Respuesta en el tiempo de un Sistema de Control

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA
Respuesta en el tiempo de un Sistema de Control
La respuesta de un sistema de control, o de un elemento del sistema, está formada de dos partes:
la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria.
La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un
cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.
La respuesta en estado estable es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos
los transitorios.
Salida
t
Transitorio
Estado estable
Señales de prueba típicas. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones
escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible
realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las
señales son funciones del tiempo muy simples.
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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
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Respuesta en el tiempo de un sistema de control
Sea el siguiente sistema de control
La función de transferencia del sistema es
C (s )
= G (s )
R (s )
C (s ) = G (s )R(s )
La respuesta en el tiempo C (t ) es obtenida tomando la transformada de Laplace inversa de C (s )
C (t ) = L
L
-1
C (s ) = L
-1
[G(s )R(s )]
-1
Respuesta en el tiempo de un sistema de primer orden
C (s )
1
=
R(s ) Ts + 1
C (s ) =
1
R (s )
Ts + 1
Respuesta al escalón unitario
La entrada escalón unitario es
R (s ) =
1
s
La respuesta en el tiempo es
C (t ) = L
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-1
1
− t
 1 1
T
=
1
−
e
 Ts + 1 s 
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Constante de tiempo, es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar del 63.2% de su cambio total.
t =T
Conforme más pequeña es la constante de tiempo la respuesta del sistema es más rápida.
Tiempo de estabilización, o tiempo de respuesta es el tiempo que necesita la curva de respuesta
para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
ts = 4 T
Respuesta al impulso unitario de un sistema de primer orden
La entrada impulso unitario es
R(s ) = 1
La respuesta en el tiempo es
C (t ) = L
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-1
1
 1  1 −T t
 Ts + 1 = T e
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Forma general de la función de transferencia de primer orden
C (s ) G (T1 s + 1)
=
R (s )
Ts + 1
Donde G es la ganancia del sistema.
Polos Son los valores de s que hacen que el polinomio del denominador sea cero.
Son las raíces del polinomio del denominador.
Ceros Son los valores de s que hacen que el polinomio del numerador sea cero.
Son las raíces del polinomio del numerador.
El Polo de la función es
s=−
1
T
s=−
1
T1
El cero de la función es
Ubicación del polo y cero del sistema en el plano s.
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Ejemplo
Un circuito eléctrico RC representado a continuación tiene las siguientes funciones de
transferencia.
Las funciones de transferencias considerando e0 (t ), i(t ), eR (t ) como salidas y ei (t ) como entradas
son:
E0 (s )
1
=
Ei (s ) RCs + 1
I (s )
Cs
=
Ei (s ) RCs + 1
E R (s )
RCs
=
Ei (s ) RCs + 1
Si el valor de la resistencia es R = 100 KΩ y el valor del capacitor es C = 1 µ f y se le aplica un
voltaje de entrada ei = 10V . Obtener la respuesta en el tiempo para cada salida.
La constante de tiempo del circuito es:
RC = 100 000 * 0.000001 = 0.1 seg
El voltaje de entrada aplicado es Ei (s ) =
10
s
El voltaje de salida E 0 (s ) sería
 1  10   10  10 
E0 (s ) = 
  = 
 
 0.1s + 1  s   s + 10  s 
Obteniendo la transformada inversa de Laplace
(
)
e0 (t ) = 10 1 − e −10 t volts
El tiempo de estabilización para una banda del 2% sería
t S = 0.4 seg
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La corriente I (s ) sería.
 1 *10 −6 s  10   10 *10 −6 s  10 
  = 
 
I (s ) = 



 0.1s + 1  s   s + 10  s 
Obteniendo la transformada inversa de Laplace
(
)
i (t ) = 0.1 *10 −3 e −10 t ampers
El voltaje E R (s ) sería.
 0.1s  10   s  10 
E R (s ) = 
  = 
 
 0.1s + 1  s   s + 10  s 
Obteniendo la transformada inversa de Laplace
(
eR (t ) = 10 e −10 t
)
El tiempo de estabilización para una banda del 2% sería
t S = 0.4 seg
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Respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden
El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden en términos de la relación de
amortiguamiento ζ y frecuencia natural no amortiguada ω n es
La función de transferencia de lazo cerrado es
ω n2
C (s )
= 2
R (s ) s + 2ζω n s + ω n2
La ecuación característica nos da información sobre el comportamiento dinámico del sistema.
Las raíces de la ecuación característica s 2 + 2ζω n s + ω n2 = 0 serían
s1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
Si ζ > 1 los polos de lazo cerrado son reales y diferentes, el sistema se denomina
sobreamortiguado y su respuesta transitoria es exponencial
s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1
s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1
Si ζ = 1 los polos de lazo cerrado son reales e iguales, el sistema se denomina críticamente
amortiguado y su respuesta es exponencial
s1 = −ω n
s 2 = −ω n
Si 0 < ζ < 1 los polos de lazo cerrado son complejos conjugados, el sistema se denomina
subamortiguado y su respuesta es oscilatoria
s1 = −ζω n + jω n 1 − ζ 2
s 2 = −ζω n − jω n 1 − ζ 2
Si ζ = 0 los polos de lazo cerrado son imaginarios, el sistema se denomina sin amortiguamiento
y su respuesta tiene oscilaciones mantenidas
s1 = jω n
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s 2 = − jω n
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1. Caso sobreamortiguado ζ > 1
Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s
La transformada inversa de Laplace
2. Caso críticamente amortiguado ζ = 1
Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s
La transformada inversa de Laplace
3. Caso subamortiguado 0 < ζ < 1
Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s
ω n2
C (s ) =
(s + ζω n + jω d )(s + ζω n − jω d )s
en donde ω d = ω n 1 − ζ 2 es la frecuencia natural amortiguada
La transformada inversa de Laplace
4. Caso sin amortiguamiento ζ = 0
Para una entrada escalón unitario R(s ) = 1 s
C (s ) =
ω n2
(s + jω n )(s − jω n )s
La transformada inversa de Laplace
c(t ) = 1 − cos ω n t
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Familia de curvas c(t) con diversos valores de ζ .
Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en
términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de
generar. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la
respuesta para cualquier entrada.)
Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una
entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:
1. Tiempo de retardo, t d
2. Tiempo de levantamiento, t r
3. Tiempo pico, t p
4. Sobrepaso máximo, M p
5. Tiempo de asentamiento, t s
1. Tiempo de retardo, t d : es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la
mitad del valor final.
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2. Tiempo de levantamiento, t r : es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al
90%,del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo
orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas
sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
3. Tiempo pico, t p : es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del
sobrepaso.
4. Sobrepaso máximo (porcentaje), M p : es el valor pico máximo de la curva de respuesta,
medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la
unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. La cantidad de sobrepaso máximo (en
porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
M p% =
c(t p ) − c(∞ )
c(∞ )
* 100%
5. Tiempo de asentamiento, t s : es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta
alcance un rango alrededor del valor final (por lo general, de 2%) y permanezca dentro de él.
Especificaciones de la respuesta transitoria de un sistema subamortiguado
tp =
Tiempo pico, t p
Tiempo de levantamiento, t r
Sobrepaso máximo porcentual, M p
tr =
π −β
ωd

 −πζ

1−ζ 2 

M p % = 100e 
ts =
Tiempo de asentamiento, t s
4
σ
=
π
ωd
4
ζω n
= 100e −(σ ω d )π
(banda del 2%)
La constante de tiempo del sistema es 1 ζω n
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Curva de M p contra ζ .
La curva de respuesta c(t) para una
entrada escalón unitario, siempre
permanece dentro de un par de
curvas envolventes.
La respuesta c(t ) se puede obtener por medio de las curvas envolventes
El número de picos en la respuesta
t
sería N pi cos = s
tp
las magnitudes de esos picos son
(
c(t p ) = 1 + e
( )
−ζω n t p
(
c(3t ) = (1 + e
c(2t p ) = 1 − e
(
) c(∞)
)
) c(∞ )
)
) c(∞)
−ζω n 2t p
(
−ζω n 3t p
p
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Ejemplo 1
Considere el sistema de la figura, en el que ζ = 0.6 y ω n = 5 rad / seg . Obtenga el tiempo de
levantamiento t r , el tiempo pico t p el sobrepaso máximo M p y el tiempo de asentamiento t s
cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.
A partir de los valores dados de ζ y ω n obtenemos ω d = ω n 1 − ζ 2 = 4 , y σ = ζω n = 3 .
Tiempo de levantamiento t r es
ωd 
4
 = tan −1   = 0.93 rad
3
σ 
β = tan −1 
tr =
π − β π − 0.93
=
= 0.55 seg
ωd
4
Tiempo pico t p es
tp =
π
π
= = 0.785 seg
ωd 4
Sobrepaso máximo M p es
M p = e (−π σ ω d ) = e (−3π 4 ) = 0.095
M p % = 0.095 * 100 = 9.5%
Tiempo de asentamiento t s para el criterio del 2% es
4 4
t s = = = 1.33 seg
σ 3
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Ejemplo 2
Considere el sistema de la figura. Determine el valor de k de modo que la relación de
amortiguamiento ζ sea de 0.5. Luego obtenga el tiempo de crecimiento t r , el tiempo pico t p , el
sobreimpulso máximo M p y el tiempo de establecimiento t s , en la respuesta a un escalón
unitario.
Solución.
La función de transferencia de este sistema es:
Gω n2
C (s )
= 2
R(s ) s + 2ζω n s + ω n2
C (s )
16
= 2
R(s ) s + (0.8 + 16 k )s + 16
Comparándola con la función general de 2º orden
s 2 + 2ζω n s + ω n2 = s 2 + (0.8 + 16 k )s + 16
lo que nos da que 2ζω n = (0.8 + 16 k ) y ω n2 = 16 la ganancia del sistema G = 1
La frecuencia natural no amortiguada ω n .
Despejando k
k=
ω n = 4 rad / seg
2ζωn − 0.8 2(0.5)(4 ) − 0.8
=
= 0.2
16
16
k = 0.2
El máximo sobrepaso M p %
 −π ζ
M p % = 100 e 
1−ζ 2 

 − 0.5 π
= 100e 
1−(0.5 )2 

= 16.3%
Frecuencia natural amortiguada ω d
ω d = ω n 1 − ζ 2 = 4 1 − 0.5 2 = 3.464 rad / seg
El tiempo pico t p
tp =
π
π
=
= 0.907 seg
ω d 3.464
El tiempo de crecimiento (levantamiento) t r
β = cos −1 (ζ ) = cos −1 (0.5) = 1.047 rad
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tr =
13
π − β π − 1.047
=
= 0.605 seg
3.464
ωd
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Tiempo de estabilización (asentamiento) t s
ts =
4
ζω n
=
4
= 2 seg
(0.5)(4)
Podemos calcular c(∞ ) para una entrada escalón unitario utilizando el teorema del valor final

 1 
16
  = 1
c(∞ ) = lim sC (s ) = lim s 2

s →0
s →0
 s + (0.8 + 16 k )s + 16  s 
Gráfica de respuesta c(t ) para una entrada escalón unitario, utilizando la envolvente.
El número de picos sería N pi cos =
ts
2
=
= 2.2
t p 0.907
c(∞ ) = GR1 = 1
Los valores de la respuesta c(t ) son
(
c(t p ) = c(0.907) = 1 + e
(
= 1+ e
−1.814
) c(∞)
)(1) = 1.163
(
c( 2t p ) = c(1.814) = 1 − e
(
( )
−ζωn t p
( )
−ζωn 2t p
) c(∞ )
)
= 1 − e −3.628 (1) = 0.973
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Ejemplo 3
Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante de
realimentación de velocidad K h para que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitario
sea 0.2 y el tiempo pico sea 1 seg. Con estos valores de K y K h , obtenga el tiempo de
levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que
J = 1 Kg − m y que
B = 1 N − m / rad / seg .
C (s )
K
= 2
R(s ) Js + (B + KK h )s + K
K
J
=
K
 B + KK h 
2
s +
s +
J
J


Comparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda
Gω n2
B + KK h
C (s )
K
= 2
2ζω n =
y ω n2 =
2
J
J
R(s ) s + 2ζω n s + ω n
la ganancia del sistema es G = 1
Como la ganancia del sistema es 1 y la entrada es un escalón de magnitud 1, la salida se estabiliza
en 1, c(∞ ) = GR1 = 1 .
Utilizando el teorema del valor final, se puede obtener la magnitud donde se estabiliza el sistema.

 1 
K
  = 1
c(∞ ) = lim sC (s ) = lim s 2

s →0
s →0
 Js + (B + KK h )s + K  s 
(M
Como el máximo sobrepaso es 0.2, correspondería a un 20%,
 −π ζ
M p % = 100e 
1−ζ 2 

= 20%
1
ζ =
= 20%
p%
π
)
1
=
2
  M p % 
 
ln
  100  
2
+1
π2
[ln(0.2)]2
= 0.456
+1
el tiempo pico t p = 1 seg
tp =
π
= 1 seg
ωd
ω d = π = 3.1416 rad / seg
ωd = ωn 1 − ζ 2
como ω n2 =
ωn =
K
entonces
J
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ωd
1− ζ 2
=
π
1 − (0.456 )
2
= 3.53 rad / seg
K = Jω n2 = (1)(3.53) = 12.46 N − m
2
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como 2ζω n =
B + KK h
J
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Kh =
2ζω n J − B 2(0.456 )(3.53)(1) − (1)
=
= 0.178 seg
K
12.46
El tiempo de levantamiento t r
β = cos −1 (ζ ) = cos −1 (0.456 ) = 1.097 rad
tr =
ts =
Tiempo de asentamiento t s
π − β π − 1.097
=
= 0.65 seg
ωd
π
4
ζω n
=
4
= 2.485 seg
(0.456)(3.53)
Gráfica de respuesta c(t ) para una entrada escalón unitario, utilizando la envolvente.
t
2.485
El número de picos sería N pi cos = s =
= 2.485 ≈ 2
c(∞ ) = GR1 = 1
tp
1
Los valores de la respuesta c(t ) son
(
c(t p ) = c(1) = 1 + e
(
)
( )
−ζωn t p
) c(∞)
= 1 + e −1.609 (1) = 1.2
−ζω (2 t )
c(2t p ) = c(2) = 1 − e n p c(∞ )
(
= 1− e
(
−3.219
)
)(1) = 0.96
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Ejemplo 4
La figura (a) muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fuerza de 2
lb (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la figura (b). Determine m, b y k del
sistema a partir de esta curva de respuesta. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de
equilibrio.
Solución.
La función de transferencia de este sistema es
X (s )
=
P(s )
X (s )
1
=
2
P(s ) ms + bs + k
1
m
b
k
s2 + s +
m
m
Comparándola con la función general de 2º orden
Gω n2
b
k
C (s )
1
= 2
tenemos que la ganancia G =
y s 2 + 2ζω n s + ω n2 = s 2 + s +
2
R(s ) s + 2ζω n s + ω n
k
m
m
lo que nos da que 2ζω n =
b
k
y ω n2 =
m
m
Dado que la entrada es un escalón de magnitud 2, tenemos
P(s ) =
2
s
sustituyendo en la función de transferencia del sistema
X (s ) =
1
2
 
ms + bs + k  s 
2
utilizando el teorema del valor final para obtener el valor en el cuál se estabiliza el sistema.
de la gráfica de respuesta el valor donde se estabiliza el sistema es x(∞ ) = 0.1
x(∞ ) = lim sX (s ) = X (s ) = lim s
s →0
s →0
2
2
= = 0.1 pie
k
s ms + bs + k
(
2
)
Por tanto
k = 20 lb f / pie
Como el sistema se estabiliza en 0.1 y el sobrepaso es de 0.0095, entonces M p = 9.5% que
corresponde a ζ = 0.6 .
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1
ζ =
=
π2
  M p % 

ln

  100 
2
+1
1
π2
[ln(0.95)]2
= 0.6
+1
El tiempo pico t p se obtiene mediante
π
π
π
=
=
2
ωd ωn 1 − ζ
0.8ω n
La respuesta experimental muestra que t p = 2 seg . Por tanto
tp =
ωn =
Dado que ω n2 =
3.1416
= 1.96 rad / seg
(2)(0.8)
k
, obtenemos
m
m=
20
ω
2
n
=
20
(1.96 )2
= 5.2 slug = 166 lb
b se determina a partir de
b
m
b = 2ζω n m = (2)(0.6 )(1.96 )(5.2) = 12.2 lb f / pie / seg
2ζω n =
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Grafique la respuesta en el tiempo para el siguiente sistema de control, para una entrada escalón
unitario, y determine el tiempo de levantamiento t r , el tiempo pico t p el sobrepaso máximo M p
y el tiempo de asentamiento t s .
R(s)
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25
s (s + 2 )
+-
19
C(s)
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