1. FUNDAMENTOS

UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos
lados opuestos son paralelos.
D
C
s
TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con
un par de lados paralelos y el otro par no
paralelos.
ABCD es un paralelogramo
D

A
B
s

lls
s
AB  DC  AD  BC
A
RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes.
D
C
B
ABCD es un rectángulo
A
ABCD es un rombo
D
D
C
C
CUADRADO:
Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes y sus
cuatro lados congruentes, es decir, es
rectángulo y rombo a la vez.

B ABCD es un trapecio  AD  BC
A
TRAPECIO RECTÁNGULO:
con algún ángulo recto.
D
C
A

GEOMETRÍA
B
ABCD es un trapecio  A  90º
TRAPEZOIDE:
Es
tiene lados paralelos.
C
un cuadrilátero que no
ABCD es un trapezoide

B

A
ABCD es un trapecio rectángulo
B
ABCD es un cuadrado
A  B  C  D
Es un trapecio

D
C
ABCD es un trapecio isósceles

AB  BC  CD  DA
D
AB ll DC  AD ll BC
A  B  C  D
ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro
lados congruentes.
B
B
TRAPECIO ISÓSCELES:
Es un trapecio
cuyos lados no paralelos son congruentes.

A
ABCD es un trapecio
C
AB ll DC  AD ll BC
A
AB  BC  CD  DA
C.A.V.A.
2
CUADRILÁTEROS
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
CRITERIOS DE PARALELOGRAMO
TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen
las siguientes propiedades:
TEOREMA:
Un cuadrilátero convexo es un
paralelogramo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
Los lados opuestos son respectivamente
paralelos.
Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
Dm:
Tomemos un paralelogramo ABCD, con
AB  DC y AD  BC .
1.
2.
3.
4.
5.
Los lados opuestos son paralelos.
Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
Un par de lados opuestos son paralelos y
congruentes.
Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
Dm: (Ejercicio)
D
A
1.
C
PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS
TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las
siguientes propiedades:
B
Trazamos DB , luego ABDCDB por:
A: ABDCDB, (sAlt.Int. AB  DC ),
L: BD=DB, (común),
A: ADBCBD, (sAlt.Int. AD  BC ).
Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).
2.
Como A+B=180, (sCol.Int. AD  BC ) y
B+C=180,
(sCol.Int.
1.
A=B=C=D,
por
definición
y
A+B+C+D=360, por ser convexo,
entonces A=B=C=D=90.
2.
Como
los
ángulos
opuestos
son
respectivamente congruentes entonces es
un paralelogramo.
3.
Por
(2)
es
paralelogramo,
luego
AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además en
el triángulo rectángulo ABD, AO es la
Sea O el punto de corte de AC y DB , luego
OABOCD por:
A: OABOCD, sAlt.Int. AB  DC ,
L: AB=CD, por (1),
A: OBAODC, Alt.Int. AB  DC .
Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).
GEOMETRÍA
Los cuatro ángulos interiores son rectos.
El rectángulo es paralelogramo.
Las diagonales son congruentes.
Dm: Sea ABCD un rectángulo:
AB  DC )
entonces A=180–B=C. Similarmente
se prueba que B=D.
3.
1.
2.
3.
mediana relativa a la hipotenusa DB ,
entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se
obtiene DB=AC.
C.A.V.A.
CUADRILÁTEROS
3
CRITERIOS DE RECTÁNGULO
Dm:
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rectángulo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
4.
1.
2.
3.
Dm:
3.
Supongamos que las diagonales AC y BD
son bisectrices de los ángulos, entonces
ABDCBD (ALA), luego AB=CB y AD=CD
(LsHs).
En el ABC,
se tiene
A/2+B+C/2=180 y en el ADC se
tiene A/2+D+C/2=180, luego B=D
y por lo tanto el ABD resulta isósceles
con AB=AD. En definitiva AB=BC=CD=DA,
es decir ABCD es un rombo.
Tiene tres ángulos rectos.
Es un paralelogramo con un ángulo recto.
Las diagonales son congruentes y se cortan
en su punto medio.
Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
Si AC=BD y se cortan en su punto medio O
entonces es paralelogramo y además en el
DAB resulta la mediana AO=DB/2, luego
el ángulo A es recto. En definitiva, por
(2), ABCD es un rectángulo.
Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS
TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo,
rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas
las propiedades de éstos.
Dm: (Ejercicio)
PROPIEDADES DEL ROMBO
TEOREMA: En todo rombo se cumplen las
siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
Dm:
Los cuatro lados son congruentes.
Es paralelogramo.
Las diagonales son perpendiculares.
Cada diagonal es bisectriz.
(Ejercicio)
CRITERIOS DE CUADRADO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
cuadrado sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1.
2.
3.
4.
CRITERIOS DE ROMBO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rombo sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1.
2.
3.
4.
Dm:
Es rectángulo y rombo.
Es un rectángulo con dos lados
consecutivos congruentes.
Es un rombo con un ángulo recto.
Las
diagonales
son
perpendiculares,
congruentes y se cortan en su punto medio.
(Ejercicio)
Los cuatro lados son congruentes.
Es un paralelogramo con dos lados
consecutivos congruentes.
Las diagonales son perpendiculares y se
cortan en su punto medio.
Cada diagonal es bisectriz.
GEOMETRÍA
C.A.V.A.
4
CUADRILÁTEROS
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
TEOREMA:
En todo trapecio los lados
paralelos son desiguales.
Dm: En efecto, si los lados paralelos fuesen
congruentes
se
obtendría
un
paralelogramo y entonces el otro par de
lados serían paralelos.
En un trapecio, los lados paralelos se llaman
BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento
que une los puntos medios de los lados no
paralelos se llama la BASE MEDIA; la distancia
entre las bases es la ALTURA.
TEOREMA: En todo trapecio, los ángulos
adyacentes a cada uno de los lados no paralelos
son suplementarios.
Dm: (Ejercicio)
TEOREMA: La base media del trapecio es
paralela a las bases y es congruente con la
semisuma de las bases mayor y menor, es decir:
Base media 
Dm: Sea
la semidiferencia entre las bases mayor y
menor.
Dm:
PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES
TEOREMA: En todo trapecio isósceles se
cumplen las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
1.
DE=CF
2
P
DAB,
A
y
D
C
E
F
por
RHC,
N
y PN con M, P y N
los puntos medios
de DA , DB y CB .
MP  AB y MP  AB/2
media) y en el BCD,
(base
PN  DC y PN  DC /2
(base media), luego por el Postulado de
 
Euclides las rectas MP y PN coinciden y
B
AEDBFC, luego A=B (sHs).
Además A+D=180 y B+C=180,
entonces D=C.
Tracemos DB , MP
B
el
( AB  DC )
ABCD un trapecio con ABllDC y
A
En
AD=BC.
Tracemos las alturas DE y CF , entonces
Base mayor  Base menor
C
M
Los lados no paralelos son congruentes.
Los ángulos adyacentes a cada una de sus
bases son congruentes.
Los ángulos opuestos son suplementarios.
Las diagonales son congruentes.
Las mediatrices de las bases coinciden, y
las mediatrices de los cuatro lados
concurren.
Dm: Sea ABCD un trapecio isósceles con
AB  DC y AD ║ BC (no paralelos) y
ADllBC (no paralelos).
D
(Ejercicio)
4.
Tracemos
las
diagonales
AC y BD ,
entonces ABCBAD por
L: BC = AD,
(hipótesis)
A: B = A, (por 1)
L: AB=BA,
(común)
Luego AC  BD .
resulta AB  MN  DC y MN=(AB+DC)/2.
TEOREMA: El segmento que une los puntos
medios de las diagonales de un trapecio está
contenido en la base media y es congruente con
GEOMETRÍA
C.A.V.A.
CUADRILÁTEROS
5
CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES
CONSTRUCCIONES
TEOREMA: Un trapecio es isósceles sii cumple
cualquiera de las siguientes propiedades:
1.
Construir un paralelogramo si se conocen:
a. Sus lados y uno de los ángulos que
ellos forman.
b. Sus lados y una de sus diagonales.
c. Sus diagonales y uno de los ángulos que
ellas forman.
d. Sus diagonales y uno de sus lados.
2.
Construir un rectángulo si se conocen:
a. Un lado y su diagonal.
b. Sus diagonales y uno de los ángulos que
ellas forman.
3.
Construir un rombo si se conocen:
a. Su lado y una sus diagonales.
b. Sus diagonales.
4.
Construir un cuadrado si se conoce su
diagonal.
5.
Construir un trapecio si se conocen:
a. Sus bases, su altura y una de sus
diagonales.
b. Sus lados no paralelos, su altura y una
de sus diagonales.
6.
Construir un trapecio isósceles, si se
conocen
a. Sus bases y su altura.
b. Uno de sus ángulos, su altura y su
diagonal.
c. Su altura, su lado no paralelo y su
diagonal.
1.
2.
3.
4.
5.
Los lados no paralelos son congruentes.
Los ángulos adyacentes a una de las bases
son congruentes.
Un par de ángulos opuestos son
suplementarios.
Las diagonales son congruentes.
Las mediatrices de las bases coinciden.
Dm:
2.
Sea ABCD un trapecio tal que ABllDC y
ADll BC con A=B.
D
A
E
C
F
B
Tracemos las alturas DE y CF , entonces
DE=CF ( AB  DC ) y por el teorema RCAop,
AEDBFC, luego AD=BC (LsHs) y el
trapecio es isósceles.
5.

Supongamos que MN es la mediatriz de
AB y CD , con M y N puntos medios de
AB y CD respectivamente.
las
alturas
DE y CF ,
Si trazamos
resultan
los
rectángulos DEMN y NMFC (3s rectos) y
entonces EM=MF y por lo tanto AE=BF.
Ahora, por RCC AEDBFC, luego AD=BC
y el trapecio es isósceles.
GEOMETRÍA
C.A.V.A.