Conteo Diagrama de Árbol

Conteo
Diagrama de Árbol
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Sean capaces de resolver problemas de conteo utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o
cuáles son más eficaces.
En este tema lo principal es saber usar el diagrama de árbol para contar; enseguida, los alumnos resolverán
ejercicios sencillos. Al final, con el modelo que han armado, contestarán a cuestionamientos que requieren
de razonamiento lógico matemático.
El maestro iniciará la clase como si estuviera contando una historia…
La mamá de María tiene una reunión muy importante; como no sabe qué ponerse sacó 4 blusas, 3 faldas y 2
pantalones. Ahora tiene un nuevo problema: “probarse todas las combinaciones”, ¿Cuántas combinaciones
son?
(Hay que dar el tiempo necesario para que los alumnos discutan y traten de resolver el problema). La
respuesta a esta cuestión es la siguiente:
Separamos el problema en dos casos distintos: cuando use falda y blusas y cuando use pantalón y
blusas.
Faldas y blusas: una falda la prueba con las cuatro blusas = 4 combinaciones. Como son 3 faldas,
entonces se multiplica 3 (cada falda) x 4 (cada blusa) = 12.
Pantalón y blusas: un pantalón lo prueba con las cuatro blusas = 8 combinaciones. Como son 2
pantalones, entonces se multiplica 2 (cada falda) x 4 (cada blusa) = 8
Tiene 20 posibles combinaciones
¿Te imaginas si ahora la mamá de María dudara si con zapatos negros o cafés?
Afortunadamente los humanos hemos desarrollado herramientas que nos permiten resolver cuestiones
similares a este problema. Por ejemplo, las compañías telefónicas se preguntan ¿cuántos números
telefónicos es posible inventar, si cada número debe incluir seis dígitos tomados del 0 al 9?,
El árbol de conteo o diagrama de árbol se utiliza o para determinar cuántos resultados pueden existir
cuando hay más de dos características a considerar.
Estos diagramas inician escribiendo el objetivo, las opciones (que vienen de un nodo), las posibles
combinaciones y por último, se cuenta para dar los resultados.
Resuelve los siguientes problemas, puedes dibujar tu árbol de conteo para resolver.
1.- El equipo nacional de fútbol tiene 3 playeras, dos shorts y tres pares de calcetas diferentes ¿cuántas
combinaciones de uniforme pueden tener? ___18 combinaciones___
Este recuadro sólo va
en el libro del maestro
2.- Los alumnos de la escuela han organizado un torneo de fútbol y el director les ha preguntado ¿cuántos
partidos se jugarán? Se inscribieron 16 equipos que fueron acomodados en 4 grupos (Grupo A: equipo 1, 2,
3 y 4; Grupo B: equipos 5, 6, 7 y 8; Grupo C: equipos 9, 10, 11 y 12; Grupo D: equipos 13, 14, 15 y 16). Cada
equipo jugará contra los demás equipos de su mismo grupo y calificarán los dos mejores equipos (de cada
grupo) y los dos peores son eliminados.
Para la siguiente fase, jugarán así: partido 1: el primer lugar del Grupo A contra el segundo lugar del Grupo
B; partido 2: el segundo lugar del Grupo A contra el primer lugar del equipo B; partido 3:el primer lugar del
Grupo C contra el segundo lugar del Grupo D; partido 4: el segundo lugar del Grupo C contra el primer lugar
del equipo D
Después jugarán:
El ganador del partido 1 Vs el ganador del partido 3
El ganador del partido 2 Vs el ganador del partido 4
En la última fase, se jugará la final.
Entonces, cuántos partidos se jugarán a lo largo del torneo?
Este problema se resuelve contando de manera ordenada:
- En la primera fase los equipos se dividen en 4 grupos; dentro de cada grupo se juegan 6 partidos puesto
que el equipo 1 juegas Vs el 2, 3 y 4. El equipo 2 ya jugó Vs el 1, entonces contamos sólo los partidos Vs el
equipo 3 y 4; el equipo 3 ya jugó contra el equipo 1 y 2, entonces sólo contamos el partido contra el equipo
4. Así es que en cada grupo se juegan 6 partidos. 6 x 4 = 24 partidos.
- En la segunda fase se juegan 4 partidos. Entonces 24 + 4 = 8
- En la tercera fase se juegan 2 partidos más: 24 + 4 + 2 = 30
- Por último, la final: 24 + 4 + 2 + 1= 31 partidos
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En el año 2001 los números de teléfono cambiaron de 7 a 8 dígitos
en las grandes ciudades de México y de 6 a 7 en el interior del país
para garantizar disponibilidad de números por 40 años.
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Individual
Que haga uso de su modelo como herramienta de conteo.

10 minutos: Armado (individual).
Individual
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X3
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Estas imágenes sólo van en el libro del maestro para que él pueda destrabar procesos
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1.- Representa con materiales k´nex un diagrama de árbol con este problema:
Mi casa es blanca y quiero ponerle varios colores, en la tienda de pintura me recomiendan utilizar rojo,
verde y/o amarillo, pero me dicen que además a cada uno de estos colores puedo agregarles el gris, el
morado y/o el naranja ¿Entonces cuántas combinaciones de colores puedo tener en mi casa?
¿Cuántas combinaciones podré usar sin repetir? 9 COMBINACIONES
Veamos qué tan importante son los diagramas de árbol...
Imaginemos que eres un matemático muy famoso y el gobierno de tu ciudad te busca para hacerte una
pregunta: “¿Cuántas placas para automóviles se pueden crear si llevan 4 números?”...
Entonces te metes a tu oficina, sacas tu material k´nex, tu libro, tu lapicero y te pones a investigar.
Te dejamos unas pistas...
- las placas están formadas por 4 dígitos.
- El primer dígito puedo ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; lo mismo para el segundo, tercero y cuarto dígito.
¿Cuántas combinaciones de placas se pueden tener?
Ésta imágenes sólo va en el
libro del maestro
Pero resulta que esas son muy pocas placas para la cantidad que se necesitan. No es posible aumentar otro
dígito, ¿qué solución tienes? Pudieras pensar en vez de un número poner otra cosa, ¿tú o tus compañeros
tienen otra propuesta?... ¿con la propuesta que das cuántas placas se crearían?
Propongo que en vez de números pongamos ____________
Entonces tendríamos (cantidad) ______________ placas.
El alumno podrá utilizar cualquier símbolo que sustituya a los números y que el resultado sea mayor a
10,000 placas. Si en vez de números, ponemos letras, será posible poner en cada dígito A, B, C, D, E, F, G, H,
I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; es decir, 26 maneras diferentes para cada dígito. Entonces, se
puede multiplicar 26 x 26 x 26 x 26 = 456,976 posibles combinaciones.
¿Para qué sirve el árbol de conteo? Para saber cuántos resultados pueden existir cuando hay más de dos
posibilidades.
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En los Estados Unidos se encuentra la supercomputadora más rápida el mundo “IBM Sequoia” la
cual realiza cálculos astronómicos y climatológicos.
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