Análisis de respuesta en frecuencia

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Análisis de respuesta en frecuencia
Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un sistema en estado estable a una
entrada senoidal. En los métodos de la respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada se
varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultante.
El criterio de estabilidad de Nyquist nos permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas
lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto.
Obtención de la salida en estado estacionario para entrada senoidal.
Considere el sistema estable, lineal e invariante con el tiempo de la figura.
Y (s )
= G (s )
X (s )
Supongamos que la señal de entrada es.
x(t ) = X sen ω t
si el sistema es estable, la respuesta en estado estacionario y (t ) es.
y (t ) = Y sen(ω t + φ )
donde
Y = X G ( jω )
⎡ parte imaginaria de G ( jω ) ⎤
⎥
parte real G ( jω )
⎣
⎦
φ = ∠G( jω ) = tan −1 ⎢
Un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo, sujeto a una entrada senoidal, tendrá, en estado
estable, una salida senoidal de la misma frecuencia que la entrada. Pero, en general, la amplitud y la fase de
la salida serán diferentes a la de la entrada.
Observe que para las entradas senoidales,
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Por tanto, las características de respuesta en frecuencia de un sistema para una entrada senoidal se
obtienen directamente de
Y ( jω )
= G ( jω )
X ( jω )
La función G ( jω ) se denomina función de transferencia senoidal. Es el cociente entre Y ( jω ) y X ( jω ) . Es
una cantidad compleja y se representa mediante una magnitud y un ángulo de fase con la frecuencia como
parámetro. (Un ángulo de fase negativo se denomina atraso de fase y un ángulo de fase positivo se
denomina adelanto de fase.) La función de transferencia senoidal de cualquier sistema lineal se obtiene
sustituyendo s por jω en la función de transferencia del sistema.
Ejemplo
Considere el siguiente función de transferencia, obtenga la magnitud y la fase para diferentes valores de
frecuencia.
G (s ) =
5
2s + 1
Cambiando la s por jω
5
G ( jω ) =
j 2ω + 1
La ecuación de magnitud es
G ( jω ) =
5
4ω 2 + 1
El defasamiento es
φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω
ω
G ( jω )
∠G ( jω )
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10
20
50
5
4.996
4.975
4.903
4.642
3.535
2.236
1.213
0.497
0.249
0.125
0.05
-1.15°
-2.29°
-5.71°
-11.31°
-21.8
-45°
-63.43°
-75.96°
-84.29°
-87.14°
-88.56°
-89.43°
Ejemplos para obtener las ecuaciones de la magnitud y el ángulo de fase.
G ( jω ) =
G (s ) =
60
s (s + 4)(s + 8)
G ( jω ) =
60
jω ( jω + 4)( jω + 8)
60
ω ω 2 + 16 ω 2 + 64
−1 ω
−1 ω
∠G ( jω ) = −90° − tan
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2
4
− tan
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G ( jω ) =
G (s ) =
100( s + 8)
s (s + 4)(s + 12)
2
G ( jω ) =
100( jω + 8)
( jω ) ( jω + 4)( jω + 12)
2
100 ω 2 + 64
ω 2 ω 2 + 16 ω 2 + 144
−1 ω
−1 ω
∠G ( jω ) = tan
8
− 180° − tan
4
14
G ( jω ) =
− ω 2 + j 4ω + 13 ( jω + 5)
14
G ( jω ) =
2
16ω 2 + 13 − ω 2
ω 2 + 25
(
G (s ) =
G (s ) =
14
s + 4s + 13 (s + 5)
(
2
)
14
(s + 2 + j3)(s + 2 − j3)(s + 5)
− tan −1
ω
12
)
(
)
ω
4ω
− tan −1
ω 2 < 13
2
5
13 − ω
ω
⎛ −1 4ω
⎞
ω 2 > 13
∠G ( jω ) = −⎜ tan
+ 180° ⎟ − tan −1
2
5
13 − ω
⎝
⎠
14
G ( jω ) =
( jω + 2 + j3)( jω + 2 − j3)( jω + 5)
70
G ( jω ) =
2
2
(ω + 3) + 2 (ω − 3)2 + 22 ω 2 + 25
∠G ( jω ) = − tan −1
∠G ( jω ) = − tan −1
ω +3
2
− tan −1
ω −3
2
− tan −1
ω
5
Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica.
La función de transferencia senoidal, función compleja de la frecuencia ω , se caracteriza por su magnitud y
ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro. Por lo general se usan tres representaciones gráficas de
las funciones de transferencia senoidales:
1.
2.
3.
Las gráficas de Bode o gráficas logarítmicas
Las gráficas de Nyquist o gráficas polares
Las gráficas de magnitud logarítmica contra la fase
Gráficas de Bode
Las gráficas de Bode están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una función de
transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra la frecuencia ω en la escala
logarítmica.
La unidad que se usa en esta representación del logaritmo de la magnitud es el decibel (dB ) ,
G ( jω ) dB = 20 log G ( jω ) . En la representación logarítmica, se trazan las curvas sobre papel
semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para la magnitud (en
decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de interés determina la cantidad de ciclos
logarítmicos que se requieren en la abscisa.)
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La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en adición.
Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa
en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se
necesita información general sobre la característica de la respuesta en frecuencia.
Ejemplo
Para la siguiente función de transferencia, el logaritmo de la magnitud y la fase para diferentes valores de
frecuencia.
G (s ) =
Cambiando la s por jω
G ( jω ) =
5
2s + 1
5
j 2ω + 1
La ecuación de la magnitud en decibeles es
G ( jω ) dB = 20 log 5 − 20 log 4ω 2 + 1
El defasamiento es
φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω
ω
G ( jω ) dB
∠G ( jω )
ω
G ( jω ) dB
∠G ( jω )
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
13.977
13.972
13.936
13.809
13.335
10.969
-1.15°
-2.29°
-5.71°
-11.31°
-21.8
-45°
1.0
2.0
5.0
10
20
50
6.989
1.675
-6.064
-12.052
-18.065
-26.021
-63.43°
-75.96°
-84.29°
-87.14°
-88.57°
-89.43°
G (s ) =
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4
5
2s + 1
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Las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas.
Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1 .
Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10ω1 .
La distancia horizontal de ω1 = 1 a ω1 = 10 es igual a la de ω1 = 3 a ω1 = 30 .
La ganancia K . Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un
número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia
constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la
ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la
curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero
no afecta la curva de fase.
20 log(K × 10) = 20 log K + 20
20 log(K × 0.1) = 20 log K − 20
Gráfica de Bode para diferentes valores de ganancia
G (s ) =
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5
5
2s + 1
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Relación entre el tipo de sistema y la curva de magnitud logarítmica.
Considere el sistema de control con realimentación unitaria. Las constantes estáticas de error de posición,
velocidad y aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y
tipo 2, respectivamente. Para un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las constantes de error
estático. (Entre mayor es el valor de la constante finita de error estático, más alta es la ganancia de lazo
conforme ω tiende a cero.)
El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en frecuencias bajas. Por
tanto, la información relacionada con la existencia y la magnitud del error en estado estable de un sistema
ante una entrada definida se determina a partir de la observación de baja frecuencia de la curva de magnitud
logarítmica.
Considere el sistema de control con realimentación unitaria de la figura.
Suponga que la función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante
G (s ) =
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)L (Tm s + 1)
s N (T1s + 1)(T2 s + 1)L T p s + 1
(
)
Determinación de las constantes de error estático de posición.
Para un sistema tipo 0
K p = lim G ( jω )
ω →0
Determinación de las constantes de error estático de velocidad.
La intersección del segmento inicial − 20 dB década (o su extensión) con la línea ω = 1 tiene la magnitud de
20 log K v Esto se observa del modo siguiente:
Para un sistema de tipo 1
G ( jω ) =
CONTROL CLÁSICO
Kv
jω
para ω << 1
6
20 log
Kv
= 20 log K v
jω ω = 1
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La intersección del segmento inicial − 20 dB década (o su extensión) con la línea 0 dB tiene una frecuencia
cuyo valor numérico es igual a K v Para ver esto, defina la frecuencia en esta intersección como ω1 ; así,
Kv
Kv
= 20 log 1 = 0
jω1
20 log
ω1
=1
K v = ω1
Determinación de las constantes de error estático de aceleración.
Para un sistema tipo 2
La intersección del segmento inicial -40 dB/década (o su extensión) con la línea ω = 1 tiene una magnitud de
20 log K a . Esto se observa del modo siguiente: en un sistema de tipo 2
G ( jω ) =
Ka
para ω << 1
( jω )
2
20 log
Ka
( jω a )2
= 20 log K a
ω =1
La frecuencia ω a de la intersección del segmento inicial -40 dB/década (o su extensión) con la línea 0 dB
produce numéricamente la raíz cuadrada de K a . Esto se observa a partir de lo siguiente:
20 log
CONTROL CLÁSICO
Ka
( jω a )
2
Ka
= 20 log 1 = 0
(ω a )2
7
=1
ωa = K a
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Graficas Polares
La gráfica polar de una función de transferencia senoidal G ( jω ) es una gráfica de la magnitud de G ( jω )
contra el ángulo de fase de G ( jω ) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto,
la gráfica polar es el lugar geométrico de los vectores G ( jω ) conforme ω varía de cero a infinito. Observe
que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (o negativos) si se miden en el sentido
contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo. La gráfica
polar se denomina, con frecuencia, gráfica de Nyquist. La figura contiene un ejemplo de dicha gráfica. Todos
los puntos de la gráfica polar de G ( jω ) representan el punto terminal de un vector en un valor determinado
de ω . En la gráfica polar, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del lugar geométrico. Las
proyecciones de G ( jω ) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud
G ( jω ) y el ángulo de fase deben calcularse directamente para cada frecuencia ω con el propósito de
construir trazas polares.
Una ventaja de usar una gráfica polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la
respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que la gráfica
no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en
lazo abierto.
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Ejemplo
Considere el siguiente sistema, cuya función de transferencia es
G (s ) =
Cambiando la s por jω
G ( jω ) =
5
2s + 1
5
j 2ω + 1
La magnitud es
G ( jω ) =
5
1 + 4ω 2
El defasamiento es
φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω
CONTROL CLÁSICO
9
ω
G ( jω )
∠G ( jω )
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10
20
50
5
4.996
4.975
4.903
4.642
3.535
2.236
1.213
0.497
0.249
0.125
0.05
-1.15°
-2.29°
-5.71°
-11.31°
-21.8
-45°
-63.43°
-75.96°
-84.29°
-87.14°
-88.56°
-89.43°
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Gráficas polares para diferentes funciones de transferencias
Factores de primer orden (1 + jω )
m1
(1 + jω )
1 / (1 + jω )
[
Factores cuadráticos 1 + 2ζ ( jω ωn ) + ( jω ωn )
]
2 m1
[1 + 2ζ ( jω ω ) + ( jω ω ) ]
[1 + 2ζ ( jω ω ) + ( jω ω ) ]
2 −1
n
2
n
n
n
Gráficas polares según el tipo del sistema
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Gráficas polares para diferentes sistemas
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Gráficas de magnitud logarítmica contra fase
La gráfica de la magnitud logarítmica contra la fase, es una gráfica de la magnitud logarítmica en decibeles
contra el ángulo de fase en grados. La curva se gradúa en términos de la frecuencia ω . Estas gráficas de la
magnitud logarítmica contra la fase se denominan gráficas de Nichols.
Ejemplo
Para la siguiente función de transferencia, el logaritmo de la magnitud y la fase para diferentes valores de
frecuencia.
G (s ) =
Cambiando la s por jω
G ( jω ) =
5
2s + 1
5
j 2ω + 1
La magnitud en decibeles es
G ( jω ) dB = 20 log 5 − 20 log 4ω 2 + 1
El defasamiento es
φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω
ω
G ( jω ) dB
∠G ( jω )
ω
G ( jω ) dB
∠G ( jω )
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
13.977
13.972
13.936
13.809
13.335
10.969
-1.15°
-2.29°
-5.71°
-11.31°
-21.8
-45°
1.0
2.0
5.0
10
20
50
6.989
1.675
-6.064
-12.052
-18.065
-26.021
-63.43°
-75.96°
-84.29°
-87.14°
-88.57°
-89.43°
CONTROL CLÁSICO
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Gráfica para diferentes valores de ganancia
Gráficas de magnitud logarítmica contra fase para diferentes funciones de transferencia
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Frecuencia de resonancia ωr y Pico de Resonancia M r .
La magnitud de
G ( jω ) =
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ j
⎟⎟
1 + 2ζ ⎜⎜ j
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
2
es
G ( jω ) =
1
2
2 ⎞
⎛
⎛
⎞
⎜1 − ω ⎟ + ⎜ 2ζ ω ⎟
⎜ ω 2⎟ ⎜ ω ⎟
n ⎠
⎝
n ⎠
⎝
2
Pico de resonancia M r es el máximo valor de la magnitud
M r = G ( jω ) máx = G ( jωr ) =
Mr =1
1
2ζ 1 − ζ 2
Para 0 ≤ ζ ≤ 0.707
Para ζ > 0.707
Frecuencia de resonancia ωr es la frecuencia en la cuál se presenta el pico máximo
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
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para 0 ≤ ζ ≤ 0.707
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Conforme el factor de amortiguamiento relativo
ζ tiende a cero, la frecuencia de resonancia
tiende a ωn .
Para ζ > 0.707 no hay un pico de resonancia.
Conforme ζ
infinito.
tiende a cero, M r
tiende a
El ancho de banda ωb . Es la frecuencia en la cual la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado
está 3 dB debajo de su valor de frecuencia cero.
C ( jω ) C ( j 0 )
<
− 3dB
R ( jω ) R ( j 0 )
para ω > ωb
La especificación del ancho de banda se determina mediante los factores siguientes:
1.
La capacidad de reproducir la señal de entrada. Un ancho de banda grande corresponde a un
tiempo de levantamiento pequeño o a una respuesta rápida. En términos generales, puede decirse
que el ancho de banda es proporcional a la velocidad de respuesta.
2.
Las características de filtrado necesarias para el ruido de alta frecuencia.
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Gráficas de Bode, polar y de magnitud logarítmica contra fase de un sistema de
[
segundo orden de la forma 1 + 2ζ ( jω ωn ) + ( jω ωn )2
resonancia y la frecuencia de resonancia.
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]
−1
mostrando la magnitud de
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Estabilidad
Margen de fase:
El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia
requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia es la
frecuencia en la cual G ( jω ) , la magnitud de la función de transferencia en lazo abierto, es unitaria. El
margen de fase MF es de 180° más el ángulo de fase φ de la función de transferencia en lazo abierto en la
frecuencia de cruce de ganancia
MF = 180° + φ
Margen de ganancia:
El margen de ganancia es el recíproco de la magnitud G ( jω ) en la frecuencia a la cual el ángulo de fase es
-180°. Si definimos la frecuencia de cruce de fase ω1 como la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la
función de transferencia en lazo abierto es igual a -180°, se produce el margen de ganancia MG :
MG =
1
G ( jω1 )
En términos de decibeles
MG dB = 20 log MG = -20 log G ( jω1 )
Margen de fase y de ganancia para sistemas estables e inestables a) graficas de Bode, b) graficas polares,
c) graficas de la magnitud logarítmica contra fase.
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Correlación entre la respuesta transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia en
el sistema estándar de segundo orden.
Sistema de control
El sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario del sistema estándar de segundo orden, se
correlaciona en forma exacta con la magnitud del pico de resonancia M r en la respuesta en frecuencia. Por
tanto, la respuesta en frecuencia contiene, en esencia, la misma información de la dinámica del sistema que
la respuesta transitoria.
La ecuación presenta la relación entre el factor de amortiguamiento relativo ζ y el margen de fase MF .
(Observe que el margen de fase MF es sólo una función del factor de amortiguamiento relativo ζ .)
MF = tan −1
2ζ
1 + 4ζ 4 − 2ζ 2
La figuras muestran una gráfica del margen de fase MF como una función del factor de amortiguamiento
relativo ζ . Y una gráfica M r contra ζ y M p contra ζ para el sistema de segundo orden
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Para sistemas de orden superior, lineales e invariantes con el tiempo, que tienen un par de polos dominantes
en lazo cerrado complejos conjugados, por lo general existen las siguientes relaciones entre la respuesta
transitoria a escalón y la respuesta en frecuencia:
1. El valor de M r indica la estabilidad relativa. Por lo general se obtiene un desempeño transitorio
satisfactorio si el valor de M r está en el rango de 1.0 < M r < 1.4 (0 dB < M r < 3 dB ) , que corresponde a
un factor de amortiguamiento relativo efectivo de 0.4 < ζ < 0.7 . Para valores de M r mayores que 1.5, la
respuesta transitoria a escalón puede presentar varios sobrepasos. (Observe que, en general, un valor
grande de M r corresponde a un sobrepaso grande en la respuesta transitoria a escalón. Si el sistema está
sujeto a señales de ruido cuyas frecuencias están cerca de la frecuencia de resonancia
amplifica en la salida y presenta problemas serios.)
2. La magnitud de la frecuencia de resonancia
grande es el valor de
ωr ,
ωr
ωr ,
el ruido se
indica la velocidad de respuesta transitoria. Entre más
más rápida es la respuesta en tiempo. En otras palabras, el tiempo de
levantamiento varía inversamente con respecto a
abierto, la frecuencia natural amortiguada
ωd
ωr .
En términos de respuesta en frecuencia en lazo
en la respuesta transitoria está en algún punto entre la
frecuencia de cruce de ganancia y la frecuencia de cruce de fase.
3. La frecuencia del pico de resonancia
ωr
y la frecuencia natural amortiguada
ωd
para la respuesta
transitoria a escalón están muy cercanas entre sí para sistemas ligeramente amortiguados.
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Respuesta en frecuencia de lazo cerrado
Considere el sistema con retroalimentación unitaria
La función de transferencia en lazo cerrado es
Definamos la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado como
M y el ángulo de fase como α , o
Lugares geométricos de magnitud constante (círculos M ). Para obtener los lugares geométricos de
magnitud constante, primero consideremos que G ( jω ) es una cantidad compleja que se escribe del modo
siguiente:
Si M = 1 , entonces, obtenemos X = − 12 Ésta es la ecuación de una recta paralela al eje Y y que pasa por
(
)
el punto − 12 , 0 .
Si M
≠ 1 , la ecuación se escribe
La ecuación es la de un círculo con centro en X = − M
CONTROL CLÁSICO
21
2
(M
2
)
(
)
− 1 , Y = 0 y con radio M M 2 − 1 .
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Lugares geométricos de ángulo de fase constante (círculos N ). Obtendremos el ángulo de fase
términos de X y Y Dado que
Ésta es la ecuación de un círculo con centro en X = − 12 , Y =
CONTROL CLÁSICO
22
1
2N
y radio de
1
4
α
en
+ ( 21N ) .
2
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(a) Lugar geométrico de G ( jω ) sobrepuesto a una familia de círculos M .
(b) Lugar geométrico G ( jω ) sobrepuesto a una familia de círculos N .
(c) Curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
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Carta de Nichols
La Carta de Nichols. son los lugares geométricos M y N en el plano de la magnitud logarítmica contra la
fase.
La carta de Nichols contiene las curvas de magnitud en dB y ángulo de fase en lazo cerrado constantes.
El diseñador puede determinar gráficamente el margen de fase, el margen de ganancia, la magnitud del pico
de resonancia, la frecuencia del pico de resonancia y el ancho de banda del sistema en lazo cerrado a partir
de la gráfica del lugar geométrico en lazo abierto, G ( jω ) .
La carta de Nichols es muy útil para determinar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir de la de
lazo abierto.
La carta de Nichols es simétrica con respecto al eje -180°. Los lugares geométricos
360° y presentan una simetría en cada intervalo de 180°. Los lugares geométricos
respecto al punto crítico (0 dB, −180°) .
M y N se repiten cada
M están centrados con
Si la curva de la respuesta en frecuencia en lazo abierto G ( jω ) se sobrepone a la carta de Nichols, los
puntos en los que interseca los lugares geométricos M y N proporcionan los valores de la magnitud
el ángulo de fase α de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado en cada punto de frecuencia.
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M y
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Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
jω
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.8
Determine el valor de la ganancia
G ( jω ) dB
13.766
7.144
2.727
-0.855
-3.979
-6.793
-9.367
-13.956
G ( jω )
4.878
2.276
1.369
0.906
0.632
0.457
0.34
0.2
∠G ( jω )
-107.02
-123.11
-137.66
-150.46
-161.56
-171.16
-179.45
-192.93
K tal que M r = 1.4 = 3 dB
Se traza la gráfica de la magnitud logarítmica contra fase con K = 1
Se desplaza la grafica hasta que sea tangente a la curva de M r = 3 dB , se mide el desplazamiento en dB
(+) si se desplaza la grafica hacia arriba ó (-) si se desplaza la grafica hacia abajo, en el eje de la magnitud
G ( jω ) , este será 20 log K
20 log K = −2
K = 0.79
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Considere el sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo
abierto es
Determine el valor de la ganancia K tal que M r = 1.4
Se traza la gráfica de la magnitud logarítmica contra fase con K = 1
Se desplaza la grafica hasta que sea tangente a la curva de M r = 1.4 , se mide el desplazamiento en dB (+)
si se desplaza la grafica hacia arriba ó (-) si se desplaza la grafica hacia abajo, en el eje de la magnitud
G ( jω ) , este será 20 log K
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