Radiactividad e Interacción de las Radiaciones con la Materia 1

Guía I: Radiactividad e Interacción
de las Radiaciones con la Materia
Cátedra de Medicina Nuclear (93) / Radioterapia y Radiodiagnóstico (08)
Facultad de Ingeniería, UNER
1.
1.1.
Introducción Teórica
Radiactividad Ley de decaimiento
En la naturaleza hay isótopos inestables y metaestables que pueden emitir espontáneamente partículas o fotones modicando la naturaleza o el estado de los núcleos. Este proceso de emisión se llama
desintegración radiactiva y el fenómeno, radiactividad.
La desintegración radiactiva responde a leyes
ternas.
estadísticas
y es
independiente
de las condiciones ex-
En una muestra de radioisótopo se producirán desintegraciones radiactivas según una tasa característica.
Se dene la constante de desintegración λ, como la probabilidad de que un núcleo se desintegre en la
unidad de tiempo. Se expresa con unidades de segundos−1 , minutos−1 , etc. λ identica unívocamente a
cada radionucleido.
En una muestra de material con N0 núcleos radiactivos en el instante t0 , se producirán desintegraciones
de modo que en un instante posterior t, la cantidad de núcleos sin decaer estará dada por la expresión:
N (t) = N0 · eλ·(t−t0 )
(1)
Esta expresión se conoce como Ley General de la Desintegración Radiactiva. Permite conocer el
número de núcleos radiactivos de una muestra presentes en el instante t, conociendo cuántos había en
algún instante to. Su forma sigue la Ley de Poisson para eventos estocásticos.
El período es una magnitud asociada a la tasa de desintegración de una sustancia radiactiva. También
es llamada indistintamente semiperíodo de desintegración o período de semidesintegración. El período
T 12 es el tiempo que debe transcurrir para que el número de núcleos inestables en una muestra se reduzca
a la mitad de su valor inicial:
N0
(2)
N (T 12 ) =
2
Si se reemplaza (2) en (1) se tiene la relación entre T 12 y λ:
T 12 =
ln 2
λ
(3)
El período se mide en unidades de tiempo. Su valor varía desde 10−10 seg hasta 1015 años.
En una muestra con material radiactivo se desintegran dN núcleos en el tiempo dt. El número de núcleos
que se desintegran en la unidad de tiempo es dN
dt . Esta tasa de desintegración se denomina actividad: A.
A=
1
dN
dt
(4)
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A partir de la expresión anterior es posible expresar la actividad en función del tiempo:
A = A0 · e−λ·(t−t0 )
(5)
dec
La actividad sigue también una ley exponencial. Se expresa en Becquerel (1[Bq] = 1[ seg
]) o en Curie
10
(1[Ci] = 3, 7 · 10 [Bq]).
Se denomina vida media, τ , al tiempo promedio en el que se desintegra cada núcleo de una muestra
radiactiva, a partir de un instante t0 = 0. Puede demostrarse que la vida media es el inverso de la
constante de desintegración, τ1 (ver problema 2).
La actividad especíca de una muestra de sustancia radiactiva es la actividad de dicha muestra por unidad
de masa:
A
Ae =
(6)
m
1.2.
Transformaciones radiactivas sucesivas
En la práctica habitual de radiodiagnóstico es deseable que los radioisótopos utilizados tengan semiperíodo
(T 21 ) corto (horas) para que la práctica sea ambulatoria y el paciente no permanezca emitiendo radiación
al nalizar el estudio. Esto implica el transporte de mayores dosis a grandes distancias. Una opción
es utilizar radioisótopos de decaimiento sucesivo en generadores por elusión (estudiaremos el caso
particular de radioisótopos madre con período mayor al del radioisótopo hija). En estos generadores, se
deposita una cantidad de radioisótopo que decae a su vez en otro radioisótopo también inestable, que es
el que se utiliza nalmente para realizar los estudios. En la actualidad, el más utilizado es el generador
de Molibdeno Tecnecio.
Figura 1: Generador de Tecnecio
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En muchos casos, al desintegrarse una sustancia radiactiva la especie nuclear que se produce es también
radiactiva. Se llama sustancia madre a la primera, sustancia hija a la segunda. A su vez, la hija también
puede generar una sustancia radiactiva, y así sucesivamente, formándose una cadena:
T
T
T
Tn−2
Tn−1
1
2
3
X1 −→
X2 −→
X3 −→
. . . −−−→ Xn−1 −−−→ Xn
(7)
En la cadena representada, la madre tiene un período T1 y la hija un período T2 , con T1 > T2 . La cadena
naliza cuando se origina un nucleido estable, Xn . La situación de la madre es de desintegración simple,
por lo que verica la ley de desintegración radiactiva, lo que se puede expresar como:
dN1
= −λ1 · N1 , de donde se obtiene N1 (t) = N1,0 · e−λ1 t
dt
(8)
Para X2 la evolución es más compleja. Por una parte, cada vez que se desintegra un núcleo de X1 , aparece
un núcleo de X2 , es decir que X2 aumenta a la misma tasa que se desintegra X1 (λ1 · N1 ). Por otra parte,
X2 es radiactiva y se desintegra con un ritmo dado por su propia constante de desintegración (−λ2 · N2 ).
Por lo tanto, la tasa de generación de la sustancia hija será el balance entre lo que se crea y lo que se
desintegra:
dN2
= λ1 · N1 − λ2 · N2
(9)
dt
El sistema de ecuaciones diferenciales resultantes queda así:
dN1
dt = −λ1 · N1
dN2
dt = +λ1 · N1 − λ2 · N2
N1 (0) = N1,0
N2 (0) = 0
Resolviendo el sistema se obtiene:
N1 (t)
=
N2 (t)
=
N1,0 · e−λ1 t
h
i
λ1
λ1
· N1,0 · e−λ1 t − e−λ2 t =
· N1 (t) · 1 − e(λ1 −λ2 )·t
λ2 − λ1
λ2 − λ1
(10)
(11)
La actividad se halla derivando ambas ecuaciones:
1.3.
A1 (t)
=
A2 (t)
=
−N1,0 λ1 e−λ1 t
λ1
· N1,0 · −λ1 e−λ1 t + λ2 e−λ2 t
λ2 − λ1
(12)
(13)
Interacción de la radiación ionizante con la materia
Cuando la radiación incide sobre un material blanco se producen dos efectos: ionización y excitación.
En el caso de la radiación ionizante, predomina el fenómeno de ionización. La forma de interacción de la
radiación con la materia depende de las características de la radiación incidente (carga, masa, energía) y
del material blanco (densidad, número atómico efectivo).
El aspecto principal de la interacción está dado por la carga de la radiación: si las partículas están
cargadas interviene la fuerza electrostática, lo que aumenta la probabilidad de interacción dada la atracción o repulsión de las partículas incidentes con núcleos o electrones del material blanco. En el caso de
partículas no cargadas (fotones o neutrones), la probabilidad de interacción sólo dependerá del choque
con núcleos o electrones del material blanco.
Otros factores que inuyen en la interacción son la energía, la masa y el tamaño de las partículas que
componen el haz incidente.
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1.3.1.
Interacción de partículas cargadas
Al incidir en el material blanco, las partículas cargadas pierden parte de su energía cinética en cada proceso
de interacción, desviándose de su trayectoria. La mínima distancia necesaria para detener completamente
el haz de radiación se conoce como alcance. Las partículas cargadas tienen un alcance denido. El
número de interacciones necesario para detener las partículas depende, para un material blanco dado, de
la energía de la radiación incidente.
La interacción de partículas cargadas con la materia tiene lugar a través de colisiones elásticas o inelásticas
con núcleos atómicos, con electrones orbitales o con cargas libres.
Se dice que se produce una colisión elástica cuando la energía cinética total del sistema se mantiene
constante. En cambio, una colisión inelástica implica que esa energía no se conserva, y se transforma
en algún otro tipo de energía.
Cuando una partícula cargada atraviesa un medio se da, con distintas probabilidades, alguno de estos
procesos. En todos ellos la partícula pierde energía cinética con cada choque y, al desacelerarse, emite
radiación de frenado o Bremsstrahlung, de naturaleza electromagnética. Al llegar a la velocidad térmica,
la partícula es absorbida por el material.
De los mencionados anteriormente, el proceso principal es la interacción con los electrones atómicos.
Cuando la energía necesaria para excitar estos electrones o para extraerlos del átomo es pequeña en
relación a la energía de la partícula, la colisión se considera elástica.
1.3.2.
Interacción de partículas no cargadas: radiación electromagnética.
Las radiaciones electromagnéticas de interés en Medicina Nuclear son los fotones γ y X .
Existen tres mecanismos de absorción de la radiación electromagnética por la materia:
1. Absorción o efecto fotoeléctrico
2. Dispersión Compton
3. Producción de pares
La ocurrencia de uno u otro proceso depende, en principio, de la energía del fotón. Cada uno de los tres
procesos predomina en un rango de energía.
La interacción se puede caracterizar con un coeciente de absorción µ. La interacción de un fotón con la
materia es única (fenómeno todo o nada).
Las características principales de los fotones son:
Energía:
Masa:
Masa en reposo:
E = hν =⇒ E = h
c
λ
E
c2
m0 = 0
m=
hν
c
Un haz de radiación electromagnética puede ser descrito por las siguientes cantidades:
Impulso lineal:
p=
(14)
(15)
(16)
(17)
Flujo o uencia de fotones: número de fotones que atraviesan una unidad de área.
φ=
dN
dA
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(18)
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Flujo o uencia de energía: cantidad de energía que atraviesa una unidad de área.
ψ=
dE
=⇒ ψ = φhν
dA
(19)
Tasa de uencia de fotones: ujo de fotones en la unidad de tiempo
φ̇ =
dφ
dt
(20)
Intensidad: ujo de energía en la unidad de tiempo.
I=
ψ
dt
(21)
La absorción de la radiación electromagnética tiene la siguiente forma:
(22)
I(x) = I0 e−µx
Donde I es la intensidad, I0 la intensidad en el vacío (sin medio absorbente) y µ es el coeciente de
absorción o atenuación lineal.
La radiación electromagnética no tiene un alcance denido. Los fotones que componen el haz son absorbidos por los átomos en un único evento, y van desapareciendo a lo largo de la trayectoria del haz en
la materia o son eliminados por dispersión.
Se denomina semiespesor o capa hemirreductora (HVL: Half Value Layer) al ancho de absorbente
necesario para reducir la intensidad del haz a la mitad.
HVL
= x 21
HVL
=
(23)
ln 2
µ
(24)
En la gura se esquematiza el poder de penetración de radiación α2+ , β − y γ .
2.
Problemas
1. Se obtienen las siguientes medidas de actividad (suponga la eciencia del detector 100 %):
Tiempo (hs)
Actividad (cpm) ·106
4
852
8
712
15
519
22
379
30
264
a ) ¾Cuál es el período de semidesintegración (T 12 ), la vida media (τ ) y la constante de desintegración (λ)?
b ) ¾Cuál es la actividad extrapolada a tiempo cero (en cpm, Ci, Bq)?
c ) ¾En cuánto tiempo la actividad decaerá a 3, 7 · 104 Bq?
2. Se tiene una especie radiactiva con constante de decaimiento λ. Cada uno de los núcleos inestables
tiene la probabilidad relativa de desintegrarse en los próximos ∆t segundos de la siguiente forma:
∆N/N = λ∆t. La solución de la ecuación da como resultado N (t) = N0 e−λt , con constante de tiempo τ = λ1 . Demuestre que el tiempo promedio en que puede sobrevivir un núcleo sin desintegrarse
es τ (vida media).
3. Se tiene una muestra de 14 C (T 12 = 5570 años) con una actividad de 4 · 107 Bq. ¾Cuál es la masa
de 14 C presente en la muestra?
4. ¾Cuál es la masa de una fuente de
131
I (T 21 = 8,1 días) con una actividad de 1 µCi?
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Figura 2: Coeciente de atenuación lineal en función de la energía y del material blanco para Uranio,
Tungsteno, Plomo
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Figura 3: Coeciente de atenuación lineal en función de la energía y del material blanco para Estaño,
Cobre, Hierro, Aluminio, Concreto
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Figura 4: Coeciente de atenuación lineal para algunos nucleidos
Figura 5: Características de algunos radionucleidos utilizados en Medicina Nuclear (i)
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Figura 6: Características de algunos radionucleidos utilizados en Medicina Nuclear (ii)
5. Una muestra de 32 P (T 12 = 14,3 días) se deja caer antes de desecharla. (a) Si inicialmente tiene 1
µCi, ¾en cuánto tiempo decae al 1 %? (b) Si se desecha luego que decae a 0,1 µCi, ¾cuánto tiempo
hay que almacenarlo?
6. Una aguja de 60 Co de 60mCi se va a utilizar para un implante intersticial en un tumor. ¾Qué
frecuencia de conteo en cpm indicará un contador que se mantenga cerca de la aguja, si debido a la
geometría sólo detecta el 15 % de las partículas emitidas?
7. En un servicio de Medicina Nuclear se recibió un generador por elusión de 99m T c(T 12 = 6,03hs)
con una actividad de 99 M o(T 12 = 66,7hs) de 100 mCi el día lunes a las 10:00 hs. El día jueves a las
10:00 hs, se extrae todo el tecnecio para realizar los estudios ¾Cuál será la actividad de 99m T c que
podrá obtenerse del generador a las 13:00 hs del mismo día?
8. Una partícula α2+ se mueve a 2 · 109 cm/s.
a ) Calcule su energía cinética en MeV.
b ) Compare con su energía en reposo.
c ) Repita el cálculo para una partícula β − de la misma velocidad. Saque conclusiones.
9. Un haz de partículas β − de 1 MeV de energía máxima incide en una plancha de Al. El coeciente
de atenuación másico es de 0, 02[cm2 /mg] para esa energía. El rango másico (o alcance másico) del
Al es de 400[mg/cm2 ].
a ) ¾Qué espesor (en mm) de Al detendrá totalmente las partículas?
b ) ¾Qué espesor (en mm) de Al atenuará a la mitad la intensidad del haz?
10. Un emisor de radiación α2+ de 3700 · 1010 Bq se encuentra en un recipiente de Pb. Las partículas
α2+ tienen una energía de 2,5 MeV y todas quedan detenidas en el Pb ¾Con qué tasa se produce
calor en el Pb?
11. El
60
Co produce dos fotones por cada desintegración.
a ) ¾Cuántos fotones emite por segundo una fuente de 10 Ci?
b ) ¾Cuál es la tasa de ujo de energía a una distancia de 1[m] de la fuente en aire (µmásico =
2
kg
0,0569 cm
g , ρ = 1,205 m3 ) y en agua? Suponga una fuente puntual de radiación.
c ) Cuál es la intensidad del haz, considerando ambas energías de emisión del
60
Co?
12. Un fotón de 10 keV interactúa con un absorbente por efecto Compton. Se emite un fotón dispersado a
90°de la dirección incidente. Determine la longitud de onda del fotón incidente, la energía y longitud
de onda del fotón dispersado y la energía del electrón Compton. Repita los cálculos para un fotón
incidente de 10 MeV. La constante de Planck es 4, 136 · 10−15 [eV · s] o 6, 626 · 10−34 [J · s]
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13. Un fotón de 1.5 MeV interactúa con un absorbente por creación de pares. ¾Cuál es la energía
cinética de cada una de las partículas creadas? Si uno de los dos fotones de aniquilación se escapa
del absorbente, cuánta energía se absorbió en el absorbente si se considera que el fotón absorbido
interaccionó por efecto fotoeléctrico?
24
14. Un haz
fotones monoenergéticos de 2,76[MeV] ( N a) incide sobre una plancha de Pb (µ =
1 de
0, 48 cm ). Calcular el espesor de Pb que reduce la intensidad del haz a la mitad.
15. Un haz de fotones provenientes de una fuente de Cs137 incide sobre un absorbente de Al. ¾Qué
espesor de Al absorberá el 99 % de la potencia incidente? ¾Qué energía tienen los fotones que
atraviesan el absorbente?
16. Una partícula β − de 500 keV de energía cinética incide en un blanco de Al de espesor virtualmente
innito a los efectos del problema ¾Cuánta energía se transferirá como máximo al absorbente? ¾Y
si se trata de una partícula β + ?
17. Para un haz de radiación heterogéneo la capa hemirreductora (HVL) es de 8.1 mm de Cu. ¾Cuál
es la energía equivalente? ¾Cuánto vale el HVL si el material es Pb?
18. Se desea utilizar 51 Cr (T 12 = 27.704 días) para un estudio de bazo. El 51 Cr emite fotones de 320.1
keV. Se tiene una muestra de cromo de 300 mCi de actividad, el 10 de julio a las 9:00 hs. Si se utiliza
un detector de centelleo de cristal de ioduro de sodio, INa(Tl), para medir la actividad disponible el
día 17 a las 10:00, ¾cuál será la intensidad del haz de radiación que llegará a la ventana del detector
si se coloca a 30 cm de la fuente? ¾cuál será la intensidad que llegará a 3 cm de profundidad del
cristal? Suponga a la fuente puntual.
19. Se tienen dos fuentes para braquiterapia, una de 198 Au y otra de 192 Ir. Se desea estudiar el daño
potencial de los fotones emitidos por las fuentes y absorbidos por el tejido circundante al implante.
Es necesario comparar de alguna manera la cantidad de fotones absorbidos en cada caso. Para ello,
se decide realizar en primer término una estimación, determinando el HVL de cada fuente (capa
hemirreductora) en tejido y, en función de los valores obtenidos, sacar conclusiones.
a ) Justique la elección del HVL como indicador de la absorción de fotones. Calcule su valor para
ambas fuentes.
b ) ¾Qué radionucleido utilizaría, en función de los valores que obtuvo en el punto anterior? Explique.
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