. Si el plano estaba más inclinado, las distancias eran
mayores pero las proporciones eran siempre las mismas. Concluyendo que la
misma ley debía regir en el caso límite, la vertical.
d
Durante la caída de un objeto la distancia total recorrida es proporcional al
cuadrado del tiempo transcurrido.
Galileo concluyó que todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en
a El
caso límite de un plano inclinado es la
vertical.
ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa,
forma o tamaño.
ACTIVIDADES RESUELTAS
La figura del margen representa una secuencia de fotografías, obtenidas
cada 0,2 s, de una pelota que se deja caer desde una ventana situada a una
altura de 5 m sobre el suelo. Comprueba que las posiciones de la pelota están
de acuerdo con la ley encontrada por Galileo. ¿Qué relación hay entre las sucesivas posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido?
1m
Se elige como origen del sistema de referencia el punto desde el que se deja caer la
pelota. De la secuencia fotográfica se obtiene la siguiente tabla de valores.
3m
t (s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
h (m)
0
0,2
0,8
1,8
3,2
5,0
0m
0,2 m
0,8 m
0
1,8 m
2m
3,2 m
4m
5m
5m
Los intervalos de tiempo son iguales. Si se elige como unidad de longitud la recorrida
por la pelota en el primer intervalo de tiempo, la distancia total recorrida en los sucesivos intervalos es:
a Sucesivas
5
posiciones
h (m)
Primer intervalo: 0,2 m – 0 m = 0,2 m = 1 unidad
4
Segundo intervalo: 0,8 m – 0,2 m = 0,6 m = 3 unidades
3
Tercer intervalo: 1,8 m – 0, 8 m = 1,0 m = 5 unidades
2
Cuarto intervalo: 3,2 m – 1,8 m = 1,4 m = 7 unidades
Quinto intervalo: 5,0 m – 3,2 m = 1,8 m = 9 unidades
1
De acuerdo con la ley encontrada por Galileo para la caída libre.
0
b) Para calcular la relación entre las posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido se
representa la posición frente al cuadrado del tiempo.
0,2
a Gráfica
0,4
0,6
0,8
t (s)
1
posición frente a tiempo.
h (m)
t2 (s2)
0
0,04
0,16
0,36
0,64
1,0
5
e (m)
0
0,2
0,8
1,8
3,2
5,0
4
La representación gráfica es una línea recta cuya pendiente es igual a 5 m/s2.
1
Como la pelota se deja caer desde el reposo se tiene que: ∆h = · g · t 2
2
De donde se obtiene el valor aproximado de la aceleración de la gravedad:
1
pendiente = 5 m/s2 = · g ⇒ g = 10 m/s2
2
Pendiente = ∆h2 =
∆(t )
= 5 m2 = 5 m2
3
1s
s
2
1
0
0,2 0,4 0,6 0,9
a Gráfica
1 t 2 (s2)
posición frente a t2.
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ACTIVIDADES FINALES
1. Expresa la velocidad de 20 m/s en km/h y la de 120 km/h en m/s.
Posición (km)
210
2. Para medir la distancia de la Tierra a la Luna se usa un rayo láser que, lanzado
desde la Tierra a la Luna, tarda en volver 2,56 s. ¿Cuál es la distancia Tierra-Luna?
180
150
3. La posición de un móvil, que describe una trayectoria en línea recta respecto a un
sistema de referencia queda determinada por la ecuación: x = 5 + 2 · t, en la que
todas las magnitudes se expresan en unidades del SI. Calcula la posición y velocidad iniciales. Determina su posición y la distancia recorrida al cabo de un minuto.
¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 200 m?
120
90
60
30
0
1
2
3
a Actividad
4
5
6
7
8 9 10
Tiempo (h)
4.
5. La posición de un móvil, respecto a un sistema de referencia, está representada en
la figura adjunta. Determina la posición inicial y la velocidad del vehículo. Si continúa con esa misma velocidad, ¿a qué hora estará en la posición 400 km? ¿Dónde
se encontrará cuando hayan transcurrido 5 h y 15 min?
e (km)
250
6. Un ciclista pasa por la pancarta que indica que faltan 10 km para llegar a la meta,
con una velocidad de 36 km/h. A un kilómetro de distancia se acerca otro con una
velocidad de 40 km/h. ¿Quién gana la etapa? En el caso de que la etapa la gane
el segundo ciclista, ¿a qué distancia de la meta alcanza al primero?
200
150
7. Dos móviles salen desde posiciones separadas por una distancia de 1 km, el uno
en persecución del otro, con velocidades de 10 km/h y 12 km/h. Calcula cuánto
tardan en encontrarse y la distancia recorrida por cada uno de ellos. Construye las
correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
100
50
0
1
a Actividad
2
3
4
t (h)
5.
8. Un pasajero que desea realizar un largo viaje llega a la estación con una hora de
retraso. En la parada de taxi toma uno y decide perseguir al tren por una carretera
paralela a la vía. Si el tren se mueve con velocidad constante de 60 km/h y el taxi
a 90 km/h, calcula el tiempo que tarda en alcanzar al tren y dónde se encuentran.
Construye la gráfica de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
9. Dos vehículos salen al encuentro, uno del otro, desde puntos separados entre sí
300 km, con velocidades de 60 km/h y 30 km/h. Si el que va más despacio arranca
2 h más tarde de la hora prevista, determina: cuándo se encuentran y a qué distancia del punto de partida del móvil que va más deprisa. Construye las correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo.
Velocidad (m/s)
14
10. La gráfica adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo.
Describe el movimiento del objeto, determina su aceleración en cada tramo y
representa sus valores en una gráfica.
12
10
8
11. Un automóvil transita con una velocidad de 54 km/h y acelera hasta los 72 km/h en
un tiempo de 10 s. Determina la aceleración del vehículo y la distancia recorrida.
6
4
2
0
4. La gráfica adjunta representa la posición de un móvil respecto a un sistema de referencia y a lo largo del tiempo. Calcula la velocidad del móvil en cada tramo de la gráfica y represéntala gráficamente. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo y,
si la trayectoria fuera una línea recta, determina el módulo del desplazamiento.
1
2 3
4
a Actividad
10.
5
6
7
8 9 10
Tiempo (s)
12. Un objeto que lleva una velocidad de 30 m/s, frena y se detiene después de recorrer 200 m. Determina la aceleración y el tiempo que tarda en pararse.
13. ¿Cuál es la aceleración de un móvil que toma una curva de 40 m de radio a
72 km/h?
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1 · El movimiento
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14. Un automóvil va a 108 km/h y se detiene al cabo de 20 s. Determina la aceleración
y la distancia recorrida hasta que se detiene. ¿Cómo se modifica el tiempo y la distancia recorrida, si el coche hubiera llevado una velocidad de 54 km/h?
15. Un motorista está parado en un semáforo que da acceso a una calle. En el instante
en el que el semáforo cambia a luz verde le sobrepasa un automóvil que va con
una velocidad constante de 36 km/h. El motorista se entretiene 1 s en arrancar y
lo hace con una aceleración constante de 4,8 m/s2. ¿Cuánto tarda la motocicleta
en alcanzar al coche? ¿Qué distancia han recorrido? Construye los diagramas de
la velocidad y de la posición frente al tiempo para los dos vehículos.
16. Una noche de niebla transita un camión por una carretera recta y estrecha con una
velocidad constante de 54 km/h y detrás del camión va un automóvil con una velocidad de 90 km/h. El conductor del coche no descubre al camión hasta que se
encuentra a 20 m de él. Si en ese instante pisa el freno imprimiendo una aceleración negativa de 4 m/s 2, determina si habrá colisión.
17. Deduce que, para un objeto que se deja caer desde una altura h, la velocidad en una
posición cualquiera se puede determinar mediante la ecuación: v = 2 · g ·
h.
18. Desde el pretil de un puente se deja caer, partiendo del reposo, una piedra que
tiene una masa de 30 g. Si tarda 1,4 s en golpear contra la superficie del agua,
determina la altura del puente y la velocidad con que golpea al agua.
19. Desde la terraza de un edificio se deja caer, partiendo del reposo, una pelota de
tenis que tiene una masa de 55 g. Si la pelota llega al suelo con una velocidad de
12 m/s, determina el tiempo que tarda en caer y la distancia desde la que se soltó.
a El paracaidista no acelera indefinidamente. Debido a la fricción con el aire se
alcanza una velocidad constante, llamada
velocidad límite, de 20 km/h. Si no se abre
el paracaídas la velocidad límite es de más
de 200 km/h.
20. Desde el suelo se lanza verticalmente un objeto con una velocidad inicial de
15 m/s. Determina la altura que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla. Calcula el tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad en ese instante.
21. Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba y tarda 6 segundos en volver a la
mano. ¿Hasta qué altura subió?
22. Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de
20 m/s. En el mismo instante se deja caer otra desde una altura de 40 m. Determina el punto de encuentro y calcula la velocidad de las pelotas en ese instante.
Utiliza como valor de g 10 m/s2.
23. La Luna tarda 27,3 días en recorrer su órbita de 380 000 km de radio. Determina
la velocidad lineal y angular de la Luna.
24. Un ciclista transita con una velocidad de 18 km/h sobre una bicicleta cuyas ruedas
tienen un radio de 42 cm. Calcula la frecuencia expresada en r.p.m., el período y
la velocidad angular de las ruedas. ¿Qué ángulo describen los radios de las ruedas
en un minuto? ¿Cuántas vueltas gira la rueda en ese tiempo?
25. Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm.
Si las ruedas grandes giran con una velocidad angular de 6 rad/s, determina: la
velocidad del tractor, la velocidad angular de las ruedas pequeñas y el período y
frecuencia de los dos tipos de ruedas.
26. Los radios de una rueda de bicicleta miden 45 cm y recorren un ángulo de 270°
en 0,25 s. Determina su velocidad angular, el período, la frecuencia y la velocidad
del ciclista.
Los puntos del exterior de las ruedas
tienen la misma velocidad lineal.
a
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Física y Química
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Y
CIENCIA Y SOCIEDAD
El cinturón de seguridad
El cinturón de seguridad es un mecanismo de seguridad
probabilidad que tiene el conductor y otros pasajeros
que se incluye de serie en la fabricación de los vehículos.
de sufrir severos traumatismos por el golpe ocasiona-
El cinturón de seguridad es el elemento que mayor seguri-
do por otra persona sentada atrás sin cinturón de se-
dad pasiva aporta a los usuarios en caso de accidente.
guridad.
Los ocupantes de un vehículo llevan la misma velocidad que
él. En un choque o colisión, el vehículo se detiene inesperada y bruscamente debido a la violencia del impacto. Los ocu-
El cinturón es útil en cualquier tipo de trayecto, corto o
largo, urbano o por carretera y tanto en las plazas delanteras como en las traseras de un automóvil.
pantes continúan con su estado de movimiento sin que ac-
En el caso de los niños de menos de 36 kg o de altura in-
túe ninguna fuerza para detenerlos hasta que se estrellan
ferior a 1,5 metros, el cinturón de seguridad no es efec-
contra el volante, el parabrisas o el panel de instrumentos.
tivo, por lo que deben utilizar elementos de retención
Un golpe de este tipo a 50 km/h es equivalente a caer des-
homologados y adecuados a su masa y estatura.
de el segundo piso de un edificio. La principal función del
Así que hay que recordar que el cinturón es un seguro
cinturón de seguridad es mantener a los pasajeros en su
de vida y no hay que olvidar de abrochárselo siempre.
asiento y evitar que salgan despedidos fuera del vehículo o
El dispositivo del airbag no es un sustituto del cinturón
que se desplacen dentro del habitáculo en caso de colisión.
de seguridad, sino un complemento, ya que ambos ele-
En ensayos de laboratorio simulando choques fronta-
mentos están diseñados para trabajar juntos y si el air-
les, y usando maniquíes, se ha demostrado la altísima
bag se activa sin el cinturón puede ser incluso perjudicial.
INVESTIGA
1. En la enciclopedia Wikipedia puedes encontrar información sobre los distintos tipos de cinturones de seguridad y sobre
su historia: http://es.wikipedia.org
2. Si quieres profundizar sobre el uso del cinturón de seguridad y las diversas campañas sobre su uso o sobre otros aspectos o normas de la circulación, puedes encontrar información en la página de la Dirección General de Tráfico:
http://www.dgt.es/enterate/home.htm
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1 · El movimiento
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EN RESUMEN
Movimiento
elementos
Sistema de
referencia
determina
Posición
Módulo
Trayectoria
Vector
desplazamiento
Distancia
recorrida
Rectilínea
Curvilínea
Vector velocidad
Rapidez
Aceleración
normal igual
a cero
Aceleración
normal
distinta
de cero
Sentido
Dirección
variación
variación
Aceleración
tangencial
Aceleración
normal
AMPLÍA CON…
• JAVIER AMANTE (1987): La base de la Física. Editorial:
Penthalon.
• Mª CONSUELO ESCOTET SUÁREZ (1999): Experimentos de Física.
Investigación científica en secundaria. Editorial: Narcea, SA
de ediciones.
• JOSÉ M. VAQUERO (2003): La nueva Física: Galileo. Colección
científicos para la historia. Nívola Libros y Ediciones.
• JUAN IGNACIO MENGUAL (2006): Física al alcance de todos.
Editorial Pearson.
• JAMES DE KAKALIOS (2006): La Física de los superhéroes.
Editorial: Ediciones Robinbook.
• La página http://www.walter-fendt.de/ph14s/ presenta
simulaciones interactivas de movimientos y sus representaciones gráficas.
• En la página http://newton.cnice.mecd.es/ del proyecto
Newton de Física se abordan los diferentes elementos del
movimiento y los movimientos rectilíneos y circular.
• El Universo mecánico. Lección 2. La ley de la caída de los
cuerpos. Ed. Arait. Multimedia.
• Cinemática 1. Ed. Didascalia. 29 minutos.
• El movimiento. Ancora Audiovisual SA. 22 min.