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Sobre cómo Kepler encontró sus
famosas Tres Leyes
Johannes Kepler (Alemania, 1571 – 1630), fue ayudante
de Tycho Brahe. Conocedor de la teoría heliocéntrica de
Copérnico y convencido de la existencia de un orden en
el Universo.
Tras la muerte de Tycho, sus herederos le donan sus
observaciones de las posiciones planetarias,
meticulosamente medidas y anotadas por décadas.
Kepler pasó años analizando estos datos hasta que
encontró sus famosas tres leyes.
Describamos brevemente cómo lo hizo…
En primer lugar se centró en el estudio de los datos que tenía de las
posiciones sobre la bóveda celeste del planeta Marte.
Kepler sabía que el período de revolución de Marte alrededor del Sol era
de 687 días. Pensaba que las órbitas debían ser circulares y con el Sol en
el centro, así que organizó las medidas en grupos de 687 días razonando
de la siguiente forma:
En estas medidas separadas por 687 días, Marte siempre estaría en el
mismo punto de su órbita, pero la Tierra no. Representando estos puntos
separados 687 días, Kepler podía intuir el aspecto de la órbita terrestre.
Pero ojo, el no conocía distancias absolutas; de los datos de Tycho solo
conocía el ángulo ɑ y podía deducir el s.
En este ejemplo, Marte ha dado 7
vueltas exactas y la Tierra ha cubierto
13,175 vueltas. Lleva ya 64 días del
año 14… es decir, ha completado 63º
sobre su órbita. De esa manera Kepler
sabía el ángulo s.
Marte en los días 0, 687,
1374, 2061…
Fijaos que, en el día 687
Marte vuelve a estar en la
misma posición sobre su
órbita, pero la Tierra no. La
Tierra habrá completado
una vuelta alrededor del Sol
(365 días), y llevará 322
días de la segunda vuelta
(365 + 322 = 687)
T0
T687
T1374
A base de pintar triángulos como el anterior con Marte y el Sol fijos,
Képler pudo deducir que la órbita de la Tierra era algo muy similar a un
círculo pero cuyo centro no coincidía con la posición del Sol... Estaba
ligeramente desplazado.
A la vez que hacía estos progresos se
encontró con la Segunda Ley de Képler
(que fue la primera por orden
cronológico).
T15
T180
T210
T4809
ɑ
s
Marte en el día 4809 (7 años
marcianos)
Tras determinar la órbita terrestre, Kepler pasa a determinar la órbita de
Marte. Para ello repite el mismo proceso pero en este caso agrupa las
medidas en lotes separados 365 días, de manera que será la Tierra la
que siempre esté en el mismo punto y sea Marte el que evolucione sobre
su órbita.
De nuevo Kepler solo conocía los
ángulos s y ɑ que vimos antes, no sabía
distancias absolutas… A base de
dibujar triángulos y posiciones relativas
Sol – Tierra – Marte, intenta hacer
cuadrar la órbita de Marte con un
círculo con el Sol más o menos en el
centro…
El radio de un planeta barre
areas iguales en tiempos
iguales
M730
Area
Area
Kepler también conocía el ángulo ɑ,
de los datos de Tycho.
T0
M0
M365
T0, 365, 730, 1095…
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Pero no hay manera de hacer cuadrar esas posiciones de Marte con un
círculo. A base de ensayo y error prueba con otras soluciones hasta que
encuentra que la órbita de Marte encajaría perfectamente con una elipse!
en uno de cuyos focos estuviera el Sol:
A
dF1-A
F1
dF2-A
c
F2
a
dF1-B
dF2-B
B
Una elipse se define como el conjunto de puntos tales que la suma de las
distancias a otros dos puntos (los focos) es constante. La excentricidad
es c/a.
Claro… la órbita terrestre había colado como circular, ya que es una
elipse de exentricidad muy baja, 0’016, pero la órbita marciana tiene una
excentricidad de 0’093 y por eso a Kepler ya no le cuadraba un círculo.
Esto, unido a la segunda ley enunciada antes, implicaría que un planeta
ha de ir un poco más rápido cerca del perihelio y un poco más despacio
cerca del afelio. ¡Y por eso se observaba en el cielo que el Sol se movía
más rápido en su camino por la eclíptica durante los meses de invierno!
La Tierra está un poco más cerca del Sol durante el invierno!
Primera Ley de Képler
Los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas, estando el Sol
en uno de los focos de la elipse
Por último, 10 años después Képler encontró su tercera ley. Kepler
seguía buscando relaciones simples en las órbitas planetarias, y se
dedicó a buscar relaciones entre los períodos orbitales y los tamaños
relativos de sus semiejes (recordemos que Képler no sabía los tamaños
absolutos de las órbitas, pero sí sabía las dimensiones relativas entre
ellas… eso lo veremos otro día).
Vio que T/R aumentaba. Probó con T/R2 y vio que disminuía. Probó
entonces con T2/R3 y dio con su tercera ley…
R
T/R
T/R2
T2/R3
Mercurio 0,24
0,39
0,61
1,57
0,97
Venus
0,61
0,72
0,84
1,17
0,99
Tierra
1
1
1
1
1
Marte
1,88
1,52
1,23
0,81
1
Jupiter
11,86
5,2
2,28
0,43
1
Saturno
29,46
9,5
3,10
0,32
1,01
T
Tercera Ley de Kepler
Para todos los planetas, el cociente entre el cuadrado de su período orbital y
el cubo del semieje mayor de su órbita, es una constante
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