Clases caracter sticas 1. Introducción - Revistas Electrónicas

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 67–99.
Clases caracter sticas*
Marı́a de los Ángeles Torres Garcı́a **
Resumen
En general, en topologı́a sucede que se coloca un espacio vectorial en cada
punto de una variedad, de tal modo que no se tiene un único espacio vectorial,
sino todo un haz de espacios vectoriales. Un ejemplo de dichos haces vectoriales
es el haz tangente de una variedad, donde un campo vectorial corresponde a
una sección de dicho haz. Ası́, de manera análoga a la caracterı́stica de EulerPoincaré, es posible definir invariantes, las cuales son obstrucciones para poder
construir secciones linealmente independientes en un haz vectorial ζ. Pero en
este caso, a diferencia de la caracterı́stica de Euler-Poincaré, dichas obstrucciones no son números, sino clases de cohomologı́a llamadas clases caracterı́sticas
de ζ.
Palabras clave: clases caracterı́sticas, geometrı́a diferencial.
1.
Introducción
Dentro de la topolog a es importante poder clasi car objetos (matematicos), para lo cual son utilizadas invariantes, tales como: la caracter stica de
Euler-Poincare, que mediante el Teorema de Poincare-Hopf nos da la obstrucción para encontrar un campo vectorial no nulo sobre una variedad M . Pero
antes de entrar de lleno a las invariantes, concideremos primeramente en los
objetos que nos mueven a su estudio de los. Dichos objetos los llamaremos
variedades.
Digamos entonces que una variedad en terminos simples, es un espacio que
localmente es visto como n siendo n , el espacio euclidiano de dimension n;
entonces, un punto x 2 n es una n-ada x = (x1 , ..., xn ) de numeros reales.
R
R
R
* Dirección del proyecto de titulación: Dr. José Luis Cisneros Molina (UNAM), C. a Dr.
Luis Loeza Chin (UACJ).
** Licenciada
en Matemáticas egresada del Departamento de Fı́sica y Matemáticas IITUACJ. Noviembre de 2010, [email protected]
68
M. Torres
Si tenemos una variedad N de dimension n, entonces esta es llamada una
n-variedad; as , una variedad de dimension 2 es llamada una 2-variedad o mas
comunmente super cie. Importantes aplicaciones de las variedades se relacionan con calculo, pero para poder extender las ideas del calculo a variedades,
tomaremos un caso particular de estas, es decir, las super cies.
R
Def inición 1.1. Sea S un subespacio topologico de l , le llamaremos superficie si cada punto en S tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto
abierto de 2 .
R
Ejemplo 1.2. Algunos ejemplos muy comunes de super cies son:
Figura 1: La esfera S 2
Figura 2: El toro T
Un resultado matematico importante es el Teorema de Clasi cacion de
Super cies Cerradas, el cual a rma:
Teorema 1.3 ([18, Thm. 5.1]). Toda superficie cerrada es homeomorfa a algún
miembro de las siguientes tres familias de superficies:
Clases caracteŕı
sticas
69
Figura 3: La botella de Klein K
Figura 4: Esfera
a) La esfera.
b) La suma conexa de g copias del toro T , con g ≥ 1.
Figura 5: Suma conexa de toros
c) La suma conexa de k copias del plano proyectivo P , con k ≥ 1.
Dicho de otra manera, todas las superficies se pueden construir con las
anteriores, aunque sabemos por el teorema anterior que toda superficie cerrada es homeomorfa a una esfera, una suma de toros, o una suma de planos
proyectivos, no sabemos que todos ´estos son topol´ogicamente diferentes. Es
concebible que existan enteros positivos m y n, n = m, tal que la suma de
m toros es homeomorfa a la suma de n toros. Para demostrar que esto no
70
M. Torres
Figura 6: Suma conexa de planos proyectivos
puede suceder, introducimos una invariante numerica llamada caracterı́stica
de Euler.
Un resultado muy importante en topolog a, es que las super cies se pueden triangular, ver [9]. As que de namos la caracter stica de Euler para una
super cie triangulable.
Def inición 1.4. Sea S una super cie compacta con una triangulacion
fT1 , . . . , Tn g. Sea:
v = al numero total de vertices de S,
e = al numero total de aristas de S,
c = al numero total de caras (en este caso c = n);
entonces,
χ(S) = v e + c
es llamada caracterı́stica de Euler de S.
En la gura 7 se muestran algunas triangulaciones de la esfera, el toro
y el plano proyectivo. Realizando algunos calculos, se puede ver que la caracter stica de Euler de la esfera, el toro y el plano proyectivo es: 2, 0 y 1,
respectivamente.
En particular, la caracter stica de Euler esta bien de nida, pues no depende de la triangulacion [18]. Y asumiendo la invariancia topologica de la
caracter stica de Euler y el Teorema de Clasi cacion de Super cies, se tiene el
siguiente resultado:
Teorema 1.5. Sean S1 y S2 superficies compactas. Entonces S1 y S2 son homeomorfas si y sólo si su caracterı́stica de Euler es igual y si
ambas son orientables o no orientables.
Este teorema nos reduce el problema de clasi cacion de super cies cerradas, pues solo se tiene que determinar si una super cie es orientada o no y su
Clases caracter sticas
71
Figura 7: Triangulaciones de S 2 , T , P 2
caracter stica de Euler. Tambien nos dice que la caracter stica, Euler es una
invariante completa para super cies cerradas; es decir, dos super cies cerradas (ambas orientables o no orientables) son homeomorfas si y solo si tienen la
misma caracter stica. Para variedades de dimension mayor que 2, existen variedades que no son homeomorfas con la misma caracter stica de Euler-Poincare.
Por lo tanto, una forma de saber a que elemento de la lista es homeomorfa la super cie de la gura 8, es encontrar una triangulacion y calcular su
caracter stica de Euler-Poincare.
2.
Variedades diferenciables
Def inición 2.1. Una variedad topológica n-dimensional con frontera M , es
un espacio topologico de Hausdor , segundo numerable, tal que para cada
x 2 M existe un subconjunto abierto U M homeomorfo a un subconjunto
abierto de H n = f(x1 , . . . , xn ) 2 n j xn 0g.
R
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M. Torres
Figura 8: Un hoyo dentro de otro hoyo, que atraviesa otro hoyo
Si φ : U ! φ(U ) H n es uno de los homeomor smos, cuando U es un
abierto conexo, φ recibe el nombre de homeomorfismo coordenado, U abierto
coordenado y a la pareja (U, φ), se le conoce como carta. Y llamamos parametrización a la inversa φ−1 de un homeomor smo coordenado.
Def inición 2.2. Aun conjunto de cartas A = f(Uα , φα ) : α 2 Ag, se le denomina atlas si se cumple [α∈A Uα = M.
Def inición 2.3. Una estructura diferenciable sobre una variedad topologica
M de dimension n, es un atlas A = f(uα , φα ) : α 2 Ag, tal que:
1) Para toda α, β 2 A A, tal que Uα \ Uβ 6= ;, la aplicacion:
φβ φ−1
α : φα (Uα \ Uβ ) ! φβ (Uα \ Uβ )
es diferenciable.
2) La coleccion A es maximal, es decir, si una carta (U, φ) es tal que φ φ−1
α
y φα φ−1 son diferenciables para todo α 2 A, entonces (U, φ) 2 A.
Def inición 2.4. Una variedad diferenciable de dimension n con frontera, es
una pareja (M, A) formada por una variedad topologica M de dimension n y
una estructura diferenciable A sobre M .
Decimos que x 2 M esta en la frontera de M , si existe un homeomor smo
coordenado φ : U ! φ(U ) H n , tal que φ(x) = a y a = (a1 , a2 , , an−1 , 0).
Denotamos como ∂M al conjunto de puntos en la frontera de M .
Clases caracter sticas
73
Figura 9: Una parametrizacion de M
Decimos que una variedad diferenciable M no tiene frontera, si las imagenes de todos los homeomor smos coordenados del atlas de su estructura diferenciable estan contenidas en Int(H n ) = f(x1 , . . . , xn ) 2 n j xn > 0g. Denotamos que una variedad diferenciable M es cerrada, si es compacta y no tiene
frontera.
R
R
Ejemplo 2.5. Mn ( ) es una variedad diferenciable de dimension n2 .
Ejemplo 2.6. La esfera de dimension 2:
S 2 = f(x1 , x2 , x3 ) 2
R3jx21 + x22 + x23 = 1g.
R
R
Sea U = p
f(x1 , x2 ) 2 2 jx21 + x22 < 1g y la funcion f : U ! , tal que
f (x1 , x2 ) =
1 (x21 + x22 ). Tomemos la familia (Ui , Fi )6i=1 , tal que para
i=1,...,6, Ui = U y Fi : Ui ! S 2 , donde:
F1 (x1 , x2 ) = (f (x1 , x2 ), x1 , x2 )
F2 (x1 , x2 ) = ( f (x1 , x2 ), x1 , x2 )
F3 (x1 , x2 ) = (x1 , f (x1 , x2 ), x2 )
F4 (x1 , x2 ) = (x1 , f (x1 , x2 ), x2 )
F5 (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , f (x1 , x2 ))
F6 (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , f (x1 , x2 ))
(1)
74
M. Torres
con inversas Fi−1 = πi jFi (Ui ) , donde πi :
R3 ! R2 para i = 1, ..., 6;

 (x2 , x3 ) si i = 1, 2
(x1 , x3 ) si i = 3, 4
πi (x1 , x2 , x3 ) =

(x1 , x2 ) si i = 5, 6.
Claramente Fi y Fi−1 son diferenciables para i = 1, ..., 6 y as la familia
f(Ui , Fi )g6i=1 satisface las condiciones de nuestra de nicion de variedad diferenciable; por lo tanto, S 2 es una variedad diferenciable como se muestra en
la gura 1.19.
Figura 10: Parametrizaciones de S 2
Ejemplo 2.7. Consideremos el conjunto D2 , dado por:
D2 = f(x, y) 2
R2 : x2 + y2 1g,
R
el disco en 2 . Veamos que D2 es una variedad de dimension 2 con frontera
∂D2 = S1 .
Sea (x0 , y0 ) 2 D2 . Si x20 + y02 < 1, entonces podemos tomar:
U = V = f(x, y) 2
R2 x2 + (y
y f : U ! V , la aplicacion dada por:
f (x, y) = (x, y
1)
1)2 < 1g,
Clases caracter sticas
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es un homeomor smo coordenado alrededor de (x0 , y0 ). Notemos que (x0 , y0 ) =
f (x0 , y0 + 1). Supongamos ahora que x20 + y02 = 1. Sin perdida de generalidad
suponemos que y0 > 0. Sea U = f(x, y) 2 2 x2 + y 2 < 1g, V = 2 , y
f : U ! V , la aplicacion:
p
f (x, y) = (x, 1 x2 y).
p
Como x2 + y 2 < 1 en U, jyj < 1 x2 , por lo que f (x, y) 2 V para todo
(x, y) 2 U . Ademas, f es continuamente diferenciable en U. Ahora bien, si
(x, y) 2 U \ H2 , entonces y 0, por lo que:
p
p
0 <= 1 x2 y 1 x2 ,
R
R
y entonces f (x, y) 2 V \ D2 . Ahora bien, si (x, y) 2 V \ D2 , entonces:
p
(x, y) = f (x, 1 x2 y),
por lo que entonces f (U \ H2 ) = V \ D2 . Su inversa esta dada por s misma,
as que es continua (de hecho, C 1 ). Finalmente, veri camos que (x0 , y0 ) 2 ∂D2 .
Solo es su ciente con veri car que (x0 , y0 ) = f (x0 , 0), porque x20 + y02 = 1 y
y0 > 0.
Figura 11: La frontera del disco D2 es igual a S1
R
Este ejemplo se puede generalizar a la bola Bn en n . Observamos que como ∂D2 = S1 , entonces ∂D2 es una variedad de dimension 1,
mientras que D2 es una variedad de dimension 2.
Estos ejemplos nos muestran que veri car directamente de la de nicion
si un subconjunto dado de 3 es una variedad diferenciable, puede resultar
bastante laborioso. La propiedad principal de una variedad diferenciable M
es que sobre cada punto p 2 M , se tiene un espacio tangente, denotado por
Tp M , el cual es un espacio vectorial.
R
76
M. Torres
Def inicion 2.8. Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on m en k y
p, un punto M.Un vector v de k es tangente a M en p, si v se puede expresar
como el vector velocidad en p de alguna curva diferenciable en M que pase
por p.
Def inicion 2.9. El conjunto de todos los vectores tangentes a M en p, es
llamado espacio tangente a M en p y se denota por Tp M .
Ejemplo 2.10. Las figuras 12 y 13 muestran respectivamente una recta tangente a un ćı
rculo y un plano tangente a una esfera.
Figura 12: Recta tangente al ćı
rculo
Figura 13: Plano tangente a la esfera
3.
Teorema de Poincare-Hopf
El teorema que da nombre a esta secci´on, es uno de los resultados m´as
trascendentales en este ensayo, ya que ´este nos servir´a como motivaci´on para
Clases caracter sticas
77
de nir y manejar clases caracter sticas. Desarrollemos entonces las herramientas necesarias para enunciarlo.
Def inición 3.1. Un campo vectorial diferenciable sobre una variedad diferenciable M k , es una aplicacion diferenciable v : M ! k , tal que
v(p) 2 Tp M para cada p 2 M .
R
R
En la gura 14 se ilustra un campo vectorial.
Figura 14: Campo vectorial sobre una super cie
Decimos que una singularidad a del campo vectorial v, es un punto a 2 M ,
en el cual el campo vectorial es cero o no esta de nido. De igual forma, diremos
que esta es aislada si es una singularidad a, tal que existe una vecindad U de
a, tal que a es la unica singularidad en U .
Ejemplo 3.2. Sea M = S 1 . El campo vectorial ilustrado en la gura 15 no
tiene singularidades.
Figura 15: Campo vectorial en el circulo
Ejemplo 3.3. Sea M = S 2 . El campo vectorial ilustrado en la gura 16 tiene
singularidades en los polos.
78
M. Torres
Figura 16: Campo vectorial sobre la esfera
Del ejemplo anterior tenemos un campo vectorial en la esfera que tiene
singularidades, pero de este ejemplo no podemos asegurar que no exista otro
campo que no las tenga, por lo cual nos planteamos la siguiente
Pregunta: Dada una variedad diferenciable cerrada M, >Es posible construir un campo vectorial v en M sin singularidades?
Si pensamos a los vectores del campo como cabellos, entonces contestar la
pregunta para M = S 2 equivale a preguntar si la esfera se puede \peinar".
De aqu el famoso teorema de peinar la esfera. Para responder esta pregunta
veamos lo siguiente:
Usando el concepto de grado de una aplicacion, asignaremos a cada singularidad a de un campo vectorial v, un numero entero I(v, a) llamado ı́ndice
de v en a.
Sea M una variedad cerrada de dimension m, sea v un campo vectorial con
singularidades aisladas a 2 M, sea B(a, ) una bola con centro en a y radio ,
tal que a sea la unica singularidad en la bola. Por lo tanto, B(a, ) esta bien
de nida y sin singularidades en la esfera S(a) = ∂B(a, ).
De nimos la aplicacion de Gauss:
γ : S(a) = S m−1 ! S m−1
γ(x) =
v(x)
,
k v(x) k
donde a cada punto x 2 S(a), le asociamos el vector tangente normalizado
dado por el campo v. De nimos el ı́ndice de v en a como el grado de esta
aplicacion γ:
I(v, a) = δγ.
Clases caracter sticas
79
En la gura 17, se presentan varios ejemplos de singularidades de campos
vectoriales sobre super cies con diferentes ndices.
Figura 17: Singularidades de campos en super cies
A continuacion, veremos el siguiente resultado clasico. Este teorema fue
probado por Poincare en 1885 en el caso de dimension 2 y el teorema general fue
demostrado por Hopf en 1926 basado en resultados de Brouwer y Hadamard.
Teorema 3.4 (Teorema de Poincare-Hopf). Sea M una variedad compacta y
v un campo vectorial diferenciable sobre M con singularidades aisladas. Si M
tiene frontera, entonces se requiere que v apunte hacia afuera en los puntos
frontera. Entonces, la suma de los ı́ndices en las singularidades de un campo
vectorial es igual al número de Euler:
X
χ(M ) =
I(v, ak ).
k
La idea
P de la demostracion es la siguiente: primero es necesario ver que
I(v) = k I(v, ak ) es independiente del campo vectorial que se use; de he-
80
M. Torres
cho, es igual al grado de una aplicacion que no depende
del campo vectorial.
P
Despues necesitamos identi car a la invariante
i con la caracter stica de
Euler χ(M ). Es su ciente
P construir un ejemplo de un campo vectorial no degenerado sobre M con
i = χ(M ). La forma mas agradable de hacer esto es
usando Teor a de Morse [11]; de acuerdo a Marston Morse siempre es posible
encontrar una aplicacion real sobre M , cuyo gradiente es un campo vectorial
no degenerado. Mas aun, Morse demostro que la suma de ndices asociada a
tal campo gradiente es igual a la caracter stica de Euler.
Una manera gra ca de ver esto es con el campo vectorial de Hopf mostrado
en la gura 4.5, donde cada vertice de la triangulacion es un cero, a donde
apunta el campo vectorial (pozo) y por lo tanto tiene ndice 1; cada baricentro
de la triangulacion es un cero, de donde sale el campo vectorial (fuente) y por
ello, tiene ndice 1; y los puntos medios de las aristas son ceros, que son puntos
silla y tienen ndice -1. Por lo tanto, al sumar los ndices de todos los ceros,
cada vertice cuenta una vez cada arista menos una vez y cada cara una vez,
lo que nos da la caracter stica de Euler-Poincare.
Figura 18: El campo de Hopf
Ejemplo 3.5. Sobre la esfera S m existe un campo vectorial v, que apunta
hacia el norte en todo punto. En el polo sur, los vectores apuntan hacia afuera
y por lo tanto, el ndice es +1. En el polo norte, los vectores convergen hacia
Clases caracter sticas
81
el polo; por lo tanto, el ndice es ( 1)m (pues nos da la aplicacion ant poda
P
en la esfera S m−1 , la cual tiene grado ( 1)m ). Por lo tanto, la invariante
i
es igual a cero o 2, dependiendo de si m es impar o par. Esto da una prueba
de que todo campo vectorial en la esfera de dimension par, tiene un cero.
P
Para toda variedad con frontera de dimension impar, la invariante
i es
cero, porque si el campo vectorial es sustituido por v, entonces el ndice se
multiplica por ( 1)m y la igualdad:
X
X
i = ( 1)m
i
P
para m impar, implica que
i = 0.
3.1.
Haz tangente
Dada una aplicacion diferenciable entre dos variedades f : M ! N, tenemos la diferencial dfp : Tp M ! Tq N en una transformacion lineal, que depende
del punto p en M , as que al cambiar el punto, obtenemos, mediante la diferencial de f , otra transformacion lineal entre los espacios tangentes correspondientes. Esto motiva a de nir una transformacion del conjunto de todos los
vectores tangentes a M en el conjunto de todos los vectores tangentes a N . Para tal n, de namos para una variedad diferenciable M k , el subconjunto
de M k :
T M = f(p, u) 2 M k jp 2 M, u 2 Tp M g
R
R
R
y al cual llamaremos haz tangente. De manera que el elemento (p, u) puede ser
interpretado como el vector tangente a M en p. Se puede veri car que TM es
una variedad diferenciable en 2k , pues T M M k k k = 2k .
De namos la proyeccion:
R
R
R R
R
π: TM ! M
π(p, u) = p;
es decir,
π −1 (P ) = Tp M,
la imagen inversa de un punto p 2 M bajo π, es el espacio vectorial Tx M.
Entonces, retomando las variedades M k , N l y f , una aplicacion
diferenciable entre ellas, podemos de nir:
R
df : T M ! T N
R
82
M. Torres
df (p, u) 7! (f (p), dfp (u))
y tenemos la conmutatividad del siguiente diagrama:
TM
πM
M
df
f
/ TN
(2)
πN
/N
Ejemplo 3.6. En la gura 4.7 se muestra el haz tangente para M = S 1 .
Resulta ser un cilindro. En este caso, para construir el haz tangente, se puede
pensar que cada recta tangente fue rotada 90◦ hasta quedar perpendicular
al plano del c rculo; de esta manera, todas las rectas tangentes forman el
cilindro, el cual es una variedad diferenciable de dimension 2. La proyeccion
π es la proyeccion sobre el c rculo y de esta manera, la imagen inversa de un
punto es precisamente su recta tangente.
Figura 19: Haz tangente de S 1
Def inición 3.7. Una sección es una aplicacion (diferenciable o continua)
s : M ! T M , tal que π s = IdM ; es decir, una seccion asigna a cada punto
p de M , un vector s(p) en su espacio tangente Tp M . Por lo tanto, un campo
vectorial es una sección del haz tangente.
Clases caracter sticas
83
Def inición 3.8. La sección cero del haz tangente es la que a cada p 2 M ,
le asigna el vector cero en Tp M ; es decir, corresponde al campo vectorial
constante igual a cero.
Encontrar un campo vectorial no nulo en M , equivale a encontrar una
seccion del haz tangente que no intersecte a la seccion cero. Esto se ejempli ca
en la gura 4.8.
Figura 20: Secciones
Por lo tanto, la caracter stica de Euler-Poincare es una obstrucción para
tener secciones no nulas:
Corolario 3.9. Si χ(M ) 6= 0, entonces el haz tangente T M de M no admite
secciones no nulas.
4.
Clases caracterı́sticas
En general, en topolog a sucede a menudo que se coloca un espacio vectorial
en cada punto de una variedad o de un espacio topologico, respectivamente,
de tal modo que no se tiene un unico espacio vectorial, sino todo un haz
84
M. Torres
de espacios vectoriales. El haz tangente a una variedad es un caso particular
de una clase de objetos matematicos llamados haces vectoriales, los cuales
introduciremos a continuacion.
De manera analoga a la caracter stica de Euler-Poincare, es posible de nir
invariantes, las cuales son obstrucciones para poder construir r secciones linealmente independientes en un haz vectorial ζ de rango n r. Pero en este
caso, a diferencia de la caracter stica de Euler-Poincare, dichas obstrucciones
no son numeros, sino clases de cohomolog a llamadas clases caracterı́sticas de
ζ.
Las construcciones clasicas de las clases caracter sticas, se pueden encontrar en [13]. Dichas construcciones son de caracter algebraico, por lo cual en
el nal del presente cap tulo se mostrara una construccion geometrica basada
en el concepto de transversalidad dada en [2].
4.1.
Haces vectoriales
Def inición 4.1. Un haz vectorial ζ de rango n es una aplicacion sobreyectiva
continua, π : E ! M , tal que para toda p 2 M, la bra sobre p dada por
π −1 E es un espacio vectorial de dimension n; es decir, π −1 (p) es isomorfo
a n . Ademas, π satisface el axioma de trivialidad local: para cada p 2 M
existe una vecindad U de p y un difeomor smo:
R
φu : U Rn ! π−1(U ),
tal que π φU (p, v) = p. La variedad E es llamada espacio total; M el espacio
base; n , bra; y la aplicacion π, proyeccion. Dado que p 2 M , denotamos
por ζp a la bra.
R
Def inición 4.2. Un par (f, U ) como el axioma de trivialidad local, se llama
carta del haz vectorial. Un haz vectorial sobre X, se llama trivial si posee una
carta del haz vectorial (f, X).
Ejemplo 4.3. La banda de M•obius es tambien un haz vectorial, si tomamos
a E como la banda de M•obius sin frontera, M = S 1 y π, la proyeccion sobre
S 1 . La imagen inversa de cualquier punto p 2 S 1 , sera un intervalo abierto, el
cual es isomorfo a la recta real .
R
Clases caracter sticas
85
Figura 21: Banda de M•obius
R
Ejemplo 4.4. Denotemos por F a o C. Sea FPn el F-espacio proyectivo de
dimension n, que consiste en las F-l neas en Fn+1 que pasan por el origen; es
decir, en los F-subespacios lineales de dimension 1.
Existe un haz vectorial γ n de rango 1 sobre FPn llamado haz tautológico
sobre FPn . Su espacio total esta dado por:
E(γ n ) = f(`, v) 2 FPn Fn+1 jv 2 `g
y la proyeccion esta de nida como:
E(γ n )
π
/ FPn
(`, v) 7! `.
Es llamado haz tautologico porque dado ` 2 FP n , es decir, ` corresponde a
una l nea en Fn+1 , tenemos que π −1 (`), la bra sobre ` es precisamente `.
En el caso F = y n = 1, tenemos que P 1 es isomorfo al c rculo unitario
S 1 y el haz dado por la proyeccion de la banda de M•obius sobre S 1 mostrado
en la gura, anterior es precisamente el haz tautologico.
R
R
Los haces vectoriales sobre un espacio jo X forman de modo natural los
objetos de una categor a. Los \mor smos" correspondientes son los homomorsmos de haces vectoriales, que de niremos a continuacion.
86
M. Torres
Def inición 4.5. Sean E y E 0 haces vectoriales sobre X. Una aplicacion continua f : E ! E 0 , se llama homomorfismo de haces si el diagrama:
E@
f
@@
@@π
@@
@
X
/ E0
}
}
}}
}} π0
}
~}
es conmutativo y cada fx : Ex ! Ex0 es lineal.
Def inición 4.6. Por seccion de un haz vectorial π : E ! M , se entiende una
aplicacion continua s : M ! E, tal que π s = IdM . Es decir, una seccion
asigna a cada punto x de M, un vector s(p) en su bra π −1 (p).
La seccion cero (o seccion nula) es la que a cada punto p 2 M , le asigna el
vector cero en π −1 (p).
Observación. Si π : E ! M es una seccion, π : E ! π(E) es un homeomor smo. Debido a esto se puede en particular \concebir"sin ningun inconveniente, la imagen de la seccion nula como base, ya que existe entre ambas un
homeomor smo canonico mediante la seccion nula.
Hasta ahora solo hemos considerado haces vectoriales \topologicos". Debemos de introducir el concepto de haz vectorial diferenciable. Para ello necesitamos el concepto previo de atlas.
Def inición 4.7. Sea π : E ! M un haz vectorial n-dimensional. Un conjunto
f(fα , Uα )jα 2 Ag de cartas de haz vectorial, se llama atlas de haz vectorial de
E si [α∈A Uα = M.
Las aplicaciones continuas dadas mediante los solapamientos de cartas de
haces, se llaman funciones de paso del atlas.
Def inición 4.8. Un atlas vectorial de un haz vectorial sobre una variedad diferenciable, se llama diferenciable si todas las funciones de paso son
diferenciables.
4.2.
Morfismos de haces vectoriales
Def inición 4.9. Sean ζ = fπζ : E(ζ) ! M g y ξ = fπξ : E(ξ) ! N g dos
F haces vectoriales. Un morfismo de haces vectoriales h : ζ ! ξ, consiste en
Clases caracter sticas
87
aplicaciones diferenciables f~: E(ζ) ! E(ξ) y f : M ! N , que hacen conmutar
el siguiente diagrama:
E(ζ)
f˜
/ E(ξ)
πζ
M
πξ
f
/N
es decir, para todo p 2 M, f~ manda a ζp en ξf (p) y ademas la restriccion de f~
a las bras f~p : ζp ! ξf (p) , es una transformacion lineal.
Ejemplo 4.10. Dada una aplicacion diferenciable f : M ! N, su diferencial
df : T M ! T N es un mor smo de haces vectoriales (ver diagrama 4.1).
Def inición 4.11. Sean ζ y ξ dos haces vectoriales con la misma base M.
Un mor smo de haces h : ζ ! ξ, dado por las aplicaciones h : E(ζ) ! E(ξ)
y la identidad IdM : M ! M , es un isomorfismo si la aplicacion h es un
difeomor smo y para toda p 2 M , la restriccion hp : ζp ! ξp es un isomor smo
lineal.
Dados dos haces vectoriales ζ y ξ de rangos k y n, respectivamente, podemos construir un nuevo haz vectorial:
$ : HomF (ζ, ξ) ! M
llamado haz de morfismos. Dado que p 2 M , la bra de HomF (ζ, π) sobre p es
el espacio vectorial de dimension kn de todas las transformaciones lineales de
la bra ζp a la bra ξp ; por lo tanto, las bras de HomF se pueden identi car
con el espacio vectorial M (n, k) de matrices n k.
Un mor smo de haces vectoriales suave h : ζ ! ξ, es equivalente a una
seccion suave sh de HomF (ζ, ξ), la cual esta dada por:
sh (p) = hp
[14, p. 14], donde hp es el elemento en la bra de HomF (ζ, ξ) sobre p, que
corresponde a la restriccion hp : ζp ! ξp :
ζ?
?
h
??
?
πζ ???
M
/ξ



 πx i



HomF (ζ, ξ)
B
sh
$
M
88
4.3.
M. Torres
Subhaz y haz inducido
Def inición 4.12. Si π : E ! M es un haz vectorial n-dimensional y si E 0 E
es un subconjunto, de forma que en torno a cada punto de M existe una carta
(f, U ) con:
f (π −1 (U ) \ E 0 ) = U k U n ,
R
R
entonces π : E 0 ! M es de forma canonica un haz vectorial sobre X y se
denomina subhaz k-dimensional de E; es decir, si F es una subvariedad de E,
tal que cada punto p 2 M, la bra Ep0 es un subespacio vectorial de la bra
Ep .
Def inición 4.13. Si E es un haz vectorial y X0 2 X, entonces:
(π −1 (X0 ), πjπ−1 (X0 ) , X0 )
es un haz vectorial sobre X0 , que se denota por EX0 y se denomina restricción
de E sobre X0 .
Ejemplo 4.14. Sea N una subvariedad de M. Entonces, el haz tangente T N
de N es una subvariedad del haz tangente T M de M.
Se pueden \inducir"nuevos haces vectoriales a partir de uno dado. La situacion es como sigue: dado un haz vectorial n-dimensional E sobre N y un
aplicacion continua f : M ! N :
E
M
f
π
/N
se construye el haz inducido (pull-back) f ∗ E sobre M , colocando en cada
x 2 M la bra Ef (M ) . Este proceso puede describirse as :
Def inición 4.15. Sean M y N variedades diferenciables y sea f : M ! N
una aplicacion diferenciable. Consideremos un haz vectorial ξ de rango n sobre
N , dado por π : E ! N. De nimos el conjunto
f ∗ E = f(p, v) 2 M Ejf (p) = π(v)g
Clases caracter sticas
89
y la proyeccion π
~ : f ∗ E ! M por π
~ (p, v) = p. De esta manera, obtenemos un
∗
haz vectorial f ξ tambien de rango n sobre M llamado haz inducido por f,
pues f ∗ E resulta ser una subvariedad diferenciable de M E; la proyeccion es
diferenciable y dado que p 2 M, tenemos que la bra de f ∗ ξ sobre p esta dada
por:
π −1 (p) = f(p, v) 2 M Ejv 2 π −1 (f (p))g,
la cual es isomorfa a la bra de ξ sobre f (p).
Dado lo anterior, tenemos que la aplicacion natural:
f ∗E
f˜
/E
(p, v) 7! v
es un mor smo de haces, tal que hace conmutar el siguiente diagrama:
f ∗E
π̃
M
f˜
f
/ E0
π
/N
Ejemplo 4.16. Sea M una variedad diferenciable de dimension m. Tenemos
el haz tangente de M , denotado por T M :
T M = f(x, v) 2 M Rmjv 2 TxM g.
Una vez que hemos visto el haz tangente T M de una variedad diferenciable
M , tambien podemos de nir el haz normal de M como sigue:
Def inición 4.17. Sea M una variedad diferenciable de dimension m. De nimos el haz normal de M , denotado por N M , como:
N M = f(x, v) 2 M Rmjv 2 NxM g,
donde Nx M es el complemento ortogonal de Tx M en
Rm.
90
M. Torres
Def inición 4.18. Si f : M ! N es una aplicacion diferenciable, mediante la
diferencial:
Tp f : Tp M ! Tf (p) N
se de ne una aplicación diferenciable:
T f : T M ! T N,
tal que T f (x, v) = (f (x), Tp f (v)).
La diferencial es una aplicacion lineal entre haces vectoriales, por lo cual
existe un solo homeomor smo de haces, T M ! f ∗ T N , tal que el siguiente
diagrama:
T MH
Tf
HH
HH
HH
HH
$
/ TN
v;
v
v
vv
vv
v
v
f ∗T N
sea conmutativo [5].
4.4.
Suma de Whitney
Las operaciones algebraicas que se efectuan en algebra lineal con espacios
vectoriales y transformaciones lineales, se pueden llevar a cabo tambien en
haces vectoriales y homomor smos de haces, procediendo en cada punto de la
base con las bras precisamente como se ha aprendido en algebra lineal. As se
construye, por ejemplo, las suma directa E F (\suma de Whitney") de dos
haces vectoriales E y F sobre M.
Def inición 4.19. Dados dos haces vectoriales ζ y ξ con la misma base M y
con rangos k y n, respectivamente, su suma de Whitney denotada como ζ ξ
es un haz vectorial que tiene por espacio total la union [x∈M ζx ξx (como
subespacio topologico del producto ζx ξx ) y una proyeccion a la aplicacion
de nida por p(a, b) = x; para (a, b) 2 ζx ξx en cada bra (ζ ξ)x , estamos
tomando la estructura lineal de la suma directa; es decir, (ζ ξ)x = ζx ξx .
Teorema 4.20. La suma de Whitney de haces vectoriales es nuevamente un
haz vectorial. Para haces vectoriales ζ, ζ 0 , ξ, ξ 0 y λ, se tienen las siguientes
relaciones:
Clases caracter sticas
91
1. Si ζ ' ζ 0 y ξ ' ξ 0 , entonces ζ ξ ' ζ 0 ξ 0 .
2. ζ ξ ' ξ ζ.
3. (ζ ξ) λ ' ζ (ξ λ).
4. ζ Id ' ζ
Para la demostracion, ver [13, p. 9].
4.5.
Secciones linealmente independientes
En la seccion anterior nos preguntabamos si era posible encontrar una
seccion no nula del haz tangente T M de una variedad M. Podemos generalizar
nuestra pregunta a haces vectoriales en general.
Pregunta: Sea r 2 , tal que 1 r n, >nos es posible construir r
secciones de ζ, que sean linealmente independientes en todo punto x 2 M . Al
decir linealmente independientes nos referimos a lo siguiente:
N
Def inición 4.21. Las secciones s1 , . . . , sk 2 sζ , se dice que son linealmente
independientes en M si para cada x 2 M , los vectores s1 (x), . . . , s2 2 ζx son
linealmente independientes. Si de hecho s1 (x), . . . , sk (x) forman una base de ζx
para cada x
2
M, entonces las secciones s1 , . . . , s2 se
llaman una base de ζ en M .
Ejemplo 4.22. En el haz vectorial del ejemplo ?? dado por la banda de
M•obius, no es posible construir una seccion continua que no tenga ceros. Esto
se ilustra en la gura 5.2, recordando que la banda de M•obius se obtiene de
un rectangulo al identi car dos de sus lados opuestos dandoles orientaciones
contrarias.
Como ya hemos mencionado es posible de nir invariantes, las cuales son
obstrucciones para poder construir r secciones linealmente independientes en
un haz vectorial ξ de rango n r, los cuales son clases de cohomolog a llamadas
clases caracterı́sticas de ξ. As que primero iniciemos con algunas convenciones
de notacion, para poder tratar los casos real y complejo al mismo tiempo:
Para haces vectoriales reales de nimos:
b = 1 K1 =
Z2
F=
R.
92
M. Torres
Figura 22: Seccion en la banda de M•obius
Para haces vectoriales complejos de nimos:
b = 2 K2 =
Z
F = C.
Enunciemos nuevamente nuestro problema:
Sea ξ un haz vectorial de rango n, dado por π : E ! M , y sea r 2 , tal
que 1 r n. >Es posible construir r secciones de ξ que sean linealmente
independientes en todo punto p 2 M. La respuesta para r = n esta dada por
la siguiente:
N
Proposición 4.23. El haz vectorial ξ admite n secciones linealmente independientes si y sólo si ξ es trivial.
R
Demostración. ( ightarrow). Sean si : M ! E, i = 1, . . . , n, las n secciones
linealmente independientes de ξ. Sea v 2 E, tal que π(v) = p 2 M. Entonces,
podemos escribir de manera unica a v como combinacion lineal:
v = α1 s1 (p) + . . . + αn sn (p).
Sea fe1 , . . . , en g una base para Fn , entonces la aplicacion:
E
h/
M Fn
h(v) = (p, α1 e1 + . . . + αn en )
de ne un isomor smo entre π y el haz producto, y por lo tanto, trivial.
(() Sea fe1 , . . . , en g una base para Fn y sea h : M Fn ! E un isomor smo
entre el haz producto y ξ. De nimos las n secciones si : M ! E, i = 1, . . . , n
de ξ por:
si (p) = h(p, ei ),
Clases caracter sticas
93
las cuales son claramente linealmente independientes en todo punto, por ser h
un isomor smo de haces vectoriales.
De esta proposicion tenemos que la existencia de n i + 1 secciones linealmente independientes de ξ, es equivalente a la existencia de un mor smo de
haces h : n−i+1 ! ξ del haz producto n−i+1 a ξ, tal que h es inyectivo en
cada bra. Pues as tendr amos un subhaz trivial de rango n i + 1 de ξ.
Por lo tanto, la obstrucción a la existencia de n i + 1 secciones linealmente independientes, esta representada por el subconjunto de puntos Z(h)
de M , donde h no es inyectiva. En general, este conjunto no es una variedad,
pero si h es \generico", es una variedad.
4.6.
Morfismos de haces genéricos
Sean ζ y ξ dos F haces vectoriales sobre una variedad diferenciable M.
Consideremos el haz de morfismos:
$ : HomF (ζ, ξ) ! M.
Existe un morfismo de haces tautológico τ sobre el espacio total de HomF (ζ, ξ).
Es un mor smo de $∗ ζ a $∗ ξ, cuya restriccion a la bra sobre v 2 HomF (ζ, ξ)
es v misma, considerada como una transformacion lineal de ζπ(v) = ($∗ ζ)v a
ξ$(v) = ($∗ ξ)v ..
Un mor smo de haces h : ζ ! ξ induce una particion de la variedad M ,
dada por subconjuntos “singulares”:
Zj (h) = fp 2 M j dimF ker hx = jg.
Cuando h es el mor smo de haces tautologico, sus conjuntos singulares resultan
ser variedades.
Proposición 4.24 (Thom, Boardman[4, 26, 2]). Sean ζ y ξ haces vectoriales
sobre una variedad M de rangos k y n, respectivamente. Sea τ : $∗ ζ ! $∗ ξ el
morfismo de haces tautológico sobre el haz de morfismos HomF (ζ, ξ). Entonces
Zj (τ ) es una subvariedad de HomF (ζ, ξ) con:
codimR Zj (τ ) = bj (n
k + j).
94
M. Torres
Claramente Zl (τ ), l j pertenece a la adherencia de Zj (τ ), entonces:
[
Zj (τ ) =
Zl (τ ).
l≥j
Def inición 4.25. Un mor smo de haces h : ζ ! ξ, se dice que es genérico si
la seccion correspondiente sh de HomF (ζ, ξ) es transversal a todas las subvariedades Zj (τ ).
Los mor smos de haces genericos forman un subconjunto abierto denso
del espacio de todos los mor smos de haces vectoriales con la topolog a C ∞
de Whitney.
Proposición 4.26. Sean ζ y ξ haces vectoriales sobre una variedad M de
rangos k y n, respectivamente. Si h : ζ ! ξ es un morfismo de haces genéricos
sobre M, entonces Zj (h) es una subvariedad de M de codimensión real bj(n
k + j).
Demostración. Sea sh la seccion de HomF (ζ, ξ) correspondiente a h. Tenemos
que Zj (h) = sh (Zj (τ )) y como sh es transversal a Zj (τ ), Zj (h) es una subvariedad de M de codimension real bj (n k + j).
Notese que tambien se tiene que:
Zj (h) =
[
jZl (h).
l
Por lo tanto, el conjunto de puntos en M donde h no es inyectivo esta dado
por Z1 (h).
Sea ξ un F-haz vectorial suave de rango n sobre una variedad diferenciable
cerrada M de dimension m. Supongamos tambien que la variedad M es Kb orientada.
Sea h : k ! ξ un mor smo de haces del haz producto k de rango k a ξ.
De nimos:
~
Z(h)
= f(p, L) 2 M FP k−1 j(p, L) ker hp g
~
Z~ ◦ (h) = f(p, L) 2 Z(h)j(p,
L) = ker hp g.
~
Tenemos que Z~ ◦ (h) es un subconjunto abierto denso de Z(h.)
Clases caracter sticas
95
Sea τ el mor smo de haces tautologico sobre HomF (k , ζ). Tenemos que
~ ) = f(f, L) 2 HomF (k , ξ) FP k−1 j(π(f ), L) ker f$(f ) g.
Z(τ
~ ) ! HomF (k , ξ) la proyección
Proposición 4.27 (Ronga[25, 2]). Sea φ^ : Z(τ
sobre el primer factor. Entonces:
^ Z(τ
~ )) = Z~1 (τ ).
1. φ(
~ ) es una subvariedad de HomF (k , ξ) FP k−1 de codimensión real
2. Z(τ
bn.
Proposición 4.28. Sea h : k ! ξ un morfismo de haces genéricos. Entonces,
~
Z(h)
es una subvariedad compacta de M FP k−1 de dimensión m+b(k n 1).
Demostración.
HomF (k , ξ) FP k−1
φ̂
B
sh
π sh
$×Id
M FP k−1
/ Hom (k , ξ)
F \
π
/M
~
~
~h es transversal a
Notese que Z(h)
= s~−1
h (Z(τ )). Es su ciente ver que s
~
Z(τ ), ver [2].
~
Proposición 4.29. La variedad Z(h)
es Kb -orientada. Por lo tanto, tiene
~
~
una clase fundamental [Z(h)] 2 Hm+b(k−n−1) (Z(h);
Kb ).
~
Proposición 4.30. Sea φ : Z(h)
! M la proyección sobre el primer factor.
Entonces, φ es propia y manda Z~ ◦ (h) difeomorfamente sobre Z1 (h).
4.7.
Clases caracterı́sticas
La Teor a de clases caracter sticas se inicio con las obras de Hassler Whitney y Eduard Stiefel en 1935, Lev Pontrjagin en 1942, y Shiing-Shen Chern
en 1946. Dado un haz vectorial de rango n sobre un espacio M , el problema
es determinar el numero de secciones linealmente independientes.
Despues de haber dado las herramientas basicas con anterioridad, ahora
ya podemos dar la de nicion de las clases caracter sticas de un F-haz vectorial
ξ.
96
M. Torres
Def inición 4.31. Sea ξ un F-haz vectorial suave de rango n sobre una variedad diferenciable cerrada Kb -orientada M de dimension m. Sea h : n−i+1 ! ξ
un mor smo de haces genericos. De nimos la i-esima clase caracterı́stica de ξ
por:
~
Cli (ξ) = φ!([Z(h)])
2 H bi (M ; kb ),
~
~
donde [Z(h)]
es la clase fundamental de Z(h),
y φ! es la composicion del
isomor smo de dualidad de Poincare, con el isomor smo inducido en homo~
log a por la proyeccion sobre el primer factor φ : Z(h)
!M :
φ∗
/ Hm−bi (M ; Kb )
O
RRR
RRR
RRR
φ!
D
RRR
R(
~
Hm−bi (Z(h);
Kb )
H bi (M ; Kb )
La clase de cohomolog a Cli (ξ) es la obstrucción para tener n
secciones de ξ linealmente independientes en todo punto. Es decir:
i+1
Proposición 4.32. Si Cli (ξ) 6= 0, entonces el haz vectorial ξ no admite n
i + 1 secciones linealmente independientes.
Si ξ es un haz real son llamadas clases de Stiefel-Whitney y generalmente
son denotadas por: ωi (ξ) 2 H i (M ; 2 ). Si ξ es un haz complejo son llamadas
clases de Chern y generalmente son denotadas por: ci (ξ) 2 H 2i (M ; ).
Las clases caracter sticas satisfacen los siguientes axiomas dados por Hirzebruch, los cuales las caracterizan. Para la demostracion, consultar [2].
Z
Z
Axioma A1. Para cada haz vectorial ξ de rango n, corresponde una sucesion
de clases de cohomolog a:
Cl1 (ξ) 2 H bi (B; Kb ),
i = 0, 1, 2 . . . ,
tales que Cl0 (ξ) = 1 y Cli (ξ) = 0, si i > n.
Axioma A2. Si f : B 0 ! B es una aplicacion continua, entonces:
Cli (f ∗ (ξ)) = f ∗ (Cli (ξ)).
Clases caracter sticas
97
Axioma A3. Sea k el haz producto de rango k. Entonces:
Cli (ξ k ) = Cli (ξ).
Axioma A4. Sea ξ n = γn1 γn1 . Entonces:
Cln (ξ n ) = ( 1)n gn 2 H bn (FP n ; Kb ).
Las clases caracter sticas son un medio para medir que tan lejos un haz
di ere del trivial; son una razon importante en la Teor a de dualidad entre
homolog a y cohomolog a, al igual que en la Teor a de invariantes. Las clases
caracter sticas son tambien un concepto importante que uni ca la topolog a,
la topolog a algebraica, la geometr a diferencial, el calculo, el algebra lineal y
la Teor a de grupos.
Existen otros metodos para de nir las clases caracter sticas, distintos al
aqu presentado: el uso de las operaciones de cohomolog a, el calculo de la
cohomolog a de los espacios clasi cantes, o calcular la cohomolog a del haz
proyectivo asociado a ξ. Todos estos metodos son de naturaleza algebraica.
Hay otro metodo para haces suaves conocido como Teor a de Chern-Weil.
Como vemos existen otras formas de trabajar con clases caracter sticas
distintas a la presentada en este trabajo, las cuales no pueden ser mostradas
por la naturaleza; del mismo, tales metodos se encuentran en [8, 1, 21]. Para
un estudio mas a fondo, se recomienda ver el art culo [2].
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Mar a de los Angeles Torres Garcia ([email protected])
Instituto de Matematicas, UNAM. Unidad Cuernavaca,
Av. Universidad s/n. Lomas de Chamilpa
CP. 62210. Cuernavaca, Mor.