TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS S´ıntesis de observadores para

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingenierı́a Electrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Sı́ntesis de observadores para sistemas lineales de
parámetros variables (LPV). Estudio orientado hacia
la detección y localización de fallas en procesos de
tratamiento de aguas residuales.
presentada por:
Miriam Paloma Reyes Yépez
Ing. Fı́sica por el Instituto de Fı́sica de la Universidad de Guanajuato
como requisito para la obtención del grado de:
Maestrı́a en Ciencias en Ingenierı́a Electrónica
Director de tesis:
Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza
Codirector de tesis:
Dr. Manuel Adam Medina
Jurado:
Dr. Vı́ctor Manuel Alvarado Martı́nez - Presidente
M.C. Guadalupe Madrigal Espinosa - Secretario
Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza - Vocal
Dr. Manuel Adam Medina - Vocal suplente
Cuernavaca, Morelos, México
27 de febrero de 2012
Índice general
1. Introducción
1.1. Estado del arte . . . . . . .
1.2. Planteamiento del problema
1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . .
1.4. Objetivo general . . . . . .
1.5. Objetivos especı́ficos . . . .
1.6. Metodologı́a . . . . . . . . .
1.7. Alcances y limitaciones . . .
1.8. Motivación y justificación .
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2. Marco teórico
2.1. Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Representación de de los sistemas LPV . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Obtención del modelo LPV politópico a partir del modelo no
2.2. Observadores para sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Observador LPV politópico tipo Luenberger . . . . . . . . .
2.2.2. Observador con estructura general . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Observador LPV politópico con entradas desconocidas . . .
2.3. Esquema FDI basado en observadores . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Índices de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Caso de estudio
3.1. Reactores anaerobios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Generalidades de los reactores anaerobios . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Modelado matemático de la digestión anaerobia . . . . . . . .
3.1.3. Fases de la digestión anaerobia . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Variables de la digestión anaerobia . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Clasificación de los reactores anaerobios . . . . . . . . . . . .
3.2. Reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e Investigación
Instituto Tecnológico de Orizaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Modelo LPV politópico del caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Observador tipo Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Observador con estructura general . . . . . . . . . . . . . . . .
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42
43
Índice general
ii
3.4.3. Observador con entradas desconocidas (UIO) . . . . . . . . . . . . . 46
4. Esquema de detección y localización de fallas
49
4.1. Esquema FDI para el reactor UASB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Esquema FDI aplicado al caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Simulaciones y resultados
5.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . .
5.1.1. Modelo matemático del sistema caso de
5.2. Validación del modelo LPV politópico . . . . .
5.3. Validación de observadores . . . . . . . . . . .
5.4. Evaluación de residuos . . . . . . . . . . . . .
5.5. Conclusiones generales de las simulaciones . .
. . . . .
estudio
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54
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6. Conclusiones y trabajos futuros
85
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A. Interfaz del
A.1. Pestaña
A.2. Pestaña
A.3. Pestaña
A.4. Pestaña
esquema FDI
sistema . . . . . . . . . . .
condiciones iniciales . . .
residuos . . . . . . . . . .
monitoreo . . . . . . . . .
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B. Señales empleadas para simular la variación los parámetros
B.1. Señales para simular la variación de los parámetros variables .
B.1.1. Señal tipo escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2. Señal tipo rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3. Señal suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Funciones de ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
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99
Índice de figuras
2.1. Representación esquemática de la formulación LFT. . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Representación del politópo de un sistema en el que se consideran dos
parámetros variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1. Diagrama esquemático de un reactor continuamente agitado (CSTR). . .
3.2. Diagrama esquemático de un reactor continuamente agitado con recirculación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Representación pictórica del reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . .
3.4. Diagrama esquemático del reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e Investigación del Instituto Tecnológico de Orizaba. . . . . . . .
3.5. Politopo formado por la combinación de los valores extremos de los pará
metros D(t) e IpH (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
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. 40
4.1. Representación esquemática de un banco de observadores GOS, considerando 3 observadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV
politópico, utilizando las señales tipo escalón para simular la variación de
los parámetros D(t) e IpH (t). b) Error entre las variables de estado del
modelo no lineal y las variables de la representación LPV. c) Porcentaje de
error de las variables de la representación LPV con respecto a las variables
del modelo no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV
politópico, utilizando las señales rampa1 para simular la variación de los
parámetros D(t) e IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo
no lineal y las variables de la representación LPV. c) Porcentaje de error
de las variables de la representación LPV con respecto a las varaibles del
modelo no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV
politópico, utilizando las señales rampa2 para simular la variación de los
parámetros D(t) e IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo
no lineal y las variables de la representación LPV. c) Porcentaje de error
de las variables de la representación LPV con respecto a las variables del
modelo no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iii
Índice de figuras
5.4. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV
politópico, utilizando las señales suaves para simular la variación de los
parámetros D(t) e IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo
no lineal y las variables de la representación LPV. c) Porcentaje de error
de las variables de la representación LPV con respecto a las variables del
modelo no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger
y el observador con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger
y el observador con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger
y el observador con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal rampa1 para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . .
5.9. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal rampa1 para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . .
5.10. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal rampa2 para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . .
5.11. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal rampa2 para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . .
5.12. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal suave para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . . .
5.13. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al
emplear la señal suave para variar los parámetros D(t) e IpH (t). . . . . .
5.14. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador
con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador
con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador
con estructura general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.17. Residuos sensibles ante falla en el sensor de x1 . . . . . . . . . . . . . . .
5.18. Residuos sensibles ante falla en el sensor de s1 . . . . . . . . . . . . . . .
5.19. Residuos sensibles ante falla en el sensor de Qch4 . . . . . . . . . . . . . .
A.1. Pestaña sistema de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del
reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Pestaña condiciones iniciales de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Pestaña residuos de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del
reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Pestaña monitoreo de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI
del reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
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. 66
. 66
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. 70
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. 73
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76
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81
82
. 94
. 95
. 95
. 96
Índice de figuras
v
B.1. Señales escalón y rampa1 empleadas para simular la variación de los pará
metros D(t) e IpH (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B.2. Señales rampa2 y suave empleadas para simular la variación de los pará
metros D(t) e IpH (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.3. Funciones de ponderación obtenidas al utilizar señales tipo escalón, rampa1,
rampa2 y la señal suave para generar las variaciones en los parámetros D(t)
e IpH (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Índice de tablas
3.1. Clasificación de microorganismos de acuerdo a la temperatura de operación
en el proceso de digestión anaerobia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Rango de operación óptimo de pH para el crecimiento de los microorganismos anaerobios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Caracterı́sticas del reactor UASB del Tecnológico de Orizaba . . . . . . .
3.4. Parámetros constantes del reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . . . .
. 30
. 31
. 38
. 39
4.1. Firmas de las fallas en los sensores del reactor anerobio UASB. . . . . . . . 52
5.1. Condiciones iniciales para el reactor anaerobio UASB . . . . . . . . . . .
5.2. Índices de desempeño IAE obtenidos al utilizar las señales escalón, rampa1,
rampa2 y señal suave para simular la variación de los parámetros D(t) e
IpH (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Condiciones iniciales para el reactor anaerobio UASB . . . . . . . . . . .
5.4. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal tipo escalón.
5.5. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal rampa1. . .
5.6. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal suave. . . .
5.7. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal rampa2. . .
5.8. Condiciones iniciales para las variables del modelo no lineal y la representación LPV politópica del reactor anaerobio UASB. . . . . . . . . . .
5.9. Máximo error de estimación para los sensores libres de fallas. . . . . . . .
5.10. Firmas de las fallas en los sensores del reactor anerobio UASB. . . . . . .
vi
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Agradecimientos
A Dios por todo lo que me ha dado y todo lo que me ha quitado.
A mi madre y hermanos por su apoyo incondicional.
A Juan Antonio, por su apoyo y compañı́a.
A mi gran amigo Andrés, por su incondicional apoyo y asesorı́a.
A mi asesor, el Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza por su apoyo y comprensión a lo
largo del periodo de la tesis.
A mi codirector de tesis, el Dr. Manuel Adam Medina por sus aportaciones en el presente
trabajo.
A mis revisores, el M. en C. Guadalupe Madrigal Espinosa y el Dr. Vı́ctor Manuel Alvarado Martı́nez por sus valiosos comentarios que contribuyeron a enriquecer el presente
trabajo de tesis.
A todos los profesores de control, por haberme transmitido parte de sus conocimientos y
compartir sus experiencias conmigo. En especial al Dr. Carlos Daniel Garcı́a Beltrán por
el apoyo ofrecido a lo largo de la maestrı́a.
A mis compañeros de generación, por haber compartido buenos y malos momentos.
A mis amigas Eunice, Ofelia y Marlem, por los buenos y malos momentos que me permitieron compartir con ustedes.
A Mael, Jarquin y Albino, por la disposición y apoyo que mostraron para aclarar dudas
sobre el reactor.
A todo el personal del departamento de servicios escolares, en especial a la Lic. Guadalupe
Martı́nez Garrido y a Anita.
Al CENIDET, por haberme permitido realizar mis estudios de posgrado.
Al CONACYT, por el apoyo económico que me brindó.
A la DGEST por apoyarme en concluir la presente tesis.
A todas las personas que han contribuido a mi crecimiento personal y profesional.
vii
Resumen
En este trabajo se presenta el diseño de un esquema para detección y localización
de fallas (FDI1 ) basado en observadores. Para sistemas lineales de parámetros variables
(LPV2 ). Para realizarlo, se obtiene la representación LPV politópica del reactor anaerobio
de manto de lodos de flujo ascendente (UASB3 ) usado como caso de estudio. Ya que existen
trabajos reportados en la literatura donde se demuestra que este tipo de sistemas son una
alternativa para el modelado de sistemas no lineales.
La principal limitación al trabajar con observadores para esquemas FDI, es que el error de
las incertidumbres de modelado pueden ocasionar problemas de detección o falsas alarmas.
Por tal motivo, en este trabajo se utilizan observadores con entradas desconocidas (UIO4 ),
que son capaces de absorber incertidumbres de modelado disminuyendo ası́ el riesgo de
generar problemas de detección; como se muestra en diversos trabajos reportados en la
literatura.
Para obtener la representación LPV del reactor UASB se consideran dos parámetros
variables en el sistema. Los valores de dichos parámetros corresponden a datos de un
reactor UASB que se encuentra instalado en el Laboratorio de la División de Estudios
e Investigación del Instituto Tecnológico de Orizaba. La representación LPV politópica
se obtiene calculando el Jacobiano del modelo no lineal y se evalúa en los valores en
estado estacionario generados con los distintos valores de los parámetros variables. El
comportamiento de las variables de estado del modelo no lineal en comparación con las de
la representación LPV es similar; sin embargo, esta última tiene la ventaja de que existe
una extensión de las herramientas de los sistemas lineales aplicadas a los sistemas LPV,
lo cual implica menor costo computacional cuando se realizan labores de estimación de
variables o control sobre los sistemas.
La finalidad de este trabajo es realizar un esquema FDI para sistemas LPV. Con la
utilización de los UIO para el diseño del esquema FDI se pretende evitar las falsas alarmas
o los problemas de detección. Dentro de los reactores anaerobios, los reactores UASB, como
el que se utiliza en este trabajo, son los que tienen mayores incertidumbres en el modelado
además de que su modelo es muy complejo. Por lo tanto, la representación LPV de dicho
sistema y los observadores UIO son herramientas que implican menor complejidad para
el diseño de esquemas FDI, en comparación con las existentes para la representación no
lineal.
1
FDI por las siglas en inglés de Fault Detection and Isolation
LPV por las siglas en inglés de Linear Parameter Varying
3
UASB por las siglas en inglés de Upflow Anaerobic Sludge Blanket
4
UIO por las siglas en inglés de Unknown Input Observer
2
viii
Capı́tulo 1
Introducción
A medida que los sistemas son más sofisticados y complejos, la necesidad de implementar esquemas para detectar y localizar fallas (FDI1 ) en ellos se ha incrementado. Por
ejemplo, un automóvil sofisticado cuenta con diversos sistemas de seguridad, los cuales
son supervisados por medio de una computadora. Si alguno de los sensores utilizados para
este fin se daña, la computadora no será capaz de enviar los mensajes de alarma y puede
llegar a ocurrir alguna falla en automóvil que resulte en una fuerte pérdida económica.
En sistemas de seguridad crı́tica la falta de un esquema FDI puede implicar consecuencias fatales en términos de mortalidad humana, y tratándose de sistemas sofisticados,
implica fuertes pérdidas económicas. Un avión de pasajeros es considerado un sistema de
seguridad crı́tica, ya que una falla durante el vuelo puede ocasionar consecuencias fatales
además de fuertes pérdidas económicas.
Los métodos para el diagnóstico y localización de fallas se pueden clasificar en dos grandes
grupos: los métodos de detección con señales y los métodos de detección con múltiples
señales y modelos (Isermann, 2006).
La mayor preocupación al emplear esquemas FDI basados en el modelo es poder generar
residuos robustos desacoplados de las incertidumbres del modelado. Una alternativa para
lograr este desacoplamiento son los observadores con entradas desconocidas (UIO2 ). En
(Rodrigues, 2007, Gou, 2008, Ding, 2008, Zolghadri, 2008), los UIO se utilizan en esquemas FDI y se demuestra que los residuos generados por los UIO están desacoplados de las
incertidumbres del modelado, concluyendo que los UIO son una buena alternativa para el
diagnóstico y localización de fallas.
El objetivo general de este trabajo consiste en diseñar un UIO para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LPV3 ) con el propósito de emplearlo en el diseño de un esquema
FDI. El principal interés para el uso de los sistemas LPV es su capacidad para modelar
una amplia variedad de sistemas, desde sistemas no lineales a sistemas lineales variantes
en el tiempo (LTI4 ). Otra de las caracterı́sticas es la flexibilidad y adaptabilidad que el
control LPV ofrece (Briat, 2008). Para lograr dicho objetivo se realizaron la actividades
1
FDI por las siglas en inglés de Fault Detection and Isolation.
UIO por las siglas en inglés de Unknown Input Observer.
3
LPV por las siglas en inglés de Linear Parameter Varying
4
LTI por las siglas en inglés de Linear Time Invariant
2
1
1.1. Estado del arte
2
que se describen en los capı́tulos de la presente tesis. En el Capı́tulo 1 se describen los
objetivos, alcances y limitaciones del presente trabajo, además de un breve resumen sobre
los trabajos realizados utilizando observadores con entradas desconocidas. En el Capı́tulo
2 se presenta el marco teórico requerido para obtener la representación LPV politópica del
sistema utilizado como caso de estudio por los observadores. En el Capı́tulo 3, se aplican
al sistema utilizado como caso de estudio las herramientas descritas en el marco teórico.
En el Capı́tulo 4 se presentan las generalidades del esquema FDI diseñado y su aplicación
el sistema utilizado como caso de estudio. El Capı́tulo 5, contiene las simulaciones realizadas para evaluar la representación LPV politópica del reactor anaerobio utilizado como
caso de estudio, además de realizar un análisis cuantitativo y cualitativo del desempeño
del observador UIO con respecto a otros dos observadores. En el Capı́tulo 6 se presentan
las conclusiones generales ası́ como algunas actividades sugeridas como actividades complementarias a las que se realizaron en este trabajo de tesis. Además de los 6 Capı́tulos
descritos anteriormente, este trabajo contiene dos anexos; el anexo A contiene una breve
descripción de una interfaz para el esquema FDI diseñado y el anexo B contiene las señales
utilizadas para simular la variación de los parámetros del reactor anaerobio.
1.1.
Estado del arte
Sistemas LPV
El modelado de sistemas LPV surge de la evolución de la técnica de ganancias programadas, esta técnica consiste en obtener modelos LTI partiendo del modelo no lineal del
sistema. El número de modelos depende de cuantos puntos de operación se definan, los
modelos obtenidos se conmutan dependiendo del punto de operación en el que se encuentre
el sistema. Está técnica fue muy utilizada para el control de sistemas no lineales cuando
se conocı́a a priori los puntos de operación en los que se deseaba trabajar. Sin embargo,
tiene la desventaja de que no se garantiza la estabilidad del sistema fuera de los puntos
de operación que se definieron (Bruzelius, 2002). Por este motivo, la técnica evolucionó de
tal forma que en lugar de utilizar puntos de operación se empleó la linealización basada
en los parámetros del sistema, con lo cual se logró garantizar la estabilidad del sistema
(Bruzelius, 2002).
Existen diversas metodologı́as reportadas en la literatura mediante las cuales se obtiene
el modelo LPV de un sistema no lineal; las más utilizadas son: basada en la velocidad y
la linealización respecto a los parámetros variables del sistema (Tóth, 2010).
La linealización basada en la velocidad consiste en linealizar dos veces el modelo no lineal
del sistema, de tal forma que el modelo resultante queda en función de las derivadas de
las variables de estado. Como resultado de esta doble linealización se obtiene un modelo
quasi-LPV, esta metodologı́a se obtiene cuando no es posible expresar la matriz dinámica
del sistema en función de los parámetros variables, de tal forma que se consideran las
variables de estado como los parámetros variables del sistema (Tóth,2010). En (Reberga,
2005) realizan una comparación de los resultados obtenidos al modelar un sistema quasi-
1.1. Estado del arte
3
LPV mediante la linealización basada en la velocidad y la linealización clásica obtenida
mediante el cálculo del Jacobiano del sistema. Es este artı́culo demuestran que con la linealización basada en la velocidad es posible disminuir los errores en estado estacionarios
del sistema al punto en que estos pueden ser modelados como errores estáticos y es posible disminuirlos o eliminarlos introduciendo una ganancia en el sistema. En (Bruzelius,
2002), realizan el modelado de un motor a reacción utilizando la técnica de linealización
basada en la velocidad, sus resultados están enfocados a demostrar que el control de los
sistemas LPV ofrecen mejor desempeño comparado con el obtenido en los sistemas MultiLTI cuando se utiliza la técnica de ganancias programadas.
La otra metodologı́a para obtener la representación LPV de un sistema partiendo de su
modelo no lineal, consiste en obtener el Jacobiano del sistema, el cual se evalúa en los
valores en estado estacionario de las variables de estados obtenidos cuando se varı́an los
parámetros variables del sistema. Esta técnica en la más empleada, ya que se utiliza la
metodologı́a tradicional de linealización. En (Theodoulis, 2003), realizan el el modelo de
seguimiento de un proyectil, en sus resultados concluyen que obtener la representación
LPV de un sistema no lineal tiene como ventaja que es posible aplicar un gran número
de herramientas diseñadas para el control de sistemas LTI. En el trabajo realizado por
(Zhao, 2008), se hace una comparación de los resultados obtenidos al aplicar la técnica
de control predictivo a un sistema no lineal y a su representación LPV. En este trabajo
concluyen que el desempeño del control en ambos sistemas es muy similar, sin embargo, el
costo computacional requerido para la representación LPV es mucho menor. Esta última
ventaja también se presenta en los sistemas biológicos (Belforte, 2005), ya que su modelado es complejo y realizar control sobre el resulta una labor que requiere un gran equipo
de computo además de que el tiempo requerido para realizar el control sobre el sistema
no lineal resulta impráctico en ciertas ocasiones por los retardos generados al calcular o
conmutar la ley de control. En (Belforte, 2005), presentan un estudio comparativo de la
representación no lineal de dos sistemas en comparación con su representación LPV.
Actualmente, una gran variedad de trabajos se han realizado empleando sistemas LPV
para control, por ejemplo en (Gauthier, 2005) los autores realizan el modelado de un sistema de inyección de diesel. En (He, 2006), aplican control robusto a un equipo auxiliar de
un vehı́culo eléctrico. En (Jung, 2006), ealizan el control de un motor diesel tubocargado.
El modelado de sistemas LPV permite modelar el sistema en su representación lineal,
teniendo la variación en el tiempo dentro de los parámetros, lo cual ofrece la ventaja de
poder emplear una extensión de las herramientas existentes para sistemas lineales.
En (Kajiwara, 1999), los autores realizan el modelado y control de un péndulo invertido.
En (Kwiatkowski, 2005) realizan el modelado y control de un brazo robótico de 2 eslabones. En (Wei, 2007), realizan el control de un sistemas identificando las trayectorias
del aire de una máquina de diesel.
La mayorı́a de los trabajos sobre sistemas LPV reportados en la literatura, involucran
sistemas eléctricos o mecánicos, poco se ha explorado el campo del modelado de sistemas
biológicos. por lo que en este trabajo se realiza el modelado de un sistema biológico.
1.1. Estado del arte
4
Observadores para sistemas LPV
La teorı́a sobre el diseño de observadores tiene más de dos décadas de desarrollo
(Patton, 1989). Sin embargo, debido al aumento de la complejidad de los sistemas, continuamente se diseñan nuevos observadores que cumplen con las caracterı́sticas necesarias
para implementarse en casos especı́ficos, tanto para sistemas lineales como no lineales.
En sistemas biológicos los observadores que se aplican son: exponenciales, asintóticos e
hı́bridos (Bogaerts, 2003). Los observadores exponenciales reconstruyen los estados del
sistemas basándose en el modelo del proceso y en algunas mediciones disponibles de los
sensores. Dicha estimación se realiza en lazo cerrado, una condición necesaria y suficiente
es que el sistema sea observable. Estos observadores tienen parámetros sintonizables, los
cuáles pueden ser usados para ajustar su convergencia a los estados. Su principal desventaja es que están ligados fuertemente a la calidad del modelado además de la dificultad
que implica su sintonización ya que son observadores no lineales. Ejemplos de este tipo
de observadores son: observador extendido de Luenberger, el filtro de Kalman extendido
y el observador de alta ganancia.
Los observadores asintóticos, realizan la estimación de los estados en lazo abierto. Su principal ventaja en el contexto de bioprocesos, es la posibilidad de construir un estimador de
estado sin algún conocimiento a prioride las reacciones cinéticas. Su principal desventaja
es la convergencia de los estados estimados, la cual está determinada por las condiciones
de operación (Bogaerts, 2003). La idea básica de un observador hı́brido es combinar las
ventajas de los observadores exponenciales y asintóticos.
Los observadores de entradas desconocidas (UIO) son poco empleados en bioprocesos. En
(Theilliol, 2003), se emplean en un sistema de tratamiento de aguas residuales para estimar en tiempo continuo entradas no medibles. (Boulkrone, 2009), también emplea UIO
para estimar entradas desconocidas pero considerando un sistema no lineal y en tiempo
discreto.
En diversos trabajos se aborda el diseño de observadores para sistemas no lineales y lineales.
Una alternativa recientemente implementada es el diseño de observadores para sistemas
LPV, ya que con estos es posible extender muchas de las herramientas existentes para
sistemas lineales.
El trabajo realizado por (Daafouz, 2000), contempla el diseño de un observador tipo
Luenberger para sistemas discretos, en este trabajo demuestra que una adecuada selección
de las funciones de ponderación permiten usar condiciones de estabilidad cuadrática en
el diseño del observador. En (Anstett, 2009), presentan una metodologı́a detallada para
construir observadores para sistemas LPV autónomos. El diseño del observador está orientado a la regulación de las comunicaciones, ya que en ellas existe una gran variedad de
parámetros caóticos.
En (Hu, 2010), presentan el diseño de un observador LPV con el objetivo de realizar la
estimación de la carga en una bateria de automóvil, en este trabajo los autores presentan
una comparación del costo computacional de esta estimación realizada con un filtro de
Kalman y un observador tipo Luenberger. Como resultado demuestran que la estimación
1.1. Estado del arte
5
es similar, sin embargo, el costo computacional es mucho mayor para el caso del filtro de
Kalman.
En los sistemas LPV se parte de la suposición de que los parámetros que se consideran
variables pueden ser desconocidos pero deben ser medibles, y además pueden presentar
incertidumbre. En (Maurice, 2010), presentan una alternativa para diseñar observadores
para sistemas LPV cuando existe incertidumbre en los parámetros y a pesar de esto se
logra la estimación y estabilidad del observador. Este enfoque también es abordado en
(Heemels, 2009), en este trabajo diseñan un controlador basado en el observador LPV y
demuestran que a pesar de las incertidumbres en los parámetros el controlador tiene un
buen desempeño; la estabilidad del sistema y la existencia de las ganancias del observador
se garantiza por medio de la resolución de LMI’s.
Esquemas FDI
El diseño de esquemas de diagnóstico y localización de fallas surgió con la necesidad de
evitar consecuencias catastróficas en sistemas que son considerados de seguridad, ası́ como
evitar grandes pérdidas económicas en sistemas sofisticados (Chen, 1999). Recientemente
se han realizado diversos trabajos enfocados a implementar esquemas FDI en sistemas
modelados como sistemas LPV. Por ejemplo, en (Zolghadri, 2008), se presenta un esquema FDI utilizando como caso de estudio el circuito secundario de una planta nuclear,
los filtros diseñados en este trabajo son útiles tanto para la representación LPV del sistema como para la representación no lineal. En (Rodrigues, 2007), diseñan un esquema de
control tolerante a fallas (FTC5 ), utilizando la información proveniente del esquema FDI
para aplicar la ley de control. En los trabajos realizados por (Balas, 2002, Szászi, 2005,
Grenaille, 2006), se presentan los diseños de esquemas FDI basados en un filtros para
sistemas LPV. En (Gou, 2008) el FDI está basado en la asignación de eigenestructuras
como resultado se obtiene una adecuada estimación de las fallas, sin embargo, el diseño
se torna complicado.
En (Hammouri, 2010), se diseña un UIO con el objetivo de aplicarlo a un sistema FDI,
además de hacer una revisión de las aplicaciones de los observadores UIO, se hace hincapié en la importancia de la aplicación de los UIO en los esquemas FDI debido a su
robustez.
En (Nejjari, 2009), se presenta un esquema FDI robusto utilizando observadores de intervalos, las ganancias del observador son calculadas solucionando las LMI’s necesarias.
Además de resolver las LMI’s, es necesario la definición de regiones que acoten las incertidumbres en los parámetros variables del sistema, debido a esta res- tricción, su diseño
es más complicado que los anteriores.
En el trabajo reportado en (Henry, 2004), diseñan un esquema FDI para sistemas LPV,
con el cual es posible monitorear perturbaciones tanto internas como externas del sistema.
El esquema FDI está compuesto por filtros los cuales funcionan como estimadores de fallas.
En (Gagliardi, 2010), se presenta un esquema FDI en el que emplean un observador tipo
5
FTC por las siglas en inglés de Fault Tolerant Control
1.2. Planteamiento del problema
6
Luenberger para estimar las fallas de un motor de inyección.
En la mayorı́a de los trabajos reportados en la literatura se emplean filtros para diseñar
los esquemas FDI, en el presente trabajo se realiza un esquema FDI basado en un banco
de observadores, la construcción del esquema es sencilla y emplea los observadores UIO
para sistemas LPV con el objetivo de que la estimación de las fallas no se vea afectada
por incertidumbres del modelado del sistema.
1.2.
Planteamiento del problema
Como consecuencia de la complejidad y sofisticación de los sistemas, surge la necesidad de implementar un esquema de diagnóstico y detección de fallas para mejorar su
desempeño. Un ejemplo son los reactores anaerobios que se utilizan en algunas industrias
para realizar el tratamiento de aguas residuales. En este proceso se obtiene como subproducto biogás, por lo que la implementación de un esquema FDI es necesaria. Los tipos
de fallas que podrı́an ocurrir son: fallas en el sensor de biogás, falla en la medición de
la materia orgánica en el efluente, falla en el intrumento que mide la biomasa y falla en
el sensor de pH. No detectar cualquiera de las fallas anteriores, no sólo repercutirı́a en
daños a la infraestructura, sino que además, una falla en la medición de la biomasa en
el reactor impedirı́a que el proceso de producción de biogás no sea eficiente. Lo anterior
trae como consecuencia que el biogás producido no pueda ser utilizado como combustible,
ya que esto sólo se realiza cuando está constituido por un porcentaje de metano mayor o
igual al 50 % de la constitución total.
El modelo matemático de los reactores anaerobios presenta grandes incertidumbres. La
representación no lineal del modelo completo está constituida por 24 variables de estado,
lo cual implica complejidad en su manejo además de que los tiempos requeridos para los
cálculos computacionales realizados, en algunas ocasiones, hacen ineficiente su monitoreo
y control.
La representación lineal de parámetros variables (LPV6 ) obtenida a partir del modelo no
lineal, es una manera de representar sistemas complejos como los reactores anaerobios, ya
que muchas herramientas para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI7 ) pueden
aplicarse a sistemas LPV, lo cual facilita el diseño.
1.3.
Hipótesis
Un modelo LPV permite obtener una mejor representación del sistema no lineal que
un modelo LTI.
Es posible diseñar observadores de estado con esta representación.
Un observador LPV puede utilizarse como parte de un esquema FDI robusto.
6
7
LPV por las siglas en inglés de Linear Parameter Varying
LTI por las siglas en inglés de Linear Time Invariant
1.4. Objetivo general
1.4.
7
Objetivo general
Diseñar un observador de entradas desconocidas para el caso de sistemas que pueden
ser modelados como sistemas lineales de parámetros variables. Se implementará un esquema FDI basado en el observador LPV.
1.5.
Objetivos especı́ficos
1. Modelar el sistema del caso de estudio como sistema LPV politópico.
2. Diseñar un observador de entradas desconocidas para sistemas LPV politópicos.
3. Implementar un esquema FDI para el reactor anaerobio propuesto como caso de
estudio empleando el observador diseñado.
4. Validar (en simulación), el observador en el esquema FDI diseñado.
1.6.
Metodologı́a
La metodologı́a que se siguió para lograr los objetivos de este trabajo de tesis se describe a continuación:
Como primer paso se estudió la teorı́a sobre el modelado de sistemas LPV. De forma
paralela a esta actividad, se realizó una revisión bibliográfica sobre los UIO y los observadores para sistemas LPV propuestos en la literatura.
Posteriormente se inició el modelado LPV del reactor anaerobio de manto de lodos de
flujo ascendente utilizado como caso de estudio y subsecuentemente se diseñaron tres
observadores aplicados a dicho sistema; se realizaron pruebas para su validación en las
cuales se verificó su tiempo de convergencia, error en la estimación, facilidad de diseño
y sintonización. Realizadas las actividades descritas anteriormente, se diseñó un esquema
de diagnóstico y localización de fallas para los sensores del sistema.
1.7.
Alcances y limitaciones
Alcances:
Validar la representación LPV del reactor y el observador diseñado a nivel simulación.
Limitaciones:
La validación del observador y esquema FDI diseñados se realiza a nivel simulación.
Para el modelado del sistema LPV politópico se consideraron 4 puntos de operación.
1.8. Motivación y justificación
1.8.
8
Motivación y justificación
Los observadores de entradas desconocidas se consideran robustos, ya se diseñan de
forma tal que son sensibles a las fallas pero insensibles a entradas desconocidas, tales como
los errores generados por las incertidumbres de modelado. Implementar un esquema FDI
basado en un UIO ofrece un gran desempeño, ya que las falsas alarmas que se pudieran
generar por las entradas desconocidas al sistema son mı́nimas.
El problema de reconstrucción de entradas que pueden ser representadas como excitaciones
externas desconocidas, fallas o cualquier otra incertidumbre en los sistemas es de gran
interés principalmente por dos aspectos: sistemas de supervisión y robustez o control
tolerante a fallas (Hou, 1998).
El caso de estudio seleccionado permite validar la eficiencia del UIO y del esquema FDI
implementado.
La representación LPV politópica del sistema ofrece un mayor rango de trabajo, ya que
se obtienen 4 modelos obtenidos en diferentes puntos de operación.
Capı́tulo 2
Marco teórico
El presente capı́tulo está dedicado a la descripción de la teorı́a antes señalada sobre los
sistemas LPV. En la sección 2.1 se aborda la teorı́a para describir de manera general a los
sistemas LPV. En la sección 2.2 se presenta la descripción y procedimiento de diseño de
los tres observadores empleados en este trabajo. La sección 2.3 contiene las generalidades
de los esquemas FDI basados en observadores. Por último, en la sección 2.4 se presentan
los ı́ndices de desempeño empleados en el análisis de resultados.
2.1.
Sistemas LPV
La dinámica de un modelo LPV evoluciona en función de una trayectoria paramétrica
admisible. Los sistemas LPV se pueden considerar como sistemas lineales invariantes en el
tiempo (LTI1 ) cuando sus parámetros son constantes, y como sistemas lineales variantes
en el tiempo (LTV2 ) cuando se selecciona una trayectoria que varı́a en función del tiempo
(Teppa, 2008).
Un sistema LPV es una descripción matemática de un sistema que depende explı́citamente de un vector de parámetros variables medibles. De forma generalizada, este tipo
de sistemas está descrito para todo t ≥ 0 por el siguiente conjuntos de ecuaciones:
ẋ(t) = A(ρ(t))x(t) + B(ρ(t))u(t) + E(ρ(t))w(t)
(2.1)
z(t) = C(ρ(t))x(t) + D(ρ(t))u(t) + F (ρ(t))w(t)
(2.2)
y(t) = Cy (ρ(t))x(t) + Fy (ρ(t))w(t)
(2.3)
donde x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , w(t) ∈ Rp , z(t) ∈ Rq y y(t) ∈ Rt son respectivamente el
vector de estado del sistema, las entradas de control, las entradas exógenas, las salidas
controladas y las salidas medidas. A, B, C, D y F son matrices conocidas de dimensiones
apropiadas. Se asume que el vector de parámetros ρ(t) pertenecen al conjunto convexo Ω:
Ω = {Ω : ρi ≤ ρi (t) ≤ ρi ∀i = 1, 2, · · · , l} ⊂ Rl
1
2
Por las siglas en inglés de Linear Time Invariant
Por la siglas en inglés de Linear Time Variant
10
2.1. Sistemas LPV
11
El modelo descrito por las Ecs.(2.1-2.3) evoluciona en función de una trayectoria paramétrica admisible, lo cual significa que cada uno de los puntos pertenece en todo instante de
tiempo al conjunto compacto Ω ⊂ Rl , el vector de parámetros satisface en todo momento
la condición:
ρ(t) ∈ Ω = {ρ(t) : ρi ≤ ρi (t) ≤ ρi ∀i = 1, 2, · · · , l} ⊂ Rl
donde ρi y ρi son las cotas superior e inferior respectivamente del parámetro ρi (t). En los
sistemas LPV se asume lo siguiente:
1. Los parámetros ρ(t) son medibles ∀t ≥ 0,
2. Cada parámetro ρi (t) varı́a en un rango con valores extremos conocidos.
2.1.1.
Representación de de los sistemas LPV
Esencialmente hay tres formulaciones globales para los sistemas LPV (Briat,2008):
Formulación politópica
Formulación dependiente de los parámetros
Formulación para una transformación lineal fraccional (LFT3 )
2.1.1.1.
Formulación dependiente de los parámetros
La formulación dependiente de los parámetros es adecuada para sistemas polinomiales
pero se pude usar para cualquier tipo de sistemas LPV (Briat, 2008) como:
ẋ(t) = A(ρ)x(t)
(2.4)
donde
A(ρ) = A0 +
∑
Ai ραi
i
α1 α2
αN
con αi = [αi1 . . . αiN ] y ραi = ρ1 i ρ2 i . . . ρNi , en este tipo de sistemas se presenta una
dependencia polinomial de los parámetros.
2.1.1.2.
Formulación LFT
La idea de ésta representación es dividir el sistema en dos partes como se ilustra en
la Fig.2.1, en un lado se tienen los parámetros variables del sistema y por otro lado,
las constantes, éstas últimas son utilizadas por separado, de tal forma que se pueden
manipular las ecuaciones del sistema considerando que sólo la función que depende del
parámetro es variable.
3
LFT por las siglas en inglés de Linear Fractional Transformation
2.1. Sistemas LPV
12
Fig. 2.1. Representación esquemática de la formulación LFT.
2.1.1.3.
Formulación politópica
La representación politópica de un sistema LPV consiste en definir funciones de ponderación que permitan obtener las variables del sistema como la sumatoria de los modelos
definidos en cada vértice del polı́topo. Cada función de ponderación debe satisfacer las
siguientes restricciones:
2
∑
l
λi (ρ(t)) ≥ 0 ∀t
λi (ρ(t)) = 1
i=1
El vector de parámetros ρ(t) se encuentra dentro de un polı́topo de 2l vértices, donde
l es el número de parámetros variables. Cada vértice del polı́topo, está formado por la
combinación de los valores extremos de cada parámetro. Para ejemplificar lo anterior, se
considera un sistema con dos parámetros variables ρ1 (t) ∈ [ρ1 , ρ1 ], ρ2 (t) ∈ [ρ2 , ρ2 ], en
el cual, el vector de parámetros se mantiene dentro del polı́topo que se muestra en la
Fig. 2.2, cuyos vértices están formados por la combinación de los valores extremos de los
conjuntos ρ1 (t) y ρ2 (t).
Al utilizar la formulación politópica LPV, la estructura explı́cita de las matrices
dinámicas del sistema expresado en las Ecs.(2.1-2.3) es:
2
∑
l
ẋ(t) =
λi (ρ)[Ai x(t) + Bi u(t) + Ei w(t)]
(2.5)
λi (ρ)[Ci x(t) + Di u(t) + Fi w(t)]
(2.6)
λi (ρ)[Cyi x(t) + Fyi w(t)]
(2.7)
i=1
2
∑
l
z(t) =
i=1
2
∑
l
y(t) =
i=1
2.1. Sistemas LPV
13
Fig. 2.2. Representación del politópo de un sistema en el que se consideran dos parámetros
variables.
2.1.2.
Obtención del modelo LPV politópico a partir del modelo
no lineal
En la literatura existen diversos métodos para obtener la representación LPV politópica de un sistema partiendo de su representación no lineal. Uno de ellos es realizar la expansión en serie de Taylor del sistema no lineal truncada a primer orden, para el caso de
sistemas multivariables se obtiene el Jacobiano (Tóth, 2010).
A continuación se describe un procedimiento mediante el cuál se obtiene el modelo LPV
politópico a partir de la representación no lineal del sistema:
1. Se definen los parámetros variables del sistema y las entradas.
2. Se definen los vértices del polı́topo, los cuales se forman con todas las combinaciones posibles de los valores extremos de los parámetros definidos como variables.
El número de vértices es 2l , donde l representa el número de parámetros variables
del sistema.
3. Se linealiza el sistema realizando la expansión en serie de Taylor truncada a primer
orden del modelo no lineal. Para el caso de sistemas multivariables, obtener el jacobiano del sistema. Se asume que los parámetros varı́an lentamente, de forma tal
que, el término ρ − ρ0 obtenido con la linealización es despreciable (Reberga, 2005).
4. Se evalúa el modelo linealizado en los vértices del polı́topo.
5. Se proponen 2l funciones de ponderación que cumplan con las siguiente caracterı́sticas:
2l
∑
λi (ρ) ≥ 0 ∀t
λi (ρ) = 1
i=1
donde λi (ρ) es la función de ponderación dependiente de los parámetros.
2.2. Observadores para sistemas LPV
14
6. Se pondera cada modelo obtenido al evaluar el modelo linealizado en cada vértice
del polı́topo por su respectiva función de ponderación, de tal forma que se obtiene
un sistema equivalente a las Ecs.(2.5-2.7).
2.2.
Observadores para sistemas LPV
En la literatura existen varios observadores diseñados para los sistemas LPV. En esta
sección se abordan tres de ellos. El primero, es un observador tipo Luenberger reportado por (Daafouz, 2000). Posteriormente se presenta un observador diseñado partiendo
de la estructura propuesta en (Darouach, 1994), al cual se le aplican las consideraciones
necesarias en el diseño para ser utilizado en sistemas LPV; a este observador se le denominará observador con estructura general. Por último se presenta el observador con entradas
desconocidas (UIO4 ) propuesto por (Rodrigues, 2005).
2.2.1.
Observador LPV politópico tipo Luenberger
Considere la clase de sistemas LPV politópicos descritos por:
2
∑
l
ẋ(t) =
λi (ρ)[Ai x(t) + Bi u(t)]
(2.8)
i=1
y(t) = Cx (t)
es posible diseñar el observador de estados propuesto en (Daafouz, 2010) descrito en la
siguiente ecuación:
·
x
b (t) =
2
∑
l
λi (ρ)[Ai x
b(t) + Bi u(t) + Li (y(t) − yb(t))]
(2.9)
i=1
yb (t) = Cb
x (t)
∑2l
donde L(ρ) = i=1 λi (ρ)Li es la matriz de ganancias del observador obtenida para cada
vértice del polı́topo.
A continuación se realiza el procedimiento por medio del cual se garantiza la convergencia
del observador.
Definiendo el error de estimación como:
e(t) = x(t) − x̂(t)
Cuya derivada es:
˙
ė(t) = ẋ(t) − x̂(t)
= A(ρ)x(t) + B(ρ)u(t) − [A(ρ)x̂(t) + B(ρ)u(t) + L(ρ)(y(t) − ŷ(t))]
= A(ρ)x(t) + B(ρ)u(t) − A(ρ)x̂(t) − B(ρ)u(t) − L(ρ)C(x(t) − x̂(t))
= [A(ρ) − L(ρ)C](x(t) − x̂(t))
ė(t) = [A(ρ) − L(ρ)C]e(t)
4
UIO por las siglas en inglés de Unknown Input Observer
2.2. Observadores para sistemas LPV
15
Por lo tanto, la ecuación dinámica del error se expresa como:
ė(t) = [A(ρ) − L(ρ)C]e(t)
(2.10)
De la Ec. (2.10) se deduce que el error de estimación será estable, si A(ρ) − L(ρ)C es
una matriz Hurwitz ∀ρ(t). Para obtener las ganancias del observador L(ρ) que garantizan
dicha estabilidad, se emplea el método de Lyapunov. Proponiendo la función candidata
de Lyapunov en función del error de estimación:
V (t) = eT (t)P (ρ)e(t)
(2.11)
∑l
Donde P (ρ) = 2i=1 λi (ρ)Pi ; Pi = PiT > 0
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (2.11) se obtiene:
V̇ (t) = ėT (t)P (ρ)e(t) + eT (t)P (ρ)ė(t)
(2.12)
Sustituyendo la Ec. (2.10) en la Ec. (2.12) se obtiene:
·
V (t) = eT (t) [A (ρ) − L (ρ) C]T P (ρ) e (t) + eT (t) P (ρ) [A (ρ) − L (ρ) C] e (t)
[
]
= eT (t) (A (ρ) − L (ρ) C)T P (ρ) + P (ρ) (A (ρ) − L (ρ) C) e (t)
Por lo tanto, para garantizar la estabilidad del error se debe satisfacer la siguiente desigualdad matricial lineal (LMI5 ):
(A (ρ) − L (ρ) C)T P (ρ) + P (ρ) (A (ρ) − L (ρ) C) < 0
(2.13)
Definiendo la variable auxiliar:
Ao (ρ) , AT (ρ) − C T LT (ρ)
ATo (ρ) , A (ρ) − L (ρ) C
la Ec. (2.13) se reescribe como:
Ao (ρ) P (ρ) + P (ρ) ATo (ρ) < 0
Considerando una región LMI con radio r y con centro en (−q, 0) definida en (Chilali,
1996), se obtiene la siguiente LMI:
(
(
=
−rP (ρ)
qP (ρ) + Ao (ρ) P (ρ)
T
−rP (ρ)
qP (ρ) + P (ρ) Ao (ρ)
)
(
)
)
−rP (ρ)
qP (ρ) + AT (ρ) − C T LT (ρ) P (ρ)
<0
qP (ρ) + P (ρ) (A (ρ) − L (ρ) C )
−rP (ρ)
Utilizando la variable auxiliar Q (ρ) = P (ρ) L (ρ)
(
)
−rP (ρ)
qP (ρ) + AT (ρ) P (ρ) − C T QT (ρ)
<0
qP (ρ) + P (ρ) A (ρ) − Q (ρ) C
−rP (ρ)
5
(2.14)
LMI por las siglas en inglés de Linear Matrix Inequality
(2.15)
2.2. Observadores para sistemas LPV
16
Por lo tanto, el problema de garantizar la estabilidad del observador se reduce a resolver
la LMI de la Ec.(2.15). Una vez resuelta, las ganancias del observador están dadas por
L (ρ) = P (ρ)−1 Q (ρ). Por la estructura tanto de las matrices dinámicas del sistema como
de las ganancias del observador, la LMI de la Ec. (2.15) se resuelve para cada vértice del
polı́topo, lo cual se expresa de la siguiente manera:
)
(
−rPi
qPi + ATi Pi − C T QTi
<0
qPi + Pi Ai − Qi C
−rPi
por lo que Li = Pi−1 Qi .
2.2.2.
Observador con estructura general
El observador que a continuación se presenta, se obtuvo partiendo del observador propuesto por (Darouach, 1994).
Considere un sistema LPV politópico obtenido por la expansión en serie de Taylor truncada a primer orden del modelo no lineal, cuya representación matemática es:
2
∑
l
ẋ(t) =
λi (ρ)[Ai x(t) + Bi u(t) + ∆xi ]
(2.16)
i=1
y(t) = Cx (t)
(2.17)
donde: x (t) ∈ Rn , es el vector de estado; u (t) ∈ Rm , es el vector de entradas; y (t) ∈ Rp ,
es el vector de salidas medibles; y ∆xi ∈ Rn , representa la contribución de las variables de
desviación debidas a la linealización. Partiendo de la estructura del observador propuesto
en (Darouach, 1994), el observador para el sistema LPV es el siguiente:
·
z (t) = N (ρ) z (t) + G (ρ) u (t) + L (ρ) y (t) + ∆z (ρ)
(2.18)
x
b (t) = z (t) − E (ρ) y (t)
Donde las matrices N (ρ) , L (ρ) , G (ρ) , ∆z (ρ) y E (ρ) , son diseñadas para garantizar la
convergencia y estabilidad del error de estimación, la estructura de estas matrices son:
2
∑
N (ρ) =
i=1
2
∑
2
∑
l
l
λi (ρ) Ni , L (ρ) =
i=1
E (ρ) =
2l
∑
i=1
2
∑
l
l
G (ρ) =
λi (ρ) Li ,
i=1
λi (ρ) Gi , ∆z (ρ) =
λi (ρ) ∆zi
(2.19)
i=1
2
∑
l
λi (ρ) Ei , λi (ρ) ≥ 0 ∀t
λi (ρ) = 1
(2.20)
i=1
El procedimiento para garantizar la estabilidad y convergencia del observador es similar al que se presentó en la sección anterior. Partiendo del error de estimación definido
2.2. Observadores para sistemas LPV
17
como:
e (t) = x
b (t) − x (t)
= z (t) − E (ρ) Cx (t) − x (t) = z (t) − (E (ρ) C + I)x (t) definiendoP (ρ) , (E(ρ)C + I)
e (t) = z (t) − P (ρ) x (t)
Derivando respecto al tiempo e (t) se obtiene:
·
·
·
e (t) = z (t) − P (ρ) x (t)
= N (ρ) z (t) + G (ρ) u (t) + L (ρ) y (t) + ∆z (ρ) − P (ρ) (A (ρ) x (t) + B (ρ) u (t) + ∆x (ρ))
Sustituyendo:
z (t) = e (t) + P (ρ) x (t)
·
e (t) = N (ρ) [e (t) + P (ρ) x (t)] + L (ρ) Cx (t) + G (ρ) u (t)
+∆z (ρ) − P (ρ) A (ρ) x (t) − P (ρ) B (ρ) u (t) − P (ρ) ∆x (ρ)
·
e (t) = N (ρ) e (t) si y sólo si
N (ρ) P (ρ) + L (ρ) C − P (ρ) A (ρ) = 0
N (ρ) es estable
P (ρ) = (E (ρ) C + I)
G (ρ) = P (ρ) B (ρ)
∆z (ρ) = P (ρ) ∆x (ρ)
Al satisfacer las condiciones anteriores, la ecuación dinámica del error se expresa de la
siguiente manera:
·
e (t) = N (ρ) e (t)
(2.21)
Sustituyendo P (ρ) = (E (ρ) C + I) en N (ρ) P (ρ) + L (ρ) C − P (ρ) A (ρ) = 0, se obtiene
N (ρ) = P (ρ) A (ρ) − K (ρ) C
(2.22)
K (ρ) = L (ρ) + N (ρ) E (ρ)
(2.23)
Para obtener las ganancias del observador que garanticen su estabilidad y convergencia,
se emplea el método de Lyapunov. Proponiendo la función candidata de Lyapunov en
función del error de estimación:
V (t) = eT (t) X (ρ) e (t)
∑
(2.24)
2l
donde X (ρ) =
λi (ρ) Xi ; Xi = XiT > 0
(2.25)
i=1
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (2.24) se obtiene:
·
·T
·
V (t) = e (t) X (ρ) e (t) + eT (t) X (ρ) e (t)
Sustituyendo la ecuación dinámica del error (2.21) y N (ρ) expresada en la Ec. (2.22) se
obtiene:
(
)
·
V (t) = eT (t) N (ρ)T X (ρ) + X (ρ) N (ρ) e (t)
2.2. Observadores para sistemas LPV
18
Por lo tanto, para garantizar la estabilidad del error se debe satisfacer la siguiente desigualdad matricial lineal (LMI):
N (ρ)T X (ρ) + X (ρ) N (ρ) < 0
(2.26)
Utilizando la variable auxiliar:
Ao (ρ) , N (ρ)T
ATo (ρ) , N (ρ)
La Ec. (2.26) queda reescrita de la siguiente manera:
Ao (ρ) X (ρ) + X (ρ) ATo (ρ) < 0
Definiendo una región LMI con radio r y con centro en (−q, 0) definida en (Chilali, 1996),
se obtiene la siguiente LMI:
(
(
=
−rX (ρ)
qX (ρ) + Ao (ρ) X (ρ)
T
qX (ρ) + X (ρ) Ao (ρ)
−rX (ρ)
)
−rX (ρ)
qX (ρ) + (P (ρ) A (ρ) − K (ρ) C )T X (ρ)
qX (ρ) + X (ρ) (P (ρ) A (ρ) − K (ρ) C )
−rX (ρ)
Definiendo R (ρ) = X (ρ) K (ρ) y Q (ρ) = X (ρ) P (ρ)
(
)
−rX (ρ)
qX (ρ) + AT (ρ) Q (ρ)T − C T R (ρ)T
<0
qX (ρ) + Q (ρ) A (ρ) − R (ρ) C
−rX (ρ)
(2.27)
Por lo tanto, el problema de garantizar la estabilidad del observador se reduce a resolver
la LMI de la Ec. (2.27). Una vez resuelta, las ganancias del observador están dadas por
P (ρ) = X (ρ)−1 Q (ρ) y K (ρ) = X (ρ)−1 R (ρ), y por sustitución directa se obtienen
las restantes. Por la estructura tanto de las matrices dinámicas del sistema como de las
ganancias del observador, la LMI de la Ec. (2.27) se resuelve para cada vértice del polı́topo,
lo cual se expresa de la siguiente manera:
)
(
−rXi
qXi + ATi QTi − C T RiT
<0
qXi + Qi Ai − Ri C
−rXi
2.2.3.
Observador LPV politópico con entradas desconocidas
En los esquemas de diagnóstico de fallas basados en el modelo, la tarea más importante es la generación de residuos desacoplados de los errores generados por el modelado
del sistema (Chen, 1999). Una de las herramientas para lograr este desacoplamiento son
los observadores con entradas desconocidas (UIO6 ).
En el presente trabajo se realiza el análisis del observador propuesto en (Rodrigues, 2005)
pero enfocado a sistemas LPV politópicos continuos.
6
UIO por las siglas en inglés de Unknown Input Observer.
)
<0
2.2. Observadores para sistemas LPV
19
Considere un sistema LPV politópico obtenido por la expansión en serie de Taylor truncada a primer orden del modelo no lineal, cuya representación matemática es:
2
∑
l
ẋ(t) =
λi (ρ)[Ai x(t) + Bi u(t) + Ei d(t) + ∆xi ]
(2.28)
i=1
y(t) = Cx (t)
donde: x (t) ∈ Rn , es el vector de estado; u (t) ∈ Rm , es el vector de entradas; d (t) ∈ Rq , es
el vector de entradas desconocidas; y (t) ∈ Rp , es el vector de salidas medibles; y ∆xi ∈ Rn ,
representa la contribución de las variables de desviación debidas a la linealización.
El observador para el sistema LPV de la Ec. (2.28) es el siguiente:
·
z (t) = S (ρ) z (t) + T B (ρ) u (t) + K (ρ) y (t) + ∆z (ρ)
(2.29)
x
b (t) = z (t) + Hy (t)
Donde las matrices S (ρ) , K (ρ) , T y H, son diseñadas para garantizar la convergencia
y estabilidad del error de estimación, su estructura es:
2
∑
l
S (ρ) =
2
∑
l
λi (ρ) Si , K (ρ) =
i=1
λi (ρ) Ki ,
i=1
2
∑
l
λi (ρ) ≥ 0 ∀t
λi (ρ) = 1
i=1
Para garantizar la convergencia y estabilidad del observador se define el error de estimación
como:
e (t) = x (t) − x
b (t)
= x (t) − (z (t) + Hy (t))
(2.30)
(2.31)
Derivando la Ec. (2.30) respecto al tiempo se obtiene:
(·
)
·
·
·
e (t) = x (t) − z (t) + HC x (t)
(2.32)
·
= (I − HC) x (t) − [S (ρ) z (t) + T B (ρ) u (t) + K (ρ) y (t) + ∆z (ρ)]
Considerando K (ρ) = K1 (ρ) + K2 (ρ), la Ec. (2.32) se puede reescribir como:
·
e (t) = (I − HC) (A (ρ) x (t) + B (ρ) u (t) + E (ρ) d (t) + ∆x (ρ)) −
[S (ρ) (x (t) − e (t) − Hy) + T B (ρ) u (t) + (K1 (ρ) + K2 (ρ)) y + ∆z (ρ)]
Por lo regular, cuando se trabaja con varios puntos de operación, la matriz de distribución
de perturbaciones E (ρ) es distinta para cada uno de ellos, para lograr el desacoplamiento
de dicha matriz es deseable contar con una matriz de distribución de perturbaciones
óptima E ∗ que aproxime a todas las matrices Ei (Chen, 1999).
2.2. Observadores para sistemas LPV
20
Considerando que se obtiene E ∗ y agrupando los términos de la ecuación anterior, la
ecuación dinámica del error queda expresada de la siguiente manera:
·
e (t) = [(I − HC) A (ρ) − S (ρ) − K1 (ρ)]x (t) + [(I − HC) − T ]B (ρ) u (t)
+ (S (ρ) H − K2 (ρ)) y + (I − HC) E ∗ d (t) + (I − HC) ∆x (ρ) − ∆z (ρ)
+S (ρ) e (t)
Para obtener un desacoplamiento exacto de la matriz de distribución de perturbaciones,
se deben satisfacer las siguientes condiciones:
(I − HC) E ∗ = 0
T = I − HC
S (ρ) = T A (ρ) − K1 (ρ) C
De tal forma que:
K2 (ρ) = S (ρ) H
(2.33)
∆z (ρ) = T ∆x (ρ)
·
e (t) = S (ρ) e (t)
(2.34)
Las ganancias del observador que garantizan su estabilidad y convergencia se obtienen
con el método de Lyapunov. Proponiendo la función candidata de Lyapunov en función
del error de estimación:
V (t) = eT (t) P (ρ) e (t) ;
∑
(2.35)
2l
donde P (ρ) =
λi (ρ) Pi , P (ρ) = P (ρ)T > 0
(2.36)
i=1
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (2.35) se obtiene:
·
·T
·
V (t) = e (t) P (ρ) e (t) + eT (t) P (ρ) e (t)
Sustituyendo la ecuación dinámica del error (2.34) y S (ρ) dada por la condiciones (2.33)
se obtiene:
(
)
·
T
T
V (t) = e (t) (T A (ρ) − K1 (ρ) C) (ρ) P (ρ) + P (ρ) (T A (ρ) − K1 (ρ) C) e (t)
Por lo tanto, para garantizar la estabilidad del error se debe satisfacer la siguiente desigualdad matricial lineal (LMI):
(T A (ρ) − K1 (ρ) C)T P (ρ) + P (ρ) (T A (ρ) − K1 (ρ) C) < 0
Para resolver la LMI anterior, se define la variable auxiliar:
Ao (ρ) , AT (ρ) T T − C T K1T (ρ)
ATo (ρ) , T A (ρ) − K1 (ρ) C
Por lo que, la Ec. (2.37) se reescribe de la siguiente manera:
Ao (ρ) P (ρ) + P (ρ) ATo (ρ) < 0
(2.37)
2.3. Esquema FDI basado en observadores
21
Definiendo una región LMI con radio r y centro en (−q, 0) definida en (Chilali, 1996),
obtenemos la siguiente LMI:
(
)
−rP (ρ)
qP + Ao (ρ) P (ρ)
qP (ρ) + P (ρ) ATo (ρ)
−rP (ρ)
(
)
(
)
−rP (ρ)
qP (ρ) + AT (ρ) T T − C T K1T (ρ) P (ρ)
=
<0
qP (ρ) + P (ρ) (T A (ρ) − K1 (ρ) C)
−rP (ρ)
Utilizando la variable auxiliar Q (ρ) = P (ρ) K1 (ρ) y sustituyendo en la matriz anterior:
(
)
−rP (ρ)
qP (ρ) + AT (ρ) T T P (ρ) + C T QT (ρ)
< 0 (2.38)
qP + P (ρ) T A (ρ) + Q (ρ) C
−rP (ρ)
Por lo tanto, el problema de garantizar la estabilidad del observador se reduce a resolver
la LMI de la Ec. (2.38), una vez resuelta, las ganancias del observador están dadas por
K1 (ρ) = P (ρ)−1 Q (ρ) y por sustitución directa en las Ecs. (2.33). Por la estructura tanto
de las matrices dinámicas del sistema como de las ganancias del observador, la LMI de
la Ec. (2.27) se resuelve para cada vértice del sistema, lo cual se expresa de la siguiente
manera:
(
)
−rPi
qPi + ATi T T Pi + C T QTi
<0
qPi + Pi T Ai + Qi C
−rPi
Por lo que, K1i = Pi−1 Qi .
2.3.
Esquema FDI basado en observadores
A medida que los sistemas son más sofisticados y complejos, la necesidad de implementar esquemas que permitan detectar y localizar fallas en ellos ha incrementado, esto
se debe a que los esquema FDI aumentan la confiabilidad y seguridad del sistema ya que
tienen la capacidad de detectar y localizar fallas en una etapa temprana, por lo cual es
posible evitar un escenario catastrófico que puede incluir lesiones del personal, contami
nación ambiental, destrucción de bienes y de equipo. En la literatura se considera que
existen 3 objetivos del diagnóstico de fallas (Blanke, 2000):
Detección de la falla: determinación de si existe o no una falla, ası́ como la identificación del instante de su aparición.
Localización de la falla: identificación del componente en el cual ha ocurrido la falla.
Identificación y estimación de la falla: identificación del tipo de falla y de su magnitud.
De forma general, las fallas pueden clasificarse en (Isermann,1996):
Fallas de medición aditivas: son discrepancias entre los valores reales y los valores
medidos de las entradas y las salidas de la planta. Estas fallas describen las desviaciones en las mediciones proporcionadas por los sensores.
2.3. Esquema FDI basado en observadores
22
Fallas de proceso aditivas: son perturbaciones actuando sobre la planta, las cuales
causan una desviación en las salidas independientes a las entradas medidas.
Fallas de proceso multiplicativas: son cambios en los parámetros de la planta. Estas
fallas describen el deterioro del equipo de la planta.
Un esquema FDI debe ser capaz de detectar cualquiera de las fallas descritas anteriormente y pueden diseñarse basados en redundancia material o redundancia analı́tica. Los
esquemas FDI basados en redundancia de material consisten en métodos que implican
redundancia fı́sica en los sensores, actuadores o de los componentes y control del sistema.
La desventaja de implementar este tipo de esquemas FDI se debe a su alto costo de instalación y mantenimiento, además del espacio requerido para los instrumentos. En el caso
de sistemas biológicos en ocasiones este tipo de esquemas no es factible debido a la falta
de instrumentación para medir ciertas variables. Este último problema no se presenta al
utilizar la redundancia analı́tica, ya que este método se basa en la diferencia generada por
la comparación de los valores disı́miles medidos; a esta diferencia se le denomina señal
residual o sı́ntoma. La mayor ventaja de la redundancia analı́tica se debe a que no requiere hardware adicional para realizar la detección de fallas y puede ser implementada
vı́a software. La mayor desventaja proviene de que las señales residuales son obtenidas a
partir del modelo del sistema y las incertidumbre en éste puede ocasionar problemas de
falta de detección o falsas alarmas.
Los esquemas FDI basados en el modelo (redundancia analı́tica) han sido ampliamente
utilizados en aplicaciones de sistemas industriales, ya que se logra un ahorro económico y de recursos materiales durante el proceso de detección de fallas (Chen, 1999). Se
puede considerar que las etapas de los métodos basados en el modelo son las siguientes
(Isermann, 2004):
1. Generación de residuos: consiste en obtener señales que contienen información de la
diferencia entre el valor de la señal real y la obtenida estimando dicha señal.
2. Evaluación de residuos: consiste en extraer la información de los residuos generados,
la cual servirá para determinar el sı́ntoma de una falla especı́fica.
3. Decisión: ésta es la última etapa de la metodologı́a, en ella se realiza una comparación entre los sı́ntomas obtenidos y un patrón conocido (firma de la falla) para
determinar si existe o no la falla y en donde se está presentando.
Dentro de los esquemas FDI basado en el modelo, existen diferencias que dependen de la
metodologı́a empleada para la generación de los residuos tales como: estimación de estados, estimación de parámetros, estimación de estados y parámetros de manera conjunta
y ecuaciones de paridad. Sin embargo, la metodologı́a más empleada es la estimación de
estados basada en observadores (Samy, 2011). Dentro de este tipo de esquema, existen los
denominados bancos de observadores, los cuales se clasifican dependiendo del número de
observadores utilizados y del tipo de falla que se desea localizar (sensores o actuadores):
2.4. Índices de desempeño
23
a) el esquema de observadores simplificado (SOS7 ) sólo requiere un observador, utiliza
todas las entradas y sólo una salida, por lo cual detecta fallas en un sensor; b) el esquema
de observadores dedicado (DOS8 ), también utiliza todas las entradas y sólo una salida;
por último, c) el esquema de observadores generalizado (GOS9 ) implica un banco de observadores, donde cada observador utiliza todas las entradas y n − 1 salidas (considerando
n como el número de salidas del sistema), con lo cual se logra la localización de fallas
únicas en los sensores (Martı́nez, 2011).
2.4.
Índices de desempeño
Un ı́ndice de desempeño es una medida cuantitativa del comportamiento de un sistema
y se elige de forma que resalte las especificaciones importantes del sistema (Dorf, 2001).
Un sistema se considera óptimo cuando sus parámetros se ajustan de tal forma que el
ı́ndice alcanza un valor extremo, generalmente un valor mı́nimo. Para que un ı́ndice de
desempeño resulte útil siempre debe ser un número positivo o cero, de tal forma que el
mejor comportamiento se define como aquel que minimiza este ı́ndice (Dorf, 2001).
Diversos ı́ndices de desempeño son empleados en la literatura, la selección de dichos ı́ndices
depende del tipo de comportamiento que se quiera analizar y de las caracterı́sticas del
sistema.
La integral del cuadrado del error (ISE10 ) se expresa como:
∫ T
ISE =
e2 (t)dt
0
Este ı́ndice penaliza grandes errores y discrimina entre respuestas excesivamente sobreamortiguadas y subamortiguadas, el mı́nimo valor de la integral ocurre para un valor
crı́tico de amortiguamiento. Otro ı́ndice empleado para reducir la contribución del error
inicial ası́ como para destacar los errores que se producen después de la respuesta (Graham,
1953), es el valor de la integral del tiempo multiplicada por el error absoluto (ITAE11 ),
dicho ı́ndice se define a continuación:
∫ T
IT AE =
t|e(t)|dt
0
Otro ı́ndice particularmente útil para estudios de simulación, es el valor de la integral del
error absoluto (IAE12 ), es un ı́ndice más sensible que el ISE, debido a esto, el IAE tiende
a dar tiempos largos de establecimiento y sobrepicos más altos. El IAE se define como:
∫ T
IAE =
|e(t)|dt
0
7
SOS por las siglas en inglés de Simple Observer Scheme
DOS por las siglas en inglés de Dedicated Observer Scheme
9
GOS por las siglas en inglés de Generalized Observer Scheme
10
ISE por las siglas en inglés de Integral Squared Error
11
ITAE por las siglas en inglés de Integral Time-weighted Absolute Error
12
IAE por las siglas en inglés de Integral of Absolute Error
8
2.4. Índices de desempeño
24
Existen otros ı́ndices de desempeño además de los que se describen anteriormente, sin
embargo, para los objetivos del presente trabajo sólo se emplea el ı́ndice IAE, por lo que
la descripción de los demás ı́ndices no se abordan.
Capı́tulo 3
Caso de estudio
En este trabajo se considera como caso de estudio un reactor anaerobio de manto
de lodos de flujo ascendente (UASB1 ). Este capı́tulo contiene la aplicación de la teorı́a
descrita en el capı́tulo anterior a la representación LPV del reactor, ası́ como el diseño de
los observadores para esta planta.
Para entender la dinámica del reactor UASB, en la sección 3.1 de este capı́tulo se describen
las generalidades del funcionamiento de los reactores anaerobios, además, se aborda de
forma breve su clasificación. En la sección 3.2, se presentan las especificaciones del reactor
UASB que se encuentra en la División de Estudios e Investigación del Instituto Tecnológico
de Orizaba, ya que en base a estas se obtiene el modelo LPV, los observadores y el esquema
FDI presentado en este trabajo. En la sección 3.3, se presenta en detalle la obtención del
modelo LPV politópico del reactor anaerobio UASB. Por último, en la sección 3.4, se
especifican los detalles de sintonización de los observadores diseñados para el caso de
estudio.
3.1.
3.1.1.
Reactores anaerobios
Generalidades de los reactores anaerobios
El tratamiento de aguas residuales consiste en una serie de procesos fı́sicos, quı́micos
y biológicos que tienen como fin remover materia orgánica soluble y suspendida en aguas
residuales, ası́ como también para la reducción de nitratos y nitritos hasta gas nitrógeno.
Básicamente existen dos métodos para el tratamiento de residuos orgánicos clasificados
de acuerdo a sus caracterı́sticas de operación: por disgestión anaerobia y por digestión
aerobia. Su diferencia fundamental reside en que para la digestión aerobia la presencia
del oxı́geno es indispensable para las bacterias, en tanto que la digestión anaerobia ocurre
en ausencia de oxı́geno. Los reactores biológicos que son utilizados para el tratamiento de
aguas residuales son conocidos como digestores.
Los digestores anaerobios presentan numerosas ventajas sobre los aerobios tales como:
producción de biogás, altas velocidades de carga orgánica, baja emisión de olores, re1
UASB por las siglas en inglés de Upflow Anaerobic Sludge Blanket.
26
3.1. Reactores anaerobios
27
quieren de poco espacio, pocos equipos mecánicos y el costo de su mantenimiento es bajo
(Martı́nez-Sibaja, 2011). Sin embargo, los digestores anaerobios también presentan algunas desventajas tales como: alta sensibilidad ante compuestos tóxicos, además de largos
y complicados tiempos de puesta en marcha.
La digestión anaerobia es un proceso biológico para la degradación de materia orgánica
llevada a cabo por microorganismos cuya subsistencia no depende de la presencia de
oxı́geno en su medio. El principal producto de este proceso es la producción de biogás,
el cual está compuesto principalmente por metano (CH4 ) en un porcentaje entre el 40 y
70 % y el resto por dióxido de carbono(CO2 ) además de pequeñas porciones de otros gases
como el hidrógeno (H2 ), nitrógeno (N2 ), oxı́geno (O2 ) y sulfuro de hidrógeno (H2 S).
Por la alta concentración de metano contenido en el biogás es posible su aprovechamiento
como combustible, siempre que la concentración sea mayor a un 50 %. Dicho porcentaje
depende de la eficiencia con que se lleve a cabo el proceso de digestión anaerobia.
3.1.2.
Modelado matemático de la digestión anaerobia
El modelado matemático de la digestión anaerobia es una tarea compleja, ya que es
posible considerar desde un sólo grupo bacteriano para los modelos simplificados hasta
múltiples grupos bacterianos en los modelos complejos.
Por lo anterior hacia finales de la década de los 90’s existı́an tantos modelos de reactores anaerobios que la Asociación Insternacional del Agua (IWA2 ) estableció el grupo
de trabajo IWA-Anaerobic Digestion Modelling, con el objetivo de desarrollar un modelo
generalizado de digestión anaerobia. El resultado de este grupo de trabajo fue el modelo
ADM13 (Batstone, 2002).
La estructura del modelo ADM1 incluye múltiples etapas que describen los procesos bioquı́micos y fisioquı́micos de la digestión anaerobia. La etapa bioquı́mica incluye la desintegración de partı́culas homogéneas en carbohidratos, proteı́nas y lı́pidos; la hidrólisis
extracelular de esas partı́culas en azúcares, aminoácidos y ácidos grasos de cadena larga
(LCFA’s) respectivamente; la acetogénesis de azucares y aminoácidos en ácidos grasos
volátiles (VFA’s) e hidrógeno; la acetogénesis de LCFA’s y VFA’s enacetato; y en forma
separada, las etapas de metalogénesis del acetato y la mezcla de hidrógeno y bióxido de
carbono. Por otra parte, las ecuaciones fisicoquı́micas describen la asociación y disociación
de iones y la transferencia de gas-lı́quido mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales.
A partir de este modelo, en diversos trabajos de investigación se ha utilizado el modelo
ADM1 como modelo de digestión anaerobia como base y adecuan dicho modelo al reactor
utilizado.
El modelo ADM1 considera 24 variables de estados correspondientes a los 7 grupos bacterianos, sin embargo, la medición de todos ellos es una tarea poco fáctible ya que es
complicado tener la instrumentación necesaria para medir la concentración de todos los
grupos bacterianos presentes en la digestión anaerobia, ası́ como también es difı́cil medir
2
3
IWA por las siglas en inglés de International Water Association
ADM1 por las siglas en inglés Anaerobic Digestion Model No.1
3.1. Reactores anaerobios
28
las presiones parciales de los gases en el interior del reactor.
3.1.3.
Fases de la digestión anaerobia
El proceso de obtención de biogás involucra una serie de fases consecutivas donde existe
una compleja interacción quı́mica y microbiológica. Las fases que se llevan a cabo durante
el proceso de digestión anaerobia son: hidrólisis, acidogénesis, acetogénesis y metanogénesis (Batstone, 2002).
3.1.3.1.
Hidrólisis
La fase de hidrólisis es el primer paso de degradación de la materia orgánica compleja
(lı́pidos, hidratos de carbono y proteı́nas). Esta fase es el inicio del proceso, puesto que
los microorganismos no pueden utilizar la materia orgánica compuesta a menos que se
hidrolice primero en compuestos solubles a través de esta fase.
Esta fase es efectuada por la acción de bacterias hidrolı́ticas anaerobias que hidrolizan las
moléculas complejas solubles en agua para transformarlas en monómeros y compuestos
simples como aminoácidos, azúcares y ácidos grasos de cadena larga.
La fase de hidrólisis suele ser una de las fases que determinan la velocidad global de
evolución del proceso, ya que la velocidad depende de la cantidad de sólidos en la materia
orgánica a degradar. Los principales factores que determinan la velocidad de la hidrólisis
son la temperatura, la concentración orgánica de la materia a degradar, el tamaño de las
partı́culas y el pH.
3.1.3.2.
Acidogénesis
La acetogé nesis es el proceso a través del cual bacterias anaerobias producen acetato a
partir de diversas fuentes de energı́a (por ejemplo, hidrógeno) y de carbono (por ejemplo,
dióxido de carbono). Las diferentes especies bacterianas que son capaces de realizar la
acetogénesis se denominan colectivamente acetógenos.
La Asociación Internacional del Agua (IWA4 ) establece que los monosacáridos derivados de la hidrólisis contienen una composición de glucosa. Durante la acidogénesis la
degradación de la glucosa es la principal fuente de generación de ácidos grasos volátiles.
Los microorganismos más importantes para producir el ácido butı́rico son del genero
Clostridium que convierten la glucosa y algunos aminoácidos en ácido butı́rico, ácido
acético y dióxido de carbono e hidrógeno.
4
IWA por las siglas en inglés de International Water Association
3.1. Reactores anaerobios
3.1.3.3.
29
Acetogénesis
La tercera fase de la digestión anaerobia es la acetogénesis, la cual se lleva a cabo por
las bacterias acetogénicas. Éstas se encargan de una nueva descomposición de moléculas
complejas que en este caso se trata de los ácidos grasos volátiles para convertirlos en compuestos quı́micos más sencillos. Los productos de esta fase son: ácido acético, hidrógeno
y dióxido de carbono.
3.1.3.4.
Acetogénesis
La metanogénesis es la culminación de la digestión anaerobia, esta fase consiste en la
producción de metano en el biogás a partir del ácido acético o de mezclas de hidrógeno
y dióxido de carbono (Chiu, 2009), estas reacciones son llevadas a cabo por bacterias
metanogénicas acetotróficas e hidrogenotróficas respectivamente.
La inhibición de la fase de metanogénesis está relacionada con diferentes compuestos que
interrumpen el crecimiento bacteriano, los más destacados son: el nitrógeno amoniacal, y
los ácidos grasos volátiles.
La inhibición de la fase de metanogénesis está relacionada con diferentes compuestos que
interrumpen el crecimiento bacteriano, los más destacados son: el nitrógeno amoniacal, y
los ácidos grasos volátiles.
Es importante destacar que los distintos tipos de bacterias metanogénicas no resultan inhibidas de la misma manera por los compuestos inhibidores. Por ejemplo, existe el caso de
la diferencia en el impacto de inhibición por la concentración de amoniaco de los microorganismos metanogénicos acetotróficos con respecto a los metanogénicos hidrogenotróficos.
3.1.4.
Variables de la digestión anaerobia
Las variables que influyen en el proceso de digestión anaerobia deben ser establecidas
en un rango óptimo de operación durante la evolución del proceso (Simeonov, 2010) para
asegurar la vida microbiana y la calidad del producto final. Las variables más destacadas
del proceso de digestión anaerobia son temperatura, pH, nutrientes, toxicidad, tiempo de
retención hidráulico y velocidad de carga orgánica.
3.1.4.1.
Temperatura
La velocidad de reacción de los procesos biológicos está determinada por la temperatura, al mismo tiempo la temperatura establece la velocidad del crecimiento poblacional
de los microorganismos con un aumento o una disminución en la magnitud de la variable.
La temperatura determina la producción de biogás debido a que a mayores temperaturas
se incrementa la producción de biogás, también establece el tiempo de digestión bacteriana.
Los microorganismos que participan en la digestión anaerobia deben ser establecidos de
3.1. Reactores anaerobios
30
manera estricta en un rango óptimo de temperatura para su crecimiento. Dependiendo del rango de temperatura en el proceso, los microorganismos anaerobios pueden ser
clasificados en tres rangos de temperatura los cuales son: Psicrofı́lico, Mesofı́lico y Termofı́lico. En la Tabla 3.1 se muestra el rango de temperaturas operativas para cada tipo
de microorganismo.
Tabla 3.1. Clasificación de microorganismos de acuerdo a la temperatura de operación en
el proceso de digestión anaerobia
Tipo de microorganismo
Rango de temperatura
Psicrofı́lico
Mesofı́lico
Termofı́lico
4-15◦ C
20-40◦ C
45-70◦ C
Mantener un rango de temperatura operativo durante la evolución del proceso debe
ser de alta prioridad para la garantizar la vida y el desarrollo bacteriano, continúas variaciones de temperatura pueden comprometer de manera negativa todo el proceso aun más
que una magnitud fija de temperatura.
Las bacterias metanogénicas son las más sensibles ante variaciones térmicas, producen
desequilibrios biológicos en el proceso que se manifiesta en una baja producción de biogás
y en la formación de productos inesperados que causan la inhibición total del proceso.
3.1.4.2.
pH
Para cada grupo de microorganismos que participan en el proceso de digestión anaerobia existe un valor de pH bien definido para su óptimo crecimiento y desarrollo, sin
embargo son capaces de tolerar un rango menor o mayor de pH en su medio de vida
(Coronado, 2010). De forma general, se pude considerar que el rango para los distintos
grupos bacterianos que participan en la digestión anaerobia oscila entre 6 − 8.5. La Tabla
3.2 muestra el rango de pH para cada grupo bacteriano que participa en el proceso.
Para que el proceso se lleve a cabo de manera satisfactoria bajo ningún motivo el
valor del pH debe ser menor a 6 ni superior a 8.5 (Jayakody, 2007). Debido a que las
bacterias productoras metanogénicas determinan la cantidad producida de biogás, es de
alta prioridad que éstas deban mantenerse en un rango estricto de pH en su medio puesto
que son las bacterias más sensibles al desequilibrio ante variaciones del pH en el medio.
Existen distintos fenómenos de inestabilidad en la planta derivados a partir de variaciones
en el valor de pH en el lecho del reactor. Los más comunes son la sobrecarga orgánica, la
producción e infiltración de sustancias tóxicas, o la acidificación del digestor provocada
por la desigualdad entre la producción y el consumo de ácidos grasos volátiles.
3.1. Reactores anaerobios
31
Tabla 3.2. Rango de operación óptimo de pH para el crecimiento de los microorganismos
anaerobios.
Tipo de microorganismo
Rango de pH
Fermentativo
Acetogénico
Metanogénico
7.2-7.4
7.0-7.2
6.5-7.5
El pH también es el encargado de algunos equilibrios quı́micos, tal es el caso de la regulación ácido-base del amoniaco y el ácido acético. Un incremento de pH fuera de rango
aumentarı́a la producción de amoniaco provocando la inhibición de la fase metanogénica.
3.1.4.3.
Nutrientes
Los nutrientes son esenciales para determinar la velocidad del crecimiento poblacional
de los microorganismos en el digestor, al mismo tiempo regulan la cantidad producida de
biogás al final del proceso.
Un nivel adecuado en la concentración de nutrientes para las bacterias metanogénicas
debe asegurar la producción óptima de biogás, de otro modo una proporción desequilibrada de nutrientes provoca un descenso en el volumen de biogás producido.
El nitrógeno es un nutriente fundamental para la vida y el crecimiento bacteriano, los
microorganismos lo ocupan para la formación de paredes celulares. Los microorganismos
son capaces de captar cualquier forma soluble de nitrógeno dentro digestor anaerobio.
3.1.4.4.
Toxicidad
La inhibición del proceso de digestión anaerobia puede ocurrir cuando existe la presencia de sustancias tóxicas en el sistema biológico (Zaher, 2006), compuestos tóxicos aun
en bajas concentraciones afectan la actividad metabólica de las bacterias.
Existen varias sustancias que se consideran como tóxicas para el proceso. Las sustancias
pueden provenir de los subproductos de la actividad metabólica de las bacterias o se encuentran presentes en el afluente. A continuación se describe brevemente los compuestos
que incrementan el nivel de toxicidad en el sistema.
Nitrógeno Amoniacal
El nitrógeno amoniacal está presente en aguas residuales que contienen grandes concentraciones de proteı́nas y aminoácidos, es mineralizado a amonio durante la digestión
anaerobia. La toxicidad se presenta con la formación de amonio de la forma no ionizada
3.1. Reactores anaerobios
32
que resulta en amoniaco libre que a altas concentraciones provoca la inhibición del proceso, sin embargo, el nitrógeno amoniacal en bajas concentraciones se considera como un
sustrato necesario para crecimiento de las bacterias anaerobias.
Ácidos grasos volátiles
La participación de los ácidos grasos volátiles (AGV´s) es esencial en la etapa de acidogénesis, no obstante una alta concentración de AGV´s disminuyen la producción de
volumen de biogás producido por el digestor. El aumento en la concentración de ácido
propiónico dentro del sistema en particular de la forma no ionizada puede inhibir completamente la fase de acetogénesis y la fase de metanogénesis del proceso.
Compuestos inorgánicos de azufre
El agua residual contiene compuestos inorgánicos de azufre como el sulfato y el sulfito que durante la digestión son transformados en ácido sulfhı́drico. La toxicidad en el
sistema se debe a la formación de la forma no ionizada del ácido sulfhı́drico el cual tiene
la capacidad de atravesar la membrana celular de los microorganismos. Los niveles de
concentración de ácido sulfhı́drico para que se presente la inhibición se debe encontrar en
un rango de 50 a 250 mg/l.
Aunque las bacterias metanogénicas son las más susceptibles a la inhibición por alguna
condición de toxicidad en el sistema.
3.1.4.5.
Tiempo de retención hidráulico
El tiempo de retención hidráulico (THR) o tasa de dilución es el resultado del cociente
del volumen del reactor y el flujo de alimentación. Este parámetro se usa para determinar
el tiempo adecuado de la retención de materia orgánica en el interior del digestor sometida
a la influencia de la biomasa para que puedan producirse todas las reacciones quı́micas de
manera normal para la producción de biogás. El THR de cada proceso está determinado
por el tipo de digestor anaerobio que se utiliza.
El THR influye en la velocidad de producción de biogás debido a que un aumento produce
un incremento en la degradación de la materia orgánica, también determina la producción
de metano contenido en el biogás al final de la fase de metanogénesis.
3.1.4.6.
Velocidad de carga orgánica
La velocidad de carga orgánica (VCO) es la cantidad de materia orgánica que se introduce al interior del digestor por unidad de volumen y tiempo. La magnitud depende
directamente de la concentración del sustrato y del THR establecido por la ingenierı́a
del proceso. Un sobre-incremento en la VCO provoca la disminución en la producción de
biogás, por lo tanto se debe establecer un valor óptimo para el sistema y el residuo a
tratar.
Actualmente existen instrumentos capaces de medir dichas variables pero esta medición
3.1. Reactores anaerobios
33
no se realiza en tiempo real ni de forma contı́nua, por tal motivo, se han desarrollado
herramientas matemáticas que permiten realizar la estimación de dichas variables. Los
observadores de estado han sido una herramienta útil para la estimación de las concentraciones de materia orgánica y cinética de crecimiento en reactores anaerobios, además
de esto, se han empleado para generar residuos e implementar esquemas de detección y
localización de fallas para la supervisión y el desarrollo de sistemas de ayuda a la decisión
del operador humano de este tipo de reactores.
3.1.5.
Clasificación de los reactores anaerobios
3.1.5.1.
Clasificación de los reactores por su régimen de operación
Existen distintas formas de clasificar a los reactores quı́micos utilizados para el tratamiento de aguas residuales, una forma de agruparlos y clasificarlos es de acuerdo a su forma
de operación las cuales pueden ser:
Discontinuos
Semi-continuos
Continuos
3.1.5.2.
Reactores discontinuos
Los reactores discontinuos se usan principalmente para llevar acabo reacciones en fase
lı́quida. Son tanques en donde no ingresa ni sale material durante el proceso de reacción,
todos los reactivos necesarios para llevar a cabo las reacciones son introducidos al tanque
al inicio del proceso de tal forma que la masa total contenida en el reactor permanece
constante, el operador establece todas las consignas de operación del digestor incluyendo
la temperatura y presión para efectuar el proceso adecuadamente.
Una vez transcurrido el tiempo de reacción se da por terminado el proceso, todos los productos convertidos son vaciados del reactor, se repite el proceso una vez lavado el tanque
para ser usado nuevamente.
Este tipo de operación presenta diferentes retos de ingenierı́a, la dificultad en la repetibilidad de los procesos, las diferencias en las caracterı́sticas fı́sicas y quı́micas de los productos
son los desafı́os a resolver. Para el control y la automatización de este tipo de reactores
se necesita un equipo altamente especializado que logre mantener en rangos estrictos las
variables del proceso para alcanzar los productos deseados
3.1.5.3.
Reactores semi-continuos
Los reactores semi-continuos son aquellos en donde se carga inicialmente el reactor con
ciertos reactivos al inicio del proceso para que a medida del tiempo se vayan realizando
3.1. Reactores anaerobios
34
las reacciones necesarias y se incorporen reactivos adicionales para la obtención del producto final, la masa total contenida en el digestor no es constante durante la evolución
del proceso.
Una de las ventajas que tienen los reactores semi-continuos con respecto a los discontinuos
se basa en que el reactor solo necesita realizar las reacciones de los reactivos no reaccionados en cada instante de tiempo y en cantidades pequeñas, esto reduce la demanda de
energı́a requerida para llevarlas a cabo.
La toma de muestras en etapas clave del proceso en un reactor semi-continuo permite la
detección de desviaciones de proceso y hacer todos los ajustes necesarios para obtener un
producto de acuerdo a la ingenierı́a del proceso, en un sistema biológico discontinuo es
más difı́cil la detección oportuna de desviaciones del proceso.
3.1.5.4.
Reactores continuos
La operación de un reactor quı́mico de régimen continuo se basa en que realiza el
proceso de manera ininterrumpida, es decir, existe una cantidad de reactivos que son alimentados constantemente al interior del reactor para llevar a cabo reacciones especificas,
simultáneamente existe una recolección de productos producidos por el sistema, la masa
total contenida en el reactor no es constante.
Los reactores de tipo continuo tienen ventaja económica, la producción en alto volumen representa la recuperación de la inversión inicial, además mı́nimas modificaciones al
reactor permiten adaptarlo al mismo proceso pero con otros tipos de reactivos de caracterı́sticas similares.
Este tipo de reactores se utiliza cuando se requieren altas tasas de producción, mientras
que para tasas bajas de producción se suele utilizar reactores discontinuos.
A continuación se describe la clasificación de los reactores basada en el funcionamiento.
3.1.5.5.
Clasificación de los reactores basada en su funcionamiento
Además de la clasificación de los reactores por su tipo de operación, existen diversos
reactores con diferencias en el funcionamiento, a continuación se presentan los diferentes
tipos de reactores anaerobios existentes.
3.1.5.6.
Reactor continuamente agitado (CSTR)
Los reactores anaerobios continuamente agitados (CSTR5 ) fueron de los primeros reactores que se construyeron y a la fecha son ampliamente utilizados para la digestión anaerobia de desechos con gran concentración de sólidos como: lodos fecales y la materia organica
proveniente de los desechos municipales (Kleerebezem, 2003, Monroy, 1998).
El tiempo de retención hidraúlica (TRH) de este tipo de reactores está determinado por
5
CSTR por las siglas en inglés de Continuously Stirred Tank Reactor
3.1. Reactores anaerobios
35
la velocidad de crecimiento especı́fico del microorganismo con crecimiento más lento en
el sistema, por lo que, se requieren valores muy grandes de THR para alcanzar niveles
aceptables de degradación (alrededor de 25 dı́as). Por lo tanto, su principal desventaja es
que este tipo de reactores son poco factibles para el tratamiento de corrientes de desechos
con concentraciones moderadas de compuestos orgánicos disueltos de agua residual, es
decir, de 4 a 30 KgDQO/m3 . Otra desventaja proviene de su diseño, como se muestra en
el diagrama esquemático de la Fig.3.1, el agitador que aparece en esta figura se encarga
de mantener la mezcla adecuada entre el flujo de agua residual (afluente) y las bacterias
que se encuentran en el reactor, sin embargo esta acción de mezclado ocasiona que el flujo
del agua tratada (efluente) contenga cantidades importantes de biomasa.
Fig. 3.1. Diagrama esquemático de un reactor continuamente agitado (CSTR).
3.1.5.7.
Reactor continuamente agitado (CSTR) con recirculación
En la Fig. 3.2 se muestra el reactor CSTR con recirculación, el cual cuenta con un
reactor CSTR y un tanque adicional, en donde se recolecta el efluente proveniente del
reactor, y la biomasa contenida en el agua residual, es separada mediante sedimentación
por gravedad (Kleerebezem, 2003, Monroy, 1998). Durante la opeación, la biomasa que es
recolectada por sedimentación es regresada al reactor tipo CSTR, con lo cual se incremente
la capacidad de degradación volumétrica en el sistema. Sin embargo, la máxima concentración de biomasa que puede ser alcanzada en estos sistemas está usualmente limitada a
valores de 4 a 6 KgDQO/m3 , por lo cual esta tecnologı́a sólo puede ser aplicada en una
escala muy limitada para el tratamiento de aguas residuales industriales que contengan
compuestos orgánicos disueltos.
3.1.5.8.
Reactor anaerobio de manto de lodos de flujo ascendente (UASB)
El reactor anaerobio de manto de lodos de flujo ascendente (UASB6 ) fue desarrollado
en 1980 por Dr. Gatze Lettinga (Lettinga, 2004), se utiliza ampliamente para el tratamiento de aguas residuales por su capacidad para el tratamiento de contaminantes altamente
solubles en agua. Este tipo de reactor es un tanque de sección normalmente rectangular,
el cual se alimenta a través de un sistema de tuberı́as de distribución del agua residual a
6
UASB por las siglas en inglés de Upflow Anaerobic Sludge Blanket
3.1. Reactores anaerobios
36
Fig. 3.2. Diagrama esquemático de un reactor continuamente agitado con recirculación
Fig. 3.3. Representación pictórica del reactor anaerobio UASB.
partir de su sección inferior (Fig. 3.3).
El lı́quido a depurar asciende con una pequeña velocidad, poniéndose en contacto con una
alta concentración de lodos anaerobios (semilla biológica), los cuales por acción metabólica de las bacterias producen burbujas de biogás, lecho que es conocido como ”manto de
lodos”por su capacidad de expandirse debido al flujo ascendente sin ser evacuado del reactor.
El manto de lodos es el corazón biológico del proceso, pues en él se lleva a cabo la transformación bioquı́mica de la materia orgánica contaminante para obtener biogás y agua
tratada. Para ello se debe alimentar el reactor con importantes cantidades de lodos anaerobios maduros, antes de la puesta en operación del proceso (procedentes por ejemplo de
tanques sépticos, boñigas frescas, etc).
El caudal afluente ocasiona la expansión del lecho de lodos, de tal forma que se presentan
simultáneamente procesos de filtración biológica y adsorción, ası́ como decantación. Para
evitar el arrastre de biomasa, se incorporan separadores de fases (gas, lı́quido y sólido) en
la parte superior del tanque (Fig. 3.3), a partir de las cuales es factible reutilizar el biogás
incrementando el tiempo de retención celular.
3.2. Reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e Investigación del
Instituto Tecnológico de Orizaba
37
Posiblemente el mayor problema operacional de este tipo de reactor es su arranque o
puesta en marcha, para lo cual se debe alimentar inicialmente con un caudal controlado menor que el de diseño, con estricto control del pH, de la presencia de ácidos grasos
volátiles (AGV), del crecimiento neto celular medido en términos de sólidos suspendidos
volátiles, de la relación entre la biomasa activa y la capacidad de digestión biológica de la
materia orgánica medida en términos de la actividad metanogénica especı́fica (AME) y de
las caracterı́sticas de sedimentabilidad del manto medido a través del ı́ndice volumétrico
de lodos (IVL), etc.
En los reactores UASB se pueden tratar aguas residuales con altas concentraciones de
biomasa, es decir, de 20 a 30 KgDQO/m3 . La simplicidad de su construcción y su gran
capacidad de tratamiento volumétrico han hecho que estos reactores sean los más utilizados a nivel mundial (Albino, 2011), ya que tienen la capacidad de lograr una descontaminación que va del 65 al 90 % en función de la concentración y biodegradabilidad del agua
residual (Coronado, 2010).
3.1.5.9.
Reactores de biopelı́cula
Los reactores de biopelı́cula utilizan biomasa adherida en una pelı́cula fija (reactores
de lecho fijo) o en un material móvil (reactores de lecho móvil). Ninguno de estos reactores tienen la limitación hidráulica que presentan los reactores UASB. Sin embargo su
desventaja se debe a que el volúmen ocupado por el material de soporte que se encuentra
en su interior reduce el volúmen útil que está disponible para la formación de biomasa,
por lo que su capacidad de tratamiento volumétrico es generalmente baja (Kleerebezem,
2003).
El desarrollo del modelo matemático del reactor de biopelı́cula es complejo, ya que se
incorporan todas las etapas biológicas con sus mecanismos inhibitorios, el cálculo del pH
y de las concentraciones de especies iónicas y no disociadas, ası́ como la producción global
de gas.
3.2.
Reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e Investigación del Instituto Tecnológico
de Orizaba
En el presente trabajo se utiliza como caso de estudio el reactor UASB de la División
de Estudios e Investigación del Instituto Tecnológico de Orizaba. El diagrama esquemático
de dicho reactor se muestra en la Fig. 3.4. Sus caracterı́sticas se muestran en la Tabla 3.3.
Para su operación son necesarias dos bombas: una que alimenta el reactor con agua
residual, y la otra que recircula agua tratada. La bomba de alimentación tiene un lazo de
control para mantener el pH del interior del reactor controlado, el cual debe permanecer en
el rango de 6.8 a 7.5 (Coronado, 2010). La bomba de recirculación, sólo está programada
para activarse cada 10 minutos y recircular el agua tratada.
En la parte superior del reactor, a una altura que corresponde al 80 % de la altura total
3.2. Reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e Investigación del
Instituto Tecnológico de Orizaba
38
Tabla 3.3. Caracterı́sticas del reactor UASB del Tecnológico de Orizaba
Caracterı́stica
Valor
Altura total
650 mm
Altura útil
550 mm
Diámetro interno
70 mm
Volumen útil
2.11 L
Tipo de microorganismos mesofı́licos
Modo de operación
continuo
Temperatura de operación
35◦ C
del reactor, se encuentra una salida de agua tratada. Una parte de esta agua se destina a
un recipiente que contiene una sonda para medir el pH del agua tratada, el resto va hacia
una conexión que destina una parte del agua a la recirculación y la otra a un contenedor
(efluente, ver el diagrama de la Fig. 3.4). Por último, en la parte superior del reactor
cuenta con una conexión que permite extraer el biogás producido y almacenarlo en un
recipiente adaptado con un sensor de presión, por medio del cual se monitorea cada 10
minutos la cantidad de biogás producido. El reactor se encuentra dentro de un cuarto con
temperatura controlada para su adecuado funcionamiento. Las lecturas de los sensores
se obtienen de forma continua, ya que están conectados a una tarjeta de adquisición de
datos que permite hacer el monitoreo y control del reactor.
El modelo del reactor UASB está basado el modelo ADM1 simplificado que sólo considera
un grupo bacteriano. Dicho modelo fue reportado en (Martı́nez, 2011) y se describe a
continuación:
·
x1 (t) = Y1 µ1 IpH (t) x1 (t) − αD (t) x1 (t) − kd x1 (t)
(
)
·
s1 (t) = D (t) si1 (t) − s1 (t) − µ1 IpH (t) x1 (t)
·
Qch4 (t) = (1 − Y1 ) Ych4 µ1 IpH (t) x1 (t) − Qch4 (t)
con:
µ1 =
(3.1)
(3.2)
(3.3)
km,1 s1 (t)
1 + 2 ∗ 100.5(pHLL −pHU L )
, IpH (t) =
ks,1 + s1 (t)
1 + 10(pH−pHU L ) + 10(pHLL −pH)
Donde: x1 (t), es la concentración de biomasa anaerobia; s1 (t), la concentración de materia
orgánica en el efluente expresada como demanda quı́mica de oxı́geno (DQO); Qch4 (t), es
el metano gaseoso producido; D (t), es la tasa de dilución; km,1 , kd y ks,1 , son la velocidad
especı́fica de crecimiento, decaimiento y constante de semi-saturación para la biomasa
anaerobia respectivamente; Y1 , es el coeficiente de rendimiento para la degradación de
DQO; si1 (t), es la degradación de DQO en el afluente; IpH (t), representa la inhibición de
pH, pHLL y pHU L respectivamente, son los lı́mites superior e inferior de pH donde son
inhibidos el 50 % de los microorganismos.
3.3. Modelo LPV politópico del caso de estudio
39
Fig. 3.4. Diagrama esquemático del reactor anaerobio UASB de la División de Estudios e
Investigación del Instituto Tecnológico de Orizaba.
Los parámetros que se presentan en la Tabla 3.4 se consideran costantes.
Tabla 3.4. Parámetros constantes del reactor anaerobio UASB.
3.3.
3.3.0.10.
Parámetro
Valor
Y1
ks,1
kd
km,1
Ych4
α
0.1 gDQO/gDQO
0.5 gDQO/L
0.02 L/d
5.1 gDQO/gDQO·d
0.35 Lch4/gDQO
0.5 (adimensional)
Modelo LPV politópico del caso de estudio
Obtención del modelo LPV politópico del caso de estudio
Para la obtención del modelo LPV politópico se siguieron los siguientes pasos:
3.3. Modelo LPV politópico del caso de estudio
40
Metodologı́a
1. Se definen: IpH (t) y D (t) como parámetros variables, y si1 (t) como entrada del
sistema. El parámetro IpH representa la inhibición en el crecimiento de la biomasa
causada por el pH; la tasa de dilución D(t) es el cociente entre el flujo que entra al reactor y el volumen útil de éste (F/V ), por último, si1 es la concentración
DQO en el afluente. Estos parámetros fueron seleccionados ya que influyen de forma
significativa en la dinámica de los microorganismos dentro del reactor.
2. Los valores de pH y D se seleccionaron en base a los resultados experimentales
obtenidos en el reactor anaerobio UASB usado como caso de estudio (Coronado,
2010). Cada parámetro variable pertenece a los siguientes conjuntos:
D (t) ∈ [0.3, 0.5] d−1 , IpH (t) ∈ [0.9068, 1], por lo tanto, los vértices del polı́topo formado por la combinación de los valores extremos de los parámetros son:
V1 = [0.3, 0.9068] V3 = [0.3, 1]
V2 = [0.5, 0.9068] V4 = [0.5, 1]
Fig. 3.5. Politopo formado por la combinación de los valores extremos de los pará metros
D(t) e IpH (t).
3. Se obtiene el Jacobiano del modelo no lineal.
[
]

ks,1
Y1 µ1 IpH − αD (t) − kd
Y1 km,1 (k +s
IpH x1ss
0
2
s,1

[ 1ss )
]

ks,1
−µ1 IpH
−D (t) − km,1 (k +s
A (ρ) = 
IpH x1ss y
0
2
s,1
1ss )

[
]
ks,1
(1 − Y1 ) Ych4 µ1 IpH
(1 − Y1 ) Ych4 km,1 (k +s )2 IpH x1ss −1
s,1

0
B (ρ) =  D (t) 
0

1ss





3.3. Modelo LPV politópico del caso de estudio
41
4. La forma explı́cita de las matrices anteriores evaluadas en cada vértice del polı́topo
son:




0
0.1769
0
0
0.22 0
A1 =  −1.69 −2.0687 0  A2 =  −1.70 −2.5 0 
0.5355 0.5571 −1
0.5355 0.693 −1




0
0.0682 0
0
0.102
0
A3 =  −2.70 −1.182 0  A4 =  −2.70 −1.5196 0 
0.8505 0.2148 −1
0.8505 0.3212 −1








0
0
0
0
B1 =  0.3  B2 =  0.3  B3 =  0.5  B4 =  0.5 
0
0
0
0
Se verificó que todas las matrices fueran estables obteniendo sus eigenvalores. Los
cuales se presentan a continuación:








−1
−1
−1
−1
A1 =  −1.9115  A2 =  −2.3402  A3 =  −0.9974  A4 =  −1.3093 
−0.2103
−0.1846
−0.1598
−0.1572
5. Las funciones de ponderación propuestas que satisfacen las restricciones establecidas
para estas (Hamdi, 2009) son:
λ1 (ρ) =
D − D (t) IpH − IpH (t)
0.5 − D (t) 1 − IpH (t)
∗
=
∗
0.5 − 0.3
1 − 0.9068
D−D
IpH − IpH
λ2 (ρ) =
D − D (t) IpH (t) − IpH
0.5 − D (t) IpH (t) − 0.9068
∗
=
∗
0.5 − 0.3
1 − 0.9068
D−D
IpH − IpH
λ3 (ρ) =
D (t) − D IpH − IpH (t)
D (t) − 0.3 1 − IpH (t)
∗
=
∗
0.5 − 0.3
1 − 0.9068
D−D
IpH − IpH
λ4 (ρ) =
D (t) − 0.3 1 − IpH (t)
D (t) − D IpH (t) − IpH
∗
=
∗
0.5 − 0.3
1 − 0.9068
D−D
IpH − IpH
6. Se multiplica cada modelo por su respectiva función de ponderación:
·
x (t) =
4
∑
λi (ρ) [Ai x (t) + Bi u (t)]
(3.4)
i=1
y(t) = Cx(t)
donde:

1 0 0
C= 0 1 0 
0 0 1

Lo cual implica que todas las variables de estado del modelo son medibles.
(3.5)
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
3.4.
42
Observadores aplicados al caso de estudio
Para el diseño de los observadores se consideran las ecuaciones diferenciales de las
variables de estado del modelo LPV politópico de la Ec. (3.4), y las matrices de salidas
medibles descritas a continuación:
]
]
[
[
[
]
1 0 0
0 1 0
C1 =
, C2 =
, C3 = 0 0 1
0 0 1
0 0 1
Considerando que el vector de variables de estado es:


x1 (t)
x (t) =  s1 (t) 
Qch4(t)
La matriz C1 implica que las salidas medibles del sistema son la cantidad de materia
orgánica en el efluente (s1 ) y la cantidad de metano gaseoso producido (Qch4 ), en el caso
de la matriz C2 , las salidas disponibles son la cantidad de biomasa anaerobia (x1 ) y el
metano gaseoso producido (Qch4 ), en tanto que, al utilizar la matriz C3 se considera que
la única salida medible del sistema es el metano gaseoso producido (Qch4 ).
3.4.1.
Observador tipo Luenberger
Considere el observador tipo Luenberger descrito en la Ec. (2.9). Para su sintonización
se resolvió la LMI de la Ec. (2.15). Para resolverla se propone el radio r = 1 y centro
en q = 5, los parámetros de sintonización son válidos para las tres matrices de salidas
medibles consideradas. Estos valores se seleccionan de tal forma que se obtengan matrices
definidas positivas que satisfagan la LMI. Las ganancias del observador en cada vértice
del polı́topo estan dadas por:
Li = Pi−1 Qi
El valor de estas matrices se muestra a continuación:
1. Considerando a C1 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:




5.0100 0.0314
5.0064 0.0201
L1 =  −1.5934 0.3325  , L2 =  −1.5873 0.3550 
0.5649 4.0989
0.5536 4.0634




5.0020 0.0064
5.0009 0.0027
L3 =  −2.6515 0.1527  , L4 =  −2.6308 0.2179 
0.8569 4.0202
0.8532 4.0086
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
43
2. Considerando a C2 como la matriz de salidas medibles, matrices de ganancias del
observador son:




−0.8476 0.3217
−0.8049 0.3217
L1 =  3.2796 −0.1094  , L2 =  2.8487 −0.1094 
0.4477
4.0343
0.5836
4.0343




−1.2226 0.4066
−1.1888 0.4066
L3 =  4.5153 −0.2196  , L4 =  4.1777 −0.2196 
−0.0048 4.0692
0.1016
4.0692
3. Considerando a C3 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:








0.5995
0.6323
0.7411
0.7782
L1 =  0.1111  , L2 =  0.1240  , L3 =  −0.3067  , L4 =  −0.2687 
4.1210
4.1563
4.1311
4.1456
3.4.2.
Observador con estructura general
Considere el observador con estructura general descrito en las Ecs. (2.16-2.17). Para encontrar el valor de las ganancias de este observador se resolvió la LMI de la Ec.(2.27),
definiendo un área en el semiplano izquierdo a una distancia −α del origen.
Para solucionar la LMI se considera α = 5 para las diferentes matrices de salidas medibles.
El valor de α se propone por el diseñador en función de los resultados obtenidos. Es decir,
si con el α propuesto al resolver la LMI se obtienen matrices definidas positivas y con
las matrices obtenidas se logra obtener ganancias del observador con las cuales se realiza
una buena estimación, el valor es válido, en caso contrario, el diseñador debe proponer
otro valor. Al solucionar la LMI se obtienen los valores X(ρ), Q(ρ) y R(ρ).Se realiza el
algebra necesaria y se obtienen las matrices numéricas de gananacias de los observadores,
las cuales se presentan a continuación:
1. Considerando a C1 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:




−4.5000
0
0
−4.5000
0
0
N1 = 
0
−4.5 00 
0
−4.5 00  , N2 = 
0
0
−4.5
0
0
−4.5


−4.5000
0
0
N3 = 
0
−4.5 00  , N4 = 
0
0
−4.5



−0.3623 −0.1681
E1 =  −0.7014 −0.1427  , E2 = 
−0.0252 1.1654


−4.5000
0
0
0
−4.5 00 
0
0
−4.5

−0.3444 −0.1394
−0.5960 −0.1439 
−0.0317 1.1629
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
44




−0.3504 −0.7351
−0.2342 −0.5799
E3 =  −1.7121 1.3544  , E4 =  −1.5627 0.7321 
0.0924
1.0829
0.0747
1.1210



2.7643 −0.5885
2.8432



L1 = −6.7608 −0.4996 , L2 = −5.6620
0.0545
7.5788
−0.0031



2.5576 −2.5729
3.1449
L3 =  −17.2294 4.7405  , L4 =  −14.5397
1.1508
7.2900
0.9159

−0.4879
−0.5037 
7.5703

−2.0297
2.5622 
7.4234



0.0057
0.0028
G1 =  0.6231  , G2 =  0.5123 
0.1743
0.1790




−0.0356
−0.0481
G3 =  1.9772  , G4 =  1.5056 
0.2267
0.1919

2. Considerando a C2 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:




−4.5000
0
0
−4.5000
0
0
N1 = 
0
−4.5 00 
0
−4.5 00  , N2 = 
0
0
−4.5
0
0
−4.5


−4.5000
0
0
N3 = 
0
−4.5 00  , N4 = 
0
0
−4.5



2.4514 −0.6280
E1 =  −0.9398 0.1915  , E2 = 
0.6707
1.1358



1.5430 −0.3926
E3 =  −0.8954 0.3322  , E4 = 
0.6674
1.1187



5.7748 −2.1979
L1 =  0.1169 0.6704  , L2 = 
2.8265 7.4755



5.0441 −1.3742
L3 =  0.3980 1.1628  , L4 = 
2.6711 7.4155


−4.5000
0
0
0
−4.5 00 
0
0
−4.5

2.4372 −0.6687
−0.9415 0.1866 
0.6704
1.1363

1.5303 −0.4331
−0.8960 0.3302 
0.6674
1.1189

4.7137 −2.3405
0.0394 0.6530 
2.8303 7.4769

4.4470 −1.5157
0.3703 1.1558 
2.6733 7.4161
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
45




0.7354
0.7312
G1 =  0.0180  , G2 =  0.0176 
0.2012
0.2011




0.7715
0.7651
G3 =  0.0523  , G4 =  0.0520 
0.3337
0.3337
3. Considerando a C3 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:




−4.5000
0
0
−4.5000
0
0
N1 = 
0
−4.5 00  , N2 = 
0
−4.5 00 
0
0
−4.5
0
0
−4.5



−4.5000
0
0
N3 = 
0
−4.5 00  , N4 = 
0
0
−4.5



−7.1769
E1 =  5.6064  , E2 = 
0.8972


−9.0450
E3 =  20.4998  , E4 = 
−0.3947



−25.1191
L1 =  19.6223  , L2 = 
6.6402



−31.6576
L3 =  71.7494  , L4 = 

2.1185

−4.5000
0
0
0
−4.5 00 
0
0
−4.5

−5.8764
3.7473 
0.9809

−8.6686
15.1942 
0.0039

−20.5675
13.1156 
6.9332

−30.3403
53.1796 
3.5135



0.2409
0.1184
G1 =  0.5282  , G2 =  0.3528 
0.1865
0.1787




−0.5320
−0.5913
G3 =  3.2287  , G4 =  2.3931 
0.1581
0.0953

3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
3.4.3.
46
Observador con entradas desconocidas (UIO)
Considere el Observador UIO descrito en la Ec.(2.28). Para su sintonización se resolvió la
LMI de la Ec.(2.38) definiendo una región circular con radio r y centro en (−q, 0). Para
resolverla se propone el radio r = 1 con centro en q = 14 para los observadores con
cualquiera de las matrices de salidas medibles. Al resolver la LMI se obtienen las matrices
Q(ρ) y P (ρ) por lo que K1 (ρ) = P (ρ)−1 Q(ρ), posteriormente este resultado se sustituye
en S(ρ) = T A(ρ) − K1 (ρ)C, se verifica que las matrices S(ρ) sean estables y se obtiene el
resto de las matrices por sustitución y despeje directo.
El valor de estas matrices se muestran a continuación:
1. Considerando a C1 como la matriz de salidas
del observador son:



1 0
H =  0 1 ,T = 
0 1
medibles, las matrices de ganancias

0 0 0
0 1 −1 
0 0 0







0
0
0
0
∆z1 =  0.6744  , ∆z2 =  0.7223  , ∆z3 =  0.6292  , ∆z4 =  0.7542 
0
0
0
0




−14
0
0
−14
0
0
S1 =  0 −2.6258 0  , S2 =  0 −3.193 0 
0
0
−14
0
0
−14




−14
0
0
−14
0
0
S3 =  0 −1.3968 0  , S4 =  0 −1.8408 0 
0
0
−14
0
0
−14





0
0
0
0
K1 =  −2.2325 −1.6258  , K2 =  −2.2335 −2.1930 
0
0
0
0




0
0
0
0
K3 =  −3.5505 −0.3968  , K4 =  −3.5505 −0.8408 
0
0
0
0
2. Considerando a C2 como la matriz
del observador son:

−1
H= 1
0
de salidas medibles, las matrices de ganancias



1 1 0
0
0 ,T =  0 0 0 
0 0 0
1
3.4. Observadores aplicados al caso de estudio
47








0.4621
0.4950
0.4306
0.5162
 , ∆z2 = 
 , ∆z3 = 
 , ∆z4 = 

∆z1 = 
0
0
0
0
0
0
0
0



−1.7 0
0
−1.6990 0
0
S1 = 
0
−14 0  , S2 =  0
−14 0 
0
0 −14
0
0 −14




−2.7 0
0
−2.7 0
0
S3 =  0
−14 0  , S4 =  0
−14 0 
0
0 −14
0
0 −14


−0.1928

K1 =
0
0

1.5862

K3 =
0
0



−0.5800 0
0
0  , K2 = 
0
0 
0
0
0



1.2824 0
0
0
0 
0  , K4 = 
0
0
0
3. Considerando a C3 como la matriz de salidas medibles, las matrices de ganancias
del observador son:


 
1 0 −1
1
H =  1  , T =  0 1 −1 
0 0 0
1







0.1233
0.1029
0.1173
0.1096
∆z1 =  0.6744  , ∆z2 =  0.7223  , ∆z3 =  0.6292  , ∆z4 =  0.7542 
0
0
0
0



−0.5335 −0.4730 0
−0.5335 −0.3802 0
S1 =  −2.2325 −2.6258 0  , S2 =  −2.2335 −3.1930 0
0
0
−14
0
0
−14



−0.8505 −0.2192 0
−0.8505 −0.1466 0
S3 =  −3.5505 −1.3968 0  , S4 =  −3.5505 −1.8408 0
0
0
−14
0
0
−14




−0.0065
0.0863
K1 =  −3.8583  , K2 =  −4.4265 
0
0




−0.0697
0.0029
K3 =  −3.9473  , K4 =  −4.3913 
0
0





Capı́tulo 4
Esquema de detección y localización
de fallas
En este capı́tulo se presenta el esquema FDI basado en observadores implementado
para el reactor anaerobio UASB utilizado como caso de estudio. Para su diseño se utilizó el
modelo LPV del reactor descrito en el capı́tulo anterior.
4.1.
Esquema FDI para el reactor UASB
En este trabajo se empleó el esquema GOS para el diseño del esquema FDI. Una
representación esquemática de éste se muestra en la siguiente figura:
Fig. 4.1. Representación esquemática de un banco de observadores GOS, considerando 3
observadores.
El esquema GOS permite obtener residuos como resultado de la comparación de las
salidas reales del sistema y las estimaciones realizadas con cada observador. Una vez
obtenidos los residuos se generan las firmas caracterı́sticas de cada falla. Cuando se realiza
el esquema GOS cada observador del banco debe satisfacer en todo momento la condición
de obervabilidad.
49
4.2. Esquema FDI aplicado al caso de estudio
50
Para los sistemas LPV, la condición de observabilidad es similar a la de los sistemas LTI,
con la diferencia de que en estos sistemas la observabilidad se debe satisfacer en cada
vértice del polı́topo.
Considere el siguiente sistema LPV politópico descrito en la Ec.(2.8). La observabilidad
de este sistema esta dada por la matriz de observabilidad definida en cada vértice del
polı́topo:


C
 CAi 



2 
ϑi =  CAi 


..


.
CAn−1
i
El sistema LPV politópico es observable, si y sólo si, la matriz de observabilidad en todos
los vértices del polı́topo tiene rango completo (Briat, 2008), es decir:
∀ ϑi rank(ϑi ) = n
En los bancos de observadores, la condición de observabilidad se debe satisfacer con todas
las matrices de salidas medibles del sistema consideradas para el diseño de los observadores
del banco.
Una vez garantizada la observabilidad del sistema, el siguiente paso es la generación de
residuos. Los cuales son generados por la comparación de las salidas reales del sistema y
los valores estimados por los observadores. Es preciso señalar, que idealmente para el caso
libre de fallas los residuos deben ser cero, es decir, se considera que la estimación se realiza
sin error, sin embargo esto no es ası́ ya que siempre se tienen errores en la estimación,
lo cual se debe considerar al momento de evaluar los residuos para no comprometer la
sensibilidad del esquema FDI. Los residuos se deben establecer en umbrales cuyo valor
debe ser el máximo error de estimación para cada variable, con esto se evita la generación
de falsas alarmas.
Las firmas de las fallas se obtienen al identificar que residuos rebasan los umbrales establecidos. Por practicidad, se utilizan residuos binarios para las firmas. Un residuo binario se
define como:
{
ri =
1 si ∥yi − ybi ∥ > Tri
0 si ∥yi − ybi ∥ < Tri
Donde Tri , mı́n ∥yi − ybi ∥ es el umbral definido. Es decir, el valor del residuo será 1
cuando la diferencia entre la medición real y la estimada rebasen el umbral, y será cero
para el caso contrario. Para obtener las firmas de cada falla se verifica que residuos valen
1 cuando ocurre una falla, es decir, se determina que residuos son sensibles a cada falla.
4.2.
Esquema FDI aplicado al caso de estudio
Para el diseño del esquema FDI del reactor anaerobio UASB empleado como caso de
estudio se utilizó el banco de observadores GOS. Se considera que se tienen disponibles las
4.2. Esquema FDI aplicado al caso de estudio
51
tres salidas del sistema: cantidad de materia orgánica en el efluente (s1 ), concentración de
biomasa anaerobia (x1 ) y metano gaseoso producido (Qch4 ). Para el diseño del esquema
FDI se utilizó la representación LPV politópica del reactor anaerobio UASB obtenida en
la sección 3.3.
Por definición, los observadores del esquema GOS emplean todas las entradas y p − 1
salidas, donde p es el número de salidas medibles; de tal forma que se construyen tantos
observadores como salidas medibles tenga el sistema.
El reactor anaerobio UASB utilizado como caso de estudio tiene 3 salidas medibles, por lo
que el banco de observadores está constituido por 3 observadores que utilizan las matrices
de salidas medibles siguientes:
[
]
[
]
[
]
1 0 0
0 1 0
C1 =
, C2 =
, C3 = 0 0 1
0 0 1
0 0 1
La matriz C1 representa que x1 (t) y Qch4 (t) son las salidas medibles del sistema, C2
representa que las salidas medibles son s1 (t) y Qch4 (t), y C3 considera a Qch4 (t) como la
única salida medible.
En teorı́a la matrı́z C3 deberı́a considerar a x1 y s1 como las salidas medibles, sin embargo
con esta estructura no se satisface la condición de observabilidad, por lo que se optó por la
matrı́z C3 que sólo considera a Qch4 como única salida medible; de esta forma se satisface
la condición de observabilidad. Todas las salidas que se consideran disponibles del reactor
anaerobio UASB son factibles, sin embargo, su medición no se hace de manera continua.
Con el banco de observadores diseñado es posible generar 9 residuos. El observador que
utiliza la matriz C1 genera los residuos r1, r2 y r3; el observador que emplea C2 genera
los residuos r4, r5 y r6, y con el observador que utiliza C3 se obtienen los residuos r7, r8
y r9. A continuación se definen de forma explı́cita estos residuos:
b
r1 = ∥x1 − x
b1OB1 ∥ , r2 = ∥s1 − sb1OB1 ∥ , r3 = Qch4 − Qch4OB1 ,
b
r4 = ∥x1 − x
b1OB2 ∥ , r5 = ∥s1 − sb1OB2 ∥ , r6 = Qch4 − Qch4OB2 ,
bch4 r7 = ∥x1 − x
b1OB3 ∥ , r8 = ∥s1 − sb1OB3 ∥ , r9 = Qch4 − Q
OB3 Los subı́ndices OB1, OB2 y OB3 representan la variables estimadas por el observador
que utiliza la matriz C1 , C2 y C3 como matriz de salidas medibles respectivamente.
Con este banco de observadores se obtienen las firmas para las fallas en los sensores del
reactor anaerobio UASB, dichas firmas se presentan en la Tabla 5.10. La firma de cada
falla se lee por columna, es decir, cuando se presenta una falla en el sensor de x1 , el error
de estimación contenido en los residuos r2, r4 y r7 rebasa el umbral definido, por lo tanto,
estos residuos adquieren el valor de 1, de la misma forma ocurre para el caso de falla en
los sensores de s1 y Qch4 .
4.2. Esquema FDI aplicado al caso de estudio
52
Tabla 4.1. Firmas de las fallas en los sensores del reactor anerobio UASB.
Falla del sensor
Residuos x1
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
0
1
0
1
0
0
1
0
0
s1
Qch4
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
La Tabla 4.1 contiene los residuos expresados en forma binaria, los cuales se obtienen
considerando el umbral definido; si el residuo rebasa dicho umbral su valor es 1, en caso
contrario valdrá 0. El procedimiento para definir los umbrales se describe en el siguiente
capı́tulo.
Capı́tulo 5
Simulaciones y resultados
En este capı́tulo se presentan las simulaciones realizadas para validar la representación
LPV politópica del sistema, los observadores y el esquema FDI diseñados para el reactor
anaerobio utilizado como caso de estudio. Se realizó un análisis cuantitativo de los resultados, para lo cual se emplearon los siguientes ı́ndices de desempeño: la integral del valor
absoluto del error (IAE1 ), la integral del tiempo multiplicado por el valor absoluto del
error (ITAE2 ). Además del análisis cuantitativo, se presentan las gráficas comparativas
obtenidas en cada prueba. En todas las simulaciones se utilizaron señales tipo escalón,
rampa y una señal suave, con las cuales se simulaba la variación de los parámetros del
sistema.
El contenido del presente capı́tulo está organizado de la siguiente manera: en la sección 5.1
se describen las consideraciones generales utilizadas en las simulaciones. En la sección 5.2
se presentan las simulaciones y los resultados obtenidos al realizar la validación del modelo LPV politópico del reactor anaerobio. En la sección 5.3 se muestran las simulaciones
realizadas para evaluar diversos parámetros de los observadores diseñados. La sección 5.4
contiene los resultados del análisis de residuos realizado para el diseño del esquema FDI,
mediante el cual se obtuvieron las firmas de las fallas en los sensores del reactor anaerobio
empleado como caso de estudio. Por último, en la sección 5.5 se presentan las conclusiones
obtenidas en base a los resultados de las simulaciones.
5.1.
5.1.1.
Consideraciones generales
Modelo matemático del sistema caso de estudio
El sistema empleado como caso de estudio es un reactor anaerobio de manto de lodos
de flujo ascendente, cuyo modelo matemático no lineal se presenta en las Ecs.(3.1-3.3).
Su representación LPV politópica se presentó en la Secc.3.3. Los vértices del polı́topo
están formados por las combinaciones de los valores extremos de los parámetros variables,
a estos, en lo sucesivo se les denomina puntos de operación, los cuales se muestran a
1
2
IAE por las siglas en inglés de Integral Absolute Error
ITAE por las siglas en inglés de Integral of Time multiply by Absolute Error
54
5.2. Validación del modelo LPV politópico
55
continuación:
Punto de operación 1 =⇒
Punto de operación 2
=⇒
si1 = cte = 3, D = 0.3, IpH = 0.9068
si1 = cte = 3, D = 0.3, IpH = 1
Punto de operación 3 =⇒
si1 = cte = 3, D = 0.5, IpH = 0.9068
Punto de operación 4 =⇒
si1 = cte = 3, D = 0.5, IpH = 1
El rango de los valores de los parámetros variables se definió en base a los resultados
experimentales reportados por Coronado (2010). Estos parámetros fueron evaluados a
nivel simulación para verificar que efectivamente el modelo reproduce la dinámica del
sistema.
Para simular la variación de los parámetros variables se emplearon tres tipos de señales:
escalón, rampa y una señal suave generada, las cuales se describen de forma detallada en
el Apéndice B.
5.2.
Validación del modelo LPV politópico
En las simulaciones descritas en esta sección, se emplea el ı́ndice de desempeño IAE
para obtener una comparación cuantitativa entre las variables de estado del modelo no
lineal y las variables de la representación LPV politópica. Se considera que en tanto más
cercano a cero sea el ı́ndice de desempeño, el error entre las variables de ambas representaciones es menor.
Simulación LPV-01
Validación del modelo LPV politópico del reactor UASB.
Objetivo:
El objetivo de esta simulación es validar la representación LPV politópica del reactor
anaerobio utilizado como caso de estudio, para ello se comparó el comportamiento de
las variables de estado del modelo no lineal contra el modelo LPV politópico utilizando
diversas señales para verificar la dinámica no sólo en los puntos de operación, sino en
puntos diferentes a estos pero definidos siempre dentro del polı́topo.
Caracterı́sticas de la simulación:
Para comparar la dinámica del modelo LPV politópico tanto en los puntos de operación
como en otros puntos dentro del polı́topo, se utilizaron las señales tipo escalón, rampa y
la señal suave descritas en la sección anterior. En todas las simulaciones la variación de
los parámetros se realizó una vez que el sistema se encuentra en estado estable.
5.2. Validación del modelo LPV politópico
56
Resultados esperados:
Al finalizar la simulación se espera observar la convergencia del modelo LPV politópico
al modelo no lineal tanto en los puntos de operación como en puntos diferentes a éstos
pero definidos dentro del polı́topo, ası́ mismo, se esperaba observar que el máximo error
se presentara durante los transitorios.
Condiciones de la simulación:
En las simulacion realizada se considera que el reactor anaerobio UASB opera en
modo continuo. Las condiciones iniciales de las variables de estado para ambos modelos
se muestran en la Table 5.1
Tabla 5.1. Condiciones iniciales para el reactor anaerobio UASB
Variable de estado Valor (gDQO/m3 )
x1
s1
Qch4
0.1
3
10−8
Se utiliza el método Euler para la integración de ambos modelos. La variación de los
parámetros se realiza una vez que el sistema se encuentra en estado estable, por lo que,
las primeras 50 unidades de tiempo se utilizan para lograr que el sistema se estabilice y
posteriormente comenzar la simulación de la variación de los parámetros. Por lo anterior,
para cuantificar el error de la representación LPV con respecto a la representación no lineal se utiliza el ı́ndice de desempeño IAE. Todas las simulaciones presentadas se realizan
R
en el programa MATLAB ⃝R2009a.
Resultados:
Las gráficas de la Fig. 5.1a presentan la comparación de las variables de estado cuando
es utilizada la señal tipo escalón para simular la variación de los parámetros variables del
sistema. Se puede observar, que el comportamiento de las variables del modelo no lineal
y el modelo LPV politópico sólo presenta error durante el transitorio.
Las gráficas mostradas en la Fig. 5.1b, representan el error de cada una de las variables
de la representación LPV con respecto a la no lineal. El máximo error lo presenta en la
variable s1 , alcanzado una diferencia de 0.05 gDQO/m3 . El porcentaje que representan
estos errores se pueden ver en las gráficas de la Fig.5.1c. En estas gráficas se observa que
los porcentajes de error entre las variables de la representación no lı́neal y la representación
LPV son 1.4, 12.5 y 6 % para x1 , s1 y Qch4 respectivamente. Estos errores se generaron
por el cambio de punto de operación en el tiempo de simulación 150 y 200.
5.2. Validación del modelo LPV politópico
57
Fig. 5.1. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV politópico, utilizando las señales tipo escalón para simular la variación de los parámetros D(t)
e IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo no lineal y las variables de la
representación LPV. c) Porcentaje de error de las variables de la representación LPV con
respecto a las variables del modelo no lineal.
Las gráficas de la Fig. 5.2a presentan la comparación de las variables de estado cuando
es utilizada la señal rampa1 para simular la variación de los parámetros variables del
sistema. Se puede observar, que las variables del modelo LPV que presentan error son x1
y s1 .
Las gráficas mostradas en la Fig. 5.2b, representan el error de cada una de las variables
de la representación LPV con respecto a las variables del modelo no lineal. El máximo
5.2. Validación del modelo LPV politópico
58
error se presenta en la variable s1 , alcanzado una diferencia de 0.04 gDQO/m3 la cual
corresponde a un porcentaje de error del 9.6 %.
Las gráficas de la Fig. 5.2b, corresponden a la magnitud del error de las variables del
modelo LPV con respecto a las del modelo no lineal. El porcentaje asociado a este error
se presenta en las gráficas de la Fig. 5.2c. En estas gráficas se observa que los porcentajes
de error entre las variables de la representación no lı́neal y la representación LPV son 1.6,
9.6 y 1.6 % para x1 , s1 y Qch4 respectivamente.
Fig. 5.2. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV politópico, utilizando las señales rampa1 para simular la variación de los parámetros D(t) e
IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo no lineal y las variables de la
representación LPV. c) Porcentaje de error de las variables de la representación LPV con
respecto a las varaibles del modelo no lineal.
5.2. Validación del modelo LPV politópico
59
Las gráficas de la Fig. 5.3a presentan la comparación de las variables de estado cuando
es utilizada la señal rampa2 para simular la variación de los parámetros variables del sistema. Se puede observar, que las variables del modelo LPV que presentan error son x1 y s1 .
Fig. 5.3. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV politópico, utilizando las señales rampa2 para simular la variación de los parámetros D(t) e
IpH (t). b) Error entre las variables de estado del modelo no lineal y las variables de la
representación LPV. c) Porcentaje de error de las variables de la representación LPV con
respecto a las variables del modelo no lineal.
Las gráficas mostradas en la Fig. 5.3b, representan el error de cada una de las variables
de la representación LPV con respecto a las variables del modelo no lineal. El máximo
5.2. Validación del modelo LPV politópico
60
error se presenta en la variable s1 , alcanzado una diferencia de 0.05 gDQO/m3 la cual
corresponde a un porcentaje de error del 10 %.
Las gráficas de la Fig. 5.3b, corresponden a la magnitud del error de las variables del
modelo LPV con respecto a las del modelo no lineal. El porcentaje asociado a este error
se presenta en las gráficas de la Fig. 5.3c. En estas gráficas se observa que los porcentajes
de error entre las variables de la representación no lı́neal y la representación LPV son 2,
10 y 2 % para x1 , s1 y Qch4 respectivamente.
Las gráficas de la Fig. 5.4a presentan la comparación de las variables de estado cuando
es utilizada la señal suave para simular la variación de los parámetros variables del sistema.
Se puede observar, que las variables del modelo LPV que presentan error son x1 y s1 .
Las gráficas mostradas en la Fig. 5.4b, representan el error de cada una de las variables
de la representación LPV con respecto a las variables del modelo no lineal. El máximo
error se presenta en la variable s1 , alcanzado una diferencia de 0.04 gDQO/m3 la cual
corresponde a un porcentaje de error del 9.6 %.
Las gráficas de la Fig. 5.4b, corresponden a la magnitud del error de las variables del
modelo LPV con respecto a las del modelo no lineal. El porcentaje asociado a este error
se presenta en las gráficas de la Fig. 5.4c. En estas gráficas se observa que los porcentajes
de error entre las variables de la representación no lı́neal y la representación LPV son 1.5,
9.6 y 1.7 % para x1 , s1 y Qch4 respectivamente.
5.2. Validación del modelo LPV politópico
61
Fig. 5.4. a) Comparación entre las variables del modelo no lineal y el modelo LPV politópico, utilizando las señales suaves para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t).
b) Error entre las variables de estado del modelo no lineal y las variables de la representación LPV. c) Porcentaje de error de las variables de la representación LPV con
respecto a las variables del modelo no lineal.
Al utilizar las señales tipo rampa y suave no se observó la convergencia del error, para
el caso de las variables de estado x1 (t) y Qch4 (t) el máximo porcentaje de error es 2 %, en
tanto que, para la variable de estado s1 (t) el valor aumenta hasta un 10 %.
La Tabla 5.2 contiene los ı́ndices de desempeño obtenidos al comparar el modelo no lineal
y la representación LPV, dichos ı́ndices no se emplean para evaluar el desempeño de la
representación LPV, sino que se utilizan para cuantificar el error al realizar la comparación
5.3. Validación de observadores
62
entre las dos representaciones.
Tabla 5.2. Índices de desempeño IAE obtenidos al utilizar las señales escalón, rampa1,
rampa2 y señal suave para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t).
Variable de
estado
x1
s1
Qch4
Índices de desempeño IAE
Escalón Rampa1
0.02983
0.1986
0.03376
Rampa2
Suave
1.088
5.938
0.7776
0.5404
2.998
0.3617
0.9917
5.485
0.7045
En la Tabla 5.2 se puede observar que los ı́ndices de desempeño mayores se obtienen
cuando se utilizan las señales tipo rampa para variar los parámetros D(t) e IpH (t). Cuando se varı́an los parámetros con las señales tipo escalón, se obtiene el menor ı́ndice de
desempeño en las tres variables.
Conclusión:
Con los resultados de las simulaciones se puede concluir que la representación LPV
politópica obtenida del reactor anaerobio presenta una buena aproximación de la representación no lineal, ya que los ı́ndices de desempeño obtenidos para cuantificar el error
entre dichas representaciones son cercanos a cero. Como se esperaba, el error máximo
se presentó en los transitorios, debido a la pérdida de dinámica que implica el tipo de
aproximación realizada al obtener el modelo LPV politópico del reactor anaerobio UASB.
A pesar de esto, el máximo error en las variables de estado x1 y Qch4 es del 2 %, en tanto
que para s1 del 10 %.
5.3.
Validación de observadores
Simulación OB-01
Validación de los observadores LPV diseñados para el caso de estudio.
Objetivo:
Esta simulación se realizó con el objetivo de evaluar el desempeño de los observadores
tipo Luenberger, observador con entradas desconocidas (UIO3 ) y el observador con estructura general. Los parámetros considerados para evaluar su desempeño son: tiempo
de convergencia, seguimiento de la variable estimada, sensibilidad al ruido, facilidad de
3
UIO por las siglas en inglés de Unknown Input Observer
5.3. Validación de observadores
63
diseño y sintonización.
Caracteristicas de la simulación:
Para simular la variación en los parámetros D(t) e IpH (t) se utilizaron las señales tipo
escalón, rampa y la señal suave descritas en la sección 5.1. Para evaluar el desempeño de
los observadores, se empleó el ı́ndice de desempeño ITAE.
Debido a que el objetivo final de este trabajo es el diseño de un esquema de diagnóstico
y detección de fallas (FDI4 ) y que el esquema propuesto es un banco de observadores, se
realizaron las simulaciones considerando las matrices de salidas medibles que tendrı́a cada
observador del esquema FDI. Es decir, como se describió en la sección 4.2, se consideraron
3 diferentes matrices de salidas medibles del sistema: C1 , C2 y C3 descritas a continuación:
[
]
[
]
[
]
1 0 0
0 1 0
C1 =
, C2 =
, C3 = 0 0 1
0 0 1
0 0 1
La matriz C1 implica que las salidas medibles del sistema son la cantidad de materia
orgánica en el efluente (s1 (t)) y la cantidad de metano gaseoso producido (Qch4 (t)), en
el caso de la matriz C2 , que las salidas disponibles son la cantidad de biomasa anaerobia
(x1 (t)) y el metano gaseoso producido (Qch4 (t)), en tanto que al utilizar la matriz C3 se
considera que la única salida medible del sistema es el metano gaseoso producido (Qch4 (t)).
Evaluación del tiempo de convergencia: el objetivo de esta simulación fue evaluar el tiempo de convergencia de los observadores al modelo no lineal. Por lo que, se
estableciron diferentes condiciones iniciales para los observadores y para el modelo no
lineal. Las condiciones iniciales para todos los observadores fueron: x
b1 (0) = 0.3, sb1 (0) = 1
b
y Qch4 (0) = 0.01, en tanto que para el modelo no lineal fueron: x1 (0) = 0.1, s1 (0) = 3
y Qch4 = 10−8 . Las condiciones iniciales del sistema se consideraron en base a los datos
experimentales reportados en (Coronado, 2010). Los resultados de esta simulación sólo
fueron evaluados cualitativamente.
Seguimiento de la variable estimada: para evaluar el seguimiento de la variable
estimada se comparó la dinámica de las variables estimadas con cada observador y las
variables del modelo no lineal. Para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t)
se utilizaron las señales tipo escalón, rampa y suave descritas en la sección 5.1. Los resultados de las simulaciones se evaluaron cualitativa y cuantitativamente, para esta última
evaluación se utilizó el ı́ndice de desempeño IAE.
Sensibilidad al ruido: el objetivo de esta simulación es verificar la sensibilidad al
ruido que presentan los observadores. En el reactor anaerobio utilizado como caso de estudio las mediciones de las variables de salida no son obtenidas de forma contı́nua, por
tal motivo no se consideró un ruido constante, sino que se introdujo de tal forma que
4
Por las siglas en inglés de Fault Detection and Isolation
5.3. Validación de observadores
64
simuló la aparición de dicho ruido 4 veces por dı́a, ya que esta es la frecuencia real con la
que son obtenidas las mediciones.
Condiciones de la simulación:
En las simulacion realizada se considera que el reactor anaerobio UASB opera en
modo continuo. Las condiciones iniciales de las variables de estado para ambos modelos
se muestran en la Table 5.3 Se utilizó el método Euler para la integración del modelo.
Tabla 5.3. Condiciones iniciales para el reactor anaerobio UASB
Variable de estado Valor (gDQO/m3 )
x1
s1
Qch4
0.1
3
10−8
R
Todas las simulaciones aquı́ presentadas se realizaron en el programa MATLAB ⃝R2009a.
Resultados esperados:
Al finalizar la simulación se espera que los tres observadores converjan al modelo no
lineal a pesar de que sus condiciones iniciales sean diferentes. Por la metodologı́a de diseño
de los observadores, se espera que el UIO presente el menor tiempo de convergencia y el
mejor seguimiento de la variable estimada.
Resultados obtenidos:
Los resultados que se presentan a continuación fueron obtenidos al realizar las simulaciones para evaluar el tiempo de convergencia, el seguimiento de la variable estimada y
la sensibilidad al ruido de los observadores diseñados. Los resultados de cada prueba se
presentan de forma separada.
Tiempo de convergencia
Como anteriormente se describió, para evaluar el tiempo de convergencia las condiciones iniciales de los observadores fueron diferentes a las del modelo no lineal. La evaluación de este parámetro sólo se realizó de forma cualitativa, por lo que a continuación se
presentan las gráficas comparativas de las variables estimadas.
En las Figs. 5.5-5.7 se muestran las gráficas obtenidas entre el tiempo 0 ≥ t ≤ 15 dı́as, en
estas se observa la convergencia de los observadores.
En la Fig. 5.5 se puede apreciar que para las variables x1 y Qch4 el tiempo de convergencia
obtenido con el observador UIO es menor en comparación con los otros dos observadores.
5.3. Validación de observadores
65
Error(gDQO/m3)
Sin embargo, para el caso de la variable s1 la diferencia no es perceptible. Las gráficas de
esta figura se obtuvieron con los observadores tipo Luenberger, UIO y el observador con
estructura general, considerando para su diseño la matriz de salidas medibles C1 .
En las gráficas que se muestran en la Fig. 5.6, el menor tiempo de convergencia se
presentó en la variable x1 (t) estimada por el observador tipo Luenberger, en tanto que,
para las variables s1 (t) y Qch4 (t) lo presentó el observador UIO. Las gráficas de esta figura
se obtuvieron con los observadores tipo Luenberger, UIO y el observador con estructura
general, considerando para su diseño la matriz de salidas medibles C2 .
Por último, en la Fig. 5.7 el observador UIO obtuvo la convergencia más rápida en todas
las variables. Las gráficas de esta figura se obtuvieron con los observadores tipo Luenberger, UIO y el observador con estructura general, considerando para su diseño la matriz
de salidas medibles C3 .
ex1UIO1
0.04
ex1Luenberger1
ex1G1
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
3
Error(gDQO/m )
Tiempo(días)
−0.5
es1UIO1
−1
es1Luenberger1
es1G1
−1.5
−2
−2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
Error(gDQO/m )
Tiempo(días)
eQch4UIO1
0.04
eQch4Luenberger1
0.02
eQch4G1
0
−0.02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo(días)
Fig. 5.5. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger y el
observador con estructura general.
3
Error(gDQO/m )
5.3. Validación de observadores
66
0
ex1UIO2
−1
ex1Luenberger2
−2
ex1G2
−3
−4
0
5
10
15
Tiempo(días)
3
Error(gDQO/m )
0.5
0
es1UIO2
−0.5
es Luenberger2
1
es1G2
−1
−1.5
0
5
10
15
Tiempo(días)
3
Error(gDQO/m )
0.5
0
eQ
UIO2
eQ
Luenberger2
ch4
−0.5
ch4
eQch4G2
−1
−1.5
0
5
10
15
Tiempo(días)
Fig. 5.6. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger y el
observador con estructura general.
3
Error(gDQO/m )
0.25
ex1UIO3
0.2
ex1Luenberger3
0.15
ex1G3
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
0
3
Error(gDQO/m )
Tiempo(días)
−0.5
es1UIO3
es1Luenberger3
−1
es1G3
−1.5
−2
−2.5
0
5
10
15
Tiempo(días)
eQch4UIO3
3
Error(gDQO/m )
0.1
eQch4Luenberger3
0.05
eQch4G3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo(días)
Fig. 5.7. Comparación del tiempo de convergencia del observador UIO, Luenberger y el
observador con estructura general.
5.3. Validación de observadores
67
Seguimiento de la variable estimada
En las Figs. 5.8-5.13 se presentan las gráficas del error de estimación y su correspondiente porcentaje de error al comparar las variables estimadas con las variables del modelo
no lineal. En estas figuras sólo se muestran las variables estimadas con mayor error de
estimación. Sin embargo, en las tablas comparativas 5.4-5.6 se presentan los resultados
de la cuantificación del error de estimación con el ı́ndice de desempeño IAE de todas las
variables estimadas utilizando las 4 señales descritas en la sección 5.1 para simular la
variación de los parámetros.
En la parte superior de cada tabla se especifica la señal utilizada para simular la variación
de los parámetros D(t) e IpH (t). La información de la tabla está organizada de tal forma
que se comparan los ı́ndices de desempeño de las variables estimadas con los tres observadores utilizando la misma matriz de salidas medibles en el diseño del observador. Los
tı́tulos de columna representan el observador con el que se obtuvo el resultado, el número
al final del nombre del observador se relaciona con la matriz de salidas medibles considerada para su diseño, es decir, los numeros 1, 2 y 3 representan que la matriz C1 , C2 y
C3 respectivamente se han utilizado para el diseño del observador. En las tres primeras
columnas de la Tabla 5.4 se comparan las variables estimadas por los observadores UIO1,
el observador tipo Luenberger (L1) y el observador con estructura general (G1) en el que
se utilizó la matriz de salidas medibles C1 para su diseño, de la misma forma se leen el
resto de las columnas y tablas. En las Tablas 5.4-5.6 se aprecia que el observador que
tiene los ı́ndices de desempeño menores en la mayorı́a de sus variables estimadas es el
UIO. Sin embargo, el observador tipo Luenberger también presenta un buen seguimiento
de las variables estimadas ya que sus ı́ndices de desempeño son cercanos a cero.
Tabla 5.4. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal tipo escalón.
Variable
Señal tipo escalón
estimada UIO1
x1
s1
Qch4
0
0.133
0.035
L1
G1
0.002 0.063
0.120 0.340
0.007 0.066
UIO2
0.052
0
0.095
L2
G2
0.035 0.060
0.023 0.017
0.008 0.004
UIO3
0.035
0
0
L3
G3
0.020 0.48
0.154 1.893
0.007 0.138
La Tabla 5.4 contiene los ı́ndices de desempeño IAE de los observadores UIO, Luenberger y el observador con estructura general utilizando las matrices de salidas medibles
C1 , C2 y C3 en su diseño. Los resultados fueron obtenidos al utilizar la señal tipo escalón para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t). En esta tabla se aprecia
que el observador que tiene el menor ı́ndice de desempeño en la mayorı́a de las variables
estimadas es el observador UIO.
5.3. Validación de observadores
68
Tabla 5.5. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal rampa1.
Variable
Señal rampa1
estimada UIO1
x1
s1
Qch4
0
4.457
0
L1
G1
0.033 0.422
4.231 2.355
0.105 0.393
UIO2
3.113
0
0
L2
G2
1.926 6.517
0.598 0.118
0.188 0.003
UIO3
0.942
3.204
0
L3
G3
0.509 0.904
4.850 11.950
0.121 1.2828
La Tabla 5.5 contiene los ı́ndices de desempeño IAE de los observadores UIO, Luenberger y el observador con estructura general utilizando las matrices de salidas medibles
C1 , C2 y C3 en su diseño. Los resultados presentados en esta tabla se obtuvieron al utilizar
la señal rampa1 para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t). En esta tabla
se aprecia que el observador que tiene menor ı́ndice de desempeño en la mayorı́a de las
variables estimadas es el observador UIO.
Tabla 5.6. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal suave.
Variable
Señal suave
estimada UIO1
x1
s1
Qch4
0
2.478
0
L1
G1
0.018 0.27
2.363 1.368
0.055 0.249
UIO2
1.906
0
0
L2
G2
1.166 3.792
0.354 0.055
0.111 0.005
UIO3
0.528
1.833
0
L3
G3
0.286 0.503
2.684 7.634
0.063 0.835
En la Tabla 5.6 se presentan los ı́ndices de desempeño IAE de los observadores UIO,
Luenberger y el observador con estructura general utilizando las matrices de salidas medibles C1 , C2 y C3 en su diseño. Los resultados presentados en esta tabla se obtuvieron al
utilizar la señal suave para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t). En esta
tabla se aprecia que el observador que tiene menor ı́ndice de desempeño en la mayorı́a de
las variables estimadas es el observador UIO.
5.3. Validación de observadores
69
Tabla 5.7. Índices de desempeño de los observadores utilizando la señal rampa2.
Variable
Señal rampa2
estimada UIO1
x1
s1
Qch4
0
4.729
0
L1
G1
0.036 0.464
4.462 2.020
0.113 0.461
UIO2
3.146
0
0
L2
G2
1.972 6.778
0.603 0.104
0.190 0.002
UIO3
L3
G3
0.994
3.323
0
0.548
5.175
0.133
1.046
12.680
1.464
La Tabla 5.7 contiene los ı́ndices de desempeño IAE de los observadores UIO, Luenberger y el observador con estructura general. En esta tabla se aprecia que el observador que
tiene menor ı́ndice de desempeño en la mayorı́a de las variables estimadas es el observador
UIO.
Es importante aclarar que los observadores empleados en este trabajo son de orden completo, lo cual implica que las variables consideradas en la matriz de salidas medibles
también son estimadas. Se puede apreciar en las 4 tablas anteriores que el observador
UIO realiza la estimación de dichas variables sin alterar su valor original, ya que sus
ı́ndices de desempeño son cero a diferencia de la estimación de éstas variables con los
otros dos observadores. El ı́ndice de desempeño empleado nos da información sobre el
valor del error de estimación durante la simulación.
Las gráficas de las Figs. 5.8-5.13 tienen como objetivo hacer una comparación cualitativa
del error de estimación de los 3 observadores al utilizar las señales rampa1, rampa2 y la
señal suave para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t).
En las gráficas de las Figs. 5.8-5.9 se compara el error de estimación de los observadores
UIO, Luenberger y el observador con estructura general. Los resultados mostrados fueron
obtenidos al utilizar la señal rampa2 para simular la variación de los parámetros D(t) e
IpH (t).
Las dos gráficas superiores de la Fig. 5.8 muestran que el observador UIO presenta el
mayor error de estimación, alcanzando un 8 % de error en la estimación de la variable
s1 . En tanto que las gráficas inferiores muestran que el máximo porcentaje de error de
estimación lo presenta el observador con estructura general con un 10.5 % de error en la
estimación de la variable x1 .
En las gráficas de la Fig. 5.9 se observa que cuando se utiliza la matriz de salidas medibles
C3 en el diseño del observador, el máximo porcentaje de error en las variables x1 y s1 lo
presentan los observadores UIO y el observador con estructura general respectivamente.
Resultados similares se muestran en las Figs. 5.10-5.13.
5.3. Validación de observadores
70
%Error s1UIO1
Error s1UIO1
Error s L1
9
Error s1G1
8
1
%Error s L1
1
%Error s1G1
7
3
Error(gDQO/m )
0.02
%Error
6
0
5
4
3
−0.02
2
1
−0.04
50
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
%Error x1UIO2
Error x1UIO2
Error x1L2
0.01
250
Tiempo(días)
Error x1G2
%Error x1L2
%Error x1G2
10
8
−0.01
%Error
3
Error(gDQO/m )
0
−0.02
−0.03
6
4
−0.04
2
−0.05
−0.06
50
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.8. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal rampa1 para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
Error x1UIO3
1
%Error x L3
Error x G3
%Error x1G3
1
1.5
%Error
0
−0.005
−0.01
50
%Error x UIO3
2
Error x1L3
1
0.005
3
Error(gDQO/m )
0.01
1
0.5
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
Error s1UIO3
%Error s1UIO3
Error s1L3
0.1
%Error s1L3
Error s1G3
%Error s1G3
20
3
Error(gDQO/m )
250
Tiempo(días)
%Error
0.05
15
10
0
5
−0.05
50
100
150
200
Tiempo(días)
250
0
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.9. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal rampa1 para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
En las gráficas de las Figs. 5.10 se compara el error de estimación obtenido con los
observadores UIO, Luenberger y el observador con estructura general. Las gráficas superiores muestran el error al estimar la variables s1 con los 3 observadores considerando
para su diseño la matriz de salidas medibles C1 , en tanto que las gráficas inferiores representan la comparación del error de estimación de la variable x1 al emplear en el diseño
5.3. Validación de observadores
71
de los observadores la matriz de salidas medibles C2 . En las gráficas se aprecia que el
máximo error de estimación de la variable s1 lo presenta el observador UIO con un error
de −0.39 gDQO/m3 , lo cual representa un 8 % de error en la estimación, en tanto que el
observador con estructura general presenta un error de −0.05 gDQO/m3 que representa
un error del 11 % en la estimación de la variable x1 .
Error s UIO1
1
Error s L1
1
Error s1G1
9
%Error s UIO1
8
%Error s1L1
1
%Error s1G1
7
3
Error(gDQO/m )
0.02
%Error
6
0
5
4
3
−0.02
2
1
−0.04
50
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
Error x1UIO2
%Error x1UIO2
Error x1L2
0.01
250
Tiempo(días)
%Error x1L2
Error x1G2
10
%Error x G2
1
8
−0.01
%Error
3
Error(gDQO/m )
0
−0.02
−0.03
6
4
−0.04
2
−0.05
−0.06
50
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.10. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal rampa2 para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
%Error x1UIO3
Error x1UIO3
%Error x1L3
Error x1L3
0.01
%Error x1G3
2
0.005
3
1.5
%Error
Error(gDQO/m )
Error x1G3
0
−0.005
−0.01
50
1
0.5
100
150
200
0
50
250
100
Tiempo(días)
150
200
%Error s1UIO3
Error s1UIO3
%Error s1L3
Error s1L3
0.1
Error s1G3
%Error s1G3
25
20
3
Error(gDQO/m )
250
Tiempo(días)
%Error
0.05
15
10
0
5
−0.05
50
100
150
Tiempo(días)
200
250
0
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.11. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal rampa2 para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
5.3. Validación de observadores
72
En las gráficas de la Fig. 5.11 se comparan los errores de estimación de las variables
x1 y s1 al utilizar la matriz de salidas medibles C3 para el diseño de los observadores. El
máximo error de estimación de ambas variables se obtuvo con el observador con estructura general. En la variable x1 este error fue de −0.01 gDQO/m3 lo cual representa un
2.5 % de error en la estimación, en tanto que el error de estimación de la variable s1 fue
de 0.95 gDQO/m3 que implica un 25 % de error en la estimación.
En las gráficas de las Figs. 5.12-5.13 se presenta la comparación del error de estimación
cuando se utilizó la señal suave para simular la variación de los parámetros D(t) e IpH (t).
En la Fig. 5.12 se muestra que cuando se emplea la matriz C1 en el diseño de los observadores, el máximo error de estimación de la variable s1 los presentó el observador UIO y
fue de −0.035 gDQO/m3 lo cual corresponde a un 8 % de error. En tanto que, el máximo
error de estimación de la variables x1 considerando la matriz de salidas medibles C2 en
el diseño de los observadores lo presentó el observador con estructura general alcanzando
un error del 11 %.
%Error s1UIO1
Error s UIO1
1
9
Error s1G1
8
1
%Error s1G1
7
3
Error(gDQO/m )
0.02
%Error s L1
Error s1L1
%Error
6
0
5
4
3
−0.02
2
1
−0.04
50
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
Error x1UIO2
%Error x1L2
Error x1G2
0
10
−0.01
8
%Error
3
Error(gDQO/m )
%Error x1UIO2
Error x1L2
0.01
250
Tiempo(días)
−0.02
−0.03
%Error x1G2
6
4
−0.04
2
−0.05
−0.06
50
100
150
200
Tiempo(días)
250
0
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.12. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal suave para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
5.3. Validación de observadores
73
Error x UIO3
0.01
1
%Error x1L3
Error x1G3
0.005
%Error x1G3
1.5
%Error
Error(gDQO/m3)
%Error x1UIO3
2
Error x1L3
0
−0.005
−0.01
50
1
0.5
100
150
200
0
50
250
Tiempo(días)
100
150
200
Tiempo(días)
Error s1UIO3
%Error s1L3
Error s L3
1
1
25
20
0.05
%Error
Error(gDQO/m3)
%Error s G3
Error s1G3
0.1
250
%Error s1UIO3
15
10
0
5
−0.05
50
100
150
200
Tiempo(días)
250
0
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. 5.13. Error y correspondiente porcentaje de error de las variables estimadas al emplear
la señal suave para variar los parámetros D(t) e IpH (t).
Las gráficas de la Fig. 5.13 muestran la comparación del error de estimación de los 3
observadores utilizando para su diseño la matriz de salidas medibles C3 . Para el caso de la
variable estimada x1 el máximo error fue 1.5 % obtenido con el observador UIO. En tanto
que en la estimación de la variable s1 el observador con estructura general presentó un
error de estimación del 25 % Sensibilidad al ruido
En las gráficas de las Figs. 5.14-5.16 se presenta la comparación de las variables x1 y s1
estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador con estructura general.
En esta sección sólo se presentan las gráficas generadas cuando se utiliza la señal rampa2,
ya que los resultados obtenidos con las otras señales son similares.
En la gráfica superior de la Fig. 5.14 se aprecia la sensibilidad de los observadores cuando
se simula la presencia de ruido en el sensor de la variable x1 . En esta gráfica se muestra que el observador con estructura general es el que presenta mayor sensibilidad. Los
observadores UIO y Luenberger también son sensibles, sin embargo, la estimación de la
variable s1 no se afecta de forma significativa. La gráfica inferior corresponde a la variable x1 estimada con los 3 observadores considerando para su diseño la matriz de salidas
medibles C2 , es decir, considera como salidas medibles del sistema las variables s1 y Qch4 .
Como era de esperarse la estimación no se afecta ya que x1 no se considera como salida
medible del sistema cuando se utiliza la matriz C2 en el diseño del observador.
5.3. Validación de observadores
74
1
3
s (gDQO/m )
0.55
0.5
s NL
0.45
1
s1UIO1
0.4
s1Luenberger1
0.35
s G1
1
0.3
0.25
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
x1NL
x UIO2
1
0.5
x1Luenberger2
x1G2
3
x (gDQO/m )
0.48
0.46
1
0.44
0.42
0.4
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.14. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador con
estructura general.
En los resultados mostrados en las gráficas de la Fig. 5.15, se observa que sólo son
sensibles los observadores que consideran en la matriz de salidas medibles la variable con
ruido. En la gráfica inferior se aprecia que el sensor de la variable x1 no presenta ruido, sin
embargo, la estimación es sensible al ruido ya que la matriz de salidas medibles utilizada
para el diseño de los observadores contiene la variable s1 .
5.3. Validación de observadores
75
3
s1(gDQO/m )
0.55
0.5
s1NL
0.45
s1UIO1
0.4
s1Luenberger1
0.35
s1G1
0.3
0.25
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
x1NL
0.5
x1UIO2
x1Luenberger2
x1G2
3
x1(gDQO/m )
0.48
0.46
0.44
0.42
0.4
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.15. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador con
estructura general.
La gráficas de la Fig. 5.16 representan las variables estimadas con los observadores en
los que se utiliza la matriz de salidas medibles C3 para su diseño, es decir, se considera
que la única salida medible del sistema en Qch4 . En estas gráficas se aprecia el efecto en
las variables estimadas cuando se simula que el sensor de la variable Qch4 tiene ruido.
En el caso de la estimación de la variable s1 que se muestra en la gráfica superior, se
aprecia que los tres observadores son sensibles al ruido pero no de forma significativa. En
la gráfica inferior se muestra que los observadores UIO y Luenberger no son sensibles a la
presencia de ruido en el sensor de Qch4 , a diferencia del observador con estructura general
en el que se aprecia claramente su sensibilidad.
5.3. Validación de observadores
76
1
3
s (gDQO/m )
0.55
0.5
0.45
s1NL
0.4
s1UIO1
0.35
s1Luenberger1
0.3
0.25
50
s1G1
100
150
200
250
Tiempo (días)
x1NL
0.5
x1UIO2
x1Luenberger2
x1G2
3
x (gDQO/m )
0.48
0.46
1
0.44
0.42
0.4
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.16. Variables estimadas por los observadores UIO, Luenberger y el observador con
estructura general.
Conclusiones:
Considerando los resultados de las simulaciones se puede concluir que el observador
UIO tiene menor tiempo de convergencia respecto al observador Luenberger y al observador con estructura general. Además de que presenta mejor seguimiento de la variable
estimada ya que en la mayorı́a de las simulaciones es el que presenta el ı́ndice IAE más
vercano a cero.
En cuanto a la sensibilidad al ruido, el observador tipo Luenberger presentó la menor
sensibilidad para cualquiera de los casos en donde el ruido afecta al sensor de la variable considerada en la matriz de salidas medibles con la que se diseñan los observadores.
Además, este observador es el que presenta mayor facilidad en su diseño.
El observador que presentó mejor desempeño fue el observador UIO, ya que presentó menores
ı́ndices de desempeño en la mayorı́a de las variables estimadas y el ruido no lo afecta de
forma significativa. Por lo anterior, el observador UIO se seleccionó para emplearse en el
diseño del esquema FDI basado en observadores.
5.4. Evaluación de residuos
5.4.
77
Evaluación de residuos
Simulación FDI-01
Evaluación de los residuos generados con el banco de observadores.
Objetivo:
El objetivo de esta simulación fue analizar los errores de estimación del observador
UIO, para posteriormente, definir residuos binarios en función de un valor umbral y determinar las firmas de las fallas en los sensores del reactor anaerobio UASB empleado como
caso de estudio.
Caracteristicas de la simulación:
En ésta simulación se consideró que el reactor opera en modo continuo. Para simular las fallas de los sensores se utilizó una señal tipo escalón, la cual se introdujo una
vez que el sistema se encontrara en estado estable. En la simulación se considera que
al tiempo correspondiente a 130 dı́as se presenta la falla en el sensor. Los cambios en
los parámetros D(t) e IpH fueron simulados con la señal tipo escalón descrita en la sección 5.1. Las condiciones iniciales para las variables del modelo no lineal y del observador
UIO se muestran en la Tabla 5.8. Se utilizó el método Euler para la integración del modelo.
Tabla 5.8. Condiciones iniciales para las variables del modelo no lineal y la representación
LPV politópica del reactor anaerobio UASB.
Variable de estado
No lineal
LPV
x1
s1
Qch4
0.1 gDQO/m3
3 gDQO/m3
10−8 gDQO/m3
0.3 gDQO/m3
1 gDQO/m3
0.01 gDQO/m3
R
Todas las simulaciones aquı́ presentadas se realizaron en el programa MATLAB⃝R2009a.
Resultados esperados:
Al término de la simulación se esperaba definir el valor del umbral y con ello establecer las firmas que permitieran hacer la detección de la fallas en los sensores del reactor
anaerobio UASB.
5.4. Evaluación de residuos
78
Desarrollo de la simulación:
Con el esquema GOS propuesto en la Secc. 4.1 se obtienen 9 residuos, los residuos r1,
r2 y r3 son generados por la diferencia entre las variables estimadas con el observador
(observador 1) que utiliza la matriz C1 como matriz de salidas medibles y las variables del
modelo no lineal, de igual forma los residuos r4, r5 y r6 son generados por la diferencia
de las variables estimadas con el observador (observador 2) que emplea la matriz C2 como
matriz de salidas medibles y las variables del modelo no lineal, por último, los residuos
r7, r8 y r9 son generados por la diferencia de las variables estimadas por el observador
(observador 3) que emplea la matriz de salidas medibles C3 y las variables del modelo no
lineal. En la Tabla 5.9 se presenta el máximo valor de cada residuo obtenido al utilizar
las señales escalón, rampa1, rampa2 y la señal suave para la variación de los parámetros
D(t) e IpH (t) para el caso en que los sensores del sistema se encuentran libres de fallas. Es
decir, la tabla representa los máximos errores de estimación. Para determinar los residuos
sensibles a las fallas, se simuló de forma independiente fallas en cada uno de los sensores
del reactor UASB. A partir de los resultados contenidos en la Tabla 5.9, se establecieron
los valores de los umbrales.
Tabla 5.9. Máximo error de estimación para los sensores libres de fallas.
Señal
Residuos Escalón Rampa1
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0336
0.0002
0.0233
0.0002
0.0002
0.008
0.0242
0.0002
Rampa2
Suave
0.0002
0.0376
0.0002
0.0233
0.0002
0.0002
0.008
0.0257
0.0001
0.0002
0.034
0.0001
0.0235
0.0004
0.0004
0.0075
0.0246
0.0001
Resultados obtenidos:
Al realizar la simulación de las fallas, se observó que sólo los residuos r2, r4, r7
y r8 son sensibles a éstas. Las firmas correspondientes a cada falla se presentan en la
tabla 5.10. El residuo r2 es sensible a cualquiera de las fallas, lo cual fue benéfico ya que
esto permitió establecer su valor umbral inferior al máximo error de estimación y con ello
se aumentó la sensibilidad del esquema.
Debido a que sólo 4 residuos son sensibles, sólo en ellos se establecieron los siguientes
5.4. Evaluación de residuos
79
valores de umbral (Tri ):
Tr2 = 0.002 Tr4 = 0.024 Tr7 = 0.008 Tr8 = 0.0257
En las Figs. 5.17-5.19 se muestran las gráficas obtenidas al simular fallas en cada uno de
los sensores, se pude observar que en el momento en que la falla se introduce al sensor los
valores de los residuos cambian. La gráfica superior de las Figs. 5.17-5.19, representa la
variable del modelo no lineal, en la cual se observa el cambio al introducir la falla en el
sensor. Los residuos con valor 1 mostrados en la Tabla 5.10 representan los residuos que
son mayores al valor del umbral cuando se presentan fallas en cada uno de los sensores.
Por ejemplo, la columna 2 de la Tabla 5.10 representa la firma de la falla en el sensor de
la variable x1 , con la cual los residuos r2, r4 y r7 rebasan el umbral.
Tabla 5.10. Firmas de las fallas en los sensores del reactor anerobio UASB.
Falla del sensor
Residuos x1
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
0
1
0
1
0
0
1
0
0
s1
Qch4
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
La gráfica superior de la Fig. 5.17 representa la variable del modelo no lineal, en esta
gráfica se puede ver que en el tiempo de simulación que corresponde a 130 dı́as se presenta
una falla, el pico que se observa en el tiempo 150 representa el transitorio generado por
el cambio de punto de operación. En las otras 3 gráficas de esta figura, se aprecia dicha
falla ya que el valor del residuo aumentó en aquellos que son sensibles a la falla. Para el
caso de la falla en el sensor de x1 , los residuos sensibles son r2, r4 y r7. Estos resultados
fueron obtenidos considerando una falla del 6 % en el sensor de x1 .
1
x (gDQO/m3)
5.4. Evaluación de residuos
0.52
0.5
0.48
0.46
0.44
0.42
50
80
x No lineal
1
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r1
r2
r3
0.1
0.05
0
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r4
r5
r6
0.06
0.04
0.02
0
50
100
150
200
250
r7
r8
r9
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
0.06
0.04
0.02
0
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.17. Residuos sensibles ante falla en el sensor de x1
La gráfica superior de la Fig. 5.18 representa la variable del modelo no lineal, en esta
gráfica se puede ver que en el tiempo de simulación que corresponde a 130 dı́as se presenta
una falla. En las otras 3 gráficas de esta figura, se aprecia dicha falla ya que el valor del
residuo aumentó en aquellos que son sensibles a la falla. Para el caso de la falla en el
sensor de s1 , los residuos sensibles son r2, r4 y r8 lo cual se puede apreciar en las gráficas.
Estos resultados fueron obtenidos considerando una falla del 11 % en el sensor de s1 .
81
0.8
3
s (gDQO/m )
5.4. Evaluación de residuos
s No lineal
1
0.6
1
0.4
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r1
r2
r3
0.1
0.05
0
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r4
r5
r6
0.1
0.05
0
50
100
150
200
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
250
r7
r8
r9
0.15
0.1
0.05
0
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.18. Residuos sensibles ante falla en el sensor de s1
En la Fig. 5.19 se puede ver que en el tiempo de simulación que corresponde a 130
dı́as se presenta una falla. En esta figura, se aprecia dicha falla ya que el valor del residuo
aumentó en aquellos que son sensibles a la falla. Para el caso de la falla en el sensor de
Qch4 , los residuos sensibles son r2, r7 y r8 lo cual se puede apreciar en las gráficas. Estos
resultados fueron obtenidos considerando una falla del 5 % en el sensor de Qch4 .
Q
ch4
(gDQO/m3)
5.5. Conclusiones generales de las simulaciones
82
Q
ch4
No lineal
0.4
0.35
0.3
0.25
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r1
r2
r3
0.04
0.02
0
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
0.04
r4
r5
r6
0.02
0
50
100
150
200
250
3
Residuo(gDQO/m )
Tiempo (días)
r7
r8
r9
0.1
0.05
0
50
100
150
200
250
Tiempo (días)
Fig. 5.19. Residuos sensibles ante falla en el sensor de Qch4
Conclusiones:
Con el esquemaGOS implementado, es posible detectar fallas en los sensores del reactor anaerobio UASB. Para evitar detectar falsas alarmas, los valores de los umbrales se
establecieron en función del máximo error de estimación, salvo para el caso del residuo r2,
ya que al ser sensible a todas las fallas se pudo establecer un valor de umbral mucho menor
al máximo error de estimación, lo cual trajo como beneficio aumentar la sensibilidad del
esquema FDI.
Con los umbrales establecidos es posible detectar fallas a partir del 6 % en el sensor de
x1 , fallas a partir del 11 % en el sensor de s1 y fallas desde el 5 % en el sensor de Qch4 .
5.5.
Conclusiones generales de las simulaciones
La representación LPV politópica obtenida del reactor anaerobio UASB empleado
como caso de estudio, permite simplificar su modelado con pocas pérdidas en la dinámica.
El máximo error de esta representación se observó en la variable s1 ya que en ciertos puntos
el error respecto a la variable del modelo no lineal alcanzó el 10 %, sin embargo en las
5.5. Conclusiones generales de las simulaciones
83
variables x1 y Qch4 el máximo error fue del 2 %.
En base a los resultados de las simulaciones, se concluyó que el observador UIO presenta
menor error en la estimación y menor tiempo de convergencia. En tanto que, el observador
tipo Luenberger presenta menor sensibilidad a ruido y mayor facilidad de diseño. Por
último, la facilidad de sintonización es similar en los 3 observadores.
El esquema FDI diseñado consistió en un banco de observadores UIO, al analizar los
residuos en presencia de fallas, se observó que sólo 4 residuos eran sensibles a estas. El
valor del umbral establecido para dichos residuos permite la detección de fallas en los
sensores del reactor UASB del 6 %, 11 % y 5 % respectivamente en los sensores de las
variables x1 , s1 y Qch4 .
Capı́tulo 6
Conclusiones y trabajos futuros
6.1.
Conclusiones
Durante el desarrollo del presente trabajo de tesis se abordó la teorı́a de los sistemas
LPV, además de los observadores y esquemas FDI propuestos en la literatura para este
tipo de sistemas. Como caso de estudio se empleó un reactor anaerobio UASB, se consideró su modelo matemático simplificado y las especificaciones de diseño empleadas en un
reactor anaerobio que se encuentra en la División de Estudios e Investigación del Instituto
Tecnológico de Orizaba.
De acuerdo a los objetivos planteados la Secc. 1.4 se concluye lo siguiente:
El modelo LPV politópico ofrece una buena aproximación al modelo no lineal, ya
que reproduce la dinámica de las variables en puntos diferentes a los puntos en los
que se evaluó la linealización, obteniendo un error máximo inferior al 2 % para las
variables x1 y Qch4 , en tanto que para la variables s1 este error fue del 10 %.
Se verificó a nivel simulación la hipótesis planteada sobre los observadores con entradas desconocidas. Los ı́ndices de desempeño obtenidos con estos observadores
fueron cercanos a cero en la mayorı́a de las variables estimadas. La variable estimada con mayor error fue s1 .
Se diseñó un esquema FDI utilizando los observadores UIO diseñados, con dicho esquema se logran detectar fallas del 6 %, 11 % y 5 % respectivamente en las variables
x1 , s1 y Qch4 . Como se puede ver, la sensibilidad del esquema es baja para el caso
de la estimación de fallas en el sensor de la variable s1 , sin embargo dicha sensibilidad es aceptable para la estimación de las variables x1 y Qch4 . Posiblemente, estos
resultados podrı́an mejorarse sintonizando nuevamente el observador UIO.
El esquema FDI diseñado es capaz de localizar fallas únicas en los tres sensores pero
no fallas que se presenten de manera simultánea.
85
6.2. Trabajos futuros
6.2.
86
Trabajos futuros
Los trabajos futuros que se sugieren realizar de forma complementarı́a son:
Realizar la representación LPV del reactor anaerobio UASB utilizando otra representación tal como la LFT o la afin a los parámetros para comparar los resultados.
Debido a la naturaleza del sistema, se sugiere diseñar un observador continuodiscreto, con el cual se espera una mejor estimación de las variables, ya que para
este sistema la medición de sus variables no son obtenidas de forma continua sino a
través de un procedimiento que debido a su complejidad normalmente se realiza de
4 a 6 veces por dı́a.
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6.2. Trabajos futuros
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Apéndice A
Interfaz del esquema FDI
La interfaz que se describe fue diseñada para simular el esquema FDI para el reactor anaerobio utilizado como caso de estudio. Fue diseñada en la plataforma del
programa LabView 9.0 y consta de cuatros pestañas que permiten obtener información gráfica sobre el proceso, además de introducir las condiciones iniciales del
sistema. Estas pestañas son: sistema, condiciones iniciales, residuos y monitoreo. A
continuación se detalla cada una.
A.1.
Pestaña sistema
En la pestaña sistema (Fig. A.1), se muestra el esquema del reactor anaerobio UASB
con su instrumentación. En esta pestaña se visualiza el funcionamiento del reactor, el
cual consta de: encendido de bombas, lectura de pH y llenado o vaciado de tanques.
Todos los tanques cuentan con un display que indica la cantidad de mililı́tros de
lı́quido que contienen.
Esta pestaña también cuenta con un botón de paro de emergencia que permite al
usuario detener la simulación en cualquier momento.
A.2.
Pestaña condiciones iniciales
En esta pestaña el usuario introduce las condiciones iniciales con las que comenzará la simulación.
Las condiciones iniciales que se deben ingresar son:
Caracterı́sticas del proceso
• Concentración de materia orgánica en el efluente.
• Tasa de dilución.
• pH
93
A.3. Pestaña residuos
94
Fig. A.1. Pestaña sistema de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del reactor
anaerobio UASB.
• Volúmen útil del reactor
• Volumen inicial de cada tanque
Caracterı́sticas de la simulación
• Tiempo de muestreo
La imagen de esta pestaña se muestra en la Fig. A.2.
A.3.
Pestaña residuos
Esta pestaña contiene las gráficas de los residuos que se están generando durante
la simulación, cada residuo cuenta con un display que permite conocer su valor, el
cual se muestra del lado derecho de la gráfica.
Las tres gráficas de la parte inferior de la pestaña muestran el comportamiento de
cada variable de estado del sistema, de igual forma en el lado derecho, cada gráfica
cuenta con un display. En la figura (A.3) se muestra esta pestaña.
A.3. Pestaña residuos
95
Fig. A.2. Pestaña condiciones iniciales de la interfaz gráfica construida para el esquema
FDI del reactor anaerobio UASB.
Fig. A.3. Pestaña residuos de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del
reactor anaerobio UASB.
A.4. Pestaña monitoreo
96
Fig. A.4. Pestaña monitoreo de la interfaz gráfica construida para el esquema FDI del
reactor anaerobio UASB.
A.4.
Pestaña monitoreo
En esta pestaña se muestran 9 LEDs indicadores y en el centro una pantalla de ayuda
al operador. Los LEDs indican el estatus de los sensores o contenido de tanques,
cuando el color del LED sea verde, indicará que no existe problema en el sistema,
en cuanto se detecte un problema el color del LED cambiará a rojo.
Los LEDs situados en la parte izquierda de la pestaña indican el estatus de los
sensores, si el porcentaje de falla simulado es cero o inferior al porcentaje de la
mı́nima falla que se pueda detectar con el esquema FDI el LED será verde, para el
caso contrario el LED cambia de color para indicar la falla.
El color de los LEDs del nivel de agua destilada y nivel de agua residual que se
encuentran a la derecha de la pestaña será verde cuando su contenido sea superior
al 10 % de la capacidad del tanque, para el caso contrario, el LED cambiará de color
para indicar que el agua de los tanques se está terminando. Los LEDs restantes
en la parte derecha de la pestaña, indicarán en color verde que el contenido de los
tanques (efluente, biogás y desecho) es inferior al 90 % de su capacidad, en caso de
superar éste nivel, el color del LED cambiará a rojo.
El centro de la pestaña contiene una pantalla de ayuda para el usuario, en caso de
que algún LED indique algún problema, la pantalla despliega información al usuario
sobre el problema y como corregirlo. La Fig.A.4 presenta la imagen de esta pestaña.
Apéndice B
Señales empleadas para simular la
variación los parámetros
B.1. Señales para simular la variación de los parámetros variables
Para simular la variación de los parámetros variables se emplearon tres tipos de
señales: escalón, rampa y una señal suave generada. En las Figs. B.1 y B.2 se presentan dichas señales, a continuación se realiza la descripción de cada una de ellas.
B.1.1.
Señal tipo escalón
Las señales tipo escalón se utilizaron para verificar la dinámica del modelo LPV
en los 4 puntos de operación, la variación de dicha señal se realizó de la siguiente
manera:
1. Una señal simuló la variación del parámetro D(t), con un valor inicial y constante de 0.3 durante las primeras 150 unidades de tiempo, posteriormente su
valor cambió a 0.5 y se mantuvo constante hasta el final de la simulación.
2. La segunda señal simuló la variación del parámetro IpH (t), su valor inicial fue
de 0.9068, posteriormente la señal varió sus valores a 1, 0.9068 y 1, de tal forma
que cada 50 unidades de tiempo variaba su valor.
Con las señales descritas anteriormente se logra simular la variación de los parámetros en los 4 puntos de operación.
97
B.1. Señales para simular la variación de los parámetros variables
IpH
1
0.45
0.98
IpH
−1
D(d )
D
0.5
0.4
98
0.96
0.94
0.35
0.92
0.3
50
100
150
200
0.9
50
250
Tiempo(días)
200
250
IpH
1
0.98
IpH
0.45
−1
150
Tiempo(días)
D
0.5
D(d )
100
0.4
0.96
0.94
0.35
0.92
0.3
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
0.9
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. B.1. Señales escalón y rampa1 empleadas para simular la variación de los pará metros
D(t) e IpH (t).
B.1.2.
Señal tipo rampa
Para verificar la dinámica del modelo LPV en puntos diferentes a los puntos de operación se utilizaron las señales tipo rampa, la variación de estas señales se describe
a continuación:
1. La condición inicial de la señal tipo rampa que simula la variación del parámetro
D(t) se fija en 0.3 y su pendiente en 1e − 3. De tal forma los valores que toma
el parámetro van desde 0.3 a 0.5 en un periodo de 200 unidades de tiempo de
simulación.
2. Para la señal que simuló la variación de IpH (t) su pendiente fue de 4.66e − 4
partiendo de un valor inicial de 0.9068. Con esta señal se logra generar valores
de IpH en todo el intervalo definido para el parámetro.
Por practicidad, en este capı́tulo se le denomina a la combinación de señales tipo
rampa descrita anteriormente como rampa1, ya que se utilizó la misma combinación de señales pero considerando la pendiente negativa para la señal que simula
el parámetro D(t) y partiendo de un valor inicial de 0.5, a esta última señal se le
denominó señal rampa2.
B.2. Funciones de ponderación
99
IpH
D
0.5
1
0.98
IpH
−1
D(d )
0.45
0.4
0.96
0.94
0.35
0.92
0.3
50
100
150
200
0.9
50
250
Tiempo(días)
250
IpH
0.98
IpH
−1
200
1
0.45
D(d )
150
Tiempo(días)
D
0.5
100
0.4
0.96
0.94
0.35
0.92
0.3
50
100
150
200
Tiempo(días)
250
0.9
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. B.2. Señales rampa2 y suave empleadas para simular la variación de los pará metros
D(t) e IpH (t).
B.1.3.
Señal suave
La tercer señal utilizada es una señal suave que tiene una forma similar a una
gaussiana. De igual forma que con las otras señales se utilizaron dos, una para
simular la variación del parámetro D(t) y otro para el parámetro IpH (t), el centro
de ambas señales se estableció en el tiempo de simulación de 150 dı́as, en tanto que
su valor máximo fue de 0.5 y 1 para D(t) e IpH (t) respectivamente.
B.2.
Funciones de ponderación
Con las señales descritas anteriormente se verifica la dinámica del modelo LPV en
puntos diferentes a los puntos de operación, pero pertenecientes al polı́topo.
Las funciones de ponderación obtenidas al utilizar las señales anteriormente descritas
para variar los parámetros D(t) e IpH (t) se muestran en la Fig. B.3. Las dos gráficas
superiores representan las funciones de ponderación obtenidas cuando se utilizó la
señal escalón y rampa1 para generar los cambios en los parámetros. Las gráficas
inferiores representan las funciones de ponderación obtenidas al utilizar la rampa2
y la señal suave utilizadas para simular los cambios en los parámetros variables, las
gráficas que describen estas señales se muestran en la parte inferior de la Fig. B.2.
100
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
λ1
λ2
0.5
λ
3
λ4
0.4
0.3
Función de ponderación
Función de ponderación
B.2. Funciones de ponderación
0.6
λ3
0.3
0.1
0.1
150
200
0
50
250
λ4
0.4
0.2
100
λ2
0.5
0.2
0
50
λ1
100
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
λ1
0.5
λ
2
λ3
0.4
λ4
0.3
λ
Tiempo(días)
250
3
λ4
0.3
0.1
200
λ2
0.4
0.1
150
250
λ1
0.5
0.2
100
200
0.6
0.2
0
50
150
Tiempo(días.)
Función de ponderación
Función de ponderación
Tiempo(días)
0
50
100
150
200
250
Tiempo(días)
Fig. B.3. Funciones de ponderación obtenidas al utilizar señales tipo escalón, rampa1,
rampa2 y la señal suave para generar las variaciones en los parámetros D(t) e IpH (t).