Demonio de Maxwell: Una Simulación y la

Demonio de Maxwell:
Una Simulación y la Implementación de la Segunda Ley
Daniel Asenjo A.*
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Fı́sica
(Dated: Diciembre 2004)
Simulación de un Demonio de Maxwell mediante dos programas (uno en tres dimensiones y otro en
dos con interfaz gráfica) desarrollados en C++. Se inicializa un cierto número de partı́culas gaseosas
de masas iguales en una caja separada en dos subvolúmenes del mismo tamaño. Las velocidades
iniciales se eligen aleatoriamente. El demonio de Maxwell ordena las partı́culas según sus velocidades,
dejando pasar a un lado las rápidas y al otro las lentas. Esto produce una baja de entropı́a y una
diferencia de temperatura entre los subvolúmenes. Esta baja de entropı́a se compensa con un alza
de entropı́a en el demonio, conservando la validez de la Segunda Ley de la Termodinámica.
I.
INTRODUCCIÓN
El Demonio de Maxwell apareció por primera vez en
el año 1871 en [9] en la sección Limitación de la Segunda
Ley de la Termodinámica. Aquı́ Maxwell dice:
“Uno de los hechos más relevantes de la termodinámica es que no se puede producir una
diferencia de temperatura y/o presión en un
sistema adiabático a volumen constante sin
ejercer trabajo sobre el sistema. Esta es la segunda ley de la termodinámica y se cumple
mientras tratamos sólo con las propiedades
macroscópicas de los cuerpos y no podemos
percibir o manipular las moléculas que los
componen. Si concebimos un ser cuyos sentidos son tan agudos que puede seguir la trayectoria de cada molécula, entonces este ser,
cuyos atributos son tan finitos como los nuestros, podrı́a hacer lo que es imposible para
nosotros. Hemos visto que para una caja llena
de gas a temperatura constante las velocidades de las moléculas no son constantes aunque
la velocidad media se mantiene constane para
un número grande de ellas. Supongamos ahora que la caja se divide en dos con un pequeño
agujero en la división y que un ser que ve las
moléculas abre y cierra el agujero dejando pasar las moléculas rápidas para un lado y las
lentas para el otro. Ası́ crea una diferencia
de temperatura entre los dos lados sin hacer
trabajo, contradiciendo la segunda ley de la
termodinámica. ”
Con este experimento pensado, Maxwell querı́a enfatizar
el carácter estadı́stico de la segunda ley. Ahora se sabe
que la entropı́a tiene una estrecha relación con la información y la capacidad de retener y borrar tal información.
Como el demonio debe por lo menos conocer las velocidades y trayectorias de las partı́culas en cada instante,
* Correo
electrónico: [email protected]
podemos suponer que posee algún tipo de memoria y que
debe borrarla cada cierto tiempo para poder almacenar
nuevas trayectorias y velocidades. Este proceso produce cambios en la entropı́a del sistema (sistema = gas +
demonio). Veremos que de esta manera podemos justificar el cambio de temperatura y/o presión que produce el
demonio.
Simulamos el demonio en dos y tres dimensiones. En
dos dimensiones se implementa una representación gráfica en tiempo real. La simulación en tres dimensiones sirve para aproximarnos más a un gas real. Consideremos
un demonio de temperatura el cual ordena las partı́culas
según sus velocidades creando una diferencia de temperatura (el demonio de presión implementa una puerta que
se abre para un solo lado, creando una diferencia de presión). Notemos que disminuye la entropı́a sin cambiar la
energı́a del sistema.
Maxwell solamente querı́a resaltar el carácter estadı́stico de la segunda ley. No sabı́a que su demonio iba a ser
un pionero de la teorı́a de información.
II.
PROPIEDADES TERMODINÁMICAS
Es importante destacar que nuestro sistema es cerrado,
adiabático e impermeable. La temperatura la definimos
como
T =
1
2
mvrms
3kB
(1)
donde m = 1 es la masa de las partı́culas en nuestro
modelo y
2
vrms
=
N
1 X 2
v .
N i=1 i
Nos damos cuenta que la temperatura se determina conociendo la distribución de velocidades. Esto es importante
ya que el programa en dos dimensiones nos va mostrando
la distribución en cada instante. Ası́ podemos comprobar
el comportamiento del demonio para distintos casos.
2
(a)
(b)
(d)
Veamos un modelo de los estados de la memoria del
demonio presentado por Fahn en [4]. Supondremos que
el demonio tiene algún tipo de memoria que tiene tres
estados posibles: O, L y R. El estado O es un estado de
referencia que corresponde al estado inicial de la memoria. Los otros dos estados, L y R resultan de alguna tipo
de retención de información proveniente de la medición.
Veamos los estados de la memoria durante las mismas
cuatro etapas descritas anteriormente.
(a) Empezamos con la memoria en el estado O.
(c)
W
(b) Se mide en que lado se encuentra la partı́cula y esta
información se guarda. El estado de la memoria entonces será L o R según la posición de la partı́cula.
(c) La memoria sigue igual.
Q=W
Figura 1: Cuatro etapas del modelo de Szilard.
A.
Primera y Segunda Ley
Es importante ver el papel de la primera y la segunda
ley en nuestro demonio de temperatura. Como ya dijimos
nuestro sistema esta totalmente aislado. Por esta razón
la segunda ley nos dice que la entropı́a del demonio debe aumentar por lo menos lo que disminuye la entropı́a
del gas (mientras este lo “ordena”). Como no hay intercambio de energı́a de ningún tipo entre demonio y gas,
la primera ley dice que las energı́as internas del gas y
del demonio son fijas, por lo que la entropı́a del demonio
debe aumentar a energı́a constante.
B.
Modelo de Szilard
El model de Szilard consiste en un demonio y una sola
partı́cula de gas (Figura 1). Fue creado por Leo Szilard
en [10]. Es un ciclo con cuatro etapas.
(a) Dividir el compartimiento en dos partes iguales.
(d) Se borra la información guardada para completar
el ciclo. La memoria queda en O nuevamente.
Aqui vemos que en el paso (d) la memoria del demonio
es borrada para volverla a su estado inicial. Este proceso entrega entropı́a al ambiente. Este es el principio
de Landauer. Este paso es donde se compensa la baja de
entropı́a producida por el ordenamiento de las partı́culas.
C.
Principio de Landauer
En [6] Landauer relaciona el concepto de borrar algún
tipo de memoria con una entrega de entropı́a al ambiente.
Principio de Landauer: cuando borras un bit de información, la entropı́a del ambiente aumenta por lo menos en kB ln2.
III.
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO
El modelo que utilizamos para simular el movimiento
de las partı́culas se denomina esferas duras, para más
detalles ver Apéndice A . Para nuestro modelo haremos
las siguientes suposiciones:
(b) El demonio reconoce en que lado se encuentra la
partı́cula y guarda esta información.
Todas las paredes del sistema son totalmente restrictivas.
(c) En la division pone un pistón móvil y el resultado
del paso anterior es usado para acoplar una masa
al pistón y efectuar un trabajo W sobre ella.
Se consideran párticulas de gas ideal monocomponente como, por ejemplo, un gas noble (He, Ne, Ar)
a temperatura ambiente. No hay fuerzas de interacción entre las partı́culas.
(d) El pistón vuelve a su posición original gracias a la
presión del gas.
Todas las párticulas tienen igual masa y radio.
El gas recibe energı́a en forma de calor (Q = W ) de un reservorio, el cual entrega energı́a y disminuye su entropı́a.
Pareciera que hemos violado la segunda ley. Szilard se
dio cuenta de que las mediciones hechas por el demonio
están asociadas a un aumento en su entropı́a que debe
ser por lo menos ser suficiente para respaldar la segunda
ley. Esto serı́a el principio de la teorı́a de la información.
Partı́culas esféricas.
Choques entre dos partı́culas y pared-partı́cula.
Todos los choques son elásticos. Se conserva momentum lineal y energı́a cinética.
Todos los movimientos con roce despreciable.
3
35
Lado 1
Lado 2
30
25
20
15
10
5
Figura 2: Salida del programa con IGLU.
El demonio se implementó como una pequeña puerta que
se encuentra en el medio de la pared que separa los dos
lados de la caja. Las partı́culas con una velocidad mayor
que la velocidad media son consideradas como rápidas y
el resto como lentas.
Los dos programas fueron hechos en C++. Para el programa en dos dimensiones con interfaz gráfica utilizamos
la biblioteca gráfica IGLU. Para los dos programas se
usaron las siguientes herramientas:
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Figura 3: Distribucion de velocidades de 1000 partı́culas por
lado despues de 10000 choques.
20
Lado 1
Lado 2
18
16
14
12
Clase de vectores de tres dimensiones.
Clase de partı́culas.
10
8
6
Las velocidades se inicializan al azar y las posiciones
se eligen tal que las partı́culas queden equiespaciadas.
El programa con implementación en IGLU muestra, en
tiempo real, la simulación en una ventana y la distribución de velocidades de los dos lados en otras dos ventanas.
El programa en tres dimensiones guarda las velocidades
para luego graficarlas y ver su distribución. El algoritmo implementado en los dos programas es time-driven y
consta de los siguientes pasos (después de inicializarlas)
1. Determinar, partı́cula por partı́cula, si se producen
choques.
2. Para las partı́culas que chocan, modificar velocidades correspondientes.
3. Avanzar en un paso de tiempo y volver al primer
paso.
IV.
A.
RESULTADOS
Programa en dos Dimensiones con IGLU
Se ven las distribuciones de velocidades de los dos lados
de la caja en tiempo real. Se nota un cambio en las distribuciones aunque es lento cuando hay muchas partı́culas.
El programa ocupa muchos recursos del sistema por lo
que se aprecia bien con aproximadamente veinte partı́culas por lado.
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Figura 4: Distribucion de velocidades de 500 partı́culas por
lado despues de 10000 choques.
B.
Programa en tres dimensiones
Se marcó una diferencia entre la distribución de velocidades antes y después en algunos casos. Estos resultados
no fueron fáciles de obtener ya que pocas partı́culas chocan en el lugar adecuado. Las partı́culas se demoran mucho en pasar de un lado a otro. Como nuestro modelo es
un gas las partı́culas deberı́an estar muy lejos entre ellas.
Tomando condiciones más “reales” la simulación es lenta. Si tomamos 500 partı́culas por lado y 10000 choques
se demora aproximadamente 3 horas. Cuando tomamos
muy pocas partı́culas (o muchas en una caja muy pequeña) la distribución no se asemeja a una de MaxwellBoltzmann. Mostramos, en las Figuras 3 y 4 distribuciones de 500 y 1000 particulas por lado después de 10000
choques. Nos damos cuenta que con 1000 partı́culas por
lado y después de 100000 choques podemos notar que la
temperatura del lado dos subió con respecto al lado 1.
4
j
1
2
v2
k
v1
r12
ra esto usamos la conservación de momentum y energı́a.
En el momento del choque definimos ~r12 = ~r2 − ~r1 donde ~r1 corresponde al vector posición de la partı́cula 1.
Sólo las componentes de las velocidades paralelas a ~r12
son afectadas por un choque perfectamente elástico. Definimos también un plano tangente a las dos partı́culas
(perpendicular a ~r12 ) La Figura 5 muestra una representación bidimensional del choque. Definimos ejes ortogonales {r̂12 , ̂, k̂} tal que ̂ y k̂ están en el plano tangente.
Podemos escribir las velocidades anteriores al choque como
~vi = (~vi · r̂12 )r̂12 + (~vi · ̂)̂ + (~vi · k̂)k̂
(A1)
Figura 5: Representación bidimensional de un choque entre
dos partı́culas
las velocidades después del choque son
V.
CONCLUSIONES
En conclusion podemos decir que el demonio hace su
trabajo y ordena las partı́culas, creando una diferencia de
temperatura y bajando la entropı́a del sistema. El principio de Landauer sirve para justificar un alza de entropı́a
en el demonio aunque lo ideal serı́a desarrollar un modelo
para cuantizar la entropı́a y ver en detalle los distintos
cambios. La simulación es computacionalmente lenta y
se requiere de mucho tiempo para lograr una diferencia
importante de temperatura entre los dos lados de la caja.
Para mejorar esto es necesario implementar un algoritmo
que sea event-driven, es decir, que se rige por los eventos
(choques en este caso) que ocurren y no necesita calcular
las posiciones y velocidades en cada paso.
~vi0 = (~vi0 · r̂12 )r̂12 + (~vi0 · ̂)̂ + (~vi0 · k̂)k̂
(A2)
donde las componentes ̂ y k̂ de ~vi0 permanecen iguales y
las componentes en r̂12 son
~v10 · r̂12 = ~v2 · r̂12
~v20 · r̂12 = ~v1 · r̂12
(A3a)
(A3b)
reemplazando en (A2) nos queda
~v10 = ~v1 − [(~v1 − ~v2 ) · r̂12 ]r̂12
~v20 = ~v2 + [(~v1 − ~v2 ) · r̂12 ]r̂12
(A4a)
(A4b)
Apéndice A: ESFERAS DURAS
Si dos partı́culas chocan queremos determinar las velocidades nuevas de cada una después del choque. Pa-
[1] C. H. Bennett, Notes on Landauer’s Principle, Reversible Computation, and Maxwell’s Demon, (arXiv:physics/0210005 v2, January 10, 2003).
[2] H. B. Callen, Thermodynamics and an introduction to
Thermostatics, (John Wiley & Sons, New York, NY, second edition, 1985).
[3] M. T. Cerda and P. Maldonado, Dinámica Molecular:
Choque de Partı́culas, (2003).
[4] P. N. Fahn, Maxwell’s Demon and the Entropy Cost of
Information, (November 8, 1995).
[5] J. M. Haile, Molecular Dynamics Simulation: Elementary
Methods, (John Wiley & Sons, New York, NY, 1992).
[6] R. Landauer, Irreversibility and heat generation in the
computing process, (IBM J. Res. Dev. 5, 183-191, 1961).
[7] R. Landauer, Computation: A fundamental physical view,
(Phys. Scr. 35, 88-95, 1987).
Cuando una partı́cual choca con una pared, la componente perpendicular a la pared de la velocidad cambia de
signo y la componente paralela no cambia.
[8] H. S. Leff and A. F. Rex, Maxwell’s Demon 2: Entropy,
Classical and Quantum Information, Computing, (IOP
Publishing, second edition, 2003).
[9] J. C. Maxwell, Theory of Heat, (Longmans, Green, London, seventh edition, 1883).
[10] L. Szilard, On the decrease of entropy in a thermodynamic system by the intervention of intelligent beings, (Z.
Physik 53, 840-856, 1929).
[11] W. H. Zurek and P. A. Skordos, Maxwell’s Demon, rectifiers, and the second law: Computer simulation of Smoluchowski’s trapdoor, (Am. J. Phys. 60 (10), October 1992).
[12] W. H. Zurek, Algorithmic randomness, physical entropy,
measurements, and the demon of choice, (in “Feynman
and Computation: Exploring the Limits of Computers”,
393-410, Perseus, Reading, 1999).