Programa y Proyecto Docente Oficial

Matemáticas I – Andalucía Tech – GIE – GIOI - GIERM
1. Coordinador sede Málaga
Dr. D. Santiago Díaz Madrigal
Departamento de Matemática Aplicada II
Universidad de Sevilla
2. Objetivos
A) Generales
El objetivo fundamental de la asignatura es cubrir los contenidos de cualquier
asignatura de álgebra lineal y geometría en el nivel de primer curso de universidad, con
el añadido de ciertos recursos previos como números complejos y factorización de
polinomios. La relación entre los aspectos de álgebra lineal con los geométricos estará
omnipresente en el desarrollo de los contenidos. Además, dicha relación será esencial
para la asimilación de los conceptos y las técnicas que se presentan. Aunque a lo largo
de la asignatura puedan citarse algunos, caen fuera del alcance de la asignatura los
aspectos computacionales y numéricos de los temas que se desarrollan.
El desarrollo de la asignatura será fundamentalmente expositivo y deductivo. Los
objetivos fundamentales, plasmados en el programa de la asignatura, son el estudio
detallado de los sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices, no sólo desde el
punto de vista de conceptos independientes sino desde el punto de vista de la
representación y manipulación de las transformaciones lineales. Uno de los tópicos
esenciales en cualquier curso de álgebra lineal es el cálculo de autovalores y
autovectores y el estudio de la diagonalizabilidad de matrices. La inclusión del tema
dedicado a los números complejos (que en muchos textos suele incluirse como
apéndice) obedece, casi exclusivamente, a que constituyen una herramienta necesaria
para dicho estudio.
Casi cualesquiera de los textos citados en la referencias, y muchos otros con el título
de “álgebra lineal” o “álgebra lineal y geometría” o algo similar, incluyen la mayor parte
de los contenidos de la asignatura, con la posible excepción del tratamiento elemental
que se hace de las cónicas y las cuádricas no giradas o el enfoque geométrico que se
hace de las operaciones con números complejos. Las diferencias esenciales entre los
diferentes textos y los contenidos de la asignatura pueden estar en: (1) el orden en el
que se consideren los distintos conceptos y resultados; (2) la nomenclatura que se
utiliza, que puede ser más o menos abstracta y puede estar más referida a matrices o
hacer más referencia a transformaciones lineales y (3) en la utilización que se hace de
los números complejos.
B) Específicos
De forma esquemática los contenidos de la asignatura pueden resumirse de la
siguiente forma:
• Números complejos: Operaciones, relación con la factorización de polinomios,
relación con transformaciones geométricas en el plano.
• Estructuras lineales: Sistemas de ecuaciones, álgebra de matrices, espacios
vectoriales. Desde el punto manipulativo, en cuanto a ejemplos y ejercicios, se
incidirá principalmente sobre coeficientes reales.
• Cálculo de autovalores y autovectores. Se considerarán, casi exclusivamente,
matrices reales. Aún así, de manera natural habrá que recurrir a los números
complejos para establecer e interpretar los resultados.
• Estructuras asociadas al producto escalar (real): Ortogonalidad, distancias,
proyecciones, etc.
• Matrices simétricas reales y formas cuadráticas. Se estudiarán como aplicación de
la diagonalización ortogonal de las matrices simétricas reales.
• Estudio de las ecuaciones, las gráficas y las propiedades de las cónicas y las
cuádricas, así como deducción de su ecuación reducida.
• Estudio y clasificación de movimientos en los espacios afines R2 y R3.
3. Contenido
A) Bloques temáticos
Tema 1.- Los números complejos. Polinomios.
Tema 2.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
Tema 3.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
Tema 4.- Diagonalización de endomorfismos.
Tema 5.- Espacio vectorial euclídeo y unitario.
Tema 6.- Matrices simétricas reales y formas cuadráticas.
Tema 7.- Espacio afín euclídeo. Movimientos. Cónicas y cuádricas.
B) Temas
Tema 1.- Los números complejos. Polinomios.
1.1.- Los números complejos.
Forma binómica. Operaciones y propiedades. Forma exponencial. Potencias y raíces.
Aplicaciones geométricas en el plano.
1.2.- Polinomios.
Factorización de polinomios. El Teorema fundamental del Álgebra. Las raíces de un
polinomio real.
Tema 2.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
2.1.- Matrices. Operaciones. Propiedades.
2.2.- Determinantes. Definición y propiedades.
2.3.- Sistemas de ecuaciones lineales.
Notación matricial. Reducción por filas y formas escalonadas. Teorema de RouchéFrobenius. Regla de Cramer.
2.4.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Método de Gauss-Jordan. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada.
2.5.- El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Combinaciones lineales. Sistemas homogéneos. Sistemas completos.
2.6.- Transformaciones matriciales.
Transformación asociada a una matriz. Ejemplos geométricos.
Tema 3.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
3.1.- Espacios y subespacios vectoriales.
3.2- Espacios vectoriales de coordenadas.
Espacio nulo y espacio columna de una matriz. Dependencia e independencia lineal.
Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas de un subespacio.
3.3.- Transformaciones lineales. Definición y propiedades. Matriz asociada.
3.4.- Bases de un subespacio.
Coordenadas. Dimensión. Rango de una matriz. El teorema del rango. Cambios de base.
3.5.- Suma e intersección de subespacios.
Tema 4.- Diagonalización de endomorfismos.
4.1.- Autovalores y autovectores.
Definición y propiedades. La ecuación característica. El teorema de Cayley-Hamilton.
4.2.- Diagonalización. Criterios.
4.3.- Introducción a la diagonalización por bloques y matriz exponencial.
4.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores y autovectores.
Tema 5.- Espacio vectorial euclídeo y unitario.
5.1.- El producto escalar. Ortogonalidad y mejor aproximación. Norma, distancia, ángulos y
ortogonalidad. Desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdad triangular, teorema de
Pitágoras.
5.2.- El complemento ortogonal de un subespacio.
5.3.- Bases ortogonales.
Bases ortogonales de un subespacio. El método de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales.
5.4.- La proyección ortogonal.
Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la mejor aproximación.
Tema 6.- Matrices simétricas reales y formas cuadráticas.
6.1.- Formas cuadráticas.
Definición y matriz simétrica asociada. Rango y signo. Reducciones a suma de
cuadrados. Ley de inercia de Sylvester. Clasificación.
6.2.- Matrices simétricas y hermíticas.
Diagonalización ortogonal (resp. unitaria) de matrices simétricas (resp. hermíticas). El
teorema de los ejes principales.
Tema 7.- Espacio afín euclídeo. Movimientos. Cónicas y cuádricas.
7.1.- Espacio afín euclídeo. Movimientos.
7.2.- Movimientos en el plano.
Traslaciones. Homotecias. Giros. Proyecciones. Simetrías. Simetrías deslizantes.
Transformaciones lineales en el plano.
7.3.- Movimientos en el espacio.
Traslaciones. Proyecciones. Homotecias. Simetrías. Rotaciones. Movimientos
helicoidales. Transformaciones lineales en el espacio.
7.4.- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
Las secciones cónicas. Definición métrica y elementos notables. La propiedad focal.
Ecuación reducida de una cónica no girada. Ecuaciones paramétricas.
7.5.- Las cuádricas. Ecuaciones reducidas.
Ecuación reducida de una cuádrica no girada. Los elipsoides. Los hiperboloides y el
cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cuádricas degeneradas.
7.6.- Cónicas y cuádricas (II).
Reducción de una cónica girada. Reducción de una cuádrica girada.
En un total de 30 clases de 1,5 horas/2 horas, el número de clases teórico/prácticas
que se dedicarán a cada uno de los temas antes citados, será, aproximadamente, la
siguiente:
Tema 1
Tema 2
Tema 3
Tema 4
Tema 5
Tema 6
Tema 7
Número de clases
2
3
5
5
5
5
5
4. Competencias
Competencias básicas:
CB01 Demostrar poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte
de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si
bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que
implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
CB02 Saber aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma
profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la
elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área
de estudio.
CB03 Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro
de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas
relevantes de índole social, científica o ética.
CB04 Poder transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto
especializado como no especializado.
CB05 Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para
emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
Competencias específicas:
Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en
la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre álgebra lineal y geometría.
Los temas 1-5 se corresponden con la competencia específica Álgebra lineal, mientras
que los temas 6-7 lo hacen con Geometría.
5. Bibliografía
Libros en español
P. Alberca Bjerregaard y D. Martín Barquero. Métodos Matemáticos. Álgebra
lineal y Geometría. Ediciones Aljibe. 2001.
J. De Burgos. Curso de Álgebra lineal y Geometría. Alhambra. 1990.
F. Granero. Álgebra lineal y Geometría Analítica. McGraw-Hill. 1991.
E. Hernández. Álgebra y Geometría. Addison Wesley. Universidad Autónoma de
Madrid. 1994.
B. Kolman y D. R. Hill. Álgebra lineal. Octava edición. Ed. Pearson-Prentice Hall.
2006.
D.C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 2ª Edición, actualizada. Ed. PrenticeHall. 2001.
L. Merino y E. Santos. Álgebra lineal con métodos elementales. Ed. Paraninfo.
2006.
Libros en inglés
H. Anton. Elementary Linear Algebra. John Wiley & Sons, Inc. 2010.
J. B. Fraleigh and R. A. Beauregard. Linear Algebra. Addison Wesley. 1995.
W.K. Nicholson. Linear algebra with applications. McGraw-Hill Higher Education, 5th
Edition. 2006.
Recursos online
MIT. Mit Open Course Ware. http://ocw.mit.edu/index.htm
6. Evaluación
Durante el curso existen dos convocatorias, una al final del cuatrimestre y otra en
Septiembre. La calificación en cada convocatoria consistirá en:
• uno o varios exámenes eliminatorios, el último coincidiendo en fecha con la
convocatoria oficial, que consistirán en la resolución de problemas teóricoprácticos que medirán la asimilación y aplicación de los contenidos de los
diferentes temas del programa así como la capacidad de interrelacionarlos;
• una evaluación continua por parte del profesor que podrá valorar la realización
de prácticas de laboratorio con diverso software informático, problemas
individuales, trabajos en grupo, asistencia a seminarios, etc.
El peso asignado para el cálculo de la calificación final será del 80% correspondiente a
la realización de exámenes y del 20% correspondiente a la evaluación continua.
7. Metodología docente
Las clases se impartirán tanto en pizarra como con la ayuda de soporte informático. Se
fomentará la participación activa del alumnado en dichas clases. Clases expositivas/
participativas, en las que se utiliza fundamentalmente como estrategia didáctica la
exposición verbal por parte del profesor de los contenidos sobre la materia objeto de
estudio.
Prácticas en la que se desarrollan actividades de aplicación de los conocimientos a
situaciones concretas y de adquisición de habilidades básicas y procedimentales
relacionadas con la materia objeto de estudio. Esta denominación engloba a diversos
tipos de organización, como pueden ser las prácticas de laboratorio, prácticas de
campo, clases de problemas, prácticas de informática, etc., puesto que, aunque
presentan en algunos casos matices importantes, todas ellas tienen como
característica común que su finalidad es mostrar a los estudiantes cómo deben actuar.
Realización de proyectos en grupo en la que los estudiantes llevan a cabo la
realización de un proyecto en un tiempo determinado para resolver un problema o
abordar una tarea mediante la planificación, diseño y realización de una serie de
actividades.
Estudio y trabajo autónomo del estudiante en la cual el estudiante se responsabiliza de
la organización de su trabajo y de la adquisición de las diferentes competencias según
su propio ritmo. Implica por parte de quien aprende asumir la responsabilidad y el
control del proceso personal de aprendizaje, y las decisiones sobre su planificación.
8. Actividades programadas
Clases magistrales donde el profesor desarrolla de forma expositiva uno o varios temas
del programa de la materia.
Resolución de problemas donde el profesor propone ejercicios que se resuelven con
participación activa de los estudiantes.
Realización de prácticas de laboratorio para la resolución de problemas de la
asignatura con la ayuda de algún software informático y bajo la supervisión directa del
profesorado. Durante el curso se programarán diversas sesiones de prácticas de
laboratorio para la resolución de problemas de la asignatura con la ayuda de algún
software informático, así como seminarios con contenido que complemente los
conocimientos que se van adquiriendo durante el curso.
Exposiciones orales, en las que los estudiantes exponen antes sus compañeros las
conclusiones de algún trabajo realizado individualmente o en grupo.
Las clases magistrales estarán encaminadas – aunque no exclusivamente – a la
adquisición de conocimientos generales, mientras que la resolución de problemas y
realización de prácticas se orientan fundamentalmente a competencias técnicas; las
exposiciones orales y debates a competencias relacionadas con las actitudes
personales (saber ser) y sociales (saber convivir).
9. Grupos para realizar las actividades docentes
No será necesaria una subdivisión en grupos reducidos, y estarán contenidas en el
horario y número de horas previstas, en total unas 60.
10. Horarios
El centro publicará un calendario para el desarrollo de las citadas actividades.
11. Fechas de evaluación
El centro publicará un calendario para la celebración de los dos exámenes oficiales:
uno finalizado el primer semestre y otro en septiembre.
12. Firma de actas
El profesor de cada asignatura será el responsable de la firma de las actas
correspondientes en su respectiva universidad.
13. Calendario
El centro publicará un calendario, horario y lugar para la celebración de los exámenes
para la evaluación.
14. Actividades de movilidad
Probablemente, por necesidades de coordinación y seguimiento de la asignatura u
otros aspectos docentes, es previsible que se programen sendas visitas cortas (dos o
tres días) a Málaga y Sevilla del equipo docente de la asignatura en Sevilla y Málaga,
respectivamente.
ANEXO – PRESUPUESTO MOVILIDAD
Presupuesto según criterio general para determinar la cuantía de la estancia diaria de
un profesor en la universidad de Sevilla (resp. Málaga), que debría incluir gasto por
kilómetro, dieta y alojamiento.