Capitulo 3

3_1ª LEY: SISTEMAS CERRADOS
3.1 CALOR
3.2 TRABAJO
3.3 1ª LEY TERMODINAMICA
3.4 CAPACIDAD CALORÍFICA
SISTEMA CERRADOS:
LA MASA (NÚMERO DE MOLÉCULAS )
SE MANTIENE CONSTANTE
∆U = Q − W
∆Ecinética + ∆E potencial + ∆U = Q − W
∆E = Q − W
dU=dQ-dW
dEcinética +dEpotencial +dU =dQ-dW
dE = dQ - dW
3.1 CALOR
¿Qué es?
CONDUCTIVIDAD TERMICA
¿Qué es?
A
dx
T2
Flujo de calor ~ - A ∆T/∆x
Flujo de calor ~ - A dT/dx
∆x
Flujo de calor = - κ A dT/dx
dQ/dt = - κ A dT/dx
OJO
dT
T1
Q
LEY DE FOURIER
LEY DE OHM
IQ = dQ/dt = dV/R = dV / (dx / σ A) = σ A dV/dx
LEY DE FICK
IN = dN/dt =- D A dC/dx
dx
A
CONDUCTIVIDAD TERMICA
dQ/dt = - κ A dT/dx
Q
T1
Unidades de k: Julio/segundo-metro-Kelvin=W/mK
Rango de valores: k(diamante)=2300.
W/mK
k(aire)
=
0.026W/mK
∆x
Rango de valores: densidad, número de cooperantes, rigidez,
CONVECCION
¿Qué es?
dQ/dt = h A (TS - TF)
TF
LEY DE ENFRIAMIENTO
DE NEWTON (empírica)
Unidades de h: W/m2K
Rango de valores:
libre
k(gases) = 2-25
k(liquidos)=50-1000
forzada
25-250
W/m2K
50-20.000 W/m2 K
A, Ts
T2
dT
¿Qué es?
RADIACIÓN
P = ε σ A Ts4,
LEY DE STEFAN-BOLTZMANN
Área de la superficie
Ts alta
Ts baja
Constante de Stefan-Boltzmann
σ= 5.67x10-8 W/(m2K4)
Emitancia: 0≤ ε ≤1
Potencia emitida
http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/blackbody/black.htm
P = a σ A T4
ε=ε(λ),
a=a(λ),
absortancia: 0≤ a ≤1
ε≈a y “constante”
P = ε σ A (Ts4-T4)
Potencia emitida neta
Cuerpo negro: ε=a=1
=dQ/dt
P = ε σ A (Ts4-T4)
Ejemplo 7. Evalúe y compare las distintas contribuciones de intercambio de
energía térmica de un adulto humano en reposo en una habitación a 23 ºC. Para
este fin tomar los siguientes valores aproximados: superficie total del cuerpo 1.5
m2, constante de convección h= 6 W/m2 K, emisividad e=1, temperatura de la
piel 33 ºC, velocidad de exudación 0.1 kg/hora, calor latente del agua 2.4x103
kJ/kg, la respiración pulmonar produce pérdidas de agua del orden del 16% de
la exudación y conductividad calorífica de la piel: 0.2 W/m K (la caída de
temperatura desde el interior del cuerpo se produce en los últimos 3 cm).
23ºC
••
••
23ºC
dQ/dt = - κ A dT/dx
k = 0.2W / mK
dQ/dt = h A (TS - TF)
h = 6W / m 2 K
P = ε σ A (Ts4-T4) =dQ/dt
A = 1.5m 3
ε =1
σ= 5.67x10-8 W/(m2K4)
velocidad _ exudacion = 0.1kg / hora
respiración : 16% _ v. _ exud .
36.5º C = (273.15 + 36.5) K = 310 K
23º C = (273.15 + 23) K = 296 K
calor _ latente _ agua = 2.4 × 103 kJ / kg
Convección: 6W / m 2 K × 1.5m 2 × 10 K = 90W
−8
2
4
2
4 4
×
×
×
×
1
5
.
67
10
W
/
m
K
1
.
mm
310
k = 785W
Radiación:
1× 5.67 ×10 −8W / m 2 K 4 ×1.mm 2 × 296 4 k 4 = 656W
785W − 656W = 129W
Conducción: 0.2WmK × 1.5m 2 × 3K / 0.03m = 30W
Exudación: vexudaciónl H 2O = 0.1kg / hora × 2.4 × 10 kJ / kg = 67W
3
Respiración: 16% _ de _ 67W = 11W
Potencia
Total
perdida
(90 + 129 + 30 + 67 + 11)W = 327W
310 K
296 K
3cm
3.2 TRABAJO.
¿Qué es?

dr
TRABAJO MECÁNICO

F
 
dW = Fdr
∆E = ∆Ecinética + ∆E potencial + Pérdidas _ por _ rozamiento
dE=dW
dW = pdV
dU=-dW
+ γdA
+ EdP + HdM + ghdm
dW = pdV
dW = Ve dq
I=dq/dt=V/R
dW=VIdt=I2Rdt
+ ...
3.3 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA (SISTEMAS CERRADOS)
Q= ∫dQ
dE = dQ – dW
∆E = Q –W
W=∫dW
∆ E=∫dE
E = U + Ec + Ep
dE = dU + dEc + dEp
∆U + ∆ Ec + ∆ Ep = Q –W
dU + dEc + dEp =dQ – dW
Ec =Ep =0
(CICLOS)
o mejor
dU = dQ – dW
∆ Ec = ∆ Ep =0
∆U = Q –W
El sistema vuelve al estado inicial:
dE/dt = dQ/dt – dW/dt
•
•
•
E = Q −W
∆E = 0
0=Q–W
Representación geométrica del trabajo y el calor
p
Vinicial
dW = pdV
W = ∫ pdV
= Área
dQ = TdS
Q = ∫ TdS
= Área
Vfinal
T
Sinicial
Sfinal
dU = TdS – pdV
dEc = dEp =0
dU = TdS – pdV
T
p
V
S
3.4 CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO
Capacidad calorífica
Calor específico
dQ
dT
Unidades:
kJ/K
C dq
=
m dT
Unidades:
kJ/kgK
C=
c=
Calor específico a volumen constante
cV =
Calor específico a presión constante
cp =
CV  dq 
=

M  dT V
 dq 
=

M  dT  p
Cp
Resultado general:
Caso gas ideal:
c p − cV = vTα 2 / κ > 0
1  dV 
α= 

V  dT  p
1  dV
κ = − 
V  dp


T
α=
pV = mRT
1  dV 
mR 1
=
 =

V  dT  p Vp T
κ =−
1  dV

V  dp

mRT 1
 =
=
2
Vp
p
T
c p − cV = R
Resultados generales:
C
 dq 
cV = V = 

M  dT V
( du )V = ( dq)V − ( dw)V = ( dq)V
cV =
CV  du 
=

M  dT V
∆u = ∫ cV dT
cp =
 dq 
=

M  dT  p
Cp
( du ) p = ( dq) p − ( dw) p = ( dq) p − pd ( v ) p
( dq) p = ( du ) p + pd ( v ) p = ( d (u + pv )) p = ( dh ) p
cp =
 dh 
=

M  dT  p
Cp
∆h = ∫ c p dT
RESULTADOS PARA LOS GASES
p = f (T , v)
Otras ecuaciones de estado
u = f (T , v)
Sistemas de un componente cerrados y sólo un tipo de
trabajo: sólo dos variables intesivas independientes
Caso gas ideal:
Experimentos (y teoría) para
gases a T suficientemente alta
y/o p suficientemente baja,
condiciones de idealidad
Const = f / 2
¿Const ?
Átomos:
f=3
Moléculas lineales:
f=3+2+v
Moléculas no lineales:
f=3+3+v
pv = RT
?
u = ConstRT
f=nº de grados de libertad
de traslación, rotación y
vibración de la molécula
MECANICA
CUÁNTICA
v depende de las posibles vibraciones de los átomos en cada molécula
En estas condiciones la energía interna sólo depende de la temperatura:
u=
f
RT
2
⇒
f
 du 
cV = 
 = R
 dT V 2
¡Constantes!
Y lo mismo pasa con la entalpía:
h = u + pv = u (T ) + RT =
f
f
RT + RT = (1 + ) RT
2
2
⇒
⇒
f
 dh 
cp = 
 = (1 + ) R
2
 dT  p
c p − cV = R
OJO: En estas condiciones de idealidad las ecuaciones de estado son:
La
misma
para
todos
pv = RT
u=
f
RT
2
Depende
del gas a
través
de f
f
 du 
cV = 
 = R
 dT V 2
¡Constantes!
∆u = ∫ cV dT = cV ∆T
PERO fuera del
límite ideal:
C
c p = c p (T )
cV = cV (T )
f
 dh 
cp = 
=
(
1
+
)R

2
 dT  p
∆h = ∫ c p dT = c p ∆T
... INCLUSO se pueden disociar antes
de llegar a ser constantes ... y desde
luego cristalizar a T baja y/o p alta
límite ideal
9R / 2
7R / 2
H2
5R / 2
3R / 2
T
Ru = 8.314kJ / kmolK
c p = (1 +
9
Ru = 37.413kJ / kmolK
2
4 Ru = 33.256kJ / kmolK
7
Ru = 29.099kJ / kmolK
2
5
Ru = 20.785kJ / kmolK
2
f
) Ru
2
cV = cV (T )
∆u = ∫ cV (T )dT
cV = cV (T )
∆h = ∫ c p (T )dT
En la práctica se usan tablas de energía interna y entalpía.
En estas tablas es usual asignar un valor (cero) a la energía interna y a la
entalpía de un estado de referencia, por tanto se pueden obtener cambios de
∆u y ∆h, pero no valores absolutos.
También hay que tener en cuenta que tablas para distintos gases pueden estar
dados en distintas unidades.
Como alternativa para obtener ∆u y ∆h se pueden usar expresiones polinómicas ajustadas a los datos reales en los intervalos de interés de T.
RESULTADOS PARA SISTEMAS DENSOS: LÍQUIDOS Y SÓLIDOS.
En los rangos de presión y temperatura que nos interesan vimos
en el segundo capítulo que hay propiedades que varían muy poco
es como si estos sistemas fueran casi incompresibles
C → CV (T ) → C (T )
Sólo depende de la T
Sistema incompresible
∆u ≈ ∫ c(T )dT
∆h = ∆(u + pv) = ∆u + p∆v + v∆p ≈ ∆u + v∆p
En un proceso a temperatura constante:
∆u ≈ 0
∆h ≈ v∆p
v ≈ vsat _ a _ la _ misma _ T
Trabajo isotermo de un gas (ideal?)
http://www.uwsp.edu/physastr/kmenning/flash/AF_2004.swf
RESUMEN PRÁCTICO
∆( Ec + Ep + U ) = Q − W
1ª LEY
Caso cerrado típico:
dEc + dEp + dU = dQ − dW
dQ / dt = −κAdT / dx
dQ / dt = hA(TS − TF )
dQ / dt = εσA(Ts4 − T 4 )
CALOR
dU = TdS − pdV (dEc = dEp = 0)
Mecánico _ usual = pdV
Eléctrico _ usual = VIdt
TRABAJO
Otros …
CAPACIDAD CALORÍFICA
 dq 
cV = 

 dT V
 dq 
cp = 

 dT  p
 du 
=

 dT V
 dh 
=

 dT  p
∆u = ∫ cV dT
∆h = ∫ c p dT
Gases reales
Límite ideal
f
∆u = cV ∆T = R∆T
2
∆h = c p ∆T = (1 +
f
) R ∆T
2
T alta
∆u ≈ ∫ cV (T )dT
∆h ≈ ∫ c p (T )dT
c p − cV = vTα 2 / κ > 0
Gas _ ideal → c p − cV = R
Sólidos y líquidos prácticamente
incompresibles
C → CV (T ) → C (T )
∆u ≈ ∫ c(T )dT
∆h ≈ ∆u + v∆p
v ≈ vsat _ a _ la _ misma _ T
Ejemplo 8: Un cilindro-pistón vertical en la atmósfera libre contiene aire (0.28kg)
y una resistencia eléctrica incorporada. El pistón tiene una masa de 45kg y una
sección de superficie de 0.100m2. Se hace circular una corriente por la resistencia
produciéndose un cambio de volumen de 0.050m3 y un cambio de energía interna
de 42kJ/kg. El sistema se encuentra en equilibrio antes y después del proceso. El
pistón y las paredes del cilindro son adiabáticas. No hay rozamiento. Determinar
el calor transmitido al aire y el transmitido al sistema aire+pistón.
+
-
∆Ecinética + ∆E potencial + ∆U = Q − W
∆U = maire ∆u = 11.76kJ
Q = ∆E potencial + ∆U + W
∆E p = maire g∆z / 2 = 0.000686kJ
W = ∫ pdV
Ftotal = pA = patm A + m pistón g
VC
W = ∫ pdV = p∆V
∆z = ∆V / A
= 0.50m
p = patm + m pistón g / A
W = ( patm + m pistón g / A)∆V = ... = 5.29kJ
⇒ Q = ∆E potencial + ∆U + W = ... = 17.05kJ
∆Ecinética + ∆E potencial + ∆U = Q − W
∆U = maire ∆u = 11.76kJ
Q = ∆E potencial + ∆U + W
∆E p = ( m pistón + maire / 2) g∆z = 0.22kJ + 0.000686kJ
W = ∫ pdV = pat ∆V = 5.07kJ
Q = ∆E p + ∆U + W = ... = 17.05kJ
Ejemplo 9: Un depósito está dividido en dos mitades mediante una superficie
separadora. Una de ellas está vacía. La otra contiene 5 kg de agua a 200kpa y
25º C. Se elimina la separación expandiéndose el agua por todo el depósito.
Durante el proceso el depósito ha estado en contacto con el exterior que tiene
una temperatura de 25º C. Determine el volumen del depósito, la presión final y
el intercambio de energía térmica con el exterior. Represente en el diagrama p-v
el proceso de expansión del agua.
25º C (Tablas) → p _ de _ saturación = 3.17kPa < 200kPa
→ Inicialmente es agua líquida
⇒ V1 = v1 × m = ... = 0.005m 3
⇒ v1 ≈ vsaturación = 0.001m 3 / kg
⇒ Vdepósito = 0.010m 3
v2 = V / m = ... = 0.002m 3 / kg
p
v f = 0.001m 3 / kg
25º C (Tablas ) → 
3
v g = 43.36m / kg
⇒
v
Mezcla de vapor y líquido saturados
25º C (Tablas ) → p _ de _ saturación = 3.17kPa
Ejemplo 9: Un depósito está dividido en dos mitades mediante una superficie
separadora. Una de ellas está vacía. La otra contiene 5 kg de agua a 200kpa y
25º C. Se elimina la separación expandiéndose el agua por todo el depósito.
Durante el proceso el depósito ha estado en contacto con el exterior que tiene
una temperatura de 25º C. Determine el volumen del depósito, la presión final y
el intercambio de energía térmica con el exterior. Represente en el diagrama p-v
el proceso de expansión del agua.
Q − W = ∆U + ∆E p + ∆Ec
=0
≈0
Q = ∆U = m(u2 − u1 )
=0
u1 = u saturación = 104.88kJ / kg
(Tablas)
Tablas
p
u2 = u f + x(u g − u f ) = 104.88kJ / kg
x=
v
v2 − v f
vg − v f
= 2.3 × 10 −5
Q = ∆U = m(u2 − u1 )
= ... = +0.25kJ
Ejemplo 10: Determine la potencia transmitida por el eje de un automóvil
cuando el momento de torsión aplicado es de 200 Nm y el eje gira a una
velocidad de 4000 rpm.
r
F
Momento = rF
recorrido = 2πr × n º vueltas
W = F × recorrido = 2π × n º vueltas × Momento = 2πnM
•
•
P = W = 2π n M = velocidad _ angular × M = wM
= 2π × 4000 / min× 200 Nm = ... = 83.7 kW = 112.2CV
1CV = 735.5watios