PAU arte resueltos

JUNIO 2009 B
5. – Interior de una iglesia gótica
HENDRICK VAN STEENWYK (LE JEUNE)
aprox. entre 1610 y 1620
En la reproducción propuesta:
Indique: Sistema de representación,
señalando la línea del horizonte y los puntos de
fuga, si existen.
Indique: Presencia de polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (1 PUNTO)
Sistema de representación
Nos encontramos ante una perspectiva
cónica de un solo punto de vista, llamada
perspectiva cónica frontal. En la fotografía se
han remarcado un par de líneas de fuga, las
cuales convergen en el único punto de fuga
presente en la fotografía. Dicho punto de fuga
se encuentra sobre una línea horizontal,
llamada línea del horizonte
Presencia de polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Polígonos
1-En el suelo observamos cuadrados
negros y color miel que se aprecian
distorsionados a causa de la perspectiva.
También en el suelo se observan algunos
rectángulos que, de igual modo que las
baldosas cuadradas, no se aprecian a causa de
la perspectiva.
2-Las pilastras contienen rectángulos en
las bases, de todos ellos vemos dos en posición
frontal respecto al plano de cuadro lo cual
provoca que sean observados en su verdadera
forma, aunque más pequeños a causa de la
distancia.
3- En el techo, implícitos en las bóvedas
de crucería y los arcos se pueden observar
triángulos con vértices en los puntos clave de los arcos (impostas y zonas superiores de los arcos).
Remarcamos que estos triángulos están presentes más bien a modo compositivo o estructural, pero nunca de
forma evidente o explícita.
Curvas y tangencias
Los arcos ojivales o apuntados que articulan la bóveda del pasillo representado contienen dos curvas, no
tangentes cada uno. Por otro lado cada uno de esos arcos si que es tangente, por la línea de impostas, a las
rectas que se encuentran en las columnas, pilares o pilastras del edificio. Por otro lado podemos observar en la
parte izquierda de la imagen una ventana ciega, también enmarcada en un arco ojival que contiene una
tracería que aunque no se observa con claridad debe de contener gran variedad de tangencias. Lo mismo
sucede con el arco que se encuentra sobre la puerta, más a la izquierda. Las bases de los pilares o pilastras
acaban con un remate de moldura que también contienen tangencias.
Simetrías
La simetría más evidente es la que presenta la ventana ojival ciega con tracerías, se trata de una simetría
axial de eje vertical.
No se observan muchas más simetrías, aunque todos los arcos ojivales deben de contener arcos
simétricos. La bóveda de crucería que se observa en escorzo como techumbre del pasillo representado
también debe de cumplir una simetría axial con un eje que podría ser representado como una línea de fuga
más. De cualquier modo estas últimas simetrías no se observan como tal una vez proyectadas sobre el cuadro.
JUNIO 2009 A
5. – Fotografía en Brie. - CARTIER
BRESSON
Indicar los elementos geométricos que
se encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando
la línea del horizonte y los puntos de fuga, si
existen.
Analice la presencia del módulo áureo.
Sistema de representación
Al tratarse de una fotografía de un
camino que se aleja al infinito podemos
afirmar que se trata de una perspectiva
cónica. En este caso, como simplemente se observa un camino sin más elementos solo encontramos un punto
de fuga y dos líneas de fuga correspondientes a los márgenes del camino que convergen en este.
El camino recto cambia de
dirección más adelante, allá donde
la vista ya no llega a distinguir el
camino de la línea del horizonte.
Este cambio de dirección del
camino originaría un segundo
punto de fuga.
Presencia de módulo áureo,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías
Presencia de módulo áureo
Presencia del rectángulo
aureo en la obra
La composición de esta obra
esta estudiada en referencia a la
proporción áurea. Como podemos
observar en la ilustración el formato rectangular se aproxima al rectángulo áureo, siendo algo más alto que un
rectángulo áureo dispuesto horizontalmente. Pero el uso de la proporción áurea no queda limitada
simplemente al formato compositivo del soporte, sino que el encuadre de los elementos se aproxima también a
la división áurea del rectángulo,
descomponiéndolo en cuadrados y nuevos
rectángulos áureos más pequeños en su
interior.
Así pues el punto de fuga y centro
compositivo de atención de la obra se
aproxima la división vertical del rectángulo
mayor en un cuadrado y otro rectángulo
áureo así como a la descomposición de este
último rectángulo en otro cuadrado y un
tercer rectángulo áureo inferior en tamaño a
los dos primeros. Este tipo de organización
compositiva se repite con frecuencia en la
historia del arte en todos sus campos
(diseño,
pintura
y
arquitectura
principalmente).
Polígonos
No aparecen polígonos mas allá del formato
rectangular de la totalidad de la obra, aunque la
disposición de los elementos (camino y campos a
cada lado) descompone la obra en una serie de
triángulos que pueden ser apreciados en la
ilustración referente a la perspectiva. Además de
los cuadrados y rectángulos áureos ya comentados
en el apartado anterior.
Curvas y tangencias
No aparecen curvas ni tangencias
geométricamente analizables desde el punto de
vista euclideo.
Simetrías
Esta obra no sigue ningún criterio de
simetría, ni axial, ni central, para su composición
general. La única simetría puntual que
encontramos y que no trasciende al resto de la composición de la imagen, es aquella que muestran las dos
hileras de árboles a cada lado del camino.
JUNIO 2008 B
5. – Fàbrica de Anís
del Mono
En la reproducción
propuesta:
Indique: Sistema de
representación, señalando
la línea del horizonte y los
puntos de fuga, si existen.
Indique: Presencia de
polígonos,
curvas
y
simetrías.
Sistema
de
representación
Nos encontramos ante
una fotografía que muestra
una perspectiva cónica con
un solo punto de fuga
Rctas
proyectantes
Rec tas
proyectantes
centrpo de
proyección
Línea de
Tierra
Dimensi ones: 126 x 123 mm.
Eje de sime trí a
5/5 = 1 (cuadrado)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
4
3
2
1
1
llamada “perspectiva cónica frontal".
En la fotografía se han remarcado en
azul los lÍmites superior e inferior de
ambas vigas (izquierda y derecha) que
convergen en el punto de fuga (PF).
Estas líneas concretamente son
perpendiculares al plano de cuadro.
Sobre el punto de fuga hemos
remarcado en rojo la linea del
horizonte (LH), siempre paralela al
plano geometral (el suelo).
Presencia de polígonos, curvas, tangencias y simetrías
Polígonos
No es destacable por la presencia de polígonos. Al fondo observamos una chimenea oscura que está
compuesta por módulos rectangulares dispuestos verticalmente a lo largo de la estructura.
Curvas
Observamos curvas en todos los bidones, en los refuerzos o abrazaderas oscuras pertenecientes a
circunferencias, las cuales al ser observadas en perspectiva cónica se muestran como elipses. Del mismo
modo observamos elipses en una estructura que se encuentra en la pared del fondo. Encontramos otras curvas
en algunos "codos" o empalmes de tuberías que surgen de los bidones del entresuelo.
Tangencias
Las tangencias en esta imagen están asociadas la mayoría de las curvas que hemos nombrado. Todas
ellas suelen ser tangencias entre curvas y rectas. Las más destacables son:
 Tangencias entre elipses (abrazaderas o refuerzos de los bidones) y las rectas que determinan los
contornos aparentes de los cilindros que son los bidones. Junto a la pared derecha se pueden ver dos cubos
brillantes que son conos truncados los cuales muestran dos rectas tangentes a dos elipses.
 Tangencias o enlaces en las tuberías cilíndricas que se encuentran en toda la habitación, especialmente
a una altura media (techo del entresuelo y zona alta de los bidones. Otras tangencias de este estilo la
encontramos en el ángulo que forman las barandillas de la parte izquierda de la fotografía
Simetrías
La composición de la imagen esta marcada por una simetría axial cuyo eje se encuentra en una vertical
en la zona intermedia de la fotografía. Pequeños detalles al margen, ambas mitades de la imagen son
simétricas. Aunque no se puede ver con claridad todas las vigas del techo a doble vertiente deben de
responder a una simetría marcada por la cumbre del tejado. Los cilindros son cuerpos geométricos que tienen
simetría espacial, pero al ser mostrados en perspectiva cónica esta simetría no es directamente apreciable en la
foto. Los capiteles prismáticos de la columna, aunque no se aprecian en planta, deben de contener una
simetría radial de orden 8.
JUNIO 2008 A
5. – Regreso de los embajadores – VITTORE CARPACCIO – 1449
En la reproducción propuesta:
Indique: Sistema de representación, señalando la línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Indique: Presencia de polígonos, curvas, tangencias y simetrías. (1 PUNTO).
Sistema de representación
Este cuadro usa una perspectiva cónica como
sistema de representación, se trata de una
perspectiva cónica frontal con un punto de fuga,
que hemos determinado con las lineas de fuga
marcadas, sobre el cual se encuentra la linea del
horizonte.
Presencia de polígonos, curvas, tangencias
y simetrías
Polígonos
Podemos encontrar diferentes polígonos en la
imagen, encontramos un cuadrado formado por la
fachada del edificio principal. Encontramos también diversos rectángulos en toda la obra: en el edificio
principal hay varios rectángulos, también en las bases de los pilares y las banderas, así como en los edificios
del fondo.
Los rectángulos que forman las bases de las columnas de la marquesina de la derecha contienen rombos.
Curvas y tangencias
Las ventanas del primer edificio son arcos de medio punto. Al mismo tiempo, observamos que todas las
aperturas del edificio principal contienen parteluces, por lo que podemos afirmar que cada una de las ventanas
se compone de dos semi-circunferencias tangentes entre sí a su vez tangentes a tres recta. Las dos ventanas de
los lados son más complejas que la central y se componen por un primer arco de medio punto que circunscribe
a otros dos arcos y a una circunferencia. También intuimos enlaces entre tres arcos de circunferencias en la
barandilla del puente.
El efecto del viento sobre la bandera tambien produce una curva, o una serie de curvas enlazadas que no
podemos determinar.
Dimensiones: 143 x 80 mm.
Línea de fuga
Línea
de
Horizonte
Eje
simetría
Línea
de fuga
Punto Central
Línea de fuga
Perspectiva Cónica Central
1'7875 - 1'7321 = 0.0554
143 / 80 = 1'7875
21
1'73
3 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
4
3
2
1
9/5 = 1'8000
143 / 80 = 1'7875
0'0125
Simetrías
Podemos observar una simetría en el primer edificio donde el eje de simetría esta marcado de color
verde. También encontramos simetrías axiales en los edificios del fondo. Y aunque no esta reflejado en la
obra la marquesina en planta es probablemente un polígono regular que responde a una simetría rotacional o
radial.
JUNIO 2007 A
5. La Maison et la fabrique de
Monsieur Henry à Soissons – JeanBaptiste-Camille Corot – 1833
En la reproducción propuesta:
Indique:
Sistema
de
representación, señalando la línea del
horizonte y los puntos de fuga, si
existen.
Indique: Presencia de polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Determine
el
módulo
del
rectángulo de la reproducción propuesta.
¿Se utiliza en alguna otra parte de la
obra? (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Nos encontramos con una perspectiva
cónica frontal con el punto de fuga situado a la
izquierda de la imagen. Sobre él queda
determinada la línea del horizonte.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Módulos
En ambos edificios encontramos ventanas
que funcionan como módulos arquitectónicos
que se repiten. Existen varios tipos de ventanas
que se repiten; hasta cuatro tipos distintos de
ventanas repetidas en el primer edificio, y tres
tipos distintos de ventanas repetidos en el
edificio del fondo. Estos son módulos
arquitectónicos.
A su vez las ventanas más próximas al
punto de vista se encuentran divididas en cuadrados que ejercen como módulos para componer la totalidad de
la ventana.
Otro tipo de módulos relevantes en la imagen son las rejas. En el primer edificio en su parte superior se
observa una reja que repite su motivo o estructura varias veces. También podemos ver una reja al fondo cuyos
barrotes se repiten en sentido unidireccional horizontalmente. Este tipo de composiciones modulares que se
desarrollan solo siguiendo una dirección se denominan frisos. Los frisos se fundamentan en la traslación
sumada a algún otro tipo de movimiento en el plano.
Polígonos
Podemos encontrar diferentes polígonos en la imagen, encontramos cuadrados, rectángulos que forman
las ventanas de los edificios. También encontramos algunos triángulos producidos por las dobles vertientes en
las fachadas sobre las ventanas y los tejados de los edificios.
Curvas y tangencias
Las ventanas laterales del primer edificio y las del edificio del fondo son arcos de medio punto y
contienen tangencias recta-circunferencia.
Simetrías
Podemos observar una simetría en el edificio del fondo donde el eje de simetría esta marcado de color
verde.
Módulo del rectángulo
La Maison et la fabrique de Monsieur
Henry à Soissons – El módulo del rectángulo.
La imagen mide 800x636 píxeles. por lo
que el módulo del rectángulo es el cociente de
800/636, 1,25... esta proporción es cercana a la
proporción cordobesa, aunque con cierta
inexactitud, pues la proporción cordobesa es de
1,307..y 0,5 de diferencia es considerable.
No hemos encontrado evidencias de
repetición del módulo en la composición de la
obra aunque si hemos encontrado tres
aproximaciones a tener en cuenta: la entrada de
la parcela de la casa del fondo, La parte lateral
de la fachada en profundidad del edificio más
próximo, así como la puerta de la fachada más
próximo al punto de vista. Todas ellas están
formadas pro rectángulos cuyas proporciones son próximas a las del formato de la obra.
JUNIO 2006 B
5. – Escena de una calle
de París – RICHARD ESTES
– 1975
En
la
reproducción
propuesta:
Indique:
Sistema
de
representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos
de fuga, si existen.
Indique: Presencia de
polígonos, curvas y simetrías.
Determine el módulo del
rectángulo de la reproducción
¿Se utiliza en alguna otra parte
de la obra? (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica frontal con un punto de fuga por la que pasa la línea de horizonte.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Polígonos
1. Se pueden ver rectángulos en el
bordillo de la acera, en las paredes de los
edificios de la izquierda y en el reflejo de los
anteriores en el cristal de la derecha.
2. Podríamos decir que hay algún
cuadrado en la composición de la acera, pero
sería muy difícil comprobarlo, ya que la
mayoría parecen rectángulos.
Curvas
Las ruedas de los coches y la moto, son
circunferencias, que vistas en perspectiva son
elipses. Tambíen podríamos decir que los
faros de algún coche son circunferencias, pero la imagen no nos permite diferenciar con claridad si esto es
cierto.
Simetría
Podríamos considerar simétricos a algunos de los edificios en el caso de que los viéramos frontalemente,
incluso los coches son simétricos vistos de frente, en tales casos, sería simetría axial con un eje vertical.
Una simetría característica de esta imagen es el reflejo de los edificios sobre los cristales. Se trata de una
simetría axial con un eje vertical cuyo eje se encuentra aproximadamente en la parte izquierda de los marcos
de madera.
Módulo del rectángulo
Tomando los píxeles como unidad de medida, el módulo del rectángulo es de 1'447 , ya que la imagen
mide 640 × 442 píxeles.
JUNIO 2006 A
5. – Salón de Exposiciones. Biblioteca
Laurentina – El Escorial - Siglo XVI
En la reproducción propuesta:
Indique: Sistema de representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Indique: Presencia de polígonos, curvas, tangencias
y simetrías.
Determine el módulo del rectángulo de la
reproducción ¿Se utiliza en alguna otra parte de la obra?
(2 PUNTOS).
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica oblicua c
on dos puntos de fuga (uno de ellos se sale mucho
del papel) por los que pasa la línea de horizonte.
Presencia de polígonos, curvas, tangencias y
simetrías
Polígonos
1. Se pueden ver cuadrados en las baldosas del
suelo, deformados en forma de variedad de cuadriláteros
ya que están vistos en perspectiva.
2. En las paredes laterales y del fondo y en las
vitrinas se pueden ver rectángulos deformados por la
perspectiva.
Curvas
1. La bóveda de cañón, cuyas nervaduras son una
sucesión de semicircunferencias.
2. La esfera que se ve delante, parece ser una
composición de circunferencias, las cuales en su mayoría
se ven como elipses, excepto una, que coincide con el
plano de cuadro y por eso se ve como una circunferencia.
Este artefacto se conoce como "esfera armilar" y es un
artilugio de invención en la época clásica para observar el
movimiento de las estrellas en el cielo.
Tangencias
1. Si prolongáramos las paredes y completáramos el
techo, podríamos ver como pareces y techo circunscriben
al cilindro que determina la bóveda.
2. Todas las circunferencias de la esfera son tangentes entre ellas.
Simetrías
Se puede ver simetría axial en la bóveda de cañón y en la pared del fondo (el eje de simetría está
marcado en verde). Estas simetrías lo son sobre los planos del edificio (plantas y alzados), no en la fotografía.
Módulo del rectángulo
Estudio del módulo del rectángulo
Tomando los píxeles como unidad de medida, el módulo del rectángulo es de 1'168 , ya que la imagen
mide 332 × 388 píxeles.
Nota: en el examen de las PAU la medida se debe tomar en centímetros o milímetros.
Observamos que en la pared del fondo, aunque esta se encuentra algo sesgada a causa de la perspectiva,
el rectángulo determinado por las pareces, el suelo y la linea de impostas del arco de la bóveda, es semejante
al formato de la fotografía, es decir, que tiene las mismas proporciones aunque su disposición es horizontal y
no vertical como el de la fotografía.
Otras consideraciones
En el suelo se aprecia una composición modular en la que el sub-módulo es un cuadrado (las baldosas).
El super-módulo está formado por una serie de cuadrados que dibujan una cruz blanca y algunos cuadrados
más a su alrededor. Esta composición con cruces blancas se repite a lo largo de la sala.
JUNIO 2005 B
5. – Traslado del cuerpo de San Marcos –
TINTORETTO – 1562-66
En la reproducción propuesta:
Indique: Sistema de representación, señalando
la línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Indique: Presencia de polígonos, curvas,
tangencias y simetrías.
Determine el módulo del rectángulo de la
reproducción ¿Se utiliza en alguna otra parte de la
obra?
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica frontal.
Podemos determinar un punto de fuga, por donde
pasa la línea de horizonte.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Módulos
1. El suelo de la calle principal esta formada
por una red modular de grandes cuadrados. Estos
están delimitados por baldosas rectangulares y más
baldosas cuadradas, menores que los cuadrados
principales, que coinciden con los vértices del
módulo mayor.
2. El edificio de la izquierda parece estar formado
por módulos arquitectónicos determinados por arcos de
medio punto. A la derecha hay un edificio que no se
observa con claridad cuya fachada parece también estar
formada por cuatro grandes módulos arquitectónicos con
forma cuadrada.
Polígonos
1. Los cuadrados nombrados antes, que se observan
en perspectiva. Algún cuadrado y rectángulo que se
encuentran en el edificio del fondo y que son mostrados
como tal por encontrarse en planos frontales.
2. Los rectángulos que forman las baldosas blancas.
Y los rectángulos que forman algunos pilares con el
techo en el edificio del fondo.
Curvas
1. En el edificio del fondo y de la izquierda, se ven
arcos, que son semi-circunferencia, pero vistas en
perspectiva son presentados como medias elipses.
2. En el edificio del fondo, más o menos en el
centro de la fachada, se puede ver un circunferencia sin
deformar por encontrarse situada frontalmente respecto al
cuadro.
Tangencias
Si prolongáramos las columnas y completáramos los arcos, podríamos ver que son tangentes los unos
con los otros. Estas tangencias vistas en el alzado de los edificios son semi-circunferencias enlazadas con dos
rectas paralelas. Pero la perspectiva hace que observemos los arcos como elipses tangentes a dos rectas que
siguen direcciones paralelas.
Simetrías
Podemos ver que el edificio del fondo es simétrico (el eje de simetría axial vertical es el marcado en
verde) y además, podríamos ver que el edifcio de la izquierda es simétrico si lo viéramos de frente (sería
simetría axial con eje vertical).
También existen multitud de simetrías en la fachada del edificio de la izquierda que no pueden ser
apreciadas en la representación a causa de la perspectiva.
Módulo del rectángulo
Tomando los píxeles como unidad de medida, el módulo del rectángulo es de 1'25 , ya que la imagen
mide 740 × 925 píxeles.
JUNIO 2005 A
5.- “Celda de San Jerónimo” de Alberto
Durero, 1514.
En la reproducción propuesta:
Indique: Sistema de representación,
señalando la línea del horizonte y los puntos de
fuga, si existen.
Indique: Presencia de polígonos, curvas,
tangencias y simetrías.
Determine el módulo del rectángulo de la
reproducción ¿Se utiliza en alguna otra parte de
la obra? (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica frontal
con un punto de fuga que determina la línea del
horizonte.
No obstante existe una silla situada en
posición oblicua en relación al plano de cuadro,
lo cual origina otros dos puntos de fuga que no
han sido marcados por considerarlos secundarios
en la composición general de la obra. De modo
que si tenemos en cuenta el punto de fuga
principal de la obra y los dos a los que fugarían
las lineas que configuran la silla nos
encontramos con una combinación de
perspectiva cónica frontal (un punto de fuga) y
cónica oblicua (dos puntos de fuga)que determinarían la
línea del horizonte.
Módulos
La única composición o estructura modular presente
en este cuadro es el enrejado que hay en el ventanal
formado por hexágonos regulares que, vistos en
perspectiva, dejan de ser regulares y, al mismo tiempo, los
rectángulos o cuadrados que contienen esos hexágonos
que son vistos como trapecios irregulares en perspectiva
cónica. Los hexágonos serían los sub-módulos mientras
que las placas o marcos rectangulares o cuadrados serían
en este caso el super-módulo.
polígonos
Hay varios polígonos en esta obra:
1.- El enrejado de hexágonos que, como hemos
dicho, son regulares aunque aplicándoles la perspectiva
parezcan irregulares.
2.- La mesa, aparentemente cuadrada, que es vista
como un trapecio irregular.
3.- La base del pilar o pilastra de la izquierda, que se
ve como un trapecio irregular en perspectiva, aunque sea
un rectángulo frontalmente.
4.- El marco del suelo (entre el león y la silla, a la
derecha) que aparentemente debe ser cuadrado o rectangular aunque se observe como un trapecio.
5.- Las paredes y los techos también se ven como trapecios a pesar de ser rectangulares si se ven
frontalmente.
6.- Los cuadrados o rectángulos que contienen el enrejado de hexágonos, que son vistos como trapecios.
curvas
Esta obra no destaca por las curvas. Las únicas que podemos encontrar es la del ventanal de la pared
izquierda que podría ser un sector circular visto frontalmente, pero que visto en perspectiva cónica se ve como
una porción de elipse y la parte circular de abajo de la lámpara que visto en perspectiva se ve como una elipse.
De este objeto o lámpara cuelga una espiral. Al fondo se observan con poco detalle una serie de objetos o
recipientes que contienen multitud de curvas.
tangencias
El arco del ventanal, aparenta ser una tangencia circunferencia-recta, pero si nos fijamos bien no lo es,
ya que es un arco escarzano, cuya tipología no contiene tangencias en la linea de impostas ya que el arco no
esta formado por una semi-circunferencia sino por un arco. Existen algunos objetos que si que son
susceptibles de contener tangencias:
1- Más obvia es la tangencia que muestra un recipiente que hay colgado contra la pared del fondo. Dicho
recipiente se muestra frontal al plano de cuadro por lo que su fondo aun se muestra como una circunferencia y
el contorno aparente de dicho recipiente esta representado mediante dos rectas tangentes a dicha
circunferencia.
2- Del techo cuelga un objeto con forma de calabaza cuyo contorno aparente muestra algunas tangencias
un tanto indeterminadas.
simetrías
La simetría más importante es la del ventanal visto frontalmente, se trata de una simetría axial, con un
eje vertical. También se podría destacar la simetría en la circunferencia que hay en la pared que está en frente.
Módulo del rectángulo
El módulo del rectángulo es de: 1,299, tomando los píxeles como unidad de medida.
Nota: En el examen de la PAU, al estar en folio, la unidad de medida que se debería usar serían los
milímetros.
JUNIO 2004 B
5.- Grossinger's Bakery - Richard Estes- 1972.
Indicar los elementos geométricos que se encuentran en la
reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del horizonte y los
puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías. (2
PUNTOS).
Sistema de representación
Este cuadro usa una perspectiva cónica
como sistema de representación. Tiene un
punto de fuga, que es por donde pasa la
línea del horizonte.
Módulos
Hay varios módulos como:
1.- Las ventanas de los edificios que se
observan reflejados en la vitrina de la
panadería.
2.- Las escaleras exteriores de los edificios reflejados.
3.- Los dulces que hay en la vitrina de la panadería también son módulos, ya que se repite varias veces la
misma forma.
4.- Las puertas de los edificios reflejados.
Polígonos
Hay varios ejemplos de polígonos aquí, pero los que destacan son:
1.- Los dulces cuadrados y rectangulares son vistos como trapecios cuando se les aplica la perspectiva
cónica.
2.- La diferentes vitrinas de la panadería, que son rectangulares, son vistas como trapecios.
3.- Los carteles pegados en las vitrinas son vistos, también, como trapecios aunque en realidad deben ser
o bien rectangulares o bien cuadrados.
4.- Las ventanas de los edificios antes mencionados son vistos como trapecios aunque vistos
frontalmente sean realmente rectangulares.
5.- Las rendijas rectangulares que hay encima de la vitrina son vistas como trapecios al verlas con tal
perspectiva.
Curvas
Hay curvas cónicas como:
1.- La fuente de dulces que hay dentro de la vitrina. Esta fuente vista desde arriba debe ser circular, pero
al observarlo con esta perspectiva se ve como una elipse.
2.- Los arcos de las puertas de los edificios reflejados también se ven como elipses con esta perspectiva,
aunque al ser un arco la elipse no se ve completamente.
Tangencias
Se pueden observar dos tangencias principalmente:
1.- Los arcos de las puertas y ventanas son tangentes recta-circunferencia.
2.- En la fuente antes nombrada también hay varias tangentes entre las circunferencias que son vistas
como elipses y la vertical que sostiene la fuente por el centro.
Simetrías
Al no ser una perspectiva cónica frontal no se puede observar realmente simetrías. Se podrían considerar
simétricas, en cambio, las ventanas y las puertas con los arcos si estos fueran vistos frontalmente.
JUNIO 2004 A
5.- La Visita. -EQUIPO CRÓNICA1969.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos de fuga, si
existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Este cuadro usa una perspectiva cónica
como sistema de representación. Hay dos puntos
de fuga, uno que se determina por los límites de
las paredes (zócalos y molduras).Curiosamente
el lado superior del cuadro de Picasso no acaba
en dicho puntod efuga cuando debería, siendo
estrictos en la perspectiva, de haberlo hecho. Si
atendemos al cuadro existe otro que se obtiene
prolongando las "esquinas" o limites de paredes con techo en el curadro del Guernica de Picasso que se sitúa
dentro y que también usa una perspectiva cónica. Aunque ambos puntos de fuga coinciden en la linea del
horizonte, de la imagen principal esto es una coincidencia, pues el guernica debería de contener otra linea del
horizonte..
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Presencia de módulos
Esta obra no destaca por sus módulos. Como
mucho se podría destacar las dos puertas que se
observan tanto en la sala donde está situado el
Guernica de Picasso como en la sala contigua.
Polígonos
Hay varios polígonos como:
1.- Las puertas nombradas antes que son
rectangulares y que a pesar de la perspectiva siguen
pareciendo rectángulos.
2.- La ventana se ve como un trapecio debido a
la inclinación que tiene.
3.- Las paredes laterales (que son rectangulares)
se ven como trapecios y la pared frontal sigue siendo
un rectángulo. El techo y el suelo también son rectangulares pero son vistos como trapecios en perspectiva
cónica.
4.- El cuadro de Picasso que está situado en la pared lateral derecha es rectangular pero es visto como un
trapecio con la vista cónica. Al mismo tiempo el cuadro tiene otra perspectiva cónica para dar sensación de
profundidad.
Curvas
Se observan curvas entre paredes y techo en las aristas producidas por unos planos curvados que enlazan
techo y paredes.Dichas superficies de enlace no parecen seguir una directriz-circunferencia por lo que no
podemos afirmar ante que tipo de curva nos encontramos.
Tangencias
Hay varias tangencias intuitivas o curvas dentro del Guernica que son las que Picasso usa para dibujar a
las personas bajo un estilo cubista.
Simetrías
No es un cuadro donde destaquen las simetrías. Lo máximo que podemos destacar es la simetría de la
sala si la viéramos frontalmente o en planta, o las simetrías de las puertas donde los ejes de simetría se
situarían por la mitad de ambas (verticalmente)
JUNIO 2003 B
5.- “LAVABO” de Antonio López,
1967.
Indicar los elementos geométricos
que se encuentran en la reproducción
propuesta:
Sistema
de
representación,
señalando la línea del horizonte y los
puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías. (2
PUNTOS).
Sistema de representación
Primeramente hay que aclarar que
es una perspectiva cónica, pero esta obra
se caracteriza por la unión de dos
perspectivas; hacia abajo perspectiva
cónica
aérea)y
hacia
el
frente
(perspectiva cónica frontal), como si se
tratará de dos fotografías superpuestas o
de un rápido movimiento de cabeza. Por
ello esta obra tiene dos puntos de fuga y a
su vez dos lineas de horizonte
determinadas por las líneas de fuga de los
azulejos del baño, el lavabo y la repisa de
cristal.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y
simetrías
Módulos
En esta obra, la presencia de módulos es evidente:
1-Las azulejos cuadrados de la pared, tanto las reflejadas en
el espejo como las que no.
2-El pavimento del suelo, que se puede apreciar los diversos
hexágonos que lo componen.
Ambos módulos forman lo que se denomina como teselación
regular del plano, ya que cuadrados, triángulos equiláteros y
hexágonos regulares son los únicos polígonos regulares capaces de
rellenar el plano sin dejar huecos.
Polígonos
En la obra se pueden apreciar una variedad de polígonos:
1-Los azulejos de la pared del baño superior son cuadrados.
2-El espejo forma un rectángulo.
3-Los hexágonos del suelo del baño.
4-El interruptor a mano derecha forma un rectángulo.
5-Los azulejos de la parte inferior del baño están sometidos a
una perspectiva cónica, por lo que en vez de cuadrados, los
percibimos como trapecios.
6-El lavabo en sí es una especie de trapecio.
Curvas y tangencias
En esta obra podemos apreciar las siguientes curvas y tangencias:
1-Y los agujeros del interruptor y los de encima del desagüe son circunferencias.
2-El desagüe del lavabo es una circunferencia, pero la percibimos como una elipse.
3-La tapa y el contorno superior del vaso son elipses, y las líneas que los unen entre si parece una
tangencia de rectas tangentes a dos elipses.
4-En la parte inferior de la obra, se puede ver una curva técnica definida por el jabón, que se podría
considerar un óvalo.
5-Por último, la cavidad del lavabo parece un arco de una semicircunferencia.
Simetrías
Se podría considerar un cuadro totalmente simétrico si no estuvieran los objetos encima de la repisa y
del lavabo, los objetos en el suelo y el interruptor de la izquierda.
JUNIO 2003 A
5.- “Canadian Club”- ESTES, 1974.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del
horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
En esta fotografía se puede apreciar una
carretera que se aleja, por lo que podemos afirmar
que se trata de una perspectiva cónica. En esta obra,
las líneas de fuga de la carretera, de los edificios y de
las macetas coinciden en el único punto de fuga que
existe en ella, y que determina la línea de horizonte.
"perspectiva cónica frontal"
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Presencia de módulos
Se pueden observar varios módulos:
1-Se aprecia un cartel compuesto por gran cantidad de rectángulos azulados que rellenan la totalidad de
la marquesina. Los rectángulos en este caso actúan como módulos
2-Las ventanas cuadradas del edificio del fondo de la izquierda
3-Las líneas de la carretera
4-Las ventanas de los edificios de la derecha
5- Observamos sobre la acera derecha unas macetas grandes verdes que contienen arbolitos. Al ser estas
iguales y encontrarse repetidas podemos considerarlas módulos.
Polígonos
De derecha a izquierda encontramos un panel rectangular compuesto por un módulo de cristales
rectangulares. Justo en el medio de la obra podemos observar un cartel rectangular donde pone Soho y justo al
lado se puede ver con claridad el gran cartel cuadrado de Coca-cola y encima, el más bien rectangular cartel
de Canadian Club y justo abajo del cartel de Coca-cola el cartel que forma un rectángulo blanco. Por último,
las caras iluminadas de las macetas rectangulares, son trapecios y las ventanas rectangulares y cuadradas.
Los polígonos que vemos en perspectiva cónica son sobre todo trapecios, como pueden ser todos los
carteles restantes, las ventanas de los edificios, las caras de las macetas, las líneas blancas de la carretera...
Curvas y tangencias
Esta obra no se caracteriza por su contenido de curvas y tangencias, pero si que se pueden observar unas
pocas:
1-El cartel negro que hay a mano derecha tiene unas curvas enlazadas entre sí, que posiblemente sea una
espiral enlazada entre sí.
2-Los ventanales del edificio marrón situado detrás del cartel de Cocacola son rectas paralelas tangentes
a semicircunferencias
3-Y por último se puede apreciar la tapa de una alcantarilla, que sometida a la cónica forma una elipse.
Simetrías
Carece de simetrías, ya que las posibles simetrías están sometidas a la perspectiva cónica. Pero para ser
muy puntuales citaremos el frontal del coche que se encuentra aparcado junto a la acera izquierda, el cual
muestra una simetría axial de eje vertical.
JUNIO 2002 B
5.- “Flagelación de Jesucristo” de Piero de la Francesca, 1470.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos de fuga, si
existen.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Este cuadro usa una perspectiva cónica
como sistema de representación. Está
constituido por las lineas de fuga que se
pueden encontrar en el suelo y en el techo del
edificio, y también en los edificios que lo
rodean, las cuales se cortan en un punto de
fuga, único de la obra por lo que podemos
calificar la perspectiva como "cónica frontal". Dicho punto determina la linea del horizonte.
Presencia
de
módulos,polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Módulos
En esta obra podemos apreciar los
diversos módulos que la constituyen:
-Primero el suelo, constituido por
baldosas marrones y blancas. Las baldosas
marrones forman a su vez cuadrados mayores
que tambien se repiten a modo de supermódulos. Contamos así con un sub-módulo
que es la baldosa marrón y un super-módulo
que es el cuadarad formado por grupos de
baldosas marrones.
-Segundo el techo, donde se puede
apreciar los cuadrados constituyentes del
módulo, y a su vez los cuadrados pequeños
que constituyen a los -grandes
-Tercero: el dintel y márgenes laterales de la puerta del fondo de la obra parece repetirse dos veces.
-Las columnas que se encuentran repetidas.
-y por último los canecillos (vigas de apoyo de la cornisa) y ventanas del edificio rosa.
Polígonos
En la figura se puede observar varios polígonos, sobre todo cuadrados situados en el suelo y techo que
son vistos a causa de la perspectiva cónica como diversos tipos de cuadriláteros cuyos vertices no son ángulos
rectos, como pueden ser rombos y romboides. También encontramos rectángulos que no se han sometido a la
perspectiva cónica como se puede apreciar en la puerta marrón del fondo.
Curvas y Tangencias
Las curvas de esta obra básicamente se encuentran en las ventanas de los edificios. Son arcos de medio
punto, vistos frontalmente, o más bien rectas paralelas tangentes a semicircunferencias, nos referimos a la
torre del fondo donde intuimos estas tangencias a pesar de que se salen del formato de la imagen. En cambio,
en las ventanas del edificio rosa, el mismo tipo de arcos debido a la perspectiva aparecen como arcos
constituidos por tangencias de elipse-rectas.
Y aunque no se observan bien citaremos
ciertos detalles ornamentales que parecen tener
los canecillos que bien pudieran ser un conjunto
de arcos tangentes entre sí.
Del mismo modo parece que las columnas
son del estílo Jónico-Corintio compuesto y por
ello,en sus capiteles, además de las hojas de
acanto contienen volutas que son espirales de
varios centros. Así como en las basas
apreciamos que se encuentran los característicos
"toro y escocia". también curvas tangentes entre sí que funcionan a modo de generatrices del volumen al que
podríamos calificar como una superficie de revolución.
Simetrías
El punto de vista hace que no se
aprecie ninguna simetría, ya que la obra
está sometida a una perspectiva
cónica.Aunque existen varios elementos
susceptibles de ser simétricos (edificios
y elementos arquitectónicos).
Otras consideraciones
Presencia de módulo áureo
La composición de esta obra
parece estar estudiada en referencia a la
proporción áurea. Se puede ver que el
formato rectangular de la obra se
asemeja al rectángulo áureo, siendo algo
más alto que el rectángulo áureo
dispuesto horizontalmente. El cuadrante
de los elementos se aproxima también a la división áurea del rectángulo, descomponiéndolo en cuadrados y
nuevos rectángulos áureos más pequeños en su interior. Se puede observar que un cuadrado resultante de la
división áurea contiene a la estatua central de la obra, y los lados del rectángulo coinciden con las líneas del
techo el edificio y el suelo. Este tipo de organización compositiva se repite con frecuencia en la historia del
arte en todos sus campos (diseño, pintura y arquitectura principalmente).
JUNIO 2002 A
5.- Patio de los Leones - La Alhambra Granada. Siglos XIII y XIV.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea
del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Puntos de fuga
El sistema de representación es de perspectiva
cónica. En él, se puede determinar un solo punto de
fuga que corresponden con distintas partes del arco,
y el camino central. A este tipo de perspectiva con
un solo punto de fuga se le suele llamar cónica
frontal.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Módulos
No hay presencia visible y evidente de módulos
bidimensionales, a pesar de que el arte islámico es un
referente en este campo del diseño o geometría.
Podríamos considerar módulos arquitectónicos las
columnas y arcos que se observan al fondo del patio,
tanto en el piso inferior como en la ventana del
primer piso donde una ventana esta dividida en tres
secciones mediante arcos y parteluces.
Polígonos
Se observan en primer término dos rectángulos
(a los lados del arco),que al ser observados en
perspectiva se observan como figuras trapezoidales
que pierden los ángulos rectos de sus vértices.
Curvas y tangencias
Vemos claramente dos arcos, en primer término,
que son semi-circunferencias tangentes a semi-rectas.
El arco que se puede ver en primer término esta
sometido a un peralte (la linea de impostas se
encuentra más abajo que los puntos de tangencia entre el arco y los lados rectos del ángulo. Los arcos del
fondo parecen verse sometidos a las mismas pautas. Sin embargo el arco que se ve en segundo término tiene
la linea de impostas (lugar donde comienzan los lados rectos) a la misma altura que la tangencia entre la semicircunferencia y las semi-rectas que componen el arco.
Curvas y tangencias
Observamos también una circunferencia que se ve como una elipse en perspectiva (la fuente).
Simetrías
La composición de la imagen es un simetría bastante evidente con un eje vertical. Con toda probabilidad
la planta del patio también contiene diversas simetrías axiales. Así como cada arco y la ventana con tres
módulos guardan también simetrías axiales
JUNIO 2001 A
5.- San Jerónimo en su celda, Antonello
Da Mesina 1474.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías.
Sistema de representación
Puntos de fuga
Nos encontramos ante una perspectiva
cónica como sistema de representación. Podemos
determinar tres puntos de fuga:
1.El primero corresponde a los lados de una
escalerilla.
2.El segundo corresponde al espacio entre
las baldosas del arco de la "puerta", las aristas
interiores
de
las
estanterías,
las bases de las columnas que están en la puerta, y
las bases del sitio donde está sentado el señor del
libro.
3.El tercero corresponde a las aristas de la mesita
que hay a la derecha, a las bases de las columnas de la
derecha,
y a las estanterías de la izquierda
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Los únicos módulos presentes en el cuadro son las
baldosas del suelo.
Respecto a polígonos se pueden rectángulos en una
ventana, las estanterías, los ladrillos de las paredes, los
libros, etc.
Hay presencia de curvas, como elipses (un cuenco),
arcos de circunferencia (en la parte derecha en las
columnas, en la parte izquierda hay otro arco, y en la
parte superior el arco de la entrada)
También se pueden encontrar tangencias en las
ventanas de la parte superior del cuadro.
JUNIO 2001 B
5.- "Café nocturno", Vincent
van Gogh 1888.
Indicar
los
elementos
geométricos que se encuentran en la
reproducción propuesta:
Sistema de representación,
señalando la línea del horizonte y los
puntos de fuga, si existen.
Presencia
de
módulos,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías.
Sistema de representación
El sistema de representación es
una perspectiva cónica intuitiva. Se
pueden determinar dos líneas del
horizonte principales, y varios puntos de
fuga (PF1, PF2 y PF3) sobre ambas, aunque
es posible que profundizando en la
representación
encontráramos
algunos
puntos de fuga y lineas del horizonte más.
Este hecho lo que da una sensación de
deformación del espacio, podríamos
encontrarnos ante una habitación en la que
el techo y el billar no fueran paralelos al
suelo. Pero la lógica nos hace pensar que el
autor de la obra no prestó el interés
necesario para llevar a cabo una
representación 100% precisa y ajustada en
términos perspectivos. Quizás le interesó
alterar las normas de la perspectiva con el
fin de adentrarnos en la obra y suscitar
sensaciones concretas en el espectador
relacionadas con la temática de la obra.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Módulos
No hay presencia de módulos, en todo caso podríamos interpretar como módulos las lámparas que son
todas iguales o del mismo tipo.
Polígonos
Pero sí encontramos algunos polígonos como rectángulos (la mesa de billar y algunas mesas, que se ven
deformadas en perspectiva; la puerta del fondo), cuadrados (las mesas, que parecen romboides o trapecios
vistos en perspectiva)
Curvas y Tangencias
Podemos ver algunos círculos: el de la mesa alargada, aunque parece una elipse visto en perspectiva; las
lámparas y las bolas de billar aparentan ser esferas por lo que se aprecian como circunferencias; en el reloj del
fondo que aparenta ser una circunferencia vista frontalmente. También apreciamos unas curvas enlazadas
entre sí en los respaldos que tienen las sillas que se observan en primer término, aunque no podemos
aventurarnos a decir que tipo de tangencias albergan.
Simetrías
La composición de la obra no contiene ninguna simetría. Podemos observar algunas simetrías en la
lámparas, en una botella que se encuentra en una mesa al fondo a la derecha. Y aunque no se observan
directamente en la representación la habitación se encuentra repleta de objetos en cuyo diseño aparece al
menos una simetría axial como las sillas, las mesas el billar., etc.
JUNIO 2000 B
5.- “La última cena” de
Leonardo da Vinci.
Indicar
los
elementos
geométricos que se encuentran en la
reproducción propuesta: Sistema de
representación, señalando la línea del
horizonte y los puntos de fuga, si
existen. Presencia de módulos,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías. (2 PUNTOS)
Sistema de representación
Nos encontramos ante una
perspectiva cónica frontal como
sistema de representación. Podemos
determinar un punto de fuga que se
sitúa en el centro de la imagen y por
donde pasa la línea del horizonte.
Presencia de módulos,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías
Módulos
Se
puede
observar
principalmente dos módulos que
son:
1.- El techo compuesto por
varios cuadrados iguales que se
repiten. Si se ven ortogonalmente
son
rectángulos,
pero
al
observarlos con la perspectiva
cónica se ven como trapecios.
2.- En las paredes que se se
sitúan en la parte izquierda y derecha del cuadro se pueden ver 4 rectángulos en cada una que en escorzo son
vistos como trapecios.
Polígonos
Los polígonos que hay son:
1.- Los ya nombrados en los módulos.
2.- La mesa rectangular que se observa como un trapecio en perspectiva.
3.- Las dos ventanas y la puerta del fondo, que al ser vistas ortogonalmente son rectángulos.
Curvas y Tangencias
1.- Las curvas que hay son la de los platos redondos y los cálices que vistos en perspectiva cónica son
elipses, aunque realmente sean circunferencias.
2.- Las tangencias que se observan son la de los cálices, donde hay tangencias con las elipses.
Simetrías
La simetría principal es la de la habitación donde se sitúa la escena. El eje de la simetría axial pasa por el
punto de fuga siendo las paredes izquierda y derecha simétricas y también las ventanas de la pared frontal.
Como el eje pasa por el centro de la puerta, sus dos partes también son simétricas. Al mismo tiempo la mesa
también es simétrica teniendo el mismo eje de simetría. También se podría decir que Jesús cumple esta
simetría, debido a que se sitúa en el centro y su cabeza y sus brazos forman una especie de triángulo
equilátero. Finalmente, en el primer plano, delante de la mesa, se observa un objeto blanco que también
cumple la simetría que hemos explicado hasta ahora.
JU
NIO 2000 A
5.- “Naturaleza muerta con calle” de René Magritte, 1937.
Indicar los elementos geométricos que se encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Nos encontramos ante una perspectiva cónica como sistema de representación. Podemos determinar tres
puntos de fuga correspondientes con las rectas de los primeros edificios. Sin embargo existen más puntos de
fuga correspondientes a los edificios de la calle que se encuentran al fondo y que varían la trayectoría de la
calle. tamgbien hay un pentagono en nose donde
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías
Módulos:
El autor de la obra era un auténtico
especialista en la composición modular, sin
embargo esta obra no es destacable en este aspecto.
De cualquier manera siguen apareciendo módulos
que se repiten. El edificio de la derecha presenta
unas ventanas cuya estructura se repite hasta tres
ocasiones, con disposición frontal, dentro del
cuadro. En la fachada del edificio que da a la calle
que se adentra también se observan estas ventanas
aunque a causa de la perspectiva se observan con
forma trapezoidal. En el edificio de la derecha
también hay ventanas con un cierre que se repite.
En un libro de la izquierda, el segundo empezando
por el fondo, apreciamos una composición modular
destacable en el que el módulo es un rombo con un
elemento decorativo en el centro. En el segundo
libro, empezando por el fondo, de la derecha
observamos un ajedrezado oblicuo en el que el
módulo es un pequeño cuadrado.
Polígonos:
Los libros están formados por cuadriláteros, si su posición es frontal se observan rectángulos y si su
posición es en escorzo se observan como trapecios. lo mismo sucede con las ventanas y puertas de los
edificios.
Curvas y tangencias:
Esta representación no destaca por sus curvas. Podemos apreciar algunas elipses que representan
círculos vistos en prespectiva: en un cartel o elemento arquitectónico sobre un portal de la calle, en los dos
recipientes e incluso en la pipa de fumar. De forma muy difusa podemos observar los símbolos de las picas,
corazones y tréboles que contienen curvas y tangencias. La tangencia más relevante en la obra es la de las dos
rectas (que forman el contorno aparente del recipiente trasero) que son tangentes a dos elipse, una en la parte
superior y otra en la inferior.
Simetrías:
La composición general de la imagen se fundamenta en una simetría axial con un eje vertical que se
encuentra en la mitad del formato cuadrado de la obra. Particularmente encontramos simetrías axiales en
multitud de elementos como ventanas, los naipes o los recipientes
SEPTIEMBRE 2004 B
5.- Los esposos Arnolfini - JAN VAN EYK
,1434.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del
horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
En esta obra podemos apreciar una habitación
donde se encuentra una pareja con su perro. La
habitación está sometida a una perspectiva cónica, ya
que las líneas de fuga del suelo y del armario se
encuentran en un punto de fuga donde está la línea del
horizonte. En cambio, en esta obra se puede apreciar
otros puntos de fuga, la mayoría dispuestos en un eje
vertical. Todos estos puntos de fuga originarían
distintas líneas del horizonte (LH1, LH2, etc.). El
cuadro ha salido inexacto en cuanto a un único punto
de fuga.
Presencia de módulos
No destaca la presencia significativa de
módulos, solo podemos apreciar el suelo de madera, constituido por rectángulos. Por último, se puede apreciar
una pequeña esquina de la alfombra con dibujos de cuadrados, círculos y demás polígonos que nos inducen a
pensar que se trata de una composición modular.
Podríamos también considerar los brazos de la lámpara como módulos que se disponen formando una
simetría radial, así como una reja, que se encuentra en la parte superior de la ventana, que posiblemente (pues
no se observa claramente) este constituida por una red modular.
Polígonos
En esta obra se puede ver la diversa variedad de polígonos como pueden ser:
1-El rectángulo del marco de la ventana, que distorsionado por la perspectiva cónica es percibido como
un cuadrilátero
2-Los rectángulos de las vigas de madera del suelo
3-La circunferencia del centro de la imagen, que la constituye un espejo.
4-El cuadrado definido por la almohada del sillón apoyado en el suelo de la habitación, que no está
sometido a ninguna perspectiva
Curvas y Tangencias
Este cuadro ofrece pocas curvas y tangencias geométricamente relevantes. Los zuecos en el suelo,
parecen ser una composición de curvas enlazas con tangencias, al igual que la lámpara dorada colgada del
techo. Al fondo de la habitación, se puede ver una figura compuesta por tangencias de cuadrados unidos con
arcos de circunferencia, creando pues una especie de engranaje con una circunferencia o semiesfera situada en
su interior. Por último, y por especificar en éste ámbito, el sombrero del señor es una figura compuesta por
dos circunferencias, que son percibidas como elipses, enlazadas por tangencias.
Simetrías
Éste cuadro en sí no es simétrico, pero si que podemos especificar que algunos objetos como el espejo
de el fondo de la habitación al igual que la lámpara colgada del techo contienen simetrías radiales.
SEPTIEMBRE 2004 A
5.- DECORADOS FINOS
1545- SEBASTIANO SERLIO
1475-1554.
Indicar
los
elementos
geométricos que se encuentran
en la reproducción propuesta:
Sistema de representación,
señalando la línea del horizonte y
los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
En esta obra se puede
apreciar una calle con edificios a
ambos lados que se aleja. Por lo
que podemos afirmar que se trata
de una perspectiva cónica. En
ésta obra, las lineas de fuga
determinadas por las ventanas,
puertas y fachadas de los
edificios, se encuentran en un punto
llamado Punto de fuga el cual
determina la linea del horizonte. A
este tipo de representaciones con un
único punto de fuga se le suele llamar
"perspectiva cónica frontal".
Presencia de módulos
Este cuadro presenta una gran
variedad de módulos:
1-Principalmente
podemos
observar el suelo, formado por
rectángulos.
2-Los ladrillos rectangulares de
donde empieza la calle
3-Las escaleras del fondo,
formadas por rectángulos.
4-Los ladrillos de las columnas
5-Los rombos de las ventanas
6-Los arcos de las ventanas de
los
edificios
son
módulos
arquitectónicos
7-Los canecillos de la cornisa de un edificio se pueden considerar tambien módulos arquitectónicos que
componen un friso.
Polígonos
En esta obra se pueden apreciar bastantes polígonos, como por ejemplo, los rectángulos que forman las
baldosas de la calle y de las escaleras del principio de la calle y las ventanas cuadradas, que al estar sometidas
a la perspectiva cónica las podemos apreciar como trapecios. Encontramos polígonos que no están sometidos
a dicha perspectiva, pues están posicionados de forma frontal al plano de cuadro, son los rectángulos de los
ladrillos de donde comienza la calle, la puerta del edificio a mano derecha, el cartel rectangular a mano
derecha, el rectángulo del final de la calle, el triángulo que hay debajo de la estatua principal, la circunferencia
inscrita en el triángulo.... Tambien observamos romboides o trapecios del tejado triangular del edificio que se
encuentran en planos oblícuos respecto al plano de cuadro y plano geometral.
Curvas y Tangencias
Aquí hay que destacar la abundancia de arcos formados por rectas paralelas tangentes a
semicircunferencias, como son los de las puertas o ventanas. También se puede destacar la semicircunferencia situada a la izquierda y a la derecha inferior del cuadro, que parece ser una alcantarilla o
similar. Las ventanas circulares que las apreciamos como elipses. Para especificar en el ámbito tangencial, se
puede decir que los canecillos de las casas y los arcos decorativos de la gran entrada principal similares a una
letra S son problemas circunferencia recta de tangencias.
Simetrías
El cuadro en sí parece simétrico pero por detalles significativos no llega a serlo. Podemos destacar la
simetría axial de la puerta principal, ya que simplemente está constituida por el arco y detalles específicos
distribuidos a ambos lados de la construcción. En la parte inferior del cuadro, podemos ver una simetría clara,
las dos escaleras y las dos semicircunferencias que están situadas a ambos lados del cuadro por igual.
SEPTIEMBRE 2003 B
5.- “PLAZA DE SAN
MARCOS - CANALETO 1732.
Indicar los elementos
geométricos que se encuentran
en la reproducción propuesta:
Sistema
de
representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos
de fuga, si existen.
Presencia de módulos,
polígonos, curvas, tangencias y
simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema
de
representación
Este cuadro usa una
perspectiva
cónica
como
sistema de representación, se
trata de una perspectiva cónica con dos puntos de fuga, que hemos determinado con las líneas de fuga
marcadas. La presencia de estos dos puntos de fuga nos da a entender que las dos fachadas que se encuentran
a ambos lados de la plaza no son paralelas sino que forman un ángulo en planta que se va abriendo a medida
fugan las fachadas. Los dos puntos de fuga principales se encuentran sobre los arcos de la fachada del fondo y
determinan la linea del horizonte.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías
Polígonos
Podemos encontrar diferentes polígonos
en la imagen, en la torre encontramos un
triangulo isósceles en el tejado. También
vemos rectángulos que son las ventanas del
edificio de la derecha, estos al ser vistos en
perspectiva se observan distorsionados como
trapecios.
Curvas y tangencias
Podemos observas arcos de medio punto
en el edificio de la izquierda y en parte del
edificio de la derecha que se repite a lo largo
de ellos, en el edificio del fondo observamos
la cúpula que forma tangencia con las columnas.
Simetrías
Podemos observar una simetría en el edificio del fondo, donde el eje de simetría esta marcado de color
amarillo. También contiene una simetría axial de eje vertical (que no hemos señalado) la torre en su
estructura, pues vemos que a un lado de la simetría la torre contiene ventanas que no encuentran sus
simétricas al otro lado del eje imaginario.
Todos y cada uno de los arcos presentes en la imagen deben de contener simetrías axiales de ejes
verticales. Los arcos que se encuentran en el edificio del fondo muestran su simetrías ya que se encuentran
situados en posición frontal respecto al plano de cuadro. Al contrario que los arcos que se encuentran en
ambos edificios de los lados, que al ser observados fugando hacia el horizonte se muestran distorsionados y
no muestran sus simetrías.
SEPTIEMBRE 2003 A
5.- El Generalife, - La Alhambra Granada. Siglos XIII y XIV.
Indicar los elementos geométricos
que se encuentran en la reproducción
propuesta:
Sistema de representación, señalando
la línea del horizonte y los puntos de fuga,
si existen.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetrías. (2
PUNTOS).
Elementos geométricos
Sistema de representación
Esta foto muestra una perspectiva cónica
como sistema de representación, se trata de
una perspectiva cónica frontal con un punto de
fuga situado a la izquierda de la imagen, que
hemos determinado con las líneas de fuga
marcadas, sobre el cual se encuentra la línea
del horizonte.
Presencia de módulos, polígonos,
curvas, tangencias y simetría
Polígonos
Podemos encontrar diferentes polígonos
en la imagen, cuadrados que al estar
representados en cónica se observan como
trapecios y las bases rectangulares de las
columnas que también se observan como trapecios.
Curvas y tangencias
Podemos observas arcos carpaneles, distorsionados por la perspectiva, que se repiten a lo largo de la
fachada. Estos arcos constan de un arco de circunferencia que es tangente a dos arcos de radio menor que
enlazan el arco de radio mayor central, con las columnas de ambos lados. También podemos observar un
triángulo isósceles, perteneciente a una de las cuatro vertientes de la torre que parece ser de cuatro aguas que
queda distorsionado y se observa como escaleno.
Simetrías
La imagen no muestra ninguna simetría, pero podemos intuir que si el cuerpo arquitectónico que se
observa a la derecha se viera en planta se podria observas una simetría cuyo eje de simetría lo recorrería
longitudinalmente sobre la cumbre del tejado que suponemos de doble vertiente. Al quedar distorsionados por
la perspectiva tampoco se observan las simetrías que deben de mostrar todos los alzados de los arcos.
SEPTIEMBRE 2002 B
5.- Fachada de Santa María Novella LEÓN
BAPTISTA ALBERTI, Florencia 1470.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Elementos geométricos
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías
Módulos
1. Los rectángulos de las columnas laterales.
2. Los rectángulos de la parte inferior y superior
de la fachada.
3. Los cuadrados que cruzan la fachada de lado a
lado.
Polígonos
1. Podemos apreciar cuadrados en la fachada y en la
puerta central.
2. También hay rectángulos en la fachada y en las puertas
laterales.
3. Y en la parte más alta de la fachada, podemos ver un
triágulo isósceles.
Curvas
1. En la fachada se puede ver diversas circunferencias,
como la de la ventana.
2. Los diferentes arcos de la fachada, los pintados
también, son semicircunferencias.
3. Las curvas que hace la fachada en la parte superior con
la circunferencia marcada en naranja.
Tangentes
1. Los arcos son tangentes a las rectas que que los
sostienen.
2. Las curvas que hace la fachada son tangentes entre ellas
y con la circunferencia marcada en naranja.
3. La circunferencia nombrada antes también es tangente a
unas rectas pintadas.
4. La ventana es tangente a las cuatro rectas que la rodean.
Simetrías
La fachada entera es simetrica (el eje de simetria axial
vertical es el marcado en verde).
Otras consideraciones
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica central con un punto de
fuga.
SEPTIEMBRE 2002 A
5.- La Escuela de Atenas - RAFAEL,1511.
Indicar los elementos geométricos que se encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Se trata de una perspectiva cónica central con un punto
de fuga, pero en el centro del dibujo, hay un hombre apoyado
en un bloque que está dibujado en perspectiva cónica oblicua
con dos puntos de fuga.
NOTA: la perspectiva importante en el dibujo es la
perspectiva cóncica central, aunque también debemos de
nombrar la perspectiva cónica oblicua en el examen de las
PAU.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías
Módulos
1. Los hexágonos de la bóveda de cañón.
2. Los cuadrádos del suelo y de la parte superior del arco del fondo.
3. En el arco que se encuentra en primer término hay una greca que es un friso que esta compuesto por
un módulo que aparenta ser aproximadamente una espiral rectilínea.
Polígonos
1. Podemos ver cuadrados en el suelo, que vistos en perspectiva se deforman.
2. También hay cuadrados en la parte superior del arco del fondo.
3. El bloque en perspectiva oblicua es un cubo, por lo que sus caras son cuadrados, pero deformadas por
la perspectiva.
4. También se observan algunos rectángulos en las pilastras. Algunas de ellas, la mayoría se ven
sesgadas por la perspectiva, pero hay dos de ellas que se encuentran en posición frontal por lo que los
rectángulos que las forman se siguen observando en verdadera forma.
4. La bóveda de cañón está compuesta por hexágonos.
Curvas
1. Las bóvedas de cañón, son superficies cilíndricas cuya directriz es una semi-circunferencia.
2. El arco principal o en primer término del cuadro.
3. En lo que parece ser una cúpula, después de la primera bóveda de cañón, podemos ver dos
circumferencias en la pared. También podemos observar una parte de la supuesta circunferencia que da pie a
la bóveda. En este caso observamos solo una porción de esa circunferencia-base de la cúpula en perspectiva
con lo que en realidad lo que vemos es una pequeña porción de elipse.
4. En la parte inferior derecha, se puede ver a un hombre sujetando una esfera.
Tangencias
1. Las paredes que contienen a las bóvedas de cañón son en realidad planos tangentes a cilindros.
Simetrías
Podemos una simetría axial vertical en la composición general de la obra. El edificio del cual nos
muestran su interior debe de estar repleto de simetrías en plantas y alzados. (sin contar con la gente ni con las
estatuas).
SEPTIEMBRE 2000 B
5.- LA ANUNCIACIÓN, de Fra Filippo Lippi.
Indicar los elementos geométricos que se encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la línea del horizonte y los puntos de fuga, si existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías. (2 PUNTOS).
Sistema de representación
Nos encontramos ante una perspectiva cónica como sistema de representación en la que se encuentra un
punto de fuga que determina la línea del horizonte.
Módulos
Las baldosas rectangulares del suelo son modulares, pero al ser vistas en perspectiva se ven como
trapecios.
Polígonos
Hay varios polígonos:
1.- Las baldosas rectangulares que son vistas como trapecios.
2.- El pequeño pilar sobre el que se apoya la maceta tiene un dibujo inscrito en un rectángulo que es
visto frontalmente (Por tanto se ve como un rectángulo).
3.- Las paredes y columnas también son rectangulares y aquellas que no son vistas frontalmente son
vistas como trapecios.
Curvas
Esta obra no destaca por las curvas técnicas, aunque podemos observar unas volutas que son espirales
formadas por arcos de tangencia, bajo el recipiente que contiene una flor. En cuanto a las curvas cónicas se
puede nombrar la base del jarrón, que es circular, y es vista como una elipse con la perspectiva cónica.
Además podemos destacar las dos circunferencias pertenecientes a las aureolas que al ser vistas frontalmente
se siguen viendo igual.El formato de la obra conitene un arco de circunferencia en su parte superior.Y por
último citaremos el jarrón o florero que aunque no se aprecia con exactitud contiene una serie de curvas y
parece contener una serie de "gajos" también curvados.
Tangencias
Podemos encontrar algunas tangencias:
1.- La maceta de la obra tiene algunas tangencias.
2.- Las alas del ángel también están construidas por varias tangencias.
3.-Las volutas anteriormente citadas son arcos de circunferencia tangentes entre sí.
Simetrías
La composición de la obra se fundamenta en una simetría axial que pasa verticalmente por el centro de
la obra, y en esta simetría destacan las dos personas (Que están cada una en un lado contrapuestas).
Bajo el florero observamos un motivo que parece ser simétrico con un eje vertical.
Y aunque no se aprecia aparentemente en la representación podemos asegurar que el recipiente que
contiene la flor está compuesto por una simetría central que distribuye los elementos decorativos del mismo.
SEPTIEMBRE 2000 A
5.- Les Promenades d’Euclide, de René
Magritte, 1953.
Indicar los elementos geométricos que se
encuentran en la reproducción propuesta:
Sistema de representación, señalando la
línea del horizonte y los puntos de fuga, si
existen.
Presencia de módulos, polígonos, curvas,
tangencias y simetrías. (2 PUNTOS)
Sistema de representación
Nos encontramos ante una perspectiva cónica como
sistema de representación. Podemos determinar dos puntos
de fuga que determinan la línea del horizonte. Si los pies
del caballete se encontraran perpendiculares al plano de
cuadro podríamos llamar a esta perspectiva "cónica
frontal", pues las líneas de estos fugarían al mismo punto
que la calle y esta es la denominación que se emplea para perspectivas con un solo punto de fuga. Al
encontrarse oblicuos o girados respecto al plano de cuadro el punto de fuga de estos se desplaza hasta salirse
del espacio gráfico de la obra obteniendo así un segundo punto de fuga.
Módulos
El módulo más importante es el de las ventanas de los edificios que se observa a través de la ventana,
son módulos arquitectónicos que son rectángulos y al encontrarse en posición frontral se siguen observando
como rectángulos. También se podría destacar los ladrillos de la torre de base circular que son rectangulares
aunque van variando la forma que percibimos según que parte de la torre observemos.
Polígonos
Hay varios polígonos:
1.- Las ventana de los edificios que se observan frontalmente son rectángulos y se ven como tal. En
cambio las ventanas que están en las paredes laterales siguen siendo rectangulares, pero son vistas como
trapecios.
2.- La ventana desde la cual se ve el paisaje también es rectangular y se ve como tal.
3.- La mayor parte de los tejados tienes forma de trapecio y se observan también como trapecios cuando
se ven con esta perspectiva cónica.
curvas
La base del cono que hay encima de la torre es una circunferencia, que al ser vista mediante la
perspectiva se ve como una elipse (curva cónica).
tangencias
Aunque no se aprecia muy bien por que la tangencia está un poco tapada, debe haber una entre la base
elíptica del cono y la torre. Son dos tipos de tangencias: 1-rectas tangentes a una elipse por un punto exterior,
el cono del tejado de la torre. 2- Rectas con una dirección determinada (en este caso vertical) tangentes a una
elipse, el cilindro de la torre.
También apreciamos ciertos enlaces de curvas en uno de los listones, en posición frontal del caballete.
simetrías
La habitación que está en el primer plano es simétrica, el eje de la cual (axial) pasa por el centro. La
calle también es simétrica.
Otras consideraciones
Este cuadro tiene ocultas algunas consideraciones interesantes sobre perspectiva.
En primer lugar Magritte nos enseña una forma de comprobar que una perspectiva ha sido correctamente
efectuada. Esta comprobación consiste en interponer la representación entre el punto de vista y la escena. Si,
guiñando un ojo, los bordes de la representación encajan con el resto de la escena, la representación será
correcta. Con este procedimiento lo que haríamos sería hacer coincidir el soporte de la obra con un plano de
cuadro imaginario empleado para la representación.
Por otro lado Magritte está jugando con nuestra percepción de la profundidad, situando un cono quyo
vértice se posa sobre la linea del horizonte. Las generatrices del contorno aparente del cono muestran el
mismo ángulo que los márgenes de la calle que fuga hasta la linea del horizonte. Magritte de este modo
sugiere una posible confusión entre lo que fuga y lo que es un volumen.
No es posible que las lineas de dos calles que siguen una misma dirección fuguen en dos puntos
distintos.