INTRODUCCI´ON A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES Problemas

INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
Curso 2013-2014
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
1. Sea E un espacio normado. Si a, b son elementos de E, probar:
(a) k 12 (a + b)k2 ≤ 12 kak2 + 21 kbk2 .
(b) kak ≤ max{ka + bk, ka − bk}.
2. Demostrar que en un espacio normado, la adherencia de B(a, r) es B 0 (a, r) y el interior
de B 0 (a, r) es B(a, r). ¿Es cierto el resultado anterior en un espacio métrico cualquiera?
3. Seann E un espacio normado y A ⊆ E numerable. Demostrar que la adherencia del
subespacio lineal generado por A es separable.
4. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) E es separable.
(b) La bola abierta unidad B = B(0, 1) es separable.
(c) La esfera unidad S = {x ∈ E : kxk = 1} es separable.
5. Sean E un espacio normado y A ⊆ E no vacı́o. Demostrar que los enunciados siguientes
son equivalentes:
(a) A es un conjunto acotado.
∞
(b) Para cada sucesión {xn }∞
n=1 de elementos de A y cada sucesión {λn }n=1 de escalares
∞
que converge hacia 0, la sucesión {λn xn }n=1 converge hacia el vector 0.
6. Sea E un espacio normado y r > 0. Probar que E y B(0, r) son homeomorfos.
7. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicación lineal de E en
F y B la bola cerrada unidad. Se supone que T (B) es un entorno del origen en F
(a) Probar que T es suprayectiva.
(b) Si {yn }∞
n=1 es una sucesión acotada de elementos de F , demostrar que existe una
sucesión acotada {xn }∞
n=1 de elementos de E tal que T (xn ) = yn para cada n ∈ N.
8. Se designa por E al espacio vectorial de las funciones definidas y continuas en R con
valores en K y de soporte compacto. Para cada f ∈ E se define
kf k = sup{|f (t)| : t ∈ R}.
Probar que k k es una norma sobre E y que el espacio normado (E, k k) no es un espacio
de Banach.
1
1
9. La aplicación identidad i de (` , k k1 ) en (` , k k∞ ), ¿es un homeomorfismo?
10. Sea E el espacio vectorial de las funciones f ∈ C([−1, 1], K) tales que f (x) = f (−x) para
todo x ∈ [−1, 1]. Demostrar que E provisto de la norma del superior es un espacio de
Banach.
1
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Problemas
11. Sean B un sistema fundamental de entornos del vector 0 en un espacio normado E y A
un subconjunto de E. Demostrar uw
\
A=
A + V.
V ∈B
12. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) E es un espacio de Banach.
(b) Toda serie de elementos de E que es absolutamente convergente, es convergente.
13. Sean (E1 , k k1 ), (E2 , k k2 ), . . . , (En , k kn ), n espacios normados sobre el mismo cuerpo K.
En el espacio producto E = E1 × E2 × . . . En , se considera la noorma:
k(x1 , x2 , . . . , xn )k = sup{kxk kk : k = 1, 2, . . . , n}.
Probar que el espacio normado (E, k k) es Banach si, y sólo si, (Ek , k kk ) es Banach para
cada k = 1, 2, . . . , n.
14. Sean E un espacio normado y F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo
∞
K. Si {an }∞
n=1 es una sucesión de Cauchy de elementos de E y {Tn }n=1 una sucesión de
Cauchy de elementos de L(E, F ), demostrar que la sucesión {Tn (an )}∞
n=1 es convergente
en F .
15. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo K y
S un subconjunto de E denso en E. Si {Tn }∞
n=1 es una sucesión acotada de elementos de
L(E, F ) tal que para cada elemento a ∈ S la sucesión {Tn (a)}∞
n=1 es convergente en F ,
entonces, para cada elemento x ∈ E, la sucesión {Tn (x)}∞
converge
en F .
n=1
16. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K y T : E → F lineal. Probar que
los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) T es continua.
(b) T transforma sucesiones de Cauchy de E en sucesiones de Cauchy de F .
(c) T transforma sucesiones que convergen hacia 0 en E en sucesiones acotadas de F .
17. Sea {αn }∞
n=1 una sucesión de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesiones
x = {xn }∞
n=1 de elementos de K, tales que
∞
X
|αn xn |2 < ∞.
n=1
(a) Probar que E es un espacio subespacio vectorial del espacio de las sucesiones de
elementos de K.
2
(b) Si x = {xn }∞
n=1 ∈ E, se define
kxk =
∞
X
!1
2
|αn xn |2
.
n=1
Demostrar que la aplicación x → kxk es una norma si, y sólo si, αn 6= 0, para cada
n ∈ N.
En lo que sigue se supone que la aplicación anterior es una norma.
(c) Probar que el espacio normado (E, k k) es de Banach y separable.
2
2
(d) Si {αn }∞
n=1 es una sucesión acotada y ` = ` (K), probar:
2
(i) ` ⊆ E.
2
(ii) La inyección canónica I: (` , k k2 ) → (E, k k) es inyectiva y continua. Determinar
su norma.
(iii) Dar un ejemplo de una sucesión {αn }∞
n=1 acotada de elementos de K, de forma
2
que ` 6= E.
2
(iv) Demostrar que ` es denso en E.
18. Sean E un espacio normado y A y B subconjuntos de E.
(a) Demostrar que A + B ⊆ A + B.
(b) Dar ejemplos donde no se verifica la contención en sentido contrario.
(c) Demotrar que si A es compacto, A + B = A + B y decucir que si A es compacto y
B cerrado, A + B es cerrado.
3
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∞
∞
19. Sea ` = ` (K) el espacio vectorial ( sobre K ) de las sucesiones acotadas de elementos
∞
se define:
de K. Si x = {xn }∞
n=1 es un elemento de `
||x||∞ = sup{|xn | : n ∈ N}
∞
Se denotará por c = c(K) al subespacio de ` de las sucesiones convergentes de elementos
de K, por c0 = c0 (K) al subespacio de c de las sucesiones de elementos de K que convergen
hacia 0 y por c00 = c00 (K) al subespacio de c0 formado por las sucesiones nulas a partir
de un término.
∞
(a) Demostrar que la aplicación x → ||x||∞ es una norma en ` .
∞
(b) Demostrar que `
∞
= (` , k k∞ ) es un espacio de Banach.
∞
(c) Estudiar la separabilidad de ` , c, c0 y c00 .
∞
(d) Demostrar que c es cerrado en ` .
(e) Demostrar que c0 es cerrado en c.
(f) Demostrar que c00 no es completo.
(g) Demostrar que c00 es denso en c0 .
p
p
20. Sea 1 ≤ p < ∞. Se define ` = ` (K) el conjunto de las sucesiones x = {xn }∞
n=1 de
elementos de K tales que:
∞
X
|xn |p < ∞.
n=1
p
q
∞
(a) Sean p, q > 1 tales que p−1 + q −1 = 1. Si x = {xn }∞
n=1 ∈ ` e y = {yn }n=1 ∈ ` ,
∞
X
|xk yk | ≤
!1
∞
X
p
p
|xk |
k=1
k=1
∞
X
!1
q
q
|yk |
.
k=1
La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Hölder.
p
∞
(b) Sea 1 ≤ p < ∞. Si x = {xn }∞
n=1 e y = {yn }n=1 ∈ ` , se verifica:
∞
X
!1
p
p
≤
|xk + yk |
k=0
∞
X
!1
p
p
|xk |
k=0
+
∞
X
!1
p
p
|yk |
.
k=0
La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Minkowski.
p
(c) Demostrar que ` es un espacio vectorial sobre K.
(d) Si x =
{xn }∞
n=1
p
p
∈ ` , demostrar que la aplicación x → kxkp =
norma sobre ` .
p
(e) Demostrar que ` con esta norma es un espacio de Banach.
p
(f) Demostrar que c00 es denso en ` .
p
(g) Estudiar la separabilidad de ` .
4
∞
P
n=1
p
|xn |
1
p
es una
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21. Sea E el espacio de las funciones de clase C n en [a, b] con valores en K. Demostrar que la
igualdad
kf k = kf k∞ + kf 0 k∞ + · · · + kf n) k∞
define una norma en E. Probar que el espacio normado (E, k k) es un espacio de Banach.
22. Sea E el espacio de las funciones de clase C n en [a, b] con valores en K. Demostrar que la
igualdad
kf k∗ = |f (a)| + |f 0 (a)| + · · · + |f n−1) (a) + kf n) k∞
define una norma en E. Probar que las normas k k dada en el problema anterior y k k∗
son equivalentes. Probar que el espacio normado (E, k k∗ ) es un espacio de Banach.
23. Se designa por X el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes
en el cuerpo K. Si P ∈ X es el polinomio P (t) = a0 + a1 t + . . . + an tn , se definen:
kP k = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.
y
kP k1 = |a0 | + |a1 | + . . . + |an |.
Probar que k k y k k1 son normas sobre X. Demostrar que kP k ≤ kP k1 para cada P ∈ X.
Demostrar que no existe M > 0 tal que kP k1 ≤ M kP k, para cada P ∈ X.
24. Para cada α ≥ 0 se define el conjunto Cα de las funciones f : [0, ∞) → R continuas tales
que sup{eαt |f (t)| : t ∈ [0, ∞)} < ∞.
(a) Probar que Cα es un espacio vectorial para las operaciones de suma y producto por
un escalar habituales y que la igualdad
kf kα = sup{eαt |f (t)| : t ∈ [0, ∞)}
define una norma en Cα .
(b) ¿Es Banach el espacio (Cα , k kα )?
(c) Si f ∈ Cα y g ∈ Cβ , probar que g · f ∈ Cα+β .
Sea g ∈ Cβ . Se define Tg : (Cα , k kα ) → (Cα+β , k kα+β ) por Tg (f ) = g · f . Demostrar
que Tg es un operador lineal y continuo entre los espacios indicados y calcular su
norma.
(d) Si β > α y f ∈ Cα se define Tβ (f ): [0, ∞) → R por
Tβ (f )(x) =
Z x
e−β(x−t) f (t) dt.
0
Demostrar que Tβ (f ) ∈ Cα . Probar que la aplicación f → Tβ (f ) de (Cα , k kα ) en
(Cα , k kα ) es lineal y continua. Determinar su norma.
5
25. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicación lineal de E en
F y A un subconjunto de E.
(a) Si E es de dimensión finita y A acotado, probar que T (A) es un conjunto relativamente compacto de F .
(b) Si E es Banach, A cerrado, T continua y kT (x)k ≥ kxk para cada x ∈ E, entonces
T (A) es cerrado en F .
6
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26. Sea E un espacio normado y p: E → R verificando:
(a) p(x) ≥ 0, para cada x ∈ E.
(b) p(λx) = |λ|p(x), para cada x ∈ E y para cada λ ∈ K.
(c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para cada par de elementos x, y ∈ E.
Demostrar:
(I) p es continua si, y sólo si, p es continua en 0.
(II) Si E es de dimensión finita, p es continua.
27. Sea E un espacio normado. Se supone que existe una sucesión {bn }∞
n=1 de elementos de
E y α > 0 tales que
kbn − bm k = α, n, m ∈ N, n 6= m.
(a) Probar que el conjunto {bn : n ∈ N} es un cerrado de E.
(b) ¿Puede ser de dimensión finita el espacio E?
28. Sea E un espacio normado. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) La dimensión de E es finita.
(b) Para cada x ∈ E y para cada r > 0, la bola cerrada B 0 (x, r) es un compacto.
(c) Todo punto de E, admite un sistema fundamental de entornos compactos.
(d) Todo acotado de E es relativamente compacto.
(e) Existen a ∈ E y δ > 0 tales que B 0 (a, δ) es compacto.
(f) La esfera unidad S = {x ∈ E : kxk = 1} es compacto.
29. Se designa por P2 al espacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientes
reales de grado menor o igual que 2. Sea
A = {P ∈ P2 : |P (0)| ≤ 1, |P 0 (0)| ≤ 1, |P 00 (0)| ≤ 1}.
Demostrar que A es un compacto del espacio C([0, 1], R) provisto de la norma del superior.
30. Sean x0 , x1 , . . . , xm números reales distintos y sea {Pn }∞
n=1 una sucesión de polinomios de
grado no superior a m, tal que para cada j = 0, 1, . . . , m, la sucesión
{Pn (xj )}∞
n=1
converge. Demostrar que {Pn }∞
n=1 converge uniformemente en [0, 1].
7
31. Sean m ∈ N, {Pn }∞
n=1 una sucesión de polinomios con coeficientes reales de grado menor
o igual que m y f : [0, 1] → R integrable y tal que
lim
Z 1
n→∞ 0
|Pn (t) − f (t)| dt = 0.
Probar que existe un polinomio P tal que f (t) = P (t) casi siempre en [0,1].
32. Se designa por E el espaacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientes
en K y de grado menor o igual que dos, normado por
kP k = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.
Sea T : E → R dada por :
T (P ) = P 0 (0).
Probar que T es lineal y continua. Si P es el polinomio
P (x) = 8x2 − 8x + 1,
determinar kP k y |P 0 (0)|. Calcular kT k.
8
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Problemas
33. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto no vacı́o de C(X, K) y equicontinuo en
cada punto de X. Para cada x ∈ X, se considera el conjunto Ax = {f (x) : f ∈ A}. Sea
L = {x ∈ X : Ax es un acotado de K}.
(a) Demostrar que L es un conjunto abierto y cerrado en X.
(b) Si X es conexo y compacto y L es no vacı́o, probar que A es un conjunto relativamente compacto en (C(X, K), k k∞ ).
34. Sea A un subconjunto no vacı́o de C 1 ([0, 1], K). Se supone:
(a) El conjunto {f 0 : f ∈ A} es un acotado del espacio normado (C([0, 1], K), k k∞ ).
(b) Existe a ∈ [0, 1] tal que el conjunto {f (a) : f ∈ A} es un acotado de K.
Demostrar que A es un conjunto relativamente compacto en (C([0, 1], K), k k∞ ).
35. Sea f : [0, 1] → R continua, tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1 para cada x ∈ [0, 1]. Se considera la
aplicación T : C([0, 1], K) → C([0, 1], K) dada por: T (g) = g ◦ f.
(a) Demostrar que T es lineal y continua cuando en C([0, 1], K) se considera la norma
del superior. Calcular kT k.
(b) Sea H un conjunto compacto del espacio (C([0, 1], K), k k∞ ). Probar que el conjunto
L = {g ◦ f : g ∈ H} es también un compacto del citado espacio.
36. (a) Sea n ∈ N. Demostrar que para cada k ∈ Z con 0 ≤ k ≤ n, existe α > 0, que
depende de n y k, tal que para cada polinomio P con coeficientes reales y grado
menor o igual que n, se verifica:
sup{|P k) (x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ α sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.
(b) Se designa por E el espacio vectorial de las funciones reales, definidas y continuas
en [0, 1], provisto de la norma del superior. Sea M un subespacio vectorial de E que
verifica:
(i) M es cerrado en E.
(ii) Si f ∈ M entonces f es de clase C 1 en [0, 1].
(iii) Existe L > 0, tal que para cada f ∈ M se tiene
sup{|f 0 (x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ L sup{|f (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.
Probar que M es de dimensión finita.
(c) Para cada n ∈ N, dar un ejemplo de un subespacio vectorial de E de dimensión n,
verificando condiciones (i), (ii) y (iii). del apartado anterior.
9
37. Sea E el espacio de las funciones reales definidas y de clase C 1 en [0, 1]. Se dota a E de
la norma
kf k = kf k∞ + kf 0 k∞ .
Sea A ⊆ E.
(a) Si existe M > 0 tal que kf k ≤ M para cada f ∈ A, entonces A es equicontinuo.
(b) Probar que A es relativamente compacto en (E, k k) si, y sólo si, A es acotado en
(E, k k) y el conjunto {f 0 : f ∈ A} es equicontinuo.
38. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicación continua de [a, b] × [a, b]
en C. Para cada f ∈ C([a, b], C) se define la función f ∗ en [a, b] por:
f ∗ (x) =
Z b
K(x, t)f (t) dt.
a
(a) Si f ∈ C([a, b], C, probar que f ∗ es continua en [a, b].
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ C([a, b], C), kf k∞ ≤ 1}, es relativamente compacto
en C([a, b], C) provisto de la norma del superior.
(c) Se define la aplicación T : C([a, b], C) → C([a, b], C), por T (f ) = f ∗ . Demostrar que
T es lineal y continua. En C([a, b], C) se considera la norma del supeior.
2
39. Para cada f ∈ L ([−π, π], C) se define la función f ∗ : [−π, π] → C por:
∗
f (x) =
Z π
cos (x − t)f (t) dt.
−π
2
(a) Si f ∈ L ([−π, π], C), probar que f ∗ es continua en [−π, π].
2
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L ([−π, π], C), kf k2 ≤ 1}, es relativamente
compacto en C([−π, π], C) provisto de la norma del supremo.
2
2
(c) Se define la aplicación T : L ([−π, π], C) → L ([−π, π], C), por T (f ) = f ∗ . Probar
que T es lineal y continua.
40. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicación continua de [a, b] × [a, b]
2
en C. Para cada f ∈ L ([a, b], C) se define la función f ∗ en [a, b] por:
f ∗ (x) =
Z b
K(x, t)f (t) dt.
a
2
(a) Si f ∈ L ([a, b], C), probar que f ∗ es continua en [a, b].
2
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L ([a, b], C), kf k2 ≤ 1}, es relativamente compacto
en C([a, b], C) provisto de la norma del superior.
2
(c) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L ([a, b], C), kf k2 ≤ 1}, es relativamente compacto
2
en L ([a, b], C).
2
2
(d) Se define la aplicación T : L ([a, b], C) → L ([a, b], C), por T (f ) = f ∗ . Demostrar que
T es lineal y continua.
41. Sea F una función continua de R2 en R. Para cada f ∈ C([0, 1], R), se considera la función
f ∗ definida en [0,1], por
Z
x
f ∗ (x) =
F (t, f (t)) dt.
0
10
Demostrar que f ∗ es continua en [0,1]. Se considera el conjunto
A = {f ∗ : f ∈ C([0, 1], R), kf k∞ ≤ 1}.
Probar que A es un conjunto relativamente compacto en C([0, 1], R) provisto de la norma
del superior.
42. Sea I un intervalo compacto de R. Demostrar que el espacio C(I, K) es separable.
43. Se considera el conjunto
A = {f ∈ C([0, 1], C) : |f (x)| = 1, para cada x ∈ [0, 1]}.
Probar que el subespacio generado por A, es denso en el espacio (C([0, 1], C), k k∞ ). ¿Sigue
siendo válido el resultado si se sustituye C por R?
44. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define la función fn : [0, 1] → R por
fn (t) = e−nt .
(a) Probar que el subespacio lineal generado por el conjunto
{fn : n = 0, 1, 2, . . .}
es denso en el espacio de Banach (C([0, 1], R), k k∞ ).
(b) Demostrar que si h ∈ C([0, 1], R), existe una única aplicación lineal continua T de
C([0, 1], R) en R, tal que
Z
1
T (fn ) =
e−nt h(t) dt
0
para cada n ≥ 0. Si T (fn ) = 0, para cada n ≥ 0, entonces h = 0.
45. Sea X un espacio topológico compacto. Se supone que existe una aplicación f : X → R
continua e inyectiva. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define
gn (x) = enf (x) ,
x ∈ X.
Determinar la adherencia en C(X, R) (dotado de la norma del supremo) del subespacio
vectorial generado por {gn : n = 0, 1, 2, . . .}.
Sean E un espacio normado real y T : C(X, R) → E una aplicación lineal continua tal que
T (gn ) = 0 para n ≥ 0. ¿Que puede decirse de T ?
46. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes
en R, normado por
kP k = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1},
P ∈ P.
Si a, b son números reales con a < b, se considera la aplicación Tab de P en R, definida
por
Z
b
Tab (P ) =
P (x) dx.
a
Si a ∈
/ [0, 1] o b ∈
/ [0, 1], probar que la aplicación Tab no es continua.
11
47. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes
en R, normado por
kP k = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1},
P ∈ P.
Si a ∈ R, se considera la aplicación Ta de P en R, definida por
Ta (P ) = P (a).
(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular kTa k.
(b) Si a ∈
/ [0, 1], probar que Ta no es continua.
12
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
p
∞
48. Sea en = {δnm }∞
m=1 . Demostrar que si x = {xn }n=1 es un elemento de c0 o de ` , con
1 ≤ p < ∞, entonces
x=
∞
X
xn en
n=1
en estos espacios.
1
49. Sea x = {xn }∞
n=1 ∈ ` y sea ux : c0 → K dada por:
ux (y) =
∞
X
xn yn
n=1
donde y = {yn }∞
n=1 .
(a) Demostrar que ux ∈ (c0 )0 .
1
(b) Se considera la aplicación Φ: ` → (c0 )0 dada por Φ(x) = ux . Demostrar que Φ es un
isomorfismo tal que kΦ(x)k = kxk1 .
1
1
(Se suelen identificar los espacios normados (c0 )0 y ` y decir que el dual de c0 es ` ).
∞
50. Sea x = {xn }∞
n=1 ∈ `
1
y sea ux : ` → K dada por:
ux (y) =
∞
X
xn yn
n=1
donde y = {yn }∞
n=1 .
1
(a) Demostrar que ux ∈ (` )0 .
∞
1
(b) Se considera la aplicación Φ: ` → (` )0 dada por Φ(x) = ux . Demostrar que Φ es
un isomorfismo tal que kΦ(x)k = kxk∞ .
1
∞
(Se suelen identificar los espacios normados (` )0 y `
∞
1
y decir que el dual de ` es ` .
q
p
51. Sea 1 < p < ∞ y sea q el conjugado de p. Sea x = {xn }∞
n=1 ∈ ` y sea ux : ` → K dada
por:
ux (y) =
∞
X
xn yn
n=1
donde y = {yn }∞
n=1 .
p
(a) Demostrar que ux ∈ (` )0 .
q
p
(b) Se considera la aplicación Φ: ` → (` )0 dada por Φ(x) = ux . Demostrar que Φ es un
isomorfismo tal que kΦ(x)k = kxkq .
p
q
p
q
(Se suelen identificar los espacios normados (` )0 y ` y decir que el dual de ` es ` ).
13
52. Sean M es un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado E y a un elemento de
E tal que a ∈
/ M . Demostrar que el subespacio M ⊕ hai es cerrado en E.
53. Demostrar que todo subespacio cerrado de un espacio normado E se puede escribir como
una intersección de hiperplanos cerrados.
54. Sean e1 , e2 , . . . , en , n vectores linealmente independientes de espacio normado E. Probar
que existen n elementos Φ1 , Φ2 , . . . , Φn de E 0 tales que
Φi (ej ) = δij
Si
L=
i, j = 1, 2, . . . , n.
n
\
ker Φj ,
j=1
demostrar que E = L ⊕ he1 , e2 , . . . , en i. Deducir que dado un subespacio lineal de dimensión finita M de E, existe un subespacio cerrado Z de E tal que E = Z ⊕ M .
55. Sea E un espacio normado de dimensión infinita y separable. Demostrar que existe una
0
sucesión {Φn }∞
n=1 de elementos de E , con kΦn k = 1 para cada n ∈ N, y tal que para cada
x ∈ E, la sucesión de escalares {Φn (x)}∞
n=1 converge hacia 0.
∞
56. Sean E un espacio normado, F un subespacio vectorial de E y T : F → `
∞
continua. Demostrar que existe S: E → ` lineal y continua tal que:
lineal y
(a) T (x) = S(x), x ∈ F .
(b) kT k = kSk.
57. Sea E un espacio normado de dimensión infinita numerable. Demostrar que E es un
conjunto de primera categorı́a (en E).
2
58. Demostrar que la bola cerrada unidad B 0 (0, 1) de (` , k k2 ) es un conjunto raro en el
espacio (c0 , k k∞ ).
2
1
59. Demostrar que L ([0, 1], K) es un conjunto de primera categorı́a en L ([0, 1], K).
14
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
60. Sean 1 < p, q < ∞ números reales conjugados. Sea y = {yn }∞
n=1 una sucesión de elementos
de K tal que
∞
P
n=1
p
q
xn yn converge para cada x = {xn }∞
n=1 ∈ ` . Demostrar que y ∈ ` .
61. Sea E un espacio normado. Demostrar que si el espacio dual E 0 es separable, entonces E
es separable.
p
62. (a) Si 1 < p < ∞, el espacio ` es reflexivo.
1
(b) Demostrar que ` no es reflexivo.
(c) Demostrar que c0 con la norma del superior no es reflexivo.
63. Sean {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de un espacio normado E y x un elemento de
0
E. Se dice que {xn }∞
n=1 converge débilmente hacia x, si para cada elemento Φ ∈ E , la
0
∞
sucesión {Φ(xn )}n=1 converge hacia Φ(x). Sea M un subespacio vectorial de E denso en
E 0 . Probar que las proposiciones siguientes son equivalentes:
(a) La sucesión {xn }∞
n=1 converge débilmente hacia x.
∞
(b) La sucesión {xn }∞
n=1 es acotada y para cada Φ ∈ M , la sucesión {Φ(xn )}n=1 converge
hacia Φ(x).
64. Sea E un espacio normado y A un subconjunto denso de la abola cerrada unidad de E 0 .
Probar que para cada x ∈ E, se verifica
kxk = sup{|Φ(x)| : Φ ∈ A}
65. Una función f : [0, 1] → C se dice que es lipschitziana si existe k > 0 tal que
|f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|
para cada par de puntos x, y ∈ [0, 1].
Sea M un subespacio vectorial cerrado de (C([0, 1], C), k k∞ ) formado por funciones lipschitzianas. Si t, s ∈ [0, 1], t 6= s, se considera la aplicación Tts : M → C dada por:
Tts (f ) =
f (t) − f (s)
.
t−s
(a) Demostrar que Tts es lineal y continua.
(b) Demostrar que existe C > 0 tal que, kTts k ≤ C para todos t, s ∈ [0, 1], t 6= s.
(c) Demostrar que M es de dimensión finita.
66. Sea E el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en K dotado de la norma
kP k = Max{|a0 |, |a1 |, . . . , |an |}
donde P (t) = a0 + a1 t + . . . an tn .
0
Construir una sucesión {Tn }∞
n=1 de elementos de E puntualmente acotada pero no acotada.
15
67. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sea T : E → F lineal tal que
Φ ◦ T ∈ E 0 para cada Φ ∈ F 0 . Probar que T es continua.
68. Sea E un espacio normado y sea {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de E. Se supone que
0
para cada ϕ ∈ E , la serie
∞
X
ϕ(xn )
n=1
es absolutamente convergente. Demostrar que el conjunto
{
X
xi : F ⊆ N, F finito y no vacı́o }
i∈F
es un acotado de E.
69. Sean E un espacio vectorial y sean k k1 y k k2 dos normas sobre E. Se denota por B1 la
familia de los conjuntos acotados del espacio (E, k k1 ) y por B2 la familia de los conjuntos
acotados del espacio (E, k k2 ). Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) B1 = B2
(b) Las normas k k1 y k k2 son equivalentes.
(c) (E, k k1 )0 = (E, k k2 )0 .
70. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo K y T una aplicación lineal y
continua de E en F . Probar que existe una constante c > 0 tal que ckxk ≤ kT (x)k, para
cada x ∈ E si, y sólo si, T es inyectiva y T (E) es cerrado en F .
71. Sea (E, k k) un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Se considera una forma lineal
f : E → K. Probar que la aplicación p: E → R definida por:
p(x) = kxk + |f (x)|
es una norma en E.
Demostrar que el espacio (E, p) es de Banach si, y sólo si, f es continua en (E, k k).
1
1
72. Sea ϕ una forma lineal sobre ` . Si a = {an }∞
n=1 ∈ ` , establecer que la igualdad
kak = |ϕ(a)| +
∞
X
|an |
n=1
1
es una norma en ` . Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
1
(a) (` , kk) es un espacio de Banach.
(b) Existe una sucesión acotada {bn }∞
n=1 de escalares tal que
ϕ(a) =
∞
X
an b n
n=1
1
para cada a = {an }∞
n=1 ∈ ` .
1
73. Para cada número natural m se considera la aplicación lineal φm : ` → K, definida por
πm ({xn }∞
n=1 ) = xm .
1
1
Sea k k una norma en ` tal que (` , k k) es un espacio de Banach. Demostrar que las
proposiciones siguientes son equivalentes:
16
(a) Para cada número natural m, la aplicación πm es continua para la norma k k.
(b) La norma k k es equivalente a la norma k k1 .
74. Sea X un espacio topológico compacto. Para cada x ∈ X se designa por Tx la aplicación
de C(X, K) en K definida por
Tx (f ) = f (x).
Sean A ⊆ X, denso en X y k k una norma en el espacio C(X, K). Se supone que:
(a) El espacio normado (C(X, K), k k) es un espacio de Banach.
(b) Para cada x ∈ A, la aplicación Tx es continua cuando en C(X, K) se considera la
norma k k.
Probar que la norma k k es equivalente a la norma del superior en C(X, K).
75. Sea E un espacio normado sobre K y f una aplicación de [0, 1] en E. Se supone que para
cada Φ ∈ E 0 se tiene que Φ ◦ f ∈ C([0, 1], K). Probar que la aplicación T : E 0 → C([0, 1], K)
definida por T (Φ) = Φ ◦ f es continua. (En C([0, 1], K) se considera la norma de la
convergencia uniforme.)
76. Sean A un subespacio vectorial cerrado del espacio C([a, b], R) dotado de la norma del
superior y ϕ una función de [a, b] en R. Se supone que para cada f ∈ A se tiene que
f ϕ ∈ A. Demostrar que la aplicación T : A → A dada por
T (f ) = f ϕ
es continua.
77. Sean E, F y G espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sean T una aplicación lineal de
E en F y {Si }i∈I una familia de aplicaciones lineales y continuas de F en G. Se supone:
(a)
\
ker Si = {0}.
i∈I
(b) Si ◦ T es continua para cada i ∈ I.
Probar que T es continua.
78. Sean E un espacio normado y {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de E. Se supone que
0
para cada elemento f ∈ E , la serie numérica
∞
X
f (xn )
n=1
es absolutamente convergente. Demostrar que existe M > 0, tal que para cada elemento
f ∈ E 0 se tiene
∞
X
|f (xn )| ≤ M kf k.
n=1
79. Sea E un espacio normado y {an }∞
n=1 una sucesión de elementos de E. Se supone que
2
0
∞
para cada Φ ∈ E , {Φ(an )}n=1 ∈ ` (K). Demostrar que existe M > 0 tal que para cada
Φ ∈ E 0 se tiene
k{Φ(an )}∞
n=1 k2 ≤ M kΦk.
17
80. Sea E el espacio de las funciones definidas en [0, ∞) y valoradas en K, continuas y acotadas
en [0, ∞) provisto de la norma
kf k∞ = sup{|f (t)| : t ≥ 0}.
(a) Probar que el espacio normado definido anteriormente es de Banach.
(b) Sea el conjunto F = {f : E → K : f continua y sup{(1 + t)|f (t)| : t ≥ 0} < ∞}.
Probar que F es un subespacio vectorial de E.
Si f ∈ F , se define la función f ∗ en [0, ∞) por f ∗ (t) = tf (t). En lo que sigue se considera
en F la norma k k∞ .
(c) Probar que para cada f ∈ F , se verifica f ∗ ∈ E. Si T designa la aplicación de F en
E, definida por T (f ) = f ∗ , entonces T es lineal y no continua.
(d) Demostrar que el grafo de T es cerrado en F × E.
(e) El espacio F , ¿es de Banach?
∞
81. Sean E un espacio de Banach, {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de E y {fn }n=1 una
sucesión de elementos de E 0 . Se supone que para cada x ∈ E, la serie
∞
X
kfn (x)xn k
n=1
es convergente.
(a) Probar que para cada sucesión acotada {βn }∞
n=1 de elementos de K y para cada
elemento x ∈ E, la serie
∞
X
βn fn (x)xn
n=1
converge en E.
(b) Para cada sucesión acotada β = {βn }∞
n=1 de elementos de K, se considera la aplicación
Tβ : E → E, definida por
Tβ (x) =
∞
X
βn fn (x)xn .
n=1
Demostrar que Tβ es lineal y continua.
(c) Probar que existe M > 0, tal que para cada sucesión acotada β = {βn }∞
n=1 de
elementos de K, con kβk∞ ≤ 1, se tiene que kTβ k ≤ M .
18
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
82. Sea H un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar que para cada par de elementos
x, y ∈ H se verifica la Fórmula de Polarización:
4hx, yi = kx + yk2 − kx − yk2 + i kx + iyk2 − i kx − iyk2 .
Si H es real se verifica:
4hx, yi = kx + yk2 − kx − yk2 .
83. Sea E un espacio normado en el que se verifica la ley del paralelogramo. Demostrar que
existe un producto interno h , i tal que
kxk2 = hx, xi
para cada x ∈ E.
p
84. Demostrar que ` , p 6= 2 no es un espacio de Hilbert.
85. Sea H un espacio de Hilbert.
∞
lim hxn , yn i = 1.
(a) Sean {xn }∞
n=1 e {yn }n=1 dos sucesiones de la bola unidad de H con n→∞
Entonces lim kxn − yn k = 0.
n→∞
(b) Sean a ∈ H y {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de H. Supongamos que se verifica
lim hxn , ai = ha, ai y lim kxn k = kak. Entonces lim kxn − ak = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
86. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H y T una aplicación lineal
de M en H. Sea Z el grafo de T , es decir Z = {(x, T x) : x ∈ M }.
(a) Probar que Z es un subespacio vectorial de H × H.
(b) Probar que la identidad
∗
k(x, T x)k =
q
kxk2 + kT xk2
define una norma sobre Z que proviene de un producto interno.
(c) Si T es continua, demostrar que M y (Z, k k∗ ) son homeomorfos.
(d) Si M es cerrado en H y (Z, k k∗ ) es un espacio de Banach, demostrar que T es
continua.
87. Sea I un intervalo y sea w ∈ C(I, R) con w(t) > 0 en I. Se define el espacio L2w (I, K) de
las funciones f : I → K medibles tales que
Z
|f (t)|2 w(t) dt < ∞.
I
(a) Demostrar que L2w (I, K) es un espacio vectorial.
Se identificarán en L2w (I, K) funciones iguales casi siempre en I.
19
(b) Probar que
hf, gi =
Z
f (t)g(t)w(t) dt
I
es un producto interno en L2w (I, K).
(c) Demostrar que L2w (I, K) dotado de este producto interno es un espacio de Hilbert.
88. Demostrar que el conjunto
Z 1
L = {f ∈ C([0, 1], K) :
f (t) dt + f (0) = 0}
0
es un hiperplano cerrado del espacio C([0, 1], K) provisto de la norma del superior.
1
89. Sea M el conjunto de las f ∈ L ([0, 1]) tales que
Z 1
f (t) dt = 1.
0
1
Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo de L ([0, 1]) que contiene infinitos
elementos de norma mı́nima.
90. Sea
M = {f ∈ C([0, 1], K) :
1
2
Z
f (t) dt −
Z 1
0
1
2
f (t) dt = 1}.
Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo del espacio (C([0, 1], K), k k∞ ) que
no contiene ningun elemento de norma mı́nima.
91. (a) Sea a un vector no nulo de un espacio de Hilbert H. Si
M = {x ∈ H : hx, ai = 0},
probar que para cada elemento y de H se verifica:
d(y, M ) =
|hy, ai|
.
kak
2
(b) Sea L el siguiente subconjunto de L ([0, 1], K):
2
L = {f ∈ L ([0, 1]) :
Z 1
f (t) dt = 0}.
0
Si g(t) = et , 0 ≤ t ≤ 1, determinar d(g, L).
2
92. Sea A ⊆ R medible y de medida 1. Probar que la aplicación T : L (R) → C dada por
T (f ) =
Z
f (x) dx
A
es lineal y continua. Calcular la norma de T . Determinar la relación que existe entre
2
d(f, ker T ) y T (f ), para f ∈ L (R, C).
93. Sean H un espacio de Hilbert, a ∈ H y M un subespacio vectorial de H cerrado. Demostrar que
min{ka − xk : x ∈ M } = max{|ha, yi| : y ∈ M ⊥ , kyk = 1}.
20
94. Sean E un espacio de Banach y M un subespacio vectorial de E cerrado.
(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(i) Existe un subespacio vectorial cerrado L de E tal que E = M ⊕ L.
(ii) Existe una aplicación P de E en E lineal y continua tal que P (E) = M y
P2 = P.
(b) Sea F un subespacio vectorial cerrado de E tal que M ∩ F = {0}. Demostrar que
M ⊕ F es cerrado en E si, y sólo si,
inf{d(y, F ) : y ∈ M, kyk = 1} > 0.
(c) Si la dimensión algebraica de M es finita, probar que existe un subespacio vectorial
cerrado L de E, tal que E = M ⊕ L.
(d) Si E es un espacio de Hilbert y F es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ F ,
entonces, M ⊕ F es cerrado en E.
(e) Si E es un espacio de Hilbert y L es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ L y
E = M ⊕ L, entonces L = M ⊥ .
2
95. Se designa por πn la n-ésima proyección de ` sobre K. Determinar el único elemento
2
2
b ∈ ` , tal que πn (a) = ha, bi para cada a ∈ ` .
2
96. Se designa por πn la n-ésima proyección de ` sobre K. Determinar el único elemento
2
2
b ∈ ` , tal que (π1 + π2 + · · · + πn )(a) = ha, bi para cada a ∈ ` .
2
n ∞
97. Sea b ∈ C con |b| < 1. Probar que si a = {an }∞
n=1 ∈ ` entonces la sucesión {an b }n=0
1
2
está en ` . Demostrar que la aplicación T : ` → C dada por
T (a) =
∞
X
an b n
n=1
es lineal continua. Calcular kT k.
98. (a) Sea H un espacio de Hilbert y Φ ∈ H 0 . Probar que existe a ∈ H con kak ≤ 1 y tal
que kΦk = |Φ(a)|.
(b) Demostrar que para cada elemento a = {an }∞
n=1 ∈ c0 , la serie numérica
∞
X
an
n
n=1 2
es absolutamente convergente. Se define la aplicación T : c0 → K, por
T (a) =
∞
X
an
.
n
n=1 2
Probar que T es lineal y continua. Determinar kT k. ¿Existe algún elemento a ∈ c0
con kak ≤ 1 y tal que kT k = |T (a)|?
99. Sea H un espacio de Hilbert y T : H → H lineal, tal que
hT (x), yi = hx, T (y)i
para cada par de elementos x, y ∈ H. Demostrar que T es continua.
100. Sea {ei }i∈I un sistema ortonormal de un espacio de Hilbert H. Si β > 0 y x ∈ H, probar
que
Card {i ∈ I : |hx, ei i| > β} ≤ β −2 kxk2 .
21
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
101. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado de H, P la proyección
ortogonal de H sobre M y x ∈ H.
(a) Probar que x ∈ M si, y sólo si, kP xk = kxk.
(b) Demostrar las igualdades
hP x, xi = hx, P xi = kP xk2 .
Sean M1 y M2 dos subespacios vectoriales cerrados de H. Se denotan por P1 y P2 las
proyecciones ortogonales de H sobre M1 y M2 respectivamente. Demostrar la equivalencia
de los siguientes enunciados:
(i) hP1 x, xi ≤ hP2 x, xi, para cada x ∈ H.
(ii) kP1 xk ≤ kP2 xk, para cada x ∈ H.
(iii) M1 ⊆ M2 .
(iv) P2 P1 = P1 .
(v) M2⊥ ⊆ M1⊥ .
(vi) P1 P2 = P1 .
2
102. Sea M un subespacio vectorial cerrado de L ([0, 1], K) tal que M ⊆ C([0, 1], K).
(a) Demostrar que existe una constante L > 0, tal que para cada f ∈ M se tiene
kf k∞ ≤ Lkf k2 .
2
(b) Probar que para cada t ∈ [0, 1], existe ht ∈ L ([0, 1], K) tal que
(i) kht k2 ≤ L.
(ii) Para cada f ∈ M se verifica
f (t) =
Z 1
0
f (s)ht (s) ds.
(c) Decucir que M es de dimensión finita.
103. Sean H un espacio de Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado de H. Sean A y
B bases hilbertianas de M y M ⊥ respectivamente. Demostrar que A ∪ B es una base
hilbertiana de H.
2
2
104. Sea Ln el subespacio de ` = ` (K) definido por:
2
Ln = {x = {xn }∞
n=1 ∈ ` :
n
X
xk = 0}.
k=1
Si a = (1, 0, 0, . . .), determinar d(a, Ln ). La sucesión {d(a, Ln )}∞
n=1 , ¿es convergente?
22
∞
105. Sean H un espacio de Hilbert, {en }∞
n=1 un sistema ortonormal completo de H y {λn }n=1
una sucesión de elementos de K. Se supone que para cada x ∈ H, la serie
∞
X
λn hx, en i
n=1
converge. Demostrar que existe un único elemento y ∈ H, tal que, para cada n ∈ N, se
verifica:
hy, en i = λn .
23
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
106. Sean x1 , x2 , . . . , xn n vectores de un espacio de Hilbert H. Se define el determinante de
Gramm por:
hx1 , x1 i hx1 , x2 i . . . hx1 , xn i
hx2 , x1 i hx2 , x2 i . . . hx2 , xn i
G(x1 , x2 , . . . , xn ) =
...............................
hxn , x1 i hxn , x2 i . . . hxn , xn i
(a) Probar que G(x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0.
(b) Supongamos que los vectores x1 , x2 , . . . , xn son linealmente independientes. Sean M
es el subespacio vectorial generado por {x1 , x2 , . . . , xn } y P la proyeción de H sobre
M . Demostrar que si x ∈ H se tiene
P (x) =
n
X
Gk (x1 , x2 , . . . , xn )
xk ,
k=1 G(x1 , x2 , . . . , xn )
donde Gk (x1 , x2 , . . . , xn ) es el determinante obtenido al sustituir en G(x1 , x2 , . . . , xn )
la columna k-ésima por el vector columna (hx1 , xi, hx2 , xi, . . . , hxn , xi)t .
(c) Con las mismas hipótesis del apartado anterior, demostrar que si x ∈ H,
d(x, M ) =
107. Calcúlese
min
a,b,c
Z 1
v
u
u G(x, x1 , x2 , . . . , xn )
t
·
G(x1 , x2 , . . . , xn )
|x3 − a − bx − cx2 |2 dx.
−1
108. Hállese
max |
Z 1
x3 g(x) dx|,
−1
donde g está sujeta a las condiciones
Z 1
−1
g(x) dx =
Z 1
−1
xg(x) dx =
Z 1
−1
2
x g(x) dx = 0;
Z 1
|g(x)|2 dx = 1.
−1
Indicación: Aplı́quese el resultado del problema 92 al ejercicio anterior.
24
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
Problemas
109. Sea el conjunto
c0 (Z, K) = {a = {an }n∈Z : an ∈ K y lim an = lim a−n = 0}.
n→∞
n→∞
(a) Demostrar que c0 (Z, K) dotado de la norma kak∞ = sup{|an | : n ∈ Z}, es un espacio
de Banach.
1
(b) Sea T : L ([−π, π], C) → c0 (Z, C) dada por T (f ) = {fˆ(n)}n∈Z , es lineal, continua,
inyectiva y no suprayectiva.
110. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo y T : E → F lineal continua.
P
P
Demostrar que si
an converge en E, entonces
T an converge en F . Además
n∈Z
n∈Z
T(
X
an ) =
n∈Z
2
X
T an .
n∈Z
Sea {hn }n∈Z con hn ∈ L ([−π, π], K) tal que
si p ∈ Z se verifica:
X
P
n∈Z
2
hn = h en L ([−π, π], K). Demostrar que
ĥn (p) = ĥ(p).
n∈Z
111. Se considera el conjunto PK de las funciones P : R → K del tipo
P (t) = a0 +
n
X
ak cos (kt) +
k=1
n
X
bk sen (kt)
k=1
donde n ∈ N y a0 , a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ K.
(a) Demostrar que PK es un subespacio vectorial de CP ([−π, π], K).
(b) Demostrar que PK es denso en CP ([−π, π], K), cuando en CP ([−π, π], K) se considera
la norma del superior.
p
(c) Si 1 ≤ p < ∞, probar que PK es denso en L ([−π, π], K)
Se considera el conjunto de funciones de R en K
(
B=
1
√
2π
)
(
∪
)
cos (nt)
√
:n∈N ∪
π
(
)
sen (nt)
√
:n∈N .
π
2
(d) Demostrar que B es un sistema ortonormal maximal del espacio L ([−π, π], K)
1
Si f ∈ L ([−π, π], K), se consideran los elementos de K siguientes
an (f ) =
1Zπ
f (t) cos (nt) dt,
π −π
25
n = 0, 1, . . .
y
bn (f ) =
1Zπ
f (t) sen (nt) dt,
π −π
n = 1, 2, . . .
La serie funcional
∞
a0 (f ) X
+
[an (f ) cos (nt) + bn (f ) sen (nt)],
2
n=1
recibe el nombre de serie de Fourier de f en el sistema B. Los elementos del conjunto
{a0 (f ), a1 (f ), a2 (f ), . . . , b1 (f ), b2 (f ), . . .}
se llaman los coeficientes de Fourier de f en el sistema B.
2
Sea f ∈ L ([−π, π], K)
(e) Demostrar que la serie de Fourier de f en el sistema B converge hacia f en el espacio
2
de Hilbert L ([−π, π], K).
(f) Demostrar que
∞
1
|a0 (f )|2 X
kf k22 =
+
(|an (f )|2 + |bn (f )|2 ).
π
2
n=1
112. Sea [a, b] un intervalo compacto de la recta real. Determinar un sistema ortonormal
2
maximal de L ([a, b], K).
2
113. Para cada f ∈ L ([−π, π], C) se define f ∗ : [−π, π] → C por:
f ∗ (x) =
Z π
cos (x − t)f (t) dt.
−π
(a) Probar que f ∗ es continua.
2
(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L ([−π, π], C), kf k2 ≤ 1}, es relativamente
compacto en C([−π, π], C) provisto de la norma del supremo.
2
2
(c) Se define T : L ([−π, π], C) → L ([−π, π], C) por T (f ) = f ∗ . Probar que T es lineal
y continua.
(d) Para cada n ∈ Z se define
1
en (t) = √ eint , t ∈ R.
2π
Calcular T (en ).
2
(e) Si f ∈ L ([−π, π], C) determinar la serie de Fourier de T (f ).
114. Se designa por Dn el núcleo de Dirichlet. Probar que para cada t ∈ [−π, π], t 6= 0, se
tiene la igualdad
Dn (t) = cos (nt) +
cos (t/2) 2
−
sen (t/2) t
!
sen (nt) +
2 sen (nt)
.
t
(a) Sea f una función continua en [−π, π] con f (0) = 0 y tal que la función t−1 f (t) está
1
en L ([−π, π]). Demostrar que la serie de Fourier de f converge puntualmente en
t = 0 hacia f (0) = 0.
(b) Sea f una función continua en [−π, π] tal que
(i) f (−π) = f (π).
(ii) Existe α con 0 < α ≤ 1 tal que f ∈ Lip(α) en el intervalo [−π, π].
Probar que para cada x ∈ [−π, π] la serie de Fourier de f converge puntualmente
hacia f (x).
26
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio normado.
(a) Si A es relativamente compacto, entonces A + B = A + B.
(b) Si A y B son relativamente compactos, probar que A+B es relativamente compacto.
(c) Si A y B son compactos, probar que A + B es compacto.
2. Sean E un espacio normado sobre K y a1 , a2 , . . . , an , n vectores de E.
(a) Probar que existe una constante M > 0, tal que
kλ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λn an k ≤
v
u n
uX
M t |λk |2 ,
k=1
para cada (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn .
(b) Si los vectores a1 , a2 , . . . , an son linealmente independientes, demostrar que existe
una constante L > 0, tal que para cada (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn , se tiene:
v
u n
uX
Lt |λk |2
≤ kλ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λn an k.
k=1
3. Sea {αn }∞
n=1 una sucesión de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesiones
x = {xn }∞
n=1 de elementos de K, tales que
sup{|αn xn | : n ∈ N} < ∞.
Para cada elemento x = {xn }∞
n=1 ∈ E, se define
kxk = sup{|αn xn | : n ∈ N}
(a) Demostrar que la aplicación x → kxk de E en R es una norma si, y sólo si, αn 6= 0,
para cada n ∈ N.
En lo que sigue se supone que la aplicación anterior es una norma.
(b) Probar que el espacio normado (E, k k) es de Banach y no separable.
∞
∞
(c) ` (K) ⊆ E si, y sólo si, {αn }∞
n=1 ∈ ` (K).
∞
∞
(d) Si ` (K) ⊆ E, probar que la inyección canónica I: (` (K), k k∞ ) → (E, k k), es lineal
y continua. Determinar su norma.
∞
(e) ` (K) = E si, y sólo si, existen constantes M > 0 y K > 0, tales que
K ≤ |αn | ≤ M,
27
para cada n ∈ N.
4. Sean K una aplicación continua de [0, 1] × [0, 1] en R y L una aplicación continua de
[0, 1] × R en R. Para cada f ∈ C([0, 1], R), se define la aplicación f ∗ por
f ∗ (x) =
Z 1
K(x, t)L(t, f (t)) dt,
x ∈ [0, 1].
0
(a) Probar que f ∗ es continua en [0,1].
(b) Demostrar que el conjunto
{f ∗ : f ∈ C([0, 1], R), kf k∞ ≤ 1},
es relativamente compacto en (C([0, 1], R), k k∞ )
5. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes
en R, normado por
kP k = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1},
P ∈ P.
Si a ∈ R, se considera la aplicación Ta de P en R, definida por
Ta (P ) = P (a).
(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular kTa k.
(b) Si a ∈
/ [0, 1], probar que Ta no es continua.
28
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sean x0 , x1 , . . . , xn , n + 1 elementos de un espacio normado E. Se supone que para cada
ϕ ∈ E 0 se verifica
|ϕ(x0 )| ≤
n
X
|ϕ(xk )|.
k=0
Demostrar que x0 pertenece al subespacio generado por los vectores x1 , x2 , . . . , xn .
2. Sean E y F espacios normados sobre el cuerpo K con E Banach y sea {Ti }i∈I una familia
de aplicaciones lineales y continuas de E en F . Se supone que existe un abierto no vacı́o
V de E, tal que para cada x ∈ V se verifica
sup{kTi (x)k : i ∈ I} < ∞.
Demostrar que existe M > 0, tal que para cada i ∈ I se tiene kTi k ≤ M.
3. Sean (H, k k) un espacio de Hilbert sobre K, {en }∞
n=1 una base hilbertiana de H y α =
2
∞
{αn }n=1 ∈ ` (K) con αn =
6 0 para n = 1, 2, . . ..
(a) Demostrar que para cada x ∈ H, la serie
∞
X
αn hx, en i
n=1
converge absolutamente.
(b) Probar que la igualdad
kxkα =
∞
X
|αn hx, en i|, x ∈ H,
n=1
define una norma en H.
(c) Demostrar que la sucesión {en }∞
n=1 converge en el espacio normado (H, k kα ). La
∞
sucesión {en }n=1 , ¿converge en el espacio de Hilbert (H, k k)?
(d) Demostrar que la identidad I: (H, k k) → (H, k kα ) es continua. ¿Es continua la
identidad I: (H, k kα ) → (H, k k)?
(e) Probar que (H, k kα ) no es un espacio de Banach.
2
(f) Sea β = {βn }∞
n=1 una nueva sucesión de elementos de ` (K) con βn 6= 0 para n =
1, 2, . . .. Demostrar que la identidad I: (H, k kβ ) → (H, k kα ) es continua si, y sólo si,
existe M > 0, tal que
|αn | ≤ M |βn |, para cada n ∈ N.
29
4. Un espacio normado (E, k k) sobre K se dice que es un espacio de Banach de sucesiones
si:
(i) (E, k k) es un espacio de Banach.
(ii) E es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las sucesiones de elementos de
K.
(iii) Para cada número natural m, la aplicación πm : (E, k k) → K, definida por
πm ({an }∞
n=1 ) = am
es continua.
Sean (E, k k) y (F, k k∗ ) dos espacios de Banach de sucesiones sobre el mismo cuerpo
∞
K y {bn }∞
n=1 una sucesión de elementos de K. Se supone que para cada {an }n=1 ∈ E,
∗
la sucesión {bn an }∞
n=1 pertenece a F . Probar que la aplicación T : (E, k k) → (F, k k ),
definida por
∞
T ({an }∞
n=1 ) = {bn an }n=1
es continua.
5. Sea M un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert H. Se designa por P la
proyección ortogonal de H sobre M y por Q la proyección ortogonal de H sobre M ⊥ . Sea
T una aplicación lineal de H en H.
(a) Probar que son equivalentes los enunciados siguientes:
(i) T (M ) ⊆ M y T (M ⊥ ) ⊆ M ⊥ .
(ii) P T = T P .
(iii) QT=TQ.
Se supone que T verifica la siguiente propiedad:
hT x, yi = hx, T yi para cada par de elementos x, y ∈ H.
Demostrar la equivalencia de los enunciados siguientes:
(I) T (M ) ⊆ M .
(II) T (M ⊥ ) ⊆ M ⊥ .
30
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
2
1. Sea g: [−π, π] → C continua. Probar que para cada f ∈ L ([−π, π], C) se tiene que
2
2
2
gf ∈ L ([−π, π], C). Sea M la aplicación de L ([−π, π], C) en L ([−π, π], C) definida por
M (f ) = gf .
(a) Probar que M es lineal y continua.
(b) Para cada p ∈ Z, se considera la función ep : R → C definida por
ep (t) = eipt .
Si p, n ∈ Z, determinar Md
(ep )(n).
2
(c) Si f ∈ L ([−π, π], C) y n ∈ Z, determinar Md
(f )(n) en función de los coeficientes de
Fourier de f y de g.
2. Sean H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita, {en }∞
n=1 una base hilber∞
tiana de elementos de H y {an }n=1 una sucesión ortogonal de elementos de H. Probar
que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) Existe T : H → H lineal continua con T (en ) = an , n ∈ N.
(b) La sucesión {an }∞
n=1 es acotada en H.
(c) Para cada y ∈ H, la sucesión {han , yi}∞
n=1 es acotada en K.
Si la sucesión {an }∞
n=1 está acotada en H, probar que existe una única aplicación lineal y
continua T : H → H con T (en ) = an , n ∈ N. Determinar kT k.
3. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H cerrado y P la proyección
ortogonal de H sobre M . Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:
(a) La dimensión algebraica de M es finita.
(b) P ({x ∈ H : kxk ≤ 1}) es un compacto de H.
2
4. Sea A el conjunto de las funciones f ∈ L ([−π, π], C) tales que existe n = n(f ) ∈ N con
fˆ(m) = 0, para cada m ∈ Z con |m| > n. Probar que A es un conjunto de primera
2
categorı́a en L ([−π, π], C).
2
5. Sea M el subespacio vectorial de L ([0, 1], R) generado por las funciones 1, t y t2 . Si
g(t) = sen πt en [0,1], calcular d(g, M ).
31
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES
1. Sea {xn }∞
n=1 una sucesión de elementos de un espacio de Hilbert H tal que, para cada
2
y ∈ H, la sucesión numérica {hxn , yi}∞
n=1 pertenece a ` (K). Probar que la aplicación T
2
de H en ` (K) definida por
T (y) = {hxn , yi}∞
n=1
es continua.
2. Sean E un espacio normado y T una aplicación lineal de E en E.
(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes.
(i) T es continua y dim T (E ) = 1.
(ii) Existen ϕ ∈ E 0 no nulo y a ∈ E, a 6= 0, tales que
T (x) = ϕ(x)a
para cada x ∈ E.
(b) Sean H un espacio de Hilbert y a, b ∈ H. Se considera la aplicación Tab de H en H
definida por
Tab (x) = hx, aib.
(iii) Probar que Tab es lineal continua y calcular kTab k
(iv) Demostrar que Tab 6= 0 si, y sólo si, a 6= 0 y b 6= 0.
(v) Si T es una aplicación lineal y continua de H en H tal que dim T (H) = 1, probar
que existen elementos a, b ∈ H con a 6= 0 y b 6= 0, tales que
T (x) = hx, aib
para cada x ∈ H.
3. Dar un ejemplo de un subespacio vectorial A de C([0, 1], R) que verifique las siguientes
propiedades:
(a) A es un conjunto de primera categorı́a en (C([0, 1], R), k k∞ ).
(b) A es un conjunto denso en (C([0, 1], R), k k∞ ).
4. Sea n un número natural. Se designa por Pn al espacio vectorial de los polinomios en una
variable con coeficientes reales y de grado menor o igual que n.
(a) Demostrar que el conjunto
Mn = {P ∈ Pn :
Z 1
P (t) dt = 0}
0
2
es un subespacio vectorial cerrado de L ([0, 1], R). ¿ Cual es su dimensión?
(b) Si g(t) = t3 , t ∈ [0, 1], determinar el único polinomio P ∈ M2 tal que
kg − P k2 ≤ kg − Qk2
para cada Q ∈ P2 .
32