práctica 2. va continuas - Departamento de Métodos Cuantitativos e

AMPLIACIÓN DE ESTADÍSTICA
Departamento de Métodos Cuantitativos e Informáticos
Práctica 2
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
1. Objetivos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aprender a calcular probabilidades de las distribuciones Normal y Chi-cuadrado.
Estudio de la función de densidad de la distribución Normal ~ N(µ;σ)
Cálculo de la función de distribución de la distribución Normal ~ N(µ;σ)
Estudio de la función de densidad de la distribución Chi-cuadrado.
Cálculo de la función de distribución de la distribución Chi-cuadrado.
Resolución de problemas con ambos tipos de distribuciones.
2. Introducción a variables aleatorias continuas:
El la práctica anterior se hizo una introducción a las variables aleatorias. Esquemáticamente:
Sea X una v.a. definida sobre el espacio probabilístico ( S, P) y sea F su función de
distribución. La v.a. X podrá ser de tipo discreto o de tipo continuo.
VARIABLE ALEATORIA X
V.A. CONTINUA
V.A. DISCRETA
FUNCION DE DENSIDAD f(x)
ESPERANZA Y VARIANZA
UNIFORME
NORMAL
CHI-CUADRADO
T DE STUDENT Y F SNEDECOR
i.
ii.
X será una v.a. discreta cuando sólo puede tomar un número finito o infinito, pero
numerable, de valores. Estas v.a. fueron objeto de estudio en esta práctica1.
X será una v.a. continua cuando puede tomar todos los valores posibles de un
intervalo, finito o infinito. A este tipo de variables va dedicada esta práctica.
DEFINICIÓN :
Diremos que una variable aleatoria X : Ω → ℜ es de tipo continuo si existe una función
real positiva f : ℜ → ℜ , que llamaremos función de densidad, tal que :
x
F ( x) =
∫ f (t )dt
−∞
PROPIEDADES:
i.
f ( x) ≥ 0
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+∞
∫ f ( x)dx = 1
ii.
−∞
b
P (a ≤ X ≤ b ) = ∫ f (t )dt
iii.
a
iv.
Si f(x) es continua en a, entonces F’(a) = f(a)
Las dos primeras propiedades caracterizan a las funciones de densidad ya que si una función
cualquiera las verifica, puede construirse una v.a. de tipo continuo para la que será su función
de densidad. Estas propiedades únicamente indican que una función de densidad es una
función real positiva que encierra bajo ella área 1.
En la propiedad tercera pueden intercambiarse los menores o iguales por menores estrictos y
la propiedad se sigue cumpliendo. La propiedad cuarte proporciona una forma de calcular la
función de densidad a partir de una función de distribución continua en toda la recta real y
derivable en casi todos los puntos.
3. Características de una variable aleatoria continua
3.1. Esperanza Matemática o valor esperado
Se representa por E(X) y se calcula, en el caso continuo, mediante la fórmula:
E(X ) =
+∞
∫ x ⋅ f ( x)dx
−∞
Gráficamente, la esperanza de una variable aleatoria continua coincide con el centro de
gravedad del área encerrada entre la función de densidad y el eje OX.
3.2. Varianza
Se representa por Var(X)=σ2 y se calcula, en el caso continuo, mediante la fórmula:
( )
Var ( X ) = E X 2 − E ( X )
2
+∞
( ) ∫x
donde E X 2 =
2
⋅ f ( x)dx .
−∞
La desviación típica σ se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.
4. Modelos de variables aleatorias continuas
4.1.
Distribución Uniforme : X~U(a;b)
Esta distribución, también llamada rectangular por el aspecto de su función de densidad,
fue utilizada por primera vez por Bayes en 1763 y por Laplace en 1812. Según la
definición de esta variable, cualquier elección de números reales al azar en un intervalo
de longitud finita, es una v.a. uniforme.
CARACTERÍSTICAS:
i.
Parámetros : a, b, con a < b
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ii.
Función de densidad : f ( x) =
iii.
Media : E(X) =
iv.
Varianza : Var (X)=
a+b
2
1
si a ≤ x ≤ b
b−a
(b − a )2
12
Si una v.a. tiene función de distribución F(x), la variable Y=F(x) es U(0;1). Esta propiedad
es fundamental en la generación de números aleatorios y técnicas de simulación.
4.2.
Distribución Normal: X~N(µ;σ)
“Si los griegos la hubiesen conocido, la habrían adorado como a un dios”. Galton (1822-1911)
Esta distribución, en su versión más simple N(0;1), fue introducida por primera vez por De
Moivre en 1733 como aproximación de la distribución binomial. Posteriormente, Laplace y
Gauss la hallaron empíricamente estudiando la distribución de los errores de medición, y
tras sus trabajos se convirtió en la distribución más utilizada.
CARACTERÍSTICAS:
i.
Parámetros : − ∞ < µ < ∞ ; 0 < σ < ∞
ii.
Función de densidad: f ( x) =
iii.
iv.
Media : E(X) = µ
Varianza : Var (X)= σ2
1
σ 2π
− ( x − µ )2
e
2σ 2
si − ∞ < x < ∞
4.3. Distribuciones relacionadas con la Normal
Son distribuciones que surgen teóricamente como resultado del proceso de inferencia
estadística.
4.3.1. Distribución CHI-CUADRADO ( ℵ 2 ) de Pearson
Esta distribución surge cuando se desea conocer la distribución de la suma de los cuadrados
de variables independientes e igualmente distribuidas con distribución Normal.
DEFINICIÓN :
Sean X 1 , X 2 ,........., X n , n variables aleatorias independientes N(0;1). Entonces la variable
n
aleatoria X 12 + X 22 + .......... + X n2 = ∑ X i2 sigue una distribución ℵ 2 (chi-cuadrado) con n
i =1
grados de libertad.
CARACTERÍSTICAS:
i.
ii.
iii.
Función de densidad: mediante tablas.
Media : E(X) = n
Varianza : Var (X)= 2n
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4.3.2. Distribución t de STUDENT
El origen de esta distribución se encuentra en la estimación de esperanzas de
distribuciones normales cuando su desviación típica es desconocida. Gosset (1876-1937),
quien publicó bajo el seudónimo de Student, la propuso y tabuló en 1908.
DEFINICIÓN :
Sean X y X 1 , X 2 ,........., X n , variables aleatorias independientes N(0;1). Entonces la variable
X
sigue una distribución t de Student con n grados de
aleatoria t =
X 12 + X 22 + .......... + X n2
n
libertad.
CARACTERÍSTICAS:
i.
ii.
iii.
Función de densidad: mediante tablas.
Media : E(X) = 0 si n>1
n
Varianza : Var (X)=
si n >2
n−2
4.3.3. Distribución F de SNEDECOR
DEFINICIÓN :
Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución ℵ 2 de n y m grados de
X
libertad, respectivamente . Entonces la variable aleatoria Fn , m = n sigue una distribución F
Y
m
de Snedecor con n grados de libertad en el numerador y m grados de libertad en el
denominador.
5. Variables aleatorias continuas usando EXCEL:
5.1. Distribución Normal = DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)
Devuelve la distribución normal para la media y desviación estándar especificadas. Esta
función tiene un gran número de aplicaciones en estadística, incluidas las pruebas de
hipótesis.
¾ Sintaxis
DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)
X es el valor cuya distribución desea obtener.
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Media es la media de la distribución.
Desv_estándar es la desviación típica de la distribución.
Acum es un valor lógico que determina la forma de la función.
¾ Si el argumento acum = FALSO devuelve el valor de la función de densidad.
¾
Si el argumento acum =VERDADERO devuelve el valor de la función de
distribución.
¾ Ejemplo
Datos
Descripción
A2 =42
Valor cuya distribución desea obtener
A3 = 40
Media de la distribución
A4 = 1,5
Desviación típica de la distribución
Fórmula
Descripción (Resultado)
=DISTR.NORM(A2;A3;A4;VERDADERO)
Función de distribución :
F(42)= 0,908789 para N(40;1,5)
=DISTR.NORM(A2;A3;A4;FALSO)
Función de densidad:
5.2. Inversa de la Función de distribución Normal
=DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estándar)
Devuelve el inverso de la distribución acumulativa normal para la media y desviación
estándar especificadas.
¾ Sintaxis
DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estándar)
Probabilidad es una probabilidad correspondiente a la distribución normal.
Media es la media de la distribución.
Desv_estándar es la desviación típica de la distribución.
•
Si media = 0 y desv_estándar = 1, DISTR.NORM.INV utiliza la función de
distribución normal estándar (vea DISTR.NORM.ESTAND.INV).
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¾ Ejemplo
Datos
Descripción
A2 = 0,908789
Probabilidad correspondiente a la distribución normal
A3 = 40
Media de la distribución
A4 =1,5
Desviación típica de la distribución
Fórmula
Descripción (Resultado)
=DISTR.NORM.INV(A2;A3;A4)
Inversa de la Función de distribución normal:
K= 42 cumple que P( X ≤ K ) = 0.908789
5.3. Tipificación = NORMALIZACION(x;media;desv_estándar)
Devuelve un valor tipificado de una distribución Normal de media =µ y desviación
típica=σ2.
¾ Sintaxis
NORMALIZACION(x;media;desv_estándar)
X es el valor que se desea tipificar.
Media es la media de la distribución.
Desv_estándar es la desviación típica de la distribución.
¾ Ejemplo
Datos
Descripción
A2 = 42
Valor que se desea tipificar
A3 = 40
Media de la distribución
A4= 1,5
Desviación típica de la distribución
Fórmula
Descripción (Resultado)
=NORMALIZACION(A2;A3;A4)
Valor TIPIFICADO de 42 = 1,333333
5.4. Distribución CHI-CUADRADO = DISTR.CHI(x;grados_de_libertad)
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Devuelve la probabilidad de una v.a. que sigue una distribución chi cuadrado.
Concretamente DISTR.CHI nos calcula P(X>x) = 1- F(x), donde X es una variable
aleatoria chi-cuadrado con n grados de libertad .
¾ Sintaxis
=DISTR.CHI(x;grados_de_libertad)
x es el valor al que se desea evaluar de la distribución.
Grados_de_libertad es el número de grados de libertad.
¾ Ejemplo
Datos
Descripción
A2= 18,307
Valor que se desea evaluar la distribución
A3= 10
Grados de libertad
Fórmula
Descripción (Resultado)
=DISTR.CHI(A2;A3)
Nos calcula el área a la derecha del punto:
5.5. Inversa de la función de distribución de una Chi-cuadrado
= PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados_de_libertad)
Devuelve, para una probabilidad dada, el valor de la variable aleatoria siguiendo una
distribución chi cuadrado. Si el argumento probabilidad = DISTR.CHI(x;...), entonces
PRUEBA.CHI.INV(probabilidad,...) = x.
¾ Sintaxis
PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados_de_libertad)
Probabilidad es una probabilidad asociada a la distribución chi cuadrado.
Grados_de_libertad es el número de grados de libertad.
¾ Ejemplo
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Datos
Descripción
0,05
P(X>k) = 0,05
10
Grados de libertad
Fórmula
Descripción (Resultado)
=PRUEBA.CHI.INV(A2;A3)
Nos devuelve el valor k=18,30703
cumpliendo P(x>k) = 0,05
6. Caso práctico
6.1. Cálculo de probabilidades en una v.a. Normal :
6.1.1. Crea una hoja de cálculo (HOJA1) que calcule, para una v.a. Normal de media µ y
desviación típica σ, los siguientes valores:
a. La función de densidad f(x) .
b. La función de distribución F(x) = P(X ≤ x).
c. P( X>k) = 1 - P( X < k)
d. P(a < X < b) = P(X<b) – P( x <a)
e. el valor de k, sabiendo que P(X<k) = p (conocido).
Utilizando la HOJA1 calcula las siguientes probabilidades:
a. En una N(5;1), f (5) = _____ ; F(6)=______; P(X>4,32):_____
b. En una N(0;1), P(X < 0,2)=________; P(-0,6< X < 0,6) =______
c. En una N(-1;2,7) , P (−1,2 ≤ X ≤ 0,5) = _______; P(X > -2)= ______
d. En una N(5;0,8) , el valor de k cumpliendo P(x < k)=0,45
6.1.2.Crea otra hoja de cálculo (HOJA2) que contenga los valores de la función de
densidad y de distribución en el intervalo [ µ -3 σ , µ +3 σ ] de la distribución normal de
media µ y desviación típica σ .
Utilizando los datos de la HOJA2 haz la representación gráfica de ambas funciones.
6.2. Resolución de problemas usando la Normal:
Crea una hoja de cálculo (HOJA3) mediante la cual puedas resolver el siguiente
problema:
La altura de los jóvenes de determinada población sigue una distribución normal de media
1.76 y desviación típica 0,13. Calcular el porcentaje de población que tendrá una altura
mayor que 2 metros, cuántos entre 1,70 y 1,80 y cuántos con altura menor que 1,60. Si de
1000 individuos medidos sólo 921 están entre 1,50 y 2,00 metros, ¿qué podemos pensar?
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6.3. Cálculo de probabilidades en una v.a. Chi-cuadrado :
6.3.1. Crea una hoja de cálculo (HOJA4) que calcule, para una v.a chi-cuadrado con n
grados de libertad, los siguientes valores:
a) P( X>k) = 1 - P( X < k)
b) La función de distribución F(x) = P(X ≤ x).
c) P(a < X < b) = P(X<b) – P( x <a)
d) el valor de k, sabiendo que P(X>k) = p (conocido).
Utilizando la HOJA4 calcula las siguientes probabilidades:
a) En un ℵ 212 , P(X<14,8) = _____ ; P(X > 10)
b) En una ℵ 210, P(|X-8| < 5)=________; P(0,6< X < 6) =______
c) En una ℵ 220 , el percentil 92 , P(X<K ) = 0,92
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