Sistemas Fisicos - Universidad Autónoma de Nuevo León

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Sistemas Físicos
INGENIERÍA DE CONTROL.
1
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ..
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Modelos de sistemas
Para analizar los sistemas de control se necesitan modelos matemáticos. Estos modelos
son ecuaciones que representan la dinámica del sistema. La dinámica de los sistemas se describe
en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de
leyes físicas que gobiernan un sistema determinado.
Sistemas eléctricos
Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de Kirchhoff.
Ley de nodos, la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero.
Ley de voltajes, en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de
cualquier malla es cero.
Un circuito está formado por inductancias L (henry), resistencias R (ohm) y capacitancias C
(farad).
La caída de tensión en una inductancias es proporcional a la variación de corriente el = L
di
dt
La caída de tensión en una resistencia es proporcional a la corriente er = R i
La caída de tensión en un capacitor es proporcional a la cantidad de corriente que pasa a través
de el ec =
1
idt .
C
∫
Ejemplo 1
Ecuación de la malla
ei = e r + eo
ecuaciones de cada uno de los elementos.
e r = Ri , eo =
1
i dt
C
∫
Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R (s ) + E 0 (s ),
E R = RI (s ),
E0 (s ) =
1
I (s )
sC
Sustituyendo
E i ( s ) = RI ( s ) +
1
I ( s)
sC
agrupando y despejando I (s )
I ( s) =
sC
Ei ( s)
( RCs + 1)
como
E o ( s) =
ei = variable de entrada
e0 = variable de salida
INGENIERÍA DE CONTROL.
1
I ( s)
sC
E o ( s)
1
=
E i ( s ) ( RCs + 1)
2
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ei = variable de entrada
eR = variable de salida
ei = variable de entrada
i = variable de salida
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ER (s)
RCs
=
Ei ( s) ( RCs + 1)
I (s)
Cs
=
Ei ( s ) ( RCs + 1)
Ejemplo 2
Ecuación de la malla
ei = el + e r + eo
ecuaciones de cada uno de los elementos
el = L
di
1
, e r = Ri , ec =
i dt
dt
C
∫
Transformando en Laplace
E i (s ) = E L (s ) + E R (s ) + E 0 (s )
E L (s ) = LsI (s ),
E R (s ) = RI (s ),
E c (s ) =
1
I (s )
sC
sustituyendo
1
I ( s)
sC
agrupando y despejando I (s )
sC
I ( s) =
Ei ( s )
2
LCs + RCs + 1
E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) +
ei = variable de entrada
i = variable de salida
I ( s)
sC
=
Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1
Como
1
I ( s)
sC
ei = variable de entrada
E o ( s) =
e0 = variable de salida
E o ( s)
1
=
E i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
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Ejemplo 3
Ecuaciones de las mallas
ei = e r1 + e c1
ec1 = e r 2 + e o
ecuaciones de cada uno de los elementos
er1 = R1i1 , e r 2 = R 2 i 2 , ec1 =
eo =
1
C2
∫i
2
1
C1
∫ (i
1
− i 2 )dt
dt
Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R1 (s ) + EC1 (s )
EC1 (s ) = E R 2 (s ) + E 0 (s )
E R1 (s ) = R1 I 1 ,
E 0 (s ) =
E R 2 (s ) = R 2 I 2 ,
E C1 (s ) =
1
(I1 (s ) − I 2 (s ))
sC1
1
I 2 (s )
sC 2
sustituyendo
1
(I 1 ( s ) − I 2 ( s ) ) = R 2 I 2 ( s ) + E o ( s )
sC1
Despejando I1 (s ) y sustituyendo I 2 (s )
I 2 ( s ) = sC 2 E o ( s )
I 1 ( s ) = C 2 sE o ( s ) + C1 R2 C 2 s 2 E o ( s ) + C1 sE o ( s )
Como
Ei ( s ) = E R1 ( s ) + E R 2 ( s ) + Eo ( s )
E i ( s ) = R1 I 1 ( s ) + R2 I 2 ( s ) + E o ( s )
Sustituyendo I 1 ( s), I 2 ( s) en esta última ec.
Ei ( s ) = R1C 2 sE o ( s ) + R1C1 R2 C 2 s 2 E o ( s ) + R1C1 sE o ( s ) + R2 C 2 sE o ( s ) + E o ( s )
(
)
Ei ( s ) = R1C1 R2 C 2 s 2 + (R1C1 + R2 C 2 + R1C 2 )s + 1 E o ( s )
ei = variable de entrada
e0 = variable de salida
E o ( s)
1
=
2
E i ( s ) R1C1 R 2 C 2 s + (R1C1 + R2 C 2 + R1C 2 )s + 1
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Sistemas mecánicos
Las formas básicas de bloque funcionales de sistemas mecánicos son resortes,
amortiguadores y masas.
La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton.
En el caso de un resorte donde el estiramiento o compresión es proporcional a las fuerzas
aplicadas.
F =kx
Donde k es una constante
En el caso de un amortiguador, La fuerza del amortiguador F es proporcional a la
velocidad v del pistón. La velocidad es la razón de cambio del desplazamiento x
F = cv
F =c
dx
dt
donde c es una constante.
En el caso de la masa, la relación entre la fuerza F y la aceleración a está relacionada con
la segunda ley de Newton.
F = ma
Donde a es la aceleración que es la razón de cambio de la velocidad. Es decir dv dt .
F = ma = m
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dv
d 2x
=m 2
dt
dt
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Ejemplo 1
ma = F − kx − cv = F − kx − c
m
d 2x
dt
m
2
d 2x
dt
2
= F − kx − c
+c
dx
dt
dx
dt
dx
+ kx = F
dt
Transformando en Laplace y considerando las condiciones iniciales iguales a cero.
ms 2 X ( s) + csX ( s) + kX ( s) = F ( s )
(ms
2
)
+ cs + k X ( s ) = F ( s)
X (s)
1
=
F ( s) ms 2 + cs + k
Función de Transferencia
Ejemplo 2
ma = 0 − b(v 0 − v i ) − k (x o − x i ) = 0
m
d 2 x0
dt
m
2
d 2 x0
dt
2
dx
dx
+ b 0 − i
dt
 dt
+b

 + k (x o − x i ) = 0

d x0
dx
+ kx 0 = b i + kx i
dt
dt
Transformando en Laplace
(ms
2
)
+ bs + k X o ( s) = (bs + k )X i ( s)
X o ( s)
bs + k
=
2
X i ( s ) ms + bs + k
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Sistemas de nivel de líquido
Resistencia y capacitancia de sistemas de nivel de líquido
Sea el flujo a través de una tubería corta que conecta dos tanques. En este caso la resistencia al
flujo del líquido se define como la variación de diferencia de nivel (diferencia de niveles de
líquido entre dos tanques) necesaria para producir una variación unitaria en el gasto.
R=
cambio en la diferencia de niveles
cambio en el gasto
Capacitancia C de un tanque se define como la variación en la cantidad de líquido acumulado,
necesaria para producir una variación unitaria en el potencial ( presión hidrostática). (El potencial
es la magnitud que indica el nivel de energía del sistema).
C=
cambio en la cantidad del líquido almacenado
cambio en el nivel
Ejemplo 1
Considere el sistema que aparece en la figura.
El flujo de entrada menos el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dt es igual a
la cantidad adicional almacenada en el tanque.
C dh = (q i − q o ) dt
La relación entre q o y h
qo =
h
R
La ecuación diferencial quedaría.
RC
dh
+ h = R qi
dt
donde h es la salida y q i es la entrada.
Transformando en Laplace
( RCs + 1) H ( s) = RQi ( s)
H ( s)
R
=
Qi ( s ) RCs + 1
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Ejemplo 2
Sistema de nivel con interacción.
Considere el siguiente sistema.
Las ecuaciones serían.
h1 − h2
= q1
R1
C1
dh1
= q − q1
dt
h2
= q2
R2
C2
dh2
= q1 − q 2
dt
Obteniendo la transformada de Laplace.
H 1 ( s) − H 2 ( s)
= Q1
R1
C1 sH 1 ( s) = Q ( s ) − Q1 ( s )
H 2 ( s)
= Q2 ( s )
R2
C 2 sH 2 ( s ) = Q1 ( s) − Q2 ( s)
Si se considera a q como entrada y a q 2 como salida.
Q2 ( s)
1
=
2
Q(s)
R1C1 R2 C 2 s + ( R1C1 + R2 C 2 + R2 C1 ) s + 1
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Diagrama de bloques por elementos
Circuito eléctrico
Ejemplo 1
Ecuación de la malla
ei = e r + eo
ecuaciones de cada uno de los elementos.
e r = Ri , eo =
1
i dt
C
∫
Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R (s ) + E 0 (s ),
E R = RI (s ),
E0 (s ) =
1
I (s )
sC
Ejemplo 2
Ecuaciones de las mallas
ei = e r1 + e c1
ec1 = e r 2 + e o
ecuaciones de cada uno de los elementos
er1 = R1i1 , e r 2 = R 2 i 2 , ec1 =
eo =
1
C2
∫i
2
1
C1
∫ (i
1
− i 2 )dt
dt
Transformando en Laplace
Ei (s ) = E R1 (s ) + EC1 (s )
EC1 (s ) = E R 2 (s ) + E 0 (s )
E R1 (s ) = R1 I 1 , E R 2 (s ) = R2 I 2 ,
INGENIERÍA DE CONTROL.
EC1 (s ) =
1
(I1 (s ) − I 2 (s )),
sC1
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E 0 (s ) =
1
I 2 (s )
sC 2
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Ejemplo 3
Sistema de nivel con interacción.
Considere el siguiente sistema.
Las ecuaciones serían.
h1 − h2
= q1
R1
C1
dh1
= q − q1
dt
h2
= q2
R2
C2
dh2
= q1 − q 2
dt
Obteniendo la transformada de Laplace.
H 1 (s) − H 2 (s)
= Q1
R1
C1 sH 1 ( s ) = Q ( s ) − Q1 ( s )
H 2 ( s)
= Q2 ( s )
R2
C 2 sH 2 ( s ) = Q1 ( s ) − Q2 ( s )
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Motor de cd controlado por armadura:
Flujo en el entrehierro
Ψ = K fif
El par desarrollado por el motor
T = K f i f K1ia
Si la corriente de campo es constante,
T = Ki a
Para un flujo constante la tensión inducida en la armadura (fuerza contra electromotriz)
eb = K b
dθ
dt
La ecuación diferencial del circuito de armadura es.
La
di a
+ R a i a + eb = e a
dt
La corriente de armadura produce el par que se aplica a la inercia y fricción de la carga
J
d 2θ
dt
2
+b
dθ
= T = Kia
dt
Tomando la transformada de Laplace inversa
K b sθ( s ) = E b ( s)
(La s + Ra )I a ( s) + Eb ( s ) = E a ( s )
(Js
2
)
+ bs θ( s ) = T ( s ) = KI a ( s)
Si consideramos la inductancia de armadura La despreciable, nos queda
Km
θ( s )
=
E a ( s ) s (Tm s + 1)
donde.
K m = K (Ra b + KK a )
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Tm = Ra J (Ra b + KK b )
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Sistema de servo posición.
r = señal de entrada
c = señal de salida
Para el potenciómetro detector de error:
E ( s ) = K1 [R( s ) − C ( s )]
Amplificador:
Ea (s) = K p E ( s)
Motor controlado por armadura:
Km
θ( s )
=
E a ( s ) s (Tm s + 1)
donde.
K m = K (Ra b + KK a )
Tm = Ra J (Ra b + KK b )
Momento de inercia equivalente J y el coeficiente de fricción viscosa equivalente b referido al
eje del motor
J = J m + n2 J L
b = bm + n 2 bL
Relación de engranes
C ( s) =
N1
1
θ( s ) = θ( s )
N2
10
La función de transferencia del servo posición sería:
K1 K p K n
C ( s)
=
2
R( s ) Tm s + s + K1 K p K n
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ei
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eo
E o ( s)
( R1C1 s + 1)( R2 C 2 s + 1)
=
Ei ( s) ( R1C1 s + 1)( R2 C 2 s + 1) + R2 C1 s
Ejemplo:
••
m x1 + k1 (x1 − x 2 ) + k 2 x1 = 0
•
b
k2
b1 x 2 + k1 (x 2 − x1 ) = 0
x2
Transformando en Laplace
ms 2 X 1 ( s ) + k1 ( X 1 ( s ) − X 2 ( s )) + k 2 X 1 ( s) = 0
b1 sX 2 ( s ) + k1 ( X 2 − X 1 ) = 0
k1
m
sustituyendo
x1
ms 2 X 1 ( s ) + bsX 2 ( s ) + k 2 X 1 ( s ) = 0
X 2 ( s ) − (ms 2 + k 2 )
=
X 1 ( s)
bs
xi
k1
•
•
b1
•
•
•
b1 ( x o − x i ) + k1 ( xo − xi ) + b2 ( x o − y ) = 0
•
b2 ( y − x o ) + k2 y = 0
x0
b2
y
k2
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