Objetivo
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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CUADERNILLO DE APUNTES: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ELABORADO POR: ING. OSCAR EDUARDO PÉREZ GAONA LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO FEBRERO 2010 Índice. ÍNDICE PÁG INTRODUCCIÓN……………………………………………………………….. CAPITULO 1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN OPERACIONES Y FORMULACIÓN DE MODELOS. iv DE 1.1. Definición, desarrollo de la investigación de operaciones………….…. 2 1.1.1. Antecedentes históricos de la investigación de Operaciones…… 2 1.1.2. Definición…………………………………………………..………….. 4 1.2. Fases de estudio de la investigación de operaciones………....………. 4 1.2.1. Proceso de investigación de operaciones…………………….…… 6 1.3. Principales aplicaciones de la investigación de operaciones……..….. 7 1.4. Formulación de problemas lineales…………………….……….………. 8 1.4.1. Tipos de modelo…………………………………………....………… 8 1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal.………….…………. 10 1.5. Formulación de problemas más comunes….………………………….. 16 1.5.1. Modelación y formulación de problemas……………….………….. 16 Ejercicios I. Formato estándar y canónico……………………………………. 34 Ejercicios II. Modelación………………………………………………………... 43 CAPITULO 2. EL MÉTODO SIMPLEX. 2.1. Teoría del método simplex…………………….………………………….. 52 2.2. Método de las variables artificiales………………………………………. 63 2.2.1. Método de la gran M o método penal………………………………. 63 2.2.2. Método de la doble fase…………………………..…………….…… 73 2.2.3. Método gráfico………………………………………………………… 83 2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano…........ 2.2.3.2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano…..… 83 84 i Índice. 2.2.3.3. Método general……………………………..………………… 87 Ejercicios III. Problemas método grafico…………………………………….. 93 Ejercicios IV. Resolución de modelos de programación lineal…………….. 96 CAPITULO 3. TEORÍA DE LA SENSIBILIDAD. DUALIDAD Y ANÁLISIS DE 3.1. Formulación de un problema dual……………………….……………… 101 3.2. Dualidad……………………………………………………………………. 102 3.2.1. Forma canónica………………………………………………………. 102 3.2.1.1. Transformación………………………………………………… 103 3.3. Transformación alterna dual……………………………………………… 112 3.4. Transformación alterna dual simplex……………………………………. 116 3.5. Análisis de sensibilidad……………………………………………………. 125 3.5.1. Forma matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales Implicadas…………………………………………………………….. 125 3.5.1.1. Cambio en el vector A………………………………………… 126 3.5.1.2. Cambio en el vector B………………………………………... 131 3.5.1.3. Cambio en el vector C………………………………………… 140 Ejercicios V. Dualidad………………………………………………………….. 149 CAPITULO 4. TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN. 4.1. Definición de un problema de transporte………………………………... 152 4.1.1. Algoritmo de transporte………………………………………….…… 154 4.2. Método de voguel………………………………………………………….. 159 4.3. Método esquina noreste…………………………………………………... 160 ii Índice. 4.4. Método de costo mínimo………………………………………………….. 161 4.5 Método húngaro…………………………………………………………….. 165 Ejercicios VI. Modelos de transporte y asignación………………………….. 172 APENDICE A.Sistema de Ecuaciones Lineales….………………………. 177 iii Introducción INTRODUCCIÓN. Las matemáticas hoy en día son asignaturas prioritarias en la vida de los estudiantes de las carreras de las ingenierías, y más aún aquellas que son de índole de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería, en mucho de los casos parecieran ser motivo de deserción y simplemente dificultad muy grande para culminar sus estudios o en algunos de los casos terminen recursándola, el ramo de la investigación de operaciones dentro del área de Ingeniería Industrial pareciera ser una de ellas. El presente trabajo tiene como propósito fundamental ayudar a facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de la materia de Investigación de Operaciones I en el área de las ingenierías, que se imparte en el quinto semestre de la carrera de ingeniería industrial del TESOEM, cubriendo temas básicos y apegándose al programa de estudios vigente. Dicho material puede ser empleado como un libro de texto para estudiantes y de apoyo para los docentes en esta área Por el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser bastante interesantes para los alumnos, contiene un gran número de ejemplos ilustrativos (resueltos paso a paso), donde se muestran las técnicas matemáticas estudiadas, teniendo siempre en cuenta que para su comprensión se necesitará tener ciertos conocimientos en álgebra lineal y lógica matemática. El desarrollo del presente material está diseñado en capítulos, mostrando siempre al inicio el objetivo del mismo; el cual para su entendimiento se encuentra de la siguiente manera: En el capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones(I.O) y formulación de modelos, muestra la evolución y el campo de aplicación de esta iv Introducción área, manejando los conceptos básicos para la formulación de los modelos de programación lineal y la aplicación de estos últimos a diferentes casos de la vida diaria y del mundo industrial. En el capítulo II: El método Simplex, en este capítulo no solo se describe el método simplex como método para solución de los modelos de programación lineal, se describen otros métodos como el doble fase, el método de la gran M y el método gráfico, cada uno de ellos con las condiciones que se necesitan para llevarlos a la práctica. En el capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad, en este apartado es de suma importancia ya que describe la relación dual que todo modelo primal de programación lineal posee, al igual que las condiciones de cómo calcular las condiciones de optimalidad en los modelos de programación lineal. (cambio de vector en A,B,C) En el capítulo IV: Transporte y asignación, en esta sección del presente trabajo se describen las parte de un modelo de transporte empleado en el área de logística de una organización sin importar su giro comercial o manufacturero, donde lo importante el cumplir en tiempo y forma los pedidos de los diferentes clientes ubicados en diferentes regiones pero el costo mínimo de operación, para ello se detallan los métodos de solución como lo es el método de Voguel, costo mínimo, húngaro ente otros. Se contará con una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento aprendido al final de cada capítulo y sus soluciones se encuentran en el los mismos ejercicios, esto queda en el entendido al final de cada capítulo. Además de cuenta con un apéndice. v Introducción El apéndice I, muestra sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución como puede ser por el método de Gauss Jordan o determinantes (sus propiedades), los cuales son base para el entendimiento de Investigación de Operaciones I, en la solución de los métodos de los modelos de programación lineal. Esperamos que la obra sea de gran utilidad para profesores y alumnos y que sea un fuerte material de apoyo en el curso, en el cual creemos que favorecerá de manera importante en un mejor desarrollo de los temas para el profesor en su enseñanza y para un buen aprendizaje del alumno. vi CAPÍTULO I: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I.O) Y FORMULACIÓN DE MODELOS. Objetivo: El estudiante conocerá y aplicará la metodología de la I.O y la formulación de modelos de Programación Lineal. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 2 1.1. DEFINICIÓN, DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. 1.1.1. Antecedentes históricos de la Investigación de Operaciones (I.O.) Los inicios de lo que hoy se conoce como Investigación de Operaciones se remota a los años 1759 cuando el economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de nombre Walras, hace uso de técnicas similares; los modelos lineales de la Investigación de Operaciones tienen como precursores a Jordan en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tiene su origen con Markoiv a fines del siglo pasado, pero no fue hasta la Segunda Guerra Mundial, cuando empezó a tomar auge. La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las técnicas Pert, control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y estadística tan útiles en cualquier estudio moderno. En la actualidad el uso de la IO es extenso en áreas de: Contabilidad, compras, planeación financiera, mercadotecnia, planeación de producción, transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de competencia para los presupuestos y contratos. La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina. en que se ACONTECIMIENTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. AÑO AUTOR TÉCNICA DESARROLLADA 1759 Quesnay Modelos primarios de programación matemática Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 1873 Jordan Modelos lineales 1874 Warlas Modelos primarios de programación matemática 1896 Minkousky Modelos lineales 1897 Farkas Modelos dinámicos probabilísticos 1903 Farkas Modelos dinámicos probabilísticos 1905 Erlang Líneas de espera 1920-1930 Konig- Egervary Asignación 1937 Morgestern Lógica estadística 1937 Von Neuman Teoría de juegos 1939 Kantorovich Planeación en producción y distribución 1941 Hitchcook Transporte 1947 Dantzin George Método Simplex 1958 Bellman Richard Programación dinámica 1950-1956 Kun-Tucker Programación no lineal, m. húngaro, sistemas desiguales 1958 Gomory Programación entera 1956-1962 Ford-Fulkerson Redes de flujo 1957 Markowitz Simulación y programación discreta Raifa Análisis de decisiones 1958 Arrow-Karlin Inventarios 1963 Karmaskar Narend Algoritmo de punto interior 3 Tabla1.Fuente: Elaboración Propia. Actualmente esta se encuentra todavía en una edad incipiente donde hay mucho por hacer en el desarrollo de este campo fértil. Ahora que se ha visto una breve reseña de la Investigación de Operaciones y características esenciales, es importante definirla, para ello se citan los siguientes autores. 4 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 1.1.2 Definición Thierauf la define como “un método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones con las operaciones que estén bajo su control.” (Thierauf, 2002:22) No obstante, Winstone lo describe “como un enfoque científico en la toma de decisiones que busca el mejor diseño y operar un sistema; por lo regular en condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.” (Winstone, 2008:01) Finalmente Prawda lo conceptualiza como “una herramienta de aplicación en grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.” (Prawda, 2000:20) Con base a las definiciones anteriores se puede decir que la Investigación de Operaciones es la aplicación de los métodos científicos a problemas complejos que surgen en la dirección, administración y optimización de los recursos de una empresa con el fin de hacer buen uso de ellos. 1.2 FASES DE ESTUDIO DE LA OPERACIONES. INVESTIGACIÓN DE Su estudio consiste en desarrollar modelos científicos, incorporando factores como el riesgo y la incertidumbre para predecir y controlar los resultados de cursos de acción alternativos; como lo muestra la siguiente figura: 5 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos CICLO OPERATIVO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. VARIABLES RELEVANTES SISTEMA ASUMIDO RELACIONES RELEVANTES MODELO CUANTITATIVO SISTEMA REAL MÉTODO DE SOLUCIÓN SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL SISTEMA REAL DESICIONES Figura 1. Fuente: Arreola, 2007 SOLUCIÓN DEL MODELO JUICIO Y EXPERIENCIA DEL TOMADOR DE DECISIONES INTERPRETACIÓN Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 1.2.1 Proceso de Investigación de Operaciones. DESCRIPCIÓN DE LAS FASES PARA EL DESARROLLO DE I.O. 5.- Interpretar resultados y dar soluciones. 4.-Requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema, con el tiempo se podra ajustar el modelo. 3.-Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. 2.-Debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema.Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. 1.- En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. Figura 2.Fuente: Elaboración Propia. El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases: 1.- Formulación y definición del problema. 2.- Construcción del modelo. 3.- Solución del modelo. 4.- Validación del modelo. 5.- Implementación de resultados. 6 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 7 1.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. La Investigación de Operaciones es un campo tan amplio que su versatilidad, la hace no solo una herramienta propia de la Ingeniería Industrial; es decir, puede ser empleada en otros campos de la ciencia, describiéndose a continuación algunas rúbricas de su aplicación. Personal. La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción. Mercado y distribución. El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores. Compras y materiales. Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar. Manufactura. La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad. Finanzas y contabilidad. Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones. Planeación. Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 8 1.4. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES. 1.4.1. Tipos de modelo. La Investigación de Operaciones ha desarrollado modelos específicos para solucionar problemas generales clasificados como de inventario, líneas de espera, reemplazo, mantenimiento, asignación de recursos, a) MODELOS DE INVENTARIO: Comprenden aquellos problemas relacionados con el almacenamiento de un recurso en espera de satisfacer una demanda futura. El problema de inventario consiste básicamente en determinar cuánto y cuándo pedir. b) MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA: Están relacionados con aquellos problemas en donde un grupo de servidores atienden a un conjunto de clientes. c) MODELOS DE REEMPLAZO: El reemplazo de un activo depende de su naturaleza. Se puede tratar de un equipo que se deteriora a través del tiempo o bien de un equipo que mantiene un nivel más o menos constante y cuando falla, lo hace total e impredeciblemente Por esta razón, los modelos se clasifican de acuerdo con las dos categorías previamente citadas. Los métodos de análisis para formular políticas óptimas de reemplazo. En la primera de ellas se trata de calcular un determinado periodo de tiempo óptimo de uso del activo después del cual debe reemplazarse. En la segunda categoría, se trata también de definir un lapso de tiempo durante el cual se minimice el costo total se reemplazo de los activos individuales dentro de este mismo intervalo de tiempo y el de reemplazar todos los activos al final del mismo. d) MODELOS DE MATENIMIENTO: Este involucra tanto el enfoque de inventario como el de reemplazo. Se considera en cierto grado un modelo de inventario porque tanto las refacciones como los aditamentos en general están en espera de ser utilizados. Es también modelo de reemplazo porque el mantenimiento involucra el cambio de partes una vez que fallan. e) MODELOS DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS: Este surge cuando se desarrollan actividades alternativas e interdependientes que compitan por recursos limitados en un periodo determinado, este consiste en elaborar un programa de producción o una mezcla de producción que maximice no la contribución individual de los productos, sino la utilidad total. 9 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos f) MODELOS DE COMPETENCIA: Este tipo de modelo se utiliza para analizar aquellas situaciones donde dos o más oponentes racionales tratan de seleccionar estrategias que optimicen un cierto objetivo. (Amza, 2007) La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite multiplicación de variables ni variables elevadas a potencias). Algunas de las siguientes restricciones no se pueden emplear en un modelo de programación lineal. Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para: Max o Min z= C1 X1 + C2X2 +……+ Cn Xn s.a Función objetivo a11X1 + a12X2 a21X1 + a22X2 . . . . . . am1X1 + am2X2 Xn0, para i= 1,2,…..n a1nXn a2nXn . . . amnXn ≤ ≤ ≤ b1 b2 . . . bm Maximizar o Minimizar s.a ( restricciones, recursos) Variables +……+ +……+ +……+ +……+ +……+ +……+ Variables a definir Objeto de estudio (definición) a) VARIABLES DE DECISIÓN: Con estas se hace referencia al conjunto de variables cuya magnitud se desea determinar resolviendo el modelo de programación lineal. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 10 b) RESTRCCIONES: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución. c) FUNCIÓN OBJETIVO: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión. d) LINEALIDAD: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales. e) DESIGUALDADES: Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles; es decir, menor – igual(≤) o mayor – igual(≤). No se permiten desigualdades de los tipos menorestrictamente o mayor-estrictamente, o abiertas. f) CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD: En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos, no se permiten valores negativos. 1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal. a) Desigualdad del tipo ≤ convertir a una igualdad. La desigualdad tipo ≤ puede convertirse a una función, dado que cuando se tiene una desigualdad de este tipo, si se le suma al de lado izquierdo una nueva variable no negativa, llamada variable faltante dado que solamente tomara valores positivos, cuando el lado izquierdo sea menor al lado derecho. Ejemplo: Transformar las desigualdades del tipo ≤ a una ecuación. 7x1+8x2-9x3≤6 Puede reemplazarse por: 7X1+8X2-9X3+X4≤6 x4≥0 7X1+8X2-9X3+S4=0 S4≥0 x4,s4=variables de holgura=variable faltante. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 11 b) Desigualdad del tipo ≥ convertir a una igualdad. La desigualdad tipo≥ procediendo d e la misma forma que la anterior se puede convertir en una ecuación, dado que si se le resta del lado izquierdo una nueva variable no negativa, llamada variable sobrante; tal nombre obedece a que dicha variable tomara un valor positivo, cuando el lado izquierdo sea mayor que el derecho. Ejemplo: Transformar las desigualdades del tipo ≥ a una ecuación. -9X1+4X2-3X3≥12 Puede reordenarse como: -9X1+4X2-3X3-X4≥12 X4≥0 -9X1+4X2-3X3-S4=0 S4≥0 x4,s4=variables de holgura=variable sobrante. A la Variable faltante y sobrante se les llama Variables de holgura. En programación lineal se emplean 2 tipos de formatos a) Formato Canónico: Un modelo de programación lineal está en formato canónico; si todas las variables son no negativas y las restricciones son del tipo ≤ para un objetivo de maximización o si todas las restricciones son del ≥tipo para un objetivo de minimización. 1.- Formato Canónico. Min z0 = 2x1 + 3x2 + 8x3 2x1 + 2x2 - 7x3 ≤ 10 7x1 + 2x2 + 5x3 = 9 8x1 + 9x2 + 5x3 ≤ 1 x1 , x2 ≥0 Minimizar todos los signos de la desigualdad, estos deben ser ≥0 s.a s.a [ 2x1+2x2-7x3≤10]-1 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 12 Esto equivale a -2x1-2x2+7x3≥-10 ----------------------------------------------------------------------------Esto equivale a 7x1+2x2+5x3≤9 7x1+2x2+5x3≥9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I8x1+9x2+5x3I≤1 Esto equivale a 8x1+9x2+5x3≤1 8x1+9x2+5x3≥-1 ---------------------------------------------------------------------------------[8x1+9x2+5x3≤1]-1 Esto equivale a -8x1-9x2-5x3≥-1 --------------------------------------------------------------------------------- 13 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos b) Formato Estándar: Un modelo de Programación Lineal esta en formato estándar si todas las variables son no negativas y todas las restricciones son igualdades, tanto en Maximización como en Minimización. Min z0 = s.a 2x1 + 2x1 7x1 3x1 18x1 x1 + + + + , 3x2 + 8x3 x2 - 7x3 2x2 + 5x3 3x2 + x3 9x2 + 5x3 x2 ≥0 x3 irrestricta. ≤ = ≥ ≤ 10 9 3 1 2.- Formato estándar. Z0=2x1+3x2+8x3-S1-S2-S3 s.a 2x1 7x1 3x1 18x1 + + + + x2 2x2 3x2 9x2 + + + 7x3 - S1 5x3 x3 S2 5x3 x1,x2,x3,S1,S2,S3≥0 - S3 = = = = 10 9 3 1 Ejercicio: Realizar el planteamiento correspondiente al problema de PL que se muestra a continuación. Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 s.a x1 2x1 + + - a) Realizar formato estándar b) Realizar formato canónico x2 x2 x2 + 2x3 + 5x4 5x3 + 8x4 Ix3 + x4I x1,x2,x3,x4≥0 = ≥ ≤ ≤ 9 7 4 7 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4-0s1+0s2+0s3+0s4 s.a x1 + x2 - 2x3 2x1 + x2 - x2 + 5x3 x3 x3 + 5x4 + 8x4 + x4 + x4 S1 + S2 + S3 - S4 x1, x2, x3, x4,S1,S2, S3, S4≥0 = ≥ ≤ ≤ ≤ 9 7 4 7 -7 b) Formato Canónico. Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 Max x1+x2-2x3+5x4=9 x1+x2-2x3+5x4≤9 x1+x2-2x3+5x4≥9 [x1+x2-2x3+5x4≥9]-1 Esto equivale a -x1-x2+2x3-5x4≤-9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------[2x1+x2≥7]-1 Esto equivale a -2x1-x2≤-7 -x2+5x3+8x4=4 -x2+5x3+8x4≤4 -x2+5x3+8x4≥4 -------------------------------------------------------------------------------- 14 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Ix3+x4I≤7 Esto equivale a x3+x4≤7 x3+x4≥-7 --------------------------------------------------------------------------------[x3+x4≥-7] Esto equivale a -x3-x4≤7 FORMATO CANÓNICO Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 s.a x1 -x1 -2x1 + - x2 x2 x2 x2 + + 2x3 2x3 + - 5x4 5x4 5x3 + 8x4 x3 + x4 -x3 x4 x1,x2,x3,x4≥0 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 9 -9 -7 4 7 7 15 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 16 1.5. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS MÁS COMUNES. 1.5.1. Modelación y Formulación de Problemas 1) La empresa ANCE S.A de C.V.; produce una línea de artículos de Peltre para uso casero; la cual consta de 4 productos. El sistema de manufactura se divide en 5 etapas: Cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta la información relevante, tanto del sistema productivo como del producto. Información sobre el sistema productivo (Índice de producción Unidades/hrs) Departamento Corte Troquelado Esmaltado Acabado Empacado Producto 1 25 14 17 20 50 Producto 2 6 8 9 4 13 Producto 3 20 20 33 50 Producto 4 10 10 8 8 20 Capacidad (horas/mes) 400 380 490 450 400 Información sobre el producto Precio de vta. Costo de vta. Demanda Mensual(unidades) ($/unidad) ($/unidad) mínima Máxima 1 100 50 500 5000 2 300 200 750 6000 3 160 100 650 8000 4 250 150 0 3500 Además, se debe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200m2 de lámina que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50m2 por unidad y el producto 2 requiere 0.80m2. Producto Formular un modelo de programación lineal. Variables de decisión. x1= Unidades del producto 1 a fabricar el próximo mes. x2= Unidades del producto 2 a fabricar el próximo mes. x3= Unidades del producto 3 a fabricar el próximo mes. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 17 x4= Unidades del producto 4 a fabricar el próximo mes. Max. Zo= (100-50)x1+(300-200)x2+(160-100)x3+(250-150)x4 Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4 Restricción de capacidad 1/25 X1 + 1/6 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 400 CORTADO 1/14 X1 + 1/8 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 380 TROQUELADO 1/17 X1 + 1/9 X2 + 1/33 X3 + 1/8 X4 ≤ 490 ESMALTADO 1/20 X1 + 1/4 X2 1/8 X4 ≤ 450 ACABADO 1/50 X1 + 1/13 X2 1/20 X4 ≤ 400 EMPACADO + 1/50 X3 Demanda 500≤X1≤5000 750≤X2≤6000 650≤X3≤8000 0≤X4≤3500 Entrada de materia prima 0.50X1+0.80 X2≤1200 Xj≥0 j= 1,2,3,4 X1,X2,X3,X4≥0 + Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Max Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4 s.a 1/25 X1 + 1/6 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 400 1/14 X1 + 1/8 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 380 1/17 X1 + 1/9 X2 + 1/33 X3 + 1/8 X4 ≤ 490 1/20 X1 + 1/4 X2 + + 1/8 X4 ≤ 450 1/50 X1 + 1/13 X2 + + 1/20 X4 ≤ 400 X1 ≤ 380 X1 ≥ 490 X2 ≤ 450 X2 ≥ 400 X3 ≤ 8000 X3 ≥ 650 X4 ≤ 3500 X4 ≥ 0 ≤ 1200 0.50 X1 + Xj≥0 j= 1,2,3,4 X1,X2,X3,X4≥0 0.80X2 1/50 X3 18 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 19 2) Un ganadero decide elaborar una mezcla para alimentos de animales a base de alfalfa, sorgo, avena, maíz, soya y harina. De cada 100Kg de mezcla; se desea que al menos 30Kg de ellos sean proteínas, no más de 40 sean de calcio, y como máximo 35Kg de fosforo. A continuación se presenta la información del contenido de la mezcla y los precios de los ingredientes a combinar. Ingredientes Proteína (%) Calcio (%) Fosforo (%) Precio (Kg) Alfalfa 25 50 25 7 Sorgo 40 20 40 9 Avena 10 30 60 8 Maíz 65 15 20 20 Soya 40 20 40 5 Harina 30 20 50 15 Además, no se puede usar más de 10Kg harina, ni más de 12Kg de soya por c/100kg de mezcla. Variables de decisión x1= Kg de alfalfa a utilizar en los 100Kg de mezcla. x2= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla. x3= Kg de avena a utilizar en los 100Kg de mezcla. x4= Kg de maíz a utilizar en los 100Kg de mezcla. x5= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla. x5= Kg de harina a utilizar en los 100Kg de mezcla. 20 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Min Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6 Var. Nutrición 0.25X1 + 0.40X2 + 0.10X3 + 0.65X4 + 0.40X5 + 0.30X6 ≥ 30 Proteína 0.50X1 + 0.20X2 + 0.30X3 + 0.15X4 + 0.20X5 + 0.20X6 ≥ 40 Calcio 0.25X1 + 0.40X2 + 0.60X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.50X6 ≤ 35 Fosforo X6 ≤ ≤ 10 12 Harina soya X6 = 100 Kg Disponibilidad X5 Capacidad total (Mezcla total) X1 + X2 + Xj≥0 X3 + X4 + X5 + j=1,2,3,4,5,6 Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6 Min s.a 0.25X1 + 0.40X2 + 0.10X3 + 0.65X4 + 0.40X5 + 0.30X6 ≥ 30 0.50X1 + 0.20X2 + 0.30X3 + 0.15X4 + 0.20X5 + 0.20X6 ≥ 40 0.25X1 + 0.40X2 + 0.60X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.50X6 X6 X1 + X2 X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0 + X3 + X4 + X5 X5 + X6 ≤ ≤ ≤ = 35 10 12 100 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 21 3) La refinería azteca produce 2 tipos de gasolina sin plomo regular y extra, los cuales se venden en 8 y 15 pesos por barril respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de azteca del petróleo de azteca nacional refinado y del petróleo importado refinado y debe de cumplir con las siguientes especificaciones. Regular Extra Presión máxima de vapor 23 23 Octanaje mínimo 88 93 Demanda Entrega máxima mínima barriles/semana barriles/semana 100000 50000 20000 5000 Las características del inventario refinado son las siguientes Regular Extra Presión máxima de vapor 25 15 Octanaje mínimo 87 98 Demanda Entrega máxima mínima barriles/semana barriles/semana 40000 8 60000 15 Que cantidades de los 2 petróleos nacional e importado debe mezclar la azteca a fin de acrecentar sus ganancias semanales. x1= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla regular. x2= Los barriles de petróleo importado con una mezcla regular. x3= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla extra. x4= Los barriles de petróleo importado con una mezcla extra. Max Z0=12(X1+X2) Z0=12(X1+X2)+14(X3+X4)-8(X1+X3)-15(X2+X4) Z0=12X1+12X2+14X3+14X4-8X1-8X3-15X2-15X4 Z0=4X1-3X2+6X3-X4 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos s.a X1 + X2 X1 + X2 X1 + X1 2X1 + X3 + X4 X3 X3 + X4 X2 + 10X2 SX2 2X3 X4 6X3 - SX4 2X3 + 8X4 X1,X2,X3,X4≥0 ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 100000 20000 50000 5000 40000 60000 0 0 0 0 22 23 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 4) Una tienda de autoservicio funciona las 24 horas tiene los siguientes requerimientos mínimos para los cajeros. El periodo uno sigue inmediatamente después del periodo 6. Un cajero trabaja 8hrs consecutivas, empezando al inicio de uno de los 6 periodos. Determine el número requerido de empleados en cada uno de los periodos. Periodo 1 2 3 4 5 6 Horas del día 3-7 7-11 11-15 15-19 19-23 23-3 (24 hrs) Número 7 20 14 20 10 5 mínimo x1= El número de personas asignadas o requeridas en el periodo 1. x2= El número de personas asignadas en el periodo 2. x3= El número de personas asignadas en el periodo 2. x4= El número de personas asignadas en el periodo 2. x5= El número de personas asignadas en el periodo 2. x6= El número de personas asignadas en el periodo 2. Min Zo= x1+x2+x3+x4+x5+x6 s.a X1 + X1 + X6 X2 X2 X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0 + X3 X3 + X4 X4 + X5 X5 + X6 ≥ 7 ≥ 20 ≥ ≥ ≥ ≥ 14 20 10 5 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 24 5) La empresa ha destinado un presupuesto de $4,000,000 para la compaña publicitaria del primer mes; además, el consejo de administración ha sugerido al departamento de mercadotecnia los siguientes lineamientos. 1.- Deben utilizarse por los menos 20 comerciales de T.V. 2.- El mensaje debe llegar a por lo menos 2,500,000 familias potencialmente compradoras. 3.- El mensaje debe publicarse en un periódico local por lo menos un domingo. 4.- No deben de gastarse más de 2,000,000 de pesos en .T.V. ¿Cuál debe ser la campaña publicitaria para este primer mes? Plante un Modelo de PL; para resolver este problema. Variables de decisión x1= Número de comerciales T.V matutina durante el primer mes. x2= Número de comerciales T.V nocturna durante el primer mes. x3= Número de comerciales en periódico diario durante el primer mes. x4= Número de comerciales en periódico dominical durante el primer mes. x5= El Número de comerciales en noticiario de radio durante el primer mes. Max Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5 Presupuesto 100,000x1+150,000x2+60,000x3+120,000x4+20,000x5≤4,000,000 s.a X1 X2 X3 X4 X5 X1 + X2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 20 10 25 4 30 20 Comerciales de TV Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 25 Cobertura de audiencia 10,000x1+50,000x2+30,000x3+70,000x4+50,000x5≥2,500,000 Periódico dominical x4≥1 Gasto T.V 100,000x1+150,000x2≤2,000,000 Xj≥0 j= 1,2,3,4,5 X1,X2,X3,X4,X5≥0 Max Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5 s.a 100,000X1 X1 + 150,000X2 + 60,000X3 + 120,000X4 + 20,000X5 X2 X3 X4 X5 X1 10,000X1 100,000X1 + + X2 50,000X2 + 150,000X2 X1,X2,X3,X4,X5≥0 + 30,000X3 + 70,000X4 X4 + 5,000X5 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≤ 4,000,000 20 10 25 4 30 2,500,000 1 2,000,000 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 26 6) La empresa olle S.A de C.V, productora de radio portátiles para intercomunicación (solamente entre dos personas: transmisora y receptora); va a promover su nuevo radio con un alcance de 40Km, el cual tiene diversas funciones. El principal canal de distribución está enfocado a mayoristas en el área de comunicación industrial, así mismo, la firma está considerando dos alternativas de distribución: una cadena de autoservicio y mayorista de equipos marítimos. Dichos canales de distribución alternativos abren el mercado a personas interesadas en radio comunicación como afición y como enlace entre botes de pesca y su estación de base. Debido a la diferencia de costos de comercialización y de promoción, la utilidad del producto varía con la alternativa de distribución seleccionada. Además, el costo publicitario y el tiempo el vendedor por unidad son distintos para cada canal de distribución. Dado que la compañía solo produce bajo pedido; el número de unidades fabricadas y vendidas es el mismo. A continuación se resume la información preparada por olle S.A de C.V, con respecto a la utilidad, costo publicitario y hr/hombre de vendedor por cada unidad vendida. Lo anterior ha sido estimado con base en experiencias con radios similares. Canal de distribución Industrial Tienda Marítimo Utilidad unitaria($) 20,000 12,000 18,000 Costo publicitario ($/unidad) 1,800 3,000 1,000 Esfuerzo de ventas (hr-hombre/unidad) 4 6 7 El director general de la empresa; ha establecido que en la estrategia de ventas a seguir deben venderse por lo menos 100 unidades al canal tienda, 250 al canal marítimo; en el siguiente mes; también el gasto publicitario no debe exceder de $1,000,000. Si la capacidad de producción se estima en 1000 unidades y las horas hombre de un vendedor disponibles en el próximo mes son 2,000. ¿Qué estrategia de ventas debe adoptar la empresa? Es decir, la empresa debe decidir: a) Cuantas unidades producir por c/canal de distribución. b) Cuanto gasto publicitario se debe hacer en c/canal de distribución. c) Cuanto esfuerzo de ventas debe dedicarse a c/canal de distribución. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 27 X= Unidades de radios portátiles en sus diferentes mercados para producir el siguiente mes. x1= Unidades producidas para el mercado industrial. x2= Unidades producidas para el mercado tiendas. x3= Unidades producidas para el mercado marítimo. Objetivo Max Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3 s.a Publicidad 3,000X2 + 1,000X3 ≤ 1,000,000 4X1 + Capacidad productiva 6X2 + 7X3 ≤ 2000 X1 Mercado tienda X2 + X3 ≤ 1000 ≥ 100 ≤ 250 1,800X1 Esfuerzo de ventas + + X2 Mercado marítimo Xj≥0 X3 j= 1,2,3 X1,X2,X3≥0 Max Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3 s.a 1,800X1 + 12,000X2 + 18,000X3 ≤ 1,000,000 4X1 + 6X2 + 7X3 ≤ 2,000 X1 + X2 X2 + X3 ≤ ≥ ≥ 1,000 100 250 X1,X2,X3≥0 X3 28 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 7) Mi dieta requiere que todo los alimentos que ingiera pertenezcan a una de los cuatro “grupos básicos de alimentos” (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos: barras de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de chocolate cuesta $35.00, cada bola de helado de crema cuesta $40.oo, cada botella de bebida de cola cuesta $7.50 y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta $20.00. De acuerdo al nutriólogo, todos los días debo ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasas. Plantee un modelo de PL que pueda emplear para cumplir mis necesidades nutricionales al costo mínimo. El contenido nutricional por unidad de c/alimento se da en la siguiente tabla. Tipo de alimento Calorías Barra de chocolate 400 Helado de crema con 200 chocolate(1 bola) Bebida de 150 cola(1 botella) Pastel de queso con 500 piña Definición de la variable Chocolate(onzas) 3 Azúcar(onzas) 2 Grasas(onzas) 2 2 2 4 0 4 1 0 4 5 X= Cantidad de calorías a consumir en los diferentes alimentos al día. x1= Cantidad de barras de chocolate consumidas al día. x2= Cantidad de helado de crema con chocolate consumida al día(1 bola) x3= Botellas de bebida de cola consumidas al día. x4= Rebanadas de pastel de queso con piña consumidas al día. Min Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4 s.a 400X1 + 200X2 3X1 + 2X2 2X1 2X1 + + 2X2 4X2 + + + 150X3 4X3 X3 + + + 500X4 4X4 5X4 ≥ 500 calorías ≥ 6 chocolate ≥ ≥ 10 8 Azúcar Grasas 29 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos X1,X2,X3,X4≥0 Min Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4 s.a 400X1 + 200X2 3X1 + 2X2 2X1 + 2X1 + X1,X2,X3,X4≥0 2X2 4X2 + + + 150X3 4X3 X3 + + + 500X4 4X4 5X4 ≥ 500 ≥ 6 ≥ ≥ 10 8 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 30 8) El taller de máquinas y herramientas Era S.A de C.V; se dedica a la fabricación de dos refacciones para una empresa metalmecánica. Las partes se producen en cuatro operaciones (departamentos). Las horas maquina son suficientes aunque se tiene una fuerte limitación en mano de obra calificada. La empresa piensa por tanto, que las horas-hombre disponibles restringen su capacidad de producción. Las horas hombre asumidas por cada parte en cada departamento son: Departamento Parte 1 Parte 2 (operación) 1 0.10 0.20 2 0.20 0.15 3 0.10 0.15 4 0.05 0.10 La empresa gana $100 y $129 por unidad de las partes 1 y 2 respectivamente. Luego de considerar la experiencia y habilidad de los trabajadores actuales, se ha llegado al siguiente resultado: Asignación posible de mano de obra Únicamente a departamento 1 Únicamente a departamento 2 Únicamente a departamento 3 Únicamente a departamento 4 A departamento 1 o departamento 2 A departamento 3 o departamento 4 Plantee un modelo de PL. Hr/hombre Disponibles/semana 480 400 500 200 350 370 Variables de decisión Xi= Unidades a fabricar de las refacciones i por semana ai=horas/hombre a asignar en el departamento j por semana i= 1,2 j= 1,2,3,4 31 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Max Zo= 100x1+120x2 horas/hombre disponibles 0.10X1 + 0.20X2 ≤ a1 0.20X1 + 0.15X2 ≤ a2 0.10X1 + 0.15X2 ≤ a3 0.05X1 + 0.10X2 ≤ a4 Asignación de horas/hombre para cada departamento a1 a3 + + a1 ≤ 480 + 350 = 830 a2 ≤ 400 + 350 = 750 a3 a4 ≤ ≤ 500 200 + + 370 370 = = 870 570 ≤ ≤ a2 a4 480 500 + + 400 200 + + 350 370 = = 1230 1070 Modelo matemático Zo= 100x1+120x2 Max s.a 0.10X1 0.20X1 0.10X1 0.05X1 + + + + 0.20X2 0.15X2 0.15X2 0.10X2 - a1 - a2 - a3 - a4 a1 a2 a3 a4 a1 X1,X2,a1,a2,a3,a4≥0 + a2 a3 + a4 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≤ 0 0 0 0 830 750 870 570 1230 1070 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 32 9) PCP S.A de C.V produce rollos de papel en un ancho estándar de 20 pies c/u, los pedidos de los clientes en rollos de diversos anchos; se producen recortando el tamaño estándar de 20 pies. Los requerimientos promedio de los clientes están dados de la siguiente forma: Rollos de 5 pies 150 unidades Rollos de 7 pies 200 unidades Rollos de 9 pues 300 unidades 20 ft ¿Qué combinación es la mejor para optimizar los rollos? 9 ft c) 7 ft b) 5 ft A 33 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos Tipo de corte 5ft I 4 II 1 III IV 2 V VI 2 Definición de la variable 7ft 2 1 1 9ft 2 2 1 - Desperdicio(ton) 0 1 2 1 4 3 x1= No. de cortes del rollo tipo I. x2= No. de cortes del rollo tipo II. x3= No. de cortes del rollo tipo III. x4= No de cortes del rollo tipo IV x5= No. de cortes del rollo tipo V. x6= No de cortes del rollo tipo VI. Min Zo= 0x1+x2+2x3+x4+4x5+3x6 s.a 4X1 + X2 2X2 + + 2x4 2x3 X1,X2,X3,X4,X5≥0 + 2x4 + + 2x6 x5 x5 ≥ ≥ ≥ 150 200 300 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 34 EJERCICIOS I. FORMATO ESTANDAR Y CANÓNICO. Instrucciones: Dados los siguientes modelos de programación lineal, expresarlos en formato estándar y canónico (solamente considere variables de holgura). SOLUCIONES 1.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=2X1+2X2 s.a MIN 3X1+2X2-S1 Z=2X1+2X2 2X1 +S2 =3 +S3=4 X2 s.a 3X1+2X2≥3 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO ≤3 2X1 X2≥4 X1,X2≥0 =3 MIN Z=2X1+2X2 s.a 3X1+2X2≥3 -2X1 ≥-3 X2≥4 X1,X2,≥0 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 2.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=3X1+8X2 s.a MAX 8X1+2X2-S1 Z=3X1+8X2 s.a ≥3 X1+1/2X2≤3 X1,X2≥0 -S2 =3 X1+1/2X2 8X1+2X2≤4 -4X1 -4X1 =4 +S3=3 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=3X1+8X2 s.a 8X1+2X2≤4 -4X1 ≤-3 X1+1/2X2≤3 X1,X2,≥0 35 36 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 3.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=X1+2X2+3X3 s.a 8X1+2X2-S1 MAX 2X2-3X3+S2 Z=X1+2X2+3X3 X1+ s.a ≥3 X1+2X2 2X2-3X3 ≤5 X1+ =4 1/4X3≥4 X1-2X2 X1,X2,X3≥0 =5 1/4X3 =5 -S3 X1-2X2 =5 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=X1+2X2+3X3 s.a -X1-2X2 4X2-3X3 ≤-3 ≤-3 -X1-1/4X2 ≤3 X1-2X2 ≤5 -X1+2X2 ≤-5 X1,X2,≥0 =4 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 4.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=8X1+2X2 s.a 2X1+X2-S1 =4 3X1+8X2 -S2 =-4 MAX Z=8X1+2X2 s.a 2X1+X2≤4 I3X1+8X2I≤4 X1,X2≥0 3X1+8X2 +S3=4 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=8X1+2X2 s.a -2X1-X2 3X1+8X2 ≥4 ≥-4 -3X1-8X2 ≥4 X1,X2, ≥0 37 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 5.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=4X1+8X2 s.a X1+4X2-S1 =4 X1+8X2 -S2 =3 X2 +S3 =4 MIN Z=4X1+8X2 s.a X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO X1+4X2≤4 X1+8X2≥3 X2≤4 X1,X2≥0 MIN Z=4X1+8X2 s.a -X1-4X2 ≥-4 X1+8X2 ≥-3 8X2 X1,X2, ≥-4 ≥0 38 39 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 6.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=8X1+2X2+X3 s.a -3X3+S1 X1 X1 =4 -3X3 +S2 =5 X1+2X2 MAX X1,X2,S1,S2,S3≥0 Z=8X1+2X2+X3 FORMATO CANÓNICO s.a IX1 -3X3 I ≥4 X1+2X2 X1,X2,X3≥0 +S3 ≤8 MIN Z=8X1+2X2+X3 s.a X1 -3X3 -X1 +3X3 X1+2X2 X1,X2,≥0 ≤-3 ≤-4 ≤8 =4 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 7.- FORMATO ESTANDAR MIN MIN Z=4X1+2X2 s.a Z=4X1+2X2 s.a X1+2X2≤4 -3X1+X2≥3 X1+2X2 -3X1+X2 -S1 =3 2X2 +S2 =3 2X2≤3 X1,X2≥0 =4 X1,X2,S1,S2≥0 FORMATO CANONICO MIN Z=4X1+2X2 s.a -X1-2X2 ≥-4 X1+2X2 ≥4 -3X1+X2 -2X2 X1,X2, ≥3 ≥-3 ≥0 40 41 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 8.- FORMATO ESTANDAR MAX MIN Z=2X1+8X2+4X3 Z=2X1+8X2+4X3 s.a s.a X1 -3X3 X1 -3X3+S1 ≥4 2X2 2X1+ ≤0 4X3 X1,X2,X3≥0 ≤5 2X2 2X1+ =0 -S2 4X3 =5 -S3 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=2X1+8X2+4X3 s.a X1 -3X3 2X2 2X1 +4X3 X1,X2,≥0 ≤-3 ≤-3 ≤5 =5 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 9.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=X1-2X2 s.a X1+4X2-S1 =4 -4X1-2X2 +S2 =9 3X2 MIN Z=X1-2X2 s.a X1+4X2≥4 -4X1-2X2≤9 3X2≤5 X1,X2≥0 +S3 =5 X1,X2,S1,S2≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=X1-2X2 s.a X1+4X2 ≥4 4X1+2X2 ≥-9 -3X2 ≥-5 X1,X2, ≥0 42 43 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos EJERCICIOS II. MODELACIÓN. Instrucciones: Plantee el Modelo de Programación Lineal para cada uno de los siguientes problemas. La solución de cada uno de los problemas se encuentra al final de esta sección. PROBLEMAS 1.- Un proveedor debe preparar 5 bebidas de fruta en existencia, 500 gal que contengan por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son lo que se presentan a continuación ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo? Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E Jugo de naranja(%) Jugo de toronja (%) 40 5 100 0 0 40 10 0 100 0 Jugo de Arándaro (%) 0 20 0 0 0 Existencia (gal) Costo ($/gal) 200 400 100 50 800 1.50 0.75 2.00 1.75 0.-25 2.- La regiomontana es una fábrica que produce 3 diferentes sombreros: Su capacidad de producción mensual es como sigue. Modelo Capacidad de producción (sombreros/mes) Norteño 650 Lona 900 Articela 700 La producción mensual se reparte en tres diferentes distribuidoras que se localizan dentro del área metropolitana de la ciudad. Los costos unitarios de transporte para cada modelo se muestra a continuación Modelo Norteño Lona Articela Zona Norte $3.00 2.50 2.00 Zona Rosa $5.00 4.80 3.40 Zona Sur $7.00 5.80 5.20 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 44 Los requerimientos mensuales de cada distribuidor son como sigue: Distribuidora Zona Norte Zona Rosa Zona Sur Demanda (sombreros/mes) 750 900 600 3.- Un Hospital está realizando estudios sobre Ingeniería Industrial para optimizar con los recursos con que cuenta. Una de las principales preocupaciones del Director del Hospital es el área de personal, ya que no está del todo convencido con el número de enfermeras que laboran en la sección de emergencias. Por tal motivo, ordeno un estudió estadístico, el cual arrojo los siguientes datos Hora Número mínimo requerido de enfermeras 0a4 40 4a8 80 8 a 12 100 12 a 16 70 16 a 20 120 20 a 24 50 De acuerdo con la Ley Federal del Trabajo cada enfermera debe trabajar 8 hrs consecutivas por día. Formule un modelo de programación lineal que cumpla con los requerimientos citados. 4.- En dos máquinas se procesan cuatro productos de forma secuencial. La sig. Tabla muestra los datos pertinentes de problema. Máquina Costo por Producto Producto hr ($) I II 1 10 2 3 2 5 3 2 Precio Unitario de 75 70 Venta Formule un Modelo de programación lineal Producto III 4 1 55 Producto IV 2 2 45 Capacidad (hr) 500 380 45 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 5.- Una compañía Manufacturera local produce cuatro diferentes productos metálicos que deben maquinarse pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Maquinado (hr) 3 2 2 4 Producto I Producto II Producto III Producto IV Pulido (hr) 1 1 2 3 Ensamble (hr) 2 1 2 1 La compañía dispone semanalmente de 480 hr para el maquinado, 400 horas para el pulido y 400 hr para el ensamble. Las ganancias unitarias son: $6,$4,$6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contacto con el distribuidor en el que se compromete a entregar 50 unidades semanalmente del producto I y 100 unidades de cualquier combinación de los productos I, II y III, según la producción, pero solo como máximo 25 unidades del producto IV. ¿Cuántas Unidades de cada producto debe fabricar semanalmente la empresa, a fin de cumplir las condiciones de contrato e incrementar la ganancia total? 6.- Una comunidad ha reunido $250,000 para desarrollar nuevas áreas para la eliminación de desechos. Hay siete sitios disponibles, cuyos costos de desarrollo y capacidades se muestras a continuación. ¿Qué sitios deberá desarrollar la comunidad? Sitio Capacidad, ton/semana Costo $1000 A 20 B 17 C 15 D 15 E 10 F 8 G 5 145 92 70 70 84 14 47 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 46 7.- Banco azteca va a realizar sus prácticas de préstamo para el próximo año, para ello dispone de $20, 000,000. Los préstamos que esta obligado a solicitar son los siguiente, además de la probabilidad de no pago Préstamo Tasa de Interés Probabilidad Inc Personas 14% 0.1 Automóvil 13% 0.07 Casa Habitación 12% 0.03 Agrícola 12.5% 0.05 Comercial 10% 0.02 El banco debe asignar por lo menos ek 40% de los fondos totalkes a préstamos agrícolas y comerciales. Los préstamos para casa deben ser iguales o cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y casa habitación. Además por política del banco la relación global de pagos irrecuperables no debe ser mayor al 0.04% Nota: Un pago que no se cubre no genera interés. Formule un modelo de programación lineal que le permita a la empresa incrementar sus utilidades. Soluciones de los Modelos de programación Lineal 1. Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑨𝑨 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑩𝑩 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑪𝑪 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑫𝑫 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑬𝑬 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒔𝒔. 𝒂𝒂 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 −𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝒙𝒙 𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ≤ 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝟓𝟓 ≤ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 2 Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟏𝟏. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟑𝟑. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟒𝟒. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟓𝟓. 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟔𝟔. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 𝒔𝒔. 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟔𝟔 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 , 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥ ≥ 𝟒𝟒𝟒𝟒 ≥ 𝟖𝟖𝟖𝟖 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ≥ 𝟕𝟕𝟕𝟕 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓 47 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 3 Definir Variables 𝒙𝒙=𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋 𝒊𝒊 = 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑ñ𝒐𝒐(𝟏𝟏), 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳(𝟏𝟏), 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝟏𝟏) 𝒋𝒋 = 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵(𝟏𝟏), 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹(𝟐𝟐) 𝒚𝒚 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺(𝟑𝟑) 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟒𝟒. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟓𝟓. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑. 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟓𝟓. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔. 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 ≤ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≤ 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 4 Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒, 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 ≤ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓(𝟏𝟏𝟏𝟏) ≤ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑(𝟓𝟓) 48 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 5 Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒁𝒁 = 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟒𝟒 s.a 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≥ 𝟎𝟎 6 Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑨𝑨 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑩𝑩 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑫𝑫 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑭𝑭 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒙𝒙𝟕𝟕=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑮𝑮 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝒙𝒙𝟕𝟕 𝒙𝒙𝒊𝒊 ≥ 𝟎𝟎 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, 𝟒𝟒, 𝟓𝟓, 𝟔𝟔, 𝟕𝟕 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 49 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 7. Definir Variables. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂ó𝒗𝒗𝒊𝒊𝒊𝒊. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉ó𝒏𝒏. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂í𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒔𝒔. 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ≥ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓(𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ) ≥ 𝟖𝟖, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 ≤ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 50 CAPÍTULO II: EL METODO SIMPLEX. Objetivo: El alumno analizará fundamentos de la Programación Lineal y el procedimiento gráfico de solución, al igual que la forma detallada del procedimiento del método simplex. Capítulo II: El método simplex. 52 2.1. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX. El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. El método gráfico muestra que la solución óptima de Programación Lineal siempre está asociada con un punto de esquina (también conocido matemáticamente como punto extremo) del espacio de la solución. Este resultado es la idea clave para el desarrollo del método simplex algebraico general para resolver cualquier modelo de Programación Lineal. La transición del punto extremo geométrico (o esquina) de la solución al método simplex radica en identificar algebraicamente los puntos extremos. Para lograr esta meta, primero convertimos el modelo a la forma estándar de PL, utilizando variables de holgura o de superávit, para convertir las restricciones de desigualdad en ecuaciones. El interés en la forma estándar de PL, se basa en las soluciones básicas de las ecuaciones lineales simultáneas. Esta solución básica (algebraica) define completamente todos los puntos extremos (geométricos) del espacio de la solución. El algoritmo simplex está diseñado para localizar de manera eficiente la óptima entre estas soluciones básicas. Es la técnica para solucionar problemas de programación lineal. Se fundamenta en 2 criterios: a) Criterio de optimalidad: Este principio garantiza que nunca encontraremos soluciones inferiores a la del punto ya considerado. b) Criterio de factibilidad: Este criterio nos asegura que si comenzamos con una solución básica factible inicial, siempre encontraremos soluciones básicas factibles. EJEMPLO 1: MAX………………………….Z=4X1+3X2 s.a 2X1 + 3X2 ≤ 6 -3X1 + 2X2 ≤ 3 2X1 + 2X2 X2 ≤ ≤ 5 4 X1 , X2 ≥ 0 Capítulo II: El método simplex. 53 Paso 1: Obtener su forma estándar añadiendo las variables de holgura respectivas en función del signo de la desigualdad. Max Zo=4x1+3x2+0s1+0s2+0s3+0s4 s.a + 3x2 + S1 + 2x2 2x2 2x1 + x2 x1,x2,s1,s2,s3,s4≥0 2x1 -3x1 + = = = = S2 + S3 + S4 6 3 5 4 Paso 2: n= Incógnitas ó No. de variables m=No. de Restricciones n= 6 m= 4 n-m= 6-4= 2 No. de variables no básicas. Nota: Se llaman no básicas a aquellas que su valor es cero. Paso 3: Preguntar ¿Se puede resolver con la solución más sencilla? es decir, se tienen 4 holguras positivas, para conformar una matriz identidad. Paso 4: Igualar a cero la función objetivo. Zo=-4x1-3x2-0s1-0s2-0s3-0s4=0 Paso 5: Armar el tablero inicial ZONA ∞ MATRÍZ IDENTIDAD VARIABLE DE ENTRADA BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 -4 -3 0 0 0 0 0 S1 0 2 3 1 0 0 0 6 6/2 = 3 S2 0 -3 2 0 1 0 0 3 3/-3 = -1 S3 0 0 2 0 0 1 0 5 5/0 = ∞ S4 0 2 1 0 0 0 1 4 4/2 = 2 VARIABLE DE SALIDA A la integración de toda la fila de la variable de salida con la columna de variable de entrada se multiplica por su inverso, para obtener lo que se llama eje pivote. Capítulo II: El método simplex. 54 Nota: Los coeficientes de las variables básicas en cualquier tabla simplex se conforma una matriz de identidad. En la tabla es la exposición donde S1=6, S2=3, S3=5 y S4=4 PRIMERA LEY Una tabla es óptima para el caso de maximización cuando todos los elementos de la zona ∞ sean positivos o cero y viceversa para el caso de minimización. SEGUNDA LEY Para elegir la variable de entrada se toma el elemento más negativo de la zona ∞, para el caso de maximización y viceversa para minimización. TERCERA LEY Para definir las variables de salida se forman cocientes, donde los numeradores se toman de la columna de la solución (únicamente de las restricciones y donde los denominadores serán los números correspondientes en la columna de variable entrada). No se admiten indeterminaciones, no cocientes negativos, la variable de salida se elige tomando el menor cociente positivo tanto para Maximizar como Minimizar. Capítulo II: El método simplex. 1.- ITERACIÓN 55 VARIABLE DE SALIDA VARIABLE DE ENTRADA BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 0 -1 0 0 0 2 8 S1 0 0 2 1 0 0 -1 2 2/2 = 1 S2 0 0 7/2 0 1 0 3/2 9 9/ 7/2 = 2.57 S3 0 0 2 0 0 1 0 5 5/2 = 2.5 X1 0 1 1/2 0 0 0 1/2 2 2/1/2 = 4 Se multiplica por ½ toda la fila de la variable de salida S1, entrando X2, obteniendo el eje pivote 1 arriba de este último y abajo se tendrá que hacer ceros. 2.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 0 0 1/2 0 0 3/2 9 X2 0 0 1 1/2 0 0 -1/2 1 S2 0 0 0 -7/4 1 0 13/4 11/2 S3 0 0 0 1 1 0 1 3 X1 0 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2 Como la zona Z son todos los números positivos y ceros se dice que la tabla es óptima. SOL X1 = 3/2 X2 =1 S2 = 11/2 S3 3 MAX S1= 0 Z= 9 S4= 0 2 Variables no básicas Nota 1: Solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. Nota 2: Una solución no factible es una solución para que al menos una restricción se viole. Capítulo II: El método simplex. 56 Comprobación Zo=4x1+3x2 Zo=4(3/2)+3(1) s.a 9=9 2x1+3x2≤6 2(3/2)+3(1)≤6 6≤6 -3x1+2x2≤3 -3(3/2)+2(1)≤3 -2.5≤3 2x2≤5 2(1)≤5 2≤5 2x1+x2≤4 2(3/2)+1≤4 4≤4 EJEMPLOS 2: Resolver el siguiente problema. MAX Z=2X1-3X2+4X3+5X4 s.a 3X1 + 9X2 + 2X3 + 7X4 ≤ 10 2X1 - 2X2 + 3X3 + 9X4 ≤ 15 2X1 + 4X2 + 9X3 + 6X4 ≤ 5 X1 , X2 , Llevándola a su forma estándar X3 , X4 ≥ 0 Z=2X1-3X2+4X3+5X4+0S1+0S2+0S3 Z=-2X1+3X2-4X3-5X4-0S1-0S2-0S3=0 3X1 + 9X2 + 2X3 + 7X4 2X1 - 2X2 + 3X3 + 9X4 2X1 + 4X2 + n=7 9X3 + m=3 6X4 + n-m= 7-3=4 variables no básicas S1 + S2 + S3 = 10 = 15 = 5 Capítulo II: El método simplex. 57 Variable de entrada BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 3 -4 -5 0 0 0 0 S1 0 3 9 2 7 1 0 0 10 =10/7=1.42 S2 0 2 -2 3 9 0 1 0 15 S3 0 2 4 9 6 0 0 1 5 =15/9=1.66 =5/6=0.83 Variable de salida Se multiplica toda la fila de S3 de la base por 1/6 para hacer un eje pivote X4 igual a 1, en la intersección de la columna de variable de entrada con la fila de la variable de salida; haciendo cero arriba de este y debajo de este, mediante adiciones y sustracciones. 1.- Iteración BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 -1/3 19/3 7/2 0 0 0 5/6 25/6 S1 0 2/3 13/3 -17/2 1 0 0 -7/6 25/6 =4.1666/0.666= 6.25 S2 0 -1 0 1 0 -3/2 15/2 =7.5/-1=-7.5 0 1/3 2/3 3/2 0 0 Se multiplica toda la fila de X4 por 3. 1 1/6 5/6 =0.8333/0.333=2.5 X4 -8 -21/2 2.- Iteración BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 7 5 1 0 0 0 5 S1 0 0 3 -23/2 -2 1 0 0 5/2 S2 0 0 -6 -6 3 0 1 0 10 X1 0 1 2 9/2 3 0 0 Es óptimo porque la zona ∞ son ceros y positivos. 1 5/2 Capítulo II: El método simplex. 58 SOL X2= 0 S1 = 5/2 X1 = 5/2 S2 = 10 X3= 0 Z= 5 X4= 0 Solución óptima finita única S3= 0 Comprobación Zo=2(5/2)-3(0)+4(0)+5(0) Z=5 3x1+9x2+2x3+7x4≤10 3(5/2)+9(0)+2(0)+7(0)≤10 7.5≤10 2x1-2x2+3x3+9x4≤15 2(5/2)-2(0)+3(0)+9(0)≤15 5≤15 2x1+4x2+9x3+6x4≤5 2(5/2)+4(0)+9(0)+6(0)≤5 5≤5 EJEMPLO 3: MAX………………………….Z=2X1+X2 s.a X1 + 2X2 ≤ 8 -3X1 + 2X2 ≤ 4 4X1 + 2X2 ≤ 24 X1 , X2 Llevándolo a su forma estándar ≥ 0 Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3 s.a x1 -3x1 4x1 n=5 + 2x2 + 2x2 + 2x2 m=3 + S1 8 = 4 = + S3 = 24 n-m=5-3=2 Variables no básicas. + S2 Capítulo II: El método simplex. 59 Variable de entrada BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 8 8/1 = 8 S2 0 -3 2 0 1 0 4 S3 0 4 2 0 0 1 24 4/ 3 = 1.333 24/4 = 6 Variable de salida 1.- iteración BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 0 0 1/2 12 S1 0 0 3/2 1 0 -1/4 2 S2 0 0 7/2 0 1 3/4 22 X1 0 1 1/2 0 0 1/4 6 X1 =6 S1 =2 S2 = 22 Z= 12 X2= 0 S2= 0 Solución óptima finita única Capítulo II: El método simplex. 60 EJEMPLO 4: MIN Z=X1-3X2-2X3 s.a 3X1 - X2 -2X1 + 4X2 -4X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 7 ≤ 12 + 8X3 ≤ 10 X1 , X2 , Llevándolo a su forma estándar X3 ≥ 0 Z=X1-3X2-2X3+0S1+0S2+0S3 Z=-X1-3X2-2X3-0S1-0S2-0S3=0 3X1 - X2 -2X1 + 4X2 -4X1 + 3X2 n=6 + 2X3 + S1 + + S2 8X3 m=3 + S3 = 7 = 12 = 10 Variable de entrada n-m= 6-3=3 variables no básicas BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 -1 3 2 0 0 0 0 S1 0 3 -1 2 1 0 0 7 =7/-1=-7 S2 0 -2 4 0 0 1 0 =12/4=3 S3 0 -4 3 8 0 0 1 12 10 =10/3=3.333 Variable de salida Variable de entrada 1.- Iteración BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 1/2 0 2 0 -3/4 0 -9 S1 0 5/2 0 2 1 1/4 0 10 =10/2=5 X2 0 -1/2 1 0 0 1/4 0 3 =3/0=∞ S3 0 -5/2 0 8 0 -3/4 1 1 =1/8=0.125 Variable de salida Capítulo II: El método simplex. 2.- Iteración 61 Variable de entrada BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 9/8 0 0 0 -9/16 -1/4 S1 0 25/8 0 0 1 7/16 -1/4 -37/4 39/4 X2 0 -1/2 1 0 0 1/4 0 3 X3 0 -5/16 0 1 0 -3/32 1/8 1/8 Variable de salida 3.- Iteración BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 0 -9/25 -18/25 -4/25 -319/25 X1 0 1 0 0 8/25 7/50 -2/25 78/25 X2 0 0 1 0 4/25 8/25 -1/25 114/25 X3 0 0 0 1 1/10 -1/20 La zona ∞ son seros y negativos por lo tanto es optima. 1/10 11/10 X1 S1= 0 =78/25 X2 = 114/25 X3 = 11/10 Z= -319/25 S2= 0 S3= 0 Solución óptima finita única Capítulo II: El método simplex. 62 EJEMPLO 5: MIN………………………….Z=2X1-5X2 s.a 3X1 + 8X2 ≤ 12 2X1 + 3X2 ≤ 16 X1 , X2 Llevando a su forma estándar ≥ 0 Zo=2x1-5x2+0s1+0s2 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2=0 s.a 3x1 2x1 + 8x2 + 3x2 m=2 n=4 + S1 = 12 + S2 = 16 n-m=4-2=2 Variables no básicas. 1.-Iteración BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -2 5 0 0 0 S1 0 3 8 1 0 12 12/8 = 1.5 S2 0 2 3 0 1 16 16/ 3 = 5.3 2.- Iteración BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -31/8 0 -5/8 0 15/2 X2 0 3/8 1 1/8 0 3/2 S2 0 7/8 0 3/8 1 27/2 Solución X2 = 3/2 S2 = 23/2 Z= 15/2 S1= 0 X1=0 Variables no básicas Capítulo II: El método simplex. 63 2.2. MÉTODO DE LAS VARIABLES ARTIFICIALES. 2.2.1. Método de la gran M o método penal. El método de la gran M es empleado para resolver modelos de programación lineal; cuando en sus restricciones al menos una de ellas el signo de la desigualdad es diferente≤; es decir, las restricciones son del tipo ≥ o =; el algoritmo matemático para resolver este tipo de modelos obedece a los siguientes pasos: 1.- Se expresa en problema en la forma estándar. 2.- Se añaden las Variables no negativas en cada una de las ecuaciones, cuyas restricciones originales tengan (≥ ) o (=). Esas variables artificiales y su presencia es una violación a las leyes del álgebra. Esta dificultad se supera asegurando que esas variables artificiales sean ceros (0) en la solución final. 3.- Utilizar las variables artificiales para la solución básica inicial, para ello la función objetivo deberá ser ajustada adecuadamente. Proceda con los pasos regulares del Método Simplex. Nota: Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener la solución inicial. Son variables ficticias y no tienen ningún significado físico directo en términos del problema original. Las variables artificiales se reconocerán por la variable Wn Ejemplo 1 MIN………………………….Z=4X1+X2 s.a 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥ 0 No se puede aplicar el Simplex Se tiene que emplear la técnica de Variables Artificiales PASO1: Pasar a formato estándar y añadir variables artificiales en las restricciones y que estas sean ≥. Capítulo II: El método simplex. 64 Formato estándar. MIN………………………….Z=4X1+X2 s.a 3X1 + X2 4X1 + 3X2 X1 + X2 X1 , n=4 X2 + S1 , S1 m=3 = 3 = 6 = 3 + S2 , S2 ≥ 0 n-m=4-3=1Variables no básicas. Por lo tanto hay 3 Variables básicas PASO 2: Se añade en la función objetivo el coeficiente M contrario a su espíritu de dicha función por cada variable artificial contenida en las restricciones y se iguala a cero la función objetivo. MIN………………………….Z=4X1+X2-0S1-0S2+MW1+MW2 Z-4X1-X2-0S1-0S2-MW1-MW2=0 s.a 3X1 + X2 4X1 + 3X2 X1 + X2 X1 , X2 + + , W1 S1 S1 + + S2 , S2 , W1 , W2 W2 = 3 = 6 = 3 ≥ 0 Siempre se considera la variable artificial en vez de la de holgura en la base, no importa si es Maximización o Minimización. PASO 3: Armar el Tablón en la base siempre que la desigualdad sea de signo (≥ o =), la variable a contemplar será la artificial y en las desigualdades ≤ será siempre en la base de las variables de holgura. Capítulo II: El método simplex. 65 BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 -M -M 0 W1 0 3 1 0 0 1 0 3 W2 0 4 3 -1 0 0 1 6 S2 0 1 1 0 1 0 0 3 NOTA 1: Se forma la Matriz identidad con las variables artificiales acompañadas con las de holgura, intercambiando la columnas o filas en el siguiente orden X1, X2, S1, W1, S2, W2. BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 -4 -1 0 -M -M 0 0 W1 0 3 1 0 1 0 0 3 W2 0 4 3 -1 0 1 0 6 S2 0 1 1 0 0 0 1 3 PASO 4: Hacer el ajuste. Eliminar las –M de la zona∞, para ello cada variable artificial se multiplica por el mismo coeficiente con signo opuesto y se suman las variables artifíciales y la cantidad será adicionada en la función objetivo zona∞, esto es para Maximizar y Minimizar. El ajuste solo se lleva a cabo en la función objetivo. Variable de entrada Variable de salida BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 7M-4 4M-1 -M 0 0 0 9M W1 0 3 1 0 1 0 0 3 =3/3=1 W2 0 4 3 -1 0 1 0 6 =6/4=1.5 S2 0 1 3 =3/1=3 1 0 0 0 1 𝑋𝑋1 = 3𝑀𝑀 + 4𝑀𝑀 = 7𝑀𝑀 − 4 = −4 + 7𝑀𝑀 𝑋𝑋2 = 𝑀𝑀 + 3𝑀𝑀 = 4𝑀𝑀 − 1 = −1 + 4𝑀𝑀 𝑆𝑆1 = 0𝑀𝑀 − 1𝑀𝑀 = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀 𝑊𝑊1 = 1𝑀𝑀 + 0𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑊𝑊2 = 0𝑀𝑀 + 1𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Capítulo II: El método simplex. 66 PASO 5: Se sigue o aplica el método simplex y los criterios de factibilidad, según sea el caso para maximizar o minimizar el coeficiente M no tiene valor. X1 X2 -4+7M -1+4M NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO POSITIVO Minimizar el más positivo de la zona ∞ para la variable de entrada. 7M ≥ 4M por lo tanto 7M es la variable más positiva y entra X1. Toda la fila del renglón W 1 se multiplica por 1/3 para obtener 1 y tiene que ser el eje pivote. En caso de la Función Objetivo se sigue toda la fila, se multiplica por 4-7M; checar operaciones: 𝑋𝑋1 = 4 − 7𝑀𝑀(1) = 4 − 7𝑀𝑀 + ( −4 + 7𝑀𝑀) = 0 1 4 7 1 5 𝑋𝑋2 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + ( −1 + 4𝑀𝑀) = + 𝑀𝑀 3 3 3 3 3 𝑆𝑆1 = 0(4 − 7𝑀𝑀) = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀 1 4 7 4 7 𝑊𝑊1 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + 0 = − 𝑀𝑀 3 3 3 3 3 𝑊𝑊2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0 𝑆𝑆2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0 1.- Iteración 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = (4 − 7𝑀𝑀)1 = 4 − 7𝑀𝑀 + 9𝑀𝑀 = 4 + 2𝑀𝑀 BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 0 5/3M+1/3 -M -7/3M+4/3 0 0 2M+4 X1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1 =1/0.33=3 W2 0 4 5/3 -1 -4/3 1 0 2 =2/1.66=1.2 S2 0 1 =2/0.66=3.0 1 2/3 0 -1/3 0 0 Se elige la variable de entrada el más positivo de la zona ∞ X2= 1/3+5/3M el más positivo. W1= 4/3-7/3M negativo. Capítulo II: El método simplex. 67 NOTA: Arriba y abajo del eje pivote ceros, hay que multiplicarlo por cada uno de los números que se encuentran en la columna con signo opuesto al eje pivote y sumarlo en la respectiva fila. 2.- Iteración. 1 5 1 5 1 5 𝑋𝑋2 = �− − 𝑀𝑀� 1 = − − 𝑀𝑀 + + 𝑀𝑀 = 0 3 3 3 3 3 3 1 5 3 1 1 1 𝑆𝑆1 = �− − 𝑀𝑀� − = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 3 3 5 5 5 5 1 5 −4 4 4 4 7 8 𝑊𝑊1 = �− − 𝑀𝑀� = + 𝑀𝑀 + − 𝑀𝑀 = − 𝑀𝑀 3 3 5 15 3 3 3 5 1 5 3 1 1 𝑊𝑊2 = �− − 𝑀𝑀� = − − 𝑀𝑀 + 0 = − − 𝑀𝑀 3 3 5 5 5 NOTA: Los empates se rompen arbitrariamente. BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 0 0 1/5 8/5-M -1/5-M 0 18/5 X1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 =0.6/0.2=3 X2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 =1.2/-0.6=-2 S2 0 0 0 3.- Iteración. 2/5 1/5 -2/5 1 6/5 =1.2/0.4=3 BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 -1 0 0 1-M -M 0 3 S1 0 5 0 1 3 -1 0 3 X2 0 3 1 0 1 0 0 3 S2 0 2 0 0 -1 0 1 0 VARIABLES BÁSICAS S2= 0 W1= 0 S1 =3 X2 =3 MIN Z= 3 W2= 0 VARIABLES NO BÁSICAS. Capítulo II: El método simplex. 68 Ejemplo 2. MAX………………………….Z=4X1+X2 s.a 2X1 + X2 ≥ 8 3X2 ≤ 30 = 10 ≥ 0 X1 X1 , X2 Formato estándar Z=4X1+X2-0S1+0S2-MW1-MW2 Z-4X1-X2+0S1-0S2+MW1+MW2 s.a 2X1 + X2 - S1 3X2 + + W1 S2 X1 X1 , X2 , S1 , S2 , W1 = 8 = 30 + W2 = 10 , W2 ≥ 0 n=6 m=3 n-m=6-3=3 Variables no básicas. BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 M M 0 W1 0 2 1 -1 0 1 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 1 30 W2 0 1 0 0 0 0 0 10 Capítulo II: El método simplex. (-M) (-M) 69 BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 M M 0 W1 0 2 1 -1 0 1 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 1 30 W2 0 1 0 0 0 0 0 10 -2M -M M -M 0M 0M -8M -1M -0M 0 0 0M -M -10M SUMO W1+W2 por el ajuste Variable Variable de salida de entrada BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -3M-4 -M-1 M 0 0 0 -8M W1 0 2 1 -1 0 0 0 8 =8/2=4 S2 0 0 3 0 1 1 0 30 =30/0=∞ W2 0 1 0 0 0 0 1 10 =10/1=10 Variable de entrada 1.- Iteración 3M+4 BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 1/2M-1 -1/2M-2 3/2M+2 0 0 -6M+16 X1 0 1 1/2 -1/2 1/2 0 0 4 =8/-1/2=-8 S2 0 0 3 0 0 1 0 30 W2 0 0 -1/2 1/2 -1/2 0 1 6 =30/0=∞ =6/0.5=12 Variable de salida Capítulo II: El método simplex. 2.- Iteración 1/2M+2 70 Variable de entrada Variable de salida BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 -1 0 M 0 M+4 40 X1 0 1 0 0 0 0 1 10 =10/0=∞ S2 0 0 3 0 0 1 0 30 =30/3=10 S1 0 0 -1 1 -1 0 2 12 =12/-1=12 3. - Iteración BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 0 M 1/3 M+4 30 X1 0 1 0 0 0 0 1 10 X2 0 0 1 0 0 1/3 0 10 S1 0 0 0 1 -1 1/3 2 22 V. Básicas V. no Básicas X1=10 S2=0 X2=10 W1=0 S1=22 W2=0 Capítulo II: El método simplex. 71 EJEMPLO 3 MAX………….Z=-3X1-6X2 Z=-3X1-6X2 s.a [4X1 - 8X2 ≥ -12]-1 -4X1 + 8X2 ≤ 12 2X1 + 6X2 ≥ 16 2X1 + 6X2 ≥ 16 3X1 - 6X2 = 8 3X1 - 6X2 = 8 X1 , X2 ≥ 0 Formato estándar Z=-3X1-6X2+0S1-0S2+MW1+MW2 Z+3X1+6X2-0S1+0S2-MW1-MW2=0 s.a -4X1 + 8X2 2X1 + 6X2 3X1 - 6X2 X1 , X2 + S1 - , S1 , S2 + S2 , W1 W1 = 12 = 16 + W2 = , W2 ≥ n=6 m=3 n-m=6-3=3 Variables no básicas. BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 3 6 0 0 -M -M 0 S1 0 -4 8 1 0 0 0 12 W1 0 2 6 0 -1 1 0 16 W2 0 3 -6 0 0 0 1 8 Capítulo II: El método simplex. 72 BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 3 6 0 0 -M -M 0 S1 0 -4 8 0 1 0 0 12 W1 0 2 6 -1 0 1 0 16 W2 0 3 -6 0 0 0 1 8 Variable de entrada BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 5M+3 6 -M 0 0 0 24M X1 0 -4 8 0 1 0 0 12 =12/-4=-3 S2 0 2 6 -1 0 1 0 =16/2=8 3 -6 10 0 0 1 16 8 S1 0 1.-Iteración 5M+4 Variable de entrada =8/3=2.6 Variable de salida BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 10M+12 -M 0 0 -5/3 M-1 32/3 M-8 X1 0 0 0 0 1 0 4/3 68/3 =22.66/0=∞ W1 0 0 10 -1 0 1 -2/3 32/2 =10.66/10=5.33 -2 10 0 0 1/3 8/3 =2.66/-2=-1.33 X1 0 1 2.- Iteración BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 6/5 0 -M-6/5 -M-1/5 -104/5 S1 0 0 0 0 1 0 4/3 68/3 X2 0 0 1 -1/10 0 1/10 -1/15 16/15 X1 0 1 0 -1/5 0 1/5 V. no Básicas 1/5 24/5 10M+2 V. Básicas X1=24/5 MAX S2=0 X2=16/5 Z=104/5 W1=0 S1=68/3 W2=0 Capítulo II: El método simplex. 73 2.2.2. Método de la Doble Fase. El procedimiento de la doble fase es similar al Método de la M en sus pasos 1 y 2, solo que en su paso 4 se sustituye la función (F.O), por una función que será la de objetivo de estudio, la cual se obtiene a partir de la suma de tantas variables artificiales como sean necesarias agregar en la forma estándar. MIN………………Z=2X1+X2 s.a 3X1 + X2 ≥ 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≥ 3 X1 , X2 ≥ 0 No se puede hacer por Método simplex Paso 1: Formato Estándar. Z=2X1+X2-S1-S2-S3+W1+W2+W3 Z-2X1-X2-0S1+0S2+S3+W1+W2+W3 3X1 4X1 X1 X1 + + + , X2 3X2 2X2 X2 - S1 + - W1 S2 + - W2 S3 + W3 = = = ≥ 3 6 3 0 Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción: siempre se tomara en cuenta los signos ≥ o = y se suman todas las variables artificiales, tomando una nueva función objetivo. MIN………………a=W1+W2+W3 s.a W1 = 3 - 3X1 - X2 W2 = 6 - 4X1 - 3X2 W3 = 3 - X1 - 2X2 a = 12 - 8X1 - 6X2 + S1 + + S1 + S2 S2 + S3 + S3 Se iguala la función objetivo a la constante obtenida de la suma de cada una de ellas, en este caso a 12. Capítulo II: El método simplex. 74 MIN………………a=12-8X1-6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3 Igualando a a+8X1+6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3=12 s.a 3X1 4X1 X1 X1 + + + , X2 3X2 2X2 X2 - , S1 + - S2 , S2 S1 , S3 S3 n-m=8-3=5 variables no básicas a 1 0 0 0 X1 8 3 4 1 W1 + W2 , W2 + , W3 W3 = = = ≥ 3 6 3 0 Variable de salida Variable de entrada Fase 1 Base a W1 W2 W3 , W1 X2 5 1 3 2 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 S3 -1 0 0 -1 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 12 3 6 3 X2 10/3 1/3 5/3 5/3 S1 5/3 -1/3 4/3 1/3 S2 -1 0 -1 0 S3 -1 0 0 -1 W1 -8/3 1/3 -4/3 -1/3 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 4 1 2 2 X2 0 0 1 0 S1 -1 -3/5 4/5 -1 S2 1 1/5 -3/5 1 S3 -1 0 0 -1 =3/3=1 =6/4=1.5 =3/1=33 1.- Iteración Base a X1 W2 W3 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 2.-Iteración Base a X1 X2 W3 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 W1 0 3/5 -4/5 1 W2 -2 -1/5 3/5 -1 W3 0 0 0 1 SOL 0 3/5 6/5 0 0.6/0.2=3 1.2/-0.6=-2 0/1=0 Capítulo II: El método simplex. Base a X1 X2 S2 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 0 -2/5 1/5 -1 S2 0 0 0 1 S3 0 1/5 -3/5 -1 W1 -1 2/5 -1/5 1 75 W2 -1 0 0 -1 W3 0 0 0 0 SOL 0 3/5 6/5 0 Fase 2: Lleva de la función objetivo a a la función objetivo inicial Z. X1 X2 2/5S1 + 1/5S3 = + 1/5S1 3/5S3 = S1 + S2 S3 = Despejar cada una de las ecuaciones de la base obtenidas en la variable respectiva 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 = 3/5 6/5 0 Fase I con la 3 2 1 + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 5 5 5 6 1 3 − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 Sustituimos los valores X1, X2 en la función objetivo Z, la función original. 𝑍𝑍 = 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 3 2 1 6 1 3 𝑍𝑍 = 2 � + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 � + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 5 5 5 𝑍𝑍 = 2 6 1 3 6 4 + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 5 5 5 Se iguala a 12/5 𝑍𝑍 = 12 3 1 + 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 3 1 12 𝑍𝑍 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 = 5 5 5 Armar nuevamente el tablón sin las variables artificiales. Base a X1 X2 S2 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 -3/5 -2/5 1/5 -1 S2 0 0 0 1 S3 -1/5 1/5 -3/5 -1 SOL 12/5 3/5 6/5 0 V. Básicas V. no Básicas X1=3/5 S2, S1, S3=0 X2=6/5 La tabla es óptima porque se tienen 0 y negativos en la zona ∞ Capítulo II: El método simplex. 76 EJERCICIO 1 MIN………………Z=8X1+2X2 3X1 4X1 5X1 X1 + + , 5X2 X2 3X2 X2 - S1 + - , S1 , W1 S2 + , S2 S3 S3 , W1 + S1 W3 W3 = = = ≥ + S3 + S3 W2 , + , W2 13 2 11 0 MIN………………a=W1+W2+W3 s.a W1 = 13 - 3X1 - 5X2 W2 = 2 - 4X1 + X2 W3 = 11 - 5X1 - 3X2 a = 26 - 12X1 - 7X2 a 1 0 0 0 + S1 S2 + S2 𝑎𝑎 + 13𝑋𝑋1 + 7𝑋𝑋2 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 − 𝑆𝑆3 = 26 Fase 1 Base a W1 W2 W3 + X1 13 3 4 5 X2 7 5 -1 3 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 X2 0 1 0 0 S1 6 -1 -1 3 S2 -1 0 -1 0 S3 -1 0 0 -1 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 26 13 2 11 =13/5=2.6 =2/-1=-2 =11/3=3.66 1.- Iteración Base a X2 W2 W3 a X1 1 44/5 0 3/5 0 23/5 0 16/5 2.-Iteración S3 -1 0 0 -1 W1 -7/5 1/5 1/5 -3/5 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 39/5 13/5 23/5 16/5 Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 -9/4 -1 7/4 1/4 0 -11/4 -1 X2 W2 X1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 -25/16 -85/16 15/16 0 0 0 3/16 23/16 -5/16 5/16 17/16 -3/16 0 1 0 -3/16 -23/16 5/16 2 0 1 =2.6/0.6=4.3 =4.6/4.6=1 3.2/3.2=1 =2/-0.18=10.6 =0/1.43=0 1/-0.31=3.2 Capítulo II: El método simplex. 77 3.-Iteración. Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 -67/92 -1 0 -24/23 -28/23 -1 -1 0 0 1 1 0 0 -20/23 -85/23 -5/23 0 0 0 0 1 0 4/23 17/23 1/23 -3/23 16/23 5/23 0 -1 0 2 0 1 X2 S3 X1 0 0 0 Fase 2: Cambiando de a Z X2 - X1 20/23 S1 85/23 S1 5/23 S1 𝑋𝑋2 = 2 + 𝑆𝑆3 = 0 + 𝑋𝑋1 = 1 + Min 𝑍𝑍 = 8 �1 + X1 X2 S1 S2 a 1 0 0 -80/23 X2 S3 X1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 -26/23 -85/23 -5/23 20 𝑆𝑆 23 1 85 𝑆𝑆 23 1 5 𝑆𝑆 23 1 40 40 𝑆𝑆1 + 4 + 𝑆𝑆 23 23 1 𝑍𝑍 = 12 + a S3 2 0 1 5 20 𝑆𝑆1 � + 2 �2 + 𝑆𝑆1 � 23 23 𝑍𝑍 = 8 + Base + = = 𝑍𝑍 − 80 𝑆𝑆 23 1 80 𝑆𝑆 = 12 23 1 S3 SOL 0 0 12 0 0 0 0 1 0 2 0 1 MIN Z=12 V. no Básicas X2=2 S1, S2 =0 S3=0 X1=1 Capítulo II: El método simplex. 78 EJEMPLO MAX………………Z=3X1+5X2 s.a 4X1 + X2 ≥ 4 -X1 + 2X2 ≥ 2 X2 ≤ 3 X2 ≥ 0 X1 , Paso 1: Formato Estándar. F=W1+W2 F+3X1+3X2-S1-S2=6 4X1 -X1 + + X2 2X2 X2 - S1 + - W1 S2 + + W2 S3 + W3 = = = 4 2 3 Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción. W1 = 4 - 4X1 - X2 W2 = 2 + X1 - 2X2 F = 6 - 3X1 - 3X2 + + S1 S1 + S2 + S2 Se iguala la función objetivo F+3X1+3X2-S1-S2=6 NOTA: Para el caso de Maximizar en el Método de la doble fase se maneja con los criterios de Minimización al momento de definir Variables de entrada y salida esta tiene alcance tanto en las iteraciones desarrolladas en la Fase I y Fase II; quedando óptima cuando en la zona ∞, todos sean negativos o ceros. Solo este criterio aplicara para Maximizar bajo el método de la doble fase. Capítulo II: El método simplex. 79 TABLON Base F W1 W2 S3 F 1 0 0 0 X1 3 4 -1 0 X2 3 1 2 1 S1 -1 -1 0 0 Base F W1 W2 S3 F 1 0 0 0 X1 3 4 -1 0 X2 3 1 2 1 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 S3 0 0 0 1 S2 -1 0 -1 0 W1 0 1 0 0 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W2 0 0 1 0 SOL 6 4 2 3 S3 0 0 0 1 SOL 6 4 2 3 =4/1=4 =2/2=1 =3/1=3 1.-Iteración Base F X1 X2 S1 S2 W1 W2 S3 SOL F 1 9/2 0 -1 1/2 0 -3/2 0 3 W1 X2 S3 0 0 0 9/2 -1/2 1/2 0 1 0 -1 0 0 1/2 -1/2 1/2 1 0 0 -1/2 1/2 -1/2 0 0 1 3 1 2 =3/4.5=0.66 =1/0.5=-2 =2/0.5=4 2.-Iteración Base F X1 X2 S1 S2 W1 W2 S3 SOL F 1 0 0 0 0 -1/2 -1 0 0 X1 X2 S3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -2/9 -1/9 1/9 1/9 -4/9 4/9 2/9 1/9 -1/9 -1/9 -1/18 -4/9 0 0 1 2/3 4/3 5/3 Fase 2. Llevar de la función Objetivo F a Z. Encontrando las ecuaciones de cada una de las variables básicas de la tabla óptima. Capítulo II: El método simplex. X1 - X2 2/9S1 1/9S1 1/9S1 + + 1/9S2 4/9S2 4/9S2 + S3 80 =2/3 =4/3 =5/3 Ec. (1) Ec. (2) Ec. (3) Despejando a X1 de la Ec. (1) a X2 de la Ec (2) y S3 de la Ec. (3) X1 X2 S3 = = = 2/3 4/3 5/3 + + - 2/9S1 1/9S1 1/9S1 + - 1/9S2 4/9S2 4/9S2 Ec. (4) Ec. (5) Ec. (6) Sustituyendo a X1 y X2 y S3 de las ecuaciones 4,5,6. Z=3X1+5X2 𝒁𝒁 = 𝟑𝟑�𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 � + 𝟓𝟓�𝟒𝟒�𝟑𝟑 + 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 � 𝒁𝒁 = 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟑𝟑�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟓𝟓�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 𝒁𝒁 − 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 = TABLON 𝒁𝒁 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 VARIABLES BASICAS Base Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 -1 17/9 0 26/3 X1 X2 S3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -2/9 -1/9 1/9 1/9 -4/9 4/9 0 0 1 2/3 4/3 5/3 COMPROBACIÓN Z=3(2/3)+5(4/3)=26/3 s.a 4(2/3)+4/3≥4 4≥4 -2/3+2(4/3)≥2 2≥2 X1=2/3 X2=4/3 S3=5/3 Z=26/3 VARIABLES NO BASICAS S1=S2=0 Capítulo II: El método simplex. 81 EJERCICIO 2 Un estanque de peces es abastecido cada primavera con dos especies: beta y globo; si hay dos tipos de comida f1 y f2 disponibles en el tanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento promedio de alimento para cada pez; esta dado en la siguiente tabla: ESPECIE F1 F2 PESO PROMEDIO BETA GLOBO 2 3 3 1 3 lb 2 lb Si existen 600 lb de comida f1 y 300 lb de comida f2 diariamente. ¿Cuántos peces deben existir en la pecera; dado que lo mínimo para lo cual fue construida es de 400 lb? Definición de Variables. X1= No. de peces beta que deben haber en el estanque o pecera. X2= No. de peces globo que deben haber en el estanque o pecera. MAX………………Z=X1+X2 s.a 3X1 + 2X2 ≥ 400 2X1 + 3X2 ≤ 600 3X1 + X2 ≤ 300 X1 , X2 ≥ 0 MIN………………Z=X1+X2-0S1+MW1+0S2+0S3 Z=-X1-X2+0S1+MW1-0S2-0S3 3X1 2X1 3X1 X1 + + + , 2X2 3X2 X2 X2 - S1 + W1 , W1 + S2 , S1 , S2 + , S3 S3 = = = ≥ 400 600 300 0 Capítulo II: El método simplex. Base Z W1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -1 3 2 3 X2 -1 2 3 1 S1 0 -1 0 0 W1 M 1 0 0 82 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 SOL 0 400 600 300 AJUSTE Base Z W1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -3M-1 3 2 3 X2 -2M-1 2 3 1 S1 M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 S2 0 0 1 0 SOL -400M 400 600 300 400/3=133 600/2=300 300/3=100 1.-Iteración Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 -M-2/3 M 0 0 M+1/3 100M+100 0 0 1 1 7/3 1/3 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 -2/3 1/3 100 400 100 W1 S2 X1 0 0 0 2.-Iteración Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 -2/3 M+2/3 0 1/3 500/3 X2 S2 X1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 7/3 1/3 1 -7/3 -1/3 0 1 0 -1 5/3 2/3 100 500/3 200/3 3.-Iteración Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 0 M 2/7 17/21 1500/7 X2 S1 X1 0 0 1 0 0 3/7 -2/7 0 0 0 1 -1 3/7 5/7 0 1 0 0 0 -1/7 3/7 CONCLUSIÓN: Debe de haber en la pecera 214 peces, de los cuales 43 ser beta y 171 deben ser globo. 1200/7 500/7 300/7 deben Capítulo II: El método simplex. 83 2.2.3. Método Gráfico. El método gráfico soluciona problemas de PL por medio de la representación geométrica del objetivo, las restricciones estructurales y las condiciones técnicas. En esta representación geométrica, los ejes coordenados pueden asociarse ya sea con las variables o con las restricciones tecnológicas del problema. Cuando los ejes cartesianos están relacionados con las variables (actividades) del problema, el proceso se conoce como método gráfico de actividades. Cuando la forma alternativa, las restricciones tecnológicas (recursos) se identifican con los ejes coordenados, el método se denomina método gráfico en recursos. Un problema de PL con m restricciones y n variables (las condiciones técnicas no se incluyen en la dimensión del problema) se dice que posee una dimensión de (m×n). El método gráfico para resolver un programa lineal con dos variables se comprende mejor concentrándose primero en las restricciones y posteriormente en la función objetivo. Para determinar los valores X1, X2 o X,Y satisfacen todas las restricciones, considerando una restricción a la vez. 2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano Cuando el signo de la restricción es menor o igual≤)( el sentido del vector ira dirigido hacia el origen es decir, hacia adentro. 2X1+X2≤4 2X1+X2=4 X1 X2 0 4 2 0 X2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 X1 Capítulo II: El método simplex. 2.2.3.2. 84 La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano Cuando el signo de la restricción es mayor o igual≥)( el sentido del vector ira dirigido hacia afuera del origen es decir hacia afuera. 3X1-X2≥4 X1 X2 3X1-X2=4 0 -4 4/3 0 1 1 2 3 4 4 5 MAX Z=4X1+3X2 2 4 S.A 2X1+3X2≤6 1 3 -3X1+2X2≤3 2X2≤5 3 2X1+X2≤4 D 2 X1,X2≥0 C 1 A 1 2 3 B Z=9 4 5 6 X1 Capítulo II: El método simplex. 85 Solución Como la función es Maximizar se busca el punto más alejado del origen y si fuera Minimizar viceversa observando el polígono A, B, C, D, el punto más alejado parece C, B, para lo cual se empleara un sistema de ecuaciones formando en la intersección de ambos puntos. Punto C Recta 1 y Recta 4 se interceptan 2𝑋𝑋1 + 3𝑋𝑋2 = 6 … … … … … … … … 𝐸𝐸𝐸𝐸. 1 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 = 4 … … … … … … … … 𝐸𝐸𝐸𝐸. 2 𝑋𝑋1 𝑅𝑅1 �1�2� � 2 2 𝑅𝑅2 𝑋𝑋2 3 1 𝑅𝑅1 �−3�2� + 𝑅𝑅1 �1 0 X1= 3/2 MAX X2= 1 Z=9 1 3�2 6 � ~ 𝑅𝑅1 (−2) + 𝑅𝑅2 � 2 1 4 3� 2 1 3� 1 ~ �1 0 0 3�2� 1 1 3� ~ 𝑅𝑅 �−1� � �1 2 2 4 0 Sustituir los valores de X1 y X2 en la función objetivo. Punto B 𝑍𝑍 = 4�3�2� + 3(1) = 9 > 8 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐶𝐶 > 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐵𝐵 La recta 4 se intercepta con X1 2X1+X2=4 X2=0 X1=2 Sustituyendo los valores en la función objetivo Z Z=4X1+3X2 =4(2)+3(0)=8 es menor que 9 por lo tanto es óptima. 3� 2 −2 3 �~ −2 Capítulo II: El método simplex. 86 Esta versión del método gráfico asocia una variable a cada eje coordenado y luego realiza tres pasos básicos: 1.- Reemplazar el signo de la desigualdad en una restricción por un signo de igualdad y calcular las interceptas donde la ecuación satisface su condición de igualdad. 2.- Dibujar línea correspondiente de la función. 3.- Identificar el sentido de la línea dependiente del sentido de la desigualdad en la restricción. 4.- Sombrear esa porción de la grafica que satisfaga las restricciones formuladas hasta el momento. EJEMPLO 1. MAX………………Z=4X1+3X2 s.a 2X1 + 3X2 ≤ 6 -3X1 + 2X2 ≤ 3 2X2 ≤ 5 2X1 + X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0 OBSERVACIONES • • • Hay dos variables Todas las restricciones son ≤ Es un problema de Maximización Descartes menciono para solucionar un problema complejo, se vale solucionar el problema por partes a condiciones de que las soluciones nieguen la totalidad. En esta primera instancia se trabajara con las restricciones prescindiéndole la función objetivo. Capítulo II: El método simplex. 2.2.3.3. 87 Método General. Tomaremos la primera restricción y la transformaremos en una igualdad y se harán o encontraran las interceptas. Son los puntos en que la curva corta al eje de coordenadas. Estos puntos también tienen una cualidad de que al menos una de sus variables vale 0 (cero). X4=0 X1=0 X3=0 X2=0 Y0=0 2.- Localizar interceptas. 2X1+3X2=6------------ 1 X1 0 3 X2 2 0 2X1=5------------ 3 X1 5/2 X2 0 3.- Graficar interceptos -3X1+2X2=3------------ 2 X1 0 -1 X2 3/2 0 2X1+X2=4--------------- 4 X1 0 2 X2 4 0 El área bordeada se llama solución factible o conjunto convexo; o solución espacio y tiene la propiedad de cumplir con todas las condiciones del modelo no negatividad. Capítulo II: El método simplex. 88 Se le llama restricción redundante a la restricción cuya preferencia o ausencia no modifique para nada el área de la solución factible; sin embargo todos los puntos de esa área deberán cumplir dicha condición. Trabajando exclusivamente con la función objetivo si esta parte del punto (1,0), por el punto (1,1), para (0,0) o por el punto (1.5, 1). (1,0) (1,1) (1.5,1) Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z=4(1)+3(0) Z=4(1)+3(1) Z=4(0)+3(0) Z=4(1.5)+3(1) Z=4 Z=7 Z=4X1+3X2=4 X1 0 1 (0,0) Z=0 4X1+3X2=4 X1 0 7/4 X2 4/3 0 X2 7/3 0 Z=9 4X1+3X2=4 X1 0 -3 X2 0 4 4X1+3X2=4 X1 0 6/4 X2 3 0 La función objetivo Z genera una familia finita de rectas paralelas cuyos valores máximos o mínimos se dan exactamente en puntos o esquinas del área. EJEMPLO 2. MAX………………Z=10X1+15X2 s.a 10X1 + 20X2 ≤ 4000 5X1 + 5X2 ≤ 1500 4X1 + 2X2 ≤ 800 X1 , X2 ≤ 0 Capítulo II: El método simplex. 10X1+20X2=4000 X1 0 400 X2 200 10 (100,100) X1 250 0 5X1+5X2=1500 X1 0 300 89 4X1+2X2=800 X1 0 200 X2 300 0 (150,100) X2 800 0 (130,130) Z=10(100)+15(100) Z=10(150)+15(100) Z=10(130)+15(130) Z=2500 Z=3000 Z=3250 10X1+20X2=2500 10X1+20X2≤3000 X2 0 166.66 X1 300 0 X2 0 200 10X1+20X2≤3250 X1 325 0 X2 0 216 Capítulo II: El método simplex. 90 10X1+20X2=4000 [4X1+2X2≤800]1/4 10X1+20X2=4000 [ X1+2/4X2=200]-10 15X2=2000 X2=2000/15 X2=133.333 DESPEJANDO A X1 DE LA EC(1). 𝑋𝑋1 = 4000 − 20𝑋𝑋2 4000 − 20(133.33) = 10 10 X1=2000/15=133.33 Z=10X1+15X2 Z=10(2000/15)+15(2000/15)= 3333.333 EJEMPLO 3. Un banco asigna un máximo de $20,000 en préstamos personales y de automóviles. El monto de los préstamos para automóviles debe ser cuando menos 2 veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de los préstamos personales. Como deben asignarse los fondos para maximizar la utilidad del banco si los intereses anual para préstamos personales son de 14% y del 12% para préstamos para automóviles. X1= Automóviles. X2= Prestamos personales. Capítulo II: El método simplex. 91 Max Z= X1(0.14) +X2(0.12)-0.1X2 Restricciones. X1+X2≤20000 B 20000 X1, X2≥0 S.B.F X1 X2 0 20000 20000 0 30 25 20 X1 0 10 X2 0 20 15 10 5 10 15 0.13X1+0.12X2=15 X1=N=Kg Mezcla barata X2=Kg Mezcla cara MAX Z=10X1+15X2 s.a 0.8X1+0.5X2≤1800 0.2X1+0.5X2≤1200 X1≥0 X2≥0 X2 3600 0 25 Z=1.5 Si Z = 2.5 X1 0 2250 20 X1 X2 0 2400 6000 0 20000 B Capítulo II: El método simplex. 92 X2 6000 5500 5000 4500 4000 SBF 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 6000 X1 Capítulo II: El método simplex. 93 EJERCICIOS III. Problemas Método Grafico. INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios por el método grafico, la solución se presenta en cada uno de los problemas. Problemas del método grafico 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 4 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 ≥ 20 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 16 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 Capítulo II: El método simplex. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 6𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 12 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12 ≥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 100 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 80 ≤ 40 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 94 Capítulo II: El método simplex. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 8 𝑥𝑥2 ≤ 5 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 95 Capítulo II: El método simplex. 96 EJERCICIOS IV. Resolución de Modelos de Programación Lineal. Instrucciones: Resolver los siguientes modelos de programación lineal por el método apropiado. Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≤ 16 5𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 ≤ 29 3𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 ≤ 17 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 s.a ≤ 61 2 𝑥𝑥1 −3𝑥𝑥2 ≤ 85 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 40 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 50 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 15 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 ≤ 20 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 25 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 ≥ −7 2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 8 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 11.3333 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥1 = 5.6667 𝑠𝑠1 = 5.6667 𝑠𝑠2 = 28.3336 𝑠𝑠3 = 17.00 Solución 𝑥𝑥2 = 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −66.6667 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥2 = 13.333 𝑠𝑠2 = −40 𝑠𝑠3 = −40 𝑠𝑠4 = 26.6667 𝑥𝑥1 = 𝑠𝑠1 = 0 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 75 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥2 = 7.5 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0 𝑠𝑠1 = 15 𝑠𝑠2 = 7.5 𝑠𝑠3 = 22.50 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE Capítulo II: El método simplex. 97 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 9 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 12.75 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 22.25 𝑥𝑥2 = 1.50 𝑠𝑠1 = 6 𝑠𝑠2 = 9 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 6 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2.50 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 1.5 𝑥𝑥2 = 0.50 𝑥𝑥3 = 0 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 11 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 9 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥3 = 2 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≥ 4 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8.40 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 3.20 𝑥𝑥2 = 2.60 V.No Básicas 𝑠𝑠1 = 0 𝑠𝑠2 =0 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE. Capítulo II: El método simplex. 98 Solución 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 8 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 6 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 3 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 1 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 7 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 0.8 𝑥𝑥2 = 1.80 V.No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 1 𝑥𝑥3 = 2 V.No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 =0 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 6𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≥ 30 7𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≥ 40 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 ≥ 50 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 17.5 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥2 = 12.5 𝑥𝑥3 = 2 V.No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0 Capítulo II: El método simplex. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 42 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 60 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 18 99 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 50 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5000𝑥𝑥1 + 7000𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 150 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥3 = 50 V.No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 =0 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE CAPÍTULO III: TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Objetivo: El alumno conocerá y aplicará el concepto fundamental de la dualidad y la relación matemática con el problema primal, al igual que la metodología del análisis de sensibilidad para determinar el efecto que tienen los cambios realizados en el modelo de Programación Lineal. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 3.1 101 FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DUAL. Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad y sus importantes ramificaciones. Este descubrimiento revelo que asociado a todo problema de programación lineal, existe otro llamado DUAL. Desde distintos puntos de vista las relaciones entre el problema dual y el original (llamado Primal) son muy útiles. Esencia de la Teoría de Dualidad Dada nuestra forma estándar para el problema primal, presente a su lado el problema dual, tiene la forma que muestra en la derecha. PROBLEMA PRIMAL MAX PROBLEMA DUAL MIN 𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑍𝑍 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑗𝑗 𝑊𝑊 = � 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑗𝑗 =1 s.a 𝑖𝑖=1 s.a 𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑖𝑖.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏 𝑗𝑗 =1 Y 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = 1,2,3 … … . . 𝑚𝑚 Xj≥0 para j=1,2,3……….n � 𝑎𝑎𝑖𝑖.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ 𝑐𝑐 Y 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 = 1,2,3 … … . . 𝑚𝑚 Yi≥0 para i=1,2,3…………m En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual está conformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismos parámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como se resume a continuación. 1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los lados derechos de las restricciones funcionales del problema dual. La dualidad parte dependiendo de su origen: Cuando el primo esta en formato canónico. 1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 102 2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones≤ y el de Min ≥. 3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas. 4.- Cada restricción en un problema tiene asociada una variable en el otro y viceversa. 5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector de coeficientes objetivo del otro y viceversa. 6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos de otros. Por tanto, si el problema es primo su dual entonces es: MAX Z0=CX AX≤b X≥0 MIN Y0=bt ATY≥Ct 3.2 DUALIDAD. Se dice que con la solución de todo problema de programación lineal, se está también solucionando un problema estrechamente relacionado; a tal problema se le llama el problema DUAL, a su vez al problema original al cual se hace referencia un dual, que es el problema original, se le llama también el problema PRIMAL 3.2.1 FORMA CANÓNICA. Un problema de maximización se encuentra en forma canónica si en la definición del modelo matemático todas sus restricciones son del tipo≤ que y todas sus variables son mayores o iguales a cero. Max Z= CX Sujeta a Ax≤b X≥0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 103 Un problema de minimización se encuentra en forma canónica si en la definición del modelo matemático, todas sus restricciones son del tipo mayor o igual que y todas sus variables son mayores o iguales a cero. Min Z=CX Sujeta a Ax≥b X≥0 3.2.1.1 TRANSFORMACIÓN. Todo problema de maximización primal tiene un problema de minimización en su dual. Todo problema de minimización primal tiene un problema de maximización en su dual. Cada restricción del primal implica una variable dual. Cada variable primal implica una restricción dual. Los coeficientes del lado derecho del primal, son los coeficientes del lado derecho dual. Los coeficientes tecnológicos de la variable j del primal, son los coeficientes tecnológicos de la restricción j del dual. Los coeficientes tecnológicos de la restricción i del primal, son los coeficientes tecnológicos de la variable i del dual. Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma Canónica: PRIMAL DUAL MAX Z=CX MIN Z=Wb Sujeta a Ax≤b Sujeta a wA≥c W≥0 X≥0 Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma canónica: DUAL PRIMAL MIN Z=CX Sujeta a Ax≥b X≥0 MAX Z=Wb Sujeta a wA≤c w≥0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 104 EJEMPLO 1. MODELO PRIMAL MAX Z=4X1+2X2+X3 ≥ 8 X3 ≥ + X3 , X3 2X1 + 4X2 5X1 + 2X2 + 2X2 X2 X1 , MODELO DUAL MAX A= W=8Y1+12Y2+5Y3 -8X1 - 12Y2 - 5Y3 = 0 12 2X1 + 5Y2 + 0 4 ≥ ≤ 15 + 2Y2 + 2Y3 ≤ 2 ≥ 4X1 0 0 + Y2 + Y3 ≤ 1 NOTA: Se aplica Método Simplex para resolver. 2Y1 + 5Y2 4Y1 + 2Y2 + 2Y3 0 + Y2 + Y3 n=6 + S1 + S2 + m=3 S3 = 4 = 2 = 1 6-3=3 variables no básicas Básicas= S1, S2, S3 BASE W Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 SOL W 1 -8 -12 -5 0 0 0 0 S1 0 2 5 0 1 0 0 4 S2 0 4 2 2 0 1 0 2 S3 0 0 1 1 0 0 1 1 W 1 -16/5 0 -5 12/5 0 0 48/5 Y2 0 2/5 1 0 1/5 0 0 4/5 S2 0 16/5 0 2 -2/5 1 0 2/5 -2X2+S2 S3 0 2/5 2 1 1/5 0 1 1/5 X2+S3 W 1 24/5 0 0 7/5 5/2 0 53/5 5X3+W Y2 0 2/5 1 0 0 0 0 4/5 0X3+X2 Y3 0 8/5 0 1 1/2 1/2 0 1/5 S3 0 -6/5 2 0 -1/2 -1/2 1 0 12x2+W -X3+S3 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad No básicas= X1,X2,X3 COMPROBACIÓN 8(0)+12(4/5)+5(1/5)=53/5 V. Básicas X2=4/5 X3=1/5 S3=0 V. no Básicas. X1=0 S1=0 S2=0 105 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 106 EJEMPLO 2. Utilizando el problema dual resuelva el siguiente modelo de Programación Lineal. MODELO PRIMAL MIN G= 4Y1+2Y2 18Y1 - 19Y2 ≥ 85 14Y1 - 5Y2 ≥ 115 4Y1 + 2Y2 ≥ 150 Y1 , Y2 ≥ 0 MODELO DUAL MIN G= 4Y1+2Y2 MAX W=85X1+115X2+50X3 18Y1 - 19Y2 ≥ 85 18X1 + 14X2 + 4X3 ≤ 4 14Y1 - 5Y2 ≥ 115 -19X1 - 5X2 + 2X3 ≤ 2 4Y1 + 2Y2 ≥ 150 Y1 , Y2 ≥ 0 FORMATO ESTANDAR. MAX W=85X1+115X2+50X3 18X1 + 14X2 + 4X3 -19X1 - 5X2 + 2X3 M=5 n=2 5-2=3 + S1 + S2 = 4 = 2 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad Base W X1 X2 X3 S1 S2 SOL W 1 -85 -115 -50 0 0 0 S1 0 18 14 4 1 0 4 S2 0 -19 -5 2 0 1 2 w 1 440/7 0 -120/7 115/4 0 230/7 X2 0 9/7 1 2/7 1/4 0 2/7 S2 0 -88/7 0 24/7 5/4 1 27/7 Base W X1 X2 X3 S1 S2 SOL W 229/3 0 0 10 5 50 X2 7/3 1 0 1/74 -1/12 0 X3 -11/3 0 1 35/96 7/24 1 V. Básicas X2=0 X3=1 V. no Básicas X1=0 S1=0 S2=0 107 115Y2+W Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad EJEMPLO 3. FORMATO CANÓNICO FORMATO ESTANDAR MIN MIN Z=4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4 Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z-4X1-3X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0 s.a s.a s.a Y1 + Y2 ≥ 6 -X1 - X2 ≤ -6 - X2 - Y2 ≥ -X1 2Y1 0 -2X1 + X2 ≤ 0 ≥ -2X1 + X2 2 -X1 ≤ -2 ≥ -X1 Y2 2 Y2 ≥ 0 Y1 Y1 , 108 X1 - X2 ≤ -2 , X2 ≥ 0 +S1 = -6 = 0 = -2 +S4 = -2 ,S4 ≥ 0 +S2 +S3 X1 - X2 , X2 ,S1 ,S2 ,S3 Tablon Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL X1=-4/-1=4 Z 1 -4 -3 0 0 0 0 0 X2=-3/-1=3 S1 0 -1 -1 1 0 0 0 -6 S1=0/1=0 S2 0 -2 1 0 1 0 0 0 S2=0/0=∞ S3 0 -1 0 0 0 1 0 -2 S3=0/0=∞ S4 0 0 -1 0 0 0 1 -2 S4=0/0=∞ 1.- ITERACIÓN Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL X1=-1/-3=1/3 Z 1 -1 0 -3 0 0 0 18 X2=0/0=∞ X2 0 1 1 -1 0 0 0 6 S1=-3/1=-3 S2 0 -3 0 1 1 0 0 -6 S2=0/1=0 S3 0 -1 0 0 0 1 0 -2 S3=0/0=∞ S4 0 1 0 1 0 0 1 4 S4=0/0=∞ Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 109 2.- ITERACIÓN Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL Z 1 0 0 -10/3 -1/3 0 0 20 X2 0 0 1 -2/3 1/3 0 0 4 X1 0 1 0 -1/3 -1/3 0 0 2 S3 0 0 0 -1/3 -1/3 1 0 0 S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 -2 V. no Básicas V. Básicas S1=0 X2=4 S2=0 X1=2 MIN S3=0 Z=20 S4=2 COMPROBACIÓN Z=4(2) +3(4) =20 s.a 4+2≥6 6≥6 2(2)-4≥0 0≥0 X1≥2 2≥2 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad EJEMPLO 4. FORMATO CANONICO 110 FORMATO ESTANDAR MIN MIN Z=2X1+6X2+0S1+0S2+0S3+0S4 Z=2X1+6X2 Z=2X1+6X2 Z-2X1-6X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0 s.a s.a s.a -5X1 + 7X2 ≥ 8 5y1 - 7y2 ≤ -8 - 7y2 - 6X2 ≤ 5y1 4X1 2 -4y1 - 6y2 ≤ 2 4y1 - 6y2 X1 + 2X2 = 3 y1 + 2y2 ≤ 3 + 2y2 , X2 ≥ y1 X1 0 y1 - y2 ≥ 3 - 2y2 - 2y2 ≤ -y1 -y1 -3 y1 , y2 +S1 = -8 = 2 = 3 +S4 = -3 ,S4 ≥ 0 +S2 +S3 ,S1 ,S2 ,S3 TABLON Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=-2/5=-0.4 Z 1 -2 -6 0 0 0 0 0 Y2=-6/-7=.05 S1 0 5 -7 1 0 0 0 -8 S1=0/1=0 S2 0 4 -6 0 1 0 0 2 S2=0/0=∞ S3 0 1 2 0 0 1 0 3 S3=0/0=∞ S4 0 -1 -2 0 0 0 1 -3 S4=0/0=∞ 1.-ITERACIÓN Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=0/0=∞ Z 1 0 -44/5 2/5 0 0 0 -16/5 Y2=44/17=2.58 S1 0 1 -7/5 1/5 0 0 0 -8/5 S1=2 S2 0 0 -2/5 -4/5 1 0 0 42/5 S2=0/0=∞ S3 0 0 17/5 -2/5 0 1 0 23/5 S3=0/0=∞ S4 0 0 -17/5 1/5 0 0 1 -23/5 S4=0/1=0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 111 2.-ITERACIÓN Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=0/0=∞ Z 1 0 -2 0 0 0 -2 6 Y2=-2/-17=0.11 Y1 0 1 2 0 0 0 -1 3 S1=0/1=0 S2 0 0 -14 0 1 0 -1 -10 S2=0/0=∞ S3 0 0 0 0 0 1 1 0 S3=0/0=∞ S4 0 0 -17 1 0 0 5 -23 S4=0/0=∞ 3.-ITERACIÓN Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Z 1 0 0 -2/17 0 0 -44/17 148/17 Y1 0 1 0 2/17 0 0 -7/17 5/17 S2 0 0 0 -14/17 1 0 -2/17 152/17 S3 0 0 0 0 0 1 1 0 Y2 0 0 1 -1/17 0 0 -5/17 23/17 V. Básicas V. no Básicas Y1=5/17 MAX S1=0 S2=152/17 Z=148/17 S3=0 Y2=23/17 S4=0 COMPROBACIÓN Z=2(5/17)+6(23/17)=148/17 -5(5/17)+7(23/17)≥8 8≥8 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 3.3 112 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL. Cuando un modelo no está en forma canónica puede seguirse la siguiente tabla de transformación: PRIMAL FUNCIÓN OBJETIVO DUAL MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN ≥0 ≤0 LIBRE ≤ ≥ = ≥ ≤ = ≥0 ≤0 LIBRE VARIABLE RESTRICCIÓN DUAL FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN VARIABLE PRIMAL Tabla 2. Fuente: IPN-UPIICSA Como se observa en la tabla de transformación anterior, en un momento dado se puede estar utilizando variables no-positivas (Xk≤0) y variables libres, esto es, variables sin restricción de signo (Xk≥0 ´0 Xk≤0); al definir al algoritmo Simplex siempre se trabaja con variables no-negativas y así debe continuar; por lo tanto, debe hacerse un ajuste al modelo poder manejar variables no-positivas y las variables libres. EJEMPLO1. MAX Z= 5X1+6X2 s.a X1+9X2≤60 2X1+3X2≤45 5X1-2X2≤20 X2≤30 X1,X2≥0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 113 DIAGRAMA DE TRUCKER X1 X2 Y1 1 9 ≤60 Y2 2 3 ≤45 Y3 5 -2 ≤20 Y4 0 1 ≤30 5 6 Tabla 3. Fuente: IPN-UPIICSA. MIN G= 60Y1+45Y2+20Y3+30Y4 s.a Y1+2Y2+5Y3≥5 9Y1+3Y2-2Y3+Y4≥6 Y1,Y2,Y3,Y4≥0 Observaciones de este caso en particular: a) Que el problema dual tiene menor número de restricciones que el primario. b) Cada restricción en un problema corresponde con una variable en el otro problema. c) Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son los coeficientes de la función objetivo en el otro problema. d) Un problema busca maximizar y en otro minimizar. e) El problema de maximización tiene signos ≤ en todas las restricciones, tanto que el de minimización tiene signos ≥ en todas las restricciones. f) Las variables en los dos problemas son no negativas. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad ¿Qué sucede cuando se tiene una restricción en forma de igualdad? EJEMPLO: Obtenga el modelo Dual a partir de Primario. PRIMAL MAX Z=C1+C2 s.a a11x1+a12x2=b1……………………..Rs 1 a21x1+a22x2=b2……………………..Rs 2 X1,X2≥0 Trabajando con la restricción Rs 1. a11x1+a12x2≤b1 [a11x1+a12x2≥b1 ]x-1 para invertir el sentido de la desigualdad y dejarlo en forma canónica. -a11x1-a12x2≤-b1 NOTA: Lo mismo pasa con Rs2. Se hace el mismo procedimiento. Acomodando el modelo nos queda. MAX Z=C1+C2 s.a a11x1+a12x2≤b1 a21x1+a22x2≤b2 a21x1+a22x2≤b2 X1,X2≥0 114 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 115 X1 X2 Y1 a11 a11 ≤b1 Y1 -a11 -a11 ≤b1 Y3 a21 a22 ≤b1 C1 C2 DUAL. MIN G= b1-b1+b2 s.a a11y+1-a11y-1+a21y2≥C1 a12y+1-a12y-1+a22y2≥C2 y+1,y-1,y2≥0 FACTORIZANDO MIN G=b1(y+1-y-1)+b2y2 s.a a11(y+1-y-1)+a21y2≥C1 a12(y+1-y-1)+a22y2≥C2 y+1,y-1,y2≥0 Sustituyendo la expresión del paréntesis por y1 el modelo nos queda así: MIN G=b1y1+b2y2 s.a a11y1+a21y2≥C1 a12y1+a22y2≥C2 y+1 Libre, irrestricta, no restringida, y2≥0 Siempre que tengamos una restricción en el problema primario en forma (=) la variable dual correspondiente será dual y viceversa. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 3.4 116 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL SIMPLEX. Se aplica a problemas que tiene factibilidad dual inicial, es decir, que son óptimos pero infactibles simples. La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica (≤). La función objetivo puede ser de maximización o minimización. Condiciones FACTIBILIDAD • La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo, en caso de empate procedemos de forma arbitraria, y si todas las variables básicas son no negativas, el procesos finaliza y la solución factible óptima se encuentra. OPTIMALIDAD • La variable de entrada es seleccionada de las variables no básicas, se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos y se toman de la ecuación pivote. Los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo. Se escoge el cociente más próximo a 0 para minimización. No toma en cuenta cocientes asociados con denominadores positivos o ceros. Y si todos los denominadores son 0 o positivos, el problema no tiene solución factible, los empate se deciden arbitrariamente. Cuando se tiene un caso de Max en el método Dual-Simplex, todo el procedimiento es exactamente igual si fuera Min, excepto que al definir la variable de entrada se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos tomados de la ecuación pivote y los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo. Se toman los valores absolutos de los cocientes (prescindiendo de los negativos) y se elige, para determinar la variable de entrada, el cociente más próximo a cero. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 117 EJEMPLO MIN Z=2X1+X2 s.a 3x1+x2≥3 NO SE PUEDE RESOLVER POR EL METODO SIMPLEX 4x1+3x2≥6 x1+2x2≥8 x1,x2≥0 PASO1.- Se expresan las restricciones del problema únicamente las restricciones en la forma canónica: MIN Z=2X1+X2 s.a -3x1-x2≤-3 -4x1-3x2≤-6 -x1-2x2≤-8 x1,x2≥0 PASO2.- Se añade variables de holgura positivas: Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3 s.a -3x1 -4x1 -x1 - x2 - 3x2 - 2x2 + S1 + S2 + S3 = = = -3 -6 -8 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad PASO 4.BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 -3 -1 1 0 0 -3 S2 0 -4 -3 0 1 0 -6 S3 0 -1 -2 0 0 1 -8 V entrada V.salida −1 = 0.3 −3 −2 = 0.5 −4 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2/3 0 0 -1/3 0 2 S1 0 -5/3 0 1 -1/3 0 -1 X2 0 -4/3 1 0 1/3 0 2 S3 0 5/3 0 0 -1/3 1 1 V. entrada V. salida −1/3 =1 −1/3 −2/3 = 0.4 −5/3 BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 -2/5 1/5 0 12/5 X1 0 1 0 -3/5 -1/5 0 3/5 X2 0 0 1 4/5 3/5 0 6/5 S3 0 0 0 1 1 1 0 V. básicas V. no básicas X1=3/5 S2=0 X2=6/5 S1=0 S3=0 118 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 119 Como hay factibilidad se puede aplicar el método Dual-Simplex. PASO5.-Se define la variable de salida, se elige por el valor más negativo de la columna de solución. PASO 6.- Se define la variable de entrada, para ello se formaran cocientes en los que los denominadores de la ecuación pivote y que pertenezcan a las variables no básicas. Los numeradores serán los números correspondientes a la función objetivo. EJEMPLO. El entrenador de Básquetbol de los Borregos del Tec. de Monterrey está interesado en preparar lo que ha bautizado como la ensalada vitamínica, la cual puede prepararse a partir de 5 verduras básicas disponibles y definidas como 1,2,3,4,5; se desea que la ensalada vitamínica contenga por lo menos 10 unidades de vitamina A y 25 unidades de vitamina C, la relación neta del contenido vitamínico y el costo de las verduras se proporcionan en la siguiente tabla. VERDURAS (UNIDADES DE VITAMINA/Kg) VITAMINAS A C COSTO 1 2 1 100 2 0 2 80 3 3 2 95 X= Cantidad de las diferentes verduras a emplear en la E.V. X1= Cantidad de vitamina 1 a emplear en la E.V. X2= Cantidad de vitamina 2 a emplear en la E.V. X3= Cantidad de vitamina 3 a emplear en la E.V. X4= Cantidad de vitamina 4 a emplear en la E.V. X5= Cantidad de vitamina 5 a emplear en la E.V. 4 4 1 100 5 1 3 110 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 120 MAX Z=100X1+80X2+95X3+100X4+110X5 s.a 2X1 + 3X3 + 4X4 + X5 ≥ 10 X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + 3X5 ≥ 52 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ≥ 0 DUAL MIN F=10Y1+25Y2 s.a 2Y1 + + + + + , 3Y1 4Y1 Y1 Y1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ Y2 2Y2 2Y2 Y2 3Y2 Y2 100 80 95 100 110 0 MAX Z= 100X1+80X2+95X3+100X4+110X5-0S1-0S2-MW1-MW2 Z-100X1-80X2-95X3-100X4-110X5+0S1+0S2+MW1+MW2=0 2X1 X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 + X5 + 2X3 + X4 + 3X5 Xi≥0 i=1,2,3,4,5 -S1 + -S2 S1,S2,W1,W2≥0 W1 + W2 = 10 = 25 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad BASE Z X1 X2 X3 X4 Z 1 -100 -80 -95 W1 0 2 0 3 4 W2 0 1 2 2 1 X5 121 S1 S2 W1 W2 0 0 M M 1 -1 0 1 1 3 0 -1 0 0 -100 -100 Sol AJUSTE BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -100-3M -80-2M -95-5M -100-5M 110-3M M M 0 0 -35 W1 0 2 0 3 4 1 -1 0 1 0 10 W2 0 1 2 2 1 3 0 -1 0 1 25 1 ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -100/3-5/3M -26/3+2/3M 65/5-7/3M -193/3-1/3M 0 M -110/3+4/3M 0 110/3+4/3M 2750/3 W1 0 5/3 -2/3 7/3 11/2 0 -1 1/3 1 -1/3 5/3 X5 0 1/3 2/3 2/3 1/3 1 0 -1/3 0 1/3 25/3 2. ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -380/11 -200/11 208/11 0 0 -190/11 -390/11 190/11+M 340/11+M 10600/11 X4 0 5/11 -2/11 7/11 1 0 -3/11 1/11 3/11 -1/11 -5/11 X5 0 2/11 8/11 5/11 0 1 1/11 -4/11 -1/11 -4/11 9/11 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 122 3 ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 0 -32 67 76 0 -38 -24 38+M 25+M 980 X1 0 1 -2/3 7/5 11/5 0 -3/5 1/5 3/5 -1/5 1 X5 0 0 4/5 1/5 -2/5 1 1/5 -2/5 -1/5 2/5 8 4 ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 0 120 105 0 190 0 -100 M 100+M 2500 X1 0 1 2 2 1 3 0 -1 0 1 25 X5 0 0 4 1 2 5 1 -2 -1 2 40 Conclusión. Se necesitan 25 unidades de vitamina 1 y 40 unidades de vitamina 5 para preparar una ensalada vitamínica con 2500 unidades. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 123 EJEMPLO. MODELO PRIMAL MAX MODELO DUAL Z=2X1+5X2 MIN W=3Y1+4Y2+6Y3 X1 - X2 ≤ 3 -2X1 - X2 = 4 Y1 - 2Y2 - 6Y3 ≤ 2 -X1 + 3X2 ≤ 6 Y1 - Y2 + 3Y3 = 5 ≤ 0 Y1 , Y3 ≥ 0 = 0 X1 X2 Libre o irrestricta Y2 MIN Z=3Y1+4Y2+6Y3+0S1+MW1 Z-3Y1-4Y2-6Y3-0S1-MW1 s.a. Y1 - 2Y2 + 6Y3 -Y1 - Y2 + 3Y3 Y1 , + S1 + W1 Y3 Y2 = 2 = 5 ≥ 0 Libre TABLON Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL Z 1 -3 -4 -6 0 -M 0 S1 0 1 -2 1 1 0 2 W1 0 -1 -1 3 0 1 5 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 124 AJUSTE Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL Z 1 -3-M -4-M -6+3M 0 -M 5M S1 0 1 -2 1 1 0 2 =2/1=2 W1 0 -1 -1 3 0 1 5 =5/3=1.66 1.- ITERACIÓN Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL Z 1 -5 -6 0 0 2-M 10 S1 0 2/3 -7/3 0 1 1/3 11/3 W1 0 -1/3 -1/3 1 0 1/3 5/3 V. Básicas S1=11/3 Y3=5/3 V. no Básicas Z=10 Y1=0 Y2=0 W1=0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 3.5 125 ANALISIS DE SENSIBILIDAD. El método de modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede resultar inoperante con el transcurso del tiempo; es decir, los cambios que ocurren en cualquier economía dan lugar a que precios, costos, recursos disponibles o requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. Estos parámetros por lo general son valores estimados sin la deseable precisión debido a las dificultades normales para conseguir registros confiables. Una solución es óptima solo en la que se refiere al modelo específico que se usa para representar un problema real estudiado, pero no puede ser confiable hasta verificar un buen comportamiento al hacer cambios en sus parámetros. El análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el defecto sobre la solución óptima entregada por el método simplex con los cambios a los valores originales. En tal caso la programación lineal tiene el recurso de revisar la solución óptima del problema para ajustarla a lo que juzga valido por los responsables de la decisión o bien en respuesta a cambios (solo discretos, pues los cambios continuos forman parte de la programación paramétrica no incluida aquí) del entorno económico; por tal motivo a este análisis también se le conoce como análisis de la paso optimalidad. En general se pueden presentar cambios que no afecten la optimalidad de la solución obtenida pero también ocurrir que se pierda esa condición. Por tal motivo es importante verificar los parámetros sensibles, que al cambiar de valor, se pierde el óptimo en este caso, es posible calcular el intervalo de valores permitidos que no pierdan lo óptimo. También se puede determinar el intervalo para conservar la factibilidad (los valores no negativos de una variable). 3.5.1. Forma Matricial de la Tabla Simplex y las Relaciones Vectoriales Implicadas. Donde: Z= Al valor de la función objetivo. A= A las matriz de coeficientes tecnológicos conforme las restricciones. b= Es un vector columna de términos independientes, conforme a las restricciones. C= Es un vector renglón de coeficientes, conforme a la función objetivo. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 126 CB= Es un vector renglón de coeficientes de variables de función objetivo conforme transpuesto se ubiquen en la columna de base (básicas en la tabla simplex). Y= Es un vector renglón de variables duales (precios sombra) los que se localizan como coeficientes en las variables de holgura y/o artificiales del renglón Z. XB= Es un vector columna con valores de variables básicas en la columna de solución. B-1= Es la inversa de una matriz B formada por las columnas aj de coeficientes aij de restricciones, conforme a variables básicas (columna de base) en la tabla simplex. N= Matriz de coeficientes tecnológicos, no básicos. XN= Es el vector de variables no básicas. 1= Matriz identidad. 0= Vector cero. 3.5.1.1. Cambio en el vector A. Cambios en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones en variables no básicas. Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados siendo mejor recalcular con el simplex para cambio de coeficientes aij de la matriz A de restricciones en variables no básicas solo interesa manejar los pues el resto queda igual y se puede así: aij de ellos, 1. ETAPA Usando la fórmula de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 se revisa si el coeficiente indicador de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo, si no ocurre el cambio de signo en tal coeficiente no es necesario aplicar la 2 etapa ya que el cambio propuesto no afecta la optimalidad del problema. Cuando el coeficiente 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo se entiende que el cambio propuesto, si provoca perdida de optimalidad de la solución que se está realizando y en tal caso se procede a la siguiente etapa. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 127 2. ETAPA Se aplica la fórmula de de 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 con la cual se calcula la nueva columna 𝑎𝑎∗ 𝑗𝑗. Se aplica el simplex hasta re optimizar dado el siguiente modelo de programación lineal suponga que el coeficiente -1 cambia a 2. EJEMPLO 1: Min Z=3X1-X2+4X3 s.a X1 X1 2X2 X2 , + , ≥ = ≥ X3 X3 X3 8 20 0 Min Z=3X1-X2+4X3-0S1+MW1+MW2 X1 X1 - X3 2X2 + X3 X2 , X3 , - S1 , + S1 W1 , = 3 + W2 ≤ 4 , W2 ≥ 0 W1 BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3M 1+2M -4 -M 0 0 28M W1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 W2 0 0 2 1 0 0 1 20 1.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3M 0 -9/2-M -M 0 -1/2-M -10+8M W1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 X2 0 0 0 1/2 0 0 1/2 10 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 128 2.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 -15/2-M -3 3-M -1/2-M 14 X1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 X2 0 0 1 1/2 0 0 1/2 10 2 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = �3, −1�2� � � − 4 = 3�2 ≥ 0 ∴ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 1 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 = �3, −1�2� � 1 0 0 2 �0 0 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 ETAPA 2 1 0 1 0 2 1 0 �0 1� � � � = �0 1 2 0 2 1 3 2 � − [3 −1 4] = �0 1 0 6 −1 −1 �2� = 3� � ≥ 0 2 2 1 0 2 2 1� � = �0 1� � �1� = �1� � 2 2 2 BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 3/2 -3 3-M -1/2-M 14 X1 0 1 0 2 -1 1 0 8 X2 0 0 1 1/2 0 0 1/2 10 BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3/4 0 0 -9/4 9/4-M -1/2-M 8 X3 0 1/2 0 1 -1/2 1/2 0 4 X2 0 1/4 1 0 1/4 -1/4 1/2 8 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 129 EJEMPLO 2 Suponga que el vector de la columna 𝑎𝑎1 [2,6,2] cambia a 𝑎𝑎1 [6,6, −2] MIN Z=5X1-6X2-7X3 s.a 2X1 + 10X2 - 6X3 ≥ 30 6X1 - 3X2 + X3 ≤ 12 2X1 + 2X2 + 2X3 = 12 X1 , X2 , X3 ≥ 0 Z=5X1-6X2-7X3-0S1+0S2+MW1+MW2 Z-5X1+6X2+7X3+0S1-0S2-MW1-MW2=0 2X1 + 10X2 - 6X3 6X1 - 3X2 + X3 2X1 + 2X2 + 2X3 - S1 + + W1 S2 + W2 = 30 = 12 = 12 BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5+4M 6+12M 7-4M -M 0 0 0 42M W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12 1.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -12+4M -1+16M 0 -M 0 0 -7/2+2M -42+66M W1 0 8 16 0 -1 1 0 3 66 S2 0 5 -4 0 0 0 1 -1/2 6 X3 0 1 1 1 0 0 0 1/2 6 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 130 2.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 23/2 0 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 1/2 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 7 0 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 X3 0 1/2 0 1 1/16 -1/16 0 5/16 15/8 6 −53 �16� � 6 � = 2 > 0 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 0 −2 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 = �1�16 FASE 2 0 3�16⎤ 6 0 1 1�4 ⎥ � 6 � = � 7 � ⎥ −2 −1 0 5�16⎦ 1 ⎡ �16 ⎢ 1� 4 ⎢ −1� ⎣ 16 REOPTIMIZO BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 2 0 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 0 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 7 0 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 X3 0 -1 0 1 1/16 -1/16 0 5/16 15/8 3.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 0 1/112 -1/112-M -2/7 -379/112-M -2481/56 X2 0 0 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 1 0 0 -1/28 1/28 1/7 1/28 45/14 X3 0 0 0 1 3/112 -3/112 1/7 39/112 285/56 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 131 4.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 -1/3 0 -M -1/3 -7/2-M -46 X2 0 0 1 7/3 0 0 1/3 1 16 S2 0 1 0 4/3 0 0 1/3 1/2 10 X3 0 0 0 112/3 1 -1 16/3 13 190 3.5.1.2. Cambio en el vector B A partir de la definición por producto de matrices y vectores de una tabla simplex óptima se obtiene. (CB B-1 N-CN)≥0 y B-1b≥0 Para el vector de variables básicas optimas XB*=B-1b. Así el análisis de sensibilidad determinara los intervalos de los roles para cada parámetro en el modelo que permita mantener al conjunto de variables básicas en estas condiciones. Para el análisis de sensibilidad se requiere saber la composición matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales implicadas. La localización de estos vectores y matrices en la tabla forman parte de la estructura matricial. Cuando se modifica el valor de las componentes del vector de recursos b a (b+Δb), sólo debe verificarse que se siga mantenimiento la factibilidad de las variables básicas, esto es, al hacer el cambio se debe tener que B-1(b+Δb)≥0 A partir de la ley distributiva para la suma se tiene (𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝒃𝒃 + 𝑩𝑩−𝟏𝟏 ∆𝒃𝒃 ) ≥ 0 Este es un sistema de inecuaciones que nos permite determinar todas las posibles combinaciones que permite determinar todas las posibles combinaciones para los cambios en b. De esta última expresión, después de realizar las correspondientes operaciones, se define Δb tal que permita en todo caso mantener como ninegativas a todas las variables óptimas en XB. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 132 Analizando sólo los cambios de uno de los recursos a la vez se tiene: ∆𝑏𝑏1 0 0. ∆ 0 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∆𝑏𝑏 = ⎜ . ⎟ , ∆𝑏𝑏 = ⎜ . ⎟ , ∆𝑏𝑏 = � . � . . . ∆ 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ Siguiendo estas condiciones para mantener la factibilidad de la solución básica óptima se encuentra el rango de valores para cada recurso b1, la solución es el rango de valores que satisfacen. (𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 + 𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ) ≥ 0 EJEMPLO 1: Z=5x1+3x2+0s1+0s2 Z-5x1-3x2-0s1-0s2=0 s.a 3x1 + 5x2 + 5x1 + 2x2 x1,x2,s1,s2≥0 Producto utilidad S1 + A 5 C1 5 5 Personal T. máquina = = S2 B 3 C2 5 2 15 10 disponible 15 b 10 BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -5 -3 0 0 8 S1 0 3 5 1 0 15 15/3 = 5 0 5 2 0 1 10 10/5 = 2 S2 1 ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 -1 0 1 10 S1 0 0 19/5 1 -3/5 9 =9/19/5=2.3 X1 0 0 2/5 0 1/5 2 =2/2/5=2 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 133 2. ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 0 5/19 16/19 235/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19 Es lo único que se toma de la solución factible. X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19 ¿Qué pasaría si trabajo con 5 personas. Maximizar para producto A y producto B y que el Tiempo de Máquina sean 5 horas? b+Δb 𝐵𝐵 −1 5 personas 5 −3 = � 19 19 � −2 5 19 19 5 −3 �𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � �5� = 2 × 1 𝑋𝑋 −2 5 5 19 19 25 −15 10� 19� ≥ 0 19 19 � �=� 𝑋𝑋𝐵𝐵 = � 15 −10 25 �19 19 19 Zo= CBXB 10 𝑍𝑍𝑍𝑍 = [3,5] �19� 15 19 𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏 � 𝐵𝐵 −1 5� � 19 −2� 19 10 � 20 −3� 19� 5� 19 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 5 −3 50� 19 �𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � �10� = � 𝑋𝑋 −20� −2 5 20 19 19 19 Aplicar Dual Simplex. BASE Z X1 X2 S1 S2 Z 1 0 0 5/19 16/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 -10/19 X1 0 1 0 -2/19 5/19 80/19 −10� −60� 19� ≥ 0 19� = � 80� 100� 19 19 5 19 𝑠𝑠1 = 5 19 Sol 16 𝑠𝑠2 = 19 −3 19 3 ITERACIÓN. BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 -1 0 1 S1 0 0 19/3 1 -3/5 -2 X1 0 1 2/5 0 1/5 4 134 𝑋𝑋2 = 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵 1 = 0.26 −19 5 𝑠𝑠2 = 1 = 1.6 −3 5 Se toma este porque no se hace cíclico BASE Z Z X1 X2 S1 S2 1 0 16/3 5/3 0 S2 0 0 -19/3 -5/3 1 10/3 X1 0 1 5/3 1/3 0 10/3 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵1 = [𝑆𝑆2 , 𝑋𝑋1 ] � 10� 𝑆𝑆2 3� = �0 + 50� � = 16.6 � = [0,5] � 3 10� 𝑋𝑋1 3 Sol Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 135 EJEMPLO 2: Z=2X1+X2 C1 C2 s.a ≤ ≤ ≤ X1 6X1 X2 8X2 + C3 C4 6 4 48 b1 b2 b3 C5 Z=2X1+X2+0S1+0S2+0S3 Z-2X1-X2-0S1-0S2-0S3=0 x1 6x1 x1 + x2 + 8x2 , x2 S1 , S1 + S2 , S2 + , = = = ≥ S3 S3 6 4 48 0 Tablón BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 1 0 1 0 0 6 =6/1=6 S2 0 0 1 0 1 0 4 =4/0=∞ S3 0 6 8 0 0 1 48 =48/6=8 1.-ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 -1 2 0 0 12 X1 0 1 0 1 0 0 6 =6/0=∞ S2 0 0 1 0 1 0 4 =4/1=4 S3 0 0 8 -6 0 1 12 12/8=1.5 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 1/2 0 1/8 27/2 X1 0 1 0 1 0 0 6 S2 0 0 0 3/4 1 -1/8 5/2 X2 0 0 1 -3/4 0 1/8 3/2 136 B B-1 B-1 1 3� � 4 −3� 4 1 0 �0 1 0 0 I 0 0 1 −1 1 �8 � �0 0 0 1�8 0 0� 1 1 �0 6 I 1 0 1 0 0 0 0 −3 −1 �8� � �4 1 1 0� = �0 1 3� 0 1 0 0 1�8 4 0 0 0� 1 0 0 −1 1 1� 𝑋𝑋� 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 𝑏𝑏 0 8 𝑏𝑏 = B �𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋 𝑥𝑥�𝐵𝐵 𝐵𝐵 −1 6 6 0 1 0 0 5 � 5 𝑏𝑏 �0 1 1� � 2� = � 0 �2 6 0 8 3� 36 0 2 𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ≥ −𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 0 6 3� � = � 4 � 2 48 12 Para el recurso 1. (Análisis de sensibilidad) X1≤6……….R1 1 3� � 4 −3� 4 ∆𝑏𝑏1 3 � 4 ∆𝑏𝑏1 −3 4 ∆𝑏𝑏1 0 0 6 ∆𝑏𝑏1 −1 5 1 �8� � 0 � ≥ � �2� 3� 0 0 1�8 2 0 0 ∆𝑏𝑏1 −6 −6 −5 3 −5 0 0� ≥ � �2� ≈ − � 4 ∆𝑏𝑏1 � ≥ 2 −3 −3 −3� 0 0 ∆𝑏𝑏1 2 2 4 Para el recurso 2 (X≤4) -∞ -6 −10 3 ∞ 2 ∆𝑏𝑏1 ≥ −6 ∆𝑏𝑏1 ≥ − = R2 ∆𝑏𝑏1 ≤ 2 −5� 2� 3� 4 ∆𝑏𝑏1 ≥ 10 3 b1[-∞,8] Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 1 3� � 4 −3� 4 ∞ 0 0 �0 ∆𝑏𝑏2 0 0 0 0 6 0 −1 5 1 �8� �∆𝑏𝑏 � ≥ − � �2� 1 3� 0 0 1�8 2 −6 −6 0 −5 −5 0� ≥ � �2� ≈ �∆𝑏𝑏2 � ≥ 2 −3 −3� 0 2 2 -∞ -2 -1 137 0 1 2 0 ≥ −6 ∆𝑏𝑏2 ≥ − 5�2 0≥ = 3 2 ∆𝑏𝑏1 𝜀𝜀�−5�2 , ∞ +� b2[4-5/2,-∞] Para el recurso 3 (6X1+8X2≤48) 1 3� � 4 −3� 4 0 �0 0 0 0 6 0 1 −1�8� � 0 � ≥ − �5�2� 3� ∆𝑏𝑏3 0 1�8 2 -∞ 12 ∆𝑏𝑏1 0 −6 0 0 1 3 −1 −5 0 �8 ∆𝑏𝑏3 � ≥ � �2� ≈ − � ∆𝑏𝑏1 � ≥ �− 8 𝑏𝑏3 � 4 1 −3 −3� 0 1�8 ∆𝑏𝑏3 𝑏𝑏 ∆𝑏𝑏1 2 8 3 4 -6 0 20 0 ≥ −6 = ∆𝑏𝑏3 ≥ − ∆𝑏𝑏3 ≥ 20 ∆𝑏𝑏3 ≤ −12 Qué pasaría si el vector b valiera 20, 5, 14 será óptimo y factible. 20 𝑏𝑏 � 5 � 𝑥𝑥�𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 14 20 𝑥𝑥�𝐵𝐵 � 15 −15 1 0 3� 𝑥𝑥�𝐵𝐵 � 4 1 −3� 0 4 −5� 2� 1� 8 0 −1� 20 8� � 5 � 1� 14 8 20 0 0 73 −7 5 �4� � �4 � ≥ 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 0 7�4 −53�4 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 138 3.- ITERACIÓN. (X dual simplex xK salió ≤ a 0) TABLON Base Z X1 S2 X2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 1/2 1 3/4 -3/4 S2 0 0 1 0 S3 1/8 0 -1/8 1/8 SOL 0 20 73/4 -53/4 X1 0 1 0 0 X2 2/3 4/3 1 -4/3 S1 0 0 0 1 S2 0 0 1 0 S3 5/24 1/6 0 -1/6 SOL 4.- ITERACIÓN. Base Z X1 S2 X2 Z 1 0 0 0 7/3 5 53/3 Calculando la función objetivo Z. 𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵 𝑋𝑋1 𝑍𝑍 = [𝑋𝑋1 , 𝑆𝑆2 , 𝑆𝑆1 ] � 𝑆𝑆2 � 𝑆𝑆1 7� 3 14 𝑍𝑍 = [2,0,0] � 5 � = � + 0 + 0� = 14�3 3 53� 3 EJEMPLO 3: MAX Z=2X1+5X2 s.a X1-X2≤3 -2X1-X2=4 -X1+3X2≤6 X1,X2≥0 Análisis de sensibilidad X1=0/0=∞ X2=0/1=0 S1=0.5/0.75=-0.6 S2=0/0=∞ S3=0.125/0.125=1 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 139 MAX Z=2X1+5X2+0S1-MW 1+OS2 Z-2X1-5X2-0S1+MW 1-OS2=0 X1 -2X1 -X1 + X2 X2 3X2 + S1 + + Tablón W1 S2 = ≤ ≥ Método de la gran M BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -2 -5 0 M 0 0 S1 0 1 -1 1 0 0 3 W1 0 -2 -1 0 1 0 4 1 3 0 0 1 6 S2 AJUSTE BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -2+2M -5+M 0 0 0 4M S1 0 1 -1 1 0 0 3 W1 0 -2 -1 0 1 0 4 1 3 0 0 1 6 S2 1.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -11/3+2/3M 0 0 0 5/3-1/3M 10-6M S1 0 2/3 0 1 0 1/3 5 W1 0 -2/3 0 0 1 1/3 6 -1/3 1 0 0 1/3 2 X2 3 4 6 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 140 2.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 0 0 11/2-7/2M 0 7/2-3/2M 25/2-47/2M X1 0 1 0 3/2 0 1/2 15/2 W1 0 0 0 7/2 1 3/2 47/2 0 1 1/2 0 1/2 9/2 X2 No tiene solución factible pues se vuelve cíclica y no se puede realizar análisis de sensibilidad en el modelo primal. 3.5.1.3. Cambio en el vector C. Si es la modificación de un costo básico se utilizará (CB+ΔC), de tal forma que en el renglón cero de la tabla simplex se siga manteniendo la propiedad [(CB+ΔC)B-1N-CN]≥0; de forma similar al utilizar la ley distributiva se obtiene: (𝑪𝑪𝐵𝐵 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝑪𝑪 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 0 Este sistema encuentra todo el espacio de posibles soluciones para los cambios simultáneos en las componentes del vector de costos básicos; analizando sólo el cambio de cada uno de los costos básicos a la vez, se tiene: ∆𝑐𝑐 = (∆𝑐𝑐1 , 0 … … … 0), ∆𝑐𝑐 = �0, ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 , … . .0�, ∆𝑐𝑐 = (0, … … 0. ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 ) Siguiendo estas condiciones para mantener las condiciones óptimas de la solución básica se encuentra el rango de valores para cj. La solución es el rango de valores que satisfacen (𝒄𝒄𝑩𝑩 𝑩𝑩−𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝒄𝒄 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 𝟎𝟎 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 141 EJEMPLO: 𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 − 0𝑆𝑆1 + 0𝑆𝑆2 + 𝑀𝑀𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀𝑀𝑀2 𝑍𝑍 − 5𝑋𝑋1 + 6𝑋𝑋2 + 7𝑋𝑋3 + 0𝑆𝑆1 − 0𝑆𝑆2 − 𝑀𝑀𝑀𝑀1 − 𝑀𝑀𝑀𝑀2 2X1 6X1 2X1 + + 10X2 3X2 2X2 + + Xi≥0 6X3 X3 2X3 + S1 + + W1 S2 + Sj≥0 W2 = = = WK≥0 TABLON BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5 6 7 0 -M 0 -M 0 W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12 AJUSTE BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5+4M 6+12M 7-4M -M 0 0 0 42M W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12 30 12 12 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 142 1.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -12+8M -1+16M 0 -M 0 0 -7/2+2M -42+66M W1 0 8 16 0 -1 1 0 3 66 S2 0 5 -4 0 0 0 1 -1/2 6 X3 0 1 1 1 0 0 0 1/2 6 2.- ITERACIÓN BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 23/2 -1+16M 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 1/2 16 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 X3 0 7 -4 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 0 1/2 1 1 1/16 -1/16 0 B-1 5/16 15/8 N 𝑋𝑋𝐵𝐵 = [𝑋𝑋2 , 𝑆𝑆2 , 𝑋𝑋3 ] 𝐶𝐶𝐵𝐵 = [−6,0, −7]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑋𝑋𝑁𝑁 = [𝑋𝑋1 , 𝑆𝑆2 , 𝑊𝑊1 , 𝑊𝑊2 ] ∆𝐶𝐶 𝐵𝐵 −1 𝑁𝑁 ≥ [𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚) 𝑁𝑁 = 3 × (7 − 3) 𝑁𝑁 = 3 × 4 B-1N −1 𝐶𝐶𝑁𝑁 = [0,0,0,0] 𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑁𝑁 ] 𝐵𝐵 ⎡1 ⎢2 1 0 𝑁𝑁 = ⎢7 0 0 ⎢1 0 1 ⎢ 2 ⎣ −1 1/16 = � 1/4 −1/16 −1 ⎤ 16 ⎥ −1⎥ 4⎥ 1⎥ 16 ⎦ 0 3/16 1 1/4 � 0 5/16 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 1 ⎡ �16 ⎢ 1� 4 ⎢ −1� ⎣ 16 0 1 0 3� 16⎤ 1� ⎥ 4⎥ 5� 16⎦ ⎡1�2 1 ⎢ 7 0 ⎢1 � 0 ⎣ 2 0 0 1 1 1� 16 ⎡ �8 1� ⎢1� 4 ⎢ 4 1� −1� ⎣ 8 16 −1� 16⎤ −1� ⎥ = 4⎥ 1� 16 ⎦ 143 3� 1 16 �128⎤ 1� −1� ⎥ 4 4⎥ 3� 5� 128⎦ 16 𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤ ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏� 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ = [−𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕� − 𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 + 𝟕𝟕� − 𝟏𝟏𝟏𝟏� + 𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟑𝟑� − 𝟔𝟔� 𝟐𝟐𝟐𝟐 [−𝟔𝟔 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟖𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟎𝟎 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ⎢ 𝟑𝟑� 𝟓𝟓� 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎣ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = [− 13�8 �− 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 53 1� 27 16 − �16 − �128] 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� − [𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎] = − �𝟖𝟖 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏� 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 Análisis de sensibilidad para el costo 2 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏� [∆𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎢ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎣ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟏𝟏� , 𝟏𝟏� , −𝟓𝟓𝟓𝟓� , −𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟑𝟑 𝟓𝟓� 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦ �𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 � ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13� 8 2 8 3� ∆𝐶𝐶 ≥ 53� 16 2 16 ∆𝐶𝐶2 ≥ 13 ∆𝐶𝐶2 ≥ 17.6 1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1� 16 2 16 1� 27 126 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128 ∆𝐶𝐶2 ≥ −1 -∞ ∆𝐶𝐶2 ≥ 27 -1 0 13 𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 17.6 27 ∞ Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 144 ∆𝐶𝐶2 ≥ 27 [27, ∞+] Análisis de sensibilidad para el costo 3 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ⎢ [𝟎𝟎 𝟎𝟎 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 ] �𝟒𝟒 �𝟒𝟒 ⎢ 𝟏𝟏 −𝟏𝟏� ⎣ �𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟏𝟏� , 𝟏𝟏� , −𝟓𝟓𝟓𝟓� , −𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟑𝟑 𝟓𝟓� 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦ �𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 � ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13� 8 3 8 1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1� 16 3 16 5� ∆𝐶𝐶 ≥ 53� 16 16 3 3� 27 128 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128 ∆𝐶𝐶3 ≥ 13 ∆𝐶𝐶3 ≥ 1 ∆𝐶𝐶3 ≥ 10.6 -∞ ∆𝐶𝐶3 ≥ 9 0 1 9 10 13 ∆𝐶𝐶3 (−∞, 1) ∪ (13, ∞ +) 𝐶𝐶3 = (−∞, −6) ∪ (6, ∞ +) Haciendo lo del costo 3, restándole a es -7 para obtener el más óptimo. ∞ Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 145 Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X5, X6, X7 son variables de holgura. 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 SOL Z 1 0 2 0 21/2 0 3/2 5/4 X5 0 1 -2 0 15/2 1 -1/2 3/4 5/4 3/4 X1 0 1 -24 0 6 0 2 1 1 X3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 1 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴⃗ → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵 1 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐵𝐵 B-1 I 1 −1�2 �0 2 0 0 1 �0 0 3� 1 4 1 � �0 1 0 0 1 1 1 1�2� �0 0 1 0 1 0 �0 1 0 0 1 1�4 𝐴𝐴 = �0 1� 2 0 0 1� 4 1� 2 0 1 0 1 �4 0� �0 1� 2 1 0 0 A=BA −1 −1� � 2 1 5� 4 𝐴𝐴 = �1� 2 0 −8 0 0 1 0� 0 1 0 0� 1 −1 −1� � 2 1 1 −2 �1 −24 0 0 −1 9 −12 −1�2 3� 0 0 1 15� 2 6 � 0 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 3� 2 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 = �0 1 1�4 5� � � 4 1 1�2 0 0 𝐶𝐶𝐵𝐵 = �0 3�4 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 3�4 1� � 2 0 3� 1� � � 4� = 5� 4 2 1 1 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 0 21�2� = �0 3�2 5� 4 5� � �1 4 �2 0 0 21�2� = �3�4 −18 �0 2 𝐶𝐶 = �3�4 1� 2 −18 −1 −1� � 2 1 1� 0 4 −1 3�4 1� −1� � � 1 � = �0� 2 2 1 1 0 1 1 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 �0 2 146 𝐶𝐶 = �3�4 9� � − �0 2 −20 1� 2 −8 −1 9 −12 −1�2 3� − 𝐶𝐶 0 0 1 1� 2 2 −6� 9� � − 𝐶𝐶 2 0 21� � 2 Z=3/4X1-20X2+1/2X3-6X4 s.a 5/4X1 1/2X1 - 8X2 12X2 - X1 , X2 , X3 1/2X3 X3 X3 + + 9X4 3X4 , X4 ≤ ≤ ≤ ≥ 0 0 1 0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 147 Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X4, X5 son variables de holgura de la primera y segunda restricción. 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 SOL Z 1 0 0 5/3 2 1/3 X1 0 1 -0 1/2 1/2 0 120 25 X2 0 0 1 -1 A=B ª 2/3 0 1/2 20 B 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏 -1 1 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴⃗ → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵 1 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐵𝐵 B-1 1� � 2 0 I � I 0 1 0 �� � 1� 0 1 3 B-1 1 0 2 0 �� � 0 1 0 3 2 0 1 0 �� 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 = � 0 3 0 1 2 𝐴𝐴 = � 0 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 = �2 0 1 � 3 2 1� � �2 3 0 𝐶𝐶𝐵𝐵 = [4 1] 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = [4,1] � 1� 2� 2� 3 0 � 3 25 � = [100 + 20] = 120 20 2 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = � 0 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 = �0 0 0 25 50 �� � = � � 3 20 60 5� � = �2, 3 1� � �2 3 0 0 1 � 3 2 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad �0 𝐶𝐶 = �4 0 5�3� = �4 1 8�3� − �0 1 8�3� − 𝐶𝐶 0 5�3� = [4 1 Z=4X1+X2+X3 s.a 2X1 X1 , 3X2 X2 + + , X3 2X3 X3 ≤ ≤ ≥ 50 60 0 1] 148 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 149 EJERCICIOS V. Dualidad. Instrucciones: Dado el Modelo Primal obtener su Modelo Dual y resolverlo por el método apropiado. MODELO DUAL 1.- Modelo Primal 1.- Min Max Z=10Y1+6Y2+8Y3 Z=2X1+X2 s.a s.a Y1+Y2+2Y3≥2 Y2=2 X1+5X2≤10 5Y1+3Y2+2Y3≥1 Y3=1 X1+3X2≤6 Y1,Y2≥0 Z=8 Y1=0 2X1+2X2≤8 2.- Modelo Primal 2.- Max Min Z=25Y1+30Y2 Z=2X1+X2 s.a NO s.a 4Y1+7Y2≥1 TIENE X1+5X2≤10 8Y1+5Y2≥3 SOLUCIÓN X1+3X2≤6 6Y1+9Y2≥-2 2X1+2X2≤8 Y1,Y2≥0 3.- Modelo Primal 3.- Max Min Z=4Y1+10Y2+6Y3 Z=12X1+26X2+80X3 s.a s.a 2Y1+4Y2+Y3≤12 2X1+6X2+5X3≥4 6Y1+2Y2+Y3≤26 4X1+2X2+X3≥10 5Y1+Y2+2Y3≤80 X1+X2+2X3≥6 Y1,Y2≥0 Z=72 Y1=0 Y2=0 Y3=12 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 150 4.- Min 4.- Modelo Primal Max s.a Z=10X1+15X2+20X3+25X4 s.a 8Y1+3Y2≥10 ≥15 6Y1 8X1+6X2-X3+X4≥16 3X1 Z=16Y1+2Y2 +2X3-X4=20 -Y1+2Y2≥20 NO TIENE SOLUCIÓN ≥0 -Y1 Y1,Y2≥0 5.- Modelo Primal Min 5.- Max Z=Y1+4Y2 Z=X1+2X2+X3 s.a s.a Y1=0 Y2≤1 X2+X3=1 3X1+X2+3X3=4 Z=1.333 Y1+Y2≤2 Y1+3Y2≤1 Y2=0.3333 CAPÍTULO IV: TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN. Objetivo: El alumno establecerá los problemas de transporte y asignación como una variable del modelo de Programación Lineal así mismo aprenderá y aplicará la metodología de solución de los mismos. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 152 4.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE. En su definición más simple el Modelo de Transporte tiene que ver con la determinación de un plan de costo mínimo para transportar una mercancía o producto de una ó varias partes (plantas productoras) a varios destinos (almacenes o bodegas). El modelo de transporte es básicamente un modelo de Programación Lineal que se puede resolver a través del método simplex, sin embargo su estructura especial hace posible el desarrollo de un procedimiento alterno de solución conocido como Modelo o Técnica de transporte; entre las técnicas más conocidas para resolver el modelo de transporte se presentan: A) Método de la esquina noroeste. B) Costo mínimo. C) Aproximación de Voguel. El método de transporté toma como referencias transportar una mercancía de varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son: 1.-Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2.-Costo Mínimo. 3.-Aproximación de Voguel. El modelo de transporte toma referencia transportar una mercancía de varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son: a) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. b) El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 153 ESQUEMA EN EL MODELO DE TRANSPORTE I A II B III C IV Un problema de transporte incluye M fuentes, a cada una de las cuales corresponde la disponibilidad de ai cuando i =1,2,3,4,5,6………m unidades de producto homogéneo y n destinos a cada uno de los cuales requiere bj y j=1,2,3,4,5,6…….n unidades de producto los números ai y bj son enteros positivos. El costo Cij de transportar una unidad de origen i al destino j para cada i corresponde una j. El objetivo de desarrollar un programa de transporte que cumpla con todas las demandas a partir del inventario actual y a un costo de embarque mínimo se considera que el suministro y la demanda total son iguales. 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 � 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 154 Se garantiza creando ya un destino ficticio con una demanda igual al excedente, si la demanda total es menor que le suministro total, o un origen ficticio con un suministro igual al faltante si la demanda excede al suministro total sea Xij el número desconocido de unidades que se embarcan del origen i al destino j entonces todo modelo de transporte tendrá como patrón el siguiente modelo matemático. Min 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑍𝑍 = � � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 s.a 𝑛𝑛 � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2 … … 𝑚𝑚) 𝑗𝑗 =1 𝑚𝑚 � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2 … … 𝑛𝑛) 𝑗𝑗 =1 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 4.1.1 ALGORITMO DE TRANSPORTE. 1.- Analizar qué datos se tienen. 2.- Para visualizar mejor los datos e iniciar el algoritmo se realiza la siguiente tabla. Demanda A B C D origen 1 2 3 4 En cada una de las casillas de colocan los costos de transporte del origen al destino trabajándose con una matriz de (m) renglones (n) columnas. 3.- Se inicia el algoritmo con la verificación siguiente: Capítulo IV: Transporte y Asignación. 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 155 � 𝑎𝑎1 = � 𝑏𝑏1 Demanda origen 1 2 3 b1 A B C D a1 C1A C2A C1B C1C C1D C2B C2C C2D C3A C3B C3C C3D 10 40 30 40 50 20 110 30 Como se observa, al aumentar en 30, el sistema se equilibró, y ahora sí podemos seguir con el algoritmo. Los costos de la columna No.4 valen cero. 4.- Primera asignación. La primera asignación o distribución de la oferta se realiza de la siguiente manera: a).- Se inicia el algoritmo asignado cantidades en las regiones que contengan el costo mínimo, empezando por el más bajo y así sucesivamente hasta satisfacer demanda y oferta. Por ejemplo: Se tienen 3 fábricas y 5 almacenes, los costos de transporte son los que se muestran en la matriz. Demanda origen A B 6 C 8 D 6 E 4 a1 3 1 1250 3 5 7 4 6 2 900 9 3 b1 500 4 350 6 650 4 500 5 700 550 2700 Se interpreta la columna A y el renglón 1 como: En la fábrica 1 se tienen 1250 unidades producidas para ofrecer y se demandan 500 unidades en el renglón A. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 156 Se busca el costo mínimo, ahí se designa la cantidad que satisfaga la demanda total o parcial quedando la tabla de la siguiente manera: Demanda origen A B 6 C 8 D 6 E 4 1 700 a1 3 1250 3 5 7 4 6 9 4 6 4 5 2 3 b1 550 900 500 350 650 500 550 2700 700 Al realizar la asignación se ha satisfecho la demanda de la región E a un costo mínimo, pero la oferta del renglón 1 todavía no se distribuye ya que quedan 550 unidades disponibles. Ahora se observa cual es el siguiente costo mínimo, este se encuentra en la región (2 A), ahí se asigna la cantidad para satisfacer total o parcialmente la demanda quedando lo siguiente: Demanda origen A B 6 C 8 D 6 E 4 1 2 3 b1 700 a1 3 1250 3 5 7 4 6 9 4 6 4 5 500 900 500 350 650 500 550 400 550 2700 700 0 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen A B 6 C 8 D 6 1 2 3 b1 500 E 4 700 a1 3 1250 3 5 7 4 6 9 4 6 4 5 500 500 0 900 350 650 500 0 700 0 550 2700 550 50 400 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 157 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna la cantidad quedando: Demanda origen A B 6 C 8 D 6 1 2 3 b1 500 E 4 700 a1 3 1250 3 5 7 4 6 9 4 6 4 5 500 350 500 0 350 0 650 500 0 700 0 550 50 900 400 550 2700 200 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen A B 6 C 8 1 3 2 6 50 5 500 7 E 4 700 4 a1 3 1250 4 350 500 350 0 0 6 4 900 400 550 2700 200 5 200 650 450 400 550 50 6 500 9 3 b1 D 500 700 0 0 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen A B 6 C 8 1 3 2 5 500 6 500 E 4 700 a1 3 1250 7 4 6 6 4 5 400 9 3 b1 50 D 4 350 500 350 0 0 200 650 400 0 500 700 0 0 550 50 900 400 550 2700 200 Se observa en la tabla que toda la oferta ha sido distribuida para satisfacer las demandas totales, en este momento la primera asignación termina. 5.- Cálculo de la función Z para la primera asignación; se entiende como Z el costo de distribución a diferentes centros de consumo, calculándose ésta de la siguiente manera: Capítulo IV: Transporte y Asignación. 158 𝑍𝑍 = (6 × 50) + (4 × 500) + (3 × 700) + (3 × 500) + (7 × 400) + (4 × 350) + (6 × 200) 𝑍𝑍 = 300 + 2000 + 2100 + 1500 + 2800 + 1400 + 1200 = 11300 6.- Una vez que se ha encontrado el valor de la función Z el costo de distribución se verifica si en realizada este costo que se ha encontrado es el mínimo. Por ello se realiza un análisis de costos de oportunidad, o sea, que se analizan. Si se asignó o aumentó una unidad en el renglón 1 A se desbalancea tanto la columna como el renglón, por tal motivo se tiene que disminuir esa unidad de dicha columna y renglón para que el sistema no se desbalancee, haciendo esto en renglones (ij) en los cuales se haya asignado alguna cantidad. Este mismo análisis se realiza para cada renglón donde se incrementa o disminuye la unidad y así se desbalancea el sistema. Nota: L a configuración de los ciclos (LOPPS) es cualquiera, solo que deben estar formados por líneas rectas horizontales y verticales todas ellas. EJEMPLO 1: La empresa Ford Motor Company desea elaborar un plan de transporte semanal para enviar automóviles de sus plantas productoras ubicadas en el D.F. Monterrey y Guadalajara, sus almacenes en Toluca, Mérida, Baja California, Matamoros, Cancún. Se sabe que el D.F. produce semanalmente 60 unidades, Monterrey produce 50 automóviles y Guadalajara produce 30 automóviles. Por su parte el almacén de Toluca requiere 50 autos semanalmente, Mérida 20, Baja California 15, Matamoros 20 y Cancún 25. El costo promedio en pesos de enviar un automóvil de una planta productora a alguno de los centros de distribución se presentan en la siguiente tabla: Baja Matamoros California 50 45 Destino Toluca Mérida Cancún Oferta D.F. 25 40 30 60 Monterrey 50 55 25 25 40 40 Guadalajara 34 41 52 36 42 30 Demanda 50 20 15 20 25 a) Determinar el Modelo de Programación Lineal para este problema. b) Calcule una solución que usted considere viable para este modelo. Capítulo IV: Transporte y Asignación. Min C. 159 𝑿𝑿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑁𝑁𝑁𝑁. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎ó𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑗𝑗. Costo de envío = 25𝑋𝑋11 + 40𝑋𝑋12 … … … … … … … … … + 42𝑋𝑋35 s.a 𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋31 ≤ 50 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋32 ≤ 20 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋33 ≤ 15 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋34 ≤ 20 𝑋𝑋15 + 𝑋𝑋25 + 𝑋𝑋35 ≤ 25 Oferta 𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋15 ≤ 60 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋25 ≤ 40 𝑋𝑋31 + 𝑋𝑋32 + 𝑋𝑋33 + 𝑋𝑋34 + 𝑋𝑋35 ≤ 30 Este algoritmo es un método especializado para el formato de un modelo de transporte el cual puede resolverse mediante 3 métodos: 4.2 MÉTODO DE VOGUEL Este procedimiento es uno de los métodos más aceptados que se basa en encontrar la diferencia de costos menores (método heurístico). PROCEDIMIENTO 1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las casillas y pestaña que indique el costo. 2.- Se realiza penalizaciones entre casilla de menor costo y la casilla de menor costo siguiente para cada renglón y para cada columna se restan. 3.- Se selecciona en penalización mayor ya sea en renglón de columna. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 160 4.- Se ubica la casilla con menor costo seleccionada en el paso anterior, se hace la máxima asignación de dicha casilla. 5.- Ajustan valores de oferta y demanda y se tachan valores de asignación. 6.-Se selecciona la mayor penalización siguiente y se ubica al renglón o la columna que la tenga para ubicar a la casilla de menores costos y hacer la máxima asignación. 7.- En caso de empate se procede arbitrariamente. 8.- Si en algún del problema no es posible utilizar los pasos 2-7(utilice costo mínimo) continúe con este proceso hasta agotar oferta y demanda. Para ejemplificar este método se utilizara el ejemplo 1. Fuente Destino D.F. Toluca 25 35 Mérida 40 X 50 Monte X Gauda Demanda 15 B.C. 50 X 55 5 Matamoros 25 20 34 50 20 9 0 15 0 25 60 5 15 40 40 36 X Oferta 30 X 52 X 25 25 20 41 15 45 X Cancún 2 42 X 30 20 25 11 10 25 × 35 + 34 × 15 + 55 × 5 + 41 × 15 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 25 = $ 3900 4.3 MÉTODO ESQUINA NORESTE. Es el método menos óptimo ya que únicamente hace referencia a la posición de los datos de la oferta y la demanda sin hacer referencia o considerar los costos. Se diseña una matriz de oferta y demanda. PROCEDIMIENTO 1.- Se selecciona la casilla de la esquina (noroeste de la matriz), se hace la máxima asignación posible. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 161 2.- Se ajustan los valores de la oferta y la demanda y si alguno de los destinos o de las partes se ha agotado ya no se considera para el siguiente pedido. 3.- Con la sub matriz obtenida se repiten los pasos anteriores tachando previamente las casillas que no tienen asignación. 4.- Se continúa con este proceso hasta que la oferta y la demanda quede cero. Fuente Destino Toluca Mérida 25 D.F. 50 B.C. X Cancún X X 10 X 25 15 60 X X 15 X 50 20 X 0 0 5 15 0 0 40 0 25 40 30 0 36 Gauda Demanda Oferta 40 10 55 Monte Matamoros 42 25 30 25 0 20 25 0 0 25 × 50 + 40 × 10 + 55 × 20 + 25 × 15 + 25 × 15 + 36 × 5 + 42 × 25 = $ 4180 4.4 MÉTODO DE COSTO MINIMO. Trata de localizar una mejor solución inicial del modelo de transporte, utilizando las rutas baratas. PROCEDIMIENTO 1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las casillas una pestaña que indique el costo. 2.- Se selecciona de la matriz la casilla con menor costo posible y se realiza en ella la máxima asignación posible. 3.- Se ajustan valores de oferta y demanda tachando en cada caso las casillas que no tienen asignación, en caso de empates se procede de manera arbitraria. 4.-continua con este procedimiento hasta que los valores de la oferta y la demanda queden satisfechos. Capítulo IV: Transporte y Asignación. Fuente Destino D.F. Toluca 25 50 Mérida 40 X B.C. 50 X 55 Monte X X X 20 50 20 0 0 45 X 25 15 Oferta 30 60 40 0 40 40 25 0 36 X 15 0 0 10 5 52 X Cancún 25 20 41 Gauda Demanda Matamoros 162 42 10 20 25 0 10 30 10 25 × 50 + 41 × 20 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 20 + 40 × 5 + 42 × 20 = $ 3865 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 163 EJEMPLO 2. La fabrica S.A de C.V. fábrica dispositivos mecánicos en 2 fábricas una en Memphis y otra en Denver. La de Memphis puede fabricar 150 dispositivos por día y la de Denver puede producir 200 dispositivos por día y enviarlos por aire a los clientes de los Ángeles y Boston; los clientes en cada ciudad requieren de 130 dispositivos por día, debido a las irregularidades en las tarifas aéreas la empresa cree que podría ser más barato enviarlos primero a Nueva York y Chicago y luego a los destinos finales. Los costos de enviar por vía aérea un dispositivo se muestra en la siguiente tabla. La empresa quiere minimizar el costo total de enviar los dispositivos requeridos a sus clientes. de Memphis Denver Memphis Denver Nueva York Chicago Los Ángeles Boston 0 - 0 Nueva York 8 15 13 12 Los Ángeles 25 26 - - 0 6 16 17 - - 6 0 14 16 - - - - 0 - - - - - - 0 Nueva York Chicago Boston X Cap. De Producción Chicago Boston 28 26 DESTINOS Memphis 8 13 Los Ángeles 25 Denver 15 12 Nueva York 0 Chicago 6 Origen Demanda 350 350 28 0 150 26 25 0 200 6 16 17 0 0 14 16 0 130 130 90 350 350 1050 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 164 a) MÉTODO VOGUEL. Nueva York Origen Chicago Memphis X 8 Denver X 15 Nueva York 350 Chicago 13 X 12 X 0 6 Demanda 26 X 6 X X Los Ángeles 25 130 350 350 0 X 130 16 X Cap. De Producción 28 20 150/20 25 70 200/70 17 350 X 14 X 350 X Boston 16 X 130 130 350 90 1050 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (130 × 25) + (130 × 25) = $6500 b) MÉTODO ESQUINA NORESTE. Nueva York Origen Chicago Memphis 180 8 Denver 200 15 Nueva York X Chicago X Demanda 13 X 12 X Los Ángeles Boston X X X X X X X X X 0 350 6 350 350 350 0 X 130 130 14 130 130 16 Cap. De Producción 90 90 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (180 × 8) + (200 × 15) + (130 × 14) + (130 × 16) = $10,200 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 165 a) MÉTODO COSTO MÍNIMO. Nueva York Origen Memphis Denver Nueva York Chicago Demanda Chicago X 8 X 15 13 X 12 X 0 350 350 25 60 26 70 6 X 6 X Los Ángeles 350 0 28 X 130 16 X 350 Boston 25 17 X 14 X 130 X 16 130 X Cap. De Producción 90 150/60 X X 90 90 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (60 × 25) + (70 × 26) + (130 × 25) = $6570 4.5 MÉTODO HUNGARO. Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro: Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna. Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3. Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 166 Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos. Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros. EJEMPLO 1. La empresa tiene 4 maquinas y 4 tareas por completar cada máquina se debe de asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada máquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Plantea la mejor asignación posible mediante el método húngaro. Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 14 5 8 7 2 2 12 6 5 3 7 8 3 9 4 2 4 6 10 Se agarra el mínimo de cada máquina. Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 14 5 8 7 5 2 2 12 6 5 2 3 7 8 3 9 3 4 2 4 6 10 2 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 167 Se resta a toda fila Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 9 0 3 2 2 0 10 4 3 3 4 5 0 6 4 0 2 4 8 Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 0 0 4 0 2 0 9 3 0 3 5 6 0 - 4 0 1 3 - EJEMPLO 2. Se cuenta con 5 empleados para llevar acabo 4 tareas, el tiempo que toca a cada persona realizar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Determine la asignación de empleados a las tareas que reduce el tiempo total requerido para efectuar las 4 tareas. Persona 1 22 18 30 18 18 2 18 - 27 22 0 3 26 20 28 28 20 4 16 22 - 14 0 5 21 - 25 28 0 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 168 1 22 18 30 18 18 0 0 14 0 2 18 - 27 22 0 12 0 25 20 3 26 20 28 28 20 0 0 6 6 4 16 22 - 14 0 14 24 0 16 5 21 - 25 28 0 15 0 23 26 1 0 0 12 0 2 14 0 27 22 3 2 0 8 8 4 12 0 0 14 5 17 0 25 28 X14= 1 Persona X22= 3 Personas X31= 3 Personas X43= 4 Personas X52= 5 Personas EJEMPLO 3. Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto 1, 2, 3 en cantidades de 45 y 25 unidades respectivamente las tarifas se presentan en la siguiente tabla: i/j 1 2 3 4 1 …. 38 56 34 2 38 …. 27 …. 3 56 27 …. 19 4 34 …. 19 …. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 169 Determine un programa de embarque que asigne el número requerido de artículos a cada destino a un costo mínimo de transporte; ningún embarque requiere del vuelo directo, se permiten los envíos empleando intermediarios. Origen 1 2 38 X 70 3 X 4 45 X14= 70 X21= 70 X32= 70 X41= 45 X43= 25 4 56 X 34 27 X 0 X 27 0 70 19 X 0 19 25 115 Oferta 70 0 2 Demanda 3 0 X 95 130 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (25 × 19) + (70 × 34) = $2855 70 70 70 25 280 130 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 170 EJEMPLO 4. En una compañía industrial se debe de planear para cada una de las estaciones del próximo año las capacidades de producción de la compañía así como sus demandas esperadas todo en unidades, se muestran en la siguiente tabla. Primavera Verano Otoño Invierno Demanda 250 100 400 500 Capacidad Normal 200 300 350 - Capacidad Tiempo 100 50 100 150 Los costos de producción normal para la compañía son de $7.00 por unidad, el tiempo extra varía según la estación del año siendo de $8.00 en primavera, $9.00 en verano y $10.00 en invierno. La empresa tiene un inventario inicial de 200 unidades el 1 de enero pero como se planea descontinuar el producto a finales de año se desea que se tenga un inventario de 0. Las unidades producidas en los turnos normales no se encuentran disponibles en embarques durante la estación de producción generalmente se venden a la siguiente estación. Aquellas unidades que no se venden se agregan al inventario que se acumulan a un costo de $0.70 por unidad por unidad por estación. En cambio las unidades producidas en tiempo extra deben de embarcarse en la misma estación que se produce. Determine un programa de producción que cubra el total de demandas a un costo mínimo. Capítulo IV: Transporte y Asignación. Orígenes Capacidad Normal en Primavera Capacidad Normal en Verano Capacidad Normal en Otoño Inventario Inicial Capacidad en Tiempo Extra Primavera Capacidad en Tiempo Extra Verano Capacidad en Tiempo Extra Otoño Capacidad en Tiempo Extra Invierno Primavera Verano 0 200 Otoño 7 X 50 0 8 X X 0 2.1 0 0 X 0 0 300 250 150 350 100 200 0 100 X 100 9 0 X 200 X 0 7 1.4 0 200 X 100 X 0 7.7 0 0.70 Oferta X X 250 X 8.4 7 0 X Ficticia X 150 0 X 7.7 0 X X Invierno X 0 171 0 0 50 X X X 0 X 0 X 0 X 0 X 50 0 50 0 0 100 50 50 0 10 0 150 X X 250 50 X 100 X 400 250 150 500 400 200 100 50 200 150 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (150 × 7) + (100 × 7) + (200 × 2.1) = $2170 1450 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 172 EJERCICIOS VI. Modelos de Transporte y Asignación Instrucciones: Dado el Modelo resolverlo por el método apropiado. Problema 1. Una compañía suministra bienes a tres clientes y cada uno requiere 30 unidades. La compañía tiene dos almacenes el almacén 1 tiene 40 unidades disponibles y el almacén dos 30 unidades disponibles. Los costos de enviar una unidad desde el almacén a los clientes se muestra en la siguiente tabla. Hay una penalización por cada unidad no suministrada al cliente; con el cliente 1 se incurre en un costo de penalización de $90, con el cliente 2 de $80 y con el cliente 3 $110. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar la suma de escasez y costo de envió. De Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Almacén 1 $15 $35 $25 Almacén 2 $10 $50 $40 Solución Cliente1 Cliente 2 Cliente 3 suministro Almacen 1 15 35 25 40 Almacén 2 10 50 40 30 Escacez 90 80 110 20 30 30 Demanda 30 Problema 2 Un hospital necesita comprar 3 galones de medicina perecedera que utilizara durante el mes actual y cuatro galones para uso durante el siguiente mes. Debido a que la medicina es perecedera solo puede utilizarse durante el mes de compra. Dos empresas Daisy y Louroach venden las medicinas, la medicina es escaza, por consiguiente durante los siguientes dos meses, el hospital está limitado a comprar a los sumo 5 galones de cada empresa. Las compañías cargan los precios como se ve en la tabla siguiente. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar el costo de comprar medicina innecesaria. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 173 De Precio del mes actual por galón ($) Precio del mes siguiente por galón($) Daisy $800 $720 Loroach $710 $750 Solución Mes 1 Daysy 800 720 0 suministro 5 Loroach 710 750 0 5 Demanda Mes 2 3 4 Ficticio 3 Una gasolinera puede comprar su combustible para autos a cualquiera de los tres proveedores. Las necesidades de la gasolinera para el siguiente mes en cada una de sus estaciones a los que les puede dar servicio es como sigue, son 100,000 de la estación 1, 180,000 galones de la estación 2 y 350,000 galones de la estación 3. Cada proveedor puede suministrar a las estaciones de las gasolineras a los precios de centavos por galán como se ve en la siguiente tabla De Estación 1 Gasolina Estación 2 Gasolina Estación 3 de gasolina Proveedor 1 92 89 90 Proveedor 2 91 91 95 Proveedor 3 87 90 92 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 174 Problema 3 Cada proveedor tiene la capacidad en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son de 320,000 galones para el proveedor 1, 270,000 galones para el proveedor 2 y 190,000 galones para el proveedor 3. Determine una política de compra que cubra los requerimientos de la estación de gasolina a un costo mínimo. Solución Estación1 1 92 Estación2 Estación 3 Ficticia suministro 320,000 89 90 320,000 2 91 150,000 91 270,000 95 120,000 3 Demanda 87 90 100,000 100,000 60,000 180,000 190,000 92 350,00 150,000 El proveedor 1 entregara 320,000 gal al aeropuerto 3, el proveedor 2 entregara 120,00 gal al aeropuerto 2 y conserva 150,000 gal, el proveedor 3 entregara 100,00 gal y 30,000 gal respectivamente a las estaciones 1,2 y 3 Capítulo IV: Transporte y Asignación. 175 Problema 4 El consejo de Chicago de la Educación está aceptando ofertas en relación con las cuatro rutas del autobús escolar de la ciudad. Cuatro compañías hicieron las ofertas como se muestra en la siguiente tabla. De Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4 Compañía 1 4,000 5,000 0 0 Compañía 2 0 4,000 0 4,000 Compañía 3 3000 0 2,000 0 Compañía 4 0 0 4,000 5,000 Suponga que a cada licitante se le puede asignar una ruta, utilice el método húngaro para minimizar el costo de recorrer las cuatro rutas de autobuses. Solución La compañía 1 recorre la ruta 1, la compañía 2 recorre la ruta 2, la compañía 3 recorre la ruta 3 y la compañía 4 recorre la ruta 4. APENDICE A. APENDICE A 177 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones, todos tienen la misma variable y pueden tener un número finito de ecuaciones. -Por sus términos independientes o constantes es homogénea Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones -Cuando algún termino (constante) es diferente a cero- no homogénea -Por sus soluciones -Tiene alguna solución -Consistente o incompatible -No tiene solución Todo sistema de ecuaciones lineales homogénea es constante, tiene por lo menos la solución trivial y se puede verificar si es la única solución o hay varias. 3𝑋𝑋1 + 2𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3 = 0 −𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 = 0 −3𝑋𝑋1 + 4𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 + 𝑋𝑋4 = −2 2𝑋𝑋1 + 5𝑋𝑋3 − 6𝑋𝑋4 = 0 5𝑋𝑋1 − 3𝑋𝑋2 + 10𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋4 = −1 Operaciones que no alteran la soluciones de un sistema de ecuaciones. METODO DE GAUSS - JORDAN 1.- Intercambio de dos ecuaciones. 2.- Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero. 3.- Sumar a una ecuación un múltiplo de otra ecuación. APENDICE A 178 2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6 3X1 + 5X2 + 2X3 + 2X4 = 4 3X1 + 5X2 + 2X3 + 2X4 = 4 2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2 X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 2X2 - X3 + X4 = -2 2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2 11X2 22X2 + + 5X3 10X3 - X4 2X4 = = 10 20 + X4 = -2 X1 0X1 - X1 2X2 - X3 + X4 = -2 11X2 + 5X3 - X4 = 10 + 0X2 + 0X3 + 0X4 = 0 X1 0X1 + X2 0X2 - X1 - 2X2 0X1 X2 + 0X2 - X3 + 5/11X3 + 0X3 - 1/11X3 + 9/4X4 = -2/11 + + 5/11X3 0X3 0 1/11X4 0X4 = = 10 0 - 1/11X4 + 0X4 = 10/11 = 0 Despejando X1 de la ecuación 1. 𝑋𝑋1 = −2�11 + 1�11 𝑋𝑋3 − 9�11 𝑋𝑋4 Cuando se tienen mayor numero de variables que ecuaciones se tienen un sin número de soluciones. Cuando se tiene el mismo número de variables y ecuaciones, se puede tener una solución única o en su efecto el mayor número de ecuaciones, sea el número de variables. EJEMPLO 2. 2𝑋𝑋1 4𝑋𝑋1 2𝑋𝑋1 𝑋𝑋1 +5𝑋𝑋2 +3𝑋𝑋3 +3𝑋𝑋2 +8𝑋𝑋2 −8𝑋𝑋3 = 8 −9𝑋𝑋3 = 9 −5𝑋𝑋3 = 7 −7𝑋𝑋3 = 12 APENDICE A 179 2 4 2 1 5 3 3 8 -8 -9 -5 -7 :8 :9 :7 :12 1 4 2 2 8 3 3 5 -7 -9 -5 -8 :12 :9 :7 :8 1 0 0 0 8 29 13 -11 -7 19 9 6 :12 :-39 :-17 :-16 1 0 0 0 8 -11 13 29 -7 6 9 19 :12 :-16 :-17 :-39 1 0 0 0 8 1 -13 -29 1 0 0 0 0 1 0 0 -7 -6/11 9 19 :12 :-16/11 :-17 :39 -29/11 -6/11 1 35/11 :4/11 :16/11 :1 :35/11 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -29/11 -6/11 21/11 35/11 :4/11 :16/11 :21/11 :35/11 0 1 0 0 0 0 1 0 :3 :2 :1 :0 X1=3 X2=2 X3=1 EJEMPLO 3. 2 4 2 -3 -6 -3 2X1 - 3X2 + 5X3 + 7X4 = 1 4X1 - 6X2 + 2X3 + 3X4 = 2 2X1 - 3X2 - 11X3 - 15X4 = 1 5 -8 -16 7 -11 -22 5 2 -11 7 3 -15 :1 :2 :1 2 0 0 3 0 0 :1 :0 :0 APENDICE A 180 2 0 0 -3 0 0 5 -8 0 7 -11 0 :1 :0 :0 2 0 0 -3 0 0 5 0 0 7 11/8 0 :1 :0 :0 2 0 0 -3 0 0 5 -8 0 7 -11 0 :1 :0 :0 2 0 0 -3 0 0 5 0 0 7 11/8 0 :1 :0 :0 2 0 0 -3 0 0 0 1 0 1/8 11/8 0 :1 :0 :0 2 0 0 -3/2 0 0 1/16 11/8 0 :1/2 :0 :0 𝑋𝑋1 = 1 3 1 + 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋4 2 2 16 𝑋𝑋3 = −11 𝑋𝑋 8 4 𝑋𝑋2 = 𝑆𝑆 𝑋𝑋4 = 𝑡𝑡 Donde X2 Y X4 E.R 𝑋𝑋1 = 1 3 1 + 𝑆𝑆 − 𝑡𝑡 2 2 16 𝑋𝑋3 = −11 𝑡𝑡 8 1 3 1 11 � + 𝑆𝑆 − 𝑡𝑡, 𝑆𝑆, − 𝑡𝑡, 𝑡𝑡� 2 2 16 8 0 1 0 APENDICE A 181 EJEMPLO 3. 9X1 - 3X2 + 5X3 + 6X4 = 4 6X1 - 2X2 + 3X3 + X4 = 5 3X1 - X2 + 3X3 + 14X4 = -8 9 6 3 -3 -2 -1 5 3 3 6 1 14 :4 :5 :-8 3 6 9 -1 -2 -3 3 3 5 14 1 6 :-8 :5 :4 3 0 0 -1 0 0 3 -3 -4 14 -27 -36 :8 :21 :28 3 0 0 -1 0 0 3 1 -4 14 9 -36 :8 :-7 :28 3 0 0 -1 0 0 0 1 0 13 9 0 :13 :-7 :0 1 0 0 -1/3 0 0 𝑋𝑋1 = 13 1 13 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋4 3 3 3 𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑋𝑋4 𝑋𝑋2 = 𝑡𝑡 𝑋𝑋4 = 𝑅𝑅 Donde X2 Y X4 E.R 𝑋𝑋1 = 13 1 13 + 𝑡𝑡 + 𝑅𝑅 3 3 3 𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑅𝑅 13 1 13 � + 𝑡𝑡 + 𝑅𝑅, 𝑡𝑡, −7 − 9𝑅𝑅, 𝑅𝑅� 3 3 3 0 1 0 -13/3 9 0 :13/3 :-7 :0 APENDICE A 182 𝑎𝑎11 ≠ 0 𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 �𝑎𝑎 21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 𝑎𝑎13 1 � ~ � 𝑎𝑎23 𝑎𝑎21 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎12 𝑏𝑏1 1 ⎛ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 � ~ ⎜ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 0 𝑎𝑎11 ⎝ 𝑏𝑏1 1 ⎞ ⎛ 𝑎𝑎11 ~ 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ ⎜ 0 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠ ⎝ 𝑏𝑏1 ⎞ 𝑎𝑎11 ~ 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ 𝑎𝑎11 ⎠ 𝑏𝑏1 ⎞ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ 1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠ 0 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) − 𝑎𝑎12 (𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ) + = 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 𝑎𝑎11 (𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 ) = 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 ∆= �𝑎𝑎 21 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑏𝑏 𝑎𝑎12 � � 1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 ∆1 𝑏𝑏2 𝑎𝑎22 𝑋𝑋1 = = 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 � 11 𝑎𝑎12 � ∆ 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 = 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 � 11 � ∆2 𝑎𝑎22 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 11 12 ∆ �𝑎𝑎 � 𝑎𝑎22 21 APENDICE A 183 EJEMPLO 1. 2X1-3X2=4 7X1+6X2=-10 2 −3 ∆= � � = 12 − (−21) = 33 7 6 4 ∆1 = � −10 −3 � = 24 − 30 = −6 6 2 4 ∆2 = � � = −20 − 28 = −48 7 −10 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 = ∆1 −6 −2 = = 33 11 ∆ ∆2 −48 −16 = = ∆ 33 11 Sistema cuadrado tiene el mismo número de ecuaciones que variables. 𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎11 ∆= �𝑎𝑎21 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑋𝑋𝑗𝑗 = 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ∆𝑗𝑗 𝑗𝑗 = 1 … … … … … . . 𝑛𝑛 ∆ 𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑗𝑗 =1 𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 APENDICE A 2 −3 � 5 4 −5 7 −9 −6 1 −1 2 1 184 2 4� 7 2 𝑀𝑀11 −7 −1 4 = �−9 2 7� −6 1 2 𝑀𝑀41 −5 1 2 = � 7 −1 4� −9 2 7 2 −5 2 𝑀𝑀23 = �5 −9 7� 4 −6 2 2 𝑀𝑀34 = �3 4 EJEMPLO 2. 2 �5 1 1 3 3 2 5 � + 1(−1)1+2 � 3 2� = 2(−1)1+1 � 4 3 1 4 3 EJEMPLO 3. 4 �3 1 −5 1 7 −1� −6 1 2 5 3 � + 3(−1)−1+3 � � 3 1 −1 = 2(9 − 8) − (15 − 2) + 3(20 − 3) = 2 − 13 + 57 = 40 −3 5 −3 5 4 � + 2(−1)2+2 � −2 8 � = 3(−1)2+1 � −7 −5 1 −7 −5 EJEMPLO 4. 4 −3 5 � + 8(−1)2+3 � � 1 −7 −5 = −3(50) − (25) − 8(−25) = −150 + 50 + 200 = 100 5 �0 7 EJEMPLO 5. 1 �4 16 1 5 25 6 3 5 3 � = 25 − 21 = 4 1 0� = � 7 5 4 5 1 5 9�=� 25 81 4 9 � − 1� 16 81 9 4 5 �+� � 81 16 25 = (405 − 225) − (324 − 144) + (100 − 80) = 180 − 180 + 20 = 20 APENDICE A 185 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- Si un renglón o columna de un determinante consta únicamente de ceros, el valor determinante es cero. 2.- Si un renglón o columna es múltiplo de otro renglón o columna entonces el determinante vale cero. 3.- Si intercambio dos columnas o renglones, el valor del determinante es cero. 4.- Si se multiplica un renglón o una columna por un número real el valor del determinante queda multiplicado por ese número. 5.- Si a un renglón o columna se le suma un múltiplo de otro renglón o columna, el valor del determinante no cambia. Ejemplos de las propiedades: 2 2) � 4 1 3) � 4 −5 � = −20 − (−20) = 0 −10 −3 � = 2 − (−12) = 14 2 4 2 � � = −12 − 2 = 14 1 −3 Multiplicando el primer renglón por 2. 2 4) � 4 1 −3 5) � � = −4 − (−18) = 14 6 −4 EJERCICIO -1 0 0 0 2 4 0 0 3 3 6 0 −6 � = 4 − (24) = 28 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 4 1 -2 3 5 1 4 -7 7 2 -5 6 -1 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 3 3 6 0 0 0 4 1 -2 3 0 0 5 1 4 -7 1 0 El determinante tendrá el valor de la diagonal que esta de color. = (−1)(4)(6)(3)(1)(−5) = −77 7 2 -5 6 5 -5 APENDICE A 186 SISTEMA CUADRADO 2 ∆= �3 3 2X1 - X2 - X3 = 4 3X1 + 4X2 - 2X3 = 11 3X1 - 2X2 + 4X3 = 11 −1 −1 −1 2 4 −2� = (−1) � 4 3 −2 4 −2 3 −1 −1 2 −1 −2� = (−1) � 0 11 −6� 4 0 −1 6 −1 2 −1 −1 2 −1 (−)(−1) � 0 −1 −6� = (−)(−) � 0 −1 6 � = (−)(−)(−1)(−1)60 = 60 0 11 −6 0 0 60 −4 −1 −1 −1 (−) ∆1 = � 11 −4 −2� = �4 −11 −2 4 −2 4 −1 −1 4 (−) � 0 27 11 −2� = 11 4 0 3 −1 −6� = 180 6 2 4 ∆2 = �3 11 3 11 −1 −1 4 2 −1 −1 4 (−1) (−) �−2 11 3� = �0 −2� = 4 11� = 60 4 4 11 3 0 −2 11 2 −1 ∆3 = �3 4 3 −2 4 −1 2 4 −1 2 4 (−1) (−) � 4 3 11� = � 0 11 27� = 60 11� = 11 −2 3 11 0 −1 3 𝑋𝑋1 = ∆1 180 = =3 ∆ 60 𝑋𝑋3 = ∆3 60 = =1 ∆ 60 𝑋𝑋2 = SOLUCIÓN UNICA (3, 1, 1) ∆2 60 = =1 ∆ 60 APENDICE A 187 EJEMPLO 1. X1 + X2 + 2X3 = -1 2X1 - X2 + 2X3 = -4 4X1 + X2 + 4X3 = -2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ∆= �2 −1 2� = �0 −3 −2� = (−1) �0 −3 −2� = 6 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 4 1 4 0 −3 −4 0 0 −2 −1 1 2 −1 1 2 −1 ∆1 = �−4 −1 2� = � 0 −5 −6� = (−) � 0 −2 1 4 0 −1 0 0 1 −1 2 1 ∆2 = �2 −4 2� = �0 2 −2 4 0 1 1 ∆3 = �2 −1 4 1 −1 1 −4� = �0 −2 0 1 2 1 −2 −2� = �0 2 −4 0 −1 2 −2 −2� = 12 0 −6 1 −1 1 −3 −2� = �0 −3 2 0 1 −1 −3 2 � = −12 0 4 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋3 = SOLUCIÓN UNICA (1, 2, -2) 2 1 −6 −5� = 6 0 −1 ∆1 6 = =1 6 ∆ ∆2 12 = =2 ∆ 6 ∆3 −12 = = −2 ∆ 6 APENDICE A 188
