TEMA 2: FUNDAMENTOS DE DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

TEMA 2: FUNDAMENTOS DE DIDÁCTICA DE LA
GEOMETRÍA
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. TEORÍA CONSTRUCTIVISTA DE PIAGET ..................................................... 1
2. EL APRENDIZAJE COMO DESARROLLO PSICOLÓGICO (VYGOSTKY) ... 4
3. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE AUSUBEL............................................. 5
4. LOS NIVELES DE VAN HIELE........................................................................ 6
1. TEORÍA CONSTRUCTIVISTA DE PIAGET
Se denomina epistemología genética a la teoría de Piaget (1896, 1980) sobre
la construcción del conocimiento. El psicólogo atribuye a la mente humana dos
atributos principales, organización y adaptación. La mente está estructurada y
preparada para adaptarse a los estímulos del entorno.
Los conocimientos se estructuran en lo que denomina esquemas cognitivos,
que van desarrollándose en el tiempo siguiendo determinadas etapas. La
primera etapa es la sensomotora y se extiende de 0 a 2 años. En esta etapa la
inteligencia es práctica y va unida directamente a la acción. La segunda etapa
es la preoperacional y tiene lugar de 2 a 7 años. En ella se comienza a trabajar
con símbolos y representaciones y el razonamiento es intuitivo. La etapa de las
operaciones concretas es la tercera y, según Piaget, se extiende desde los 7 a
los 11 años. En esta etapa desarrollan las primeras operaciones, aplicables a
situaciones concretas y reales, y comienza el razonamiento lógico. Finalmente,
desde los 11 a los 16 años tiene lugar la etapa lógico formal, etapa en la que
según Piaget comienza el razonamiento hipotético deductivo, el niño puede
generalizar mediante un razonamiento inductivo y puede generar nuevos
conocimientos mediante una acción reflexiva sobre los que ya tiene.
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Sensomotora
Acción
0
Preoperacional
Razonamiento intuitivo
Símbolos y representación
2
Operaciones concretas
Operaciones
Razonamiento lógico
Operaciones formales
Razonamiento hipotéticodeductivo Acción reflexiva
7
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Etapas de desarrollo cognitivo
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Tarea 1: Pon los siguientes ejemplos de aprendizaje de la geometría:
1. Uno de la etapa preoperacional.
2. Otro de la etapa de operaciones concretas.
3. Otro de la etapa lógico formal.
La idea central de la construcción del conocimiento es la de la adaptación o
equilibración,
que
tiene
lugar
mediante
dos
procesos
íntimamente
relacionados y dependientes, que son la asimilación y la acomodación.
Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema
matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes.
Es decir, intenta resolver el problema mediante los conocimientos que ya posee
y que se sitúan en esquemas conceptuales existentes (asimilación). Como
resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se reconstruye o
expande para acomodar la situación. Esta reestructuración forma parte del
proceso de acomodación.
Tarea 2: Pon un par de ejemplos de aprendizajes en los que se produce
asimilación y otros dos en los que se produce acomodación.
Esta teoría tiene carácter constructivista, puesto que el alumno va avanzando
en el aprendizaje mediante su actividad. El conocimiento, para Piaget, es el
resultado de un proceso en el que el estudiante va construyendo su propio
conocimiento de forma activa, fundamentalmente, a través del razonamiento
(aunque también se considera cierta influencia sensorial) y no por acumulación
del conocimiento (planteamiento empirista). Así pues, la construcción del
conocimiento ocurre en la mente del estudiante y está determinada por el nivel
de desarrollo del propio alumno y por la estimulación externa. En
consecuencia, son las secuencias didácticas las que juegan un papel
fundamental que tienen que estar en concordancia con el nivel de desarrollo
del alumno, aunque se considera imprescindible que el alumno haya
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evolucionado y tenga un desarrollo psicológico adecuado sin el cual no se
pueden producir aprendizajes.
Piaget propuso una teoría del desarrollo de los conceptos espaciales en el
niño, basada en numerosos experimentos. En dicha teoría distingue entre
percepción, por la que se conocen los objetos mediante el contacto directo con
ellos, y representación o imagen mental, que implica la evocación de objetos en
ausencia de ellos. Las capacidades de percepción del niño se desarrollan en el
estadio sensoriomotor, mientras que la capacidad de reconstrucción de
imágenes espaciales comienza hacia la edad de dos años, y en la mayoría de
los casos es perfeccionada en el período de operaciones concretas.
En su obra La representación del espacio (1948), Piaget desarrolla sus ideas
fundamentales sobre la adquisición de los conceptos espaciales. En cada uno
de los estadios de desarrollo se distingue una progresiva diferenciación de
propiedades geométricas, partiendo de aquellas que él llama topológicas, o
sea, propiedades globales independientes de la forma o el tamaño, como son
las de cercanía, separación, ordenación o continuidad. El segundo grupo de
propiedades son las que denomina propiedades proyectivas, que suponen la
capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto
desde diversos ángulos. El tercer grupo de propiedades geométricas son las
euclídeas, es decir, las relativas a tamaños, distancias y direcciones, que
conducen por lo tanto a la medición de longitudes, ángulos, áreas, etc. Se
pueden distinguir, por ejemplo, un trapecio y un rectángulo basándose en los
ángulos y en las longitudes de los lados (desde el punto de vista proyectivo,
ambas figuras son equivalentes, ya que el tablero de una mesa rectangular
ofrece un aspecto de trapecio visto desde ciertos ángulos).
Tarea 3: Describir un objeto observando primero las propiedades topológicas,
después las proyectivas y, por último, las métricas.
Esta teoría ha influido en la metodología de enseñanza de las matemáticas en
general y de la geometría en particular. Entendiendo que el conocimiento es
resultado de un proceso de acción sobre la realidad y construcción personal
posterior, el alumno debe experimentar con los objetos de su entorno y con
materiales didácticos apropiados, por lo que se suele denominar metodología
por descubrimiento. Este descubrimiento debe estar dirigido por el profesor,
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que en todo caso tiene que aprovechar situaciones espontáneas pero también
programar actividades que despierten la curiosidad de los alumnos y que
provoquen un conflicto que ayude a que los nuevos conocimientos se
acomoden.
2. EL APRENDIZAJE COMO DESARROLLO PSICOLÓGICO (VYGOSTKY)
Para Vygostky, la relación del pensamiento con la palabra es un proceso en
movimiento continuo de la mente a la palabra y de la palabra a la mente. Tras
las palabras existe la gramática independiente de los pensamientos y el hecho
de que los chicos puedan interpretar lo que decimos de un modo diferente de
los que esperábamos no es más que una parte de relación entre lenguaje y
aprendizaje. En oposición a Piaget, que considera que el lenguaje es
importante, pero no lo suficiente como para ser motor del desarrollo cognitivo,
Vygostsky indica que el lenguaje desempeña un papel fundamental y que está
íntimamente relacionado con el aprendizaje de las matemáticas.
La dirección del aprendizaje para Vygostsky es de fuera adentro y las funciones
mentales aparecen, primero, en el plano social e interpersonal y, después, en lo
intrapersonal; es decir, el flujo tiene su foco inicial en la sociedad y se transmite
a lo individual.
Por otra parte, este autor concibe lo que denomina zona de desarrollo próximo
o distancia entre las habilidades que ya posee el alumno y lo que puede llegar
a aprender a través de apoyos externos (profesor o compañeros iguales), es
decir, entre la Zona de Desarrollo Real y la Zona de Desarrollo Potencial. En la
zona de desarrollo próximo es en donde deben situarse los procesos de
enseñanza y de aprendizaje, ya que no tiene sentido situarse en lo que el niño
ya es capaz de hacer por sí mismo (porque se aburriría). Sin embargo, es
importante conocer lo que sabe hacer, pues si el punto del que se parte está
demasiado alejado de lo que el niño sabe a éste le cuesta mucho aprenderlo o
es incapaz de hacerlo. El ajuste del proceso y la función de ayuda del profesor
se suele comparar con la posición y la función que tiene un andamio en la
construcción de un edificio: el andamio se debe colocar sobre lo ya construido
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de manera que con su apoyo se
pueda uno mover por encima (en
la Zona de Desarrollo Próximo) y
construir una nueva altura.
Estas ideas fueron desarrolladas por los seguidores de Vygostsky, algunos de
los cuales crearon un modelo de aprendizaje denominado de ejecución
asistida, que consta de las siguientes fases:
1. Heterónoma: caracterizado por una asistencia básica del profesor.
2. Autónoma: en la que el propio alumno trabaja con los nuevos
contenidos.
3. Práctica: caracterizada por las habilidades y la aplicación del nuevo
conocimiento que está siendo adquirido.
4. Recuperación: identificación y recuperación de las habilidades y
destrezas asociadas a los conocimientos adquiridos que han sido
olvidados.
Si las tres primeras fases pueden desarrollarse de forma continuada incluso
simultáneamente, sin que medie intervalo de tiempo alguno, entre la tercera y
la cuarta debe haber pasado un tiempo prudencial, que puede ser de varias
semanas.
Tarea 4: Piensa en un ejemplo de docencia en el que se puedan apreciar las
cuatro fases de ejecución asistida de Vygostky.
3. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE AUSUBEL
La idea clave de la teoría de Ausubel reside en que el aprendizaje debe ser
significativo, lo que equivale a que la información se pueda integrar en lo que el
alumno ya sabe, por lo que es necesario tener en cuenta los aprendizajes
previos. Es evidente que el alumno tiene una cultura previa y que si se
producen nuevos aprendizajes, estos tienen que formar parte de la nueva
cultura del alumno, que se habrá ampliado. En relación con este planteamiento,
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desde la perspectiva del aprendizaje significativo, para evitar aprendizajes
mecánicos y memorísticos, ineludiblemente, se tienen que producir dos
condiciones: que el profesor presente los nuevos contenidos en la cultura del
alumno y que el alumno quiera incorporarlos a su cultura (si no tiene la
voluntad de aprender, no se producirán aprendizajes). Este modelo de
aprendizaje obliga a que, antes de la presentación de los nuevos contenidos,
que deben estar claramente estructurados y organizados, el profesor realice
tareas de motivación presentando una secuencia didáctica adecuada a los
niveles culturales de matemáticas de los alumnos y fundamentada en esa
cultura. Debe tener en cuenta que los conocimientos previos son resistentes al
cambio.
Este tipo de aprendizaje no está reñido con una práctica expositiva
(facilitadora) tradicional ni con un planteamiento constructivista ni con ninguna
otra modalidad de enseñanza, lo fundamental es que se cumplan los dos
principios descritos. Lo que sí diferencia Ausubel claramente es el aprendizaje
significativo del aprendizaje repetitivo. El aprendizaje significativo es más
duradero puesto que forma parte de una estructura mental y de la memoria a
largo plazo.
Tarea 5: Pon tres ejemplos de aprendizajes más memorísticos y de
aprendizajes más significativos. Señalar qué de significativos deberían tener los
primeros y qué de memorísticos pueden tener los segundos.
4. LOS NIVELES DE VAN HIELE
Los esposos Van Hiele (1958) crearon una metodología para el aprendizaje de
la matemática, que se aplica en geometría, basada en las siguientes premisas:
1. Existen varios niveles de desarrollo en el razonamiento de los alumnos
de geometría.
2. Los estudiantes sólo podrán comprender realmente los conceptos
nuevos si aquellos han alcanzado un nivel de razonamiento matemático
adecuado.
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3. El apartado anterior implica que si los alumnos no hubieran alcanzado el
nivel adecuado, habría que esperar a que lo alcanzasen.
4. Es posible ayudar a los alumnos a que adquieran un nivel de
razonamiento superior mediante una enseñanza adecuada.
Concretamente, en este modelo de enseñanza y aprendizaje de la geometría
se consideran cinco niveles de aprendizaje, si bien a nivel preuniversitario se
consideran los cuatro primeros. Las instrucciones de enseñanza que reciban
los alumnos deben estar en consonancia con sus estadios de desarrollo
porque, de lo contrario, éstos no aprenderían. Estos niveles de razonamiento
van a aportar orientaciones didácticas para secuenciar la docencia, de forma
que los alumnos vayan progresando de los niveles que requieren una menor
abstracción a los que requieren un pensamiento matemático más avanzado.
El avance en estos niveles, y, por tanto, en el avance del aprendizaje de la
geometría, va unido a la adquisición del lenguaje geométrico de cada nivel y al
aprendizaje significativo de los conceptos propios de cada nivel. Los autores de
la teoría consideran que, mientras que estos aprendizajes no se hayan
producido en un determinado nivel, los alumnos no podrán aprender el nivel
posterior.
No sería bueno creer que con la aplicación de este modelo de enseñanza se
resuelven todos los problemas educativos y que su puesta en práctica implica
que todos los alumnos comprendan y aprendan la geometría sin esfuerzo.
Cabría esperar que mejoraran un poco los aprendizajes, que las actitudes de
los alumnos fuesen algo más positivas, que el profesor tuviera una guía de
comunicación con los alumnos que fomente la comprensión, el aprendizaje y,
sobre todo, la capacidad de razonamiento.
Van Hiele enuncia los siguientes niveles de razonamiento en matemáticas:
reconocimiento, análisis, clasificación, deducción formal. Estos niveles de
razonamiento aparecen de forma progresiva en el currículo, van progresando
de la intuición a la abstracción y la generalización, que son las dos
características fundamentales de pensamiento matemático avanzado y cada
nivel superior exige un razonamiento más complejo que el anterior.
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Primer nivel. El reconocimiento
La percepción visual de las figuras geométricas, la visualización, quizás sea el
primer contacto de los alumnos con las figuras geométricas y, por tanto, es una
apreciación sensorial del concepto que representan. En esta primera
visualización los alumnos perciben las figuras geométricas de manera global,
se fijan en el color, en la forma, en el tamaño y la identifican con el nombre. Las
cuatro figuras que se presentan a continuación las identificarían con la palabra
pentágono,
pero
en
este
primer estadio los alumnos
perciben las figuras como
objetos individuales, como un
todo, y es fácil que sólo
reconozcan la forma de las
mismas y el tamaño.
Si consideramos los polígonos que se han presentado en la figura anterior,
reconocerán la forma y aprenderán que son pentágonos, quizá la semejanza
entre los dos primeros y también pueden aprender los conceptos de polígono
convexo y polígono cóncavo. En el caso de cuadriláteros, por ejemplo, pueden
seleccionar, identificar, discriminar y aprender los nombres (cuadrado, rombo,
rectángulo, romboide, trapecio y trapezoide) y, en este nivel, discriminarán uno
de otro por la forma, pero no por sus propiedades. En el currículo español este
nivel de razonamiento, que se basa en la forma, ocurre en los primeros cursos
de Educación Primaria y se mantiene en todo el currículo.
Segundo nivel. El análisis
En este segundo nivel ya reconocen propiedades elementales que aparecen
reflejadas en la forma de las figuras y, por tanto, pueden dar una definición
descriptiva del concepto basada en la representación de las figuras. Ahora
pueden reconocer que en una figura aparecen representados conceptos que se
han estudiado de forma aislada. Por ejemplo, pueden reconocer que un
rectángulo tiene los lados alternos paralelos dos a dos, que los lados contiguos
son perpendiculares y que los ángulos interiores son rectos. Es decir, los
alumnos perciben y se dan cuenta que los conceptos de paralelismo,
perpendicularidad y ángulo recto forman parte, están implícitos, en la figura
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rectángulo. Sin embargo, en este nivel de razonamiento, que tiene lugar en el
segundo y tercer ciclo de Educación Primaria, los alumnos no se dan cuenta
de las posibles relaciones entre propiedades, que están implícitas en este nivel
(por ejemplo entre el paralelismo de los lados y la perpendicularidad). Así, por
ejemplo, en el nivel 1, un alumno reconocerá a un cuadrado por la forma, pero
en el nivel 2, además de reconocerlo por la forma, también lo reconocerá por la
igualdad de sus lados, porque son paralelos y perpendiculares, por la igualdad
de sus ángulos. En este nivel de razonamiento, si se practica un aprendizaje
por descubrimiento los alumnos podrían descubrir alguna propiedad sencilla de
los elementos que componen las figuras y, por tanto, podrían comenzar a dar
sus primeros pasos en la generalización (tercer ciclo de Educación Primaria).
Por ejemplo, si los alumnos saben los conceptos de diagonal y de
perpendicularidad, manejando figuras como las que se presentan a
continuación podrían formular que las diagonales de una cometa son
perpendiculares.
Sin embargo en este nivel educativo, quizás no descubrieran que las
diagonales mayores de un hexágono regular (las que pasan por el centro)
forman ángulos de 60º
Tercer nivel. Clasificaciones y formulaciones
En este nivel comienza el razonamiento formal de los alumnos y comienzan a
darse cuenta del aspecto deductivo de las matemáticas. Aunque sus
razonamientos sigan apoyándose en manipulaciones y visualizaciones directas
y, aunque tengan una dependencia de imágenes sensoriales, pueden entender
que algunas propiedades se pueden deducir de otras conocidas de antemano.
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Los estudiantes pueden abstraer las propiedades implícitas en la descripción
de una figura y dar una definición correcta de la misma, pueden apreciar la
diferencia entre definición y descripción y valorar la importancia del uso de
definiciones conceptuales y de las formulaciones.
Así pues, en este nivel educativo, por ejemplo, los alumnos pueden establecer
clasificaciones inclusivas de los cuadriláteros atendiendo a sus definiciones (los
cuadrados son rombos, rectángulos, paralelogramos,… (otra cosa diferente es
que lo aprendan o que lo hagan, poder hacer no significa hacerlo), pueden
establecer definiciones sin recurrir a descripciones de características, pueden
hacer deducciones simples y, sobre todo pueden darse cuenta de propiedades
a través de visualizaciones, aunque no sean capaces de deducirlas. Por
ejemplo, se pueden dar cuenta que la longitud del lado del hexágono es igual
que la del radio de la circunferencia circunscrita, pero pueden no deducir
formalmente esta igualdad. En esta misma figura, sería muy difícil que en este
nivel de desarrollo los alumnos establecieran que la suma de los ángulos
exteriores del hexágono regular es 360º y menos aún que esa es la suma en
cualquier polígono regular.
Cuarto nivel. Las deducciones formales
Los alumnos que hubieren alcanzado este nivel de desarrollo cognitivo podrían
entender y realizar demostraciones de varios pasos, dar definiciones precisas
tras un proceso de síntesis y escribir con precisión el enunciado de una
propiedad que se ha demostrado, sin que previamente se hubiera formulado.
En este nivel los alumnos comprenden la estructura axiomática de la
geometría, la importancia y finalidad de los procesos deductivos, y están en
condiciones de aplicar conceptos y resultados generales o particulares en
procesos de contextos diferentes. Ahora ya están en condiciones de aplicar
definiciones o propiedades establecidas previamente en otras situaciones. Por
ejemplo, pueden demostrar el teorema de la altura aplicando el teorema de
Tales.
La dependencia de los niveles
Tras la exposición anterior, resulta evidente que según se va subiendo de nivel
la complejidad del razonamiento va aumentando y la profundidad del mismo
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guarda una estrecha relación con las tareas que van apareciendo. Además,
cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior y según Van Hiele no es
posible que los alumnos adquieran el segundo nivel si no han superado el
primero, no alcanzarán el tercero si no han superado el segundo y,
análogamente, no alcanzarán el cuarto mientras no hayan asimilado el tercero.
Es importante en este tránsito la mejora del lenguaje matemático necesario
para cada nivel.
En la descripción que se ha hecho de los cuatro niveles aparecen procesos de
pensamiento propios del nivel y procesos de transición entre un nivel y el
siguiente:
Procesos de razonamiento propios
Procesos de razonamiento de
del nivel (elementos explícitos)
transición (elementos implícitos)
1
Figuras
Partes y propiedades de las figuras
2
Partes y propiedades de las figuras
Niveles
3
4
Relaciones entre propiedades,
Definiciones
Relaciones entre propiedades,
Definiciones
Deducciones formales
Deducciones formales
Estos procesos de razonamiento de transición entre dos niveles consecutivos
evidencian que no es posible pasar a un nivel de razonamiento superior
mientras que no se haya superado el anterior el paso de un nivel al siguiente se
produce de forma continua.
La dependencia de niveles, el paso continuo de uno a otro y es estado de
transición en los esquemas ponen de manifiesto que, a veces, es mejor
abstraer desde un caso singular, donde se evidencien las relaciones y
propiedades adecuadas, combinado con una definición del concepto abstracto.
Los Van Hiele afirman que el progreso a través de los niveles depende más de
la instrucción recibida que de la edad o la madurez. Por tanto el método y la
organización de la instrucción, así como los contenidos y el material utilizado,
son áreas importantes de interés pedagógico. Para conseguir esto, los Van
Hiele proponen cinco fases de aprendizaje:
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o Preguntas: A través de cuestiones sobre el objeto de estudio se pretende
que el profesor pueda conocer lo que los alumnos saben, en qué nivel se
encuentran y si dominan el vocabulario.
o Orientación dirigida: Los alumnos investigan a través de los materiales que
el profesor ha seleccionado y secuenciado. Aquí la labor del profesor es
vital para obtener el aprendizaje deseado.
o Explicación: A partir de las experiencias previas, los estudiantes expresan e
intercambian su opinión y sus ideas sobre lo que han observado. Aquí se
manifiesta la importancia que se le da al dominio del lenguaje matemático.
La interacción se da entre los alumnos, el profesor únicamente debe
corregir el nivel del lenguaje.
o Orientación libre: Los estudiantes se enfrentan con tareas más complejas o
más abiertas, orientadas a aplicar lo aprendido.
o Integración: Los estudiantes sistematizan y resumen lo que han aprendido
con el objeto de formarse una visión estructurada de objetos y relaciones. El
profesor puede ayudar en esta síntesis pero sin aportar información que los
alumnos no hayan descubierto.
Ejemplo: Modelo de Cowley sobre estudio de cuadriláteros y triángulos
NIVEL 1.
o Identifica “cuadrados” en un conjunto de recortables.
o Señala ángulos, rectángulos y triángulos en diferentes posiciones en fotos,
láminas, etc.
o Marca figuras en una trama o malla (ángulos, paralelas, sierras, escaleras,
etc.).
o Realiza figuras con instrumentos: rectángulos, paralelas, etc.
o Señala los ángulos como “esquinas” o los marca en figuras.
o Señala que un rectángulo “es un cuadrado más estrecho”, “un
paralelogramo es un rectángulo inclinado”, “un ángulo las agujas de un
reloj”.
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o Usa el método de ensayo-error con mosaicos.
o Coloca teselas cuadradas en un rectángulo y las cuenta para aproximar su
área.
o Identifica cuadrados espontáneamente pero... “no indica: igual lados y
ángulos rectos”.
o Señala y mide los lados de un cuadrado pero... “no generaliza: igual lados
para todos los cuadrados”.
o No usa espontáneamente cuantificadores como: todos, alguno, cada,
ninguno referidos a si tienen determinada propiedad geométrica.
NIVEL 2:
o Señala que “la figura tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos”.
o Comprueba que “en un paralelogramo los lados opuestos son paralelos”.
o Señala las semejanzas y diferencias entre cuadrado y rectángulo.
o Inventa un criterio para clasificar cuadriláteros (dos rectos, pares de lados
paralelos, etc.).
o Describe una sierra a partir de una propiedad y la utiliza para determinar
ángulos iguales en una trama.
o A partir de una malla triangular puede descubrir la suma de los ángulos
interiores de un triángulo.
o Puede calcular el área de un triángulo rectángulo a partir de la del
rectángulo.
o A partir de medidas de ángulos obtiene que el ángulo exterior a un triángulo
es la suma de los no-adyacentes.
o Dan información basada en propiedades para dibujar la figura.
o Después de clasificar cuadriláteros en cometas y no-cometas, describe
propiedades de las cometas.
o Resuelve problemas sencillos identificando figuras en combinación con
otras
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o Identifica propiedades en paralelogramos pero “no identifica el conjunto de
propiedades necesarias para definirlo”.
o Después de ver propiedades de una familia de cuadriláteros “no justifica
que todos los cuadrados son cometas”.
o Después de descubrir en una malla triangular que los ángulos de un
triángulo suman 180º “no generaliza el resultado para todo triángulo
rectángulo”.
NIVEL 3:
o Selecciona propiedades que caracterizan una serie de formas y prueba,
mediante dibujos o construcciones, que son suficientes.
o Formula un definición para una cometa y la usa para explicar qué es cometa
y qué no.
o Contesta razonadamente a preguntas como: ¿un rectángulo es un
paralelogramo?
o Lo mismo con cometas y cuadrados.
o Deduce que los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360º a partir de
dividirlo en dos triángulos.
o Justifica la igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.
o Reconoce el papel de las explicaciones lógicas o argumentos deductivos en
la justificación de hechos
o No comprende el significado de la deducción en un sentido axiomático (no
ve la necesidad de las definiciones y supuestos básicos).
o No distingue formalmente entre una afirmación y su contraria.
o No establece relaciones entre redes de teoremas.
NIVEL 4:
o Identifica las propiedades suficientes para definir un paralelogramo.
o Prueba de forma rigurosa que la suma de los ángulos de un triángulo es
180º.
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o Demuestra que si un triángulo es isósceles los ángulos de la base son
iguales y viceversa.
o Demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un
paralelogramo se cortan en su punto medio y compara los dos métodos.
o Compara demostraciones alternativas del teorema de Pitágoras.
o Demuestra teoremas relativos a rectas paralelas cortadas por una secante.
o No examina la independencia, consecuencias o validez de un conjunto de
axiomas.
Tarea por grupos: Considera un tópico geométrico y busca en textos de
Educación Primaria actividades que se correspondan con los distintos niveles
de Van Hiele. En los apuntes tenéis como referencia el modelo de Cowley.
Podéis consultar los libros en el taller de Matemáticas.
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