(Microsoft PowerPoint - MECÁNICA CUÁNTICA (parte II))

MECÁNICA CUÁNTICA
“GOD DOES NOT PLAY DICES WITH THE UNIVERSE”
(Albert Einstein. 1879 – 1955)
“NOT ONLY DOES GOD PLAY DICES, BUT HE SOMETIMES
THROWS THEM WHERE THEY CAN’T BE SEEN”
(Stephen Hawking. 1942 – …)
Mecánica CUÁNTICA
El problema que surgió al comportarse en ocasiones la radiación
electromagnética como partículas (fotones) junto con otros
resultados experimentales dan origen a una nueva teoría física, la
Mecánica Cuántica.
FENÓMENOS CARACTERÍSTICOS DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
1. Dualidad Onda-Corpúsculo (De Broglie).
2. Principio de Incertidumbre (Heisenberg).
3. Formulación de la Mecánica Cuántica: Tratamiento Probabilistico.
- Números Cuánticos de la ecuación de Schrödinger.
- El espin.
Física Cuántica
Julio Vera García
1. Dualidad onda-corpúsculo
1924, Louis V. de Broglie: Comportamiento dual radiación-materia. Por ejemplo
los electrones se comportan como partículas para ciertos fenómenos y como
ondas para otros.
Energía: E = hf
Momento (cantidad de movimiento): p = E/c
→
p=
E hf h
=
=
c
c
λ
Longitud de onda asociada a una partícula material o un fotón:
λ=
h
h
=
p mv
* Montaje experimental de Davisson y Germer → Patrones de difracción, que es un
fenómeno típicamente ondulatorio → Evidencia de la Hipótesis de De Broglie (Dualidad onda-partícula)
Rayos X
Electrones
Experimento de la doble
rendija con electrones
Física Cuántica
Julio Vera García
2. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
1927, Werner K. Heisenberg: El Principio de Incertidumbre o de
Indeterminación nos advierte que es imposible determinar con total precisión y
simultáneamente el valor exacto de la posición x y del momento p de un ente
cuántico.
∆x ∆p ≥
h
4π
Este mismo Principio de Incertidumbre o de Indeterminación nos dice que es
imposible determinar con total precisión y simultáneamente el valor exacto de la
energía E de un ente u objeto cuántico y el intervalo de tiempo ∆t necesario para
realizar la medida:
∆E ∆t ≥
h
4π
Principio de Complementariedad → un objeto cuántico nunca se comportará como onda y
partícula a la vez, son aspectos complementarios
Sistemas Cuánticos → Probabilidad
MECÁNICA
CLÁSICA
Heisenberg → Mecánica Matricial
DETERMINISTA
Limitación de la naturaleza
MECÁNICA
CUÁNTICA
Física Cuántica
INDETERMINISTA
Julio Vera García
EJERCICIOS
La velocidad de un protón es de 104 m/s medida con una precisión tal que el posible error
o
i
ic
cometido es del 0.0005 %. Calcula la indeterminación a la hora de fijar la posición de la
c
r
e
j
E
partícula.
El 0.0005 % es el error cometido al medir la velocidad, es decir: ∆v. El 0.0005 % de 104 m/s es:
∆v = 10 4 m / s ·
me equivoco en 0.0005 m/s
= 0.05 m / s
cada 100 m / s medidos
h
∆x ∆p ≥
4π
⇒
∆p = ∆(mv ) = me ∆v = 9.1·10 −31 kg · 0.05 m/s = 8.35·10-29 kg m/s
6.625·10 −34 J s
h
∆x ≥
=
= 6.31·10 −7 m
−29
−1
4π∆p 4π (8.35·10 kg m s )
⇒
∆x ≥ 6.31·10 −7 m ; ∆x ≥ 0.63 µm
o La onda asociada a un electrón acelerado por una diferencia de potencial tiene una
i
c
longitud de onda de 1 Å. ¿Cuánto vale la diferencia de potencial que lo aceleró?
ci
r
e
j
E
Según De Broglie toda partícula tiene asociada una longitud de onda λ =h/p, por lo que puedo averiguar
que velocidad lleva el electrón del problema.
λ=
h
h
=
p mv
⇒
v=
h
6.625·10 −34 Js
=
= 7.28·106 m / s
-31
-10
me λ 9.1·10 kg · 10 m
Por otro lado, la energía del electrón es energía cinética y por otro lado esa energía es igual a E = q∆V
1
E = mev 2 ; E = e ∆V
2
Física Cuántica
⇒
me v2 9.1·10 −31 kg (7.28·10 6 m / s )2
∆V =
=
= 150.7V
2e
2·(1.6·10 −19 C )
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3. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO
Formulación de la Mecánica Cuántica:
- Mecánica Cuántica Matricial (Heisenberg/Born/Jordan): Describir la
posición y el momento de las partículas mediante matrices.
- (Erwin Schrödinger): Describe el comportamiento Mecánica Cuántica
Ondulatoria de la materia mediante funciones de onda dependiente de la posición
y el tiempo.
r
r
∂
• Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo: Ηψ (r ,t ) = i h ψ (r ,t )
∂t
• En Mecánica Cuántica las magnitudes físicas se representan mediante operadores:
2
Operador Hamiltoniano: representa la energía del sistema H = E + E = p +V (rr,t )
c
p
2m
Operador Momento:
∂
; p 2 → pˆ2 = pˆx2 + pˆy2 + pˆz2
∂z
2
r
r
r
p
h2 ∂ 2
h2 ∂ 2
h2 ∂2
h2 2
H = Ec + E p =
+V (r ,t ) = −
−
−
+
V
(
r
,
t
)
=
−
∇
+
V
(
r
,t )
2m
2m ∂x 2 2m ∂y 2 2m ∂z 2
2m
px → pˆx = −i h
∂
;
∂x
py → pˆy = −i h
∂
;
∂y
pz → pˆz = −i h
∂2
∂2
∂2
donde ∇ se llama Laplaciano : ∇ =
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
2
2
r
r
r
h2 2 r
∂
−
∇ ψ (r ,t ) +V (r ,t ) · ψ (r ,t ) = i h ψ (r ,t )
2m
∂t
r
El comportamiento de la función de onda ψ (r ,t ) = El comportamiento de la partícula
Física Cuántica
Julio Vera García
NÚMEROS CUÁNTICOS
• Conclusiones al resolver la ecuación de Schrödinger:
r
–Al resolverla aparece varias restricciones que llamaremos NÚMERO CUÁNTICOS.
–Las soluciones contiene todas la información que se puede obtener sobre el sistema
cuántico.
2
ψ (r ,t ) : Es proporcional a la probabilidad de encontrar a la partícula cuántica en una cierta posición en un instante dado.
r
ψ (r ,t ) : Nos da la forma de los orbitales atómicos, formas complejas que dependen de la posición y el tiempo.
• Orbital Atómico: representa una zona “imaginaria” del espacio donde la probabilidad
de encontrar el electrón en su interior con una determinada energía es muy alta.
–Los orbitales distintos que tienen la misma energía se llaman orbitales atómicos
degenerados en energía.
Mientras resolvemos la ecuación de Schrödinger, forzosamente debemos exigir que tres
magnitudes estén cuantizadas: la energía E, el cuadrado del momento angular L2, y el momento
angular en la dirección azimutal Lz. Así surgen, respectivamente, los números cuánticos n, l, ml.
r
Cada orbital queda identificado por la terna de números cuánticos (n, l, ml ) :ψ n ,l ,ml (r ,t )
Z2
Energía n = 1, 2, 3,... : En = −E 0 2 (E0 = 13.6 eV)
n
L2 : para una valor determinado de n ⇒ l = 0, 1, 2, 3,... n - 1 ⇒ L2 = l (l + 1)h2
Lz : una vez fijado el valor de "l" ⇒ ml = −l , − (l − 1) ,... , − 2, − 1, 0, + 1, + 2, ... , (l − 1), l
Física Cuántica
;
Lz = mlh
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NÚMEROS CUÁNTICOS
a. Número cuántico principal (n): Representa el nivel de energía. (n = 1, 2, 3,….)
b. Número cuántico del momento angular orbital (l): Representa la forma del orbital y la energía
dentro de cada nivel. (l = 0, 1, 2,…, n-1)
Si l = 0 → orbital atómico “s” (sharp).
Si l = 1 → orbital atómico “p” (principal).
Si l = 2 → orbital atómico “d” (diffuse).
Si l = 3 → orbital atómico “f” (fundamental).
c. Número cuántico del momento magnético (ml): Representa la orientación del orbital en el espacio y
explica el desdoblamiento de las líneas espectrales al aplicarle un campo magnético externo.
(ml = -l, -l+1,…-1,0,+1,….l-1, l)
r
El orbital ψ 2,1, −1 (r ,t ) tiene n = 2, l = 1, ml = - 1, se escribe orbital : 2p-1
o Considera los orbitales n = 2 del hidrógeno y cita todos sus números cuánticos. Calcula
i
c
su energía y los módulos posibles de su momento angular.
ci
r
e
j
E
n=2
n=2
l=1
l=0
ml = -1, 0, +1
ml = 0
→
→
(2, 1, -1) ; (2, 1, 0) ; (2, 1, 1)
(2, 0, 0)
Z2
12
Energía : n = 2 ; E2 = −E 0 2 = − 13.6 2 = - 3.4 eV
n
2
L2 = l (l + 1)h2
Física Cuántica
⇒
 Para l = 0 → L = 0(0 + 1) h = 0
L = l (l + 1) h 
Para l = 1 → L = 1(1 + 1) h = 3 h
Julio Vera García
ORBITALES ATÓMICOS
Orbitales s
Orbitales d
Física Cuántica
Orbitales p
Orbitales f
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EL SPIN
Al aplicar un campo magnético externo, sobre ciertos elementos en estado gaseoso, como por ejemplo
el vapor de sodio, se observa que lo que antes era una línea en el espectro ahora son dos.
Experimento de Stern-Gerlach
Asignaron al electrón un momento angular intrínseco o espín S. Este espín está cuantizado por el
número cuántico de espín “s”, que en el caso del electrón s = ½.
S2 = s (s + 1) h2
Física Cuántica
1
(con s = )
2
;
Sz = ms h
(ms = - s, o bien, ms = + s)
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EL SPIN
Experimento de Stern-Gerlach
Hay dos posibles orientaciones del espín, paralelo (↑) al campo magnético externo,
ms = + ½, o antiparalelo (↓) , ms = - ½.
El estado del electrón en el átomo queda definido por sus cuatro números cuánticos:
(n, l, ml, ms)
Principio de Exclusión de Pauli:
En un átomo multielectrónico, no podrá haber
dos electrones en el mismo estado
cuántico, es decir, no puede haber dos
electrones con los cuatro números
cuánticos iguales.
Transiciones posibles entre orbitales:
· Se debe conservar el momento angular total.
· Como el fotón absorbido o emitido tiene s =1:
∆l = ±1
y
∆ml = 0
ó ∆ml = ±1
Física Cuántica
Julio Vera García
EL SPIN
Fermiones → partículas con espín semientero
Partícula
Bosones → partículas con espín entero
Espín
(s)
½
Partícula
Electrón e-
Nombre
Genérico
Fermión
Espín (s)
Fotón γ
Nombre
Genérico
Bosón
Protón p+
Fermión
½
Partícula α
Bosón
0
Neutrón n0
Fermión
½
Pión π+
Bosón
0
Positrón e+
Fermión
½
Bosón W±
Bosón
1
Muón µ-
Fermión
½
Bosón Z0
Bosón
1
Neutrino muónico
Fermión
½
Gluón g
Bosón
1
Partícula Tau τ
Fermión
½
Neutrino tauónico
Fermión
½
Bosón de Higgs H
Bosón
0
Partícula Σ-
Fermión
½
Gravitón
Bosón
2
Física Cuántica
1
Partículas no localizadas aún
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Medimos las velocidades de una electrón, de masa me = 9’1·10 -31 kg, y el de una bola de 30
o
i
ic
gramos de masa, con una incertidumbre en los dos casos de 10 -3 m/s. Determinar las
c
r
Eje
incertidumbre en la posición de ambos objetos. Datos: Constante de Planck: h = 6’63·10-34 Js,
Para ambos ∆v = 10-3 m/s ; ∆p = m ∆v
Para el electrón : ∆p = ∆(mv ) = me ∆v = 9.1·10 −31 kg · 10-3 m/s = 9.1·10-34 kg m/s
∆x ∆p ≥
Para la bola : ∆p = ∆(mv ) = mbola ∆v = 0.03 kg · 10-3 m/s = 3·10-5 kg m/s
6.625·10 −34 J s
h
=
= 0.06 m
Para el electrón : ∆x ≥
4π∆p 4π (9.1·10 −34 kg m s −1 )
Para la bola : ∆x ≥
6.625·10 −34 J s
h
=
= 1.76·10 −30 m
−5
−1
4π∆p 4π (3·10 kg m s )
⇒
⇒
h
4π
∆x ≥ 6 mm
para la bola apenas hay error al medir la posición
io Estudiar si son posibles los siguientes orbitales: a) 3f ; b) 5p ; c) 2s-1 ; d) 4f+3 .
c
i
rc a) 3f → n = 3 y a un orbital f le corresponde l = 3 ; como l va desde 0 a n-1 = 2 → NO POSIBLE
e
j
E
b) 5p → n = 5 y a un orbital p le corresponde l = 2 ; como l va desde 0 a n-1 = 4 → SÍ POSIBLE
c) 2s-1 → n = 2 y a un orbital s → l = 0 ; entonces ml = 0 (ml = -1 no es posible)→ NO POSIBLE
d) 4f+3 → n = 4 y a un orbital f → l = 3 ; entonces ml = -3,-2,-1,0,1,2,3 (ml = +3 sí es posible)→ SÍ POSIBLE
Física Cuántica
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