Hoja 2: Probabilidad

Probabilidad
1º) Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones obtenidas. Describe el espacio muestral.
2º) Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones obtenidas y hallamos el resto de dividir
por cinco dicha suma. Describe el espacio muestral.
3º) Halla la probabilidad de obtener suma 7 en el caso del experimento del ejercicio 1.
4º) Halla la probabilidad de obtener resto 3 en el caso del experimento del ejercicio 2.
5º) Lanzamos tres monedas al aire. Se pìde la probabilidad de obtener:
a) exactamente dos caras.
b) al menos dos caras.
c) al menos una cara.
6º) Dos alumnas escriben por separado dos vocales. Halla la probabilidad de que escriban la
misma vocal.
7º) En la siguiente tabla se presenta el número de hijos de un grupo de 100 parejas:
Nº de parejas 15 40 23 10 7 4 1
Nº de hijos
0
1
2
3
4 5 7
a) Se elige una pareja al azar. Halla la probabilidad de que tenga menos de dos hijos.
b) Se selecciona al azar una pareja de entre las que tienen al menos un hijo. ¿Cuál es la
probabilidad de que tenga más de tres hijos?
8º) Una urna contiene 4 bolas rojas y 6 negras. Se extraen al azar, sin reemplazamiento, dos
bolas de la urna. Halla la probabilidad de que:
a) Las dos sean rojas.
b) Las dos sean negras.
c) Una bola sea roja y la otra negra.
Repite el ejercicio si las bolas se extraen de una en una con reemplazamiento.
9º) Calcula la probabilidad de que al colocar al azar las letras de la palabra AURELIO , las cinco
vocales estén juntas.
10º) En un autobús viajan 32 personas. De ellas, van a trabajar 18 y, de ellas, 10 son hombres.
De las que no van a trabajar, 5 personas son mujeres. Si se elige una persona al azar y resulta
ser hombre, calcula la probabilidad de que no vaya a trabajar.
11º) Calcula la probabilidad de que al sacar una carta de una baraja española, resulte un rey o
una espada.
12º) Sean
Calcula
y
dos sucesos tales que
.
13º) Sean A y B dos sucesos, de un experimento aleatorio, tales que la probabilidad de que no
ocurra B es 0,6. Si el suceso B ocurre, entonces la probabilidad de que el suceso A ocurra es de
0,4 y si el suceso A ocurre, la probabilidad de que el suceso B ocurra es 0,25. Calcúlense:
a)
b)
)
c)
d)
14º) De los sucesos A y B se sabe que
;
a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos.
Halla:
1
b) La probabilidad de que no ocurra B.
c) La probabilidad de que no se verifique ni ni .
d) La probabilidad de que ocurra si se ha verificado
15º) Dados dos sucesos aleatorios A y B se sabe que
a) Razona si los sucesos y son independientes.
b) Calcula
.
y
16º) Un alumno solo estudia la cuarta parte de sus exámenes. Si el alumno estudia, puede
aprobar con una probabilidad de 0,9 y, si no estudia, la probabilidad de que apruebe es de 0,2.
Calcula la probabilidad de que este alumno apruebe un examen.
17º) En una ciudad el 55% de la población en edad laboral son hombres; de ellos, un 12% está
en el paro. Entre las mujeres, el porcentaje de paro es del 23%. Si en esta ciudad se elige al azar
una persona en edad laboral, ¿cuál es la probabilidad de que esté en el paro?
18º) En una clase el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos
deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que,
escogido un alumno al azar de la clase :
a) juegue solo al fútbol.
b) juegue solo al baloncesto.
c) practique uno solo de los deportes.
19º) En una casa hay tres llaveros, el primero con 3 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8
llaves, de las cuales solo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un
llavero y de él una llave:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave del trastero?
b) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer
llavero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no
abra?
20º) A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40
inglés. Se eligen dos congresistas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no se entiendan sin
intérprete?
21º) En un cierto país donde la enfermedad VIRIS es endémica, se sabe que un 12% de la
población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad,
pero no es totalmente fiable ya que da positiva en el 90% de los casos de personas realmente
enfermas y en el 5% de personas sanas.
a) Calcula la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positivo.
b) Calcula la probabilidad de que, elegida al azar una persona del país, la prueba de positiva.
22º) La composición de la urna
es de 4 bolas negras y 3 blancas y la de la urna
de 3 bolas
negras y 5 blancas. Se elige una urna al azar y, de ella, se extraen dos bolas. Halla la
probabilidad de que las dos bolas sean negras.
23º) Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como
deportistas o no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el 55% de los
trabajadores se clasificaron como deportistas o lectores, el 40% como deportistas y el 30%
como lectores. Se elige un trabajador al azar:
a) Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no sea lector.
b) Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea
deportista.
Selectividad: Madrid Junio 2013 Opción A
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24º) Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un 5% de los clientes atendidos
por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8% de los atendidos por el sastre B ni el 10% de
los atendidos por el sastre C. El 55% de los arreglos se encargan al sastre A, el 30% al B y el
15% restante al C. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Un cliente no quede satisfecho con el arreglo.
b) Si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre A.
Selectividad: Madrid Junio 2013 Opción B
25º) Una caja de caramelos contiene 7 caramelos de menta y 10 de fresa. Se extrae al azar un
caramelo y se sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo.
Hállese la probabilidad de que:
a) El segundo caramelo sea de fresa.
b) El segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero.
26º) En un tribunal de la prueba de acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado se
han examinado 80 alumnos del colegio A, 70 alumnos del colegio B y 50 alumnos del colegio C.
La prueba ha sido superada por el 80% de los alumnos del colegio A, el 90% de los del colegio B
y por el 82% de los del colegio C.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya superado la prueba?. [S: 0,858]
b) Un alumno elegido al azar no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que
pertenezca al colegio B?
Selectividad: Madrid Junio 2012 Opción A
27º) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:
Calcúlense:
a)
b)
c)
d)
Nota: denota el suceso complementario del suceso
condicionada al suceso .
.
denota la probabilidad del suceso
28º) Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola
negra y las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y
secuencialmente una caja no seleccionada previamente hasta obtener una que contenga una
bola. Si la bola de la caja seleccionada es blanca, el jugador gana; si es negra, el jugador pierde.
a) Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane.
b) Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sola
caja?
Selectividad: Madrid Septiembre 2012 Opción A
29º) Se consideran dos sucesos
y
tales que:
Calcúlese razonadamente:
a)
b)
c)
d)
Selectividad: Madrid Septiembre 2012 Opción B
30º) En un edificio inteligente dotado de energía solar y eólica, se sabe que la energía
suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,4, de molinos eólicos con
probabilidad 0,26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0,12. Elegido un día al
azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:
a) por alguna de las dos instalaciones.
b) solamente por alguna de las dos.
Selectividad: Madrid Junio 2011 Opción A
3
31º) Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y
cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se
elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza.
a) Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.
b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga
cara y cruz?
Selectividad: Madrid Junio 2010 Opción A Fase General
32º) Sean y dos sucesos de un experimento aleatorio tales que
y
.
a) Si
y
son mutuamente excluyentes, determínese
. ¿Son además
y
independientes?. Razónese.
b) Si y son independientes, calcúlese
. ¿Son A y B además mutuamente excluyentes?.
Razónese.
c) Si
, calcúlese
). ¿Son A y B mutuamente excluyentes?. ¿ Son A y B
independientes?. Razónese.
d) Si
, calcúlese
. ¿Son A y B independientes? Razónese.
Selectividad: Madrid Junio 2010 Opción B Fase General
33º) Se consideran los siguientes sucesos:
Suceso
La economía de un cierto país está en recesión.
Suceso
Un indicador económico muestro que la economía de dicho país está en recesión.
Se sabe que
;
; p(
a) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país
no está en recesión y además la economía del país esté en recesión.
b) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país
está en recesión.
Selectividad: Madrid Septiembre 2010 Opción B Fase General
34º) Se consideran tres sucesos
a) Calcúlese
b) Calcúlese
de un experimento aleatorio tales que:
.
.
Selectividad: Madrid Junio 2009 Opción A
Resolución
a)
b)
35º) En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se
destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos
concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los créditos concedidos a empresas son
impagados el 20% y de los créditos concedidos para consumo resultan impagados el 10%.
a) Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo,
sabiendo que se ha pagado?
Selectividad: Madrid Septiembre 2009 Opción A
36º) La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid le
guste la música moderna es igual a 0,55; la probabilidad de que le guste la música clásica es
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igual a 0,40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual a 0,25. Se elige al
azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste:
a) al menos uno de los dos tipos de música.
b) la música clásica y también la música moderna.
c) sólo la música clásica.
d) sólo la música moderna.
Selectividad: Madrid Septiembre 2009 Opción B
37º) Se consideran dos actividades de ocio: A =”ver televisión” y B =”visitar centros
comerciales”. En una ciudad, la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0,46; la
probabilidad de que practique B es igual a 0,33 y la probabilidad de que practique A y B es igual
a 0,15.
a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que no practique
ninguna de las dos actividades anteriores?
b) Se elige al azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿Cuál
es la probabilidad de que practique las dos actividades?
Selectividad: Madrid Septiembre 2008 Opción A
38º) Se supone que las señales que emite un determinado telégrafo son punto y raya y que el
telégrafo envía un punto con probabilidad y una raya con probabilidad . Los errores en la
transmisión pueden hacer que cuando se envíe un punto se reciba una raya con probabilidad
y que cuando se envíe una raya se reciba un punto con probabilidad .
a) Si se recibe una raya, ¿cuál es la probabilidad de que se hubiera enviado realmente una
raya?.
b) Suponiendo que las señales se envían con independencia, ¿cuál es la probabilidad de que si
se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya?.
Selectividad: Madrid Septiembre 2008 Opción B
39º) Se consideran dos sucesos
y
de un experimento aleatorio tales que:
a) ¿Son y sucesos independientes? Razónese.
b) Calcúlese
.
Selectividad: Madrid Junio 2008 Opción B
40º) Sean
y
dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:
Calcular:
Selectividad: Madrid Septiembre 2007 Opción B
41º) Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con
independencia. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes:
a) Obtener al menos un seis en el total de los seis lanzamientos.
b) Obtener un seis en el primer y último lanzamientos y en los restantes lanzamientos un
número distinto de seis.
Selectividad: Madrid Junio 2010 Opción B Fase Específica
42º) En una residencia universitaria viven 183 estudiantes, de los cuales 130 utilizan la
biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandería, mientras que sólo 20 de
los que no usan la biblioteca utilizan la lavandería. Se elige un estudiante de la residencia al
azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería?
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b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la
biblioteca?
Selectividad: Madrid Septiembre 2010 Opción A Fase Específica
Resolución
Consideramos los sucesos siguientes:
y su contrario
cuales conocemos sus probabilidades:
Sea
el suceso
y
, que forman un sistema completo de sucesos de los
;
del que son conocidas las probabilidades condicionadas
a) Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos:
b) Nos piden
y se trata de aplicar el teorema de Bayes:
43º) En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de
seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien
exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.
a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane.
b) Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al
lanzar las monedas?
Selectividad: Madrid Junio 2008 Opción A
44º) Sean
y
;
Calcúlense:
dos sucesos de un espacio muestral tales que:
;
.
b)
Selectividad: Madrid Junio 2014 Opción B
45º) Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas y . La urna contiene 3 bolas
rojas y 2 negras; la urna contiene 2 rojas y 3 negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido
es 1 ó 2 extraemos una bola de la urna ; en caso contrario extraemos una bola de la urna .
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?
b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna ?
Selectividad: Madrid Junio 2014 Opción B
Resolución
Consideramos los sucesos siguientes:
y
sucesos de los cuales conocemos sus probabilidades:
Sea el suceso
condicionadas
, que forman un sistema completo de
;
del que son conocidas las probabilidades
y
a) Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos:
b) Nos piden
y se trata de aplicar el teorema de Bayes:
6
46º) En la representación de navidad de los 30 alumnos de primaria de un colegio hay tres
tipos de papeles: 7 son de animales, 3 de personas y 12 de árboles. Los papeles se asignan al
azar, los alumnos escogen por orden alfabético sobres cerrados en los que está escrito el papel
que les ha correspondido.
a) Calcúlese la probabilidad de que a los dos primeros alumnos les toque el mismo tipo de
papel.
b) Calcúlese la probabilidad de que el primer papel de persona le toque al tercer alumno de la
lista.
Selectividad: Madrid Septiembre 2014 Opción A
Solución
47º) Al 80% de los trabajadores en educación (E) que se jubilan, sus compañeros les hacen una
fiesta de despedida (FD), también al 60% de los trabajadores de justicia (J) y al 30% de los de
sanidad (S). En el último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que
en sanidad, y el doble en educación que en justicia.
a) Calcúlese la probabilidad de que a un trabajador de estos sectores, que se jubile, le hicieran
una fiesta.
b) Sabemos que a un trabajador jubilado elegido al azar de entre estos sectores, no le hicieron
fiesta. Calcúlese la probabilidad de que fuera de sanidad.
Solución
a)
b)
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