Revista de Didáctica de las Matemáticas Noviembre de 2014

NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
Noviembre de 2014
Volumen 87
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Directora
Alicia Bruno (Universidad de La Laguna)
Comité editorial
Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda,
Josefa Perdomo e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan
Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.
Portada. Autor: Sofía Almeida Bruno. Título: Girando. “Tulip stairs Queen's house”.
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
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González (Secretario General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Carmen Dolores Ríos
González (Vicesecretaria), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Secretaria de actas), Luis Balbuena Castellano
(Bibliotecario). Coordinadores insulares: Ramón Galán González (Gran Canaria), Roberto Rodríguez Cruz
(La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 3-4
Índice
Artículos
Las demostraciones de los teoremas de continuidad en los libros de texto para
alumnos de 17-18 años correspondientes a las tres últimas leyes educativas
españolas
5
L. Conejo y T. Ortega
El sentido de la correlación y regresión
M. M. Gea, C. Batanero y R. Roa
Los problemas aritméticos en primaria: un estudio sobre las concepciones de
profesores bilingües
25
37
J. García-García
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
Comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos de profesores de
Matemáticas en formación inicial: Condiciones iniciales
59
69
S. Elizarrarás
La construcción del modelo situacional de un problema matemático: El análisis
basado en el Marco del Experimentador Inmerso
81
J. A. Juárez López, A. Mejía Saldaña, A. González Miguel y J. Slisko
Habilidades matemáticas referidas al concepto de Derivada
B. Williner
101
Secciones
Astronomía
Relojes solares sin trigonometría en ESO
J. F. Ruiz, A. Quesada
125
Juegos
Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
137
Problemas
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
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143
Índice (continuación)
Experiencias de aula
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
155
Leer Matemáticas
El enigma de Fermat. Tres siglos de desafío a la Matemática. Albert Violant
Reseña: Jorge García Melián
Informaciones
Normas para los autores
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175
177
179
NÚM E R OS
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Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 5-23
Las demostraciones de los teoremas de continuidad en los libros de texto
para alumnos de 17-18 años correspondientes a las tres últimas leyes
educativas españolas
Laura Conejo y Tomás Ortega
(Universidad de Valladolid. España)
Fecha de recepción: 21 de octubre de 2013
Fecha de aceptación: 5 de abril de 2014
Resumen
Se describe el análisis realizado sobre la evolución del tratamiento de la demostración
matemática en libros de textos desde la Ley General de Educación hasta la Ley Orgánica
de Educación. Concretamente, se presenta una síntesis sobre los procedimientos para
establecer los teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass en los textos de cuatro
editoriales. Se han elaborado categorías de análisis que responden a un marco de
integración de esquemas de prueba, funciones de la demostración, pruebas preformales y
tipos de demostración, y una metodología de investigación de textos históricos. El
artículo termina discutiendo el análisis realizado y las conclusiones de la investigación.
Palabras clave
Esquemas de prueba, pruebas preformales, demostración, libros de texto, teoremas de
continuidad, análisis matemático.
Abstract
In this paper we present the analysis of the mathematical proof in textbooks of the last
three Spanish Educations Laws and two last courses of Secondary Education. The article
presents a summary of the procedures for establishing the theorems of Bolzano, Darboux
and Weierstrass in four textbook publishers. We have developed some analysis
categories which integrate proof schemes, proof functions, preformal proofs and different
types of proofs, and a historical research methodology. Finally, we describe the analysis
and conclusions of the study.
Keywords
Proof Schemes, Preformal Proofs, Mathematical Proofs, Textbooks, Continuity
Theorems, Mathematical Analysis.
1. Introducción
La demostración matemática es considerada uno de los procedimientos más importantes de las
matemáticas, su motor de desarrollo. Su definición en el campo de las matemáticas es difícil, ya que
depende en gran medida de las épocas y de las personas. Si recurrimos a definiciones formales
podemos encontrar la descripción realizada por Bourbaki (1970), como teoría que comprende términos
y relaciones siguiendo unas determinadas reglas, o Bouvier y George (1984), que explicitan las
significaciones de la demostración formal del cálculo de predicados y de la demostración formal del
cálculo de proposiciones, tal y como describen Ibañes y Ortega (2005). Desde el punto de vista de la
Didáctica de la Matemática nos interesan las caracterizaciones realizadas por Van Dormolen (1977),
Bell (1979), Balacheff (1987), Van Asch (1993) o Mizayaki (2000), que establecen diferentes niveles
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de demostración. Aunque su fin primordial siempre se ha considerado como verificar la proposición
objeto de estudio, como investigadores en didáctica nos interesan más las funciones atribuidas por Bell
(1976) o De Villiers (1993): verificación, explicación, sistematización, descubrimiento, comunicación,
y tal y como defienden Ibañes y Ortega (2002a), creemos que el principal valor de la demostración es
el de su función de explicación, aunque no sea único, y que ésta puede ser sustituida por otro tipo de
pruebas.
Por otro lado, un elemento importante en los procesos de enseñanza-aprendizaje es el libro de
texto (LT). Entendemos como libro de texto (LT), manual escolar o libro escolar los libros que
utilizan los profesores y alumnos, a lo largo de un curso escolar, en el proceso de enseñanzaaprendizaje de un área de conocimiento (González, 2002). Se le atribuyen diferentes funciones:
simbólica, pedagógica, social, ideológica y política, y cómo defiende Schubring (1987), los libros de
texto, en la práctica, determinan la enseñanza de un país más que los decretos de los distintos
gobiernos, ya que considera que tienen mayor influencia en la práctica educativa que los currículos
educativos promulgados por las órdenes ministeriales. Además, su análisis nos proporciona
información acerca del conocimiento matemático que una sociedad considera pertinente en un
determinado momento histórico (González, 2002), ya que influyen en qué y cómo deben aprender los
alumnos (García-Rodeja, 1997).
A lo largo de los años, las investigaciones realizadas en torno a estos elementos han sido muy
numerosas, como por ejemplo, los trabajos desarrollados sobre la enseñanza y aprendizaje de la
demostración (Hanna, 1989, 1990; Hanna y Barbeau, 2010; Ibañes y Ortega, 1998, 2001, 2002a, 2004;
Dos Santos, 2010; González, 2012), sobre las funciones de la demostración (Bell, 1976; De Villiers,
1993; Ibañes y Ortega, 2001), sobre niveles de demostración (Balacheff, 1987; Van Asch, 1993; Harel
& Sowder, 1998) y sobre la demostración en el aula (Hanna, 1990; Ibañes y Ortega, 2001, 2002a,
2005; Dos Santos, 2010; González, 2012). En torno a los LT, entre otros, encontramos las
investigaciones realizadas por González (2002), Herdeiro (2010), López (2011) o Monterrubio y
Ortega (2012). Sin embargo, en España apenas hemos encontrado investigaciones en las que se
conjuguen ambos elementos, la demostración matemática y los libros de texto.
A raíz de los trabajos de Ibañes y Ortega (2001, 2002a,…) sobre los esquemas de prueba (EP)
de los alumnos, hemos decidido realizar un análisis de cómo aparece tratada la demostración en los
LT, y responder a los siguientes interrogantes que constituyen el objetivo general de la investigación:
¿qué importancia conceden los LT a las demostraciones matemáticas? Cuando no se demuestra, ¿qué
tipo de justificaciones aparecen? ¿Qué función tienen las demostraciones en los LT? ¿Cómo ha
evolucionado la demostración con los sucesivos cambios recientes de legislación?
El trabajo que aquí se presenta forma parte de un proyecto más general en el que se analiza el
tratamiento que hacen los LT sobre las demostraciones en límites, continuidad y derivabilidad en los
últimos currículos de 3º de BUP y COU de la Ley General de Educación (LGE) de 1970 y el
Bachillerato de la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE) de 1990 y de la Ley
Orgánica de Educación (LOE) de 2006 (alumnos entre 16 y 18 años en todas las legislaciones).
Nuestra intención es determinar la evolución de la demostración en los LT de los cursos citados,
clasificar los EP utilizados según el modelo de Ibañes y Ortega (2001) y determinar los procesos de
enseñanza de las matemáticas a través de los LT en relación con la demostración o justificaciones
alternativas.
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2. Objetivos del estudio
Los objetivos de investigación vienen determinados por los interrogantes que se acaban de
formular. En este artículo se presenta una investigación parcial con la que se ha tratado de dar
respuesta a la evolución y a los tipos de justificaciones de los teoremas fundamentales de continuidad
que aparecen en los textos de matemáticas de COU y 2º de Bachillerato LOGSE y LOE. Para ser más
concretos, a continuación se especifican los objetivos de la investigación que aquí se describe:
 Analizar la presencia de la demostración en los libros de texto correspondientes a los teoremas
de los contenidos curriculares de continuidad de las tres últimas leyes educativas.
 Establecer una clasificación de los tipos de justificación utilizados según los niveles
(esquemas de prueba), la tipología, las funciones de la demostración.
 Determinar la evolución de las justificaciones de estos teoremas en los periodos en vigor de
estas leyes educativas.
 Descubrir posibles errores relativos a la presentación de los enunciados y de las justificaciones
de los teoremas.
 Proponer una secuencia didáctica que integre los resultados encontrados.
3. Metodología
Según Fox (1981), la investigación histórica en educación tiene como objetivo resolver
problemas actuales mediante el estudio intensivo de materiales que ya existen. En nuestro caso, dicho
problema está relacionado con la enseñanza y el aprendizaje de la demostración matemática. En esta
investigación nos proponemos acercarnos al tratamiento que de ésta se ha hecho en los libros de texto
desde los años 70. Por tanto, nuestro trabajo requiere de una metodología adecuada a este tipo de
estudio. Es por esta razón que, para la realización de nuestro trabajo, estamos siguiendo el método
histórico de investigación en educación (Ruiz-Berrio, 1976), utilizado por González (2002), González
y Sierra (2003) y López (2011) con éxito. Dicho método consta de cuatro fases: heurística, crítica,
hermenéutica y exposición. La primera fase (heurística) consiste en la búsqueda y selección de fuentes
documentales sobre las que realizaremos nuestra investigación, tanto para conocer los antecedentes de
nuestro estudio como para determinar la muestra que vamos a analizar. La segunda fase (crítica)
conlleva el análisis de toda la documentación seleccionada en la primera fase, tras la cual, pasamos a
la tercera fase (hermenéutica), en la que se interpretan los datos obtenidos a la luz de los análisis
realizados. Finalmente, en la cuarta (exposición) damos a conocer los resultados obtenidos. A
continuación, y siguiendo este esquema de fases, describimos el contenido de cada una de ellas en el
presente trabajo, lo que conlleva una descripción de la metodología.
3.1. Fase 1: revisión de la literatura y búsqueda y selección de la muestra (heurística)
En la primera fase de nuestro trabajo, diferenciamos dos partes: por un lado, revisamos, las
investigaciones realizadas en torno a los dos puntos centrales de nuestro trabajo, la DM y el LT, lo
que, tras una segunda fase de análisis, dio lugar a las categorías de análisis que describimos más
adelante; por otro lado, realizamos la selección de la muestra a analizar. Para determinar esta muestra,
fijamos en primer lugar la restricción temporal.
Esta restricción se corresponde a las tres últimas legislaciones educativas españolas, esto es, la
Ley General de Educación de 1970 (LGE), la Ley Orgánica de Ordenación General del Sistema
Educativo de 1990 (LOGSE) y la Ley Orgánica de Educación de 2006 (LOE). Una vez delimitada
temporalmente la población, restringimos el estudio a parte de los conceptos del Análisis Matemático
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Las demostraciones de los teoremas de continuidad en los libros de texto para alumnos de 17-18
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que se estudian en Educación Secundaria, y que a nuestro juicio eran susceptibles de ser demostrados
en los niveles seleccionados. Los conceptos a los que nos referimos son los de límite, continuidad y
derivabilidad, aunque el trabajo que aquí se presenta muestra únicamente el análisis realizado en torno
a tres teoremas fundamentales de continuidad, esto es, el teorema de Bolzano, el teorema de los
valores intermedios, también conocido como propiedad de Darboux, y el teorema de Weierstrass.
En la Educación Secundaria, la presentación y posible justificación de los teoremas descritos
anteriormente se realiza en el último curso, es decir, en COU para la LGE y en 2º de Bachillerato para
la LOGSE y la LOE. Por esta razón, sólo presentamos el análisis realizado para los libros
correspondientes a dichos cursos.
Dada la inviabilidad de analizar todos los libros de texto escritos para los cursos seleccionados,
hemos elegido cuatro editoriales atendiendo a dos criterios: amplia difusión (los libros más utilizados
por profesores y alumnos para las edades consideradas) y continuidad en el tiempo (que su edición y
utilización haya sido continua desde la década de 1970). El primer criterio nos pareció importante por
dos razones: porque la muestra fuera lo más representativa posible y porque los libros fueran más
accesibles, sobre todo aquellos que corresponden a legislaciones que ya no están en vigor. Por otro
lado, consideramos que es necesario que las editoriales tengan continuidad en el tiempo con el
objetivo de que las conclusiones extraídas tras el análisis de los diferentes LT sean independientes de
la línea editorial en sí, sino debidas a la legislación a la que se corresponden. Esto dio lugar a la
elección de las editoriales Anaya, Santillana, SM y Vicens-Vives. Debido al carácter efímero de este
tipo de libro (ya que las editoriales sacan nuevas versiones cada pocos años con pequeños cambios y
los modifican para adaptarse a las leyes generales), hemos encontrado serias dificultades para localizar
al menos un ejemplar de cada periodo y cada editorial, a pesar de que las editoriales seleccionadas son
conocidas y ampliamente utilizadas. Finalmente, hemos encontrado una muestra de 13 textos,
correspondientes a las editoriales anteriormente citadas. Aunque pueden encontrarse las referencias
completas en la bibliografía, para simplificar su notación, debido a que en muchos casos el número de
autores es muy numeroso, en la descripción del análisis invocaremos a cada LT por la editorial a la
que pertenece y el año de edición del ejemplar que hemos considerado, es decir, usaremos el código
editorial (año de edición). En la tabla 1 se presentan codificados los 13 libros que componen la
muestra.
Libros de texto analizados
LGE
1979-1989
Anaya (1989)
Santillana (1981)
SM (1980)
LOGSE
1997-2004
Anaya (2003)
Santillana (1997)
SM (2001)
LOE
2009-2010
Anaya (2009)
Santillana (2009)
SM (2010)
Vicens-Vives (1979)
Vicens-Vives (1999)
Vicens-Vives (2004)
Vicens-Vives (2009)
Tabla 1. Libros de texto de COU y 2º de Bachillerato LOGSE y LOE analizados.
No obstante, cabe destacar que los LT correspondientes a LOGSE y LOE de una de las
editoriales, Anaya, son prácticamente iguales (únicamente difieren en las introducciones de los temas
y en las actividades). Por tanto, el análisis realizado en ambos es el mismo. Por otro lado, se puede ver
que en una de las editoriales, Vicens-Vives, se han localizado dos textos diferentes para la misma ley
educativa y se han analizado ambos.
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3.2. Fase 2: establecimiento de las categorías de análisis y análisis del saber institucional (hermenéutica)
Esta fase consta de dos partes, una consiste en el análisis de la literatura relacionada con nuestro
trabajo, y el establecimiento de las categorías de análisis que nos sirven para analizar la muestra
seleccionada, y la otra, comprende el análisis del saber institucional, es decir, de los planes de estudio
de cada periodo elegido y las referencias que hacen a los procesos de justificación.
Establecimiento de las categorías de análisis para la recogida de datos en los libros
Para la definición de las siguientes categorías se han considerado diferentes trabajos en torno a
la DM y los LT. En primer lugar, para analizar el tipo de justificación utilizada en los LT hemos
partido del concepto de esquema de prueba (EP), definido por Harel & Sowder (1998), y utilizado por
Ibañes y Ortega (2001) y Dos Santos (2010) en sus respectivos trabajos, y las pruebas preformales
(González, 2012). El EP definido por Harel & Sowder se refiere a esquemas personales, por lo que
hemos adaptado dicha definición al contexto de los LT, entendiendo que un EP de un LT es lo que el
LT considera como persuasión y convencimiento para un posible lector, entendiendo que
convencimiento es el proceso utilizado por el LT para eliminar las dudas del lector sobre la veracidad
de una afirmación y persuasión es el proceso del libro que, utilizado por un individuo, elimina las
dudas de otros sobre la veracidad de una afirmación. Por su parte, las pruebas preformales (PP)
consisten en una línea de razonamiento, que podría formalizarse a una prueba formal, y en la cual la
idea esencial de la demostración se encuentra reflejada (Van Asch, 1993). Estas dos definiciones dan
lugar a las siguientes categorías de análisis de las justificaciones (ya que no siempre son
demostraciones) de los teoremas:
 No se hace ningún tipo de justificación del enunciado.
 EP inductivo de un caso: se trata de convencer de la validez de una conjetura mediante la
evaluación cuantitativa de un caso particular.
 EP inductivo de varios casos: como en el caso anterior, pero se realiza con varios casos
particulares.
 EP inductivo sistemáticos: como en los casos anteriores, pero los ejemplos particulares se
eligen de forma organizada, tratando de cubrir las posibles diferentes casuísticas.
 EP transformacionales: se realizan transformaciones de imágenes o signos por medio de la
deducción.
 EP axiomáticos: se realiza la demostración a partir de axiomas, entendiendo como tales los
enunciados primarios y los resultados que se han deducido mediante demostraciones.
 Pruebas preformales: se incluye como EP por su carácter de convencimiento y persuasión.
Refleja la esencia de una demostración formal (EP transformacional y EP axiomático) y, por
tanto, hereda el carácter axiomático y transformacional de estos EP.
Estas categorías no son excluyentes y, de hecho, se pueden encontrar combinaciones de más de
una de ellas en algunos casos.
Se utiliza la clasificación de demostraciones realizada por Ibañes y Ortega (1998). Esta
clasificación está hecha desde la perspectiva de la propia matemática y en ella consideran el tipo,
método, estilo y modo. Nosotros, en nuestro análisis, también consideramos estas técnicas para
clasificar los esquemas de prueba que son utilizados en los LT. Se describen brevemente las
características de cada una de estas técnicas y en la propuesta didáctica se aconseja el uso de técnicas
más explicativas que faciliten la comprensión de las pruebas.
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1. Tipo: atendemos a la estructura lógica del enunciado, ya que consideramos que la forma de
enunciar éste influye en el tipo de EP utilizado.
a. En relación a la implicación puede ser de condición necesaria, suficiente, y
necesaria y suficiente.
b. En relación al cuantificador universal, puede ser de existencia simple,
imposibilidad, y existencia y unicidad.
2. Método: atendemos a los procedimientos lógicos utilizados en el EP. Puede ser por
silogismo, por casos, por reducción al absurdo, por inducción completa, constructivo, ya sea
de ejemplo o contraejemplo, por analogía y por dualidad. Únicamente tiene sentido
considerar estás categorías en los EP axiomáticos, transformacionales o en las Pruebas
Preformales.
3. Estilo: atendiendo a los procedimientos matemáticos. Depende del área en el que nos
encontramos. En este caso, como estudiamos las justificaciones de los resultados
correspondientes al Análisis Matemático, el estilo más habitual será el propio del área,
aunque puede ser de dos tipos: global, cuando se aplican teoremas y local, si realiza una
discusión en un entorno. También podemos encontrar estilos gráficos, utilizando
coordenadas, y algebraicos, caracterizados principalmente por manipulación simbólica. En
general, esta categoría tiene sentido si se trata de EP axiomáticos, transformacionales o PP,
pero en el caso de EP inductivos de uno o varios casos y sistemático haremos la distinción
de si el EP es algébrico o gráfico.
4. Modo: en función del procedimiento de exposición. Puede ser sintético o directo, y analítico
o indirecto.
a. El modo sintético o directo: se utilizan los conceptos básicos para razonar.
b. El modo analítico o indirecto, se utilizan elementos que ya han sido justificados
anteriormente.
Otro aspecto que nos interesa analizar son las funciones de la DM reflejadas en el texto. Para
ello hemos considerado el modelo creado por de Villiers (1993), que es una ampliación del que definió
Bell (1976), y que ha sido utilizado posteriormente por Ibañes y Ortega (2001) y Dos Santos (2010).
Este modelo comprende las siguientes funciones:
1. Verificación: concerniente a la veracidad de una afirmación.
2. Explicación: profundización en por qué es verdad.
3. Sistematización: la organización de varios resultados dentro de un sistema de axiomas,
conceptos fundamentales y teoremas. Esta función se supone que el autor del LT ya la ha
realizado antes de plasmarlo en el texto; por tanto, no ha lugar su estudio. No obstante,
podría ocurrir que en algunos casos la sistematización no se hubiera realizado de forma
correcta.
4. Descubrimiento: es decir, el descubrimiento o invención de nuevos resultados implícitos en
la propia demostración, pero diferentes del teorema que prueba.
5. Comunicación: la transmisión del conocimiento matemático.
Hemos aplicado este modelo a cada EP que aparece en los LT tratando de descubrir cuáles de
estas funciones son consideradas. También consideramos la posibilidad de que no aparezca
explícitamente ninguna de las funciones y de que se consideren otras diferentes. Este análisis puede
reflejar la intencionalidad del autor: verificativa, explicativa,…
En cuanto a las expresiones utilizadas, analizaremos las expresiones matemáticas que aparecen,
en el enunciado y la demostración, si explica su significado, y los sistemas de representación (Janvier,
1987) usados (descripción verbal, tabla, gráfica y fórmula). Asimismo, en este apartado se realiza un
análisis semántico de los enunciados, independientemente del tipo de los mismos.
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Por último, realizaremos ciertas consideraciones globales sobre la justificación utilizada y sobre
el enunciado en general, observando si el LT reconoce el EP utilizado como tal y si se refiere a las
consecuencias de esta justificación (aplicación del resultado, no necesidad de comprobaciones
posteriores o búsqueda de contraejemplos), si explica globalmente el proceso (las líneas generales que
se han seguido en la demostración en sí), si comenta el significado del teorema (las relaciones que
establece, su utilidad), si separa con claridad el enunciado de la justificación y si indica otras posibles
vías de justificación.
Análisis del saber institucional. Planes de estudio
Si bien es cierto que en la realidad los libros de texto determinan en mayor medida los
currículos que las órdenes ministeriales (Schubring, 1987), los LT se debieran haber construido
siguiendo las instrucciones de estas leyes, pero el hecho de que en la actualidad no son sometidos a
ningún control ministerial no implica que den respuesta fielmente al currículo legal, pero como éste
debe regular la actividad docente, las editoriales tratan de ajustarse al mismo. Por esta razón es
imprescindible que antes de acometer un análisis de los LT revisemos qué directrices debieran seguir,
ya que la presencia o no de justificaciones puede estar determinada por lo que indiquen los
documentos oficiales.
En la revisión realizada sobre las directrices curriculares de COU (Resolución por la que se
establecen los contenidos y orientaciones metodológicas del Curso de Orientación Universitaria y se
dictan instrucciones sobre el mismo de 17 de marzo de 1978), no encontramos ninguna referencia
explícita a la demostración matemática. Por otro lado, el mismo documento indica que el carácter del
curso está orientado hacia la preparación para el acceso a la enseñanza superior y que las diferentes
especialidades a las que puede acceder el alumno (estudios de matemáticas, ciencias experimentales e
ingenierías) aconsejan que la enseñanza sea adecuada a estos fines. Por tanto, nosotros consideramos
que la demostración será necesaria en la formación de dichos alumnos, cuyos estudios están orientados
hacia la enseñanza superior en especialidades de ciencias.
Por su parte, en las revisiones de los currículos de Bachillerato de LOGSE, tanto en la primera
versión de 1992 (Ministerio de Educación y Ciencia, 1992) como en la modificación de 2001
(Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, 2001), observamos ciertas indicaciones sobre la
demostración, tales como la introducción de las demostraciones y de encadenamientos conceptuales y
lógicos, la necesidad de verificación y la utilización de los modos de argumentación que el propio
currículo considera que son propios de las matemáticas, lo que implica el uso de demostraciones
matemáticas en esta etapa educativa.
En la misma línea, LOE, en sus concreciones curriculares para Bachillerato (Ministerio de
Educación, Política Social y Deporte, 2008) se indica que los alumnos deben conocer la existencia de
demostraciones rigurosas, sentir la necesidad de verificación, aplicar la inducción y deducción, y
realizar formulaciones orientadas a la aceptación o rechazo de conjeturas formuladas por ellos. Todos
estos indicadores están orientados a la enseñanza de la demostración y el profesor no puede eludirlos,
ya que debe cumplir la ley y los alumnos, por la misma razón, deben aprenderlas.
Tras la revisión de los planes de estudio se puede interpretar que la presencia de la demostración
matemática en los LT de la muestra podría ser indiscutible, pero en los LT pueden aparecer
justificaciones alternativas a la demostración, por ejemplo, poniendo en valor el razonamiento
inductivo. Por tanto, en nuestro análisis deberíamos observar y, de hecho, analizamos el reflejo de
estas alternativas curriculares.
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3.3. Fase 3: análisis de los materiales seleccionados. (Hermenéutica)
A continuación mostramos el análisis de los libros de texto realizado a partir de las categorías
de análisis anteriormente descritas. El primer punto que nos ha llamado la atención es la alteración del
orden en la presentación de los teoremas más importantes y la no uniformidad de sus títulos. La
mayoría de los textos consideran el orden Bolzano-Darboux-Weierstrass y también es mayoritaria,
pero no uniforme, la coincidencia de los títulos de Bolzano y Weierstrass, pero no sucede lo mismo
con Darboux:
 SM (1980) considera Weierstrass en primer lugar, seguido de Bolzano y a continuación
Darboux.
 Vicens Vives (2004) titula primer teorema de Weierstrass al propio teorema de Weierstrass y
segundo teorema de Weierstrass a una variación del teorema de Darboux, ya que considera
los valores intermedios entre el mínimo y el máximo. Después presenta Bolzano como
consecuencia de su segundo teorema de Weierstrass.
 En Vicens Vives (1979), Santillana (1981), Anaya (1989), Santillana (1997), Vicens Vives
(1999), SM (2001), Anaya (2003), Santillana (2009), SM (2010) no nombran como tal al
teorema de Darboux, sino como teorema de los valores intermedios.
 En Vicens Vives (1979) el teorema de Weierstrass recibe el nombre del teorema del máximo
y del mínimo absolutos; este mismo teorema, en Santillana (1997) recibe el nombre de
teorema de los extremos absolutos; en Santillana (1981) lo nombra como teorema de
Bolzano-Weierstrass; finalmente, Anaya (1989) lo titula principio de existencia de máximo
de Weierstrass.
 Vicens Vives (1979) nombra el teorema de Bolzano como el teorema de cambio de signo y
Santillana (1997) como teorema de los ceros de Bolzano
Esta pluralidad de nombres y ordenaciones favorece la confusión para estudios posteriores y
manifiesta una mala función de sistematización desde la perspectiva de la demostración. Una correcta
sistematización exige que el teorema de Darboux se enuncie después de Bolzano, ya que su
demostración se apoya (se fundamenta) en este último, y si se enuncia en los términos de máximo y
mínimo, después de Weierstrass. El orden de Bolzano y Weierstrass es irrelevante, aunque
cronológicamente es anterior el primero. Por tanto, la función de sistematización en los modelos de
Bell y De Villiers es incorrecta.
Para el estudio de los EP, presentamos tres tablas, en cada una de las cuales mostramos los EP
que reflejan los LT para el teorema de Bolzano en la tabla 2, para el teorema de Darboux en la tabla 3
y para el teorema de Weierstrass en la tabla 4. Además, para poder apreciar la evolución, hemos
ordenado los LT en columnas en función de la editorial y los años de publicación, y por filas los EP
utilizados en cada uno. De esta manera podemos comparar entre editoriales y por periodo educativo.
Para sintetizar la información recogida en las tres tablas se han codificado las categorías
descritas para los esquemas de prueba de la siguiente manera: EP0, no se realiza ninguna justificación;
EPind1, para los EP inductivos de un caso; EPind Var, los inductivos de varios casos; EPind Sist, los
inductivos sistemáticos; EPax, para los EP axiomáticos; EP trans, para los que son transformacionales;
y PP, para las pruebas preformales.
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Las demostraciones de los teoremas de continuidad en los libros de texto para alumnos de 17-18
años correspondientes a las tres últimas leyes educativas españolas
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Anaya
Santillana
SM
Vicens-Vives
EPax
EPind Var
EPind1
EPax
LGE
1979-1989
EPax
EPax
EPax
LOGSE
1997-2004
EPind1
EPax
EPax
LOE
2009-2010
EPind1
EPind Var
EPax
Tabla 2. EP reflejados en los LT para el teorema de Bolzano.
Para el teorema de Bolzano (tabla 2) vemos que la prueba más abundante es el EP axiomático,
aunque en los ejemplares más recientes hay pasos de la justificación que estarían incompletos. Por
editoriales, vemos que Anaya sustituye el EP axiomático por una EP inductivo de 1 caso, tanto en
LOGSE como en LOE; Santillana utiliza EPax en los LT de los dos primeros periodos y luego lo
sustituye por un EP inductivo de varios casos; finalmente, Vicens-Vives, aunque en los LT de LOGSE
utiliza EP inductivos, recupera el EP axiomático en el último periodo. La única editorial que mantiene
EP axiomáticos en los tres periodos es SM.
LGE
1979-1989
Anaya
EPax y trans
Santillana
Epax y trans
SM
EPax y trans
LOGSE
1997-2004
EPind1
EPax y trans
EPax y trans
LOE
2009-2010
EPind1
EPind1
EPax y trans
Vicens-Vives
EPax y trans
EPax y trans
EPind Var
EPind1
Tabla 3. EP reflejados en los LT para el teorema de Darboux.
En las justificaciones del teorema de Darboux (tabla 3) apreciamos una utilización generalizada
de EP axiomáticos combinados con EP transformacionales, aunque casi todos los LT que usaban un
EP inductivo de 1 o varios casos para el teorema de Bolzano continúan usando ese mismo tipo de
esquemas en éste. Únicamente dos de los textos de Vicens-Vives cambian de tipo de EP con respeto al
resultado anterior. Es destacable el hecho de que la demostración axiomática de este teorema se puede
considerar de menor dificultad que las otras dos, ya que ésta es consecuencia directa del teorema de
Bolzano. Todos los LT que utilizan EP axiomáticos y transformacionales han enunciado el teorema
entre f(a) y f(b), por lo que la justificación utilizada es la usual: consideran una función auxiliar, como
diferencia de la función de las hipótesis y un valor, y0, entre f(a) y f(b), y luego aplican el teorema de
Bolzano a esta función, f(x)-y0. Únicamente un LT ha enunciado el teorema entre el mínimo y el
máximo (Vicens-Vives, 2004) pero este LT altera el orden de los teoremas, enunciando el teorema de
Darboux después de Weierstrass. Lógicamente, en los textos que presentan el teorema de Darboux
entre el mínimo y el máximo, que es más general que entre f(a) y f(b), previamente tienen que haber
establecido el teorema de Weierstrass. En caso contrario no habrían tenido en cuenta la función de
sistematización.
LGE
1979-1989
Anaya
EPax y trans
Santillana
Epax y trans
SM
EPax y trans
LOGSE
1997-2004
EPind1
EPax y trans
EP0
LOE
2009-2010
EPind1
EPind Var
EP0
Vicens-Vives
EPax y trans
EP0
EPind1
EP0
Tabla 4. EP reflejados en los LT para el teorema de Weierstrass.
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En el caso del teorema de Weiertrass (tabla 4), los textos de LOGSE y LOE de las editoriales
SM y Vicens-Vives no justifican el teorema, se limitan a enunciarlo, quizá porque consideran que el
nivel de dificultad de esta demostración es mayor. En estas editoriales, este teorema se enuncia con la
finalidad de ser aplicado. Anaya continua con la tendencia de justificar mediante un EP inductivo de
un caso en LOGSE y LOE, y Santillana vuelve a utilizar un EP inductivo de varios casos en LOE. En
este texto se presentan dos representaciones gráficas de sendas funciones que cumplen las hipótesis del
teorema, en ellas se señalan su máximo y su mínimo (figura 1). Es destacable el hecho de que uno de
los LT (Anaya, 1989) realiza una demostración errónea del teorema de Weierstrass. Esta editorial trata
de hacer una demostración parecida a la del teorema de Bolzano construyendo la sucesión de
intervalos encajados y omite la posible argumentación que establecería el teorema, hecho que se
describe posteriormente.
Si observamos la evolución en el tiempo, la tendencia es sustituir los EPax y EPtrans, al menos
en los teoremas más complicados de demostrar, o que requieren más resultados previos, por EPI de
uno o varios casos. Este hecho es más claro en el teorema de Weierstrass que, salvo en los textos de
LGE y Santillana de LOGSE, sólo se enuncia o, como mucho, se complementa con EPI de uno o de
varios casos, bien con gráficos o bien con ejemplos algebraicos.
Figura 1. EP inductivo de varios casos para el teorema de Weierstrass en Santillana (2009).
En cuanto a las técnicas empleadas (tipo de enunciado, método, estilo y modo), no encontramos
gran variación. En el enunciado, aparte de las diferentes formas verbales utilizadas para la misma
acción. Si atendemos a su estructura lógica, encontramos sobre todo condición suficiente y existencia
simple, aunque dicha simplicidad no se expresa siempre de manera específica (no se indica que existe
al menos uno). Para el análisis del método, estilo y modo utilizados, podemos establecer una división:
en primer lugar, las justificaciones tipo EP axiomático o transformacional y, en segundo, las que
consideran EP inductivos de uno o varios casos (ya que no consideramos los EP0 porque en las
ausencias de justificación no se puede encontrar ni método ni estilo ni modo). En general, todos los LT
que utilizan EP axiomáticos o transformacionales, con mayor o menor completitud, realizan pruebas
similares: en el caso de Bolzano, consideran un razonamiento local utilizando el teorema de
conservación de signo en un entorno; en el caso de Darboux, consideran la función auxiliar descrita
anteriormente; finalmente, en el caso de Weiertrass, construyen una función que contradice las
hipótesis. Por tanto, la clasificación de método, estilo y modo en estos casos es similar: el método
utilizado en Bolzano y Weierstrass es la reducción al absurdo (combinado con casos o silogismo) y en
el teorema de Darboux el silogismo.
En cuanto al estilo, se utiliza fundamentalmente el del Análisis Matemático (global en el caso
de Darboux, local en Bolzano, y global y local en Weierstrass), pero también aparece el algebraico en
Darboux y Weierstrass; en cuanto al modo, quizá por la naturaleza de los teoremas, es analítico en
todos los casos. La demostración del teorema de Weierstrass, utilizada por Anaya (1989), aunque la
hemos clasificado como EP axiomática y transformacional por el carácter de la misma, es errónea; su
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intención es repetir un proceso de razonamiento local similar al efectuado para el teorema de Bolzano,
pero la conclusión a la que conduce es una nueva situación con las mismas hipótesis del enunciado
únicamente resoluble realizando el razonamiento usual llevado a cabo en la demostración de dicho
teorema. Además, considera inmediato para el lector el punto en el que esta justificación falla, por lo
que la demostración no sólo no es más clara, sino que es errónea.
Los LT que utilizan EP inductivos de uno o varios casos, en general, utilizan el estilo gráfico,
aunque en ocasiones lo complementan con el algebraico, y en el caso de Santillana (2009) utiliza
coordenadas para justificar los teoremas (figura 2). Aunque no se trate de demostraciones propiamente
dichas, los EP inductivos en los que se utilizan gráficas cumplen mejor su función de convencer al
lector que aquellos que muestran un EP axiomáticos de manera incompleta. Desde la perspectiva de
Balacheff (1987) se trataría de un ejemplo genérico. Sin embargo, nosotros no consideramos esta
clasificación porque entendemos que los Esquemas de Prueba se adaptan mejor al análisis que estamos
realizando.
Figura 2. Utilización de coordenadas en la justificación del teorema de Bolzano en Santillana (2009).
Si observamos las funciones de la demostración, ya hemos mencionado que existe un error de
sistematización en los textos que alteran el orden usual de estos tres resultados: SM (2010), que
considera que Darboux es una generalización de Bolzano y Vicens Vives (2004), que considera que
Bolzano es una consecuencia del 2º teorema de Weierstrass (teorema de los valores intermedios entre
el mínimo y el máximo). El resto de los LT consideran que el teorema de Darboux es consecuencia de
Bolzano, aunque algunos (Vicens-Vives, 1979; SM, 1980; Santillana, 1981; Santillana, 1997; Vicens
Vives, 1999; Vicens Vives, 2004; Santillana, 2009) no lo indican. Por lo demás, las únicas funciones
de la demostración que se aprecian en todos los LT son las de comunicación y verificación. Aunque
los textos no lo indican, podríamos hablar de la función de descubrimiento en dos casos (SM, 2001 y
SM, 2010), ya que la sucesión de intervalos encajados que se construye en la demostración del
teorema de Bolzano constituye la regla de bisección para calcular los ceros de una función de forma
aproximada. En la figura 3 vemos un ejemplo de dicha función de descubrimiento.
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Figura 3. Función de descubrimiento en el LT de SM (2010).
En Ibañes y Ortega (2002b) se establece que los esquemas de prueba dependen de los
enunciados y, por esta razón se hace un breve análisis de las acciones verbales de los mismos y del
simbolismo presente. El sistema de representación más habitual es el verbal, combinado con algunos
símbolos básicos matemáticos, que no se explican, sino que se utilizan de forma rutinaria. No se
utilizan ni signos de implicaciones, ni de cuantificadores universales, ni existenciales. Por otra parte,
encontramos numerosas acciones verbales diferentes para el mismo teorema: “existe” y “se anula” en
el caso de Bolzano, “alcanza”, “existe” y “toma” para Darboux y “alcanza”, “admite”, “existen”,
“tiene” y “se cumple que” para Weierstrass. La significación de las acciones verbales es muy diferente
y, nuevamente, esto contribuye a confusión de los alumnos en sus estudios posteriores. Por ejemplo,
existir significa ser real y verdadero, alcanzar tiene muchas acepciones y la más repetida es llegar a
tocar o juntarse con algo, tomar tiene muchas más y la que mejor se ajusta es adquirir, admitir
significa tener cierta cabida… Esta diversidad de acciones verbales conlleva a errores por la confusión
semántica asociada (Socas, 2007)
Todos los LT utilizan gráficas funcionales de forma recurrente en todos los teoremas, a
excepción del teorema de Weierstrass en aquellos textos que se limitan a enunciarlo (EP0). La
utilización de estas gráficas ilustra o clarifica la situación descrita en el teorema, pero es conveniente
ser cuidadoso en la elección que se realiza de éstas. Aunque Socas (2007) relaciona algunos errores
con la presencia de esquemas cognitivos inadecuados, Arce y Ortega (2013) detectan que la
imprecisión en los trazados de gráficas por parte de los alumnos no representan correctamente las
propiedades de las funciones representadas y, por tanto, son fuente de dificultades para el aprendizaje.
Aunque en este caso las gráficas estudiadas no corresponden a las realizadas por los estudiantes, dado
que se encuentran en una de sus herramientas de estudio, el LT, pueden originar dichas dificultades
asociadas a la percepción de estas gráficas, por lo que dichas representaciones deben ser elegidas de
forma cuidadosa. En los textos analizados encontramos algunos ejemplos destacables de mala
construcción en las representaciones gráficas que ilustran los teoremas. Por ejemplo, en las figuras 1 y
2 observamos que las funciones representadas nos hacen pensar que, por facilidad de su trazado, están
formadas por cuartos de circunferencia y semielipses. Tales gráficas son poco representativas de
funciones generales y pueden confundir a los alumnos, atribuyendo a las funciones características
propias de estos ejemplos.
Otro ejemplo de mala elección de una gráfica de una función es la que encontramos en la figura
4 (Vicens-Vives, 1979), en la que se muestran varios errores: los puntos que en el enunciado se
consideran dentro del intervalo, en la gráfica se representan fuera del mismo; una de las desigualdades
está mal escrita, f ( x1 )    f ( x1 ) , aunque creemos que puede ser un error tipográfico, pero, en
general, la gráfica reproduce una situación diferente a la del enunciado del teorema.
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Figura 4. Errores en la representación gráfica del teorema de Darboux en Vicens-Vives (1979).
En el caso de Bolzano encontramos que todos los LT complementan sus justificaciones con
gráficas en las que se refleja la situación básica descrita en el enunciado, aunque en muchos casos
dichas gráficas se restringen a funciones monótonas con un único punto de corte, como se muestra en
la figura 5.
No obstante, tres de los trece LT analizados sí que utilizan gráficas (figura 6) para mostrar tanto
la necesidad de las hipótesis como la posibilidad de existencia de más de un punto en el que la función
se anula, lo que refuerza la interpretación más general del teorema y el carácter justificativo del EP
utilizado (Santillana, 1981), cuyo esquema de prueba es axiomático (tabla 2), es decir, se trata de una
demostración.
Figura 5. Ilustración del teorema de Bolzano en el LT de SM (1980).
Destaca el caso de Darboux donde, siete de los trece LT analizados, las funciones representadas
son o bien monótonas, o bien las imágenes de los extremos del intervalo coinciden con el mínimo y el
máximo de la función (figuras 7 y 8). Este hecho explica el que se considere el enunciado de Darboux
entre f(a) y f(b) en lugar de entre el mínimo y el máximo de la función (más fuerte), y permite que se
enuncie Weierstrass después de Darboux, pero el enunciado puede dar lugar a interpretaciones
erróneas. Además, de estas gráficas los alumnos pueden inferir que f(a) es diferente de f(b), situación
que no tiene por qué ser así. Por tanto, sería más adecuado enunciar Darboux después de establecer
Weierstrass y considerar cualquier valor entre el mínimo y el máximo.
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Figura 6. Santillana (1981) representa gráficamente tanto la posibilidad de que exista más de un punto, como la
necesidad de las hipótesis para el teorema de Bolzano.
Figura 7. Gráfica para el Teorema de Darboux en Vicens Vives (1999).
Figura 8. Gráficas para el Teorema de Darboux en SM (2010).
En aquellos textos contienen algún tipo de justificación de los teoremas, no se reflexiona sobre
el procedimiento que realizan, aunque, cuando se trata de una demostración, en algunos casos sí que la
distinguen del enunciado porque la etiquetan o utilizan tipografías diferentes; tampoco se explica
globalmente el proceso utilizado, ni se señalan otras vías de justificación. En ocasiones, la prueba se
inicia enunciando el resultado que se va a aplicar, pero sin indicar tal comienzo.
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4. Conclusiones y propuesta didáctica
En resumen, hemos visto que, en general, la DM rigurosa de estos teoremas ha perdido
protagonismo en los LT con la puesta en vigor de las tres últimas Leyes Orgánicas de Educación
españolas, ya que no sólo se producen cambios de una legislación a otra, sino que en diversos
momentos de una misma ley, los LT han adoptado posturas diferentes sobre las justificaciones de los
teoremas, tratando de seguir las orientaciones de los currículos legales. En las nuevas legislaciones, los
EP axiomáticos y transformacionales se sustituyen por EP inductivos, o bien los resultados únicamente
se enuncian, y en los casos que se mantiene un EP axiomático, se hace con menos rigor, no
justificando algunos pasos (EP axiomáticos incompletos). Además, cada LT sigue una línea uniforme
en la elección del EP, ya que tienden a justificar todos los resultados con el mismo tipo de EP, salvo en
algunos casos en los que el teorema de Weierstrass es únicamente enunciado, independientemente de
los resultados anteriores. Por otro lado, el uso de las gráficas es cada vez más significativo, llegando a
sustituir éstas a las demostraciones como forma de convencer al lector. Desde el punto de vista de la
demostración, la enseñanza de ésta se ha relegado a un segundo plano, procediendo a convencer desde
la intuición antes que desde el razonamiento matemático. No se han encontrado ninguna prueba
preformal, aunque consideramos que sería una justificación muy interesante en este nivel educativo,
ya que permite reflejar la esencia del razonamiento de una demostración y, por tanto, no privar al
alumno del contacto con este tipo de procesos, preparándolo para la etapa universitaria, pero restando
la abstracción que dificulta la comprensión de las demostraciones a público no especializado, ya que
se realiza con un caso particular. También se pueden considerar las pruebas preformales como un paso
previo a las demostraciones.
Convencer únicamente desde la intuición antes que desde el razonamiento matemático, aunque
en un principio pueda ser más rápido y "eficaz", no abordaría los objetivos que el currículo actual
considera desde el punto de vista de la demostración, y quizá los alumnos no llegaran a comprender
las significaciones de los teoremas (Hanna, 1995, resalta la importancia de la demostración
matemática para la comprensión de las matemáticas).Tal y como encontramos en la ORDEN
ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del
bachillerato, en Bachillerato, el alumno debe conocer la existencia de demostraciones rigurosas,
desarrollar destrezas propias de las matemáticas, algunas de ellas relacionadas con la demostración,
mostrar actitudes como la visión crítica y la necesidad de verificación. Si bien es cierto que no se
indica en qué contenidos deben mostrarse estos aspectos, consideramos que algunos de los teoremas
anteriormente citados podrían servir para abordar estos elementos. Por otra parte, nuestro
planteamiento coincide con Hanna y Barbeau (2010), quienes afirman que la demostración matemática
es esencial en la enseñanza, ya que contienen los métodos, herramientas, estrategias y conceptos que
se necesitan para resolver problemas, y éstos elementos suponen la esencia principal de las
matemáticas. Por esta razón, consideramos que las demostraciones matemáticas son portadoras del
conocimiento matemático, y cómo tales deben utilizarse en la enseñanza preuniversitaria. Sin
embargo, también pensamos que deberían combinarse la intuición con el razonamiento riguroso.
Además, cabe destacar el hecho de que, aunque la LGE mostrase indicios de la necesidad de la DM,
esta no aparecía de forma explícita como en LOGSE y LOE, y es precisamente en esa etapa de la LGE
cuando más formalismo se aprecia en los LT, lo que no deja de ser contradictorio.
En cuanto a la diversidad en el orden de los teoremas, los nombres que reciben, las acciones
verbales que se utilizan, o las variaciones del enunciado que se consideran, sería aconsejable unificar
estos elementos, para resaltar el carácter de universalidad de la Matemática, ya que como hemos
mencionado, sistematizaciones diferentes pueden confundir a los alumnos en la fundamentación de los
teoremas en estudios posteriores y, desde luego, hay que desterrar las erróneas.
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En las técnicas empleadas, en general, se aprecia homogeneidad dentro del mismo EP, aunque
en los EP inductivos de uno o varios casos podemos encontrar dos estilos: algebraico y gráfico.
Consideramos que los EP inductivos de tipo gráfico son más convincentes que los de tipo algebraico,
pero recomendaríamos que, en la medida de lo posible, se utilizaran ambos, independientemente de si
se utilizan EP axiomáticos y EP transformacionales y, además, sería útil que se consideraran EP
sistemáticos, intentando cubrir todas las casuísticas posibles
Las funciones de la demostración que hemos apreciado son la de comunicación y la de
verificación, pero sería interesante encontrar también las funciones de descubrimiento (que si hemos
visto en dos de los LT) y la de explicación que, según Hanna (1995), en el campo de la educación
matemática sería la función principal de la demostración, razón por la cual ensalza las demostraciones
que explican frente a las que sólo prueban. Además, Ibañes y Ortega (2005) ya constataron que los
alumnos valoran más las demostraciones explicativas ya que, en ocasiones, les ayudan a identificarlas
y a distinguirlas de otros procesos.
No se utilizan apenas conectores matemáticos, se limitan a un leguaje verbal más coloquial.
Sería interesante introducir dichos conectores, para habituar a los alumnos al lenguaje más específico
de la matemática. Por otro lado, la utilización de diferentes sistemas de representación para un mismo
concepto (verbal, tabular, gráfico y algebraico) debiera ser obligada, ya que sólo la utilización fluida
de los mismos garantiza el aprendizaje de los conceptos (Duval, 1998).
Terminamos este artículo con una propuesta didáctica que tiene en cuenta las conclusiones
anteriores. Con ella se pretende unificar el título de los tres teoremas, el orden de presentación de los
mismos, el enunciado de cada uno de ellos y el tipo de justificación en cada caso. Se redacta con los
títulos, orden y enunciado que, con nuestro criterio, debieran presentarse estos teoremas. En la
redacción, inspirados en Spivak (1981), se evita la utilización de palabras excesivamente coloquiales
(toma, alcanza,…) y presentamos expresiones más propias del lenguaje matemático, dejando que el
profesor utilice vocabulario más general en sus explicaciones o debates.
Teorema de los ceros de Bolzano: Si una función, f, es continua en un intervalo cerrado y
acotado [a, b] y las imágenes de los extremos del intervalo tienen (son de) signos distintos (f(a)<0 y
f(b)>0 o f(a)>0 y f(b)<0), entonces, existe al menos un punto c  (a, b) tal que f(c)=0.
Posibles justificaciones: como una posible alternativa a la demostración formal, proponemos
una prueba preformal con una función sencilla y conocida por los alumnos, por ejemplo, f(x)=x3/22x+5/3 en el intervalo [-3, 2]. En esta prueba se reproduciría el método de bisección, se construiría la
sucesión de intervalos encajados, y además su representación gráfica muestra la posibilidad de más de
un punto en el que se anula la función. Por otra parte, no se trata de una función monótona y es un
representante de las funciones más usuales en estos niveles, las polinómicas. Además, el ejemplo nos
permite el tratamiento algebraico del modelo, aislando las raíces y mostrando cómo se aplica el
método de bisección. También acompañaríamos la justificación con algunos ejemplos de funciones
que no cumplen las hipótesis, uno para cada una de estas hipótesis.
Teorema de los valores extremos de Weierstrass: Si una función es continua en un intervalo
cerrado y acotado [a, b], entonces la función tiene un mínimo y un máximo en dicho intervalo, es
decir, existen al menos dos valores c y d del intervalo [a, b] tales que f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) para todo x del
intervalo.
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Posibles justificaciones: para establecer la veracidad de este enunciado con una prueba
axiomática o transformacional, necesitaríamos haber estudiado el teorema de acotación (toda función
real y continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada) y los axiomas del extremo inferior y
superior en  (todo conjunto acotado de números reales tiene extremos inferior y superior). En el caso
de conocer éste resultado se podría realizar una prueba formal, pero si no es así, se puede presentar
una prueba preformal porque se dispone de la gráfica de la función elegida y, por tanto, la acotación
está implícita en la propia representación. Se puede utilizar el ejemplo anterior u otra función sencilla.
En caso contrario, utilizaríamos un EP inductivo de varios casos, tanto de forma gráfica como
algebraica, considerando representantes de algunas familias de funciones elementales: polinómicas,
racionales, exponenciales, trigonométricas o logarítmicas. También sería adecuado mostrar ejemplos
en los que no se cumplen las hipótesis.
Teorema de los valores intermedios de Darboux: Si f es continua en [a, b], entonces todos los
valores entre el mínimo, m, y el máximo, M, de la función en [a, b] son imágenes de al menos un valor
del intervalo [a, b]. Es decir, para cualquier número y0 del intervalo [m, M], existe al menos un
xo   a, b tal que f(x0)=y0 (en realidad, si el mínimo y el máximo son las imágenes de x1 y x2,
respectivamente, xo   x1, x2  o xo   x2 , x1  ).
Posibles justificaciones: en este caso se puede optar por un EP axiomático, ya que la prueba es
inmediata utilizando el teorema de Bolzano. De esta manera se muestra al alumno pruebas realizadas
sobre objetos generales, y no sólo sobre ejemplos concretos (pruebas preformales). Además,
convendría acompañar la justificación de ejemplos gráficos que ilustren la situación del teorema en
funciones no solo monótonas.
Además, sugerimos presentar otros resultados que complementen a estos tres y tales que sus
justificaciones sean fáciles de establecer aplicando los teoremas anteriores.
Bibliografía
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Laura Conejo. Profesora Asociada de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid.
Investigadora en Didáctica del Análisis.
Email: [email protected]
Tomás Ortega. Catedrático de Universidad. Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid.
Amplia experiencia investigadora en Didáctica de la Matemática (Didáctica del Análisis y Desarrollo
Curricular) avalada por sus publicaciones en este campo
Email: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 25-35
El sentido de la correlación y regresión
María M. Gea, Carmen Batanero y Rafael Roa
(Universidad de Granada. España)
Fecha de recepción: 17 de febrero de 2014
Fecha de aceptación: 30 de julio de 2014
Resumen
En este trabajo aplicamos nuestro modelo previo sobre sentido estadístico para proponer
un modelo específico del sentido de la correlación y regresión, describiendo los
componentes de la cultura y razonamiento estadístico específicos de este tema. Se
muestran ejemplos de la forma en que dichos componentes se implementan en los textos
de matemáticas de Bachillerato.
Palabras clave
Sentido estadístico, correlación y regresión, libros de texto, Bachillerato.
Abstract
We apply our previous model on statistical sense to propose a model for the sense of
correlation and regression sense and describe the components of statistical literacy and
reasoning which are specific for this topic. We present examples of how these
components are implemented in high school mathematics textbooks.
Keywords
Statistical sense; correlation and regression; textbooks; High school.
1. Introducción
El razonamiento covariacional es una actividad cognitiva fundamental en diversas actividades
de la vida humana (Moritz, 2004; Zieffler, 2006; McKenzie y Mikkelsen, 2007) pues percibir,
interpretar y predecir los sucesos que se presentan a lo largo de la vida depende de habilidades y
destrezas para detectar covariaciones entre los acontecimientos (Alloy y Tabachnik, 1984). Sin
embargo, la investigación previa sugiere pobres capacidades en los adultos para estimar la correlación,
o realizar predicciones de una variable en función de otra, en ausencia de enseñanza específica sobre
el tema. Asimismo se han descrito numerosas dificultades y errores conceptuales que continúan
después de la enseñanza (Estepa, 2004; Gea, 2013). Una explicación es que el razonamiento humano
en situaciones de incertidumbre está regido por valores y creencias del propio individuo. Debido a
ello, el procesamiento de la información difiere de un proceso algorítmico, que produce una solución
única para cualquier problema, dentro de una clase dada (Batanero, 2001).
Esta situación plantea a los profesores el reto de mejorar la enseñanza de la correlación y
regresión, que matemáticamente recoge el estudio de la dependencia aleatoria y la modelización de
datos bivariados, y que actualmente se introduce en primer curso de Bachillerato en las modalidades
de Ciencias y Tecnología y Humanidades y Ciencias Sociales (MEC, 2007). En concreto, en esta
segunda modalidad, y dentro del bloque 3 (Probabilidad y estadística), se incluye el siguiente
contenido, muy similar en el Bachillerato de Ciencias y Tecnología:
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El sentido de la correlación y regresión
M. M. Gea, C. Batanero y R. Roa
Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos sociales y
económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación
gráfica de una nube de puntos. Grado de relación entre dos variables
estadísticas. Regresión lineal. Extrapolación de resultados (MEC, 2007, p.
45475).
Igualmente se especifican los siguientes criterios de evaluación, similares en ambas
modalidades de Bachillerato:
Distinguir si la relación entre los elementos de un conjunto de datos de una
distribución bidimensional es de carácter funcional o aleatorio e interpretar la
posible relación entre variables utilizando el coeficiente de correlación y la
recta de regresión.
Se pretende comprobar la capacidad de apreciar el grado y tipo de relación
existente entre dos variables, a partir de la información gráfica aportada por
una nube de puntos; así como la competencia para extraer conclusiones
apropiadas, asociando los parámetros relacionados con la correlación y la
regresión con las situaciones y relaciones que miden. En este sentido, más
importante que su mero cálculo es la interpretación del coeficiente de
correlación y la recta de regresión en un contexto determinado (MEC, 2007,
pp.45475-45476).
En este trabajo tratamos de desarrollar la idea de sentido estadístico, definida por Batanero,
Díaz, Contreras y Roa (2013) como unión de la cultura estadística y el razonamiento estadístico, y
aplicarla al caso específico de la correlación y regresión, con la finalidad de orientar la labor del
profesor en el aula. Para ello, se parte del estudio previo de síntesis de la investigación didáctica sobre
este tema, presentado en Gea (2013), complementado con un análisis del tema en los libros de texto de
Bachillerato (Gea, Batanero, Contreras y Cañadas, 2013), y que ahora reinterpretamos para proponer
un modelo de componentes del sentido de la correlación y regresión. Asimismo, se ejemplifican
dichos componentes utilizando ejemplos de diferentes textos de Bachillerato, que actualmente se
utilizan en el aula.
2. Componentes de la cultura sobre correlación y regresión
Un primer componente del sentido estadístico es la adecuada cultura estadística, que aúna el
conocimiento básico sobre el tema, unido a unas actitudes positivas (Gal, 2002), que se particularizan
para la correlación y regresión en lo que sigue.
2.1. Actitudes y creencias
En primer lugar se requiere unas disposiciones favorables, la superación de creencias erróneas
sobre el tema, la valoración del método como instrumento de resolución de problemas y una actitud
crítica ante el uso inapropiado o el abuso de la correlación y regresión. En concreto, algunos de los
sesgos concretos que se deben evitar son los siguientes:
 La correlación ilusoria (Chapman, 1967) que consiste en dar prioridad a las propias
creencias, frente a la relación entre dos variables, sin tener en cuenta la evidencia ofrecida
por los datos. Ocasiona la percepción de la correlación cuando no existe, la sobreestimación
de una correlación dada; e incluso la percepción de una correlación contraria a la existente.
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 Creencia en la transitividad de la correlación (Castro-Sotos, Vanhoof, Van Den Noortgate y
Onghena, 2009). Es decir, cuando una variable X está correlacionada con otra variable Y, y
esta a su vez lo está con una tercera variable Z, pensar que X ha de estar correlacionada con
Z, lo cual no siempre es cierto.
 Juzgar la correlación entre dos variables X e Y sin controlar otras que las afectan y que
pueden cambiar el sentido o la intensidad de la correlación, efecto denominado paradoja de
Simpson. Un ejemplo descrito por Saari (2001) es encontrar una mejora en el rendimiento
académico de los alumnos, cuando se estudia este rendimiento centro a centro y luego
descubrir que el rendimiento global no mejora al condensar todos los datos, debido a que no
se tiene en cuenta la diferente proporción en cada centro de hijos de inmigrantes, que tienen
dificultad con la lengua.
 No considerar el efecto de regresión. Es habitual que al correlacionar dos medidas sobre los
mismos sujetos (por ejemplo, la estatura de una persona y la de su padre o la puntuación en
dos pruebas sucesivas) las puntuaciones atípicas en la primera variable se acerquen al valor
medio en la segunda. Galton descubrió este efecto que denominó reversión hacia la media y
es debido a la normalidad de los datos bivariantes (Estepa, Gea, Cañadas, y Contreras, 2012).
Sin embargo, algunas personas interpretan este efecto como un cambio; en el segundo
ejemplo, se puede pensar en un efecto de aprendizaje en los estudiantes con puntuación
excesivamente baja en la primera prueba.
2.2. Ideas fundamentales en correlación y regresión
Un adecuado sentido estadístico requiere, asimismo, el conocimiento de las ideas estadísticas
fundamentales descritas por Burrill y Biehler (2011), que son las siguientes: datos, representación de
la información y transnumeración, variabilidad aleatoria, distribución, asociación y ajuste de modelos
entre dos variables, probabilidad, muestreo e inferencia. A continuación analizamos y desglosamos
aquellas que aparecen en el estudio de la correlación y regresión en el nivel de enseñanza de
Bachillerato:
Datos y Distribución. En el estudio de la correlación y regresión se manejan datos bivariantes,
es decir, para cada individuo de una muestra se consideran conjuntamente los valores de las dos
variables estadísticas que se pretende relacionar. Tendremos entonces una variable estadística
bidimensional, formada por el conjunto de todos sus pares de valores posibles; si añadimos las
correspondientes frecuencias conjuntas (o de aparición de cada par concreto de valores), se obtiene la
correspondiente distribución bidimensional. Asociada a la misma, será necesario que los estudiantes
diferencien las frecuencias absolutas y relativas conjuntas, marginales y condicionales. Sin embargo,
en algunos textos de Bachillerato no se diferencian los conceptos de variable y de distribución
bidimensional, y por lo general, las variables que forman la variable bidimensional se presentan con
igual número de modalidades. Por otro lado, otros textos no presentan el estudio de las distribuciones
condicionales y/o marginales (Gea, Batanero, Fernándes y Gómez, 2013).
Representación tabular y gráfica. Por su papel esencial en la organización, descripción y
análisis de datos, las tablas y gráficos son un instrumento esencial en el análisis estadístico, y su
conocimiento es parte de la cultura estadística (Arteaga, Batanero, Cañadas y Contreras, 2011). En el
estudio de la correlación y regresión los datos se organizan en una tabla de doble entrada, cuyas celdas
representan la frecuencia conjunta de los valores de la variable que se fijan en sus correspondientes
filas y columnas. En los textos de Bachillerato se reconoce la importancia de esta forma de organizar
la información, aunque la representación tabular más utilizada es el listado de datos (donde cada
variable aparece en una columna), denominada en algunos textos tabla de frecuencias bidimensional
simple. La representación gráfica más utilizada en Bachillerato es el diagrama de dispersión o nube de
puntos, aunque también encontramos histogramas o gráficos tridimensionales y gráficos de burbuja
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(Figura 1). Tanto el diagrama de dispersión como el gráfico de burbujas son muy útiles para
interpretar la relación entre las variables de estudio, ya que permiten visualizar su intensidad (a través
de la mayor o menor dispersión de la nube de puntos), su sentido (si la relación es directa o inversa) y
el tipo (lineal o no), observando su tendencia (Sánchez Cobo, 1999). El diagrama de burbujas
permitiría también visualizar simultáneamente, hasta tres variables (representando la tercera mediante
el diámetro) o incluso cuatro, si mediante el color pudiera representarse una cuarta variable.
Figura 1. Diagrama de burbujas y diagrama de dispersión (Biosca et al., 2008, p.270).
Variabilidad aleatoria. La variabilidad se manifiesta en este tema mediante la dispersión de la
nube de puntos respecto al modelo de regresión; que en Bachillerato se reduce al análisis de la mayor
o menor desviación de los puntos a la recta de regresión. De hecho, es posible interpretar la línea de
regresión como tendencia, y la distancia de los puntos a la misma como dispersión o variabilidad.
Metafóricamente, se podrían usar los términos “señal” (para la recta) y “ruido” (la distancia de los
puntos a la recta) o bien “estructura” y “residuos” (Engel y Sedlmeier, 2011). Así es que, el modelo de
regresión tendrá como principal finalidad la predicción de una de las variables en función de la otra, y
la evaluación de la variabilidad latente en los datos. Posteriormente esta “variabilidad” de los puntos
alrededor del modelo se medirá mediante la covarianza y el coeficiente de correlación (que también
miden la dirección de la correlación):
El valor de la covarianza indica cómo se apartan a la vez las dos coordenadas
de un dato respecto de la media. Si el resultado es positivo, quiere decir que
los productos son positivos, esto es, los valores de xi y de yi se alejan en el
mismo sentido de sus respectivas medias. Y, al contrario, si el resultado es
negativo. En caso de que el valor sea cero o próximo a cero, la covarianza
informa de que no hay relación entre ambas variables (Vizmanos et al, 2008a,
p.251).
De hecho, el cuadrado del coeficiente de correlación o coeficiente de determinación, además de
medir la bondad del ajuste de los datos al modelo, también puede interpretarse como una medida de
variabilidad: La proporción de la varianza de la variable dependiente Y explicada por el modelo de
regresión, como explican algunos textos:
En ocasiones, con el fin de calcular la calidad o bondad del ajuste realizado
mediante la recta de regresión y, por tanto, la fiabilidad de las predicciones
que con ella se puedan realizar, se utiliza la expresión (r2·100)%, que nos da
el porcentaje en el que la variable Y se justifica por el valor de la variable X.
(Bescós y Pena, 2008, p.185).
Dependencia funcional, aleatoria e independencia. Mientras que en una dependencia funcional
a cada valor de una variable X (independiente) corresponde un solo valor de otra variable Y
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(dependiente), en la dependencia aleatoria a cada valor de X corresponde una distribución de valores
de Y, por lo que este concepto amplía el de dependencia funcional. Los libros de texto suelen resaltar
esta diferencia, como en el ejemplo siguiente:
En ocasiones se observa que existe una relación entre las variables, pero
dicha relación no puede expresarse como una función matemática. En este
caso se dice que entre las variables X e Y existe una dependencia estadística,
que podrá ser fuerte o débil. (Monteagudo y Paz, 2008a, p. 338).
En este sentido, son muchos los textos que definen la idea de independencia como en el
siguiente ejemplo: “Cuando no existe dependencia funcional ni estadística, se dice que hay
independencia estadística entre las variables.” (Monteagudo y Paz, 2008b, p.224). Esta definición es
importante, pues la comprensión de la idea de independencia es base de muchos temas estadísticos
posteriores; por ejemplo, en inferencia, un supuesto básico de aplicación de la mayor parte de
contrastes estadísticos es admitir la independencia estadística de los datos de la muestra.
Covarianza y correlación. Como se ha indicado, con objeto de medir el signo y la intensidad de
la dependencia entre dos variables estadísticas, se introducen otros dos conceptos importantes: la
covarianza y la correlación. La covarianza permite analizar el signo de la correlación y se define
formalmente en la mayoría de los textos, aunque por lo general, se acompaña de ejemplos que faciliten
su comprensión. En este sentido, es de gran utilidad la explicación de su significado mediante la
división en cuatro cuadrantes de la nube de puntos por las rectas correspondientes a las medias de cada
variable (Figura 2), ya que permite al estudiante desarrollar una mejor comprensión. Este es el modo
en que se razona el signo de la correlación y la covarianza en la propuesta didáctica de Holmes (2001).
Así mismo, este análisis propicia que el estudiante comprenda más significativamente el cálculo del
coeficiente de correlación en base al anterior.
Figura 2. Definición e interpretación de la covarianza (Colera et al., 2008, p. 228).
Regresión. Encontrada una relación moderada o fuerte entre las variables, el siguiente paso es
tratar de deducir un modelo matemático que permita predecir una de ellas en función de la otra. El
concepto de regresión suele tratarse de modo implícito en los textos de Bachillerato, con algunas
excepciones como en el siguiente ejemplo, donde se resalta su utilidad predictiva:
La regresión consiste en tratar de encontrar una función matemática que
relacione las variables X e Y de una distribución bidimensional, de forma que,
si se conoce el valor de una variable, se puede calcular el correspondiente de
la otra, con mayor o menor aproximación. (Monteagudo y Paz, 2008a, p.
340).
La diferencia entre variable dependiente e independiente ocupa un lugar central en el análisis de
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la regresión, ya que, una vez aceptada la dependencia entre las variables del estudio, y con objeto de
expresar en forma de ecuación o modelo una variable en función de otra, se necesita seleccionar qué
variable servirá como dependiente o predictora. La definición explícita de variable dependiente e
independiente se encuentra en pocos textos; un ejemplo es el siguiente: “La variable dependiente es
aquella que se quiere estimar, y la variable que se utiliza para ello se denomina variable
independiente.” (Vizmanos y cols., 2008a, p.254). En el resto se suele incluir implícitamente, pues se
hace explícita la existencia de dos rectas de regresión diferentes:
Si X se considera la variable independiente e Y la variable dependiente, la
ecuación de la recta de regresión es: y  y 
S xy
S x2
x  x . Esta recta se
denomina recta de regresión de Y sobre X. A partir de ella, conocidos los
valores de X, y sustituyéndolos en la ecuación, se pueden calcular con una
cierta aproximación los valores de Y.
Si se considera Y como variable independiente y X como variable
dependiente, se obtiene la recta de regresión de X sobre Y, cuya ecuación es:
xx
S xy
S y2
y  y  . Igual que en el caso anterior, conocidos los valores de Y,
y sustituyéndolos en la ecuación de la recta, se obtienen con cierta
aproximación los valores de X. (Monteagudo y Paz, 2008b, p.226).
Modelos de regresión y sus parámetros. Como señala Moore (2005), la regresión es un modelo
general para comprender las relaciones entre variables, por lo que el concepto de modelo es
fundamental en el tratamiento de la regresión. En muchos textos de Bachillerato, esta idea queda
implícita, y se restringe al modelo lineal, con algunas excepciones, como por ejemplo:
Si en una variable (X,Y) existe una correlación fuerte entre las variables X e
Y, el análisis de la regresión permite encontrar la ecuación de la función
matemática que mejor se ajusta a la nube de puntos. Esta puede ser una recta,
una parábola, una exponencial, una cúbica, etc. (Monteagudo y Paz, 2008b,
p.226).
En otros textos se aclara que el método de mínimos cuadrados permite obtener aquella recta que
minimiza los cuadrados de las diferencias entre los datos teóricos y los reales. Y en algunos casos, se
indican los parámetros que definen la recta, centrando el interés en la pendiente de la recta, para lo
cual se diferencian los dos coeficientes de regresión, dependiendo de qué variable se considere como
dependiente o independiente. En algunos casos, sin embargo, sólo se define el coeficiente de regresión
de Y sobre X, como por ejemplo:
La recta que hace mínima la suma
y  y
 xy
 x2
 xy
 x2
2
 di
tiene por ecuación:
x  x se llama recta de regresión de Y sobre X. A la pendiente,
, se la llama coeficiente de regresión (Colera et al., 2008, p. 230).
En Bachillerato raramente se alude al tratamiento de datos atípicos, aunque encontramos un
texto en el que se presenta el procedimiento de cálculo de la recta de Tukey para obtener la recta de
regresión respecto a la mediana (Vizmanos et al., 2008a; 2008b).
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Estimación y bondad de ajuste. En cuanto a la utilidad de la recta de regresión, para realizar
estimaciones del valor de la variable dependiente en función de la independiente hemos constatado
que sólo algunos textos la resaltan, al igual que en el estudio de Sánchez Cobo (1999). Todavía menos
analizan la bondad del ajuste realizado, definiendo el coeficiente de determinación, aunque a veces
esta idea queda implícita, como en el ejemplo ya citado de Bescós y Pena (2008).
3. Pensamiento y razonamiento estadístico sobre datos bivariados
Además de la comprensión de las ideas fundamentales que se han descrito en el apartado
anterior, será también necesario desarrollar en los estudiantes el pensamiento y razonamiento
estadístico en torno a la correlación y regresión. En primer lugar, sería necesario mejorar su
estimación de la correlación a partir de diversas representaciones de datos, pues la investigación previa
muestra sesgos en dicha estimación. Para ello, será necesario tener en cuenta las variables que influyen
en la dificultad de la estimación de la correlación, que son las siguientes (Sánchez Cobo, Estepa y
Batanero, 2000):
 El signo de la correlación, que puede ser positivo (dependencia directa), negativo
(dependencia inversa) o nulo (independencia), siempre en caso de correlación lineal. Aunque
matemáticamente la dependencia directa o inversa sean semejantes, los estudiantes no las
perciben de igual modo, sino que tienen más facilidad en estimar correctamente la
correlación positiva, llegando en ocasiones a suponer que la correlación negativa es muy
próxima a cero. En este sentido, en nuestro estudio previo (Gea, Batanero, Contreras y
Cañadas, 2013) se observó que en algunos libros de texto hay muy pocos ejemplos de
correlaciones negativas, llegando en algunos casos sólo al 12% de todos los ejemplos y
actividades propuestas.
 Intensidad de la dependencia, siendo más fácil para los estudiantes percibir una correlación
fuerte. De hecho, los estudiantes presentan dificultades al comparar diferentes valores del
coeficiente de correlación (Sánchez Cobo, 1999). También este aspecto se puede mejorar en
los libros de texto, que presentan en una amplia mayoría de situaciones con correlación muy
próxima a 1, que escasamente aparecen en las aplicaciones reales, sobre todo en las ciencias
sociales.
 Concordancia entre los datos y las teorías previas sugeridas por el contexto. Como se ha
indicado al hablar de los sesgos en el razonamiento correlacional, muchos sujetos se guían
preferentemente por sus teorías (en vez de usar los datos) cuando estiman una correlación.
Por ello, es más fiable la estimación de la correlación cuando hay concordancia entre los
datos y estas teorías previas que en caso contrario. Usualmente, en los ejercicios de los libros
de texto las teorías previas y datos coinciden, por lo que sería interesante presentar algún
ejemplo en que esto no ocurra.
 El número de datos. Respecto a la tarea de estimar un valor del coeficiente de correlación,
Sánchez Cobo et al., (2000) indican que mejora cuando hay más datos. Por el contrario, los
problemas tipo en los libros de texto presentan un número reducido de datos, pues son pocos
los que están planteados para ser resueltos con ayuda de la tecnología.
El razonamiento sobre datos bivariados incluye la adquisición de estrategias adecuadas de
análisis. Por supuesto, el cálculo e interpretación de la covarianza y correlación, principalmente
mediante el uso de la tecnología para interpretar la correlación son las mejores estrategias. Pero el
profesor también puede enseñar algunas estrategias intuitivas correctas basadas en el análisis del
diagrama de dispersión. Dichas actividades se suelen incluir en los libros de texto, generalmente
mediante ejemplos, como se muestra en la Figura 3:
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Figura 3. Interpretación del diagrama de dispersión (Vizmanos y cols., 2008b, p.322).
 Comparación de la mayor o menor dispersión del diagrama de dispersión. Se trataría de
estimar la correlación entre las dos variables observando la dispersión de los puntos en torno
a una línea de ajuste a los mismos. Esta estrategia es correcta, y permite estimar la intensidad
de la correlación, pues a menor dispersión, aumenta la correlación. Los casos extremos
serían cuando no existe dispersión (dependencia funcional) y el caso de independencia
(máxima dispersión en la gráfica).
 Crecimiento o decrecimiento. Esta estrategia permite ver el signo de la correlación en caso
de que la nube de puntos se ajuste a una función lineal. Consiste en estudiar la tendencia de
la nube de puntos según la pendiente de la recta para justificar el sentido de la dependencia.
 Comparación con un modelo matemático. El estudiante compara la forma de la nube de
puntos con una función conocida, por ejemplo, lineal o cuadrática. Si la forma de la nube se
ajusta al modelo, deduce que hay correlación, y estima la intensidad de acuerdo al mayor o
menor ajuste de los datos a éste. La estrategia funciona si la dispersión es pequeña y
dependiendo del modelo elegido para comparar.
Sería también importante desarrollar la comprensión de la diferencia entre correlación y
causalidad mediante la discusión con los estudiantes sobre la explicación de la correlación, que no
siempre es debida a una relación causa-efecto. Otras posibles explicaciones sugeridas por Barbancho,
(1973) son las siguientes:
 Las variables pueden ser interdependientes (cada variable afecta a la otra), como en el caso
de la longitud de piernas y la altura de una persona;
 La existencia de una tercera variable que determine la correlación, esto es, las variables
muestran dependencia pero es indirecta. Un ejemplo sería relacionar el índice de natalidad y
la esperanza de vida, que presentan una correlación negativa. La proporción de mujeres que
trabaja en un país afecta al producto nacional bruto, y al índice de natalidad (que disminuye)
y con ello aumenta la esperanza de vida. Así es que estas dos variables están por ello
correlacionadas, de modo indirecto, ya que su relación viene motivada por la influencia de
otras variables como el número de mujeres empleadas en un país.
 La concordancia o coincidencia en preferencia u ordenación de una misma serie de datos,
como por ejemplo, si dos profesores de modo independiente califican un mismo examen ya
que, las calificaciones están correlacionadas pero la nota de uno no influye en la del otro.
 Covariación casual o espúrea: Cuando parece que en la covariación de dos variables hay
cierta sincronía, lo cual podría interpretarse como la existencia de asociación entre ambas;
sin embargo, ésta es casual o accidental.
En este sentido, algunos textos incluyen la definición de correlación espúrea o casual
aproximándose a otras tipologías de covariación diferentes de la interdependencia y la dependencia
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causal unilateral. Así por ejemplo, los siguientes textos muestran casos de covariación debida a
terceras variables, y la denominan correlación espúrea:
No siempre que dos variables generen una nube de puntos alargada existe
correlación entre ellas. Son muchos los casos en los que dos caracteres varían
a la vez, sin que por ello estén correlacionados. Por ejemplo: las canas y la
miopía de las personas. Es posible que entre los canosos haya más miopes,
pero no por ser canosos sino por ser mayores. Este tipo de falsas
correlaciones se llaman espurias (Martínez, Cuadra y Heras, 2008, p. 252).
Por ejemplo, es muy posible que exista una cierta correlación entre el número
de restaurantes de una ciudad y el número de profesores que trabajan en ella.
Esto se debe a que ambas variables están relacionadas con el número total de
habitantes de la ciudad (Anguera et al., 2008, p.221).
4. Reflexiones finales
Un requisito necesario para desarrollar el sentido de la correlación y regresión en nuestros
estudiantes es la preparación específica del profesor de matemáticas en este. Para ello habría que tener
en cuenta en la formación de los profesores las seis facetas descritas por Godino (2009):
 Faceta epistémica: sería necesario desarrollar el conocimiento matemático del profesor, en
nuestro caso de la correlación y regresión, y de los diferentes objetos matemáticos
(problemas, lenguaje, conceptos, propiedades, argumentos y procedimientos) y procesos
asociados al tema. Por ejemplo, el profesor debe saber identificar problemas de
contextualización de la correlación y regresión o reconocer los medios de expresión
matemática (diagramas de dispersión, notaciones, tablas,..) ligados al tema.
 Faceta cognitiva: implica el conocimiento del razonamiento, aprendizaje y dificultades de
los estudiantes con la correlación y la regresión. Un ejemplo sería conocer si un estudiante
está capacitado para resolver un problema o saber cómo ayudarlo; o bien reconocer el
progreso en el aprendizaje del estudiante.
 Afectiva: conocimiento del grado de implicación (interés y motivación) del alumnado en el
proceso de estudio. Ser capaz de buscar situaciones que motiven el interés de los estudiantes.
 Mediacional: uso de recursos tecnológicos, manipulativos y de todo tipo, apropiados para la
enseñanza-aprendizaje del tema según el nivel de formación o el grado en que se imparte la
enseñanza.
 Interaccional: conocimiento de modelos de comunicación entre los actores del proceso de
instrucción; en particular se capaz de utilizar la evaluación para diagnosticar las dificultades
de los estudiantes y favorecer la interacción entre ellos.
 Ecológica: conocimiento del grado en que el proceso de enseñanza y aprendizaje se ajusta al
currículo y proyecto educativo del centro; establecer conexiones del tema con otras ideas
matemáticas o de otras materias; estar abierto a la innovación docente y necesidades de la
sociedad.
Finalmente, y como se indica en Batanero, Díaz, Contreras y Roa (2013), el profesor ha de ser
también capaz de proponer a los estudiantes proyectos estadísticos adecuados a sus capacidades, pues
los proyectos constituyen un recurso fundamental en el desarrollo del sentido estadístico de los
estudiantes. El mismo proyecto descrito en el citado trabajo podría ser utilizado en la enseñanza de la
correlación y regresión. Así mismo, remitimos al lector interesado en el estudio de estadísticas
demográficas y su relación con indicadores económicos, al proyecto descrito en Batanero, Díaz y Gea
(2011), en el que se tienen en cuenta las tareas correlacionales descritas en el presente trabajo, y que es
adaptable a diversos niveles educativos.
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Agradecimientos: Proyecto EDU2013-41141-P (MEC) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía).
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M. M. Gea, C. Batanero y R. Roa
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María M. Gea Serrano, Licenciada en Matemáticas y Estadística, Máster en Estadística Aplicada,
Máster en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad de Granada y actualmente desarrolla su
investigación en Didáctica de la Estadística en el Programa de doctorado en la Facultad de Ciencias de la
Educación, Universidad de Granada, donde ejerce como profesora.
Email: [email protected]
Carmen Batanero Bernabeu, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada. Fue
miembro del Comité Ejecutivo de ICMI (International Comisión on Mathematical Instruction y
Presidenta de IASE (International Association for Statistical Education). Ha coordinado varios congresos
y proyectos de educación estadística.
Email: [email protected]
Rafael Roa Guzmán, es Doctor en Didáctica de la matemática y profesor Titular de Universidad de la
Universidad de Granada. Ha participado en varios proyectos de investigación en educación estadística y
ha publicado artículos y comunicaciones en congresos sobre esta temática.
Email: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 37-58
Los problemas aritméticos en primaria: un estudio sobre las concepciones
de profesores bilingües
Javier García-García (Universidad Intercultural del Estado de Guerrero. México)
Fecha de recepción: 14 de noviembre de 2013
Fecha de aceptación: 21 de abril de 2014
Resumen
El presente escrito establece como objetivo describir las concepciones que referentes a
los problemas aritméticos tienen profesores bilingües de primaria de México. Como
método de investigación se recurre al estudio de casos; participando seis docentes en
servicio que laboran en dos comunidades Ñuu Savi (mixtecas) del estado de Guerrero,
México. Para la colecta de datos se utiliza un cuestionario de respuestas abiertas. Los
resultados obtenidos invitan a reflexionar sobre el particular, así como a realizar más
investigaciones tomando como objeto de estudio a las concepciones de los profesores en
relación con distintos tópicos matemáticos y, que en conjunto permitan reorientar el
currículum oficial dirigido a la formación de profesores.
Palabras clave
Concepciones, problemas aritméticos, profesores bilingües
Abstract
The research establishes as objective to describe the conceptions that elementary
bilingual teachers from México, have in relation to arithmetic problems. This paper
reports the method is used to study cases; participating six teachers, all in services and
working in two communities Ñuu Savi (mixtecas) of the state Guerrero, Mexico. For data
collection using an open answer questionnaire. The results of this paper, invite to
reflection on the subject, as well as more research taking as a case study to the
conceptions of teachers in relation to many mathematical topics, and redirect that
together allow the official curriculum aimed at teacher training.
Keywords
Conceptions, arithmetic problems, bilingual teachers
1. Introducción
En México, la Reforma Integral de Educación Básica (RIEB) inició en 2004 con la Reforma de
Educación Preescolar, continuó en 2006 con la de la Educación Secundaria y finalmente, concluyó en
2009 con la de nivel primaria (SEP, 2011). El principal enfoque de esta reforma es el desarrollo de
competencias y está centrada en el aprendizaje de los estudiantes. Sin embargo, si bien la RIEB ha
impactado en el currículum oficial (planes y programas de estudio, libros de textos, entre otros
documentos oficiales), en el currículum impartido (es decir, en aquello que realmente enseña el
profesor) es poco probable su incidencia. La principal hipótesis de esta aseveración es que estas
reformas no han alcanzado al nivel superior; más aún, la formación profesional de los docentes de
primaria ha estado a cargo de instituciones superiores con distintas misiones y visiones, por ejemplo,
normales superiores y universidades tanto públicas como privadas.
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Los problemas aritméticos en primaria: un estudio sobre las concepciones de profesores bilingües
J. García-García
Por otra parte, como lo señala Martínez y Gorgorió (2004), el profesorado filtra este nuevo
currículum a través de sus esquemas mentales, que incluyen conocimientos matemáticos,
concepciones y creencias sobre las Matemáticas como disciplina, su percepción del proceso
enseñanza-aprendizaje y otros aspectos relativos a su papel en el aula. Ello repercute en la práctica que
el profesor desarrolla en el salón de clases. De esta manera, pese que a que la RIEB propone que el
docente debe propiciar las condiciones para que el alumno construya su propio conocimiento, en
concordancia con lo que plantea una didáctica constructivista, en la realidad el discurso escolar del
profesor se ve afectado por múltiples factores. Entre estos se pueden apuntar la formación profesional,
sus creencias, sus significados construidos en la cotidianidad, sus ideas acerca de qué es enseñar y
aprender, así como la preferencia por determinados conocimientos, ya sean tácitos o codificados.
En relación con las concepciones, Borello (2007) señala que estas juegan un papel importante
en la práctica del profesor; puesto que éste pertenece a un determinado contexto sociocultural, que
tiene cierta idea (creencias y significados) acerca de las Matemáticas en particular, intentando
transmitir un saber a sus alumnos. Estas concepciones influyen tanto en las decisiones que toman los
profesores como con las acciones que realizan antes, durante y después de su intervención didáctica
(Martínez, 2003). Asimismo, estas concepciones repercuten directamente en la visión que los alumnos
adquieren en relación a la naturaleza de las Matemáticas, el sentido de su aprendizaje, y los valores
inherentes a ella. Esto justifica la importancia de identificar las concepciones del profesor en relación
con distintos temas matemáticos.
Por otra parte, en relación con la formación profesional del docente, es importante resaltar que
su tarea puede resultar un gran reto si éste no está familiarizado con el saber a enseñar; es decir, si no
cuenta con la formación profesional adecuada. En este grupo, se puede incluir a un gran número de
profesores que pese a formarse para tal, no se especializan en un área específica, pero tienen que
atender varias asignaturas a la vez. Es en esta situación en la que se encuentran los profesores de
primaria en México: se forman para docentes, pero con una visión general de todas las asignaturas que
impartirán, pero sin una didáctica sólida para cada una de ellas. También es necesario señalar que
México es un país con una gran diversidad cultural y lingüística, con aproximadamente 62 grupos
étnicos (López y Tinajero, 2011), cada uno con una lengua étnica propia y sus respectivas variantes.
Esta situación demanda investigaciones que se centren tanto en la actividad de los profesores
monolingües (mestizos) como de los bilingües (hablantes de una lengua étnica y del idioma oficial);
sobre todo cuando estos laboren en comunidades étnicas. Una aproximación a esta actividad es
identificar sus concepciones en torno a ciertos objetos matemáticos (Zapata, Blanco y Contreras,
2008), así como analizar la práctica que desarrollan en el contexto escolar.
Al respecto, la literatura indica que existen estudios que se han enfocado a la práctica misma
que desarrolla el profesor (Rivera, García y Cabañas, 2011); pero también reporta diversas
investigaciones que tratan de aproximarse al desempeño del docente en el aula a través del estudio de
sus concepciones o creencias (Jiménez, 1996; Blanco, 1997; Batanero, Godino y Navas, 1997; Flores,
1998; Buendía, Carmona, González y López, 1999; Martínez, 2003; Martínez y Gorgorió, 2004;
Freitas, Jiménez y Mellado, 2004; Barrantes y Blanco, 2005; Borello, 2007; Zapata et al, 2008;
Moreano, Asmad, Cruz y Cuglievan, 2008; Lang y Namukasa, 2010; Oñate, Saavedra y Spolmann,
2011; Cortés y Sanabria, 2012) en los distintos niveles educativos. Sin embargo, los estudios
anteriores se enfocan a poblaciones distintas a los que interesan en este estudio, a saber, los profesores
bilingües (hablantes de la lengua oficial y de una lengua étnica) del nivel básico (primaria); grupo que
ha permanecido desatendido en este rubro (el estudio de las concepciones). Creemos que es en este
nivel (primaria) donde el alumno empieza a formarse una actitud (ya sea negativa o positiva) en
relación con las Matemáticas. Por tanto, el presente escrito sostiene que dado a las particularidades de
cada contexto áulico, siempre es viable identificar las concepciones de los docentes de distintos
niveles educativos, en diferentes contextos y para distintos tópicos, en nuestro caso matemáticos.
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La principal motivación para realizar el presente estudio, reside en que se parte de que las
concepciones de un profesor permean en la actividad que desarrolla en el aula de clases, la cual a su
vez puede incidir en la actitud de los alumnos hacia las Matemáticas; como estos señalan regularmente
en el aula de clases. Tomando en cuenta la particularidad de los contextos escolares, los estudios
planteados en relación con las concepciones nunca serán suficientes, pero sí aportarán información
importante sobre el particular. Esta información permitiría conjeturar sobre los cambios necesarios al
currículum oficial dirigido a la formación de profesores, si es el caso. Por tanto, el presente escrito
pretende aportar en esa línea respondiendo la pregunta ¿Cuáles son las concepciones que referente a
los problemas aritméticos tienen los profesores bilingües de primaria en México? Asimismo, como
objetivo se plantea: describir las concepciones que referentes a los problemas aritméticos tienen los
profesores bilingües.
Finalmente, se apunta que México no es el único país pluricultural, puesto que existen diversos
grupos étnicos en las distintas partes del orbe, como en África, Colombia, Brasil, etc. Por tanto, los
resultados que se presenten en este escrito, si bien derivan de profesores mexicanos, en otras partes del
orbe la situación puede ser similar; por ello, el estudio invita a la reflexión a investigadores y a
formadores de profesores, sobre todo en lo relativo a conocimientos matemáticos que éstos construyen
y transmiten a sus alumnos. Asimismo, el artículo apremia a los investigadores etnomatemáticos a
seguir abonando en el rescate de conocimientos tradicionales para su incorporación en el currículo,
consecuentemente en el aula de clases. Esto puede significar la mejora de la enseñanza-aprendizaje de
las Matemáticas en las aulas con diversidad cultural, puesto que el contexto y la cultura juegan un
papel importante en este proceso (Setati y Adler, 2001; Gorgorió y Planas, 2002; Clarkson, 2004;
García, 2013; García, Rodríguez y Navarro, 2013).
2. Las concepciones y los problemas ¿cómo se conciben?
Para el propósito de este escrito que es describir las concepciones de los profesores bilingües de
primaria en relación con los problemas aritméticos, es pertinente aclarar cómo se conciben las
concepciones, qué son los problemas y cómo se definen los problemas aritméticos. Respecto del
constructo concepciones, Flores (1998) señala que estas consideran el aspecto cognitivo, conceptual,
consciente, que organiza el pensamiento. Es así como este constructo incluye, tanto al aspecto emotivo
como conceptual, tanto al sujeto particular como a la institución. Por su parte, Ponte (1999) plantea la
postura de que las concepciones son como un substrato conceptual que juegan un papel importante en
el pensamiento y la acción; proporcionan puntos de vista del mundo y funcionan como organizador de
conceptos. Asimismo, señala que las concepciones funcionan como filtros; es decir, son
simultáneamente condición y límite de nuestro conocimiento de la realidad, permiten interpretarla a la
vez que son elementos bloqueadores de esta interpretación, luego distorsionan lo que se nos presenta.
Las posturas anteriores señalan que las concepciones tienen que ver con aspectos cognitivos,
relacionados con el pensamiento y el conocimiento de la realidad. En términos similares, Contreras
(1999: citado en Cortés y Sanabria, 2012) plantea que las concepciones son “un marco organizativo de
naturaleza metacognitiva, implícito en el pensamiento del sujeto, que incide sobre sus creencias y
determina su toma de decisiones (p. 37)”. En cambio, Moreano et al (2008) plantea que las
concepciones son un sistema organizado de creencias que permite comprender la variable en términos
de su formación, consistencias, organización, etc. Coincidente con esta acepción, se planea la postura
que señala que:
La concepción de un individuo acerca de una porción de la realidad, tanto física como
social, es el sistema organizado de creencias acerca de esa misma porción de la realidad,
entendidas estas como las aseveraciones y relaciones que el individuo toma como ciertas
en cada momento determinado de su vida, que se originan y desarrollan a través de las
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experiencias e interacciones de las que el individuo participa y que repercuten en las
interacciones subsiguientes con el mundo que le rodea (Remesal, 2006, p. 67).
Por su parte, Thompson (1992: citado en Martínez, 2003) en un sentido más general que
Moreano et al (2008) y Remesal (2006), plantea que las concepciones son una estructura mental
general, que abarca creencias, significados, conceptos, preposiciones, reglas, imágenes mentales,
preferencias y similares. En ese mismo sentido, Zapata el al (2008) considera que las concepciones
son el conjunto de creencias, conceptos, significados y preferencias conscientes o inconscientes que
posee un individuo en relación con un objeto de conocimiento; estos aspectos emergen a partir del
análisis de opiniones y respuestas a preguntas específicas que se plantean a la persona.
Finalmente, la revisión hecha sobre el constructo concepciones permite identificar distintas
precisiones sobre el particular; sin embargo, para efectos de este escrito se entiende en el sentido de
Zapata et al (2008). Por tanto, se asume que las concepciones que posee un profesor en relación con
un objeto matemático emergerá en la medida en que éste externe sus opiniones a preguntas específicas
del investigador. Las concepciones (creencias, conceptos, significados y preferencias conscientes o
inconscientes que posee un individuo en relación con un objeto de conocimiento) del docente se
identificarán a partir de la interpretación que se haga de las respuestas que éste ofrezca a preguntas
específicas, en nuestro caso a un cuestionario de respuestas abiertas.
Respecto del término problema (Tabla 1) también se han ubicado las siguientes precisiones:
Autor
Posturas en relación con el constructo problema
Rizo y
Un problema es toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga
Campistrous a transformarla. La vía de solución tiene que ser desconocida y la persona quiere realmente
(1999)
realizar la transformación.
Problema es “una situación o tarea que intenta transformar o resolver conscientemente un
Cabañas
individuo; que de hecho es una contradicción que se le presenta al individuo y éste quiere
(2000)
resolverla; y que la vía de solución es desconocida para el individuo” (p. 8).
Existe problema “sólo si el sujeto o los sujetos lo visualizan como tal, y que no existe un método
Ortiz (2001)
eficaz que mediante su aplicación permita encontrar una solución al problema” (p. 58)
Un problema es una situación que un individuo o grupo quiere o necesita resolver y para la cual
no dispone, en principio, de un camino rápido y directo que le lleve a la solución;
Echenique
consecuentemente eso produce un bloqueo. Conlleva siempre un grado de dificultad apreciable,
(2006)
es un reto que debe ser adecuado al nivel de formación de la persona o personas que se enfrentan
a él (p. 20)
Un problema es una tarea o situación que reúne los siguientes componentes: (I) la existencia de
un interés, es decir, una persona o un grupo de individuos quiere o necesita encontrar la solución;
Santos
(II) la no existencia de una solución inmediata; (III) la presencia de diversos caminos o métodos
(2010)
de solución; y (IV) la atención por parte de una persona o un grupo de individuos para llevar a
cabo un conjunto de acciones tendentes a resolver esa tarea.
Es una tarea o situación que reúne los siguientes componentes:
1. Existe una demanda o acción a realizar, para la cual hay una persona o grupo de personas que
quieren o necesitan cumplimentarla. La demanda será adecuada al nivel de formación de la(s)
García
persona(s).
(2012,
2. Hay un proceso por poner en juego para cumplir la demanda, pero que en primera instancia
2013)
parece desconocido; es decir, se necesita realizar cierto proceso de análisis para comprender lo
que se le pregunta y la situación en general.
3. La situación puede tener varios, uno o ningún resultado final, lo cual deberá determinar la
persona haciendo uso de alguna estrategia.
Tabla 1. Constructo problema: acepciones de algunos autores.
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Los problemas aritméticos en primaria: un estudio sobre las concepciones de profesores bilingües
J. García-García
Como se aprecia en la tabla 1, la literatura que define problema ofrece distintas precisiones
acerca del mismo; pero es inexistente una definición aceptada por toda la comunidad de matemáticos
educativos. La dificultad de definir el término problema, radica principalmente en que es subjetivo a la
persona que desarrolla la situación; puesto que lo que un individuo considera problema, para otro no
deja de ser un mejor ejercicio. Sin embargo, para efectos del presente trabajo el constructo problema
se concibe en el sentido de García (2012, 2013).
Finalmente, en este escrito se asume que los problemas aritméticos son aquellas situaciones
que en su enunciado presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo
cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus
relaciones, y que necesitan la realización de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación o
división) para su resolución (Echenique, 2006).
3. El estudio de casos como método de investigación
Dado que el objetivo que plantea el presente escrito es: describir las concepciones que
referentes a los problemas aritméticos tienen profesores bilingües de México, se consideró
conveniente adoptar como método de investigación al estudio de casos (Castillo, 2007). Asimismo, la
investigación es descriptiva (Hernández, Fernández y Baptista, 2010), dado que busca describir grosso
modo las concepciones de los profesores bilingües. Para realizar el estudio, se siguió el siguiente
esquema metodológico:
I. Selección de los casos de estudio.
II. Diseño de un cuestionario.
III. Aplicación del cuestionario.
IV. Análisis de resultados.
Los casos de estudio fueron seis profesores de primaria que atienden entre los grados 3°, 4°, 5°
y 6° grado (Tabla 2), y uno más colabora como directivo en una institución, además de impartir clases
en un grupo de primer grado. Cuatro de los casos anteriores son docentes bilingües y los restantes,
sólo dominan la lengua oficial de México (Tabla 2).
Profesor
Guadalupe
Pedro
Martha
Lucy
Miguel
Mario
Lengua(s) que habla
Grado que atiende
Tu’un Savi (mixteco) y Español
Tu’un Savi y Español
Mé’phaa (tlapaneco) y Español
Español
Tu’un Savi y Español
Español
Primero (directivo)
Sexto
Quinto
Tercero y cuarto
Tercero y cuarto
Quinto y sexto
Tabla 2. Los casos de estudio y la lengua que hablan.
Todos los docentes participantes laboran en comunidades Ñuu Savi (mixtecas) en Ayutla de los
Libres, Guerrero, donde la lengua materna es el Tu’un Savi (mixteco). Todos son profesores en
servicio; además, uno de ellos sigue en formación, a saber, la profesora Martha. Asimismo, ellos
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Los problemas aritméticos en primaria: un estudio sobre las concepciones de profesores bilingües
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laboran en dos escuelas situadas en pueblos contiguos. Los profesores Guadalupe, Pedro, Martha y
Lucy trabajan en una misma escuela; los restantes dos laboran en otra.
Para la colecta de datos se hizo uso de un cuestionario de respuestas abiertas. La aplicación se
hizo en un día hábil en el caso del grupo de cuatro profesores, mientras que los restantes dos,
solicitaron que se les dejara el cuestionario que harían llegar en días posteriores al investigador.
Finalmente, vale señalar que la actividad se desarrolló como parte de un proyecto de investigación más
general (García 2102); pero que también permite identificar las concepciones de los profesores.
Diseño de los cuestionarios
El cuestionario aplicado a los docentes permitió identificar aspectos como: datos personales y
profesionales, información sobre su práctica docente, así como las condiciones propias de la
comunidad donde se ubica su centro de trabajo (anexo 1). Las preguntas 3 y, de la 9 a la 11 (anexo 1)
planteadas en el cuestionario, permitieron identificar las concepciones de los profesores en torno a los
problemas aritméticos y de conceptos necesarios para definir a estos, tales como los significados de las
operaciones básicas. Las demás preguntas, sirvieron para evaluar la preferencia de los docentes
bilingües de primaria por las distintas materias que imparten, así como las particularidades de la
comunidad donde laboran. Esto último fue necesario, porque se cree que el contexto de alguna manera
influye en la práctica que desarrolla el profesor, así como la lengua que hablan tanto él como los
alumnos. En resumen, el cuestionario que se presenta en el anexo 1, presenta la siguiente estructura:
I.
Datos personales y profesionales: En este apartado se indaga acerca de algunos datos
personales y laborales del profesor así como su formación profesional.
II. Información sobre su actividad profesional: Aquí se investiga acerca de conocimientos
generales del profesor respecto de los programas de estudio y sus concepciones en torno a
los problemas aritméticos. Asimismo, se plantean algunas cuestiones relacionadas con
conceptos necesarios para definir a los problemas aritméticos, como son los significados de
las operaciones básicas.
III. Sobre la comunidad donde se ubica el centro de trabajo: En este apartado se cuestiona
sobre aspectos generales de la comunidad donde trabaja el docente.
4. Los resultados obtenidos
Antes de presentar los resultados obtenidos en el apartado II (es decir, las concepciones
identificadas), de manera breve se presentará lo que se obtuvo en el III y I, respectivamente.
Sobre las comunidades donde se ubican los centros de trabajo de los participantes
Como se comentó, los profesores participantes en el estudio eran de dos escuelas primarias
bilingües. Guadalupe, Pedro, Martha y Lucy trabajan en la escuela A; mientras que Miguel y Mario
trabajan en la escuela B.
La comunidad donde se ubica la escuela A está aproximadamente a 12 km de la cabecera
municipal. La lengua que se habla en ella es el Tu’un Savi (mixteco). Cuenta con los servicios básicos,
a saber, luz eléctrica, transporte colectivo, escuelas y centro de salud. La principal actividad
económica de la comunidad es la venta de productos como: el maíz, frijol, arroz, calabaza, mamey,
plátanos, cacao, etc. Además, casi todos los habitantes son campesinos. Por otra parte, los adultos de
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este poblado dominan a un nivel bajo el español; sin embargo, han tenido que aprender la lengua
oficial para realizar sus transacciones diarias en la cabecera municipal (donde venden sus productos de
temporada).
Por su parte, la comunidad donde se ubica la escuela B está aproximadamente a 16 km de la
cabecera municipal. Cuenta con los servicios de electrificación, medio de transporte y escuelas.
Similar al caso anterior, los habitantes de esta comunidad son hablantes del Tu’un Savi y dominan a un
nivel bajo el español. La actividad económica de la comunidad, gira en torno a la venta de productos
como: el maíz, frijol, plátanos, mamey, guanábanos, aguacates, piloncillos, calabaza, jamaica, etc. Sus
habitantes son principalmente campesinos.
En ambas comunidades, los niños también dominan a un nivel bajo la lengua oficial. Sin
embargo, todos emplean la lengua materna (el Tu’un Savi) como medio comunicativo en las diversas
actividades que realizan, tanto en el contexto escolar como en su vida cotidiana. Los niños y las niñas
juegan un rol bien definido en la comunidad; pues mientras los primeros tienen que ayudar al padre de
familia en las labores del campo, las niñas se encargan de ayudar en las tareas del hogar a la madre,
sólo en casos excepcionales también ayudan en las labores del campo. En ocasiones, las actividades
que realizan los niños y niñas en el seno familiar repercuten en su deserción escolar; motivo por el
cual, pocos son los que continúan con su formación profesional. Asimismo, por los trabajos que los
alumnos deben realizar para contribuir en la economía familiar, con frecuencia tienen que faltar a
clases. Esto provoca que presenten un bajo rendimiento escolar, particularmente en Matemáticas y
Español, asignaturas obligatorias en el nivel básico (primaria) en México.
Datos personales y profesionales
En el caso de los profesores Guadalupe, Pedro y Miguel son egresados de la Universidad
Pedagógica Nacional (UPN1), Martha es aún estudiante de la UNP, Lucy es egresada de una Normal
Superior2 y finalmente, el profesor Mario es Licenciado en Derecho por la Universidad Autónoma de
Guerrero. Con estos datos, se aprecia que de ellos cinco se formaron para profesores, mientras que uno
lo hizo para litigante, pero se desempeña como docente.
Por otra parte, por la lengua que domina cada profesor, aquellos (Pedro y Miguel) que hablan la
variante del niño imparten sus clases tanto en Español como en Tu’un Savi (mixteco); mientras que los
que hablan una variante distinta u otra lengua, lo hacen sólo en español. Esto pudiera incidir también
en el aprendizaje que alcanza el alumno, puesto que un buen grupo de ellos, domina a un nivel bajo el
español como lo refieren sus propios profesores.
Sobre las concepciones de los profesores
El análisis de las respuestas que dieron los profesores en el apartado II del cuestionario (anexo
1), se hizo por cada uno de ellos. Como se comentó previamente, para identificar las concepciones de
los docentes se puso especial atención a las respuestas dadas en la pregunta 3, y de la 9 a la 12.
Mientras que el resto de las preguntas se consideraron para tener mayor información respecto de la
práctica que desarrolla el profesor en el aula de clases. En ese sentido, primero se presentan algunos
resultados generales y posteriormente, se discute caso por caso las concepciones identificadas en cada
profesor.
1
En México, la Universidad Pedagógica Nacional es una institución superior cuya población objetivo son los
profesores en servicio (de preescolar o primaria).
2
Estas instituciones forman profesores de nivel básico (preescolar, primaria o secundaria) egresados del nivel
bachillerato; es decir, sin que tengan experiencia en la docencia.
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En primer término, vale apuntar las horas dedicadas a Matemáticas (Tabla 3) por cada profesor,
las materias que prefieren, así como los años que llevan en servicio:
Horas dedicadas en promedio
a la semana a Matemáticas
Profesor
Guadalupe
Pedro
20
No indica
Martha
7.5
Lucy
5
Miguel
5
Mario
5
Años en
servicio
Materia que prefiere
Matemáticas y Español
Todas
Historia, Ciencias Naturales, Cívica y
Ética
Ciencias Naturales, Español, Matemáticas
y Educación Artística
Ciencias Naturales, Español,
Matemáticas, Geografía e Historia
Historia
15
20
3
3
27
4
Tabla 3. Horas dedicadas a Matemáticas, preferencia y años en servicio por profesor.
Como se aprecia de la tabla 3, el tiempo asignado a Matemáticas a la semana en promedio por
profesor varía. Asimismo, en sus respuestas algunos docentes refieren no tener a esta disciplina como
su favorita; sin embargo, los que llevan más años en servicio dicen preferirla al igual que otras
asignaturas. El caso de Guadalupe es distinto a los demás, puesto que al atender a los niños de primer
grado (de 6 a 7 años) enfatiza mayormente en la clase de Matemáticas y Español, tal como se
establece en los planes y programas de estudio vigentes.
En correspondencia con la lengua que hablan los profesores, aquellos que dominan la variante
del Tu’un Savi de los niños, imparten sus clases recurriendo al uso de ella, combinándolo con la
lengua oficial del país. Este es el caso de los profesores Pedro y Miguel. Mientras que aquellos que no
hablan la variante del niño (profesora Guadalupe), hablan otra lengua originaria (profesora Martha) o
sólo dominan la lengua oficial (profesores Lucy y Mario), imparten sus clases sólo en español.
Dado a la naturaleza del estudio, enseguida se reportan algunas respuestas dadas por los
profesores participantes.
Caso 1. Profesora Guadalupe
La profesora Guadalupe en sus 27 años de servicio, ha impartido clases sólo a niños de segundo
y primer grado de primaria. En el momento de llevar a cabo el presente estudio, atendía este último
grado. Asimismo, refiere enfatizar en el trabajo colaborativo con sus estudiantes. Por el grado que
atiende, refiere sólo abordar las operaciones básicas de suma y resta, sin considerar los problemas
aritméticos. Cuando se le pregunta implícitamente por los significados de las operaciones básicas
(Figura 1), responde como se aprecia:
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Figura 1. Significados que reconoce la profesora Guadalupe en relación con las operaciones básicas.
En la figura 1, se observa que el profesor relaciona los significados con palabras claves3; éstas
sugieren el uso de alguna operación básica, por ejemplo, “agregar objetos” se relaciona con la suma.
Por otra parte, cuando se le pide explícitamente indicar los significados que reconoce de las
operaciones básicas, señala para la suma agregar, para la resta quitar, la multiplicación reproducir y
para la división repartir, relacionando nuevamente los significados con palabras claves. En otra línea
de ideas, cuando se indaga sobre la creencia de la profesora en relación con la importancia de priorizar
en el significado de las operaciones básicas (Figura 2 y 3) en el aula de clases, como lo establece el
plan de estudio vigente, la docente responde que es innecesario:
Figura 2. Creencia en relación con la importancia de los significados de las operaciones básicas.
Se observa en la figura 2, que la profesora considera que el plan y programa de estudio vigente
no está acorde al contexto sociocultural donde ésta se desempeña. Alude a esto para argumentar por
qué no considera los significados de las operaciones básicas; sin embargo, también se justifica por el
grado que atiende (Figura 3).
Figura 3. Justificación dada por el profesor.
Desde la perspectiva del presente estudio, el hecho de que se atienda a los alumnos de primer
grado, plantea con mayor razón que es necesario significar las operaciones básicas en los educandos
por medio de la resolución de problemas. Esto es así, porque desde este nivel, el alumno debe
3
Esto es, relaciona cierta palabra con alguna operación básica, y es usada tanto como estrategia de enseñanza
como de aprendizaje. Por ejemplo, la palabra clave juntar es asociada con la suma.
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reconocer la importancia de las operaciones básicas en la resolución de problemas aritméticos, dado
que abordar aspectos meramente algorítmicos de las mismas, provocará en el niño la idea de que las
Matemáticas poseen nula relación con la vida cotidiana.
Caso 2. Profesor Pedro
El profesor Pedro a sus 20 años de servicio, ha atendido mayormente a los grados tercero y
cuarto de educación primaria; sin embargo, en el momento de realizar el presente estudio atendía el
sexto grado. Dado que el docente habla la lengua de sus alumnos, señala impartir su clase haciendo
uso de ésta (en un 25%) y de la lengua oficial (75%). En relación con los significados de las
operaciones básicas (Figura 4) presenta ideas similares al caso 1.
Figura 4. Palabras claves asociadas a las operaciones básicas por el profesor Pedro.
La figura 4 permite observar que además de que el profesor Pedro asocia algunas palabras
claves con las operaciones básicas, también propone ejemplos algorítmicos. Quizás ello sea muestra
de que en el aula de clases, considera de suma importancia que los alumnos aprendan a desarrollar
procedimientos algorítmicos. En cambio, cuando se le pregunta explícitamente por el significado de
las operaciones básicas no responde; pero sí dice considerarlo importante como tema de estudio y en la
resolución de problemas. Ello contrasta cuando se le pide que muestre ejemplos de problemas
aritméticos que aborda con sus alumnos, puesto que no ofrece respuesta alguna. Finalmente, el
profesor refiere tomar como fuente de información para preparar su clase los libros de texto
proporcionados por la autoridad educativa para tal fin, además de recurrir a guías didácticas y otras
fuentes de consulta.
Caso 3. Profesora Martha
La profesora Martha, en el momento de realizar el presente estudio, había atendido con mayor
frecuencia al tercer grado de educación básica (primaria); dado que habla una lengua distinta a sus
alumnos, sólo imparte su clase en español. Cree que el hecho de que los libros de textos estén en la
lengua oficial (español o castellano), no afecta el aprendizaje de los estudiantes (Figura 5).
Figura 5. Creencia del profesor en relación con la importancia de la lengua materna.
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Por otra parte, cuando se indaga acerca de los significados de las operaciones básicas (Figura 6),
la profesora responde poco al respecto. Sus respuestas sólo están referidas a la multiplicación y
división, que son aquellas en las que dice priorizar con sus alumnos.
Figura 6. Significados que asocia la profesora con las operaciones básicas.
La figura anterior ilustra que la profesora presenta dificultades para indicar los significados de
las operaciones básicas. En sintonía con ello, dice no considerarlo importante como tema en el aula de
clases. Contradictoriamente, refiere considerar los significados de las operaciones básicas al abordar
los problemas aritméticos. Cuando se le pide que muestre ejemplos de problemas aritméticos que
aborda con sus alumnos, sólo presenta un problema (Figura 7) referido a la resta, pero con algunos
errores en el planteo.
Figura 7. Problemas aritméticos propuesto por la profesora.
Por otra parte, la profesora Martha refiere plantear los problemas aritméticos sin tomarlos de
algún material didáctico. Sin embargo, por el ejemplo que muestra, se identifica que su concepción de
problema se relaciona con sacar cuentas, como ella misma lo refiere en otro momento. Quizás estas
ideas que presenta la profesora tienen que ver con que aún esté en formación; pero también con que las
Matemáticas, no estén entre sus materias favoritas.
Caso 4. Profesora Lucy
Esta profesora lleva 3 años en servicio. Atiende dos grados, tercero y cuarto. Entre sus materias
preferidas menciona a las Matemáticas; pero dedica mayor tiempo a la asignatura de Español. No
habla la lengua materna de sus alumnos, por ello sus clases los dicta en la lengua oficial. Sin embargo,
reconoce que la lengua materna del niño sí es importante para su aprendizaje (Figura 8).
Figura 8. Creencia del profesor en relación con la importancia de la lengua materna
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La figura anterior, ilustra que la profesora está consciente que la lengua materna es un
impedimento para el correcto aprendizaje de sus alumnos, dado que existen palabras cuyo significado
son difíciles de comprender para un niño Tee Savi (mixteco). Por otra parte, refiere abordar las
operaciones básicas con sus alumnos; cuando se le pregunta implícitamente por los significados de
éstas (Figura 9), presenta ideas similares a los casos 1 y 2.
Figura 9. Significados asociados a las operaciones básicas por la profesora Lucy.
La figura 9 ilustra que la profesora Lucy relaciona las operaciones básicas con algunas palabras
claves. Asimismo, refiere considerar importante los significados de las operaciones básicas como tema
de estudio. La justificación de la docente es que de esa forma el alumno conoce de dónde se derivan y
por qué se usan las operaciones matemáticas. Cuando se le pide que explicite los significados que
asocia a las operaciones básicas, menciona las palabras claves citadas en la figura 9 e incorpora otras
(Figura 10).
Figura 10. Significados de las operaciones básicas reconocidos por la profesora Lucy.
Se observa en la figura anterior, que para la suma la profesora añade las palabras claves juntar y
agregar; mientras que para la resta añade sustraer. Sin embargo, cuando se le pregunta que si
considera los significados de las operaciones básicas en la resolución de problemas aritméticos
expresa que no; pero dice tomar en cuenta los conocimientos previos de los niños. Los problemas
aritméticos (Figura 11) que aborda en el aula de clases dice plantearlos sin la consulta de algún
material bibliográfico. Los ejemplos que propone son:
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Figura 11. Problemas aritméticos que propone la profesora.
Los problemas aritméticos que propone la profesora se pueden considerar de tipo práctico, en el
sentido de García (2013) y de primer nivel4 (en el sentido de Echenique, 2006). Asimismo, se observa
que en las situaciones que plantea la profesora Lucy no considera las palabras claves. Por otra parte, sí
plantea que es importante considerar el significado de las operaciones básicas en la resolución de
problemas.
Caso 5. Profesor Miguel
Este profesor lleva 27 años en servicio. Entre sus materias favoritas menciona a las
Matemáticas. Asimismo, dado que habla la lengua del niño, imparte sus clases tanto en español como
en Tu’un Savi. Implícitamente reconoce que la lengua materna puede ser un impedimento para el
aprendizaje de sus alumnos (Figura 12), puesto que refiere traducir algunos textos del libro a la lengua
materna del niño cuando es necesario.
Figura 12. Creencia del profesor respecto de la importancia de la lengua materna de sus alumnos.
Por otra parte, el profesor Miguel refiere abordar las cuatro operaciones básicas con sus
alumnos. Asimismo, relaciona las operaciones básicas con algunas palabras claves (Figura 13).
4
Este tipo de problemas requieren sólo el uso de una operación básica para su resolución y emplean en sus
enunciados números naturales.
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Figura 13. Palabras claves que el profesor asocia a las operaciones básicas.
Como lo ilustra la figura 13, el profesor Miguel presenta ideas similares a los casos descritos.
Asimismo, reconoce como importante los significados de las operaciones básicas (Figura 14); pero
cuando se le pregunta explícitamente por ellos, refiere las mismas palabras claves ilustradas
anteriormente.
Figura 14. Creencia en torno a la importancia de las operaciones básicas.
Para el profesor Miguel, son importante los significados de las operaciones básicas (Figura 15)
para ser “usadas”; con esta expresión hace referencia a considerarlos en el momento de resolver
problemas.
Figura 15. Explicación dada por el profesor.
La respuesta dada por el profesor (Figura 15), sugiere que al momento de abordar los problemas
aritméticos con sus alumnos prioriza la selección de la operación congruente con el texto del
problema al momento de abordar alguna situación con sus alumnos (más detalles revisar García,
2013). Por otra parte, reconoce los problemas aritméticos, como se constata enseguida (Figura 16):
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Figura 16. Ejemplos de problemas aritméticos reconocidos por el profesor.
El problema que ilustra el profesor para la suma es: la tarea de plantar árboles se distribuyó de
la siguiente forma, la familia Sandoval y Treviño plantaron cada una 3 árboles, la familia Pérez 200.
¿Cuántos árboles fueron plantados? que corresponde a un problema aritmético de primer nivel (en el
sentido de Echenique, 2006). Estos problemas ilustrados en la figura 16 son retomados del libro de
texto, como lo refiere el mismo profesor en otro momento. Por la respuesta que ofrece el docente, se
infiere que sí considera la resolución de problemas aritméticos en el aula de clases y, por medio de
esta actividad busca significar de alguna manera, las operaciones básicas, aunque asociándolas en
algún momento con palabras claves.
Caso 6. Profesor Mario
Este profesor lleva 4 años en servicio y sólo habla la lengua oficial. Imparte sus clases sólo en
español. Prefiere la asignatura de Historia, aunque por el tiempo que dedica en promedio a la semana
por materia impartida, sobresalen Español y Matemáticas. Similar a los casos anteriores, asocia los
significados de las operaciones básicas con algunas palabras claves (Figura 17).
Figura 17. Palabras claves asociadas a las operaciones básicas por el profesor Mario.
El profesor Mario dice considerar importante el estudio de los significados de las operaciones
básicas en el aula de clases. Cuando se le cuestiona explícitamente por éstos, presenta otras ideas. En
ese sentido, considera que para hablar de significados tiene que existir primeramente una actividad
planteada o una acción a realizar (Figura 18). En esa línea, se intuye que relaciona a la suma (igual
que para la resta) con el axioma “el todo es igual a la suma de sus partes”; mientras que a la
multiplicación lo reconoce como un operador que aplicado a unos factores genera un resultado
(porción según el docente) (Figura 18). Por último, la idea que subyace a la división, es que esta
conlleva a resultados exactos; esto sugiere la idea de que en el salón de clases prefiere realizar
divisiones cuyos resultados son exactos y no decimales.
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Figura 18. Creencia del profesor en torno a los significados de las operaciones básicas.
Lo anterior permite inferir que existe en el docente dificultades para reconocer significados de
las operaciones básicas, pese a que sí considera importante priorizar estos aspectos en el aula de
clases. Asimismo, considera que ello será relevante para que el niño desarrolle habilidades y
conocimientos sobre las Matemáticas. Es posible que con ello se refiera a que es necesario que el niño
aprenda a operar algorítmicamente (Figura 19) para posteriormente hacer uso de ello para resolver
problemas. Se dice esto último, porque al pedirle al docente que ejemplifique algunos problemas
aritméticos que aborda con sus alumnos propone cálculos algorítmicos (Figura 19).
Figura 19. Ejemplos que propone el profesor.
La figura 19 confirma que el profesor presenta problemas para reconocer los problemas
aritméticos. Esto posiblemente conlleve a que en el aula de clases priorice el tratamiento algoritmo de
las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), sin buscar significarlas por medio de
la resolución de problemas. De esta manera, su preferencia descansa en el trabajo operatorio o
algorítmico.
5. A manera de conclusión
Los resultados obtenidos permiten plantear algunas reflexiones. La formación del docente y la
lengua que habla influye en el discurso escolar que adopta; así aquél que habla la lengua materna del
niño (Tu’un Savi) imparte su clase tanto en español como en esta lengua (lo cual se pudo observar en
cuatro de ellos). Asimismo, por la variedad en la formación profesional de los casos de estudio, cada
uno muestra diferentes preferencias las distintas asignaturas que tienen a su cargo.
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Por otra parte, dado que los problemas aritméticos requieren de operaciones básicas (suma,
resta, multiplicación y división) para su resolución, fue importante distinguir los significados o
nociones que tienen los profesores de estas. Al respecto, los casos de estudio tienden a relacionar los
significados de las operaciones básicas con ciertas palabras claves (Tabla 4), que de alguna manera se
asocian con ellas. Particularmente, se encontraron las siguientes relaciones:
Profesor
Guadalupe
Pedro
Martha
Lucy
Miguel
Mario
Palabras claves asociadas a:
Suma
Resta
Multiplicación División
Agregar
No indica
No indica
Contar; juntar, agregar
Juntar
Contar
Quitar; disminuir
Quitar
No indica
Quitar; sustraer
Quitar
Quitar
Reproducir
No indica
No indica
No indica
Aumentar
Aumentar
Repartir
Repartir
Repartir
Repartir
Repartir
Repartir
Tabla 4. Palabras claves asociadas a las operaciones básicas por los profesores.
La tabla 4 muestra que los seis profesores participantes conciben a la división como un reparto;
mientras que a la resta, en su mayoría, la relacionan con quitar. Por su parte, la suma es asociada con
una mayor variedad de palabras claves. Asimismo, la tabla 4 da cuenta que algunos profesores tienen
dificultades para significar todas las operaciones básicas; por ejemplo, la profesora Martha sólo
encuentra una relación de la división con alguna acción, mientras que para las demás presenta
dificultades. De esta manera, la concepción de los profesores participantes en relación con los
significados de las operaciones básicas es como una asociación de éstos con palabras claves.
Respecto de los problemas aritméticos, sólo dos profesores dan ejemplos correctos de ellos; uno
alude a problemas tomados de los libros de texto y otro los plantea considerando el contexto del niño.
Dos más parecen confundirlos con operaciones básicas, por ello sus preferencias estriba, al parecer, en
un trabajo algorítmico y no en la resolución de problemas en el aula de clases. Un docente refiere no
abordar los problemas aritméticos y uno más no presenta ejemplos concretos. De esta manera, la
concepción que tienen los docentes respecto de la resolución de problemas aritméticos, descansa en la
creencia de que es lo mismo operar algorítmicamente que resolver problemas, al menos para algunos
de los participantes en este estudio.
Particularmente, el profesor Pedro refería basarse estrictamente en los planes de estudio, de
guías didácticas, de los libros de texto y en general, de cualquier documento oficial proporcionado por
la Secretaría de Educación Pública. Por esta razón, aunque no indique ejemplos de problemas
aritméticos que reconoce y aborda con sus alumnos, es probable que sí aborde los presentados en los
libros de texto y guías didácticas. Sin embargo, de las respuestas que ofrece en el cuestionario se
infiere que al seguir fielmente el programa de estudio o los libros de textos, inhibe la posibilidad de
que el alumno muestre los procedimientos que utiliza en otros contextos en la resolución de
problemas; por ejemplo, en actividades de compra-venta. Esto se señala porque es posible que el
estudiante realice procedimientos totalmente correctos, pero en lugar de efectuar una cierta operación
básica, la sustituye por una más simple con la cual puede ofrecer la solución a un problema (ver la
estrategia de tanto inteligente en García, 2012).
Si bien los resultados del presente trabajo no se pueden generalizar dado que es un estudio de
casos; sí permiten ver la necesidad de una investigación más profunda con los profesores bilingües y
monolingües, y por supuesto, que incluya una muestra mayor. Esto es necesario para identificar con
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mayor profundidad, no solo las concepciones de los profesores sino también sus principales errores y
dificultades en la resolución de problemas aritméticos. Sin embargo, los resultados obtenidos en el
presente trabajo, sugieren revisar el currículum oficial e impartido dirigido a los docentes en
formación, al menos, lo que concierne al campo de las Matemáticas. Esto porque da la impresión de
una mala comprensión de los profesores en relación con conceptos básicos de esta disciplina, como lo
son: el significado de las operaciones básicas y la resolución misma de los problemas aritméticos.
Finalmente, vale señalar que las concepciones que tienen los docentes (al menos, los casos de
estudio) en torno a los problemas aritméticos, es como una asociación de estos con las operaciones
básicas; algunos muestran preferencia con un trabajo meramente algoritmo. Otros establecen una
relación de las operaciones con palabras claves, lo cual pueden tomar como referente al momento de
enseñar a resolver los problemas en el aula. Por su parte, uno que reconoce explícitamente los
problemas aritméticos, conscientemente tienen inclinación por los planteados en los libros de texto y
en menor grado, por aquellos que se pueden diseñar a partir del contexto del niño. Asimismo, la
lengua que habla el profesor determina la forma en que guía sus clases, así aquellos que no dominan la
variante del Tu’un Savi (mixteco) hablada por sus estudiantes sólo utilizan la lengua oficial como
medio comunicativo. Esta práctica puede provocar un aprendizaje inadecuado de los estudiantes,
puesto que al menos en los primeros grados, la mayoría de ellos dominan a un nivel bajo la lengua
oficial.
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Javier García-García. Es Maestro en Ciencias en Matemática Educativa por la Universidad Autónoma
de Guerrero. Actualmente es profesor-investigador invitado de la Universidad Intercultural del Estado de
Guerrero. Es originario de una comunidad Ñuu Savi (comunidad mixteca; “pueblo de la lluvia”) y
hablante del Tu’un Savi (mixteco). Ha sido ponente en múltiples congresos regionales, estatales,
nacionales y ha participado en actividades de la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa.
E-mail: [email protected]
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Anexo 1. Formato del cuestionario aplicado a los docentes.
Estimado profesor, se le pide de la manera más atenta y respetuosa responda el siguiente
cuestionario, cuyos resultados serán usados con plena confidencialidad en un proyecto de
investigación desarrollado por el portador del presente. De antemano se le agradece su apoyo.
I. DATOS PERSONALES Y PROFESIONALES
Nombre: __________________________________________________ Edad (opcional): __________
Lugar de origen: ____________________________________________________________________
Nombre de su centro de trabajo: ___________________________ Lengua que habla: _____________
Nivel máximo de estudios: ___________________________ Año de egreso: ____________________
II. INFORMACIÓN SOBRE SU ACTIVIDAD PROFESIONAL
1. En su centro de trabajo ¿Cuántos turnos se trabajan? _________________ ¿En qué turno trabaja
usted? ______________________________________________________________
2. ¿Cuántos años lleva como profesor de grupo? _________________________ ¿Qué grado(s)
atiende? ____________________________ ¿Siempre ha atendido el mismo grado? _______ O
¿cuáles ha atendido con mayor frecuencia? ______________________________________
3. De las asignaturas que imparte ¿Con cuál o cuáles se identifica más? ________________________
__________________________________________________________________________________
4. ¿Qué asignaturas imparte usted y qué tiempo le dedica en promedio por semana a cada una de
ellas?
Asignatura
Tiempo dedicado por semana
5. ¿Cuántos alumnos atiende usted?___________ ¿Con que frecuencia asisten a la escuela?________
_________________________________________________________________________________
6. Del total de alumnos que ingresan regularmente, ¿en qué porcentaje concluyen sus estudios?
a) Los niños: _________________________
b) Las niñas: _________________________
7. ¿Imparte su clase en castellano o en la lengua materna del estudiante? __________________ Si en
las dos ¿Con qué frecuencia cada una? ______________________________________
8. El plan y programa de estudio de primaria 2011, sugiere el trabajo por competencias. Al respecto:
a) ¿Podría describir qué entiende por competencias en Matemáticas? _______________________
_____________________________________________________________________________
b) ¿Qué competencias Matemáticas desarrolla en sus estudiantes? __________________________
______________________________________________________________________________
c) ¿Qué estrategias didácticas sigue para el desarrollo de competencias en la asignatura de
Matemáticas? ___________________________ ¿Se sugieren en el plan de estudios?
_________
d) ¿Qué consideraciones previas hace para el inicio de un tema o lección? ___________________
9. ¿Usted cree que el hecho de que los libros de texto estén en castellano, afecte el aprendizaje de sus
estudiantes? _________ ¿Por qué? ___________________________________________________
10. Acerca de las operaciones básicas.
a) Indique qué operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) aborda con sus
alumnos: _____________________________________________________________________
Mencione la prioridad que le concede a cada una de ellas y explique por qué:
_______________________________________________________________________________
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b) ¿A qué recursos de explicación (estrategias) recurre normalmente cuando aborda estas
operaciones? ________________________________________________________________
c) Cuando escucha las siguientes palabras ¿qué es lo primero que se le viene a la mente?
Suma: ______________________________________________________________________
Resta: _____________________________________________________________________
Multiplicación: ______________________________________________________________
División: ___________________________________________________________________
d) En el programa de estudio se declara que se debe priorizar el tratamiento de los significados de
las operaciones básicas ¿Usted lo considera importante? ________ ¿Por qué? ______________
e) ¿Qué significados reconoce o asocia a las siguientes operaciones básicas?
Suma: _____________________________________________________________________
Resta: _____________________________________________________________________
Multiplicación: ______________________________________________________________
División: ____________________________________________________________________
f) ¿Qué bibliografía utiliza para abordar las operaciones básicas? _________________________
11. Acerca de los problemas aritméticos (Nota: Son aquellos problemas que se resuelven utilizando
una o más operación básica)
a) ¿Con que frecuencia trabaja los problemas aritméticos con sus estudiantes? ________________
b) En el programa de estudio se habla de problemas aditivos (que se resuelven con suma o resta) y
multiplicativos (que se resuelven con multiplicación o división) ¿Cuál de ellos aborda más?
________________________ Aparte de ellos, ¿aborda problemas aritméticos que se resuelvan
utilizando más de una operación básica?_______________ ¿Cuáles?____________________
c) Al abordar los problemas aritméticos ¿Considera importante los significados de las operaciones
básicas? ___________ ¿Qué significados toma en cuenta? ______________________________
d) ¿Qué técnica de resolución aborda usted con sus estudiantes cuando enseña problemas
aritméticos? ______________________________________________________________
e) Muestre un ejemplo de problemas aritméticos (del tipo que usted trabaje con sus estudiantes)
para cada operación básica:
Suma: _______________________________________________________________________
Resta: _____________________________________________________________________
Multiplicación: ______________________________________________________________
División: ___________________________________________________________________
Esos problemas ¿Usted los planteó o los retomó de algún libro? ____________________ ¿De qué
libro o libros? ________________________________________________________________
f) ¿Qué bibliografía utiliza cuando aborda los problemas aritméticos? _______________________
III. SOBRE LA COMUNIDAD DONDE SE UBICA SU CENTRO DE TRABAJO
12. Nombre de la comunidad donde trabaja: _______________________________________________
13. ¿Con qué servicios públicos cuenta? ________________________________________________
14. ¿A qué distancia aproximadamente está la comunidad de la cabecera municipal? _______________
15. Los habitantes adultos ¿en qué grado dominan el castellano? _________________________ ¿y los
niños que usted atiende?____________________________________________________________
16. ¿Qué actividades económicas son las más comunes en la comunidad? _______________________
17. Los adultos ¿A qué actividades se dedican? (por ejemplo normalmente y por temporadas) _______
18. ¿Qué tipo de juegos son más comunes entre los niños? Por ejemplo, a la hora de recreo:
__________________________ y ¿entre las niñas? ______________________________________
19. Diga usted en qué tipo de actividades participan sus estudiantes (fuera de la escuela):
a) Los niños: ___________________________________________________________________
b) Las niñas: ___________________________________________________________________
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 59-68
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza. España.)
Antonio M. Oller Marcén (Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. España.)
Fecha de recepción: 31 de marzo de 2014
Fecha de aceptación: 21 de abril de 2014
Resumen
El estudio de la evolución del simbolismo matemático a lo largo de los tiempos
constituye una faceta importante de la Historia de las Matemáticas, dado que presenta a
esta disciplina como un ser vivo, sometido a continuos cambios, y ayuda al lector
moderno a comprender las dificultades con las que se encontraron los matemáticos hasta
establecer un conjunto de signos sencillo y operativo. En este artículo presentamos el
simbolismo algebraico que aparece en tres de los primeros libros sobre Álgebra
publicados en castellano en el siglo XVI: los escritos por el alemán Marco Aurel, por el
jienense Juan Pérez de Moya y por el portugués Pedro Núñez.
Palabras clave
Simbolismo algebraico, Historia de las Matemáticas, Siglo XVI, Marco Aurel, Pérez de
Moya, Pedro Núñez.
Abstract
The study of the evolution of Mathematical symbolism over time is an important issue of
the History of Mathematics because it presents this discipline as a “living being” under
continuous change and it helps the modern reader to understand the difficulties faced by
mathematicians until they established a simple and operative system of symbols. In this
paper we present the algebraic symbolism that appears in three of the earliest books on
Algebra written in Spanish during the XVI century by the German-born Marco Aurel, by
Juan Pérez de Moya from Jaén and by the Portuguese Pedro Núñez.
Keywords
Algebraic symbolism, History of Mathematics, XVI century, Marco Aurel, Pérez de
Moya, Pedro Núñez.
1. Introducción
La introducción del Álgebra en el aula es probablemente uno de los temas de investigación que
más atención recibe desde la Didáctica de la Matemática. Esta atención se justifica tanto en la
importancia del Álgebra como herramienta matemática para los alumnos, como en las dificultades que
estos parecen encontrar en su manejo. En consecuencia, existen numerosos estudios que abordan el
llamado Pensamiento Algebraico desde muy diversos enfoques (Socas, 2011).
Puig (2003, p. 106) señala, ampliando y reformulando trabajos de otros investigadores, seis
características de “lo algebraico”. La primera de ellas es el uso de un sistema de signos. Por lo tanto,
una de las partes en las que se divide la historia de las ideas algebraicas es, precisamente, la historia
del sistema matemático de símbolos del Álgebra (Puig, 2003, p. 107).
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A este respecto, diversos autores, por ejemplo Kieran (1992), distinguen tres fases o etapas en la
evolución del simbolismo algebraico que, utilizando términos introducidos por Nesselman, son:
1. Fase retórica: se usa lenguaje natural exclusivamente.
2. Fase sincopada: se introducen algunas abreviaturas para ciertas cantidades y relaciones.
3. Fase simbólica: se extiende y generaliza el uso del lenguaje simbólico.
La transición hacia la fase simbólica se inició a comienzos del siglo XVI (Malisani, 1999), si
bien no se estableció de forma clara hasta finales del siglo XVII (Eves, 1983). Stallings (2000) recorre,
de manera sucinta, la evolución del simbolismo algebraico.
Tzanakis y Arcavi (2000) señalan diversas aportaciones de la Historia de las Matemáticas a la
Educación Matemática. Una de ellas es que permite mostrar las Matemáticas como una disciplina viva
y cambiante en el tiempo. De hecho, pese a que la Historia de las Matemáticas no se incluye entre las
ocho competencias que constituyen la Competencia Matemática, sí que se integra (Hoff, 2011, p. 166)
en la descripción de una persona competente en Matemáticas.
A este respecto, Jahnke (2000, p. 299) afirma que “la lectura de fuentes originales debería
convertirse en un aspecto obligado dentro de la formación de profesores de Matemáticas”. En el caso
que nos ocupa, los textos antiguos ofrecen una información valiosa concerniente al “simbolismo
histórico” (simbolismo matemático utilizado en otros tiempos y que ya no se usa). Esta información
permite, en particular, comparar y valorar los signos antiguos con respecto a los que se usan hoy en
día.
Figura 1.
Esta comparación y valoración es especialmente interesante en el trabajo con docentes en
formación, puesto que hará posible que adquieran una comprensión global del simbolismo matemático
que les permitirá utilizarlo de forma competente para comunicarse con las Matemáticas y comunicar
sobre Matemáticas, dos competencias matemáticas específicas (Niss, 2002) que, además de contribuir
a la adquisición de la competencia matemática general, les permitirán comprender mejor algunas de
las dificultades que sus alumnos encuentran al enfrentarse a la notación algebraica.
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En este trabajo vamos a presentar el simbolismo algebraico que aparece en tres libros de
matemáticas escritos en el siglo XVI por el alemán Marco Aurel, el jienense Juan Pérez de Moya y el
portugués Pedro Núñez. Estos tres autores (junto con Antich Rocha) constituyeron, en palabras de Rey
Pastor (1926, p. 34) “un grupo homogéneo en que la Aritmética algebraica es la única rama
cultivada”.
2. Breves apuntes biográficos
Aunque no es el objetivo principal del trabajo, pensamos que es interesante ofrecer algunos
breves datos sobre la vida de los autores de los textos que vamos a considerar:
 De Marco Aurel (Meavilla, 1989) sabemos, como se lee en la portada del Libro Primero, de
Arithmetica Algebratica (Aurel, 1552), que fue “natural Alemán”. Además ejerció como
maestro de escuela en Valencia, y escribió un Tratado muy útil y prouechoso para toda
manera de tratantes y personas aficcionadas al contar (Aurel, 1541).
 Del Bachiller Juan Pérez de Moya, sabemos únicamente, tal como se indica en la portada de
algunos de sus libros, que nació antes del 1513 (probablemente en 1512) en Santisteban del
Puerto, Jaén. Estudió en Salamanca y Alcalá de Henares. Aunque no fue profesor
universitario, posiblemente se dedicó a la enseñanza de las Matemáticas. En 1536 obtuvo
una capellanía en su pueblo natal y, ya muy mayor, fue canónigo de la Catedral de Granada,
donde murió en 1596. Además de algunas obras de carácter religioso, Juan Pérez de Moya
escribió varios libros de contenido científico-matemático en los que procuró divulgar los
conocimientos de su época utilizando un lenguaje cercano, claro, preciso y comprensible. La
temática de dichos textos transita desde los “libros de cuentas” hasta el álgebra simbólica
(“regla de la cosa”); pasando por la aritmética, la geometría, la filosofía natural, la
navegación, la geografía, la astronomía o la cosmografía (Meavilla, 2005a).
 Pedro Núñez nació en Alcácer do Sal (Portugal) en 1502. De origen judío, estudió medicina en
la Universidad de Salamanca y obtuvo el título de medicina en la Universidad de Lisboa en
1525. El 16 de noviembre de 1529 fue nombrado cosmógrafo real por Juan III, y el 4 de
diciembre del mismo año obtuvo una cátedra de Filosofía Moral en la Universidad de
Lisboa. En el año 1534 escribió el primer manuscrito del Libro de Algebra en Arithmetica y
Geometria, aunque esta obra se publicaría casi 30 años más tarde. En 1537 ocupó la cátedra
de Matemáticas de la Universidad de Coimbra, que dejó vacante al jubilarse en 1562. Núñez
murió en Coímbra el 11 de agosto de 1578, tras haber sido consultado por el Papa Gregorio
XIII sobre un proyecto de reforma del calendario.
3. Título de capítulo numerado
En el folio 69r del Libro Primero, de Arithmetica Algebratica, Marco Aurel introduce los
“símbolos cósicos”, que coinciden con los usados por Christoph Rudolff en su obra Die Coss de 1525.
Figura 2. Símbolos cósicos de Marco Aurel. (1552, fol. 69r).
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Para representar los radicales de índice dos, tres y cuatro, Aurel vuelve a tomar prestada la
notación de Rudolff.
Figura 3. Símbolos radicales de Marco Aurel. (1552, fol. 43r).
Por su parte, Pérez de Moya presenta en primera instancia una notación algebraica en su
Arithmetica practica, y specvlatiua muy parecida a la de Marco Aurel:
Figura 4. Símbolos cósicos de Pérez de Moya. (1562, p. 449).
Sin embargo, unas páginas más adelante (pp. 452-453), se introduce un nuevo simbolismo
justificado del siguiente modo:
“Estos caracteres me ha parecido poner, porque no auia otros en la
Emprenta. Tu podras vsar quando hagas demandas de los que se pusieron en
el segundo capitulo, porque son mas breues. En lo demas todos son de vna
condicion.”
Figura 5. Símbolos cósicos alternativos de Pérez de Moya. (1562, pp. 452-453).
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Aunque, como acabamos de señalar, Pérez de Moya justifica la introducción de estos nuevos
símbolos en base a necesidades de imprenta, lo cierto es que este simbolismo es casi idéntico al
utilizado por Luca Pacioli en la Summa de Aritmetica, Geometria, Proportioni et Proportianalita
publicada en 1494.
Finalmente, Pedro Núñez, en su Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, introduce un
simbolismo algebraico para las potencias de la incógnita (fol. 24v) y para los radicales (fols. 44r-46r)
muy parecido al utilizado por el italiano Luca Pacioli en su Summa y por el español Juan Pérez de
Moya en su Arithmetica practica, y specvlatiua:
Figura 6. Símbolos para las potencias de la incógnita de Pedro Núñez. (1567, fol. 24v)
Figura 7. Ejemplo de símbolos radicales de Pedro Núñez. (1567, fol. 45v).
En la siguiente tabla presentamos comparativamente los distintos símbolos y denominaciones
utilizadas por cada autor para referirse a las sucesivas potencias de la incógnita, junto con su
equivalente actual.
Marco Aurel
Nombre
Pérez de Moya
Signo
Pedro Núñez
Actual
Nombre
Signo
Nombre
Signo
Dragma o número
Radix o cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
Sursolidum o
primo relato
Número
Cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
n
co
ce
cu
cce
Cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
co.
ce.
cu.
ce.ce.
x0
x1
x2
x3
x4
Primero relato
R
Relato primo
re.pº
x5
Censo y cubo
Censo y cubo
cecu
Segundo relato
Censo de censo
de censo
Cubo de cubo
RR
ce.cu. ó
cu.ce.
-
x6
Bissursolidum
Censo censo de
censo
Cubo de cubo
Censo de cubo o
cubo de censo
-
ccce
-
-
x8
ccu
-
-
x9
x7
Tabla 1.
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A continuación una tabla similar, pero relativa a los signos radicales.
Marco Aurel
Nombre
Signo
Pérez de Moya
Nombre
Signo
Pedro Núñez
Nombre
Signo
Raíz cuadrada
Raíz
quadrada
r ó R
Raíz cuadrada
R o 2R
Raíz cúbica
Raíz cúbica
rrr ó
RRR
Raíz cúbica
3R
rr ó RR
Raíz cuarta
RR o 4R
-
Raíz quinta
5R
ru ó RU
ó RV
Raíz cuadrada
universal
R.V.
Raíz cuadrada de
raíz cuadrada
-
-
Raíz quadrada
universal
Raíz
quadrada de
Raíz
quadrada
Raíz
quadrada
universal
Actual
(...)
Raíz cúbica
universal
Raíz cúbica
universal
rrru ó
RRRU ó
RRRV
-
-
3 (...)
Raíz de raíz
universal
Raíz
quadrada de
raíz quadrada
universal
rru ó
RRU ó
RRV
-
-
4 (...)
-
-
Raíz ligada
L.R.*. .R.*
L.R.*. .R.*
-
-
Tabla 2.
Además de estos signos, también se introducían en algunos casos símbolos para denotar
operaciones aritméticas o la igualdad.
Marco Aurel
Nombre
Signo
Más
+
Menos
–
/
/
Pérez de Moya
Nombre
Signo
Más
p.
Menos
m.
Igual
ig.
Pedro Núñez
Nombre
Signo
Más
p.
Menos
m.
/
/
Actual
+
–
=
Tabla 3.
Por último, como detalle curioso, señalar que Marco Aurel y Pérez de Moya incluyeron un
símbolo específico (q.) para denotar una entidad llamada “quantidad” y que se corresponde a lo que
modernamente consideraríamos una segunda incógnita del problema.
Figura 8. Regla de la cantidad. Marco Aurel (1552, fol. 108r).
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A la vista de las tablas anteriores podemos hacer algunos comentarios:
1. El simbolismo de Aurel es más moderno que el de sus dos contemporáneos. Se aleja más del
álgebra sincopada puesto que utiliza símbolos “abstractos” en lugar de abreviaturas de
términos.
2. Sin embargo, con la notación de Aurel resulta difícil (y nada obvio) construir los signos
correspondientes a potencias elevadas de la incógnita o a radicales de índices grandes. Esto
no sucede en el caso de Pérez de Moya o Núñez. Aunque no lo expresen explícitamente,
resulta autoevidente el modo en que se referirían, caso de necesitarlo, a una raíz séptima; por
ejemplo.
3. Sólo Pérez de Moya emplea un signo para denotar la igualdad, si bien es cierto que se trata
de una mera abreviatura. Tanto Aurel como Núñez utilizan la expresión completa “igual a”,
“hacen” u otras similares.
4. Pedro Núñez es el único autor que no utiliza ningún símbolo especial para denotar los
“escalares”. Esto lo aproxima a la práctica actual.
Aunque son tres los autores que hemos analizado y cada uno de ellos presenta sus propias
particularidades, lo cierto es que, esencialmente, son dos las notaciones que hemos encontrado puesto
que las de Pérez de Moya y Núñez son muy similares. El mejor modo de comparar ambos métodos de
escritura algebraica es presentar algunos ejemplos.
En la figura siguiente se muestra el modo en que Marco Aurel escribe la expresión que
actualmente denotamos por 6x + 4 = 46:
Figura 9. (Aurel, 1552, fol. 80v).
Pérez de Moya escribiría esta expresión como:
6. co. p. 4. n. ig. a. 46.
n.
Mientras que Pedro Núñez pondría:
6. co. p. 4. hacen 46.
La diferencia entre ambos métodos de notación salta aún más al a vista observando algunos
ejemplos de lo que hoy en día llamaríamos álgebra de polinomios. En la figura siguiente se muestra el
producto de polinomios (4x2 + 4x + 4) × (2x – 2) = 8x3 – 8 en el texto de Marco Aurel:
Figura 10. (Aurel, 1552, fol. 73v).
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El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
Por otra parte, en el cuadro siguiente se presenta la suma de polinomios: (9x5 + 5x4 – 9x3 – 3x2 +
8x – 6) + (7x5 + 4x4 – 7x3 + 5x2 – 9x + 6) = 16x5 + 9x4 – 16x3 + 2x2 – x tal y como aparece en la
Arithmetica de Pérez de Moya:
Figura 11. (Pérez de Moya, 1562, p. 510).
Estas comparaciones sacan a la luz ventajas e inconvenientes de cada uno de los dos sistemas de
símbolos. Sin embargo ambos presentan un mismo problema principal que dificulta su uso: la
necesidad de utilizar un símbolo diferente para cada potencia de la incógnita. Ninguno de ellos está
preparado para poder trabajar simbólicamente con potencias mayores que diez.
4. Una actividad de enseñanza y aprendizaje para profesorado en formación
Como hemos apuntado en la introducción, el trabajo de aspectos históricos de las Matemáticas
(Meavilla, 2005b) es especialmente interesante con profesorado en formación, especialmente si lleva a
una reflexión sobre la naturaleza y la evolución de los conceptos involucrados.
A modo de ejemplo, hemos diseñado la siguiente secuencia de actividades pensada para que el
profesorado de Secundaria en formación pueda comparar y valorar los signos antiguos en relación con
los que se usan hoy en día.
Figura 12.
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El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XIV
V. Meavilla, A. M. Oller
1. Observa la portada anterior. Busca información sobre el autor del libro.
2. En el Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria hemos encontrado el problema
siguiente:
Divide el número 12 en dos partes tales que la diferencia entre el cuadrado de
la primera y el cuadrado de la segunda sea 30.
3. Resuélvelo indicando paso a paso cómo lo has hecho.
4. Para escribir ecuaciones, polinomios, etc., Pedro Núñez utilizó, entre otros, los siguientes
símbolos:
co. = x
ce. = x2
p = más
m = menos
Además, Núñez usó abreviaturas como las que sueles utilizar para enviar mensajes con el
móvil (por ejemplo, q = que).
Utilizando este «vocabulario» traduce el siguiente texto en el que se resuelve el problema
del apartado 2:
Figura 13.
5. Compara tu solución con la que aparece en el texto original. ¿Son iguales? ¿En qué se
diferencian?
6. Compara el simbolismo algebraico actual con el utilizado por Núñez. Indica las ventajas o
inconvenientes de cada uno de ellos. Justifica tu respuesta.
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otros muchos primores, assi en Arithmetica como en Geometria: compuesto, ordenado, y hecho
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Vicente Meavilla Seguí. Licenciado en Ciencias (Sección de Matemáticas) por la Universidad de
Zaragoza (1976) y Doctor en Filosofía y Letras (Pedagogía) por la Universidad Autónoma de Barcelona
(1998) con una tesis sobre la influencia de las interacciones verbales sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje del álgebra elemental. Ha publicado diversos artículos y libros sobre la influencia de
la historia de las matemáticas sobre la enseñanza y el aprendizaje de dicha disciplina. En la actualidad es
profesor de la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas (Campus de Teruel) y miembro del
Departamento de Matemáticas (Área de Didáctica de la Universidad de Zaragoza.
Email: [email protected]
Antonio M. Oller Marcén. Licenciado en ciencias Matemáticas (2004) por la Universidad de Zaragoza y
Doctor por la Universidad de Valladolid (2012) con una tesis sobre la enseñanza de la Proporcionalidad
aritmética en Secundaria. Ha publicado diversos trabajos sobre Educación Matemática, Álgebra y Teoría
de Números. Actualmente es profesor del Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza.
Email: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 69-80
Comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos en la formación
inicial de profesores de Matemática
Saúl Elizarrarás Baena (Instituto Superior de Ciencias de la Educación. México)
Fecha de recepción: 21 de octubre de 2013
Fecha de aceptación: 11 de abril de 2014
Resumen
Previo a la enseñanza, se presentan hallazgos sobre la comprensión de ideas
fundamentales de estocásticos (conjugación de probabilidad y estadística) en profesores
de matemáticas en formación inicial. Los referentes teóricos resultaron en criterios de
análisis, aludieron principalmente a dos aspectos: epistemológico (Heitele, 1975) y
cognitivo (Frawley, 1999). Esta investigación es de carácter cualitativo bajo la
perspectiva de Eisner (1998) y Martínez (2009). Las dificultades de comprensión
encontradas en un cuestionario de pregunta abierta reflejan la necesidad de fortalecer la
formación inicial sobre estocásticos de futuros profesores de matemáticas para la
educación secundaria. Su importancia radica en la trascendencia que representan los
temas de probabilidad y estadística para el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo.
Palabras clave
Comprensión, probabilidad, estocásticos, enfoque, clásico, frecuencial.
Abstract
Previous teaching, finds of the understanding of fundamental ideas about stochastic
(conjugation of probability and statistics) are being presented on teachers of mathematics
in initial formation. The theoric references were resulted in criteria of analazing, mainly
they alluded two aspects: epistemological (Heitele, 1975) and cognitive (Frawley, 1999).
From the perspective of Eisner (1998) and Martinez (2009) this research is of cualitative
type. The difficulties of comprehension found in an open question test, reflect the need to
strengthen the initial formation in stochastic on future mathematics teachers for junior
high education. It’s importance resides in the transcendence that represents the
probability and statistics topics for the development of the critical and reflective thinking.
Keywords
Undestarding, probability, stochastic, approach, classic, frequency.
1. Introducción
Este informe de investigación, forma parte de un proyecto más amplio que atañe al desarrollo
del pensamiento probabilístico de profesores de Matemáticas en formación inicial de la Escuela
Normal Superior de México (ENSM), quienes habrán de desempeñarse en la Escuela Secundaria del
mismo país, aquí se presentan los hallazgos encontrados en un cuestionario de exploración, previo a la
enseñanza.
En la actualidad, en México, la problemática educativa para la comprensión de los temas sobre
estocásticos (conjugación de las disciplinas de probabilidad y estadística) refiere al enlace entre los
distintos niveles educativos, el cual resulta incompatible; por ejemplo, hay un inminente desfase entre
el Programa de Estudios para Matemáticas en la Educación Secundaria (SEP, 2011) y el de la
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Comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos de profesores de Matemáticas en
formación inicial: Condiciones iniciales
S. Elizarrarás
Educación Normal en nuestro país (SEP, 1999), problemática que se agudiza tanto por la propia
desorganización de los contenidos como por el escaso tiempo que se le otorga; como lo ha señalado
Ojeda (2003, p. 159), la propuesta institucional para la Educación Secundaria es francamente
determinista, de tal modo que privilegia las demás áreas de la Matemática en detrimento de los temas
propios de la Probabilidad y la Estadística.
Con la finalidad de caracterizar la comprensión de ideas fundamentales de estocásticos respecto
a la formalidad de la simbología matemática que esto implica, se planteó la pregunta de investigación
siguiente: ¿Cuáles son las dificultades de comprensión de profesores de Matemáticas en formación
inicial sobre ideas fundamentales de estocásticos, previo a la enseñanza?
2. Referentes teóricos
Cabe señalar que en México, es muy escasa la investigación sobre estocásticos y más aún en la
formación inicial de profesores de Matemáticas. Aquí, se muestran dos investigaciones similares.
La primera, llevada a cabo por De León (2002) con estudiantes de nivel superior del área de
Ciencias Sociales para caracterizar su comprensión sobre la ley de los grandes números y cuya
enseñanza fue mediada por el propio investigador. El autor plantea que, refiriéndose al problema de
estimar la proporción de veces que ocurrirá un evento en varias repeticiones de un fenómeno
aleatorio, se puede recurrir a la ley de los grandes números de Poisson o al teorema de Bernoulli;
enfatiza la diferencia entre ambos enfoques: mientras el de Poisson es puramente estadístico, el de
Bernoulli implica elementos probabilísticos.
Luego de investigar acerca de las comprensiones de ambas presentaciones con dos grupos de
estudiantes (a uno lo denominó apriorista y al otro frecuentista), encontró que la idea de estabilidad de
la frecuencia relativa en los estudiantes no es igual en cada enfoque; además, la comprensión de la ley
de los grandes números se podría facilitar a los estudiantes si primero se le presenta el enfoque de
Poisson y, después de los conceptos de Probabilidad, se les enseña el teorema de Bernoulli; los
estudiantes del grupo frecuentista se limitaron a utilizar el enfoque frecuencial al estimar la
probabilidad de un evento resultante de un ensayo aleatorio, siempre y cuando les parecía factible de
replicar y añade, que una gran parte de los estudiantes indicaba que no era posible determinar la
probabilidad del evento porque consideraban que era difícil o imposible hacer réplicas de un ensayo, el
resto de los participantes recurría a la información que pudieran obtener de una sola realización del
ensayo para estimar de manera subjetiva dicha probabilidad. Respecto al grupo apriorista, De León
(2002) encontró que la mayoría de los estudiantes calculó la probabilidad de un evento mediante el
enfoque clásico, aun cuando había situaciones incompatibles con este enfoque, ya sea porque el
espacio muestra propuesto por ellos mismos no era equiprobable o no podían garantizar la
equiprobabilidad; no obstante, hubo quienes primero construían el espacio muestra de un ensayo
aleatorio, luego se cuestionaban sobre la equiprobabilidad y, así, utilizaban o no del enfoque clásico.
La segunda investigación, fue llevada a cabo con estudiantes universitarios sin enseñanza, por
Gigerenzer y Hoffrage (1995), quienes reconocen la importancia del razonamiento natural para
establecer la conexión entre un algoritmo cognitivo y un formato de información, y puntualizan que
conforme los humanos fueron evolucionando dejaron de utilizar frecuencias (números naturales) y
empezaron a recurrir a probabilidades o porcentajes, lo que significó el uso de un formato “estándar”
en lugar del “natural”.Posteriormente, los autores señalaron que el argumento evolucionista de que los
algoritmos cognitivos fueron diseñados para la información frecuencial, adquirida mediante muestreo
natural, tiene implicaciones para los cálculos que un organismo necesita ejecutar. Entienden al
muestreo natural como la adquisición secuencial de la información mediante la actualización de las
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formación inicial: Condiciones iniciales
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frecuencias de eventos sin fijar artificialmente las frecuencias marginales (probabilidades y
porcentajes). Los autores encontraron que el cálculo de algoritmos es más simple cuando la
información está codificada en un formato de frecuencia (lengua natural) en lugar de un formato
estándar de probabilidad, pues se ejecutan menos operaciones y son realizadas con números naturales
en lugar de porcentajes.
En suma, estas investigaciones fueron tomadas en cuenta al momento de diseñar el instrumento
con la finalidad de prever posibles dificultades; no obstante, también se encontraron otros aspectos
que fueron motivo de interpretación y análisis.
Con base en lo anterior, la perspectiva teórica fue influenciada por dos tipos de aspectos: el
epistemológico y el cognitivo.
Para el primero, Heitele (1975) sugiere una lista de diez ideas fundamentales para estocásticos;
a saber: medida de probabilidad, espacio muestra, regla de la adición, regla del producto e
independencia, equidistribución y simetría, combinatoria, modelo de urna y simulación, variable
estocástica, ley de los grandes números y muestra. En términos del autor, estás ideas deben
proporcionar al individuo modelos explicativos en cada etapa de su desarrollo, tan eficientes como sea
posible y específicamente, se deben distinguir en los distintos niveles cognoscitivos por su forma
lingüística y por sus niveles de elaboración que excluye todo enfoque estructural.
Para el segundo, Frawley (1999) considera al ser humano como máquina (mente computacional)
y como persona (mente social); su postura unifica a internalistas y externalistas, enfatiza que nada es
completamente individualista ni exclusivamente social; de este modo, caracteriza tres tipos de
subjetividad: el procesamiento no consciente refleja la experiencia personal; la conciencia utiliza de
forma simple modelos simbólicos, interpreta e informa cualidades de la experiencia y la
metaconciencia, caracterizada por la toma de conciencia del yo y la organización deliberada de la
experiencia.
Los referentes teóricos fueron utilizados como criterios de análisis y, en otros casos, de acuerdo
con las características de las respuestas proporcionadas en los cuestionarios por los participantes, se
propusieron algunas categorías de interpretación. De este modo, en el apartado siguiente se describe el
enfoque metodológico y la organización de la investigación.
3. Enfoque metodológico y organización de la investigación
La presente investigación es de carácter cualitativo; en este sentido, se adoptó la posición de
Eisner (1998), y Martínez (2009). El investigador fue un observador participante.
Para Eisner (1998), la crítica educativa adquiere sentido cuando se toma como base la
experiencia, dado que permite cobrar conciencia de algunos aspectos del mundo (sutiles y complejos),
para lo cual se requiere ser “experto”, es decir, interpretar en función de lo que conocemos; aquí se
propone la crítica del proceso de comprensión de los estudiantes cuando el investigador se encuentra
relacionado con los modos y los medios que utiliza para guiar la enseñanza del tema de estudio. Cabe
aclarar, tal y como lo enuncia el autor, que el contexto social impide generalizar resultados obtenidos
en algunas otras escuelas o en otras épocas en las que los estudiantes tenían otras expectativas; de ahí
que los alcances de esta investigación estén delimitados por el entendimiento del acto educativo que
tiene lugar en el aula concreta con estudiantes concretos y cuyo profesor concreto también realiza
funciones de investigación. Martínez (2009, p. 228) plantea que conocer es siempre aprehender un
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dato en una determinada función, bajo una cierta relación, en tanto significa algo por dentro de una
determinada estructura; además, puntualiza que los datos recopilados dependen de las categorías
interpretativas del observador, e inevitablemente la teoría previa influye en la observación y la
experiencia y, así, incide en la construcción de los hechos; en general, no hay observador
completamente vacío de hipótesis ni puede excluir sus preconceptos ni tampoco puede evidenciar un
discurso neutro ni mucho menos se puede desconocer la cultura misma en que está inmerso el
intérprete.
3.1. Espacio de la investigación y participantes
Este estudio se llevó a cabo en una de las aulas de la ENSM del Turno Vespertino, con un grupo
de dieciséis estudiantes normalistas que cursaban el quinto y sexto semestres de la Licenciatura en
Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (LESEM), conforme al Plan y Programas de
Estudio vigente (SEP, 1999). La selección del grupo fue directa debido a que el investigador era el
titular.
3.2. Criterios de análisis y categorías de interpretación
En principio, se consideró la célula de análisis (Ojeda, 2006): ideas fundamentales de
estocásticos, otros conceptos matemáticos, recursos semióticos de la información, términos utilizados,
situaciones y contextos planteados. Posteriormente, se pudieron establecer categorías de interpretación
que daban cuenta del tipo de pensamiento manifestado por los estudiantes mediante los siguientes
tipos de razonamiento: determinista, combinatorio, probabilístico, estadístico, estocástico, referente
informativo y complejo. Entendido el razonamiento como la capacidad del ser humano para enlazar
ideas o conceptos y emitir juicios que permiten la comunicación con otros; de un modo integrador, el
pensamiento probabilístico es la capacidad de todo individuo (como ser social) para advertir la
incertidumbre que suele presentarse en diversas situaciones al interactuar con el entorno.
Conforme al desempeño de los estudiantes respecto a la comprensión de ideas fundamentales de
estocásticos, de otros conceptos matemáticos implicados y de los razonamientos que emitieron, fueron
analizados en términos de las etapas de subjetividad propuestas por Frawley (1999).
3.3. Descripción y análisis del instrumento utilizado
Se utilizó un cuestionario de exploración, el cual estuvo compuesto por ocho ítems de pregunta
abierta, los primeros cuatro fueron referidos a situaciones relacionadas con el enfoque clásico y los
restantes al enfoque frecuencial de la probabilidad. El objetivo general fue: identificar dificultades de
comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos al resolver problemas referidos a diversos
fenómenos aleatorios relacionados con la Matemática Educativa.
En las tablas 1 y 2,se muestra el análisis previo del cuestionario de exploración, conforme a los
criterios de análisis propuestos por Ojeda (2006), quien considera necesario identificar las ideas
fundamentales de estocásticos implicadas en cada uno de los ítems, también se deben especificar las
situaciones y contextos, los otros conceptos matemáticos, los términos utilizados para orientar el
pensamiento estocástico, así como los registros semióticos para presentar la información, ya se a en
tablas, gráficas o simplemente la lengua natural. Se solicitó a los dieciséis participantes, la
argumentación de sus respuestas en forma escrita y se les permitió borrar cuando así lo consideraron
necesario.
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formación inicial: Condiciones iniciales
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Los ítems fueron tomados de la propuesta de Seda (2000), libro para el maestro (SEP, 2004) y
de la Olimpiada de Matemáticas para el nivel medio superior que se han llevado a cabo en la Ciudad
de Texcoco, Estado de México; aunque en esencia, fueron modificados debido a que interesaba su
presentación en tablas, gráficas o diagramas de árbol con la finalidad de caracterizar el desempeño de
los estudiantes sobre ideas fundamentales de estocásticos y al resultado de investigación de Gigerenzer
y Hoffragge (1995).
NP
Situaciones y contextos
Juego
1
del “quemado: uso
de dos dados ordinarios.
2Juego de monedas: uso
de tres monedas
ordinarias.
Otros conceptos
matemáticos
Adición con números
naturales y racionales.
Comparación de
fracciones.
Adición con números
naturales y racionales.
Equivalencia de
fracciones.
Términos utilizados
Gana, aproxima,
quema, pierde, tiradas,
convendrá
Estudio
5
estadístico sobre
el uso de casco por
motociclistas de una
ciudad.
Adición con números
naturales y racionales.
Comparación de
fracciones.
Adición y sustracción
con números naturales y
racionales. Comparación
de fracciones.
Adición y sustracción
con números naturales y
racionales. Razón y
proporcionalidad.
Juegan, volados, caen
iguales, caen más
águilas, caen más soles,
tendrá mayor
probabilidad
Rifarlo, eligiendo al
azar, ganador,
antigüedad, evento,
misma probabilidad.
Gane, salario medio,
salario bajo, elegir al
azar, eventos, menos
probable.
Estudio estadístico,
registrar, número de
mujeres, muestra,
espera.
6Volumen de producción
de unidades en una
fábrica que cuenta con
tres máquinas.
Adición con números
naturales y racionales.
Comparación de
fracciones.
Volumen de
producción de
unidades, probabilidad,
elegida, azar.
7Registro estadístico de
un banco respecto a tres
tipos de créditos pagados
o fallidos.
Adición y multiplicación
con números decimales.
Créditos, datos,
diagrama, azar,
probabilidad.
3Rifa para obtención de
regalo entre los
empleados de un taller.
4
Valoración de
desempeño laboral según
tipo de salario.
8 Encuesta sobre
tendencias electorales de
una ciudad.
Conversión de porcentaje
a decimales
Adición y multiplicación
con números decimales.
Registros
semióticos
Lengua natural.
Números.
Lengua natural
Gráfica de barras.
Lengua natural.
Gráfica de barras.
Lengua natural.
Tabla de doble
entrada.
Lengua natural.
Números decimales.
Tabla de doble
entrada.
Lengua natural.
Números.
Diagrama de árbol.
Lengua natural.
Porcentajes.
Votantes, probabilidad,
elegido al azar.
Números decimales
Porcentajes.
Lengua natural.
Conversión de
porcentajes a decimales.
Tabla 1. Análisis previo del cuestionario de exploración.
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Ítems
Ideas fundamentales
1
2
3
4
5
6
7
8
1. Medida de probabilidad
2. Espacio muestra
3. Regla de la adición
4. Independencia. Regla del producto
5. Equidistribución y simetría
6. Combinatoria
7. Modelo de urna y simulación
8. Variable aleatoria
9. Ley de los grandes números
10. Muestra
Tabla 2. Ideas fundamentales de estocásticos implicadas.
4. Resultados con el cuestionario de exploración
En la figura 1 se presentan los resultados obtenidos para todos los ítems del primer cuestionario
de exploración.
Figura 1. Resultados obtenidos con el primer cuestionario de exploración.
La mayoría de los estudiantes manifestó dificultades de comprensión sobre ideas fundamentales
de estocásticos e incluso, hubo casos que desconocían por completo todo lo relacionado con temas de
probabilidad. A modo de ejemplos, se presentan resultados obtenidos para cuatro de los ocho ítems
propuestos, los ítems dos y tres aluden al enfoque clásico de la probabilidad y el seis y el siete para
referir al enfoque frecuencial de la probabilidad.
4.1. Resultados con el item 2. Juego de monedas
Este ítem planteaba lo siguiente:
2. Elías, Flor y Carla juegan a los volados. Si las tres monedas caen iguales entonces Elías
pagará un peso a Flor y otro a Carla, si caen más águilas que soles entonces Flor les
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formación inicial: Condiciones iniciales
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pagará un peso a Elías y otro a Carla; y si caen más soles que águilas entonces Carla les
pagará un peso a Elías y otro a Flor. ¿Quién tendrá mayor probabilidad de ganar?
Este ítem fue planteado en la Olimpiada de Matemáticas para estudiantes del nivel Medio
Superior que se llevó a cabo en la Ciudad de Texcoco, Estado de México, en el año 2007. En general,
los resultados obtenidos fueron los siguientes: tres estudiantes (18.75%) manifestaron razonamiento
probabilístico, de los cuales sólo uno fue correcto; once estudiantes (68.75%) evidenciaron
razonamiento combinatorio, y un estudiante no contestó (6.25%).
En la figura 2, se muestra la respuesta otorgada por un estudiante quien sólo identificó algunas
de las posibilidades del fenómeno aleatorio y aparentemente asignó la probabilidad del evento
tomando en cuenta que el espacio muestra corresponde al evento con el cual paga cada uno de los
personajes. Según lo estipulado en el ítem, Elías debe pagar al caer las tres monedas iguales, pero el
participante sólo reconoció tres águilas y descartó que también podían ocurrir tres soles; cuando Flor
paga sólo identificó el evento dos águilas y un sol y cuando Karla paga únicamente consideró el
evento dos soles y un águila. En general, las dificultades que evidenciaron los estudiantes no sólo se
relacionaron con la idea de combinatoria sino también con las de medida de probabilidad, espacio
muestra, regla del producto e independencia, variable aleatoria y equidistribución y simetría.
Conforme a las etapas de subjetividad propuestas por Frawley (1999), este desempeño puede situarse
en el procesamiento no consciente.
Figura 2.Ejemplo de respuesta con razonamiento combinatorio incorrecto. (C2, E1).
4.2. Hallazgos con el ítem 3. Rifa de regalo
El ítem planteaba lo siguiente:
3. En la gráfica se muestran los años trabajados por los empleados de un taller. Cada navidad se
cooperan para comprar un regalo y rifarlo entre todos, poniendo en una caja un papelito con
su nombre y eligiendo al azar el ganador.
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Comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos de profesores de Matemáticas en
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Figura 3.
¿Cuál es la relación que guardan entre sí, los eventos abajo enunciados?
(A) Que gane el regalo una mujer con una antigüedad menor o igual a cuatro años.
(B) Que gane el regalo un hombre con una antigüedad mayor a 3 años.
Este ítem se tomó del libro para el maestro (SEP, 1994); aunque aquí se propuso la variable
antigüedad en lugar de salarios percibidos por cada empleado, también se incluyó gráfica y se excluyó
tabla de una entrada, cuyo foco principal fue identificar eventos equiprobables.
En general, los resultados obtenidos fueron los siguientes: seis estudiantes (37.5%)
proporcionaron respuesta con razonamiento probabilístico, en ningún caso fue correcto; siete
(43.75%) con razonamiento determinista y tres no contestaron (18.75%). Estos resultados muestran la
ausencia de comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos implicadas.
Las respuestas proporcionadas dejaron en evidencia como se activaron esquemas de
pensamiento que aludieron a razonamientos deterministas con fundamentos de tipo aritmético, ya sea
porque se aseguró que el regalo lo puede ganar quien tenga mayor antigüedad (Figura 4) o quienes
tienen más antigüedad que los demás o simplemente porque hay más hombres que mujeres. Por el tipo
de respuesta de los estudiantes, se les puede ubicar en la primera etapa de subjetividad denominada
como procesamiento no consciente (Frawley, 1999).
Figura 4. Ejemplo de respuesta con razonamiento determinista. (C2, E3).
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4.3. Hallazgos con el ítem6. Control de calidad
De un modo explícito, el ítem planteaba la situación siguiente:
6. Completa la tabla, cuyos datos corresponden a tres muestras tomadas del volumen de
producción de unidades de una fábrica por tres máquinas diferentes.
Unidades
Con defectos
Sin defectos
Total
Máquina A
6
Máquina B
992
1000
500
Máquina C
40
Total
2000
Tabla 3.
¿Cuál es la probabilidad de que elegida una unidad al azar sea defectuosa?
La idea central de este ítem fue tomado de Seda (2000). Las variantes propuestas fueron:
presentar en tabla parte de los datos numéricos en lugar de porcentajes y así, satisfacer la propuesta de
Gigerenzer y Hoffragge (1995). Diez estudiantes (62.5%) otorgaron respuestas con razonamiento
probabilístico, cinco (31.25%) con razonamiento determinista y uno no contestó (6.25%). De los
quince estudiantes que proporcionaron respuesta, todos completaron los datos faltantes en la tabla. En
general, no se advirtieron las ideas fundamentales de estocásticos en forma explícita y correcta
El ejemplo de la figura 5, representó la probabilidad del evento poniendo en relación el número
de piezas con defectos respecto al número total de piezas producidas por las tres máquinas), pero
expresó la probabilidad en porcentaje de forma inadecuada; además, faltó explicitar el concepto de
frecuencia relativa como una aproximación a la probabilidad del evento; así, este desempeño
corresponde a la frontera entre el procesamiento no consciente y la conciencia (Frawley, 1999).
Figura 5. Ejemplo de respuesta con razonamiento probabilístico. (C2, E4).
En la respuesta de la Figura 6, se desconocieron los datos proporcionados en la tabla y sólo se
contestó en función de que son tres máquinas y en todas se presentan piezas defectuosas; de este modo
se tuvieron dificultades de comprensión con las ideas de espacio muestra, variable aleatoria, muestra y
ley de los grandes números. Resultados similares fueron encontrados por De León (2002) al pedirles a
los estudiantes que efectuaran volados. Conforme a las etapas de subjetividad, se le puede situar en la
etapa del procesamiento no consciente.
Figura 6. Respuesta con razonamiento probabilístico incorrecto. (C2, E3).
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4.4. Hallazgos con el ítem 7. Créditos bancarios fallidos
El ítem planteaba lo siguiente:
7. Según los registros que se encuentran en los archivos de un banco, el 35% de los créditos es
para vivienda (A), el 50% para automóvil (B) y el 15% para inversiones (C). Regularmente,
resultan fallidos (D) el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para
automóvil y el 70% de los créditos para inversiones. Con base en los datos antes
proporcionados, completa el diagrama siguiente:
0.2
AP(A) ● P(D) = (0.35) (0.2) = 0.07
A
0.35
0.5
A
0.85
A
AP(B) ● P(E) = (0.5) (0.85) = 0.425
E
A
A
Se elige un crédito al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se pague?
La idea central fue recuperada de Seda (2000), quien plantea este problema en porcentajes y sin
el uso de diagrama de árbol ni con datos en su forma decimal. Los resultados generales fueron: doce
estudiantes (75%) no otorgaron respuesta alguna, uno (6.25%) otorgó un razonamiento probabilístico
correcto a partir de completar los datos del diagrama de árbol y los otros tres (18.75%) evidenciaron
razonamientos deterministas, de ellos, sólo dos completaron el diagrama.
En la figura 7, se presenta la única respuesta correcta a partir de completar el diagrama de árbol
respectivo. Así, quedó en evidencia el dominio de ideas fundamentales de estocásticos implicadas (ver
tabla 2). Este desempeño se puede ubicar en la frontera entre la conciencia y la metaconciencia.
Figura 7. Respuesta con razonamiento probabilístico correcto. (C2, E11).
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5. A modo de conclusiones
Los hallazgos de investigación corresponden sólo a la participación de un grupo reducido de
dieciséis estudiantes normalistas, por lo que se hace necesario desarrollar otras investigaciones en
diversos contextos socioculturales de México para identificar similitudes y diferencias.
Si bien es cierto que hubo más respuestas correctas para los ítems referidos al enfoque
frecuencial de la probabilidad y que Gigerenzer y Hoffragge (1995) reconocen a este enfoque como
una forma de comprender la idea de azar de forma natural, también se debe destacar que las respuestas
se caracterizaron por proporcionar razonamientos de tipo deterministas en las que la idea de azar no
fue advertida y sólo ponían en práctica algoritmos tales como la regla de tres y para nada reconocían
que deriva de los conceptos matemáticos de razón y proporción; tampoco evocaron conceptos tales
como frecuencia absoluta, frecuencia relativa y, mucho menos, el de frecuencia esperada.
Cabe señalar que en tres de los ítems referidos al enfoque frecuencial, se propusieron tablas de
doble entrada y un diagrama de árbol, los cuales fueron completadas de forma correcta por la mayoría
de los participantes; sin embargo, la falta de familiarización con ideas fundamentales de estocásticos
dificultaron la advertencia de la naturaleza de la idea de azar en estos fenómenos.
Los hallazgos, permiten reflexionar acerca del reconocimiento de que es urgente la formación
en estocásticos para quienes a su vez van a formar estudiantes en la Educación Secundaria porque
regularmente estos contenidos son omitidos por el docente de ese nivel educativo, ya sea porque
desconoce su trascendencia en la formación de futuros ciudadanos que deben poseer un cultura
matemática básica integral (Ojeda, 2006) o porque carece de su dominio o, incluso porque requiere de
formas de trabajo docente que rompen su esquema de acción cotidiano y en el mejor de los casos, se
les enseña de modo estrictamente formal, lo cual limita la comprensión de la idea de azar. Para
Batanero, Henry y Parzysz (2005; citado en Batanero, Ortiz y Serrano, 2007) una comprensión
completa de la probabilidad, demanda que la enseñanza incluya tres puntos de vista: el clásico, el
frecuencial y el subjetivo. Asimismo, Batanero, Godino y Roa (2004) y Batanero, Ortiz y Serrano
(2007) plantean la necesidad de que la formación didáctica de los profesores no sólo incluya el
conocimiento estocástico sino también componentes básicos tales como: la reflexión epistemológica
sobre la naturaleza del conocimiento estocástico, su desarrollo y evolución; el análisis del currículo,
situaciones didácticas, metodología de enseñanza para temas específicos y recursos didácticos
específicos; entre otros.
En general, se debe tomar en cuenta que el desarrollo del pensamiento probabilístico es
imprescindible en la formación inicial de futuros profesores de matemáticas, cuya razón se debe a que
los temas de probabilidad contribuyen a su vez, en el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo
para el planteamiento de alternativas y la toma de decisiones sobre una base científica, racional y
principalmente, ética; toda vez que la generación y aplicación de conocimientos deben ser utilizados
para beneficiar a las grandes masas más que a los intereses de particulares.
6. Bibliografía
Batanero, C. Ortiz, J. J. y Serrano, L. (2007). Investigación en didáctica de la probabilidad.Uno:
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Saúl Elizarrarás Baena. Escuela Normal Superior de México, Ciudad de México, D. F. Nací en Cd.
Nezahualcoyotl, Estado de México, el 19 de abril de 1976. Tesista del Programa de Doctorado en
Ciencias de la Educación (promoción 2010-2012) del Instituto Superior de Ciencias de la Educación del
Estado de México. Maestro en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa por el CINVESTAV
del IPN. Licenciado en educación Media en el Área de Matemáticas por la ENSM. Ponente en diversos
congresos nacionales e internacionales (RELIME: 2004, 2008-2010; UNAM: 2009-2013, etc.).
E-mail: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 81-99
La construcción del modelo situacional de un problema matemático: El
análisis basado en el Marco del Experimentador Inmerso
José Antonio Juárez López
Alejandra Mejía Saldaña
Aurelia González Miguel
Josip Slisko
(Universidad Autónoma de Puebla. México)
Fecha de recepción: 18 de marzo 2014
Fecha de aceptación: 29 de agosto de 2014
Resumen
El presente estudio aborda el análisis de diversas representaciones mentales de una
situación descrita en un problema matemático que construyeron estudiantes de primero y
segundo grado de secundaria. Desde una perspectiva psicolingüística, conocida como
Marco del Experimentador Inmerso (MEI), se modificó un problema verbal existente.
Esa versión modificada fue presentada a los estudiantes y se les pidió que dibujaran la
situación descrita en el problema. El MEI nos permitió analizar las diversas
representaciones realizadas por los estudiantes. Los resultados del análisis revelan la
forma en que los estudiantes monitorearon algunas dimensiones del modelo situacional
durante el proceso de comprensión textual del problema.
Palabras clave
Modelo Situacional, Experimentador Inmerso, Problemas verbales.
Abstract
The present study deals with the analysis of various mental representations of a situation
described in a mathematical problem that have been constructed by the first and second
year students of middle school. From a psycholinguistic perspective, known as Immersed
Experiencer Framework (IEF), an existing word problem was modified. That modified
version was presented to the students and they were asked to draw the situation described
in the problem. The IEF allowed us to analyze the various representations made by
students. The results of analysis reveal the way in which students monitor certain aspects
of the situation model during reading comprehension of the problem.
Keywords
Situation Model, Immersed Experiencer, Word problems.
1. Introducción
Diversas investigaciones se han propuesto para conocer con mayor profundidad los diferentes
factores que afectan la comprensión de problemas matemáticos verbales (Cummins et al, 1988;
Kintsch y Greeno, 1985). El desempeño de los alumnos en la resolución de problemas matemáticos
define el éxito o el fracaso de cada estrategia de enseñanza. Por eso, desde hace tiempo, se intenta
tener una visión científica sobre las causas que afectan tal desempeño para poder mejorarlo (Kintsch y
Greeno, 1985). Las dificultades para los alumnos aumentan bastante cuando los problemas implican
un proceso de modelización matemática (Galbraith y Stillman, 2006). En este sentido, Pérez (1998)
señala que “…la comprensión o traducción del problema no sólo se ve influida por rasgos lingüísticos
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Marco del Experimentador Inmerso
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superficiales; también puede verse determinada por el significado que evocan esos rasgos o por el
choque con los conocimientos cotidianos que tiene el sujeto…” p. 70.
Ya está bien establecido, tanto teórica como experimentalmente, que el proceso de
modelización consiste de varias fases (Borromeo-Ferri, 2006). La primera fase es la construcción de
un modelo mental de la situación (“modelo situacional”) a la que se refiere el problema y es necesaria
para la comprensión de un problema matemático y su posterior resolución (Reusser, 1988; Mayer y
Heagarty, 1996).
En dos estudios recientes (Juárez y Slisko, 2011; 2013) se han reportado los resultados que
muestran las diversas y profundas dificultades que tienen los estudiantes de secundaria al dibujar su
imagen mental de la situación que se refiere al problema, “El árbol caído”:
“Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman
con la Tierra un triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de
35° con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la
cúspide caída es de 5 m. Halla la altura que tenía el árbol.” (Mancera, 2008,
p. 333)
En ambos estudios se encontró que, después de aplicar a treinta estudiantes de tercer año de
secundaria el problema “El árbol caído”, sólo diez de ellos fueron capaces de dibujar la situación real
descrita en el texto. De estos diez estudiantes, sólo uno relacionó los datos del problema con el dibujo
en forma correcta. Los 9 alumnos restantes, aunque dibujaron la situación real correctamente,
introdujeron los datos del enunciado en forma incorrecta, ya sea asignando los 35 o al ángulo formado
por las partes del árbol o localizando la medida de 5 m en la parte del árbol que quedó en pie o, en
algunos casos, a la parte caída.
Los otros 20 alumnos, que no lograron dibujar correctamente la situación descrita en el
problema, se clasificaron inicialmente en dos categorías: Los que dibujaron el árbol caído o roto y los
que dibujaron el árbol entero.
La primera categoría formada por 11 estudiantes, se puede dividir en dos subcategorías. La
primera está conformada por 5 estudiantes que parecen haber sido influidos por el título del problema
“El árbol caído” y, efectivamente, eso es lo que dibujaron: un árbol caído a causa del viento.
Para estos alumnos, la situación fue representada mediante un árbol en momentos distintos:
cuando se encontraba en pie, antes de la acción del viento, y cuando cayó, después de la acción del
viento. Curiosamente, uno de estos 5 alumnos dibujó un triángulo no rectángulo situado en la base del
árbol antes de caer, al parecer motivado por el hecho de que en el texto se menciona la formación de
un triángulo.
La segunda subcategoría, formada por 6 estudiantes, se caracteriza por el hecho de que los
dibujos realizados muestran un árbol roto por el viento, pero cuyas partes estrictamente no forman un
triángulo rectángulo o dicho triángulo aparece como algo ajeno al modelo situacional.
Los resultados anteriores nos motivaron para desarrollar un estudio que nos permitiera conocer
con más detalle los factores y procesos que intervienen en la elaboración del modelo situacional,
destacando la importancia que tiene éste en la construcción del modelo matemático, como paso previo
que conduce a la resolución del problema planteado.
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2. La importancia del modelo situacional durante la comprensión textual
El trabajo de Polya (1976) se desarrolló alrededor de las etapas necesarias en la resolución de
problemas matemáticos específicamente. En su propuesta, Polya discute el potencial de los métodos
heurísticos e identifica etapas fundamentales en las que el uso de dichos métodos juega un papel
importante. Este modelo de la resolución de problemas, sin duda, ha sido de gran importancia para la
Educación Matemática, pues ha permitido esclarecer muchos de los procesos cognitivos presentes en
dicha actividad. En la primera etapa, el entendimiento del problema, se ubican las estrategias que
ayudan a representar y entender la situación y las condiciones del problema. También se enfatiza aquí
la importancia de otras heurísticas como ‘dibujar una gráfica o diagrama’.
Esto último ha sido investigado por otros autores, poniendo énfasis en el efecto que tienen tales
actividades y representaciones en la resolución de problemas (Csíkos, Szitányi y Kelemen, 2011;
Diezmann, 2000a, b; Pantziara, Gagatsis y Elia, 2009; Voyer, 2010). También se ha señalado la
importancia de ‘introducir una notación adecuada’ (Santos, 2007). Al respecto, van Dijk y Kintsch
(1983) señalan que un modelo situacional es una estructura integrada de información que recoge
información episódica previa acerca de alguna situación, así como información general instantánea de
la memoria semántica.
En este sentido, hacer un dibujo o diagrama de la situación planteada en el problema puede
resultar crucial para el que intenta resolver un problema verbal (Diezmann, 2000a). De esta forma, una
gran cantidad de problemas verbales en los que interviene o se describe una situación real, la cual
necesariamente debe ser modelada por los comprendedores, se presentan al sujeto como si tal
representación mental de la situación fuera un proceso inmediato. Para esta investigadora, representar
la información escrita de un problema en un diagrama es, en principio, un proceso de traducción que
involucra la decodificación de información lingüística y la codificación de información visual.
Además, las representaciones visuales-espaciales han sido clasificadas en representaciones
pictóricas o esquemáticas, donde las representaciones pictóricas se definieron como aquellas imágenes
que codifican la aparición visual de un objeto o de los objetos que se describen en un problema. Por
otra parte, las representaciones esquemáticas representan las relaciones espaciales entre las partes
problemáticas y las transformaciones espaciales incluidas. En esta dirección, van Garderen y
Montague (2003) encontraron que las representaciones esquemáticas fueron más positivas con el éxito
en la resolución de problemas matemáticos y las representaciones pictóricas fueron más negativas con
el éxito en la resolución de problemas matemáticos. No obstante, Mejía (2014) señala en su estudio
que la mayoría de los sujetos, a los que se les pidió que construyeran su modelo situacional a partir de
la lectura de un problema matemático ‘simple’, enfocaron su atención en algunas dimensiones
específicas como los objetos, la perspectiva y la espacialidad, lo cual constituyó un obstáculo para
responder correctamente el planteamiento.
Por otro lado, Csíkos, Szitányi y Kelemen (2011) encontraron en su estudio que un programa de
intervención fue exitoso para los estudiantes del grupo experimental al hacerlos más conscientes
acerca de la importancia de hacer dibujos para los problemas matemáticos verbales. De hecho, los
resultados hallados por estos investigadores apoyan el punto de vista de muchos docentes quienes
subrayan la importancia de la modelación de situaciones matemáticas reales por medio del uso de
problemas verbales en el aula, si éstos son seleccionados cuidadosamente. Incluso, señalan que esta
actividad puede ayudar a los estudiantes a desarrollar sus habilidades aritméticas sin tener que resolver
una gran cantidad de problemas similares.
Durante muchos años de investigación sobre la resolución de problemas, se ha puesto especial
atención a las diversas fases del proceso de modelación que elaboran los estudiantes al enfrentar
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situaciones problemáticas en las diferentes áreas de las matemáticas y en distintos niveles escolares
(Leiss, Schukajlow, Blum, Messner, y Pekrun, 2010).
En su trabajo, Borromeo-Ferri (2006) señala la distinción teórica y empírica entre las fases del
proceso de modelación dentro de la resolución de problemas. Esta autora sostiene que el modelo
situacional es una fase importante en el proceso de modelación debido a que en él se describe la
transición entre la situación real y el modelo situacional como una fase de comprensión de la tarea. En
la Figura 1 se observa el esquema del ciclo del proceso de modelación, propuesto por la autora citada.
Figura 1. Esquema del ciclo del proceso de modelación desde una perspectiva cognitiva, inspirado en
Borromeo-Ferri (2006).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Comprendiendo la tarea.
Simplificación/Estructuración de la tarea; uso/necesidad de (CEM), dependiendo de la
tarea.
Matematización; CEM es requerido aquí fuertemente.
Trabajar matemáticamente, usando competencias matemáticas individuales.
Interpretando.
Validando.
Cabe señalar que, para esta investigación en particular, nos enfocamos solamente en la fase
‘Representación mental de la situación’ que aparece dentro del ciclo de del proceso de modelación
propuesto por Borromeo-Ferri (2006).
Desde esta misma perspectiva cognitiva, diversos trabajos se han enfocado en el complejo
proceso de comprensión textual durante la resolución de problemas verbales, tanto de álgebra y
problemas realistas, así como con problemas aritméticos de tipo cambio, comparación y combinación
(Vicente y Orrantia, 2007). Estos investigadores sugieren la necesidad de crear un modelo de la
situación del problema, aplicando para ello el conocimiento del mundo real que posea el alumno.
Desde diferentes modelo teóricos, se afirma que dicha necesidad se presenta tanto para problemas
realistas como para problemas aritméticos y algebraicos.
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Por otro lado, se han venido desarrollando investigaciones en torno a la resolución de problemas
matemáticos verbales, las estrategias que emplean los estudiantes para resolverlos, así como las
diferencias que se obtienen en el rendimiento de los alumnos cuando se les presentan situaciones
problemáticas en contextos menos artificiales.
Recientemente, diversos especialistas han sostenido que “…la comprensión exitosa de un texto
no involucra solo la construcción de una representación de dicho texto, sino también la construcción
de una representación mental de la situación descrita en él…” (Ibáñez, 2007, p.87), representación
que otros autores llaman Representación Mental de la Situación (RMS) o simplemente Modelo
Situacional (MS) (van Dijk y Kintsch, 1983).
Walter Kintsch, psicólogo norteamericano, desarrolló un modelo explicativo de la comprensión
de textos en el que el MS juega un papel determinante en los procesos cognitivos que tienen lugar en
la lectura e interpretación de la información escrita. La resolución de problemas matemáticos verbales
implica dicha comprensión de la base textual, así como de la correcta construcción del modelo
situacional que permita al sujeto que resuelve elaborar posteriormente el modelo matemático.
De la misma forma, se han realizado investigaciones que intentan esclarecer las razones por las
que los estudiantes tienen dificultades al elaborar diagramas o representaciones de problemas,
señalando que una inadecuada representación de los mismos puede limitar las capacidades de los niños
en la resolución de problemas, y proponen, a su vez, investigar los factores que influyen en dicha
representación (Diezmann, 2000b; Mejía, 2014)
El modelo de situación es un constructo en la memoria episódica que representa el evento o
situación sobre la que habla el texto (Nesher, Herskovitz y Novotná, 2003). En este sentido, van Dijk y
Kintsch (1983) señalan la necesidad de dichos modelos, argumentando que éstos no son meramente
construcciones plausibles, sino que son imprescindibles para darse cuenta de los fenómenos de la
comprensión del discurso y la memoria. Esto implica que el texto base solo representaría aquellos
significados expresados por el texto, pero la comprensión real involucraría la construcción de un
nuevo modelo, o actualización de un modelo antiguo. Estos modelos serían subjetivos, por lo que
implicaría que la comprensión es personal, ad hoc y única, y definiría una interpretación específica de
un texto específico en un momento específico.
Lo más importante sobre los modelos de situación es que son resultado de la información que se
deriva del conocimiento previo del lector. En otras palabras, el lector genera proposiciones puente,
inferencias, fragmentos de su propio conocimiento previo y fragmentos del conocimiento previo
social.
Una de las consecuencias que tendría la falta de una construcción adecuada del modelo
situacional sería, por ejemplo, el comportamiento de los estudiantes fuertemente ligado a las prácticas
escolares:
“Como resultado de la escolarización, el comportamiento de los estudiantes
es pragmáticamente funcional si ellos toman en cuenta cualquier información
que pueden dibujar de los textos de los problemas y de los contextos. Esto es,
su hacer sentido matemático es funcional si ellos activa y continuamente
construyen una representación mental no sólo de la tarea específica (modelo
del problema…), sino también de la situación socio-contextual en la que se
encuentran (construcción de un modelo del contexto social)…” (Reusser y
Stebler, 1997, pp. 325-326)
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No obstante de la existencia de investigaciones que señalan la importancia del modelo
situacional durante la comprensión textual del problema, algunos investigadores, como Voyer (2010),
sostienen que la cuestión de la influencia de la construcción de dicho modelo sobre el desempeño de
los estudiantes en la resolución de problemas verbales permanece abierta. En el mismo sentido, van
Dijk y Kintsch (1983) subrayan que “…sabemos muy poco acerca de las condiciones que favorecen o
inhiben la construcción de los modelos situacionales a partir de los textos…” (van Dijk y Kintsch,
1983, p. 346).
2.1. El Marco del Experimentador Inmerso (MEI)
Durante los últimos veinte años se han contrastado empíricamente diversos paradigmas acerca
de la comprensión textual, haciendo uso, principalmente, de estudios cuantitativos en donde el tiempo
de reacción frente a determinados experimentos de lectura es fundamental. Por ejemplo, Bestgen y
Dupont (2003) realizaron dos experimentos en los que los participantes leyeron algunos textos, frase
por frase, los cuales les dieron instrucciones acerca de cómo organizar los elementos en un diseño,
para que luego realizaran una tarea de reconocimiento. Otros investigadores han señalado la
importancia que puede tener la influencia de la eficiencia en el lenguaje y las habilidades de
comprensión sobre la construcción del modelo situacional (Zwaan y Brown, 1996). Particularmente se
ha puesto mayor énfasis en el análisis de la construcción del modelo situacional, llamado también por
algunos autores como representación mental de la situación que se describe en un texto. Sin embargo,
se han realizado muy pocos estudios cualitativos en los que la construcción del modelo situacional es
el principal objeto de estudio (Diezmann, 2000 a, b), sobretodo en lo que se refiere a las dimensiones
de dichos modelos, así como el papel que juegan en la comprensión de textos.
De acuerdo con Zwaan y Radvansky (1998), los modelos situacionales son representaciones
multidimensionales y, por lo tanto, se necesita identificar las dimensiones críticas de dichos modelos.
Según ellos, necesitamos comprender cómo los lectores construyen y monitorean las mútilpes
dimensiones. Señalan, también que es importante, tanto teórica como metodológicamente, diseccionar
la construcción de los múltiples aspectos del modelo situacional. En este mismo sentido, Zwaan y
Radvansky (1998) enfatizan la importancia del protagonista y los objetos durante la construcción del
modelo situacional.
El Marco del Experimentador Inmerso (MEI), propuesto por Zwaan (2004), sostiene
básicamente que el comprendedor del lenguaje es un experimentador inmerso en la situación que se
describe en el texto o en el discurso. Cuando se comprende profundamente el lenguaje, los ojos de la
persona y los movimientos de sus manos son consistentes con lo que se percibe o se actúa en la
situación descrita. La premisa básica es que el lenguaje es un conjunto de señales para que el
comprendedor construya una simulación experiencial (percepción más acción) de la situación descrita.
En esta conceptualización, el comprendedor es un experimentador inmerso en la situación descrita y la
comprensión es la experiencia vicaria de la situación descrita. Para Zwaan, la comprensión es el
resultado de la experiencia vicaria que tiene el sujeto cuando intenta entender un texto.
El MEI distingue tres componentes procesuales de la comprensión del lenguaje:
(a) activación, (b) construcción e (c) integración.
Zwaan asume, junto con Kintsch (1988), que las primeras palabras entrantes resultan en un
patrón difuso de activación, el cual es subsecuentemente reducido por un mecanismo restrictivo de
satisfacción que toma información contextual en consideración. Este autor asume también que el
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principal objetivo de la comprensión del lenguaje es la construcción de una representación mental de
la situación referencial, es decir, un modelo situacional.
El supuesto básico es que leer o escuchar una palabra, activa representaciones experienciales de
palabras (léxicas, gramaticales, fonológicas, motoras, táctiles), así como representaciones
experienciales asociadas con sus referentes (motoras, perceptuales y emocionales).
El MEI distingue tres, ya mencionadas, componentes generales del proceso de comprensión: la
activación, la construcción y la integración. En dichos componentes no se asume que operen
secuencialmente.
Activación. Las palabras entrantes activan redes funcionales que, también, son activadas cuando
el referente es experimentado. El grado de difusión de la representación depende de la frecuencia de
distribuciones y de la primacía y lo reciente de nuestras experiencias con su referente. El mecanismo
de restricción-satisfacción por el cual una red funcional activada previamente difundida es restringida
para encajar la simulación mental es llamado articulación y ocurre durante la construcción.
Construcción. La construcción es la integración de redes funcionales en una simulación mental
de un evento específico. Durante la construcción, las redes funcionales inicialmente activadas llegan a
ser articuladas por medio de un mecanismo de restricción-satisfacción. Los principios generales del
modelo de construcción-integración de Kintsch y van Dijk (1978), no desarrollado con los sistemas de
símbolos perceptuales en mente, proporciona una manera de conceptualizar este proceso. Dado que la
comprensión del lenguaje ocurre normalmente rápidamente, la velocidad normal del habla es casi 2.5
palabras por segundo y la velocidad normal de lectura es casi el doble de rápido (y es creciente), el
comprendedor intenta interpretar cada palabra inmediatamente. Por tanto, la construcción es un
proceso inmediato y creciente. En algunos casos, la red funcional activada por una palabra restringe la
activación de la red funcional activada por la siguiente palabra (Zwaan, 2004).
Integración. Una vez que una representación de un evento ha sido (parcialmente) construida, el
comprendedor procede con la siguiente construcción. Los componentes relevantes de la (s)
construcción (es) previas proporcionarán parte del contenido de la memoria de trabajo junto con las
redes funcionales activadas por la (s) palabra (s) actuales e influirán por tanto la construcción actual.
La integración se refiere a la transición de una construcción a la siguiente. El supuesto es que estas
transiciones están basadas en la experiencia.
Tipos de transiciones entre las construcciones. En las descripciones de escenas estáticas, el
experimentador modula típicamente la atención y las transiciones asociadas son perceptuales,
mayormente visuales, por naturaleza. Las transiciones típicas en las descripciones escénicas son
acercadas, panorámicas, exploradas y fijadas, donde cada construcción simula la experiencia visual de
un objeto, parte de un objeto o una característica del objeto. Por tanto, las construcciones estimuladas
por esos marcos de atención son experiencias visuales de las entidades denotadas y las transiciones
entre ellas son procesos visuales comunes.
En las descripciones de escenas dinámicas o secuencias de acciones en las cuales el
experimentador es estrictamente un observador, las transiciones son moduladas por cambios en la
escena que atraen la atención. En ambas descripciones, tanto de escenas estáticas como dinámicas, es a
menudo el caso que la atención cambia a partir del ambiente hacia un estado interno del
experimentador: una emoción (por ejemplo, temor después de ver su propia oficina revuelta), un
estado cognitivo (por ejemplo, confusión al ver una obra de arte abstracto) o un recuerdo (por ejemplo,
al oler un olor determinado).
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Se ha desarrollado bastante investigación sobre la construcción del modelo situacional y las
dimensiones presentes en ella. Sin embargo, en la gran mayoría de ellos, se trata de estudios con
enfoque cuantitativo en los que el tiempo de reacción ante la lectura de ciertos textos es fundamental
para describir la construcción del modelo situacional (Bestgen y Dupont, 2003; Zwaan, Graesser y
Magliano, 1995). Hasta ahora se conocen pocos estudios cualitativos en los que la construcción del
modelo situacional durante la lectura de problemas matemáticos verbales se consideraba como el
principal objetivo.
2.2. Preguntas de investigación y objetivo del estudio
Una vez que se ha discutido acerca del papel que juega la construcción del modelo situacional
durante la comprensión textual y con base en la revisión de literatura, se plantearon las preguntas de
investigación. Las preguntas a las que se pretendió dar respuesta mediante este estudio son:
¿Qué elementos caracterizan la construcción del modelo situacional durante la comprensión textual
de un problema matemático cuando se utiliza la perspectiva del Marco del Experimentador Inmerso?
¿Qué dimensiones de la construcción del modelo situacional están presentes durante la
comprensión textual del problema cuando se analiza desde la perspectiva del MEI?
Estas preguntas sirvieron como guía en el diseño del instrumento para la recolección de datos,
así como para el análisis de las respuestas.
De tal manera, el objetivo central de este estudio consistió en identificar y analizar las
componentes de la construcción de los diversos modelos situacionales realizados por estudiantes de
secundaria, durante el proceso de lectura y comprensión de un problema matemático desde la
perspectiva teórica conocida como Marco del Experimentador Inmerso.
3. Método
El tipo de estudio que presentamos es de corte cualitativo mediante la aplicación de una hoja de
trabajo con una versión modificada de un problema que se encuentra en un libro de texto de primer
grado de secundaria (Chávez, Escalera y Hubard, 2003). Se trata de un estudio exploratorio cuya
finalidad fue indagar las dimensiones del modelo situacional que construyen los sujetos durante el
proceso de lectura. Nuestra intención fue averiguar más profundamente la manera en la que se
construyen los modelos situacionales frente a una versión modificada de un problema, que llamamos
“versión del experimentador inmerso”.
3.1. Participantes
Los sujetos que participaron en esta investigación fueron 140 estudiantes de primer grado y 49
estudiantes de segundo grado de secundaria de una escuela de la Ciudad de Puebla, México. La
mayoría de los estudiantes de dicha institución pertenecen a un nivel socioeconómico medio y su edad
oscila entre los 12 y 14 años. En esta institución se llevan a cabo las actividades docentes apegadas al
Plan y Programas de estudio de Educación Secundaria vigentes (SEP, 2011).
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3.2. Instrumento de recolección de datos
En este apartado se comenta acerca de las características del instrumento usado en la
investigación, el cual consistió de una hoja de trabajo con el planteamiento del problema “Un paseo
turístico” el cual fue re-escrito en términos del MEI. La intención de proponer a los sujetos una
versión modificada del problema tuvo como fundamento la concepción de que “…el comprendedor es
un experimentador inmerso de la situación descrita y la comprensión es la experiencia vicaria de la
situación descrita…” (Zwaan, 2004, p.36).
El problema planteado a los estudiantes fue re-escrito en términos del MEI a partir de un
problema ya publicado en (Chávez, Escalera, y Hubard, 2003, p. 143) y que llamamos “Un paseo
turístico”, es el siguiente:
“Imagina que entras en una pirámide y caminas 6.5 metros al centro de ella por un túnel que
está en el nivel de la calle, hace frío y huele a humedad. A partir de ahí el túnel sube 2 metros y se
mantiene horizontal durante 3.5 metros; en ese punto el túnel tiene una caída de 1 metro y llega a un
pequeño cuarto. ¿Te encuentras por debajo o por arriba del nivel de la calle? ¿Cuántos metros?”
Dado que los modelos situacionales son considerados en la literatura como representaciones
mentales, en el instrumento aplicado se consideró como Modelo Situacional al dibujo que los sujetos
realizaron para representar la situación descrita en cada enunciado que contiene el problema. En un
recuadro final se les pidió a los alumnos que dibujaran o escribieran lo que consideraron necesario
para contestar las preguntas de la hoja de trabajo.
La razón por la que se realizó la separación entre el modelo situacional y el
modelo matemático, se debe a que en la mayoría de los libros de texto estos elementos se mezclan sin
comentarios o aclaraciones. Esta podría ser una probable razón por la que los alumnos no los
distinguen y que no son capaces de intuir sus características y diferencias principales.
4. Análisis y clasificación de diversos modelos situacionales desde la perspectiva del MEI
En un primer acercamiento a los datos obtenidos mediante el instrumento mencionado, con el
fin de obtener una visión general sobre la construcción del modelo situacional desde el marco del
experimentador inmerso por parte de cada uno de los 140 alumnos de primer grado que contestaron el
instrumento, se calculó el porcentaje de aciertos. De las aplicaciones que se hicieron, podemos decir
que sólo 32 alumnos que realizaron la actividad dieron la respuesta correcta a las preguntas que se
pedían en el problema. Por otro lado, resulta interesante el hecho de que 13 estudiantes no pudieron
determinar si se encontraban por arriba o por debajo del nivel de la calle y 5 estudiantes determinaron
que se encuentran al nivel de la calle. Por otro lado, 54 estudiantes contestaron que se encontraban por
debajo del nivel de la calle. Finalmente, 36 sujetos respondieron que se encontraban por arriba del
nivel de la calle a una distancia distinta de 1m. La información se concentra en la Tabla 1.
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Clasificación de las respuestas del grupo de 1º grado
Tipo I
Tipo II
Tipo III
Tipo IV
Tipo V
Dieron las
respuestas correctas
a las preguntas.
No pudieron
determinar si se
encontraban por
arriba o por debajo
del nivel de la
calle.
9.28%
13/140
Determinaron que
se encuentran en el
nivel de la calle.
Determinaron que
se encontraron por
debajo del nivel de
la calle
3.57%
5/140
38.57%
54/140
Determinaron que
se encontraron por
arriba del nivel de
la calle a una
distancia distinta de
1m.
25.71%
36/140
22.85%
32/140
Tabla 1. Clasificación de las respuestas de acuerdo con los modelos situacionales observados en el grupo de 1º grado.
De igual manera, sólo 19 alumnos de los 49 estudiantes de segundo grado que realizaron la
actividad, dieron la respuesta correcta. Resulta interesante el hecho de que 6 estudiantes no pudieron
determinar si se encontraban por arriba o por debajo del nivel de la calle. Por otro lado, 12 estudiantes
contestaron que se encontraban por debajo del nivel de la calle. Finalmente, 12 sujetos respondieron
que se encontraban por arriba del nivel de la calle a una distancia distinta de 1m. Ver la Tabla 2.
Clasificación de las respuestas del grupo de 2º grado
Tipo I
Tipo II
Tipo III
Tipo IV
Tipo V
Dieron las
respuestas correctas
a las preguntas.
No pudieron
determinar si se
encontraban por
arriba o por debajo
del nivel de la
calle.
12.24%
6/49
Determinaron que
se encuentran en el
nivel de la calle.
Determinaron que
se encontraron por
debajo del nivel de
la calle
0%
0/49
24.48%
12/49
Determinaron que
se encontraron por
arriba del nivel de
la calle a una
distancia distinta de
1m.
24.48%
12/49
38.77%
19/49
Tabla 2. Clasificación de las respuestas de acuerdo con los modelos situacionales observados en el grupo de 2º grado.
Al analizar detalladamente los dibujos de los estudiantes en los que afirmaron que se
encontraban por debajo del nivel de la calle, encontramos diferentes comportamientos. Suponemos
que la palabra “caída”, la cual aparece en el segundo enunciado del problema determina la respuesta
que dan los estudiantes en esta versión desde la perspectiva del MEI. Esta clase de respuestas indican
una fijación en el verbo que se menciona en dicho enunciado. A estos estudiantes parece no
importarles lo que sucedió antes de llegar al pequeño cuarto, esto es, la subida de 2 metros. En este
sentido, Zwaan (1999b) argumenta que “…la interpretación de la gente sobre el significado de un
verbo denotando el movimiento de personas u objetos en el espacio, tales como ‘acercarse’, depende
de sus modelos situacionales…” (p.15)
Los estudiantes que dibujaron la situación descrita en el segundo enunciado del problema
parecen haber realizado la activación, que según Zwaan, (2004) consiste en que “las palabras
entrantes activan redes funcionales que también son activadas cuando el referente es experimentado”
p.39, del significado de resbalar o caer en una rampa al momento de leer la palabra ‘caída’. Obsérvese
cómo representan al protagonista (o él mismo) en posición casi horizontal, así como el cuarto al que
llegarían. De ahí que su respuesta sea que tanto ellos como el cuarto se encuentran a 1 m por abajo del
nivel de la calle. Su producción puede apreciarse en los dibujos siguientes (Figura 2).
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Figura 2. Modelos situacionales en el que los sujetos S10, respuesta Tipo IV de segundo grado y S27, respuesta
Tipo IV de primer grado enfoca su atención en la palabra caída.
Es interesante observar que cuando los alumnos leen la frase ‘sube 2 metros’ éstos dibujan la
situación descrita utilizando una rampa o unas escaleras para realizar la subida. Obsérvese como
representan al protagonista (o él mismo) en posición casi vertical realizando dicha subida en las
Figuras 3 y 4.
Figura 3. Modelo situacional en el que el sujeto S3, respuesta Tipo I de primer grado, realiza la subida
utilizando una rampa.
Figura 4. Modelo situacional en el que el sujeto S43, respuesta Tipo IV de segundo grado, realiza la subida
utilizando unas escaleras.
También resulta interesante observar la manera en que algunos alumnos representaron la subida
trepando y dibujaron al protagonista (o él mismo) en posición totalmente vertical, lo cual se puede
apreciar en la Figura 5.
Figura 5. Modelo situacional en el que el sujeto S45, respuesta Tipo IV de segundo grado, realiza la subida trepando.
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Algunos investigadores creen que el desarrollo del pensamiento de los estudiantes está
directamente conectado con la habilidad para operar con las imágenes mentales (ver, imaginar, tener
un boceto de la idea). Así, el uso de las representaciones para el desarrollo del entendimiento de los
estudiantes está relacionado con su habilidad para operar con esas representaciones (es decir, para
visualizar con ellos mismos las representaciones). También para saber si los estudiantes están siendo
capaces de tener un competente entendimiento de un planeamiento matemático, deben existir
instrucciones de técnicas variadas (aritméticas, analíticas o geométricas) y estas representaciones
deben de ser a través de las herramientas de pensamiento, explicación y justificación (Pape y
Tchoshanov, 2001).
Si consideramos las distintas dimensiones que intervienen en la construcción del modelo
situacional desde la perspectiva del MEI, podríamos afirmar que la continuidad espacio-temporal
juega un papel importante en este caso. El sujeto que trata de comprender el texto del problema tiene
presente que se encuentra dentro del túnel y tiene como objetivo (intencionalidad) llegar a un cuarto.
Un ejemplo de lo discutido en esta parte puede apreciarse en la Figura 6.
Figura 6. Modelos situacionales realizados por los estudiantes S26, respuesta Tipo I de primer grado y S45,
respuesta Tipo IV de segundo grado, en relación con la continuidad espacio-temporal.
Estos resultados muestran una vez más la gran importancia de la construcción coherente del
modelo situacional y las grandes dificultades que tienen los estudiantes para lograrlo.
Sin embargo, la diversidad de los dibujos que aparecieron en este pequeño subconjunto de
estudiantes nos muestra que no sólo la comprensión adecuada del texto del problema conduciría al
estudiante a plantear el modelo matemático. La representación mental de la situación (RMS) que el
alumno elabora antes de construir el modelo matemático (MM) podría ser determinante en la correcta
resolución del problema. Analizando con mayor detalle las diversas producciones de los alumnos,
hallamos diferentes tipos de MS en los demás estudiantes que dibujaron su propio modelo.
Un modelo situacional, en el que el sujeto va dibujando la situación descrita por cada enunciado
desde la perspectiva del MEI, se puede apreciar en las siguientes figuras. Nótese, también, que este
estudiante considera los datos que aparecen en el enunciado del problema, elaborando así su modelo
situacional en forma correcta. Esto coincide con lo que Diezmann (2000a) encontró con niños de
primaria, ya que afirma que aunque ‘dibujar un diagrama’ es preconizado como una estrategia útil en
la resolución de problemas, generar un diagrama apropiado es problemático para muchos estudiantes.
En las Figuras 7,8 y 9 se muestran los dibujos realizados por él único estudiante que construyó
el modelo situacional adecuado a cada enunciado y asignó correctamente los datos pedidos en el
problema. Obsérvese que este alumno prácticamente no pudo pasar al modelo matemático, pues se
mantuvo presente siempre el modelo situacional.
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Figura 7. Modelo situacional realizado por el sujeto S82, respuesta Tipo I de primer grado, para el primer enunciado.
Figura 8. Modelo situacional realizado por el sujeto S82, respuesta Tipo I de primer grado, para el segundo enunciado.
Figura 9. Modelo situacional realizado por el sujeto S82, respuesta Tipo I de primer grado, para contestar las preguntas.
Este comportamiento puede explicarse también de acuerdo con lo que afirma Borromeo-Ferri
(2006): “El individuo tiene una representación mental de la situación, la cual está dada en el
problema. Esta RMS puede ser muy diferente, por ejemplo dependiendo del estilo de pensamiento
matemático del individuo: imaginaciones visuales en conexión con fuertes asociaciones con sus
propias experiencias; o el enfoque se encuentra más en los números y hechos dados en el problema,
los cuales, el individuo quiere combinar o relacionar”
4.1. Dimensiones identificadas en los modelos situacionales
Perspectiva. De acuerdo con Zwaan (2004) una de las componentes de la construcción de los
modelos situacionales es la perspectiva. Para este investigador, la perspectiva “…es la relación
espacio-temporal entre el experimentador y la situación…” (p. 43). Dicha componente tiene otras
subcomponentes, como son: ubicación, distancia y orientación. Una de estas subcomponentes, que
resulta interesante analizar, es la ubicación dentro de una región del espacio a partir de la cual la
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situación se experimenta y por lo tanto en la que se asume el sujeto que comprende el texto. De
acuerdo con el MEI, es fundamental el tipo de perspectiva que los sujetos adoptan durante la
construcción de los MS. Cuando los estudiantes se asumen dentro de la situación, la perspectiva se
centra en lo que ven los sujetos a su alrededor, pero también la ubicación es implicada por un verbo,
en este caso mediante la oración: “Imagina que entras en una pirámide…”, lo anterior se puede
apreciar en la Figura 10.
Figura 10. Perspectiva adoptada por los estudiantes S63, respuesta Tipo IV de primer grado y S45, respuesta
Tipo IV de segundo grado, en su modelo situacional.
En los siguientes dibujos (Figuras 11, 12 y 13) tenemos los modelos situacionales de dos
estudiantes. En ellos, observamos cómo los sujetos se enfocan en los detalles de uno de los objetos que
se mencionan en el texto, en este caso se trata del interior del túnel. El fenómeno anterior ha sido
observado en otros casos y revela que para un buen número de estudiantes es un obstáculo para la
comprensión el hecho de construir su modelo situacional con muchos detalles.
Figura 11. Perspectiva del estudiante S97, respuesta Tipo IV de primer grado, en su modelo situacional.
Nótese que en el modelo situacional del estudiante S97, el énfasis puesto en los detalles del
interior del túnel se encuentra en la forma como están construidas las paredes del mismo.
Figura 12. Perspectiva adoptada por el estudiante S105, respuesta Tipo III de primer grado, en el modelo
situacional para el primer enunciado.
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En este otro modelo de la situación, se aprecia cómo el estudiante S105 enfoca su atención en lo
que significa para él la palabra pirámide, pues incluso dibuja claramente una alusión religiosa. Esto
puede explicarse en relación con la memoria del sujeto y su capacidad para recordar ciertos eventos,
como menciona Zwaan (1999a, p. 83):
“Los acontecimientos que están cerca de nosotros en el mundo de la historia son más accesibles
en la memoria que de los acontecimientos que sucedieron hace algún tiempo. Parecería que representa
mentalmente las características esenciales de situaciones, como la perspectiva, el movimiento y las
emociones”.
Figura 13. Perspectiva adoptada por el estudiante S105, respuesta Tipo III de primer grado, en el modelo
situacional para el segundo enunciado.
En la Figura 13 podemos apreciar cómo el estudiante S105 representa el interior del túnel y el
pequeño cuarto. Esta representación es un intento por plasmar el camino que recorrió en tres
dimensiones.
En la Figura 14 tenemos un modelo situacional realizado por un alumno que se enfoca en los
detalles de otro de los objetos que se mencionan en el texto, como es la ‘pirámide’, resaltando algunos
elementos reales que aparecen a su alrededor.
Es interesante la forma como se ve influida la construcción de estos modelos por la interferencia
de los conocimientos de la realidad que el sujeto puede evocar en el momento de imaginar la situación
(Pérez, 1998).
Figura 14. Perspectiva adoptada por el estudiante S22, respuesta Tipo V de primer grado, en su modelo situacional.
Protagonistas. Para esta dimensión fueron observadas varias evidencias que señalan el foco que
ponen los sujetos cuando se asumen dentro de la situación. Como puede verse en los siguientes
dibujos (Figura 15).
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Figura 15. Perspectiva adoptada por los estudiantes S140 de primer grado y S22 de segundo grado, ambos de
Tipo IV en su modelo situacional.
En esta dimensión hallamos que algunos alumnos construyeron su modelo situacional con un
protagonista, el cual aparece en el dibujo como un muñequito. Creemos que cada sujeto considera a
dicho personaje como si fuese él mismo.
5. Conclusiones y comentarios finales
El propósito de este estudio fue profundizar en la comprensión de algunos fenómenos ligados a
la lectura de un problema matemático, particularmente en la construcción del modelo situacional del
problema “Un paseo turístico” realizado por estudiantes de primero y segundo grado de secundaria.
Por ello, no se pretendía sugerir mejoras para la enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas,
sino, más bien, analizar con más detalle los procesos de comprensión de lectura de un problema
matemático aparentemente simple. Los resultados de la investigación mostraron las serias y diversas
dificultades que tuvieron los estudiantes al enfrentarse a la tarea de representar la situación descrita en
el problema.
El primer hallazgo interesante en este estudio fue el hecho de que un porcentaje muy bajo de
estudiantes elaboraron el modelo de la situación de forma que les permitiera resolver el problema en la
versión en que se presentó el planteamiento. Parece ser que la versión modificada del problema desde
la perspectiva del MEI, en términos de la construcción del modelo situacional que se produjo, ha
tenido un efecto poco positivo en la comprensión del texto del problema. Sin embargo, se apreció que
un número importante de estudiantes centran más su atención en las palabras que indican acciones. Lo
anterior revela, una vez más, la gran importancia de la construcción adecuada del modelo situacional
como parte del proceso de comprensión textual y como paso previo para la elaboración del modelo
matemático.
Otro hallazgo interesante es que el diseño del instrumento de investigación bajo el MEI resultó
ser de utilidad para averiguar con mayor detalle la construcción del modelo situacional ante un
problema matemático simple en el que el lector se asume inmerso en la situación y trata de
comprender el texto a partir de la perspectiva adoptada por el mismo.
Asimismo, resultó interesante el hecho de que un número importante de estudiantes que
contestaron la versión modificada del problema de la pirámide no lograron construir adecuadamente el
modelo situacional e incluso algunos de ellos permanecieron con la idea de que el cuarto (o ellos
mismos cuando se asumieron dentro de la situación) se encontraba por arriba o por debajo del nivel de
la calle por varios metros.
Es notable que la formulación contiene datos (6.5 m y 3.5 metros) que no se necesitan para
responder las preguntas del problema. Los estudiantes que han desarrollado la creencia de que todos
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los datos dados se tienen que incluir en las operaciones “caen en la trampa” y llegan a las respuestas
incorrectas. Sin embargo, este comportamiento detectado no es el tema de este estudio.
Con los resultados obtenidos en este estudio, se confirma una vez más la importancia que tiene
el modelo situacional durante el proceso de comprensión textual del problema planteado. Creemos que
estos hallazgos pueden ser utilizados para emprender otras investigaciones que ayuden a esclarecer
todo el proceso de modelación y servir como referentes en el diseño y elaboración de libros de texto en
los que se plantea la resolución de problemas verbales.
También consideramos que estos resultados podrían contrastarse mediante el uso de la
entrevista clínica, con el objeto de profundizar en el conocimiento de los complejos procesos que
tienen lugar durante la comprensión textual de problemas matemáticos verbales.
Por otro lado, creemos que los profesores de matemáticas de secundaria tienen ahora más
oportunidades para mejorar la comprensión de algunos temas que involucran problemas textuales, a
través de los cursos estatales y nacionales de actualización, así como con los talleres breves en los que
sea posible discutir y analizar los complejos y diversos procesos de comprensión lectora de los
problemas matemáticos.
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José Antonio Juárez López. Se desempeña actualmente como Profesor Investigador de Tiempo
Completo en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de
Puebla, México. Nació en la Ciudad de Puebla el 15 de agosto de 1969. Es Licenciado en Educación
Media en el Área de Matemáticas por la Escuela Normal Superior del Estado de Puebla. Es Maestro y
Doctor en Ciencias, especialidad en Matemática Educativa por el Departamento de Matemática Educativa
del CINVESTAV-IPN, México. Ha publicado un libro y diversos artículos en revistas y memorias de
congresos del área.
Email: [email protected]
Alejandra Mejía Saldaña. Es Licenciada en Matemáticas. Realizó sus estudios en la Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México. Nació en la
Ciudad de Tlaxcala el 21 de abril de 1989. Ha participado en congresos nacionales.
Email: [email protected]
Aurelia González Miguel. Se encuentra actualmente elaborando la tesis en la Licenciatura en
Matemáticas, realizó sus estudios en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita
Universidad Autónoma de Puebla, México. Nació en la Ciudad de Puebla el 9 de octubre de 1983. Ha
participado en congresos nacionales.
Email: [email protected]
Josip Slisko. Es Profesor Investigador Titular “C” de Tiempo Completo (contratación definitiva) en la
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México.
Nació en la ciudad de Novi Sad (Serbia) el 18 de mayo de 1947. Es Licenciado en Física por la
Universidad de Sarajevo (Bosnia y Herzegovina). Es Maestro en Filosofía de la Ciencia por la
Universidad de Zagreb (Croacia) y Doctor en Ciencias Filosóficas por la Universidad de Kiryl i Metodiye
en Skopje (Macedonia). Ha publicado varios libros de texto de física y un centenar de artículos en revistas
nacionales e internacionales sobre el aprendizaje y la enseñanza de la física y matemáticas.
Email: [email protected]
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Vol. 87
noviembre de 2014
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 101-124
Habilidades matemáticas referidas el concepto de Derivada y uso de tecnología
Betina Williner (Universidad Nacional de La Matanza. Argentina)
Fecha de recepción: 9 de diciembre 2013
Fecha de aceptación: 29 de agosto de 2014
Resumen
En este artículo reportamos algunos resultados de una investigación realizada sobre
habilidades matemáticas ligadas al Cálculo Diferencial y el uso de tecnología. La
indagación surge de la necesidad de conocer el desarrollo de habilidades matemáticas de
los alumnos cuando trabajan con actividades diseñadas y lo hacen con software
matemático y sin uso del mismo, cuyos contenidos se refieren al tema Derivada. Como
diseño de investigación utilizamos test inicial, test final y grupo control.
Presentamos aquí algunas observaciones extraídas del análisis efectuado en los dos test
que realizaron los alumnos de los dos grupos: experimental y control.
Palabras clave
Habilidades matemáticas, software matemático, cálculo diferencial.
Abstract
In this report, research results about mathematic skills related to Differential calculus and
the use of technology are shown. This quest stems from the necessity to know how the
work through activities designed with mathematical software and without the use of it
(which contents are related to the subject Derivate) affects the development of the
mathematical skills of the students. For the design of the investigation, an initial and final
test, and a control group were used.
Hereby, we introduce some observations arisen from the analysis made in the two tests
produced by students of the two groups: experimental and control ones.
Keywords
Mathematical skills, mathematical software, differential calculus.
1. Introducción
La investigación que reportamos en este artículo se llevó a cabo en la Universidad Nacional de
La Matanza (Argentina) en carreras de Ingeniería, más específicamente en la cátedra de Análisis
Matemático I y se encuadró en el contexto de una Tesis de Maestría.
Cuando emprendimos el trabajo lo hicimos inspirados en la frase “El ingeniero debe saber y
saber hacer para el desempeño profesional” (CONFEDI, 2006, p.5). Un ingeniero debe saber aplicar
el conocimiento científico y desarrollar soluciones tecnológicas a las diferentes demandas sociales, por
lo tanto es fundamental el “saber hacer”. Esta capacidad de poder realizar eficientemente acciones o
tareas orientadas hacia el logro de un objetivo es lo que llamamos habilidad. En particular en el
contexto educativo el desarrollo de habilidades matemáticas ayuda al alumno a no proceder en forma
mecánica memorizando conceptos, teoremas y técnicas. Como señala Guzmán (2007) “la Matemática
es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el
contenido” (p. 27). Las habilidades matemáticas son de gran importancia en el aprendizaje de la
Matemática, de allí nuestro interés por promover su desarrollo en nuestros alumnos.
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A su vez tuvimos en cuenta la necesidad profesional de manejar un software específico de
Matemática. La Matemática es una herramienta fundamental en la resolución de problemas y cálculos
por lo que, en esta era tecnológica, sentimos la obligación de enseñar a los estudiantes a usar un
recurso tecnológico que les facilite su tarea. Como indica Guzmán (1991) “El ordenador está ahí con
todo su influjo, con todo su impacto potencial. Impacto en la visión de la cultura, en la visión de la
ciencia, en la visión de la Matemática” (p.9)
La computadora y los diversos adelantos tecnológicos son elementos corrientes en la vida
cotidiana de nuestros alumnos, por lo que tenemos la responsabilidad de asumirlos en un momento tan
importante como es el acto de aprender.
Estas dos necesidades de formación en carreras de Ingeniería: el desarrollo de habilidades
matemáticas y el uso de tecnología, son objeto de estudio de nuestra investigación. Quisimos analizar
cómo es posible promover el desarrollo de habilidades matemáticas relacionadas con un tema de la
asignatura usando la computadora como herramienta de trabajo. Como expresamos anteriormente,
pertenecemos a la cátedra de Análisis Matemático I del Departamento de Ingeniería de la Universidad
Nacional de La Matanza (UNLaM). En este contexto el proceso de incorporación de tecnología en las
clases de Matemática es lento. Sólo en nuestra cátedra se utiliza software Mathematica en la entrega
de un trabajo práctico obligatorio que realizan los alumnos extra clase. No contamos con experiencias
previas de cómo incorporar el software al aula. De allí, el interés de investigar sobre la aplicación de
un dispositivo didáctico que utilice software como herramienta, con el objeto de contribuir al
desarrollo de habilidades matemáticas. Como toda habilidad está ligada a un conocimiento
(Hernández, 1998) elegimos trabajar con habilidades matemáticas asociadas a la comprensión de uno
de los conceptos más importantes del Cálculo como es el de Derivada. Decidimos relacionar el trabajo
de un grupo de alumnos en el entorno tradicional de lápiz y papel y otro en el informático, cuidando
que ambos grupos tuvieran características iniciales similares en relación con el rendimiento.
Son varias las experiencias sobre el uso de software matemático en la enseñanza y aprendizaje
del Cálculo. Encontramos aquellas que enfatizan la visualización y registros de representación
semiótica (Hitt, 2003; Hitt y Cortés, 2001). En algunas se favorece la exploración y elaboración de
conjeturas (Torroba, Etcheverry y Reid, 2009; Torroba, Reid, Etcheverry y Villareal, 2006); otras lo
utilizan como recurso para mejorar la comprensión de diferentes conceptos y para apoyar el proceso
de enseñanza y aprendizaje (Cuicas, Debel, Casadei y Alvarez, 2007; Camacho, 2005) y algunas que
lo combinan con tutoriales y/o talleres complementarios al cursado regular (Depool y Camacho,
2001). En particular nuestro estudio está dirigido especialmente al desarrollo de ciertas habilidades
matemáticas ligadas a la comprensión del concepto de Derivada.
El diseño de investigación elegido fue el de test inicial y test final, grupo control y desarrollo de
un dispositivo de enseñanza cuidadosamente diseñado. Trabajamos con una comisión de alumnos de
primer año de las carreras de Ingeniería en Informática, Industrial y Electrónica, dividiéndolos de
acuerdo a ciertas características seleccionadas en dos grupos: Grupo 1 y Grupo 2. Previo a aplicar el
dispositivo didáctico aplicamos un test inicial a ambos grupos referido a los contenidos principales del
tema Derivada y orientado a las habilidades matemáticas a estudiar. Posteriormente, el Grupo 1 realizó
actividades utilizando software Mathematica en uno de los laboratorios de la Universidad, bajo la
modalidad taller. El Grupo 2 también trabajó bajo modalidad taller con las mismas actividades que el
Grupo 1, sin hacer uso de tecnología y en su aula habitual. Estas actividades fueron diseñadas
especialmente para promover el desarrollo de las habilidades matemáticas que definimos en la
investigación. Luego tomamos un test final a los dos grupos, similar al test inicial, para observar si se
produjeron cambios o no en cuanto al desarrollo de dichas habilidades matemáticas en torno al tema
Derivada.
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Los datos de la investigación fueron recopilamos a través de los dos tests mencionados y de las
producciones reportadas por los alumnos en las actividades. En este artículo mostramos algunos de los
resultados obtenidos en los dos test en los dos grupos y las conclusiones a las que arribamos.
1.1. Antecedente de una investigación local
Existen estudios anteriores sobre habilidades matemáticas y uso de tecnología en carreras de
Ingeniería de la UNLaM. Comenzamos con una investigación que tuvo como contexto el taller
complementario que brinda la cátedra de Análisis Matemático I para asistir a los alumnos en la
realización de trabajos prácticos con software Mathematica. Estos trabajos deben estar aprobados
como una instancia más de evaluación de la asignatura. En esa oportunidad realizamos un análisis de
las habilidades matemáticas que promovían la ejercitación que debían entregar los alumnos al cual
denominamos análisis preliminar. Tuvimos la necesidad de desagregar cada una de las habilidades
estudiadas de acuerdo al contenido con el cual se relaciona. Por ejemplo: discernimos entre identificar
el dominio de una función e identificar discontinuidades de una función. Luego, basados en ese
análisis preliminar, estudiamos las producciones impresas de los estudiantes (sus trabajos prácticos en
software Mathematica) y los resultados de entrevistas orales semiestructuradas. El análisis de los datos
arrojó un avance, a lo largo del año, en el desarrollo de habilidades como controlar, identificar y
comparar.
Los resultados de la investigación mencionada en el párrafo anterior, nos estimuló a reformular
la planificación de las actividades del taller, poniendo énfasis en un diseño que favoreciera el
desarrollo de habilidades matemáticas. Así creamos diferentes tipos de actividades siguiendo la
tipología brindada por Delgado Rubí1 (de generalización, de estudio de casos, de aplicación de
resultados teóricos a problemas prácticos, de aplicación de algoritmos dados y conocidos y de
construcción) y atendiendo a las habilidades que cada una de estas categorías favorece. Estudiamos las
habilidades promovidas por las mismas en los trabajos prácticos entregados por los alumnos, así como
también en entrevistas orales realizadas a fin de año. En este caso ampliamos el espectro de
habilidades estudiadas, haciendo más hincapié en habilidades heurísticas como explorar, generalizar,
justificar, entre otras (Falsetti, Favieri, Scorzo, Williner, 2012)
En estos años de investigación logramos desagregar las habilidades matemáticas
relacionándolas con el contenido al que se refieren, diseñar actividades con software orientadas al
desarrollo de dichas habilidades y elaborar instrumentos para la evaluación de las mismas.
2. Marco teórico
2.1. Habilidades matemáticas
De acuerdo al diccionario de la Lengua Española, y tomando las acepciones en el marco de la
investigación, transcribimos las siguientes definiciones:
 Habilidad: capacidad y disposición para algo o cada una de las cosas que una persona ejecuta
con gracia y destreza.
 Capacidad: aptitud, talento, cualidad que dispone a alguien para el buen ejercicio de algo.
 Destreza: Habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo.
1
En el curso “Resolución de problemas, aprendizaje matemático y uso de TICs, dictado en la UNLaM en
diciembre de 2006.
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 Competencia: Pericia, aptitud, idoneidad para hacer algo o intervenir en un asunto
determinado.
Si buscamos sinónimos de habilidad encontramos capacidad, destreza y competencia. Sin
embargo, en el marco educativo, y en particular en Matemática, no todos son utilizados como
sinónimos.
Hernández (1998) define los “procedimientos” (habilidades) como los modos de actuación.
Aclara que no puede haber un conocimiento sin un procedimiento bajo el cual funcione, y, viceversa,
no puede haber un procedimiento sin que esté asociado a un conocimiento. Delgado Rubí (1998),
enfatiza esta idea aludiendo a Talízina (1984) con la frase “no se puede separar el saber, del saber
hacer, porque siempre saber es siempre saber hacer algo, no puede haber un conocimiento sin una
habilidad, sin un saber hacer” (p. 70).
Zabala (2007) toma las destrezas y habilidades dentro de los contenidos procedimentales, a los
que define como conjunto de acciones para lograr un fin. Los contenidos de procedimientos, ligados
con la acción, son dinámicos, se relacionan con lo que sabemos hacer. Aclara que el aprendizaje de
una acción, exige no sólo conocer cómo tiene que ser la acción, sino tener la capacidad para realizarla.
Sánchez (2002), por su parte, discierne al conocimiento como semántico o procedimental. El
conocimiento semántico es la información sobre los conceptos, teorías, hechos, principios, reglas que
conforman una disciplina o campo de estudio. El conocimiento procedimental, por su parte, se define
como un conjunto ordenado de pasos o acciones que acompañan un acto mental o actividad motora.
Los procedimientos son los instrumentos o componentes dinámicos del conocimiento. La práctica del
procedimiento genera las habilidades del pensamiento. Luego esta autora aclara que el proceso existe
por sí mismo, independientemente de la persona que lo lleva a cabo, el procedimiento proviene de
operar ese proceso y destaca que la habilidad es la facultad personal, cuyo desarrollo requiere un
aprendizaje sistemático. La habilidad es la facultad de aplicar el conocimiento procedimental y puede
referirse a la aplicación directa del proceso o a la evaluación y mejora de lo que se piensa y se sabe.
Si realizamos un paralelo entre todos estos autores, más allá de las diferencias de denominación,
consideran por un lado toda la información que recibe una persona (conceptos, teorías, hechos,
definiciones, propiedades, atributos) que podríamos englobarlos en “conocimiento”, y por otro, las
acciones y aplicaciones que puede realizar el individuo con ese conocimiento: las habilidades. Sánchez
(2002) amplía el concepto de habilidad diciendo que no es sólo la aplicación del conocimiento, sino
también la autoevaluación de lo que se hace con vista a una mejora futura.
Entonces, nosotros discernimos entre procedimiento y habilidad vinculados con la Matemática.
Por una parte, el procedimiento es la acción o tarea que debemos realizar para lograr un objetivo o fin
en el cual la Matemática está involucrada. En tanto que una habilidad matemática es la facultad
personal de efectuar el procedimiento eficientemente, es decir, la capacidad de realizar acciones
correctamente en relación al logro del objetivo planteado.
En cuanto a la clasificación de habilidades, encontramos en la bibliografía diferentes opciones.
Éstas dependen, en cierta medida, del enfoque dado al concepto y de los objetivos que persigue cada
autor a la hora de categorizarlas. Entre las más importantes tenemos la Taxonomía de Bloom (sf.),
habilidades del dominio cognitivo, en la que se establecen seis categorías básicas según la función de
la acción en la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis,
síntesis, evaluación. Por otro lado, Delgado Rubí (1998), citando también a Hernández, Valverde y
Rodríguez, trabaja con habilidades matemáticas y las agrupa de acuerdo al tipo de función que
realizan:
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 Habilidades conceptuales: aquellas que operan directamente con los conceptos (identificar,
definir, comparar, demostrar)
 Habilidades traductoras: aquellas que permiten pasar de un dominio a otro del conocimiento
(interpretar, modelar, recodificar)
 Habilidades operativas: funcionan generalmente como auxiliares de otras más complejas y
están relacionadas con la ejecución en el plano material o verbal (graficar, algoritmizar,
aproximar, optimizar, calcular)
 Habilidades heurísticas y metacognitivas: aquellas que emplean recursos heurísticos y
metacognitivos y que están presentes en un pensamiento reflexivo, estructurado y creativo
(resolver).
2.2. La computadora como herramienta cognitiva
El Consejo Nacional de Profesores de Matemática de los Estados Unidos (NCTM, 2003)
declara que el currículo de Matemática de todos los niveles debe incorporar la tecnología educativa en
pro de un aprendizaje más efectivo y del desarrollo de habilidades por parte del estudiante. Agrega que
es función de los docentes prepararse para efectuar decisiones sobre cómo y cuándo los alumnos
pueden usar estas herramientas.
Vílchez (2007) cita en su artículo a Meza (2001) quien afirma:
Los resultados positivos que podamos obtener al utilizar computadoras en la
enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, dependerán del uso que les
demos, esto significa que la computadora no es un aparato que resolverá los
problemas educativos por arte de magia…el empleo de computadoras en los
procesos de enseñanza y aprendizaje debe justificarse en el marco de un
planteamiento educativo completo, lo que supone la selección de objetivos
educativos y la definición de estrategias didácticas específicas. (p.46).
Ahora bien, para poder planificar una enseñanza que contemple el uso de tecnología debemos
saber de qué tipo de recursos disponemos y con qué fines fueron creados. Al respecto Oteiza, Silva y
el Equipo Comenius (2001), exponen las “metáforas” que identifican los sucesivos cambios que
sufrieron las aplicaciones de las tecnologías a la educación. Basados en las ideas de Taylor (1980,
citado en Oteiza et al., 2001) explican diferentes usos de la computadora:
 Como tutor: se pensó el ordenador como una máquina de enseñanza. Al ser tutor, la máquina
brinda información, el estudiante responde a algún ejercicio o pregunta basada en esa
información (con diferentes niveles de dificultad) y luego el programa le da un feedback al
alumno. En esta categoría podemos incluir los programas que ofrecen una serie de juegos
para aprender, entre otros, números, operaciones, relaciones, etc. (Cuevas Vallejo, s.f.). A
partir de la década de los ochenta, progresaron gracias a las técnicas de la Inteligencia
Artificial, dando origen a los Sistemas Tutoriales Inteligentes. Pone énfasis en el
autoaprendizaje.
 Como aprendiz: es el estudiante quien “enseña” al ordenador (el que se convierte en aprendiz),
programando mediante algún lenguaje como BASIC y LOGO, y más actuales, VISUAL
BASIC, C, JAVA, entre otros. Un gran sector de educadores matemáticos afirman que la
enseñanza de ciertos lenguajes de programación favorece el desarrollo de habilidades
matemáticas y lógicas en la resolución de problemas (Cuevas Vallejo, s.f.). Este autor cita a
Dubinsky que trabaja en cursos de matemática a nivel superior usando ITSEL y afirma que
mediante la programación se efectúan los constructos matemáticos paralelos en la mente de
los estudiantes, pudiéndose lograr la interiorización de ciertos conceptos.
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 Como herramienta: con la aparición de procesadores de texto, planillas electrónicas y otros
programas no fue necesario aprender a programar para usar la computadora. En el caso de la
matemática, programas como Calcula, Derive, Mathematica, Matlab, entre otros, abren la
posibilidad a una amplia gama de aprendizajes. Estos programas son llamados en la cultura
anglosajona Computer Álgebra System (CAS), ya que con los mismos se pueden realizar
cálculos, operaciones algebraicas, resolver ecuaciones, trabajar con matrices, efectuar
derivación e integración en forma simbólica y numérica, graficar, etc. Así el docente puede
diseñar actividades en el aula haciendo uso de estos paquetes.
 Como multimedia: variante tecnológica que combina gráficos, color, hipervínculos y sonido.
Gayesky (1992) citado en Salinas Ibáñez (1994), define Multimedia como "una clase de
sistemas de comunicación interactivos controlada por ordenador que crea, almacena,
transmite y recupera redes de información textual, gráfica y auditiva”. Facilita la
visualización, la comprensión de conceptos, las aplicaciones y las simulaciones.
 Como dispositivo comunicacional (Internet, comunicaciones, correo electrónico, chats, etc.):
la web, red mundial que combina comunicación con multimedia, abrió a gran parte de la
población las puertas a un mundo de oportunidades que hasta ese entonces eran
inalcanzables. La información disponible, la posibilidad de comunicarse con personas de
cualquier parte del mundo, produjeron un gran impacto en el trabajo y en el conocimiento.
En particular, en la educación, permite al alumno ampliar la información y navegar por
diferentes sitios. Cuevas Vallejo (s.f.) cita, en el caso de la matemática, la producción de
applet’s como Descartes 2 y Descartes 3, que permiten en una pantalla usual de internet
escribir la definición de un objeto matemático e instalar un applet (ventana) con ese objeto
matemático (función, gráfica, etc.) con el fin de manipularlo.
En particular, nosotros nos concentraremos en el uso de la computadora como herramienta.
Jonassen, Carr y Yueh (1998) afirman que la tecnología debe usarse como una herramienta de
construcción del conocimiento, de manera que los estudiantes aprendan “con” ella y no “de” ella.
Agregan que las computadoras pueden favorecer más efectivamente el aprendizaje significativo y la
construcción del conocimiento en la educación superior, como herramientas de amplificación
cognitiva para reflexionar sobre lo que los estudiantes han aprendido y lo que saben. Las herramientas
informáticas tratadas como herramientas cognitivas tienen como propósito abordar y facilitar
determinados procedimientos cognitivos. Se trata de dispositivos intelectuales utilizados para
visualizar, organizar, automatizar o suplantar las técnicas del pensamiento (Esteban, 2002). Este autor,
citando a Jonassen, explica los diferentes usos que pueden tener. Por ejemplo, sirven para representar
de una mejor manera el problema o ejercicio que se esté realizando (herramientas de visualización
como Mathematica). Otras ayudan a articular información con los conocimientos previos del alumno,
de manera que se establezcan relaciones, conexiones, consecuencias, entre otras (por ejemplo base de
datos y redes semánticas). Algunas permiten representar relaciones de dependencia de fenómenos
(herramientas de modelización del conocimiento); o pueden servir para consolidar esquemas
preexistentes en el aprendiz mediante la automatización de los ejercicios de un nivel inferior
(realización de algoritmos o cálculos); también pueden ayudar a buscar la información pertinente y
necesaria para resolver un problema (motores de búsqueda). En todos los casos deben seleccionarse
adecuadamente dependiendo de la tarea que se quiera llevar a cabo.
3. Contexto de la investigación
La experiencia se llevó a cabo en uno de los cursos del turno mañana de la asignatura Análisis
Matemático I de las carreras de Ingeniería Informática, Industrial y Electrónica de la Universidad
Nacional de La Matanza formado inicialmente por 60 personas, la mitad de las cuales eran alumnos
recursantes, constituyendo una muestra no probabilística o de criterio.
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El programa de la materia cuenta con los contenidos habituales de Cálculo Diferencial e Integral
en una variable. El régimen es cuatrimestral, con una carga horaria de 8 horas semanales. Como
instancias de acreditación los alumnos deben rendir dos parciales y entregar y defender un trabajo
práctico con software Mathematica. Para esto los estudiantes cuentan con un taller donde se los asiste
en el uso del software y en la ejercitación. Una de las razones por la que elegimos este software para
realizar la experiencia es que los alumnos ya tienen un contacto con el mismo y a su vez la
Universidad cuenta con la licencia correspondiente.
Debido a que toda habilidad está ligada a un conocimiento (Hernández, 1998), el tema que
elegimos para llevar adelante la propuesta es Derivada. Además de ser uno de los pilares del Análisis
Matemático a través del cual se resuelven problemas de optimización, aproximación, estudio de
función, entre otros, trabajar con derivadas enriquece nuestro estudio en el sentido que nos permite
promover diversas habilidades. Podemos abordarlo desde un punto de vista geométrico como
pendiente de la recta tangente, desde un enfoque formal como límite del cociente incremental y desde
un enfoque variacional como por ejemplo velocidad instantánea en Física, tasa de crecimiento
instantáneo en Biología, etc.
4. Objetivo general de la investigación
Conocer sobre las manifestaciones de habilidades matemáticas en el aprendizaje del tema de
Derivada en un grupo de estudiantes cuando trabaja con software Mathematica y relacionarlas con las
manifestaciones de aquellos que lo hacen sin el uso de esta herramienta.
5. Diseño de investigación
La investigación es de tipo descriptivo-explicativa y el paradigma es mixto (Hernández,
Fernández y Baptista, 2006). El diseño de investigación elegido es de test inicial y test final, grupo
control y desarrollo de un dispositivo de enseñanza cuidadosamente diseñado para ambos grupos.
Dividimos los grupos de acuerdo a la técnica de emparejamiento o apareo (Hernández et al.,
2006). De acuerdo a los resultados de una prueba diagnóstico y al análisis de otras variables
(condición de recursante o no, materias aprobadas de Matemática en el primer cuatrimestre), quedaron
establecidos: el grupo experimental (que llamaremos Grupo 1) y el grupo control (que denominaremos
Grupo 2), ambos con 27 alumnos inicialmente. En toda la experiencia los dos grupos compartieron la
parte teórica de la materia y algunas clases prácticas.
Algunas de las preguntas que orientaron la investigación que aquí se reporta son:
 ¿Los alumnos de primer año de Ingeniería de la UNLaM poseen un nivel similar de
desarrollo de habilidades matemáticas cuando trabajan con software que cuando lo hacen sin
esta herramienta?
 ¿Cuáles de todas las habilidades estudiadas son las más promovidas con el uso del software?
Son varias las investigaciones que reflejan que el uso de una herramienta informática contribuye
a mejorar el aprendizaje (Cuicas Ávila et al., 2007; Depool et al., 2001), como también existen otras
que revelan que el uso de un entorno informático no garantiza resultados satisfactorios en el mismo
(Contreras et al., 2005). En nuestra experiencia, considerando que nuestros alumnos serán futuros
ingenieros, y que pretendemos que para ellos la Matemática sea una herramienta de apoyo en su
profesión, decidimos utilizar un software específicamente matemático: el Mathematica. Este programa
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Habilidades matemáticas referidas al concepto de Derivada
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tiene su sintaxis específica y comandos que son necesarios aprender para poder hacer uso del mismo.
En cuanto a las actividades diseñadas para llevarse a cabo, si bien algunas están focalizadas a la parte
geométrica y gráfica, otras requieren desempeño de los estudiantes en habilidades que son de tipo
matemático-discursivas, como la justificación. Los alumnos que trabajan con esta herramienta deben
establecer qué sentencias van a ordenar al software, cómo van a plantear cada ejercicio utilizando la
computadora en vez del lápiz y papel al cual están acostumbrados e interpretar los resultados
obtenidos. El alumno se somete a un proceso en el cual, para lograr resolver la tarea asignada, debe
convertir la computadora cargada con software específico en instrumento de trabajo, es decir, hacerlo
propio para integrarlo a su actividad matemática. Según Trouche (2003) se necesita tiempo para
relacionar las características de un artefacto nuevo con la actividad del sujeto, sus conocimientos
previos y su antigua manera de trabajar. Además, como indica Berger (2009), al disponer de una
herramienta informática el usuario necesita tener conciencia del tipo de conocimiento mixto
(matemático y sintáctico) para construir signos matemáticos adecuados. Ante la exigencia diferente
que implica trabajar en entornos informáticos en vez de entornos de lápiz y papel, no nos parece trivial
que los alumnos que trabajen con software Mathematica puedan desarrollar habilidades matemáticas
referidas al tema Derivada, como usualmente lo hacen en ambientes tradicionales. De allí el planteo de
las preguntas anteriormente expuestas.
5.1. Procedimiento
1. La clase anterior al test inicial, la que suscribe y docente a cargo de la comisión, explicó el
concepto de derivada de una función en un punto dado bajo la modalidad tradicional
expositiva-dialogada. Comenzamos explicando el concepto desde un enfoque variacional en
la Física: la derivada como la velocidad de la función espacio recorrido. En una segunda
etapa dimos la definición formal de derivada, relacionando el cociente incremental con la
razón promedio de cambio en el intervalo y la razón instantánea de cambio en un punto con
la derivada de la función en dicho punto. Por último, explicamos el tema desde su
interpretación geométrica, llegando a la conclusión que la derivada de la función en un
punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Calculamos la ecuación
de la recta tangente y definimos también recta normal.
2. A la clase siguiente aplicamos el test inicial a ambos grupos referido a los contenidos
enumerados en el punto 1. Este test estaba orientado a las habilidades matemáticas que
definimos en la investigación.
3. Posteriormente se realizaron seis sesiones de trabajo no sucesivas, en general cada día por
medio de clase habitual. El Grupo 1 las realizó utilizando software Mathematica en uno de
los laboratorios de la Universidad, bajo la modalidad taller. El Grupo 2 también trabajó bajo
la modalidad taller en su aula habitual con las actividades utilizando lápiz y papel y
calculadora científica (sin graficador). En los dos casos los alumnos formaron equipos de
trabajo de dos o tres personas y contaron con la asistencia de un docente. Cabe aclarar que
las actividades fueron las mismas salvo leves modificaciones en algunos casos, los grupos
las efectuaron en paralelo durante las seis sesiones de trabajo y el objetivo principal fue
incentivar el desarrollo de las habilidades matemáticas que definimos en torno al concepto
de Derivada.
4. Cada actividad estaba formada por 4 o 5 ejercicios diseñados especialmente para
comprometer al alumno en el desarrollo de ciertas habilidades matemáticas. Las
producciones de los alumnos fueron archivos en software Mathematica en un caso y entorno
de lápiz y papel en el otro. Tras la corrección de estas producciones hicimos una devolución
personalizada, equipo por equipo. Estas producciones también fueron fuente de recolección
de datos para la investigación.
5. El software Mathematica fue utilizado por el Grupo 1 para probar, conjeturar, graficar,
calcular, resolver ecuaciones, derivar, calcular límites, representar la situación problemática
a resolver y organizar el conocimiento de tal manera que les sirviera como herramienta de
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apoyo. En las producciones, archivos del programa, los alumnos trabajaron con celdas de
texto para explicar el procedimiento que realizaban y con celdas de input para efectuar el
desarrollo matemático.
6. A la clase siguiente de finalizar las sesiones de trabajo tomamos el test final (en entorno de
lápiz y papel condicionados por el Grupo 2), a los dos grupos para observar el desempeño
de los alumnos en las habilidades matemáticas estudiadas en el aprendizaje del tema
seleccionado, luego de haber puesto en juego el uso del software y las actividades.
5.2. Variables estudiadas en la investigación
En la elección de las habilidades a promover a través de las actividades, y de acuerdo al tema
seleccionado, nos propusimos como objetivo principal la comprensión del concepto de Derivada y de
sus aplicaciones. Leonetti et al. (2007) establecen la diferencia que existe entre conocer y comprender.
Estos autores citan a Perkins quien aclara que el conocimiento es un estado de posesión, mientras que
la comprensión va más allá de la posesión, implica competencia, un estado de poder operar con el
conocimiento, es un estado de capacitación. Cuando el alumno comprende un concepto, no sólo tiene
información sobre el mismo, sino que también es capaz de hacer un “uso activo de ese conocimiento”.
Ese uso activo que revela comprensión se plasma en acciones de comprensión o desempeños de
comprensión. Para nosotros las habilidades matemáticas elegidas son desempeños ligados a la
comprensión del concepto de Derivada.
A su vez tuvimos en cuenta la clasificación de Delgado Rubí (1998) y decidimos centramos en
habilidades conceptuales (capacidad de desarrollar modelos conceptuales), habilidades de aplicación
(capacidad de utilizar modelos conceptuales) y habilidades de argumentación (capacidad de explicar,
justificar, reflexionar sobre los modelos conceptuales). En este artículo presentamos sólo las
habilidades conceptuales, las que clasificamos de la siguiente manera:
Habilidades generales
Habilidades específicas a estudiar en
relación con “Derivada”
Habilidades conceptuales
Consideraremos habilidades conceptuales
a aquellas que permiten reconocer el
concepto de diferentes maneras: por su
definición (formalmente), por sus
representaciones semióticas o en su
aplicación a otras ciencias.
♦Interpretar geométricamente (el concepto de
derivada).
♦Reconocer el concepto en otras ciencias u otros
contextos (velocidad instantánea en Física, tasa
de crecimiento instantánea en Biología, etc.).
♦Extraer o Dar significado de expresiones
dadas en forma simbólica o formal.
Denominación
abreviada
♦HC1
♦HC2
♦HC3
Tabla 1. Algunas variables estudiadas en la investigación.
Con respecto a las habilidades de “Extraer o Dar significado de expresiones dadas en forma
simbólica o formal” nos basamos en el texto de Tall y Fusaro (2002). Estos autores consideran dos
modelos que utilizan los estudiantes en la construcción de definiciones:
 Extraer significado (construido sobre teoría formal): extraer significado desde un concepto
realizando deducciones formales.
 Dar significado (construido sobre ideas informales): dar significado a un concepto desde una
imagen conceptual del mismo.
Retomando la clasificación de la Tabla 1, pensamos que el concepto de Derivada es un concepto
muy rico en cuanto a los diferentes significados que podemos otorgarle:
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 En su interpretación geométrica, como pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
dado. De ahí nuestro interés por “Interpretar geométricamente (HC1)”.
 En su enfoque variacional: como razón de cambio instantánea en diferentes ciencias (Física,
Biología, Economía, etc). En consecuencia nos interesamos por “Reconocer el concepto en
otras ciencias u otros contextos (HC2)”.
 En su definición formal, como límite del cociente incremental de una función en un punto. Es
por esta razón que estudiamos las habilidades “Extraer o Dar significado de expresiones
dadas en forma simbólica o formal (HC3)”.
6. Instrumentos de recolección de datos: test inicial y test final
Como explicamos en el punto 5.1, la clase anterior al test inicial, desarrollamos una clase sobre
el concepto de derivada. En la clase siguiente aplicamos el test inicial involucrando lo explicado y
todas las habilidades a ser estudiadas. Luego de realizadas las seis actividades (cada grupo en su
entorno de trabajo) aplicamos un test final involucrando todos los temas del test inicial y con
características similares al mismo. De esta manera logramos hacer una comparación de los resultados
de cada test por persona y en los dos grupos.
Cabe explicar que los test fueron diseñados y tomados en un entorno tradicional de lápiz y papel
debido a que, en un comienzo (test inicial), ningún alumno había trabajado con una herramienta
informática integrada a la clase habitual. Por otro lado, el test final debía tener la misma naturaleza
que el test inicial y requerir acciones que puedan ser realizadas por los dos grupos.
Para obtener la validez de contenido de estos dos instrumentos, nos inspiramos en un
cuestionario realizado y aplicado por otro investigador (Dolores, 2000, p. 175), el cual persigue un
objetivo similar al nuestro. A su vez lo sometimos a valoración por juicio de expertos con el fin de
hacer las correcciones necesarias y observaciones realizadas por dichos expertos.
6.1. Test inicial
Lo realizaron 49 alumnos. El objetivo principal fue indagar sobre la comprensión del concepto
de derivada a través del análisis de las habilidades conceptuales, de aplicación y de argumentación, sin
haber puesto aún en juego actividades que fomenten el desarrollo de dichas habilidades (en ninguno de
los dos entornos).
El instrumento mencionado consta de tres ejercicios que fueron diseñados involucrando todas
las habilidades a estudiar en la investigación de forma tal de poder ser evaluadas en los alumnos
participantes. Por extensión del artículo mostramos aquellos ítems que involucran habilidades
conceptuales. El primer ejercicio se refiere a la velocidad de un objeto que recorre una determinada
trayectoria. El segundo ejercicio trata el concepto de derivada desde la interpretación geométrica,
brindando una curva y la tangente a la misma en un punto dado. En el tercer ejercicio se dan
proposiciones que involucran el concepto desde un punto de vista formal y de las cuales hay que
decidir si son V o F y justificar la respuesta.
6.1.1. Ejercicio 1
2
La distancia que recorren los cuerpos en caída libre está dada por la ecuación s  f (t )  4.9t .
Supongamos que se deja caer una pelota desde una torre que tiene 450 metros y f(t) es la distancia que
recorre luego de t segundos.
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a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la distancia que recorre la pelota en los primeros 2 segundos?
¿Cuál es la distancia que recorre la pelota entre el segundo y tercer segundo?
¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota en el intervalo [2,3]?
¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota en un intervalo de la forma [2, t]? ¿Y en un
intervalo de la forma [t,2]?
e) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los 2 segundos?
6.1.2. Ejercicio 2
El siguiente es el gráfico de una función y su recta tangente en el punto de abscisa x = 3:
a) ¿Cuánto vale f (3)?
b) ¿Cuál es el valor de f’(3)?
6.1.3. Ejercicio 3
Responder V o F Justificar.
f ( x)  f ( a )
es la derivada de f en x = a (si el límite existe)
xa
x a
f ( x)  f (a )
b)
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de
xa
a)
lim
abscisa x = a.
c) Si 2x + 3y – 4 = 0 es la recta tangente a una curva y = f(x) en el punto de abscisa x = -1,
entonces f ’(-1) = -2/3.
6.2. Test Final
Este test contempló ejercicios similares a los involucrados en el test inicial y lo realizaron 37
alumnos.
6.2.1. Ejercicio 1
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso. Si t es el tiempo (en segundos) que
transcurre desde que la pelota fue lanzada, s es la distancia (en metros) de la pelota desde el punto
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inicial (el piso) a los t segundos, la ecuación del movimiento de la pelota está dada por:
s(t )  16t 2  64t
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántos metros recorrió la pelota en el primer segundo?
¿Cuántos metros recorre la pelota entre los instantes t = 1 y t = 2?
¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota en el intervalo [1,2]?
¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota en el intervalo [1, t]? ¿Y en [t, 1]?
Calcular la velocidad instantánea de la pelota en t = 1
6.2.2. Ejercicio 2
El siguiente es el gráfico de una función y de su recta tangente en x = 1. Responder:
a) ¿Cuánto vale f (1)?
b) ¿Cuál es el valor de f ’(1)?
6.2.3. Ejercicio 3
Responder V o F Justificar.
f ( a  h)  f ( a )
h
a) h  0
es la derivada de f en x = a (si el límite existe)
f ( a  h)  f ( a )
b)
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de
h
lim
abscisa x = a.
c) Sea 2x – y + 3 = 0 la recta tangente a una función y = g(x) en el punto de abscisa x = -2
entonces g’(-2) = 2.
6.3. Análisis preliminar de los test
En este apartado ofrecemos el análisis preliminar de los test, es decir, el análisis que consiste en
establecer qué habilidades (establecidas en la investigación) esperamos que estén presentes en la
resolución de cada uno de los ejercicios para luego poder efectuar la valoración de las mismas en el
desempeño de los alumnos. Sólo mostramos lo referido a habilidades conceptuales.
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Análisis preliminar del test inicial y final
Ejercicio
Habilidad
Procedimiento
1
HC2
Reconocer el concepto de cociente incremental como velocidad promedio (ítem d)
y de derivada como velocidad instantánea (ítem e)
2
HC1
Interpretar la derivada como pendiente de la recta tangente (ítem b)
HC3
Extraer o dar significado cuando se reconoce la definición de derivada (ítem a) o
la de cociente incremental (ítem b)
HC1
Interpretar la derivada como pendiente de la recta tangente (ítem c)
3
Tabla 2. Análisis preliminar de los test (respecto a habilidades conceptuales).
7. Resultados de los test en los dos grupos
En el test inicial participaron 49 alumnos, 25 correspondientes al Grupo 1 y 24 del Grupo 2.
Una vez que fueron realizadas las seis instancias de actividades con ambos grupos procedimos a tomar
el test final. En esta oportunidad se presentaron en total 37 alumnos, 18 del Grupo 1 y 19 del Grupo 2.
Las categorías que establecimos para evaluar las habilidades son:
N: no está presente la habilidad, o porque el alumno no efectúa el ejercicio o porque lo hace mal.
R: regular
B: bien
Los criterios que determinamos para la valoración del desempeño de los alumnos, los
explicamos en la sección correspondiente al análisis de cada habilidad. Como acercamiento a la
información, decidimos efectuar un análisis descriptivo de frecuencias relativas de las respuestas de
acuerdo a la calificación alcanzada.
Cuando realizamos el análisis de frecuencias relativas porcentuales de cada grupo y de cada
habilidad, comparando los resultados de las dos instancias (test inicial y test final), tuvimos en cuenta
sólo los alumnos que realizaron las dos pruebas (un total de 37 estudiantes).
Decidimos mostrar cada una de las frecuencias en los dos grupos en forma conjunta con el fin
de visualizar el comportamiento en los dos casos.
7.1. Habilidad conceptual: Interpretación geométrica de la derivada (HC1)
La habilidad conceptual que consiste en interpretar el concepto de derivada geométricamente
como pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia, se manifiesta en los test
cuando dado el gráfico de una función y su recta tangente en el punto de abscisa x = a (con escalas
simples y grilla para identificar valores), solicitamos brindar el valor de f ‘(a) (ejercicio 2 b). En el
caso del test inicial “a” es igual a 3 y en el caso del test final “a” es igual a 1:
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Criterios de evaluación
Ejercicio
N
B
2 b) (test inicial)
No da respuesta o indica un valor
incorrecto para f ’(3).
Responde con el valor correcto de
f ’(3).
2 b) (test final)
No da respuesta o indica un valor
incorrecto para f ’(1).
Responde con el valor correcto de
f ’(1).
Tabla 3. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC1 (ejercicio 2b).
Las frecuencias relativas respecto a esta habilidad, por grupo y por test, son las siguientes:
Test Inicial
Grupo
1
2
N
78%
84%
Test Final
B
22%
16%
Grupo
1
2
N
56%
74%
B
44%
26%
Figura 1. Primera manifestación de HC1 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
En el test inicial un gran porcentaje de alumnos (alrededor del 80% en los dos grupos) contestó
mal el valor de la derivada de la función en el punto de abscisa x = 3 o no lo hizo. El error que cometió
la mayoría de los alumnos que valoramos con N esta habilidad fue tomar como f ’(3) el valor de la
ordenada de la recta tangente en ese punto y no su pendiente. En una de las investigaciones realizadas
por Dolores (2000) este error se manifiesta frecuentemente en la muestra estudiada por ese autor.
Con respecto a los resultados del test final, el 44% de los alumnos del Grupo 1 respondió
correctamente el valor de la derivada de una función dada en forma gráfica en x = 1, conociendo el
gráfico de la recta tangente en dicho punto. Esta habilidad conceptual de interpretación geométrica del
concepto de derivada no tiene el mismo nivel de desarrollo en el Grupo 2, aunque el porcentaje de
alumnos que la manifestó también aumentó en el test final para este grupo.
Se ha logrado un progreso considerable, manifestado en mayor medida en el Grupo 1. Inferimos
que el uso más frecuente de gráficos por parte de este grupo, dado por la facilidad que brinda el
software, contribuyó a la interpretación geométrica del concepto.
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La otra instancia de evaluación de esta habilidad conceptual se manifiesta en el ítem que damos
la recta tangente en forma implícita (ejercicio 3 c) en ambos test), a una función desconocida en un
punto y el alumno, para responder a la consigna, debe hallar el valor de la derivada de la función en
ese punto. Una de las diferencias con el ítem anterior, es que, en el primero, suministramos los datos
en forma gráfica y, en el segundo caso, en forma analítica.
El criterio que tuvimos en cuenta para evaluar la manifestación de esta habilidad es el siguiente:
Criterios de evaluación
Ejercicio
N
R
B
3c) (test
inicial)
Si el alumno no realiza el
ejercicio, o da otro valor de
f ’(1), o da la ecuación de la
recta en forma explícita y la
deriva para obtener el valor
de f’(1).
Si se equivoca al despejar y
es ésta la razón de dar una
respuesta incorrecta, pero
manifiesta
que
sabe
interpretar geométricamente
la derivada en un punto.
Si despeja en forma correcta
y brinda el valor de la
pendiente de la recta tangente
como f ’(1).
3c) (test final)
Si no lo hace, o derivan la
ecuación de la recta y de ahí
sacan el valor, o despejan y
reemplazan (2) en esa
ecuación.
Si manifiesta interpretar
geométricamente el concepto
pero, por ejemplo, despeja
mal y por eso no obtiene el
valor correcto.
Despeja correctamente e
indica el valor de la pendiente
de la recta tangente como
g ’(2).
Tabla 4. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC1 (ejercicio 3c).
Los resultados obtenidos son los siguientes:
Test inicial
Grupo
1
2
N
56%
58%
R
0%
5%
Test final
B
44%
37%
Grupo
1
2
N
50%
47%
B
50%
53%
Figura 2. Segunda manifestación de HC1 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
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En el test inicial en los dos grupos más de la mitad de los alumnos contestó mal o no hace el
ejercicio. Si bien la habilidad conceptual es la misma que en el apartado anterior, notamos que al
brindar la ecuación de la recta tangente en forma analítica (en vez de dar el gráfico), los resultados en
los dos grupos, fueron mejores. Un error común, y similar al explicado en la situación que precede a
ésta, fue evaluar la recta tangente para x = 1 y tomar ese valor como f ’(1). Algunos consideraron la
recta tangente como la función derivada f ‘(x) y explicaron que por esa razón para hallar f ’(1)
reemplazaban x por 1. Otros despejaron “y” en la ecuación de la recta tangente y derivaron dicha
expresión, obteniendo el valor correcto, caso que consideramos mal y por lo tanto evaluado con N.
En el test final los dos grupos tienen frecuencias porcentuales similares: la mitad de los alumnos
tiene un buen desempeño de esta habilidad.
La misma habilidad brindada en registros de representación diferentes, manifiesta un progreso
más notorio en el Grupo 1 cuando trabajamos gráficamente, y más evidente en el Grupo 2 cuando el
registro es analítico.
7.2. Habilidad conceptual: Reconocer el concepto en otras ciencias o contextos (HC2)
En el ejercicio 1 del test inicial trabajamos con la derivada en la Física como velocidad
instantánea y el cociente incremental como velocidad promedio de una pelota que cae, habiendo dado
la distancia recorrida (en metros) del objeto, al cabo de t segundos. En el test final volvimos a recurrir
a la Física para evaluar esta habilidad conceptual, manifestándose también en dos instancias: cálculo
de la velocidad promedio en dos intervalos de una pelota que es lanzada hacia arriba (como dato
damos la distancia de dicho objeto desde el suelo en función del tiempo) y cálculo de la velocidad
instantánea para el instante t = 1.
La primera manifestación de la habilidad conceptual mencionada se da cuando el alumno
plantea la velocidad promedio como cociente incremental en los dos intervalos solicitados. Es por esto
que el criterio de evaluación que dispusimos, para este ítem en ambos test, es el siguiente:
Ejercicio
Ejercicio 1 d).
Test inicial y
final.
Criterios de evaluación
N
Si el alumno no
efectúa el cálculo
de la velocidad
promedio o lo hace
mal.
R
Si lo realiza en un solo
intervalo o se equivoca
en la expresión del
cociente incremental en
algún
paso
insignificante.
B
Si lo plantea y calcula bien para los dos
intervalos solicitados. Cabe aclarar que
algunos alumnos simplificaron la
expresión y otros la dejaron indicada.
Como
no
solicitamos
dicha
simplificación, consideramos Bien los
dos casos.
Tabla 5. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC2 (ejercicio 1d)).
Veamos los resultados en las dos ocasiones:
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Test inicial
Grupo
1
2
N
33%
42%
R
6%
11%
Test final
B
61%
47%
Grupo
1
2
N
11%
21%
B
89%
79%
Figura 3. Primera manifestación de HC2 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
Notamos una mejoría en los niveles de desempeño de esta habilidad en ambos grupos
comparando los resultados de los dos test. En los dos casos, redujeron considerablemente el porcentaje
de alumnos evaluados con N en esta habilidad. Podemos decir que prácticamente los alumnos
reconocen al cociente incremental como velocidad promedio en un intervalo determinado. Reiteramos
que en esa ocasión no nos interesa la manipulación algebraica.
En el test inicial un porcentaje de alumnos obtuvo desempeño Regular debido a que calcularon
la velocidad promedio en un solo intervalo, comportamiento que no se repitió en el test final.
En el ítem siguiente al anterior pedimos la velocidad instantánea de la pelota para un instante
dado (t = 2 en el caso del test inicial, t = 1 en el test final). El alumno podía calcularla como límite de
la velocidad promedio que había planteado en el punto anterior o derivando la función original, ya que
conocía los dos procedimientos. Los criterios de evaluación para esta habilidad son:
Criterios de evaluación
Ejercicio
N
Ejercicio 1 e).Test
inicial y final,
Si el alumno no
hace el ejercicio o
lo plantea mal.
R
B
Si
plantea
la
velocidad
instantánea como la derivada en
el punto pero se equivoca en
algún paso algebraico o se
equivoca al aplicar alguna regla
de derivación.
Si reconoce la derivada como
límite de la velocidad promedio
tomando límite en la expresión
hallada en el ítem 1d) y lo
calcula bien o derivando la
función y reemplazando en el
instante considerado.
Tabla 6. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC2 (ejercicio 1e)).
Obtuvimos las siguientes frecuencias en este caso
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Test inicial
Test final
Grupo N
R
B
1
39% 0% 61%
2
42% 16% 42%
Grupo N
B
1
11% 89%
2
32% 68%
Figura 4. Segunda manifestación de HC2 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
La mejora fue notable en los dos grupos. La mayoría de los alumnos identifica el concepto de
derivada como la velocidad instantánea cuando la función dada tiene que ver con el espacio recorrido
de un objeto o su distancia al suelo en función del tiempo.
7. 3. Habilidad conceptual: Extraer o dar significado a expresiones dadas en forma simbólica o
formal
En el último ejercicio de los dos test trabajamos con dos expresiones dadas en forma simbólica:
una de derivada y la otra de cociente incremental. En el primer ítem, el alumno debía responder si el
límite dado correspondía o no a la derivada de la función en el punto x = a. Para evaluar si el alumno
posee o no la habilidad HC3, debemos ver plasmada en su respuesta alguna explicación que nos
permita deducir si Extrae o Da significado a la expresión, de acuerdo a las ideas de Tall y Fusaro
(2002). Esta aclaración nos conduce a formular los siguientes criterios de evaluación para el primer
ítem del mencionado ejercicio, común a ambos test.
Ejercicio
3 a) test inicial y
final
Criterios de evaluación
N
Si el alumno sólo
dice
“verdadero
por definición”, o
no lo hace, o lo
hace mal.
R
Si Extrae o Da significado pero
en lo que justifica (ya sea
definición de derivada o
gráfico), se equivoca en algún
paso o argumento.
B
Si Extrae significado apelando
explícitamente a la definición
de derivada y la escribe
simbólicamente
en
forma
correcta. Da significado bien si
apela a un gráfico o imagen
para justificar y lo realiza en
forma correcta.
Tabla 7. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC3 (ejercicio 3a)).
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Los resultados obtenidos en esta habilidad son los siguientes:
Test inicial
Test final
Grupo
N
R
B
1
72% 6% 22%
2
79% 0% 21%
Grupo
N
R
B
1
78% 6% 17%
2
58% 5% 37%
Figura 5. Primera manifestación de HC3 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
En los resultados observamos el alto porcentaje de alumnos que no manifestaron esta habilidad
en forma explícita. Observando los resultados del test final el Grupo 1 tuvo un comportamiento similar
al del test inicial, la mejora en este caso se produjo en el Grupo 2. Todos los alumnos que
manifestaron la habilidad fueron “Extractores” de significado, es decir, apelaron a la definición de
derivada en forma simbólica para justificar que la proposición dada es verdadera. Ningún alumno,
considerando también al Grupo 1, fue “Dador” de significado, esto es, utilizó un gráfico o esquema
para dar su argumento.
El otro ítem del último ejercicio donde podemos vislumbrar el desarrollo de esta habilidad HC3,
es aquel en que damos la fórmula del cociente incremental y decimos que es la pendiente de la recta
tangente al gráfico de una función y = f(x) en un punto de abscisa x = a. La proposición es falsa. Los
criterios de valoración que establecimos en este caso son:
Criterios de evaluación
Ejercicio
N
Ejercicio 3 b) Test
inicial y final.
Si el alumno no lo
hace o toma la
proposición como
verdadera.
R
B
Si sólo explica que el cociente
dado es la pendiente de la recta
secante (con la expresión formal
Extrae significado, con el
gráfico, Da significado); o sólo
explica que para que sea la
pendiente de la recta tangente
falta calcular límite a la
expresión dada.
Si explica correctamente dos
cosas: que el cociente planteado
es la pendiente de la recta
secante y escribe cuál sería la
pendiente de la recta tangente.
Esto lo puede realizar con
expresiones formales (Extrae
significado) o con gráficos (Da
significado).
Tabla 8. Criterios de evaluación de desempeño de la habilidad HC3 (ejercicio 3b)).
Veamos las frecuencias relativas porcentuales obtenidas:
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Habilidades matemáticas referidas al concepto de Derivada
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Test inicial
Test final
Grupo
N
R
1
72% 28%
2
74% 26%
Grupo
N
R
B
1
72% 0% 28%
2
37% 47% 16%
Figura 6. Segunda manifestación de HC3 (N1 = 18, N2 = 19, fuente propia).
En el test inicial no obtuvimos resultados B (bien), ya que ningún alumno plasmó en su trabajo
las dos respuestas esperadas, por un lado explicar que ese cociente es la pendiente de la recta secante,
y por el otro dar la expresión correcta de la pendiente de la recta tangente. En general, para los
alumnos que lo hicieron R (regular), sólo aclararon que al cociente dado le faltaba “el límite” para que
sea la pendiente de la recta tangente. Del total de alumnos con desempeño R (regular), cuatro “Dan
significado” a la expresión explicando con un gráfico y los demás “Extraen significado” escribiendo la
definición formal de derivada en un punto.
Comparando los dos test, el Grupo 1 mantuvo el mismo porcentaje de mal desempeño. Los
alumnos de este grupo no obtuvieron desempeño R (regular) en el test final, esto es, el que explicó por
qué la proposición es falsa, lo hizo argumentando sobre los dos aspectos: que la expresión dada es la
pendiente de la recta secante y brindando en forma correcta la pendiente de la recta tangente. En el
caso del Grupo 2 disminuye considerablemente el porcentaje de alumnos que no manifiesta la
habilidad y aumenta los que poseen desempeño regular o bien.
8. Conclusiones
Obtuvimos, en general, progresos en el desarrollo de las habilidades conceptuales en ambos
grupos luego de haber puesto en juego el dispositivo didáctico.
8.1. Sobre las habilidades conceptuales
Respecto a la habilidad conceptual de interpretación geométrica de la derivada (HC1), se
evidencia una evolución favorable en el desarrollo de la misma. Los alumnos que trabajaron con el
software lograron progresar más en sus registros gráficos, manteniendo el mismo nivel en su trabajo
algebraico. El progreso considerable en esta habilidad trabajando con gráficos, nos sugiere que el
software favorece la visualización, es decir, el proceso de formar imágenes con el auxilio de alguna
herramienta, en este caso la tecnología (Zimmerman y Cunningham, citado en Torroba et al, 2009,
p.1). Cabe aclarar que durante la experiencia, ese proceso de visualización en varias ocasiones se
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Habilidades matemáticas referidas al concepto de Derivada
B. Williner
produjo gracias a la orientación del docente: si bien los alumnos contaban con la computadora en
algunas actividades el profesor tuvo que intervenir para que se produzca el proceso mencionado, no se
dio en forma inmediata sólo por contar con tecnología. La situación en el Grupo 2 se manifiesta con
una mejora menor cuando el registro es gráfico y manifestaron un avance notable cuando trabajaron
con registros analíticos.
Los resultados sobre el desarrollo de la habilidad conceptual HC2 son muy buenos en ambos
casos. Esto nos invita a incorporar a nuestras clases situaciones que reflejen a la derivada como razón
instantánea de cambio en otras ciencias. Este concepto generalmente se deja de lado en las clases o se
hace una mención muy rápida. Contreras, Luque, Ordoñez, Ortega y Sánchez (2000) en las
conclusiones de su proyecto de investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de conceptos
fundamentales del Análisis Matemático, proponen “introducir el concepto de tasa de variación media e
incidir en los ejemplos y problemas relativos a la misma” (p. 163).
Dolores (2000) señala que uno de los enfoques de enseñanza de la Derivada que prioriza el
significado es el enfoque variacional, en el cual se parte de razones de cambio promedio en estudio de
fenómenos de la vida diaria y se arriba a la derivada como razón de cambio instantánea basándose en
la idea intuitiva de límite. Según este autor una propuesta didáctica basada en ideas variacionales,
puede contribuir a la comprensión del concepto de derivada.
Con respecto a la habilidad HC3, pensamos que los instrumentos usados para su estudio,
probablemente, deberían haber sido otros. La misma requiere una observación particular que puede ser
planteada en investigaciones futuras. De todas maneras notamos que los alumnos ante una expresión
dada en símbolos, la mayoría le otorga significado usando también símbolos y no apelando a un
gráfico o esquema
8.2. Sobre las preguntas de investigación
Las preguntas de investigación que planteamos en este artículo:
 ¿Los alumnos de primer año de Ingeniería de la UNLaM poseen un nivel similar de
desarrollo de habilidades matemáticas cuando trabajan con software que cuando lo hacen sin
esta herramienta?
 ¿Cuáles de todas las habilidades estudiadas son las más promovidas con el uso del software?
las pudimos contestar luego de toda la investigación y no sólo con los resultados de los test sino
también del análisis que efectuamos en las producciones de los alumnos de los dos grupos en las seis
actividades realizadas.
Para limitarnos a lo aquí expuesto, respecto a la habilidad conceptual HC1 los alumnos del
Grupo 1 tuvieron, en términos generales, a lo largo de toda la experiencia y considerando las
actividades, mejor desempeño que el Grupo 2. En los test sólo lo evidenciamos en la figura 1.
Estimamos que el trabajo gráfico con el programa, la claridad de las representaciones, la posibilidad
de cambiarlos sin costo ni esfuerzo, fue una de las causas de que se produjera un mejor nivel de
desempeño en esta habilidad.
Respecto de las demás habilidades los dos grupos progresaron en su desempeño y lo hicieron
con niveles similares. Como señalamos anteriormente, en esta experiencia combinamos diferentes
espacios de enseñanza y aprendizaje:
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Habilidades matemáticas referidas al concepto de Derivada
B. Williner
 Expositiva-dialogada: la que nos permitió desarrollar temas teóricos con el tiempo destinado
de acuerdo al cronograma de la asignatura. Mediante la misma brindamos los principales
contenidos que luego continuamos trabajando en los demás espacios.
 Taller (en dos entornos diferentes, con uso de computadora y de lápiz y papel): posibilitó que
el alumno adoptara una posición activa, que compartiera ideas y trabajo con sus compañeros,
que se forme más que se informe, siendo el profesor mediador y orientador. En este espacio
utilizamos las actividades especialmente diseñadas para desarrollar las habilidades
estudiadas en la investigación.
 Trabajo en el aula en la clase práctica: el profesor de trabajos prácticos desarrolló ejercicios en
el pizarrón y también creó espacios para que los alumnos resolvieran algunos ejercicios en
clase.
Pensamos que esta combinación favoreció la creación de un ambiente de trabajo dinámico y
motivador que, junto con el dispositivo de enseñanza aplicado, se vio reflejado en el desarrollo de
habilidades en ambos grupos de forma similar.
8.3. Sobre el uso del software
De acuerdo a los resultados de los test en habilidades conceptuales obtuvimos un progreso en
ambos grupos. Creemos que este resultado es alentador en la medida que el alumno que trabaja con
software puede desarrollar habilidades conceptuales y además aprender el uso de una herramienta
diseñada para ser soporte en su futura vida profesional como ingeniero. El Mathematica es un
programa específico de Matemática que puede, por ejemplo, facilitar tareas de desarrollo e
investigación, pudiendo ser de gran utilidad en la vida laboral del estudiante. Del Castillo y Montiel
(2009), reafirman lo anteriormente explicado diciendo que “todo instrumento es conocimiento”. En el
caso de los alumnos del Grupo 1 pudieron lograr dos tipos de aprendizaje, el de las habilidades
matemáticas promovidas y el del uso de la herramienta mencionada.
Siguiendo esta idea el conocimiento que se adquiere al resolver una tarea con CAS es del tipo
mixto: matemático y sintáctico (Berger, 2009) logrando una integración entre la herramienta y los
objetivos emprendidos, convirtiendo a este último en un verdadero instrumento de trabajo, reutilizable
en otras situaciones.
Otro punto importante para agregar es que los alumnos que trabajaron en el entorno
computacional no descuidaron las habilidades propias del entorno de lápiz y papel como pueden ser:
plantear y resolver ecuaciones, derivar una función usando reglas de derivación, calcular límites, entre
otras. Esto se debió a que estas sesiones de trabajo de actividades con software se intercalaban con
clases habituales teóricas y prácticas. Consideramos fundamental cuando se programan actividades de
este tipo diseñar un equilibrio adecuado entre los dos entornos de trabajo con el fin de no descuidar
aprendizajes propios de cada uno.
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Betina Williner. Universidad Nacional de La Matanza, Argentina. Es Magister en Educación en Ciencias
(Orientación Matemática) y Licenciada en Matemática Aplicada. Es profesora adjunta, investigadora y
Jefa de Cátedra de Análisis Matemático I de la Universidad Nacional de La Matanza, profesora adjunta
de la Universidad Tecnológica Nacional (Argentina), profesora asociada de la Universidad de Morón
(Argentina). Líneas de investigación: habilidades matemáticas, uso de software en la enseñanza y
aprendizaje de la matemática, hipertextos para aprender matemática.
Email: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 125-135
Relojes solares sin trigonometría en ESO
Juan Francisco Ruiz Hidalgo (Universidad de Granada. España)
Antonio Quesada Ramos (Instituto de Enseñanza Secundaria Zaidín. España)
Sundial, equatorial sundial, vertical sundial, horizontal sundial, gnomon, Astronomy,
Solar week, latitude
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Í
El trabajo describe la experiencia realizada a lo largo del curso 2012-2013, en el contexto de la
Semana Solar en el IES Zaidín-Vergeles de Granada, una semana de actividades en las que el Instituto
conciencia a los miembros de la comunidad escolar de los beneficios de la energía solar. Como
actividad adicional, desde el departamento de Biología y Geología se propuso la construcción de
relojes solares. En esta actividad, los estudiantes de la enseñanza obligatoria del centro tuvieron la
oportunidad de presentar a sus compañeras y compañeros los resultados de la actividad “Construcción
de relojes solares”.
M
Durante una clase de matemáticas del grado de Educación Primaria, un grupo de estudiantes
presentaron una unidad didáctica que contenía una actividad de construcción de un reloj de Sol. La
idea era muy acertada pero, lamentablemente, la propuesta consistía textualmente en “clavar un palo
en la tierra y medir la sombra”. No pudimos menos que dedicar algún tiempo de la sesión a realizar
algunas apreciaciones referentes a los conceptos de latitud, gnomón o eclíptica. Sin embargo, la
limitada formación en trigonometría del alumnado y consideraciones acerca de su futura profesión,
maestro de primaria, nos hicieron plantear la necesidad de mostrarles la forma de acercar la
construcción de relojes solares sin tener que usar la trigonometría. Así surgió la idea de describir la
experiencia llevada a cabo por uno de los autores de este trabajo sobre la construcción de relojes
solares sin utilizar la trigonometría.
O
1. Introducción
N
Keywords
O
We present an experience of making sundials in secondary compulsory education. In
order to overcome the lack of knowledge of trigonometry, students were given several
templates with different quadrants of sundials. The activity was part of the School Solar
Week and resulted in the construction of 71 original sundials, made from recycled
material.
R
Abstract
T
reloj de sol, reloj ecuatorial, reloj vertical, reloj horizontal, gnomón, Astronomía, Semana
Solar, latitud
S
Palabras clave
A
En este trabajo se describe una experiencia de construcción de relojes solares en
secundaria obligatoria. Para solventar el obstáculo del desconocimiento de la
trigonometría se les proporcionó a los estudiantes acceso a software y a plantillas con
cuadrantes de diferentes tipos de relojes solares. La actividad formó parte de la Semana
Solar del Instituto y dio como resultado la construcción de 71 relojes originales,
fabricados con material reciclado.
Coordinador: Luis Balbuena Castellano
Resumen
Relojes solares sin Trigonometría en ESO
J. F. Ruiz, A. Quesada
Los contenidos de Astronomía aparecen en el currículo actual (MEC, 2007) asociados al área de
Ciencias de la Naturaleza: “En esta materia se manejan ideas y procedimientos propios de varias
disciplinas científicas. En particular, el cuerpo conceptual básico proviene de la Física, la Química, la
Biología y la Geología. Se incorporan además, en conexión con ellas, otras ciencias de naturaleza
interdisciplinar como la Astronomía, la Meteorología o la Ecología” (p. 691). Más concretamente,
aparecen referencias:
 En primer curso de ESO, en el segundo bloque de contenidos de Ciencias de la Naturaleza,
aparecen referencias al movimiento de los astros. Asimismo, se menciona como criterio de
evaluación: “Se trata de evaluar si el alumno comprende los principales argumentos que
justifican el desarrollo de las teorías astronómicas y su evolución histórica (sobre la
esfericidad de la Tierra y los movimientos terrestre, sistemas geocéntricos vs. sistemas
heliocéntricos, etc.)” (p. 695).
 En cuarto curso de ESO, perteneciente al bloque de contenidos “las fuerzas y los
movimientos” de la asignatura Física y Química, se puede leer “la superación de la barrera
cielos-Tierra: Astronomía y gravitación universal. La Astronomía: implicaciones prácticas y
su papel en las ideas sobre el Universo” (p. 699).
A
S
T
R
O
N
O
M
Í
A
La actividad forma parte de la asignatura “Proyecto Integrado: iniciación a la investigación
científica” de 4.º de ESO y pertenece al bloque dedicado a la Astronomía. El “Proyecto Integrado de
carácter práctico” es “una propuesta de actividad o actividades en torno a un tema, problema o diseño
de algo tangible, a realizar preferentemente de forma colaborativa para entender y tratar de resolver
situaciones, comprender conflictos, dar soluciones a necesidades reales, construir prototipos, imaginar
realidades virtuales, realizar estudios sobre el terreno, inventarios, etc.” (Junta de Andalucía, 2007, p.
65). La actividad de construcción de relojes cumple varios de esos principios como la estimulación de
búsqueda de información, la realización de algo tangible o la conexión del mundo escolar con el
mundo real, entre otros.
El hecho de que la Astronomía no esté vinculada a la Matemática puede estar provocado por la
no aparición hasta 4.º curso, y en la opción B, de referencias a la trigonometría. De esta manera, es
muy probable que el alumnado que curse proyecto integrado no tenga nociones básicas de las razones
trigonométricas ni de las relaciones entre ellas. Incluso para el alumnado que curse dicha materia, la
trigonometría esférica es compleja.
Para solventar este obstáculo, optamos por usar el software Shadows, un paquete informático
para construir relojes solares que, en su versión gratuita, no sólo realiza los cálculos necesarios, sino
que proporciona modelos para la construcción de cuadrantes solares de los tipos más habituales.
Los resultados obtenidos destacan por su creatividad, y el trabajo realizado por el alumnado se
puede calificar de excelente. Debemos señalar el alto grado de autonomía e iniciativa desarrollado por
los participantes, la búsqueda obligada de información de diferentes fuentes y la selección de la misma
o la necesidad de formarse sobre el mundo que les rodea y, en particular, sobre nociones astronómicas
básicas. En general, consideramos esta actividad muy acertada para el desarrollo de varias de las
competencias básicas del currículo.
2. El proyecto
Al alumnado participante sólo se le facilita una ficha que incluye un guión de cómo realizar un
reloj solar. Cada uno elige un modelo y enfoca cómo hacerlo. Se valora el uso de materiales
reciclados. El tiempo dedicado es libre, comenzando la actividad a principio de curso y debiendo
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
J. F. Ruiz, A. Quesada
entregar el proyecto para su exposición en la Semana Solar. Además de la función en la asignatura de
Proyecto Integrado, la actividad se convierte en un concurso abierto a todo el alumnado de ESO y los
mejores relojes se premian.
El objetivo principal es la construcción de un reloj solar para participar en la Semana Solar del
instituto. Este objetivo se puede dividir en otros más concretos:




A
Comprender el movimiento aparente del Sol y comprobar que se mueve regularmente.
Comprobar que el Sol recorre en el cielo ángulos iguales en tiempos iguales.
Comprobar cómo los ángulos de las proyecciones de la sombra varían a lo largo del día.
Comprender el fundamento de los distintos tipos de relojes solares y conocer los elementos
que constituyen un reloj solar: el gnomón y el cuadrante.
 Desarrollar en el caso de algunos relojes solares múltiples.
 Desarrollar en el alumnmado las competencias básicas tomando como eje vertebrador la
construcción de un reloj solar.
S
T
3. Sobre los relojes solares
A
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de Profesores de Matemáticas
N
En un principio, se podría pensar que con colocar un estilete vertical y medir las sombras se
podría construir un reloj de Sol. Sin embargo no es así; un reloj construido según estas indicaciones no
sería preciso. Esta precisión se consigue haciendo que su estilete sea paralelo al eje de rotación de la
Tierra. Como hemos dicho, el Sol, en su movimiento aparente debido a la rotación de la Tierra, da una
vuelta completa alrededor de este eje cada 24 horas; por tanto, la sombra del estilete girará 15º cada
hora. Sin embargo, la proyección de dicha sombra sobre un plano gira cada hora un ángulo que
depende de la orientación del plano.
O
Los relojes de Sol, también llamados cuadrantes solares, son instrumentos que permiten conocer
la hora gracias a la sombra que arroja un gnomón sobre una escala en la que se marcan las horas. La
ciencia encargada de elaborar teorías y reunir conocimientos sobre los relojes solares se denomina
gnomónica.
R
El Sol sigue un movimiento aparente por el cielo, de manera que sale por el este, asciende hasta
alcanzar su máxima altura sobre el horizonte al mediodía, aproximadamente hacia el sur, para después
ir bajando hasta ponerse al atardecer por algún lugar del oeste. Si se coloca un gnomón, un estilete
vertical, observaremos que la sombra que éste proyecta igualmente va cambiando. Se dirige hacia el
oeste y es máxima al amanecer; es mínima en el mediodía para volver a crecer, dirigida hacia el este,
cuando el Sol se pone.
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Figura 1. Montaje sobre una esfera terrestre para justificar que el gnomón debe ser
paralelo al eje de rotación de la Tierra. Elaboración propia.
Existen distintos tipos de cuadrantes solares dependiendo de la posición del plano donde se
proyecta la sombra del estilete. Basándonos en el trabajo de Broman, Estalella y Ros (1988), se les
resumió a los estudiantes la variedad de relojes solares y se les proporcionaron breves indicaciones de
cómo construirlos.
A
3.1. Tipos de relojes solares
Si el plano es perpendicular al estilete, es decir, paralelo al ecuador, tenemos un cuadrante
ecuatorial. Es un tipo de reloj en el que el trazado de las líneas es muy sencillo, debido a que está
colocado en un plano paralelo al ecuador celeste, el equivalente a la proyección del ecuador terrestre al
infinito. El estilo es perpendicular al plano y está orientado hacia el polo norte celeste. Este reloj no
requiere ningún tipo de cálculo, tan solo es necesario orientar el gnomón y el plano de las horas y
considerar la latitud para el estilete.
Consta de dos piezas: el plano con las líneas horarias y el estilete soporte. Las líneas horarias se
deben dibujar sobre las dos caras del plano en el que se proyecta la sombra a intervalos exactos de 15º.
Esto es debido a que el Sol unas veces está por encima y otras por debajo del ecuador celeste a lo largo
del año. La cara superior estará iluminada entre el equinoccio de primavera y el de otoño, cuando el
Sol ocupa la posición más elevada en el cielo. Por el contrario, la sombra se proyectará sobre la cara
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
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inferior entre el equinoccio de otoño y el de primavera. En el día concreto de los equinoccios, el
cuadrante estaría iluminado en su canto, y no sería utilizable.
A
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O
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M
Otra posibilidad es que la sombra se proyecte sobre un plano vertical orientado hacia el sur; en
este caso se habla de un cuadrante vertical orientado. Es en todo semejante al anterior, salvo que el
plano con las líneas horarias es en este caso vertical, mientras que el estilete se coloca sobre este
perfectamente orientado hacia el sur. Al igual que en los anteriores, el estilete es paralelo al eje de
rotación de la Tierra; formará un ángulo con el plano vertical, en el que van las horas, igual a la
colatitud (90º – latitud). Al igual que en el caso anterior, las líneas horarias tampoco están
regularmente espaciadas, aunque son simétricas con respecto a la línea del mediodía que es la sombra
que se proyecta cuando el Sol alcanza la máxima altura.
T
En el caso de que el plano sea horizontal, tenemos un cuadrante horizontal. Está formado por un
plano horizontal sobre el que se van a proyectar las sombras arrojadas por el estilete. En este caso, las
líneas horarias no van a estar regularmente espaciadas y se trazarán según se indica en el esquema que
se les proporciona a los estudiantes. En este esquema igualmente se dan los valores para la latitud de
Granada. El estilete se puede hacer con una pieza triangular o con una aguja o barra que haga
exactamente un ángulo con el plano horizontal igual al de la latitud.
S
Figura 2. Relojes ecuatoriales. Jardín Botánico de Lódź (Polonia), tomado de Wikimedia Commons (licencia
Creative Commons), frente a reloj ecuatorial elaborado por un estudiante.
Í
A
Figura 3. Relojes de Sol verticales declinantes de izquierda a derecha: Dinard, Francia (Tomado de Wikimedia
Commons con licencia Creative Commons); Monasterio de San Jerónimo, Granada, recolocado arbitrariamente;
elaborado por alumnado del Instituto.
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
J. F. Ruiz, A. Quesada
Existen otras variantes como el cuadrante doble (reloj de Sol de bolsillo) consistente en la
instalación de un cuadrante vertical meridional y un cuadrante horizontal unidos con un ángulo de 90º;
el cuadrante vertical declinante, que se construye sobre una pared que ya existe, con una orientación
cualquiera y que requiere para su construcción medir la declinación de la pared con respecto al
meridiano; el reloj polar, que está constituido por un cuadrante situado en un plano inclinado que hace
con la horizontal un ángulo equivalente a la latitud del lugar, lo que hace que las líneas horarias son
paralelas entre sí y a su vez paralelas al estilo; el anillo armilar, trazado sobre la cara interna de un
semicilindro cuyo eje está inclinado con la misma inclinación que el eje de rotación de la Tierra; o el
reloj analemático, constituido por un cuadrante horizontal elíptico, cuyo eje menor de la elipse se
orienta paralelamente a la línea norte sur, y un gnomón móvil vertical que se va a desplazar a lo largo
del eje menor de la elipse según la época del año.
Í
A
Una alternativa más complicada de construir es aquella en el que el plano es vertical pero no
está perfectamente orientado hacia el sur, sino sobre cualquier pared; este es el denominado cuadrante
vertical declinante.
A
S
T
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O
N
O
M
4. Shadows
Es un programa compatible con la mayoría de las versiones de Microsoft Windows y ofrece
varias configuraciones. La más básica, pero suficiente para iniciarse en la construcción de relojes
solares, es gratuita. Ofrece otras versiones de pago que proporcionan otras posibilidades a usuarios
más expertos.
Seleccionando la localidad en la que se quiere colocar el reloj, o en caso de que ésta no esté
incluida en la relación que ofrece el programa, introduciendo sus coordenadas geográficas, Shadows
no sólo realiza los cálculos necesarios, sino que permite hacer copias a escala 1:1 para facilitar su
construcción. Los cuadrantes construidos con este programa dan la hora solar y permiten la corrección
de latitud y la ecuación del tiempo.
La versión gratuita de Shadows permite dibujar cuadrantes con estilo polar más habituales:
horizontales, verticales orientados, verticales declinantes y equatoriales. En estos cuadrantes dibuja las
líneas de las horas y se pueden incluir líneas de declinación que permiten conocer solsticios y
equinoccios. También proporciona el tamaño del estilo a escala real, únicamente para ser recortado y
colocado en el reloj de Sol.
La versión gratuita del programa se puede descargar desde la página web oficial del mismo:
http://www.shadowspro.com. Para ello pulsar en la opción descargar.
4.1. Construyendo relojes solares con Shadows
Cuando se arranca el programa se accede a una ventana en la que se encuentran los distintos
diseños que proporciona el programa. De ellos solo podremos acceder a las aplicaciones gratuitas, las
rodeadas por un marco negro. Aquellas rodeadas de marco rojo o amarillo son de pago y no tendremos
acceso a ellas.
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
J. F. Ruiz, A. Quesada
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La pantalla siguiente permite seleccionar el tipo de cuadrante que queremos construir. La
categoría a la que se puede acceder en la versión gratuita es la que permite acceder a relojes planos
con estilo polar. Las versiones de pago permiten acceder a otras modalidades. Una vez elegido, se pasa
a la pantalla siguiente.
T
Sobre esta ventana se elije el tipo de reloj que se quiere construir y se pasa a un cuadro de
diálogo en el que se debe seleccionar la ubicación que va a tener el reloj. En caso de que no aparezca
en el listado se procederá a introducir manualmente los valores de las coordenadas geográficas. En el
caso concreto de Granada, la ubicación de esta ciudad se encuentra incluida en el programa; habría
que elegir en primer lugar el país (España) y después la localidad.
S
Figura 4. Imagen de pantalla de acceso a diversos modelos de relojes solares, astrolabios y otras utilidades que
ofrece Shadows. Los iconos que dan acceso a aplicaciones gratuitas están rodeados de un marco negro.
O
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A
Figura 5. Imagen de la pantalla que permite elegir el lugar donde se ubicará el reloj de Sol.
La pantalla final permite configurar la orientación del reloj de Sol. En el caso de que queramos
hacer un reloj para una pared cualquiera a la que previamente hemos medido la declinación,
seleccionaríamos un reloj vertical de tipo declinante. En este caso introduciríamos el valor del ángulo
de declinación de la pared donde va a ir colocado. A continuación pulsaremos el botón Terminar.
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
Figura 6. Pantalla de acceso a los cuadrantes planos con estilo polar. Esta da opción también a la construcción
de relojes declinantes.
A continuación aparecerá dibujado el cuadrante en la pantalla. En este dibujo vendrá marcada la
posición del estilo por dos puntos. A es el estilo perpendicular y B el estilo polar. Ambos constituyen
los lados de un estilo triangular que viene representado sobre el plano del reloj.
El dibujo viene con una configuración por defecto aunque todo puede modificarse. Las opciones
están en los distintos iconos de la barra de herramientas, como el número de líneas horarias, los arcos
de declinación, el color de las líneas de las horas, etc. Los cambios que hagamos se reflejarán
inmediatamente en el cuadrante.
Una de las opciones más importantes es la que permite establecer el tamaño del reloj. Para ello
iremos al menú configuración y seleccionaremos dimensiones o lo haremos directamente sobre el
icono de la barra de herramientas. Introduciremos las nuevas medidas y Shadows recalculará todos los
parámetros del reloj, incluido el tamaño del estilo. El programa también nos permite modificar las
dimensiones del estilo.
A
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Figura 7. Simulación de la sombra arrojada por el gnomón sobre el cuadrante solar realizada por Shadows.
Una vez realizado el reloj se puede decorar con el mismo programa, dado que este permite la
introducción de textos e imágenes sobre el cuadrante.
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Ya tan solo queda guardar el archivo con el cuadrante (comando Guardar del menú Archivo) e
imprimir el cuadrante a escala, el croquis del estilo y su altura y proceder a su construcción en el
soporte adecuado.
A continuación se incluyen croquis facilitados a los estudiantes para distintos relojes solares ya
calculados con Shadows para Granada, latitud 37,18º.
A
S
T
R
Figura 8. Croquis calculados con Shadows y facilitados a los estudiantes de: Cuadrante horizontal orientado,
Cuadrante vertical orientado y cuadrante polar, respectivamente.
O
5. Resultados y consideraciones finales
N
Durante el curso 2012-13 los estudiantes de 1.º a 4.º de ESO presentaron 71 relojes solares. Las
imágenes son algunos ejemplos.
O
M
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A
Figura 9. Ejemplos de relojes participantes en el concurso.
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Relojes solares sin Trigonometría en ESO
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Destacó por su originalidad y magnífico diseño el presentado una alumna de 4.º de ESO que
representó un sistema planetario inscrito en una corona circular sobre la que se proyectaba la sombra
de las horas, reloj por el que obtuvo el primer premio del concurso.
A
S
T
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O
Figura 10. Reloj ganador.
Figura 11. Más ejemplos de relojes participantes.
Esta actividad es de elevada relevancia para la adquisición de competencias básicas. El trabajo
de búsqueda, reflexión y manipulativo es muy adecuado a los objetivos de la Secundaria Obligatoria.
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Con respecto a los objetivos de la actividad, consideramos que el diseño y la ejecución de un
reloj solar, con toda la complejidad que conlleva, es evidencia suficiente para argumentar la
consecución de los objetivos.
Valoramos la construcción de relojes solares sin trigonometría como altamente recomendable en
la ESO, en cualquiera de los cursos. Incluso, su inclusión en los últimos cursos de Primaria, usando
una metodología menos libre y con más guía del profesorado, resultaría muy formativa para hacer
reflexionar al alumnado sobre nociones básicas de astronomía de posición.
Bibliografía
T
R
O
N
O
M
Í
Antonio Quesada Ramos. Departamento de Biología y Geología del IES Zaidin-Vergeles de Granada.
Nacido en Granada en 1961 y residente en esta ciudad es doctor en Biología y ha publicado en áreas
científicas relacionadas con la Microbiología, Biología Celular y Antropología Física así como artículos
de divulgación. Ha sido responsable junto al coautor de este artículo de la edición de la revista de
divulgación científica Pasaje a la Ciencia (http://www.pasajealaciencia.es). En la actualidad es
coordinador en su instituto del proyecto PIIISA (Proyecto de iniciación a la investigación e innovación en
Andalucia).
Email: [email protected]
S
Juan Francisco Ruiz Hidalgo. Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Granada. Nacido en Madrid en 1973 y residente en Granada, es Doctor en Matemáticas y ha publicado en
el área de Ecuaciones en Derivadas Parciales. En la actualidad centra su investigación en Educación
Matemática, especialmente en Didáctica del Análisis. Es profesor en el Grado de Educación Primaria y en
el máster de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Email: [email protected]
A
Broman, L., Estalella, R. y Ros, R. M. (1988). Experimentos de Astronomía. Barcelona: Alhambra.
Junta de Andalucía (2007). Orden de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo
correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía. BOJA n. 171, 23-65.
MEC (2006). Real Decreto 1631/2006, de 20 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas
mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. BOE n. 5, 677-773.
Vincent, J. (2008). The mathematics of sundials. Australian Senior Mathematics Journal, 22(1), 1323.
http://www.shadowspro.com Consultada el 20 de junio de 2013.
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 137-142
Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz (Club Matemático1)
Vemos otras deformaciones de los cubos diseccionados, como el SOMA o el de Conway,
relacionándolos con el Cubo de Rupe visto en anterior artículo; son romboedros en lugar
de cubos, o cubos en perspectiva. Además tratamos puzles obtenidos por deformación de
rompecabezas planos, principalmente el Tangram Chino y el Tangram Japonés o Sei
Shonagon Chie-no-ita. Se sugieren trabajos de investigación montando talleres con los
alumnos para experimentar estas variaciones.
Palabras clave
Cubos diseccionados en poliprismas. Poliprisma o ladrillo harmónico y canónico. Puzles
basados en romboedros diseccionados. Tangrams derivados: Tangram Chino y tangram
japonés o Sei Shonagon Chie-no-ita. Figuras con las piezas de los tangrams derivados.
Talleres de geometría con los tangrams.
Abstract
We see other deformations of the dissected cubes, as SOMA or Conway, relating Cube
Rupe seen in the previous article; are rhombohedral instead of cubes, or cubes in
perspective. Also try puzzles obtained by deformation of flat puzzle, mainly Chinese
Tangram and Japanese Tangram or Sei Shonagon Chie-no-ita. Mounting research
workshops with students to experience these changes are suggested.
U
Keywords
Cubes poliprismas dissected. Harmonic and canon Poliprisma or brick. Rhombohedrons
dissected based puzzles. Derivatives Tangrams: Tangram Chinese and Tangram Japanese
or Sei Shonagon Chie-no-ita. Figures with tangram pieces derivatives. Workshops with
tangrams geometry.
G
S
Otra deformación de los policubos que conforman este tipo de puzles consiste en transformar el
cubo unitario elemental en un paralelepípedo oblicuo desplazando la cara superior, por ejemplo la
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
O
Figura 1
Veamos ahora otras deformaciones que se pueden realizar sobre los cubos y prismas, y los
resultados que se obtienen.
1
E
Conectando con el anterior artículo, nosotros osamos llamar prisma
canónico al formado por las medidas 1x2x3, tal como vimos en “Algo
más sobre Poliprismas y Policubos. Puzles lógicos”. El prisma
canónico de los poliprismas puede confundirse con el harmónico de
Gardner con dimensiones de 1x2x4, como el de la figura 1. De Bruijn
llama así al ladrillo cuyas tres medidas son tres valores enteros ordenados,
de tal manera que cada longitud es un múltiplo del valor precedente.
J
Resumen
Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
mitad de la longitud de un lado, en el mismo plano de esa cara, siguiendo la dirección de sus aristas
(fig. 2), o en los dos ejes del plano (fig. 3).
Figura 2
Si las 7 piezas del cubo SOMA se someten a una
transformación que convierte parte de las caras cuadradas de
cada cubito en un rombo, obtenemos paralelepípedos como
elementos del cubo, que ya no es un cubo sino un
paralelepípedo oblicuo de 3x3x3 unidades como en la figura
3. El desarrollo del romboedro lo vemos en la figura 5.
E
G
O
S
Figura 3
J
U
Otra transformación consiste
en convertir las seis caras en seis
rombos. Si lo hacemos con las
piezas del SOMA tenemos un romboedro:
el SOMA EN PERSPECTIVA, del que
aportamos varias imágenes (romboedro en
madera y rojo), y que comparamos con el
soma normal.
Dado que la imagen plana del SOMA
aparece en perspectiva, a la vista de la
figura es difícil darse cuenta de que los
Figura 5
elementos que forman cada
pieza del SOMA, no son
cubos, sino paralelepípedos de
cara
romboidales
en
perspectiva. Quizá se aprecia
mejor en las otras imágenes
donde aparecen cubos y
paralelepípedos oblicuos, pero
requiere darse cuenta de que el
Figura 8
cubo SOMA y el SOMA en
Perspectiva, están apoyados en un mismo plano.
Figura 4
Figura 6
Figuras 7
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noviembre de 2014
NÚMEROS
Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
De las 240 soluciones encontradas
por Conway para el SOMA cúbico,
ahora, para el SOMA triplemente
oblicuo, el romboide SOMA en
Perspectiva, la solución es única.
Otro ejemplo de cubo en
perspectiva es el que toma como modelo
el cubo de Conway formado por tres
cubos
unitarios
y
Figura 10
prismas de 2x1x1 del
que hablamos en anterior artículo. (Figura con las piezas en
dos tonos de madera).
Figura 9
También el cubo de Rubik tiene su versión
romboédrica, modificándose los ejes de giro para hacer
posibles los movimientos.
Figura 11
J
Deformación del Tangram al multiplicar por raíz de tres la longitud de un lado del cuadrado
U
E
G
Si partiendo del cuadrado que agrupa a todas las siete
piezas del tangram, multiplicamos la longitud de uno de sus
lados por la raíz cuadrada de 3, convertimos el triángulo
rectángulo isósceles de 2 unidades de base y 1 de altura en un
triángulo equilátero de 2 unidades de lado y altura 3 .
O
S
Figura 12
2 unidades
1 unidad
Multiplicando por
3 la altura
2 unidades
2 unidades
Figura 13
El lado del triángulo pasa a ser:
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de Profesores de Matemáticas
, al haber multiplicado su altura por 3 .
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Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
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3 un
Si en una posición determinada del
cuadrado, el lado que multiplicamos es el
horizontal, obtenemos un resultado diferente
que si el lado multiplicado es el vertical,
como podemos ver en las figuras siguientes.
2 un
En las siguientes imágenes podemos ver el resultado de multiplicar el lado horizontal y el
vertical por
y también el rombo que resulta si lo que multiplicamos es la diagonal.
J
U
E
G
O
S
Con estas transformaciones se
preservan la linealidad de los lados, la
convexidad de las piezas elementales y las
razones entre longitudes y áreas. Tal y como
dice Bernhard Wiezorkei no se mantienen los
2 x 3 un
ángulo y las dos parejas de triángulos que
antes eran iguales, ahora resultan distintos.
Figura 14
Este sencillo análisis de cómo afectan las
modificaciones a las figuras que se construyen con el tangram, puede ser realizado por los alumnos en
un taller donde experimenten deformando, coloreando, recortando y construyendo las figuras para
luego comparar los resultados.
Figura 15
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NÚMEROS
Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Se hace evidente que al igual que ocurría con los poliprismas y los romboides, dependiendo de
la posición inicial a la que se le aplican las transformaciones, obtenemos que al menos una de las
piezas es diferente.
Figura 16
Las parejas de la figura 17 se construyen a partir del tangram normal y del tangram derivado.
J
U
E
Figura 17
G
Las cuatro imágenes de la figura 18 se han construido a partir del
tangram normal (un perro schnauzer en negro) y los tangram derivados.
En verde con deformación horizontal, es azul con deformación vertical y
en rojo con deformación a un rombo de ángulos 60 y 120 grados. Por
supuesto que si intercambiamos los triángulos obtenemos otras formas,
lo que nos da una idea de la diversidad de figuras que se podrían formar.
O
S
Figura 18
No hay porque limitarse al tangram de 7 piezas, el conocido como “Tangram Chino”. También
otros rompecabezas de esta familia son buenos candidatos para experimentar y analizar los resultados.
Tal es el caso del puzle Sei Shonagon Chie-no-ita. “El Tangram japonés”.
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de Profesores de Matemáticas
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Más de Poliprismas: SOMA en perspectiva y Derivados de Tangrams
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Para dibujarlo nos resulta de ayuda dividir el cuadrado en
4x4 partes, y unir vértices como indica la figura 19.
Al igual que con el Tangram chino, si multiplicamos por
uno de sus lados o su diagonal, obtenemos el derivado
correspondiente. Figura 20.
G
O
S
Figura 19
J
U
E
Figura 20
También es posible proceder a la deformación
una vez construida una figura convexa con las piezas
del tangram, y tratar a continuación de reconstruir el
cuadrado. Figura 21.
Y esto es todo por el momento. Estamos
pensando qué les vamos a ofrecer en los próximos
artículos. Ya veremos. Todo dependerá de las
respuestas y comentarios, o peticiones, que
recibamos de nuestros lectores.
Hasta el próximo
Figura 21
pues. Un saludo.
El Club Matemático
i
Bernhard Wiezorke: How a Tangram Cat Happily Turns into the Pink Panther;
The Mathemagician and Pied Puzzler. A Collection in Tribute to Martin Gardner
Edited by Elwyn Berlekamp and Tom Rodgers
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Vol. 87
noviembre de 2014
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 143-154
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Proposed solutions to the problems above and deal with a “grandparents’ problem”,
numerical series and numbers accomplices. The method used is based on double entry
tables to analyse solutions, properties of numbers and some logic. We present the
solutions provided by readers and comments. New exercises which have to do with the
reverse of three-digit numbers and magic triangles are proposed.
Keywords:
Solving problems. Double entry tables, number properties. Numbers accomplices and
reverse of a number. Magic Triangles. Classroom use singular exercises.
L
Abstract:
B
Solución de problemas. Tablas de doble entrada, propiedades de los números. Números
cómplices y reverso de un número. Triángulos mágicos. Uso en el aula de ejercicios
singulares.
O
Palabras clave:
R
Soluciones de los problemas propuestos anteriormente y que tratan de un “Problema de
los abuelos”, series numéricas y números cómplices. El método utilizado se basa en
tablas de doble entrada para analizar las soluciones, las propiedades de los números y
algo de lógica. Exponemos las soluciones aportadas por los lectores y sus comentarios.
Se proponen nuevos ejercicios que tienen que ver con los reversos de los números de tres
cifras y con los triángulos mágicos.
P
Resumen:
E
Empezaremos por dar las respuestas y comentarios a los problemas planteados con anterioridad.
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
Solución:
A
Los tres abuelos toman el aperitivo con sus tres nietos mayores y uno de ellos pregunta:
-¿Quién de ustedes es el mayor y qué edades tienen?
Los abuelos responden dando cada uno una pista sobre ello.
- Nuestras edades son distintas y están entre 60 y 80 años y la suma de las edades de los dos más
viejos es un número cuadrado.
- La suma del más viejo y del más joven es el primer número capicúa menor que el cuadrado
que dice la abuela.
- La suma de los dos más jóvenes es el segundo primo menor que el capicúa que dices tú.
Dígannos ahora la suma de los dígitos del producto de nuestras edades. Aquí tienen una
calculadora.
M
Problema 1. El aperitivo de los abuelos
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Llamemos k, p y w a las edades de los abuelos, con k < p < w. Teniendo en cuenta el enunciado
y las propiedades numéricas, se pueden escribir las siguientes igualdades y desigualdades:
A. 60 < k < p < w < 80,
B. 120 < p + w = n2 < 160, donde n2 es un número cuadrado.
C. k + w = 1b1 < n2, donde 1b1 es un número de tres cifras del que desconocemos la central,
pues los únicos números capicúas no cuadrados son 131 y 151.
D. 120 < k + w = aba < 160, donde aba representa un número de tres cifras menor que 160.
E. k + p =m < 1b1, donde m es un número primo.
Los cuadrados entre 120 y 160 son: 121 (112) y 144 (122) pues 132 = 169 ya pasa del extremo
superior del intervalo considerado y 121 = 112, no permite que se cumplan otras afirmaciones del
enunciado (no permitiría C ni E).
Por B, p + w = 144
A
S
Actuamos ahora con lógica y aplicando lo escrito anteriormente.
Dado que los números primos que encontramos en este intervalo son: 127, 131, 137, 139, 149,
151 y 157, el valor de k + p sería 137, puesto que los dos primos menores que el capicúa 141 son 139
y 137.
 p  w  144

Resolviendo ahora el sistema formado por las tres ecuaciones: k  w  141
k  p  137

B
L
E
M
Y por C, k + w sería igual a 141
R
O
Obtenemos los valores de k = 67, p = 70 y w = 74.
Pero esta no es la respuesta a lo planteado, y muchos alumnos se quedarían ahí, sin recordar que
el problema pide la suma de los dígitos del producto de nuestras edades.
P
Respuesta:
67·70·74 = 51 590, y la suma de sus cifras es: 5 + 1 + 5 + 5 + 9 + 0 = 20.
(Problema adaptado de uno propuesto en trottermath.net)
Problema 2, Series de números
Encuentra n números naturales diferentes a1, a2, a3,...an, tales que la suma de los números sea
igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.
Seguramente nuestros avispados lectores encontrarían que el enunciado del Problema 2, Series
de números, era demasiado elemental, pese al lenguaje algebraico utilizado.
En realidad el enunciado debería haber sido:
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Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
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Problema 2, Series de números
Encuentra n números naturales diferentes a1 < a2 < a3 < ... < an, tales que la suma de los números
sea igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.
Y para no tenerlos esperando otros tres meses por las posibles soluciones, las damos ahora.
Examinaremos dos grandes grupos y, puesto que vamos a generalizar, ampliamos el enunciado
a n números enteros:
A. Los números de la serie son consecutivos
B. Los números de la serie no son consecutivos
P
Y dentro de cada apartado
R
1. Los números son todos positivos
2. Los números son todos negativos
3. Los primeros números son negativos y los últimos positivos.
O
Veamos cada caso.
B
A1. Enteros consecutivos positivos
Encontrar series de números enteros positivos y consecutivos a1 < a2 < a3<…<an, tales que la
suma de todos ellos sea igual al producto del primero por el último.
L
Probando con distintos valores para a1 y n encontramos tres series que cumplen las condiciones
como puede verse en la tabla 1.
E
M
La serie de números constituye una progresión aritmética de diferencia la unidad.
Comentarios.
A
Si x es el primero de los términos, e y es la cantidad de términos, entonces el último término
es x + y - 1.
S
 x  x  y 1
 2x  y  1 
La suma de los y términos de la p. a. es 
y
 y que ha de ser igual
2
2




al producto x( x  y  1) . Por ello, concluimos en una ecuación de segundo grado:
2 xy  y 2  y  2 x 2  2 xy  2 x  y 2  y  2 x 2  2 x
2 x2  2 x  y 2  y  0


2 x2  2 x   y 2  y  0
y resolviendo
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Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
x
2  4  4  2(  y 2  y ) 1  1  2(  y 2  y ) 1  2 y 2  2 y  1 1  y 2  y 2  2 y  1



4
2
2
2
obtenemos la expresión 2 x  1  y 2   y  1
2
O
B
L
E
M
A
S
Término S1
R
S3
a1
n
3
4
15
21
85
120
an
a1
a2
a3
a4
a5
6
3
4
5
6
35
15
16
17
18
19
204
85
86
87
88
89
a22
a23
a24
a25
a26
106
107
108
109
110
a43
a44
a45
a46
a47
127
128
129
130
131
a64
a65
a66
a67
a68
148
149
150
151
152
a85
a86
a87
a88
a89
169
170
171
172
173
a106
a107
a108
a109
a110
190
191
192
193
194
a6
a7
a8
a9
a10
a11
20
21
22
23
24
25
90
91
92
93
94
95
a27
a28
a29
a30
a31
a32
111
112
113
114
115
116
a48
a49
a50
a51
a52
a53
132
133
134
135
136
137
a69
a70
a71
a72
a73
a74
153
154
155
156
157
158
a90
a91
a92
a93
a94
a95
174
175
176
177
178
179
a111
a112
a113
a114
a115
a116
195
196
197
198
199
200
a12
a13
a14
a15
a16
a17
26
27
28
29
30
31
96
97
98
99
100
101
a33
a34
a35
a36
a37
a38
117
118
119
120
121
122
a54
a55
a56
a57
a58
a59
138
139
140
141
142
143
a75
a76
a77
a78
a79
a80
159
160
161
162
163
164
a96
a97
a98
a99
a100
a101
180
181
182
183
184
185
a117
a118
a119
a120
201
202
203
204
102
103
104
105
525 1995
a39
a40
a41
a42
123
124
125
126
2436
a60
a61
a62
a63
144
145
146
147
2877
a81
a82
a83
a84
165
166
167
168
3318
a102
a103
a104
a105
186
187
188
189
3759
a18
a19
a20
a21
Suma ai 18
P
S2
a1·an
32
33
34
35
18 525
2955 17340
17340
Tabla1. Tres series de números enteros positivos y consecutivos.
Por la Fórmula de Euclides para generar tríos de números pitagóricos dados un par de números
enteros positivos m y n, en este caso suponemos m = x > n = y ± 1, podemos hacer y  a 2  b2 ,
y  1  2ab y z  a 2  b2 se deduce y  1  a 2  b2  1  2ab o a 2  2ab  b2  1 Si sumamos 2b2 a
ambos miembros de la ecuación, nos queda a 2  2ab  b2  2b2  1   a  b   2b2  1  n 2 , donde n
2
es un parámetro auxiliar. De aquí: b2 
146
Vol. 87


1 2
n 1 .
2
noviembre de 2014
NÚMEROS
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


1 2
n  1 es un cuadrado.
2
Podemos ahora encontrar empíricamente valores para b. En la siguiente tabla los tenemos. Aparece
una regularidad que nos ayuda a rellenarla más fácilmente.
De  a  b   n 2 , se sigue que a  n  b . Por tanto, b es un entero si
2
Por ejemplo, bn = an-1 y an = 2an-1+bn-1.
1
1
2
4
3
6
18
18
3
2
5
21
15
35
525
525
7
5
12
120
85
204
17340
17340
17
12
29
697
493
1189
586177
586177
41
29
70
4060
2871
6930
19896030
19896030
99
70
169
23661
16731
40391
675781821
675781821
239
169
408
137904
97513
235416
22956120408
22956120408
568345
137210
5
7,79829E+11
7,79829E+11
408
985
x
803761
an
Producto de a1·an
R
a
P
b
577
y
Suma de los y
términos
n
O
Evidentemente no hay casos A2 y ya veremos después que ocurre con el A3.
B
En el caso B1 tendríamos:
an
a2
a3
2
3
5
5
3
2
3
6
6
4
2
3
7
7
2
3
8
2
3
9
a4
a5
Suma ai
a1·an
5
10
6
12
5
7
8
6
9
7
Fórmula general
a1
a2
a3
a4
a5
10
2
3
5
12
2
4
6
14
14
2
5
7
8
16
16
2
6
8
9
18
18
2
7
9
a1
a2
a3
a4
a5
A
p
M
n
E
a1
S
Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.
Para el primer término 2 y con n igual a 4:
a5
a1
n
p
an
a2
a3
a4
Suma ai a1·an Fórmula general
2
4
9
9
3
4
9
18
18
2
3
4
9
2
4
10
10
3
5
10
20
20
2
3
5
10
2
4
11
11
3
6
11
22
22
2
3
6
11
2
4
12
12
3
7
12
24
24
2
3
7
12
2
4
13
13
3
8
13
26
26
2
3
8
13
Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
L
Encuentra n números diferentes naturales no consecutivos, a1 < a2 < a3< …<an tales que la suma
de ellos sea igual al producto del primero por el último.
noviembre de 2014
147
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Para a1 = 3 y n = 4:
a1
n
p
an
a2
a3
a4
a1
a2
a3
a4
3
4
7
7
5
6
7
a5
Suma ai a1·an Fórmula general
21
21
3
5
6
7
a5
3
4
8
8
6
7
8
24
24
3
6
7
8
3
4
9
9
7
8
9
27
27
3
7
8
9
3
4
10
10
8
9
10
30
30
3
8
9
10
3
4
11
11
9
10
11
33
33
3
9
10
11
a1
a2
a3
a4
a5
Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.
O
B
L
E
M
A
S
Y para a1 = 3 y n = 5:
n
p
an
a2
a3
a4
a5
Suma ai a1·an Fórmula general
3
5
9
9
4
5
6
9
27
27
3
4
5
6
9
3
5
10
10
4
6
7
10
30
30
3
4
6
7
10
3
5
10
10
4
5
8
10
30
30
3
4
5
8
10
3
5
11
11
4
5
10
11
33
33
3
4
5
10
11
3
5
11
11
4
6
9
11
33
33
3
4
6
9
11
3
5
11
11
4
7
8
11
33
33
3
4
7
8
11
3
5
11
11
5
6
8
11
33
33
3
5
6
8
11
3
5
12
12
4
6
11
12
36
36
3
4
6
11
12
3
5
12
12
4
7
10
12
36
36
3
4
7
10
12
3
5
12
12
4
8
9
12
36
36
3
4
8
9
12
3
5
12
12
5
6
10
12
36
36
3
5
6
10
12
3
5
12
12
5
7
9
12
36
36
3
5
7
9
12
3
5
12
12
6
7
8
12
36
36
3
6
7
8
12
Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.
Y no hay tampoco, claramente, caso B2, ya que la suma sería negativa y el producto positivo.
R
P
a1
Si los términos no han de ser consecutivos, tenemos los siguientes ejemplos de series que
comienzan con un número negativo y terminan con uno positivo, dando una suma y un producto
negativos. No se encuentran series que comiencen con un número negativo y terminen en uno positivo
cumpliendo las condiciones del problema.
a1
n
p
an
a2
a3
a4
-3
3
1
1
-1
1
-4
4
1
1
-2
-1
3
-6
5
3
3
-5
-4
-3
-5
4
1
2
-4
-3
2
-7
5
2
2
-4
-3
-2
a5
0
2
Suma ai a1·an Fórmula general
a1
a2
a3
a4
-3
-3
-3
-1
1
-4
-4
-4
-2
-1
3
-18
-18
-6
-5
-4
-3
-10
-10
-5
-4
-3
2
-14
-14
-7
-4
-3
-2
a5
0
2
Este problema constituye, a nuestro parecer, un excelente ejercicio de investigación a proponer
a nuestros alumnos adaptando cada variante al nivel adecuado.
(Adaptado de Math Tricks Brain Twisters and Puzzles, 155)
148
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚMEROS
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
No obstante, nuestro amigo Luis Ángel Blanco Fernández, asumió el reto tal y como venía en la
revista y nos envió su solución personal:
Problema 2. Series de números
Encuentra n números naturales diferentes a1, a2, a3,...an, tales que la suma de los números
sea igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.
"Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con
diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros
números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio
la solución: 5 050.
R
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/progsuma.htm
B
S= n(a 1 +a n )/2
M
a n =a 1 +n  1
E
2.-
L
Teniendo en cuenta esto, podemos establecer las dos ecuaciones que se deducen del enunciado del
problema:
n(a 1 +a n )/2= a 1 *a n
O
Conociendo esta anécdota, es fácil generalizar que la suma de n términos consecutivos de una
progresión aritmética es igual a la semisuma del primero a 1 y último término a n multiplicado por el número de
términos que tenga la progresión.
1.-
P
Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ...
etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales
sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 · 101 = 5 050."
Sustituyendo la ecuación 2 en 1, operando y despejando:
A
n(a 1 + a 1 +n  1)/2= a 1 ( a 1 +n  1)
S
(2na 1 +n 2  n)/2= a 1 2 +na 1  a 1
2na 1 +n 2  n= 2(a 1 2 +na 1  a 1 )
2na 1 +n 2  n= 2a 1 2 +2na 1  2a 1
n 2  n= 2a 1 2  2a 1
2a 1 2  2a 1  n 2 +n=0
obtenemos la ecuación de 2º grado:
3.-
a 1 2  a 1  (n(n  1))/2 = 0
siendo los términos de la ecuación: a = 1, b = 1, c =  (n(n1))/2
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
149
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Como para resolver la ecuación para valores de n perteneciente al conjunto de números naturales y de
a 1 perteneciente al conjunto de números naturales, la raíz cuadrada de b 2  4ac ha de ser un número
cuadrado para obtener una raíz cuadrada que sea un número natural. Como a = 1 y b = 1 podemos
simplificar que la raíz cuadrada de 2n(n1)+1 ha de ser un número natural para poder calcular un valor
perteneciente a N de a 1 .
Conocidos los parámetros sólo queda ir probando para distintos valores de n, cuáles cumplen que
2n(n1)+1 son números cuadrados y de los que se obtiene una raíz cuadrada perteneciente a los números
Sofía Almeida Brunonaturales.
E
M
A
S
Conocidos los n, naturales,
para calcular el término a 1 se suma
1 a la raíz cuadrada y se divide por
dos. De las dos soluciones
únicamente nos sirve la positiva.
He probado en una hoja de
Excel valores de n comprendidos
entre 2 y 1000 encontrando cuatro
soluciones que subrayo en amarillo.
Para valores de n entre 2 y 1000, encontramos cuatro soluciones que cumplen con los requisitos del
problema:
B
L
Soluciones:
O
1.- {3, 4, 5, 6} ; n=4
2.- {15, 16, 17, ..., 33, 34, 35}; n=21
R
3.- {85, 86, 87, ..., 202, 203, 204}; n=120
P
4.- {493, 494, 495, ..., 1187, 1188, 1189}; n=697
Para generalizar las soluciones tenemos que tener en cuenta que n, a 1 y a n son números naturales,
y además la raíz cuadrada de 2n(n-1)+1 ha de ser un número natural.
Bonito problema en el que hay que contar con unos conocimientos matemáticos básicos de sucesiones
aritméticas y de álgebra (ecuaciones de 2º grado), junto con la necesidad de utilizar algún tipo de
programación informática o de diseño de hojas de cálculo para explorar sistemáticamente las infinitas
soluciones posibles del problema.
Este problema puede generar otros del tipo ¿Existen soluciones para series en que la diferencia entre dos
términos consecutivos sea 2, 3, 4,...?
Saludos.
150
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚMEROS
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Tomamos nota de la sugerencia y recordamos que también en el número anterior el incansable
Luis Blanco nos envió la propuesta de este otro interesante problema:
Problema 3. Números cómplices.
R
O
Los comentarios y soluciones que vamos a reproducir aquí se corresponden a los obtenidos en el
Foro del Blog “Proyecto Newton: Matemáticas para la vida”, Rincón matemático para las familias,
cuyo administrador es el propio Luis.
P
El reverso de un número es el número que se obtiene escribiendo el
número de derecha a izquierda. Por ejemplo, el reverso de 35 es 53 y
el de 235 es 532.
Dos números enteros son cómplices si se cumplen tres condiciones:
1.- Los números se escriben con la misma cantidad de cifras
2.- Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo 11 no
sirve) y los números no son reversos entre ellos (por ejemplo 87 y 78 no sirven)
3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.
Por ejemplo:
Los números 42 y 12 son cómplices, puesto que tienen 2 cifras cada uno, no son reversos de sí mismos
ni entre ellos y el producto de los números es igual al producto de sus reversos 42×12=24×21=504.
¿Puedes encontrar más números cómplices de dos cifras?
En esta dirección pueden ver cómo se llega a la solución con aportaciones de los lectores del
blog y las contestaciones del propio Luis.
B
http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/edublogs/proyectonewton/2014/03/09/numeros-complices/
L
E
Estos son los pares de números cómplices de dos cifras:
M
(12/42) (12/63) (12/84) (13/93) (14/82) (21/48) (23/64)
(23/96) (24/63) (24/84) (26/93) (28/41) (32/46) (32/69)
(34/86) (36/42) (36/84) (39/62) (42/48) (43/68) (48/63)
(62/13) (64/69) (24/21) (36/21) (31/26) (39/31) (96/46).
A
Hemos escaneado hojas de respuesta de algunos alumnos en las que, como ya saben, no figuran
sus nombres.
En el primer problema presentamos dos soluciones de alumnos diferentes con el fin de observar
dos formas distintas de escribir sus pensamientos.
En la primera observamos una incipiente algebrización, muy personal, que nos indica la fuerte
preparación aritmética básica que constituye en sí misma la existencia del conocimiento intuitivo de
un preálgebra.
El segundo alumno aborda el problema desde la lógica más natural y, con ayuda de la
aritmética, llega a los resultados esperados. Resulta interesante la ingenuidad con que escribe sus
pensamientos.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
151
S
Querríamos ahora ver problemas del VII Torneo de 6º de Primaria de MATEMÁTICAS de la
Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, realizado en 2013, especialmente
para observar cómo los resuelven y presentan en los protocolos suministrados.
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
L
En el segundo problema, de tipo
lógico y secuencial, nos sorprende la
sencillez y la eficacia de la solución así
como la utilización de gráficos en la
búsqueda y presentación de la solución:
P
R
O
En la parte trasera de la hoja comenta:
B
E
M
A
S
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
152
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚMEROS
Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Para el tercer problema, de investigación operativa, los alumnos no tienen casi dificultades para
presentar las distintas posibilidades de manera organizada.
P
R
O
B
L
E
M
A
Y en el cuarto, sobre orientación
espacial, lo encuentran tan sencillo que no ven
la necesidad de dar explicaciones sobre el
modo de pensar que les ha llevado a la
solución. Quizá en esto deberíamos insistir
mucho para lograr que SIEMPRE lo hagan.
S
El quinto problema de la prueba es muy
sencillo, se trata de repetir unas trayectorias
contando las señales indicadas para verificar
un aserto sobre ellas. La mayoría de los
alumnos realizan el conteo mentalmente y sólo
expresan el resultado final. Pero hay alumnos
buenos o bien adiestrados que son capaces de
realizar y presentar la tarea de manera
adecuada.
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Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Y, finalmente, dos problemas para resolver y comentar. El primero TRIÁNGULO
NUMÉRICO, tiene su origen en el siguiente: (NOMBRES EN TRIANGLES) Problemas Olímpicos
Nº 71, octubre 2013 Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana “AlKhwarizmi”. Problemas de Nivel A (Primer Ciclo de Secundaria). Fase Autonómica – Prueba de
Velocidad. El segundo viene a cuento de los números reversos, vistos en el problema propuesto por
Luis Blanco.
Triángulo numérico
S
En los círculos de este triángulo coloca las
nueve cifras del uno al nueve, sin repetirlas, de forma
tal que la suma de cada lado sea 22.
Hallar los números de tres cifras tales que la suma de sus cifras multiplicada por 11, es igual a la
diferencia entre dicho número y su “reverso”.
(Adaptado de Math Tricks, 134)
Y ya está bien. Habrá un próximo artículo donde veremos la respuesta a estos últimos
problemas y plantearemos algunos nuevos, además de dedicar nuestra atención a las comunicaciones
suyas que nos lleguen.
Insistimos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los
alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas
propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el
problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y
también al resto de lectores. Vamos, anímense…
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
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Números reversos
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
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http://www.sinewton.org/numeros
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ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 155-174
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Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
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Probabilidad, Ley de los Grandes Números, Juego justo, Experiencia de aula.
Abstract
We all have an intuitive idea of probability. In this experience we rely on this situation
and try to develop, expand and link to other aspects of probability: compound
probability, fair games and Law of large numbers. With these elements a medium-term
interesting research is proposed to our pupils.
Keywords
Probability, Law of Large Numbers, Fair Game, Experience of classroom.
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Palabras clave
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Todos tenemos una idea intuitiva de probabilidad. En esta experiencia nos apoyamos en
esta realidad e intentamos desarrollarla, ampliarla y enlazarla con otros aspectos de la
probabilidad: probabilidad compuesta, juegos justos y Ley de los grandes números. Con
todo ello se propone la realización de un trabajo de investigación a medio plazo.
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Resumen
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Carlos Duque Gómez (Instituto de Enseñanza Secundaria Mencey Bencomo. España)
Eva M.ª Quintero Núñez (Instituto de Enseñanza Secundaria Tomás de Iriarte. España)
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Frecuentemente encontramos en los currículos (y, por tanto, en los libros de texto) un bloque de
contenidos titulado «Estadística y Probabilidad». Efectivamente, ambos apartados están relacionados y
parece lógico que aparezcan juntos. Sin embargo, resulta paradójico observar cómo el principal nexo
de unión entre ambos, la íntima relación existente entre frecuencia relativa y probabilidad, resulta
muchas veces obviada o relegada a un apartado breve en el que es difícil despejar el principal
«engaño» que nos produce la intuición en el terreno de la probabilidad: si tiro una moneda 5 veces y
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En el amplio abanico de las «paradojas matemáticas», la matemática recreativa y la matemagia
hay un abundante muestrario de elementos fundamentados en percepciones engañosas de la noción de
probabilidad.
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Posiblemente todos tenemos una idea intuitiva e innata de la probabilidad o, al menos, de si un
suceso es más probable que otro. Con esta intuición tomamos muchísimas decisiones a lo largo de
nuestra vida, quizá muchas más de las que basamos en cálculos certeros.
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1. Introducción
Coordinador: Carlos Duque Gómez
Cuando no esté a nuestro alcance determinar lo que es verdad,
deberemos seguir lo que es más probable.
Descartes
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de Profesores de Matemáticas
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
las 5 veces me ha salido cara, entonces es más probable que la próxima vez me salga cruz, porque
«ya le toca».
En la actividad que describimos en este artículo partimos de esa intuición probabilística innata,
que a veces nos engaña, e intentamos domesticarla, dándole un poco de formalidad matemática, la que
creemos que está al alcance de alumnos de 15 o 16 años de edad.
2. Objetivos
- Perseguimos, como objetivo inicial, que el alumnado llegue por sí mismo a comprender la Ley
de los Grandes Números, a través de la experimentación y observación de los experimentos aleatorios
diseñados para ello. Está sobradamente demostrada la eficacia del aprendizaje por descubrimiento.
- La generación de grandes cantidades de datos y su tratamiento consolidará en el alumnado la
relación entre Estadística y Probabilidad.
- La realización de un verdadero «proyecto de investigación» busca introducir al alumnado en
el método científico de una forma práctica y desarrollar en ellos el espíritu crítico necesario para
recibir e interpretar informaciones provenientes presuntamente de estudios científicos.
- Por último, la elaboración de un informe exhaustivo y laborioso debe fomentar en nuestros
alumnos la satisfacción de un trabajo bien hecho y conseguir que acepten y exijan informaciones bien
contrastadas, frente a la cantidad de afirmaciones gratuitas de todo tipo que nos bombardea a diario.
Para aceptar una información como verdadera no basta con que lo dijeron en la tele o lo recibí en un
whatsapp.
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Incluso la Ley de los Grandes Números parece que ayuda a caer en esta paradoja: si a medida
que aumenta el número de tiradas de la moneda la frecuencia de caras y cruces tiende a equilibrarse,
como asegura dicha ley, con más razón debo pensar que después de cinco caras es más probable que la
próxima vez salga cruz.
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- La actividad que presentamos consiste en un conjunto de actividades enlazadas que giran en
torno a distintos aspectos de la probabilidad: regla de Laplace, juegos justos o equilibrados,
probabilidades a posteriori, probabilidad compuesta, Ley de los Grandes Números. El alumnado
tendrá que resolver ejercicios «clásicos», realizar experimentos aleatorios guiados, leer textos, inventar
o diseñar sus propios experimentos y, finalmente, redactar y presentar un informe. En definitiva,
realizar un proyecto de investigación junto a otros compañeros durante un mes aproximadamente,
convenientemente guiado por su profesor.
- Para realizar todo esto, el profesor introduce en clase los contenidos necesarios, presenta los
ejemplos y experimentos, inicia –si lo cree necesario– la realización de dichos experimentos, marca el
ritmo de trabajo y las fechas de revisión y presentación del informe y les facilita una guía para la
realización de la actividad, dividida en dos partes, y otra para la organización y presentación del
informe final.
- La experiencia que exponemos aquí ha sido desarrollada varias veces, siempre con grupos de
4.º curso de ESO (15 y 16 años de edad), durante varios cursos escolares. Estimamos que puede
realizarse igualmente en el nivel anterior o posterior. Si se quiere llevar a cabo en niveles inferiores
proponemos que se eliminen las partes correspondientes a los contenidos de probabilidad compuesta y
juegos justos, y que se acorte el tiempo de desarrollo.
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3. Características del proyecto
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C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
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3.1. Material
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- Chinchetas: una caja de 50 o 100 chinchetas iguales.
- Cajas de fósforos: al menos 10 cajitas iguales y en buen estado.
- Tapas de botellas: varias exactamente iguales, cuantas más mejor.
- Plastilina: mejor si viene en barras, para poder cortar pedazos exactamente iguales con
facilidad.
- En nuestro caso, las tapas de botellas las facilitamos nosotros, que ya tenemos una colección
de tapas de varios modelos diferentes, de forma que podemos suministrar tapas con solamente dos
posibilidades de caída (boca arriba o boca abajo) a los alumnos que prevemos que tendrán mayores
dificultades y tapas con tres posibilidades de caída (boca arriba, boca abajo y de lado) a otros equipos
de alumnos. Además, podemos decidir si cada equipo hará su investigación con tapas diferentes a los
otros equipos o, por el contrario, algunos equipos (y ocasionalmente todos) utilizarán el mismo tipo de
tapas, con el fin de contrastar los resultados (y, por qué no, detectar si han realizado realmente los más
de 1000 lanzamientos que les pedimos o si se los han inventado).
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Cada alumno debe tener el material relacionado a continuación, aunque es el profesor quien
decide si debe tenerlo todo desde el comienzo o a medida que vaya siendo necesario. Para cada equipo
de trabajo (de entre dos y cuatro alumnos) se necesita el siguiente material:
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3.2. Temporalización
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- La temporalización que se ofrece aquí está basada en la realización de esta actividad como
«proyecto de investigación», del que se ven algunos aspectos en clase, pero que se completa y redacta
fuera del aula. Por tanto, las sesiones dedicadas son alternadas con sesiones de clase ordinarias, en las
que se puede estar trabajando contenidos de probabilidad o de cualquier otro tema.
- En nuestro caso, consideramos preferible abordar el proyecto después de haber impartido los
contenidos de probabilidad propios del curso y que vamos a aplicar y a consolidar con esta
investigación. Por tanto, mientras en clase estamos trabajando otros contenidos (Álgebra, Matemática
Financiera o Geometría, por ejemplo), los alumnos deben organizarse para ir desarrollando su
investigación y elaborando el informe final fuera del aula. Nuestras sesiones de revisión y control del
trabajo realizado interrumpirán brevemente el desarrollo de las clases aproximadamente una vez a la
semana.
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
- Proponemos una duración total de un mes para la elaboración del proyecto completo, desde el
día que se presenta a los alumnos hasta la fecha que se acuerde para su entrega final, con varias
sesiones de seguimiento, en principio, semanales.
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Describimos a continuación, de forma breve y esquemática, cómo organizamos nosotros
nuestras sesiones de trabajo y seguimiento de realización del proyecto, añadiendo en cada una de ellas
algunos detalles que consideramos importantes, como qué dificultades encontraron los alumnos o qué
respuestas dieron a los trabajos propuestos.
4.1. Primera sesión
- La primera sesión es fundamental. Debe quedar claro en qué consiste el trabajo, la duración
del mismo, la importancia del trabajo continuado y de las sesiones de seguimiento (no se resolverán
dudas fuera de esas sesiones), etc. Formamos los grupos de trabajo, de 2 o 3 personas
(excepcionalmente 4). También determinamos el calendario: fechas de trabajo en el aula, fechas de
revisión del trabajo realizado hasta ese momento y fecha de entrega del informe final.
- Hacemos un repaso breve de los contenidos básicos necesarios. Recordamos los conceptos ya
conocidos de probabilidad e insistimos en la «probabilidad intuitiva» (la teoría de probabilidades es
solo el sentido común expresado con números, según dijo Laplace): regla de Laplace, ejemplos con
monedas y dados.
- A continuación planteamos el problema de la moneda «torcida»: ¿tendrá la misma
probabilidad salir cara que cruz? ¿Cómo podemos saber qué lado será más probable? ¿Podremos
determinar esa probabilidad? Este caso tiene evidentes similitudes con las tapas de botellas.
- Comentamos la paradoja ya mencionada en la introducción: la probabilidad de salir cruz es
siempre 0.5, aunque hayan salido varias caras consecutivas inmediatamente antes. En las
experiencias de azar no existe la memoria. Las probabilidades son, de alguna manera, números
desmemoriados (Frías Ruiz, V. y otros, 1995).
- Dentro de este repaso inicial resolvemos algún ejercicio similar a los dos primeros (Un dado
extraño y Chupetes de Kojak y calcetines), aunque sea de modo verbal.
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4. Puesta en práctica
- Por último, intentamos leer los textos 1 y 2 en el tiempo de clase, procurando aclarar las dudas
que surjan de la lectura principalmente a través de las intervenciones de los propios alumnos.
- Como tarea para trabajar en casa y traer terminada en la próxima sesión de seguimiento, el
alumnado debe hacer los ejercicios del texto 2, los ejercicios de cómic (texto 3) y los dos ejercicios
propuestos en la guía (Un dado extraño y Chupetes de Kojak y calcetines).
- Dificultades: Normalmente aparecen pocas dificultades en esta primera sesión. Además de las
típicas dudas de comprensión de textos escritos (más frecuentes en textos de tipo científico o de
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Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
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divulgación científica, como este), siempre hay alumnos que dudan en comprensión, cálculo e
interpretación de las frecuencias acumuladas, mucho más si se trata de frecuencias relativas.
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4.2. Segunda sesión
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- Esta segunda sesión debe hacerse 2 o 3 días después de la primera, no dejar pasar una semana
completa. Resolvemos las dudas concretas de las tareas anteriores, siempre que el alumnado las haya
realizado, evitando corregir los ejercicio (es mejor, en todo caso, hacer algún ejercicio similar en vez
de resolver exactamente el mismo ejercicio que ellos deben incluir en su informe).
- Ahora es cuando entregamos la Guía de trabajo para el alumnado I (anexo 1) y la Guía de
presentación del trabajo (anexo 3). Es importante detenerse lo que sea preciso en este último punto:
debe quedar muy claro qué esperamos de su informe final y la relevancia que van a tener los distintos
aspectos del informe en la evaluación.
- Explicamos brevemente, leyendo la guía, cuáles son las dos primeras investigaciones que
deben realizar. Debemos insistir en la importancia de realizar un número realmente grande de
repeticiones del experimento aleatorio. Realizamos en clase algunas tiradas de chinchetas y de tapas
de botellas para mostrar cómo se hace y cómo se recogen los datos en una tabla.
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4.3. Tercera sesión
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- Una semana después, aproximadamente, volvemos a dedicar un tiempo al proyecto (una
sesión de clase, o menos). Revisamos lo realizado: recogida y tratamiento de datos, tabulación y
alguna gráfica de los experimentos de las chinchetas y tapas de botella. Deberían estar terminados,
pero normalmente no es así. La autonomía del alumnado en este tipo de trabajos a medio plazo suele
ser deficiente; tienden a dejar muchas cosas para el último momento, cosa que en este proyecto no
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de Profesores de Matemáticas
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ya conocen; de hecho, vamos a hacer un estudio estadístico de los resultados obtenidos en nuestros
experimentos aleatorios.
- La tarea para la siguiente sesión será terminar estas dos investigaciones.
- Dificultades: Los alumnos se alarman ante la perspectiva de realizar 1000 tiradas. Su primera
percepción es que ello les costará horas de trabajo
(en realidad solo serán unos cuantos minutos si se
organizan bien). No están acostumbrados a grandes
cantidades de datos (los ejercicios típicos de clase y
de los libros de texto suelen redactarse con 10, 30 o
50 datos) y mucho menos a generarlos ellos
mismos. La organización, el orden la necesidad de
ser sistemático hay que trabajarla en insistir en ella.
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- Recordamos que las gráficas que vamos a realizar son similares a las gráficas estadísticas que
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
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4.4. Cuarta sesión
- Revisión de lo realizado y resolución de dudas. Una vez más, aconsejamos no corregir los
ejercicios propuestos, sino realizar alguno similar para aclarar las posibles dudas.
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funciona. Es importante volver a insistir en esto en esta sesión, y tomar nota de qué equipos de
alumnos sí han hecho las tareas propuestas y cuáles no.
- Recordamos los experimentos compuestos y
orientamos a nuestros alumnos en la forma de aplicarlos
para responder a las preguntas propuestas a continuación en
la guía. Es importante hacerles ver que la alternativa al
cálculo es «tirar una chincheta y una tapa» 1000 veces (o
más), anotar los datos, tabularlos, etc., lo cual es muy
trabajoso… ¡e innecesario! Además, hay un problema
logístico: si se tiran simultáneamente, por ejemplo, 10 tapas
y 10 chinchetas, ¿cómo distinguimos cada «pareja de tapa y
chincheta» de las demás, si se mezclan todas al caer?
- En esta misma sesión realizamos la lectura del
último apartado de la 1.ª parte de la guía (Juego justo o
equilibrado) y del 4.º texto, que se propone en ese apartado.
El procedimiento es el mismo que en las sesiones
anteriores: leer, preguntar dudas, intentar que las dudas se
resuelvan con las aportaciones de los propios alumnos
guiados por el profesor.
- La tarea que deben realizar antes de la siguiente
sesión de seguimiento consiste en contestar a los ejercicios propuestos sobre probabilidad compuesta
(una chincheta y una tapa, dos tapas, etc.) y sobre las apuestas en el juego justo.
- Dificultades: Calcular los importes de las apuestas para que se realice un juego justo. En
casos sencillos (por ejemplo, tirar una moneda: cada uno pone un euro, el que gane se lleva los dos
euros) no hay problema ninguno, pero sí en casos como los propuestos en la guía. Conviene realizar en
clase algún ejemplo un poco más complejo que el de la moneda, asegurándose de que el alumnado lo
ha comprendido bien.
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C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
- En esta sesión entregamos la 2.ª parte de la guía de
trabajo para el alumnado (anexo 2). Hay que recordarles el día
antes que deben traer el material necesario, especialmente las
cajas de fósforos. Marcamos las cajas en clase y realizamos la
estimación, por intuición, de las probabilidades de cada una de
las caras: cada equipo hace sus estimaciones, las anota en un
papel y las entrega al profesor. Les hacemos notar que realmente
la caja no es simétrica (en términos probabilísticos), porque en
algunas caras hay doble cartón, bien debido al pegado de la caja,
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bien debido al contenedor interior de los fósforos. Realizamos las primeras tiradas y tabulamos, para
dejar claro cómo va a quedar la tabla de frecuencias con 6 columnas.
- A continuación, explicamos cómo se modifican las cajas para realizar la segunda parte de la
investigación de las cajas de fósforos. El profesor lo explica, pero los alumnos no modifican ninguna
de sus cajas, puesto que antes deben hacer las 1000 tiradas de las cajas originales.
- Esta es la parte más «fuerte» del proyecto
porque lleva tiempo, es costoso y no hay revisiones
intermedias mientras se realizan estos dos
experimentos. El alumnado ya tiene experiencia
suficiente y debe abordarlo con autonomía. Esta es la
tarea propuesta: realizar las tiradas, las tablas de
frecuencias y las gráficas correspondientes a los dos
experimentos de las cajas de fósforos: cajas vacías y
cajas modificadas con un peso. También deben
contrastar los resultados con sus estimaciones previas y
comentarlas.
- Dificultades: Prácticamente ninguna, al menos
desde el punto de vista matemático. Hay que tener
cuidado al identificar las caras de las cajas de fósforos y
al realizar bien la colocación de los pesos
posteriormente.
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4.5. Quinta sesión
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- Esta sesión de revisión es la última antes de la entrega del trabajo. No es necesario dedicar una
sesión de clase completa, normalmente con 20 minutos es suficiente. Se pregunta si hay dudas, se pide
que muestren el trabajo realizado y el profesor decide qué trabajos mostrar al resto de la clase para
indicar distintas posibilidades de presentación, o errores con los que hay que tener cuidado, o el
aspecto de algunas gráficas para que le sirvan de modelo y orientación al resto de los alumnos.
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Cajas de fósforos sin pesos
Cajas de fósforos con pesos
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- En este momento el alumnado ya ha trabajo sobradamente para abordar con total autonomía la
última investigación, en la que deben incluso inventarse el experimento aleatorio. Los mayores
«errores» se producen porque algunos alumnos no eligen experimentos que verdaderamente necesiten
de la Ley de los Grandes Números, sino que pueden abordarse usando simplemente la Regla de
Laplace. Otra circunstancia que se da en algunas ocasiones es la elección de experimentos nada
originales: tirar monedas o dados, por ejemplo. Estos son algunos de los experimentos estudiados por
algunos alumnos (copiamos lo escrito literalmente, con todas las erratas y errores). Se puede observar
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
originalidad y buen hacer, pero también todo lo contrario, en particular los que aplican la Ley de los
«grandes» Números con solamente 10 o 50 ocurrencias:
- Mi experimento consiste en saber que probabilidad de cuál es el último número de los
números de teléfono de un pueblo fijándome en una hoja al azar de las páginas blancas. El espacio
muestral del experimento es el siguiente: E {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
- En la investigación número 4 hallaremos la probabilidad de que en un viaje veamos un coche
asiático, europeo o americano. E = {europeo, americano, asiático}
- El juego consiste en darle vueltas a una botella encima de una mesa, entre cuatro jugadores y
mirar dónde se queda la tapa. Hice 100 lanzamientos en 5 tandas de 20.
- De un paquete de pipas, saber cuantas de ellas están podridas. La media de pipas en cada
paquete son 70. Se utilizarán 100 paquetes de pipas para tener bastantes resultados para la
investigación.
- Cogiendo un globo terráqueo y cerrando los ojos hacemos girarlo y señalamos con el dedo
índice un lugar al azar. Los sucesos elementales se dividen en sacar tierra o agua. Hacemos girar el
globo 50 veces y anotamos los resultados.
- Y no se pierdan el último que hemos seleccionado: Cogemos un gato y lo tiramos por una
ventana que hasta situada a una altura de 2 metros. Para realizar este experimento hemos cogido el
gato de Leo y lo hemos tirado de espalda (boca arriba) y hemos anotado las veces en las que el gato
ha caído de pie. En las 10 ocasiones el gato impresionantemente ha caído de pie dándose la vuelta
rápidamente esto es lo que se llama un suceso seguro.
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- Para la evaluación y calificación hemos elaborado una plantilla (anexo 5) en la que se recogen
todos los aspectos evaluables. Ahí figuran tanto los distintos apartados del informe, como la
valoración del estado del trabajo en las revisiones intermedias y la puntualidad en la entrega final.
- Esta hoja de valoración del proyecto se presenta desde el principio al alumnado, pudiendo
dejarles una copia o no, a juicio del profesor. Es importante que vean desde el principio cuáles son los
aspectos que se van a valorar, incluidos los «intangibles»: revisiones intermedias, puntualidad,
limpieza y presentación, etc.
- Se incluyen dos columnas de «calificación» que permiten combinar las anotaciones del
profesor con la calificación que los propios equipos de trabajo decidan asignarse, o la que unos
equipos le otorguen a otros.
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5. Evaluación
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6. Un reto pendiente
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- El reto que tenemos pendiente es proponer este problema a nuestros alumnos y ser capaces de
guiarles para que diseñen un plan que les conduzca a contestar la pregunta de una forma científica. Al
alumnado les planteamos la cuestión del siguiente modo:
«Claramente, al tirar la pieza cilíndrica siguiente hay mayor probabilidad de que
caiga sobre una de las bases del cilindro, como muestra la figura siguiente. Es lo
que ocurre, por ejemplo, con una moneda.
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- A partir de las actividades descritas (que han ido variando a lo largo de los años) nos hemos
planteado la siguiente pregunta, que aún tenemos sin contestar:
«¿Qué altura debe tener un cilindro para que la probabilidad de que caiga sobre
una base o que caiga ‘acostado’ sea la misma, es decir, 0.5?»
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Sin embargo, si aumentamos la altura del cilindro lo suficiente, es evidente que la
probabilidad de que el cilindro caiga de lado es mucho mayor:
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Por lógica, intuimos que habrá un tamaño ‘intermedio’ de la altura del cilindro en
el que la probabilidad de que caiga ‘de pie’ y de que caiga ‘acostado’ será igual,
es decir, 0.5 en ambos casos. ¿Qué podemos hacer para conseguir determinar con
la mayor exactitud posible cuál es esa altura?»
- El plan de trabajo que nos gustaría que surgiera del trabajo y de la discusión común, con las
aportaciones de todos, debería ser similar a éste:
1. Disponer de varillas cilíndricas de madera o tuberías de PVC que nos permitan cortar
cilindros de varios tamaños (pero todos con la misma medida de la base).
2. Cortar algunos (tantos como se pueda) cilindros de varias alturas diferentes. Hay que
garantizar que los cilindros quedan exactamente iguales.
3. Tirar muchas veces los cilindros de cada uno de los tamaños (cuantas más, mejor), para saber
la probabilidad a posteriori de cada tamaño de cilindro. Aquí se aplica la Ley de los Grandes
Números.
4. Hacer una gráfica con los resultados obtenidos.
5. Estimar el «punto de equilibrio», es decir, el que nos da lo que buscamos: P(caer de pie) =
P(caer de lado) = 0,5.
Esta estimación se puede hacer, en principio, de dos maneras: (a) gráficamente, «a ojo»; (b)
obteniendo una función a partir de los puntos dibujados en la gráfica (aproximación cuadrática
u otra1).
6. Cortar varios cilindros del tamaño estimado en el punto anterior y comprobar empíricamente
que efectivamente hemos acertado en nuestras predicciones.
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Una forma bastante sencilla de hacerlo es con una hoja de cálculo. Se introducen los valores de las
probabilidades experimentadas, se dibujan los puntos en un gráfico de dispersión y se pide un ajuste lineal,
cuadrático, polinómico, exponencial, etc.
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Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
- El trabajo puede terminar con el diseño del plan, o podemos ir más allá y ejecutarlo. O quizá
nos sorprendan nuestros alumnos y encuentren otra manera más eficiente de resolver nuestro reto
pendiente.
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C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
La realización de auténticos trabajos de investigación es muy poco frecuente en el aula, no
solamente en la clase de Matemáticas, sino en cualquier materia. Generalmente al alumnado se le
ofrecen pocas pautas que seguir y presuponemos una autonomía que en absoluto es fácil adquirir sin
una enseñanza ad hoc. Las primeras versiones de esta experiencia, realizadas hace ya varios años, nos
ofrecieron resultados bastante pobres, que nosotros achacamos a la inexperiencia del alumnado y a la
falta de guía por parte nuestra. En los dos últimos cursos el cambio ha sido notable y nos sentimos
satisfechos de los resultados obtenidos. El alumnado comprende bien en qué consiste investigar:
hacerse preguntas, establecer hipótesis, diseñar experimentos en los que comprobar el cumplimiento
de esas hipótesis, buscar las condiciones adecuadas para llevarlos a cabo, realizar una toma de datos
correcta y eficiente, trabajar con los datos obtenidos, contrastar los resultados con otros experimentos
similares, modificar los experimentos para estudiar los efectos de la modificación, etc.
Los aprendizajes adquiridos al realizar esta actividad van más allá de los contenidos
matemáticos que aporta. Se consolida la noción de probabilidad (en particular de la probabilidad a
posteriori) y de los juegos justos, y además se interioriza que una verdadera investigación necesita
paciencia, bastante tiempo y rigurosidad en el trabajo, algo que apenas está presente en los currículos
escolares. Solamente por esto merece la pena.
Además, se sientan algunas bases importantes para desarrollar una visión crítica de aspectos
sociales diversos: el funcionamiento de los juegos de azar institucionales, la eficacia de determinados
medicamentos o el control de calidad de algunos procesos de fabricación.
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nosotros no hubiéramos podido aportar cuando teníamos 15 años.
Bibliografía
Grupo Cero (1982). Matemáticas de bachillerato, curso 1. Barcelona: Teide.
Frías Ruiz, V. y otros (1995). 3.º Matemáticas. Secundaria. Zaragoza: Edelvives.
Direcció General d’Economia. Govern de les Illes Balears (2000). Datos y dados. Cómic hacia la
estadística con probabilidad 0,95 de serlo. Palma de Mallorca. Disponible en
http://ibestat.caib.es/ibfiles/DIDcast.pdf
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que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento
humano.), o quizá incluso podrían contestar a las preguntas de Bertrand Russell ( ¿Cómo osamos hablar
de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?) con unos argumentos que seguro que
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Algunos alumnos disfrutaron mucho, a pesar del esfuerzo y del tiempo empleado en ello y,
acaso, terminaron dándole la razón a Pierre Simon de Laplace (Es un hecho destacable que una ciencia
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U
7. Conclusiones
Carlos Duque Gómez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor de Enseñanza Secundaria
(Matemáticas).
Eva M.ª Quintero Núñez, IES Tomás de Iriarte, Santa Cruz de Tenerife. Profesora de Enseñanza
Secundaria (Matemáticas).
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Vol. 87
noviembre de 2012
NÚM E R OS
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
E
Anexo 1 – Guía de trabajo para el alumnado (1.ª parte)
X
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
P
(Guía del proyecto de investigación)
Texto 1: Cómo asignar probabilidades – La ruleta
□
Texto 2: Frecuencia relativa y probabilidad
□
Texto 3: Dados y datos
R
□
E
Para comenzar el proyecto, debes leer los tres textos que te proponemos:
I
Es importante que realices una lectura detenida y que comprendas bien los contenidos que se incluyen en ellos,
consolidándolos con la realización de los ejercicios que se proponen en cada uno. Ello te permitirá disponer de
unos conocimientos y una visión de conjunto que te será muy útil para abordar el proyecto que te proponemos.
E
Una vez que hayas leído y comprendido los textos, y realizadas las actividades propuestas en ellos, continúa con
las siguientes:
N
UN DADO EXTRAÑO
C
Después de lanzar mil veces este dado, se han obtenido los siguientes resultados:
1
482
2
146
3
230
4
80
5
55
6
7
I
Cara del dado
Frecuencia absoluta
A
a) Calcula la probabilidad de que salga cada una de las caras del dado.
S
b) ¿Qué crees que pasaría si tuvieras que jugar al parchís con ese dado? Recuerda qué pasa con el 5 y con
el 6 al jugar al parchís. Esfuérzate en redactar bien tus conclusiones.
CHUPETES DE KOJAK Y CALCETINES
E
b) El departamento de control técnico de una fábrica textil ha descubierto 50 pares de calcetines
defectuosos entre 900. ¿Cuál es la frecuencia relativa de pares de calcetines defectuosos? ¿Cuál es la
probabilidad de que un par de calcetines de esa fábrica sea defectuoso? (Contesta a las preguntas
añadiendo las explicaciones que consideres oportunas).
D
a) En una caja hay 60 chupetes de Kojak, y seis de ellos han perdido el palo. ¿Cuál es la probabilidad de
que al sacar un chupete de la caja, éste tenga palo?
A
U
L
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2012
165
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
INVESTIGACIÓN NÚMERO UNO: CHINCHETAS
L
Vas a calcular cuál es la probabilidad de que una chincheta caiga con el clavo hacia abajo utilizando la Ley de los
Grandes Números. Para ello:
a) Tira la chincheta al menos 1000 veces. Hazlo en series de 10 ó 20 ó 50… ó 100.
U
A
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
b) Anota los resultados en una tabla. Calcula las frecuencias relativas acumuladas cada 50 o 100
chinchetas. Puedes usar la tabla del texto 2 como modelo, u otra que tú diseñes para ello.
Haz una gráfica en la que se vea la tendencia de la frecuencia relativa de «caer con el clavo hacia abajo» a
medida que aumenta el número de tiradas. Puedes usar como modelo la gráfica que aparece en el texto 2.
d) Determina la probabilidad de los dos resultados posibles del experimento «Tirar una chincheta y ver en
qué posición cae»: «con el clavo hacia abajo» y «con el clavo hacia arriba».
INVESTIGACIÓN NÚMERO DOS: TAPA DE UN BOTELLÍN DE AGUA
¿Te atreves a diseñar y realizar una investigación similar para
determinar la probabilidad de cada una de las posiciones en las
que puede caer una tapa de un botellín de agua? Piensa si la forma
en que tiras las tapas puede influir en su posición final.
Experimenta tirando la mitad de las veces (al menos 500) de una
manera (altura, fuerza, posición inicial, etc.) y la otra mitad de las
veces de otra forma distinta.
Sigue los mismos cuatro apartados de la investigación número 1. Explica bien todo lo que hagas.
PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Ahora que ya conocemos la probabilidad de que una chincheta caiga con el clavo hacia abajo y de que la tapa del
botellín de agua caiga boca arriba, cada una por separado, ¿qué pasará si el experimento aleatorio consiste en
tirar chinchetas y tapas juntas?
C
I
A
S
D
E
A
c)
a) Tiramos una chincheta y una tapa. Determina la probabilidad de que caiga la tapa boca arriba y la
chincheta con el clavo hacia abajo.
E
I
c)
¿Será necesario realizar estos experimentos miles de veces para determinar las probabilidades? ¿Crees que un
diagrama de árbol puede ayudarte a resolver las cuestiones anteriores?
JUEGO JUSTO O EQUILIBRADO
Ya has visto en clase lo que es un juego justo o equilibrado desde el punto de vista probabilístico. Lee el texto
Juegos justos y equilibrados y luego realiza la siguiente actividad:
Considera el experimento aleatorio «Tirar dos chinchetas y una tapa».
a) Determina el espacio muestral.
P
E
Tiramos tres chinchetas y 2 tapas. Determina la probabilidad de que caigan dos chinchetas con el clavo
hacia abajo y una de las tapas boca arriba.
R
N
b) Tiramos dos chinchetas y dos tapas. Determina la probabilidad de que caigan las dos chinchetas con el
clavo hacia arriba y las dos tapas boca abajo.
X
b) Determina, basándote en tus resultados anteriores, las probabilidades de cada uno de los sucesos
elementales.
E
c)
166
Dos amigos deciden divertirse con este juego poniendo dinero. Alfonso apuesta a que sale todo boca
arriba (las dos chinchetas con el clavo hacia arriba y la tapa boca arriba) y Fátima apuesta a que la tapa
cae boca abajo y las chinchetas una con el clavo hacia arriba y otra hacia abajo. ¿Cuánto debe apostar
cada uno si quieren que el juego sea justo?
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NÚM E R OS
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
E
Anexo 2 – Guía de trabajo para el alumnado (2.ª parte)
X
INVESTIGACIÓN NÚMERO TRES: LA CAJA DE FÓSFOROS
Una caja de fósforos tiene forma de prisma rectangular, así que tiene seis caras. Pero, a diferencia de un dado
equilibrado, los lados de la caja de fósforos no son equiprobables si la lanzamos de la misma forma que un dado.
Consigue algunas cajas de fósforos iguales (uno o dos paquetes de 10 cajitas recién comprados sería
ideal).
c)
g) Representa las probabilidades en un diagrama de barras y un diagrama de sectores.
E
Ahora vamos a modificar las cajas para conseguir que las probabilidades de las caras cambien. Pondremos un
peso de plastilina en el cajetín interior, junto al borde de la cara que tiene menor superficie. Es importante poner
la misma cantidad de plastilina (es decir, el mismo peso) en todas las cajas, y en el mismo lugar.
D
h) Contrasta los resultados obtenidos con tu previsión. ¿Has acertado en el orden de mayor a menor
probabilidad? ¿Qué diferencia hay entre la probabilidad que intuiste para cada cara y la que realmente
has obtenido después de realizar el experimento? Escribe el resultado de la comparación e intenta
justificar por qué unas caras tienen más probabilidad que otras. ¿Hay algunas caras que tienen la
misma probabilidad?
S
Aplica ahora la Ley de los grandes números: calcula la frecuencia relativa de cada una de las caras y
determina su probabilidad a posteriori.
A
f)
I
Prepara una planilla para la recogida de datos. Vamos a tirar las cajas como si fueran dados y anotar
cuántas veces queda cada una de las caras en la parte superior. Ten en cuenta que hay que anotar los
resultados de las 6 caras. Cuantas más cajas iguales tengas, mejor, pues antes conseguirás hacer un
número elevado de lanzamientos (al menos 1000).
C
e)
N
d) Asigna intuitivamente, sin realizar ningún lanzamiento, una probabilidad a cada una de las caras, según
tu intuición. Recuerda que cada probabilidad debe ser un número entre …… y ……, y que la
probabilidad de todas las caras debe sumar ……… Más tarde vamos a comprobar cuánto te has
acercado a la probabilidad real.
E
Obsérvalas detenidamente y fíjate dónde hay doble cartón. Ordena las caras de mayor a menor
probabilidad, según tu intuición. Márcalas consecutivamente con una letra (A, B, C, D, E, F) o un
número (1, 2, 3, 4, 5, 6), por ejemplo. Es importantísimo que todas las cajas estén marcadas igual. Por
ejemplo todas las caras que tengan la letra E tienen que ser la misma cara de cada caja. Para ello, fíjate
en dónde están los dobles cartones y qué caras quedan a la derecha y la izquierda de las demás.
I
b) Vacíalas y asegúrate de que las cajas están en buenas condiciones, sin irregularidades ni machucones.
R
a)
E
No solamente las caras tienen distinta superficie, sino que tienen distinto peso, pues algunas tienen doble capa de
cartón. Vamos a organizar el trabajo:
P
Las chinchetas sólo tienen dos posibilidades al caer. Las tapas de botellines de agua también, o quizá tres
(algunas se sostienen de lado). Vamos a investigar un caso con más posibilidades.
Repite ahora, con las cajas modificadas, los apartados d) hasta g).
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
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167
A
Debes definir bien el objeto o la situación que vas a investigar y redactar correctamente y con precisión en
qué consiste el experimento aleatorio y cuáles son los posibles resultados. Determina el espacio muestral,
L
Ahora es el momento de dejar volar tu imaginación. Busca un objeto o una situación, diferente de las que has
estudiado hasta ahora e investígala de la misma manera: ¡aplicando la Ley de los Grandes Números!
U
INVESTIGACIÓN NÚMERO CUATRO: ¿¿¿…???
A
Por último, compara los resultados obtenidos antes y después de modificar la caja con el peso de plastilina.
Redacta tus conclusiones. Incluye en esa redacción al menos una tabla con los datos que estás comparando y
alguna gráfica. Esfuérzate en hacer una redacción razonada, donde cada afirmación que hagas tenga su
justificación.
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
enumerando todos sus elementos (los sucesos elementales).
A continuación, realiza el experimento aleatorio correspondiente, o bien observa la situación un número
suficientemente grande de veces. Prepara una plantilla adecuada para anotar los datos de tus observaciones de
forma ordenada. Incluye esta planilla en tu “informe final”.
Finalmente, determina las probabilidades de los distintos resultados posibles observados, basándote en las
frecuencias relativas, es decir en la Ley de los Grandes Números.
Ilustra tu investigación con una o más gráficas. Te puede servir de modelo la gráfica del texto número 2 (que ya
has utilizado en las investigaciones anteriores de este proyecto), pero también puedes hacer otras diferentes.
Incluye todo lo que has hecho y tus deducciones finales en un “informe”, que debe incluir:
D
E
A
U
L
A
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
-
Descripción de la situación que has investigado.
-
Determinación del espacio muestral.
-
Datos obtenidos de la realización del experimento un número suficientemente grande de veces.
-
Probabilidades determinadas “a posteriori” de los sucesos elementales de tu experimento.
-
Tabla(s) y gráfica(s).
Portada, título y miembros del equipo de trabajo.
2.
Índice.
3.
Introducción: Incluye aquí en qué consiste el trabajo, qué conceptos y experiencias de “probabilidad” se
van a utilizar, qué objetivos esperas conseguir…
4.
Respuestas a las actividades «Un dado extraño» y «Chupetes de Kojak y calcetines».
5.
Investigación número 1: Tabla(s) de datos, gráfica(s), determinación de las probabilidades…
6.
Investigación número 2: Tabla(s) de datos, gráfica(s), determinación de las probabilidades… No olvides
las explicaciones.
N
7.
Probabilidad en experimentos compuestos: Soluciones a las cuestiones a), b) y c), con su
correspondiente esquema (diagrama de árbol u otro) y las explicaciones oportunas.
8.
Juego justo o equilibrado: Soluciones a las cuestiones a), b) y c), con sus correspondientes
explicaciones, tablas, cálculos, gráficas, esquemas… lo que consideres necesario.
9.
Investigación número 3: Descripción del experimento aleatorio y de los sucesos elementales, asignación
intuitiva de probabilidades, realización del experimento (planilla de recogida de datos, tabla(s),
gráfica(s), resultados), determinación de las probabilidades a posteriori, comparación con las
probabilidades asignadas intuitivamente; introducción de pesos en las cajas, y de nuevo: asignación
intuitiva de probabilidades, realización del experimento (planilla de recogida de datos, tabla(s),
gráfica(s), resultados), determinación de las probabilidades a posteriori, comparación con las
probabilidades asignadas intuitivamente
10. Investigación número 4: Descripción de la situación, Espacio muestral, planilla de recogida de datos,
resultados obtenidos, tabla(s) y gráfica(s), explicaciones y conclusiones.
11. Conclusiones finales y opinión personal (o del grupo):
a) ¿Cómo se ha organizado el trabajo? ¿Cómo ha funcionado el grupo? ¿Cómo han repartido las
tareas?...
X
P
E
R
C
I
A
1.
E
ESTRUCTURA DEL TRABAJO QUE DEBES PRESENTAR:
I
S
Anexo 3 – Guía de presentación del trabajo
E
b) ¿Qué grado de dificultad has encontrado en cada parte de este proyecto?
c) ¿Qué has aprendido al realizar este trabajo?
168
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NÚM E R OS
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
A continuación tienes algunos modelos que te servirán para diseñar las distintas páginas del trabajo final que
debes entregar:
E
ÍNDICE
X
UN DADO EXTRAÑO
Bla bla bla bla…
………
E
R
CHUPETES DE KOJAK Y CALC...
Bla bla bla bla…
………
I
Pepito Pérez
Juanita Rguez
Fulanito Menganítez
Introducción ……
Actividades texto 2 ……
Actividades texto 3 ……
Un dado extraño ……
Chupetes de Kojak y calcetines ……
Investigación: Las chinchetas ……
Investigación: Tapas de ……
……
……
……
Conclusiones finales
P
Título del trabajo
INTRODUCCIÓN
Bla bla bla bla…
………
E
PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS
COMPUESTOS
I
b) Tiramos dos chin…
Bla bla bla bla…
(Las investigaciones número 2, 3 y 4
seguirán un modelo similar a la
investigación número uno, teniendo en
cuenta que deben llevar más comentarios
y explicaciones, ya que están “menos
dirigidas”)
C
a) Tiramos una chincheta y una tapa.
Determina la…
N
INVESTIGACIÓN NÚMERO UNO
Bla bla bla bla…
………
c) Tiramos tres chin…
A
Bla bla bla bla…
………
S
JUEGO JUSTO O EQUILIBRADO
a) Determina el…
b) Determina, basándote en…
c) Dos amigos deciden…
D
E
CONCLUSIONES FINALES
Bla bla bla bla…
A
Bla bla bla bla…
Bla bla bla bla…
U
………
L
A
OPINIÓN PERSONAL
Bla bla bla bla…
Bla bla bla bla…
Bla bla bla bla…
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2012
169
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
Anexo 4 – Textos usados en la actividad
TEXTO 1 (Grupo Cero, 1982):
¿CÓMO ASIGNAR PROBABILIDADES?
La noción de probabilidad está íntimamente ligada al propósito de hacer previsiones, de pronosticar lo que puede
ocurrir en el futuro utilizando los conocimientos de que se dispone sobre situaciones pasadas o presentes.
A
b) O bien en el conocimiento de la frecuencia relativa con que el suceso se ha presentado en anteriores
ocasiones. La probabilidad asignada así se suele llamar a posteriori o probabilidad estadística.
Si nos preguntasen, pongamos por caso, cuál es la probabilidad de que un recién nacido sea zurdo, ¿cómo
asignaríamos esa probabilidad: basándonos en frecuencias relativas o en simetría? ¿Tú qué crees?
O bien en una simetría o regularidad existente en el experimento y conocida de antemano. (Esa simetría
previa es la que se supone en un dado perfectamente construido, en una baraja normal, en una ruleta
nivelada a la perfección, etc.). En virtud de ella decimos, por ejemplo, que los sucesos «sale el as de
oros» o «sale el rey de espadas» son igualmente probables (o equiprobables). La probabilidad asignada
así se suele llamar a priori.
Lo más común es que en las situaciones o problemas a tratar no quepa pensar en ningún tipo de regularidad
previa, sino que las decisiones a tomar estarán justificadas por el estudio detallado de datos, que pueden estar ya
disponibles o puede que hayan de ser recogidos a la vista del problema que vayamos a resolver.
LA RULETA
Hemos indicado dos formas de asignar una probabilidad a un suceso, una basada en consideraciones de simetría
y otra en las frecuencias relativas. Al hablar de las simetrías podemos indicar como ejemplos el dado, la baraja o
la ruleta. Pero incluso en situaciones como la de la ruleta, ¿cómo podemos asegurar que la ruleta no presenta una
inclinación, un sesgo?
Si la mesa está perfectamente equilibrada y nivelada, la probabilidad de que la bola caiga en un número
determinado es 1/37; pero no será así si la mesa está desequilibrada. Es sabido que muchos jugadores
profesionales se colocan días y días junto a una mesa de ruleta haciendo observaciones a la espera de encontrar
ese desequilibrio. El cuaderno de anotaciones de uno de esos jugadores, anotaciones referidas siempre a una
misma mesa, muestra como resumen de sus 6 000 observaciones esta tabla:
Sale el nº de veces
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
E
X
P
E
R
I
E
N
C
I
A
S
a)
E
Estas previsiones, o dicho de otro modo, el número que puede asignarse como probabilidad de un suceso puede
fundamentarse:
D
U
L
A
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
160
162
167
155
164
162
201
195
163
156
164
165
149
190
160
149
162
165
150
frecuencia
frecuencia
Sale el nº de veces
relativa
relativa
0,0266
19
154
0,0256
0,0270
20
145
0,0241
0,0278
21
163
0,0271
0,0258
22
152
0,0253
0,0273
23
159
0,0265
0,0270
24
160
0,0266
0,0335
25
139
0,0231
0,0325
26
148
0,0246
0,0271
27
175
0,0291
0,0260
28
170
0,0283
0,0273
29
168
0,0280
0,0275
30
158
0,0263
0,0248
31
157
0,0261
0,0316
32
150
0,0250
0,0266
33
153
0,0255
0,0248
34
187
0,0311
0,0270
35
153
0,0255
0,0275
36
170
0,0283
0,0250
Con estos datos, el jugador puede pensar que:
a) La mesa no está nivelada, sino que tiene caída hacia la zona de los números 34, 6, 27, 13, 36.
b) La mesa está nivelada y las diferencias que se observan en la tabla son debidas al azar.
170
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NÚM E R OS
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
N
C
I
A
S
Jaggers comprendió rápidamente lo que ocurría y con muy buen tino dejó de jugar; sin embargo se llevó más de
un millón de ganancia.
E
El problema iba haciéndose angustioso para el casino, porque Jaggers no hacía nada ilegal. Envió a uno de los
directores a Estrasburgo, a la casa del fabricante de ruletas para pedirle consejo. Éste sugirió que cada día
cambiase las separaciones entre los agujeros de la ruleta: las desigualdades de estas separaciones habrían de
compensar las de la ruleta misma.
I
El director de casino hizo entonces anotar los números a los cuales apostaba Jaggers, y una noche, después de
cerrar las salas, comprobó que jugando a esos números se ganaba rápidamente. Hizo cambiar entonces la ruleta
de mesa y al día siguiente Jaggers comenzó a perder; comprendió bastante pronto la maniobra de la dirección y,
cesando de jugar, se dio una vuelta por la sala de juego. Por algunos defectos imperceptibles, su vista ejercitada
le permitió descubrir «su» ruleta: comenzó a jugar de nuevo y a ganar.
R
En cuatro días ganó dos millones cuatrocientos mil francos (francos de 1900, claro), convirtiéndose de golpe y
porrazo en objeto de la atención general. La dirección del casino perdió más, porque numerosos jugadores
comenzaron a apostar como Jaggers; se sospechó que hacía trampas, se le vigiló con tanto cuidado como
asiduidad, pero todo fue en vano.
E
Durante más de un mes, con la ayuda de varios amigos, anotó los números que salían en todas las mesas del
casino de Montecarlo; por el examen atento de estas listas, Jaggers observó que en una de las mesas ciertos
números parecían salir con una frecuencia anormal: sólo faltaba pasar a la acción.
P
Un ingeniero escocés llamado William Jaggers había examinado con mucho cuidado la forma en que la ruleta
estaba construida: observó que el pivote estaba constituido por un cilindro de acero que tenía en su parte superior
una concavidad dentro de la cual se encontraba una clavija. Un desgaste imperceptible de esta clavija
desequilibraba la ruleta y debido a esto se rompe la igualdad de la probabilidad de los distintos números.
X
Pero su estrategia de juego dependerá de si adopta la respuesta a) o la b), porque en el segundo caso le será
indiferente apostar a tal o cual número, mientras que en el primero apostará al número 6, ya que le parecerá
natural pensar que P(6) = 0,0335, que es el número preferido por la frecuencia relativa; o con una perspectiva
más amplia apostará a los números 34, 6, 27, 13, 36, que son los de la zona que ha mostrado más frecuencia
relativa. Si un jugador descubre ese desequilibrio, las consecuencias para los propietarios del casino en cuestión
pueden ser funestas. Uno de esos casos ocurrió en el casino de Montecarlo a principios del siglo XX.
E
Y tiene razones para defender ambas posiciones, pues es posible que salga, por ejemplo, el número 2 muchas
veces seguidas, aunque es muy improbable.
TEXTO 2:
FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Frecuencia relativa del 5
L
Frecuencia absoluta del 5
14
30
52
65
77
91
109
132
150
169
U
N.° de lanzamientos
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
A
En una experiencia real hemos lanzado un dado no trucado hasta en mil ocasiones. En la siguiente tabla podemos
observar el número de veces que se ha obtenido el 5:
E
Por ello, sabemos que en el lanzamiento de una moneda no trucada se obtiene, de manera aproximada, la mitad
de caras y la mitad de cruces. Ocurrirá algo semejante si la experiencia consistiese en el lanzamiento de un dado
no trucado: aproximadamente, en una de cada seis tiradas se obtendría una cara diferente.
D
Sabiendo que todos los posibles resultados de un experimento aleatorio son igual de probables, es fácil pensar
que las frecuencias relativas de cada uno de ellos lleguen a tener el mismo valor una vez que se incremente el
número de veces que se realiza la experiencia.
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171
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
a) Completa la tabla con el cálculo de las frecuencias relativas.
L
P(A) = P(“salir 5”) =
La gráfica que mostramos a continuación refleja la variación de la frecuencia relativa del suceso «salir 5» a
medida que de incrementan el número de lanzamientos del dado. Asegúrate de comprender e interpretar bien el
gráfico.
1
= 0,1666... ≈ 17%
6
La Regla de Laplace establece el cálculo de las
probabilidades cuando trabajamos con un experimento
aleatorio donde todos los sucesos elementales son
equiprobables. Sin embargo, cuando en un
experimento no todos los sucesos elementales tienen la
misma probabilidad de ocurrir, sólo se podrá
determinar ésta realizando un elevado número de
pruebas u observaciones.
Este procedimiento es el que se utiliza, por ejemplo,
para determinar la probabilidad de que un jugador de
fútbol meta un penalti, o la probabilidad de contraer
una determinada enfermedad cuando se reside en una
ciudad concreta, o la probabilidad de encontrar trabajo
al estudiar una determinada carrera universitaria, o la probabilidad de éxito de una operación en cirugía, o la
probabilidad de que llueva en el mes de julio en un cierto lugar, etc.
b) Encuentra otros tres ejemplos en lo que la probabilidad sólo pueda determinarse después de realizadas
muchas observaciones.
TEXTO 3: Cómic: Datos y dados. (Direcció General d’Economia. Govern de les Illes Balears, 2000. Pp 11-14).
El tercer texto que usamos en el desarrollo de esta actividad es parte de un cómic editado en el año 2000
por el Institut Balear d’Estadística (http://ibestat.caib.es/ibestat/inici), que depende de la Dirección General de
Economía del Gobierno Autónomo. Han editado tres cómics, todos ellos disponibles gratuitamente, en formato
pdf, a través de la web. El texto que les proponemos son cuatro páginas (de la 11 a la 14) del primero de los tres
cómics y forman parte de su primer capítulo, dedicado a Pierre de Fermat. En él se hace referencia a la relación
entre estadística y probabilidad, sus inicios en el estudio de los juegos de azar, se fundamenta la Ley de los
Grandes Números y se proponen un par de ejercicios sencillos (tirar monedas y dados). En la bibliografía se
puede encontrar el enlace para descargar directamente este cócmic.
E
X
P
E
R
I
E
N
C
I
A
S
D
E
De esta forma, si denominamos A al suceso «salir 5», podemos escribir:
U
En la experiencia que acabamos de ver se observa que según avanzamos en la tabla, la frecuencia relativa del 5
tiende a estabilizarse en torno a un número que denominamos probabilidad.
A
A
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
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NÚM E R OS
Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
E
TEXTO 4:
JUEGOS JUSTOS Y EQUILIBRADOS2
E
P( perder ) 
I
2
 0,20  20%
10
R
P( ganar ) 
E
Por ejemplo, en el caso de que hagamos una extracción de una bola al azar de una urna que contiene 2
bolas blancas y 8 negras, si apostamos porque dicha bola extraída sea blanca, tenemos:
P
Para que en un juego no exista ventaja para nadie, es decir, lo que llamamos un juego justo o
equilibrado, ha de verificarse que si la probabilidad de perder es n veces superior a la de ganar, entonces por
cada euro que apostemos debemos recibir n euros en el caso de que ganemos.
X
En los distintos juegos de azar que existen en nuestro país (loterías, quinielas, sorteo de la ONCE, bingos,
máquinas “tragaperras”, ruleta, etc.), bien sean gestionados por el Estado o por otros estamentos, el jugador que
participa lo hace con una clara desventaja, pues tanto unos como otros se quedan de entrada con un notable
porcentaje de la recaudación que se destina en parte al mantenimiento de la infraestructura del juego, y el resto al
pago de impuestos, en el caso de empresas privadas, y a obras sociales y otros fines en el caso del Estado.
8
 0,80  80%
10
A
S
D
E
Si el juego es plenamente aleatorio (loterías, ONCE, bingos, ruleta…) no existe ningún método que nos
asegure ganar. Jugamos con una cierta probabilidad de ganar que no podemos aumentar de ningún modo, por lo
que siempre jugaremos en desventaja, debido a que esos juegos citados no son justos o equilibrados.
Evidentemente, eso no nos indica que en determinados momentos no podamos ganar y en algunos casos mucho,
a pesar de la injusticia del juego.
I
Con más motivo, en otros juegos aleatorios sólo en parte y que no existe desventaja inicial, como puede
ser una partida de póquer entre amigos, siempre existirá ventaja para aquél que sepa aprovechar la parte no
aleatoria del juego, en base a su inteligencia, psicología, decisión, etc.
C
Esto no ocurre evidentemente en los juegos anteriores organizados por el Estado, empresas privadas o
casinos, en los que siempre existe ventaja para dichos estamentos. En los juegos que no son puramente
aleatorios, como el de las quinielas futbolísticas, el apostante puede compensar esa desventaja a base de estudiar
las características de los equipos, la influencia del factor campo, así como aplicar métodos y estrategias que
puedan conseguir inclinar la balanza a su favor. Existen peñas futbolísticas que demuestran, temporada tras
temporada, que se puede convertir la desventaja inicial en ventaja en ese juego.
N
Como la probabilidad de perder es 4 veces superior a la de ganar, para que el juego sea justo o
equilibrado, por cada euro apostado deben darnos 4 euros, además del apostado, en el caso de que saliese una
bola blanca.
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2012
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Este texto es parte de un documento alojado en la web de la Consejería de Educación, Cultura y Universidades
de la Región de Murcia. No figura quién es su autor, ni sabemos dentro de qué apartado de la web se encuentra.
El documento completo (dos páginas en formato pdf) se puede obtener aquí:
http://servicios.educarm.es/templates/portal/images/ficheros/etapasEducativas/secundaria/3/secciones/373/conte
nidos/9286/juegos.pdf
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Chinchetas, tapas de botella, fósforos, plastilina y apuestas
Anexo 5 – Plantilla para la evaluación y calificación del trabajo realizado
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C. Duque Gómez y E. M.ª Quintero Núñez
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Vol. 87
noviembre de 2012
NÚM E R OS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 175-176
El enigma de Fermat
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Albert Violant
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Tres siglos de desafío a la Matemática
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EDITORIAL RBA
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151 páginas
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ISBN: 978-84-986-7915- 1
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Colección: El mundo es matemático
Año 2010
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Las ternas pitagóricas son números enteros positivos x, y, z que se corresponden con las longitudes de los lados
de un triángulo rectángulo y por tanto verifican la relación x2+y2 = z2 (teorema de Pitágoras).
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“Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en
general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He
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Pierre de Fermat, un abogado del siglo XVII aficionado a las Matemáticas, mientras leía uno de
los problemas de la clásica Aritmética de Diofanto relacionado con las ternas pitagóricas1, propuso una
generalización del mismo en uno de los márgenes del libro:
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Probablemente uno de los teoremas más conocidos en la actualidad por el público no
matemático es el llamado “último teorema de Fermat”. Este resultado fue adquiriendo gran celebridad
a lo largo de los años, no tanto por el teorema en sí sino por la historia que hay detrás de su
demostración y las implicaciones que la misma ha tenido en varias ramas de las Matemáticas.
El enigma de Fermat. Tres siglos de desafío a la Matemática. Albert Violant
Reseña: Jorge García
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encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen de este libro es muy pequeño para
contenerla”.
Dicho de otro modo, la ecuación xn+yn = zn no admite soluciones enteras con x, y , z no nulos si
n es un número entero mayor que dos. La demostración a la que se refiere Fermat, si es que alguna vez
existió, nunca fue hallada y los esfuerzos de muchos matemáticos en los años posteriores hicieron de
este problema uno de los más famosos de las Matemáticas.
El objetivo del libro cuya reseña presentamos es introducir al lector a la historia de este teorema,
desde su planteamiento por Fermat, alrededor del año 1637, hasta su resolución definitiva por el
matemático inglés Andrew Wiles en 1995.
El capítulo 1 hace las veces de breve introducción al teorema y se nos presenta a Andrew Wiles
en 1993, a punto de contar por primera vez en público sus resultados. En el capítulo 2, argumentando
que las ternas pitagóricas eran conocidas incluso antes de los griegos, el autor analiza la presencia de
éstas en las culturas mesopotámica e india. Se presta especial atención, por un lado, al sistema de
numeración mesopotámico y al contenido de la célebre tablilla Plimpton 322 y por otro a la
matemática veda o védica, relacionada con la cultura india.
La vida y obra de Fermat se discuten en el capítulo 3. Sin embargo, exceptuando su novedosa
forma de calcular máximos y mínimos (precursora del cálculo diferencial) la descripción de sus logros
matemáticos es escasa2. El contenido matemático es mayor en el capítulo 4, donde se discute sobre los
Elementos de Euclides (en particular sobre los números perfectos y los primos de Mersenne) y la
Aritmética de Diofanto, que jugó un papel fundamental sobre Fermat y su enunciación del “último
teorema”. También se hace una discusión interesante sobre algunos problemas significativos de la
Aritmética.
La parte a priori más interesante del libro está contenida en el capítulo 5, en el que se describen
someramente los avances en la demostración del teorema, destacando en particular las demostraciones
de Sophie Germain y Ernst Kummer, en el siglo XIX. También se explica la conexión entre el teorema
de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura (a través de la llamada conjetura Épsilon). Finalmente,
en el capítulo 6 se retoma el papel de Wiles en esta historia, relatando la presentación en público de su
demostración de – parte de – la conjetura de Taniyama-Mishura en 1993, así como la detección de un
fallo en la misma, posteriormente corregido, con ayuda de Richard Taylor, en 1995.
Este libro resulta fácil de leer, puesto que las ideas matemáticas se describen a nivel muy
elemental. Sin embargo, encuentro que el autor se desvía en exceso de la línea argumental principal
(sirva como ejemplo el capítulo 2: aunque ciertamente interesante, es excesivamente largo en mi
opinión, teniendo en cuenta que es secundario para la historia del último teorema) y que algunas
explicaciones no son lo suficientemente claras. No es quizá la referencia más recomendable para una
introducción a este tema 3.
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Jorge García Melián (Universidad de La Laguna)
2
Referimos al libro divulgativo “Fermat. El mago de los números” de Blas Torrecillas Jover, editorial Nivola,
1999, para una descripción de estos logros a nivel elemental.
3
Es recomendable el libro de Simon Singh “El enigma de Fermat”, editorial Planeta, 2003.
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Vol. 87
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NÚM E R OS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 177-178
Congresos
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II ENCONTRO NACIONAL DE
PESQUISA
EM HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
II ENAPHE
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Fecha: Del 31 de Octubre al 2 de Noviembre de 2014
Lugar: Universidade Estadual Paulista (UNESP). Bauru. Brasil
Información: http://www2.fc.unesp.br
http://www2.fc.unesp.br/enaphem/index.php
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Fecha: 12, 13 y 14 de Noviembre de 2014
Lugar: Buenos Aires. Argentina
Información: http://www.oei.es/congreso2014/index.php
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“Avanzando juntos
hacia las Metas
Educativas
Iberoamericanas 2021”
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Fecha: 4 al 8 de Febrero de 2015
Lugar: Praga. República Checa
Información: http://www.cerme9.org/
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Fecha: Del 21 al 26 de Junio de 2015
Lugar: Portland. Oregon. USA
Convoca: Porland State University
Información: http://mescommunity.info./
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Fecha: Del 3 al 7 de Mayo del 2015
Lugar: Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México
Convoca: El Comité Interamericano de Educación Matemática
Información: http://xiv.ciaem-iacme.org/
Fecha: Del 19 al 26 de agosto de 2015
Lugar: Brest. Francia
Organiza: Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques (ARDM) de Francia
Información: http://www.ardm.eu/contenu/les-ecoles-d-ete
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http://www.sinewton.org/numeros
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A U T O R E S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
P A R A
1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]
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de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.
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también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.
 Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.
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el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.
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 Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de
texto (no enviarlas por separado).
 Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el
autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).
 Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New
York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de
colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.
Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios
propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado
que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.
N O R M A S
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, página 179