Departamento de Física Curso de: FÍSICA FUNDAMENTAL I (código 106004M) UNIDAD 1: Matematizar la descripción del movimiento (CINEMÁTICA) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general (trayectoria curvilínea)? Cuando el móvil cambia la dirección de su movimiento de manera arbitraria (no limitándose a invertir su sentido, como sucedía en el primer módulo), el vector velocidad, que nos indica esa dirección además de la rapidez (recordar lo dicho en la lectura 3), deja de estar determinado por una única componente. Necesitamos ahora las tres componentes, pues este vector puede apuntar ahora en cualquier dirección en el espacio tridimensional. Igualmente, necesitamos tres coordenadas para localizar la posición del móvil, las cuales serán funciones del tiempo. ¿Cuál es la relación matemática entre estas funciones y las componentes del vector velocidad? Por otra parte, ya sabemos que la aceleración mide la no uniformidad del movimiento. La desviación de la trayectoria rectilínea constituye una no uniformidad del movimiento que se agrega al cambio de rapidez, y que es muy diferente de éste. Por eso podemos esperar que las relaciones entre tiempo, trayectoria, posición, velocidad y aceleración sean mucho más complejas que en el movimiento rectilíneo. ¿Cómo son estas relaciones en el movimiento curvilíneo? En las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto guía Usted encontrará los elementos para construir sus propias respuestas a las dos preguntas planteadas (las secciones 3.3 y 3.5 se estudiarán en el módulo 3; la sección 3.4 no requiere ninguno de los conceptos estudiados en la 3.3). En este módulo seguiremos una metodología didáctica diferente a la que seguimos en el módulo 1. Ahora la responsabilidad por el aprendizaje está en manos del estudiante, por lo que las actividades de aprendizaje se reducen esencialmente al estudio del texto guía y a la resolución de problemas, con la excepción de una actividad inicial a modo de laboratorio virtual (Exploración 2). Objetivo: El estudiante comprenderá cómo describir matemáticamente el movimiento en tres dimensiones, generalizando la estructura conceptual de la cinemática al movimiento curvilíneo Desarrollo del módulo A. Trabajo independiente (5 a 8 horas) 1. Exploración 2: Movimiento a control remoto (debe entregarse un informe individual). 2. Estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto guía, y realización de ejercicios y problemas B. Discusión en clase (2 horas). Exploración 2: Movimiento a control remoto Las prácticas de simulación computacional han abierto unas enormes posibilidades para facilitar la enseñanza y aprendizaje de la física, permitiendo modificar los enfoques didácticos tradicionales puramente verbales ilustrados con representaciones “estáticas”. En esta simulación podremos percibir y experimentar visual y cinestésicamente (es decir, mediante las sensaciones asociadas al propio movimiento corporal), las relaciones entre las variables cinemáticas, antes de proceder a su estudio matemático. De esta manera se espera hacer este estudio mucho más significativo para el estudiante. Lo notable de esta exploración es que la experiencia que proporciona es imposible de obtener en un laboratorio real, pues en este laboratorio virtual se hacen tangibles entidades matemáticas como los vectores velocidad y aceleración. Objetivo: Adquirir experiencia sensorial (tanto visual como cinestésicamente) en las relaciones entre las magnitudes cinemáticas en el movimiento bidimensional, comparando su “sentido intuitivo” de estas relaciones con las relaciones definidas formalmente en cinemática en términos de la razón de cambio de la posición y la velocidad. Materiales: 1. Computador con Java y conexión a Internet 2. Simulación “Movimiento del cucarrón 2D”, disponible en: http://phet.colorado.edu/en/simulation/ladybug-motion-2d#translated-versions Procedimiento: 1. Suponga que Usted conduce su auto de carreras en una pista con forma de ocho, como se muestra en la figura 1. Como buen piloto, Usted varía su rapidez según la curvatura de la pista, siendo máxima en los segmentos más rectos y disminuyéndola al tomar las curvas. Figura 1 Conjeture razonadamente cómo varían los vectores velocidad y aceleración a lo largo de su trayectoria, dibujando flechas que marquen la dirección y magnitud relativa (use flechas más largas cuando la magnitud de estos vectores es mayor, y viceversa) en diferentes puntos. No se trata de “adivinar” la respuesta correcta, sino de dejarse llevar de su intuición y su comprensión actual de la cinemática. 2. Para comparar sus conjeturas con lo que nos dice la física, Usted va a transformar el computador con el que está trabajando en “simulador de un controlador remoto del movimiento de un robot” El robot estará representado como un cucarrón, el cual hará las veces de piloto del automóvil. a. Vaya a la dirección de Internet dada y busque en el listado de versiones traducidas (TRANSLATED VERSIONS) la versión en español (Colombia). Cargue y ejecute la simulación (RUN NOW). b. Cuando aparezca la pantalla de la figura 2, fije los controles del panel derecho como aparece en la figura. Sitúe el cursor con el mouse en la punta de la flecha gruesa azul en la ventana Control remoto. Muévalo en cualquier dirección (oprimiendo continuamente a la vez el botón principal del mouse) y observe el consiguiente movimiento del cucarrón en la ventana principal. Familiarícese con el control interactivo en una exploración libre, hasta que haya adquirido habilidad para hacer seguir al cucarrón una trayectoria predeterminada, modificando de una manera también predeterminada su rapidez. c. Aprenda el manejo de la función de grabación, mediante la cual Usted puede grabar el movimiento y luego reproducirlo en cámara lenta. d. Ahora haga que el cucarrón siga una trayectoria cercana a la de la figura 1, variando su rapidez como se indicó en el número 1. Puede ser necesario hacer varios ensayos. 3. Compare y evalúe ahora sus conjeturas contrastándolas con el comportamiento observado de los vectores velocidad y aceleración. Para este efecto reproduzca en cámara lenta el movimiento del cucarrón grabado en el paso 2.d. 4. ¿Qué relación geométrica general parece haber, empíricamente, entre la forma de la trayectoria, la dirección de los vectores velocidad y aceleración? UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 2/13 Informe: Incluya en su informe el dibujo de la pista con sus conjeturas y la comparación cualitativa con el comportamiento observado, además de su hipótesis de respuesta a la pregunta 4, que es la pregunta esencial de esta actividad. Figura 2 Guía de estudio Para orientarse en su estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto guía, tenga siempre presente las preguntas claves del módulo (las que están en negrilla y resaltadas en la introducción) y para las cuales ha encontrado una respuesta empírica en la exploración. A continuación encontrará algunas preguntas con las cuales podrá comprobar su comprensión y retención del material, sin olvidar que el objetivo primordial del trabajo es comprender, generalizar y demostrar la relación entre las variables cinemáticas observada en la simulación. Posteriormente encontrará unos cuantos problemas de estudio para los que se ofrecen modelos de solución que Usted debe contrastar con la suya, y se proponen algunos problemas de práctica y para la autoevaluación. PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN Sección 3.1 1. Describa en palabras la “receta” para combinar las coordenadas cartesianas del móvil como ingredientes de su vector de posición, tomando como base la figura 3.1. 2. Si las tres coordenadas cartesianas del móvil son funciones del tiempo, la ec. (3.1) implicaría que el vector de posición es una función del tiempo. ¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función? 3. Indique las semejanzas y diferencias entre el “desplazamiento en una dimensión” y el “desplazamiento en general”. 4. ¿Por qué la velocidad media en la figura 3.2 no es colineal con el desplazamiento? 5. Compare las figuras 3.2 y 3.3. ¿Cómo se llevan a cabo las transformaciones de ⃗ , situada entre P1 y P2, en los vectores ⃗ y ⃗ , situados en P1 y P2, respectivamente? UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 3/13 Guía de estudio 6. ¿Continúa siendo cierto en el movimiento curvilíneo que la rapidez es la razón de cambio de la distancia recorrida?; ¿Cómo es posible que una razón o tasa de cambio sea un vector, como sucede en el caso del vector velocidad, que es “la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo” (p.79)? 7. ¿Se explica el hecho que el vector velocidad sea tangente a la trayectoria (figura 3.3) de la misma forma que el hecho de que la derivada sea la pendiente de la recta tangente a la gráfica cartesiana de una función? 8. El teorema de Pitágoras establece que siendo a y b la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo y c la de su hipotenusa. ¿De qué manera se aplica el teorema para obtener la rapidez en términos de las componentes rectangulares de la velocidad (ec. 3.6)? 9. Explique porqué vy es el dividendo y vx el divisor en la ecuación (3.7) 10. Justifique cualitativamente (analizando el comportamiento de las funciones de posición dadas en el ejemplo 3.1 para t > 0) la FORMA del camino seguido por el carrito que se dibuja en la figura 3.5. 11. ¿Por qué es necesario sumar 180° a la tangente inversa de -1,3 para obtener el ángulo en el ejemplo 3.1? Sección 3.2 1. ¿Es, también en el movimiento curvilíneo, el vector aceleración la razón de cambio de la razón de cambio de la posición? 2. ¿Cuál es el efecto análogo, en el movimiento curvilíneo, al “efecto de sacudida” que produce la aceleración en el movimiento rectilíneo (ver lectura 5)? 3. ¿Por qué es posible trasladar el vector ⃗⃗ a la “cola” del vector ⃗⃗ para formar el triángulo de la figura 3.6 (b)? 4. ¿Qué significa la palabra „resultante‟ en la frase: “Observe que ⃗⃗ es la resultante de la velocidad original ⃗⃗ y el cambio ⃗⃗ ” (p.82)? 5. Ilustre con todos los casos posibles la generalización: “el vector aceleración siempre apunta hacia el lado cóncavo de una trayectoria curva” utilizando diagramas triangulares de adición vectorial como los de la figura 3.6 (nota: hay cuatro casos posible: doblar a la izquierda aumentado la rapidez; doblar a la izquierda disminuyendo la rapidez; doblar a la derecha aumentando o disminuyendo rapidez) 6. Explique porqué cuando un cuerpo sigue un movimiento uniforme curvilíneo (ver lectura 2, pág. 2) el vector aceleración es siempre perpendicular al vector velocidad (incluso no siendo un movimiento circular uniforme). 7. ¿Qué significa en general „componente de un vector ⃗⃗⃗⃗en la dirección paralela/perpendicular al vector ⃗⃗⃗⃗‟?; ¿Para qué nos sirve obtener la componente de la aceleración en la dirección paralela a la velocidad? 8. ¿Cómo se generaliza al movimiento curvilíneo la regla sobre los signos de la velocidad y la aceleración de las páginas 50 y 51, a saber: “si en el movimiento rectilíneo ambas magnitudes tienen el mismo signo, la rapidez aumenta; si sus signos son opuestos la rapidez disminuye”? (en caso de duda, consulta una posible respuesta al final del módulo) 9. En la figura 3.15, explique con diagramas triangulares de adición vectorial de velocidades la dirección de la aceleración en los puntos B, D, E, F. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 4/13 Guía de estudio Sección 3.4 1. Explique porqué en el movimiento circular uniforme (MCU) la aceleración en cada punto de la trayectoria apunta siempre hacia el centro del círculo descrito por el móvil. ¿Qué sucede en el movimiento circular no uniforme (discuta los dos casos posibles: aumento o disminución de la rapidez)? 2. ¿Son sinónimos los adjetivos „radial‟ y „centrípeta‟? (La expresión „aceleración centrífuga‟ se escucha con frecuencia, pero el texto no la menciona. ¿Por qué?) 3. La demostración que trae el texto de la importante relación (3.28), entre la magnitud de la aceleración en el MCU, la rapidez y el radio del círculo descrito, consta de los siguientes tres grandes pasos (complete las frases siguientes): I. II. III. Cálculo de la magnitud de _______________________ para un cierto t, mediante la __________ entre un diagrama triangular de adición vectorial (ver fig. 3.28b) y el sector circular 0P1P2 (ver fig. 3.28a) Cálculo de ________ de __________ media para el mismo intervalo t __________________________________________________________ 4. Relacione los diferentes casos que aparecen en la figura 3.30 con la generalización, al movimiento curvilíneo, de la regla que relaciona los signos de la velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo (ver pregunta de comprensión 8, sección 3.2). 5. Ordinariamente se piensa sin mucha precisión que la aceleración es el aumento de rapidez, y que la disminución de rapidez es una desaceleración o aceleración negativa. La segunda de las ecuaciones (3.31) parece justificar este uso, pero a la vez muestra que el cambio de rapidez no es toda la aceleración1. Explique en palabras en qué consiste la otra parte de la aceleración. 6. En la relación (3.28) el radio de la circunferencia descrita por el móvil aparece en el denominador y en la relación (3.30) aparece en el numerador. ¿Significa esto que la magnitud de la aceleración en el MCU es a la vez directa e inversamente proporcional al radio? 7. Pregunta P3.1) Un péndulo (un cuerpo que oscila colgado del extremo de un cordel) se mueve siguiendo el arco circular BC. En los puntos B y C está momentáneamente en reposo. ¿Qué dirección tiene su aceleración en los puntos A, B, C, D, E? (dibuje en escala los vectores aceleración) 8. (Pregunta P3.11) En el MCU, ¿cuál es la velocidad media durante una revolución? ¿Y la aceleración media? D . . E 1 Estas dos ecuaciones se aplican también a un movimiento curvilíneo no circular (es decir, a un movimiento con trayectoria arbitraria), con la diferencia de que el valor de R, el radio de curvatura, no es una constante. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 5/13 Guía de estudio Problemas de estudio propuestos2 1. Demuestre las ecuaciones (3.4) y (3.10) del texto sin usar el lenguaje vectorial (es decir, sin partir de la ecuación 3.3). 2. La aceleración de un móvil está dada por la función vectorial ⃗⃗⃗⃗(t) = (5 ̂ – 3 s-1 t ̂ + 2 s-2 t2 ̂ ) m/s2. Se sabe que, en el instante t= 0, la velocidad es el vector ⃗⃗⃗⃗ = (2 ̂ + ̂ - 5 ̂ ) m/s y el móvil se encuentra en el origen de coordenadas. (a) Encuentre su posición y su velocidad en cualquier instante. (b) Encuentre el vector desplazamiento, la distancia al origen, la rapidez y la dirección de movimiento en el instante t = 1 s. 3. Encuentre las funciones de movimiento generales en el caso del “movimiento uniformemente acelerado” (no necesariamente rectilíneo). Dibuje las “gráficas cinemáticas” y la trayectoria del movimiento (en el plano XY) para el caso en que la velocidad inicial sea perpendicular a la aceleración. 4. Analice el MCU en términos de las coordenadas cartesianas del móvil, expresadas como función del ángulo que forma el vector posición con el eje X, deduciendo la relación 3.28 directamente desde la definición general de aceleración como derivada de la velocidad (ver el problema 3.75 del texto guía, que le ofrece una secuencia de preguntas intermedias que le facilitarán el análisis; ver también el problema de estudio 4 de la actividad 4). 5. Resuelva al menos los problemas 3.6, 3.7, 3.29, 3,33, 3.34, 3.44, 3.46, 3.50 Modelos de resolución de los problemas de estudio propuestos 1. A. Descripción y análisis del problema Podemos imaginar que tres tubos fluorescentes muy alargados paralelos a los ejes de coordenadas proyectan haces perpendiculares sobre cada eje. Las sombras producidas por el móvil sobre los ejes se mueven con movimiento rectilíneo cuando el móvil se desplaza en el espacio tridimensional. Las posiciones de aquéllas determinan conjuntamente la posición del móvil, en cuanto sus coordenadas sobre el respectivo eje (X, Y ó Z) son idénticas a las coordenadas x, y, z del móvil. Igualmente la velocidad lineal de cada sombra es idéntica a la componente rectangular del vector velocidad del móvil sobre el eje correspondiente, y lo mismo sucede con sus aceleraciones. El movimiento puede considerarse entonces como la composición de tres movimientos rectilíneos solidarios en direcciones mutuamente perpendiculares. B. Planteo de ecuaciones ̂ las coordenadas que marcan la posición de las sombras proyectadas sobre los ejes y ⃗ ̂ , ⃗ ̂ , ⃗ ̂ ̂ sus velocidades, cuyas únicas componentes (en las direcciones X, Y y Z respectivamente) son ̂ Sean ̂ ̂ ̂ ̂ . En efecto, la velocidad lineal de cada una de las sombras a lo largo del correspondiente eje es la razón de cambio de su posición, o lo que es igual es la derivada de su coordenada con respecto al tiempo. ̂ ̂ Ahora bien, ̂ ̂ ̂ y vx = ̂ , vy = ̂ , vz = ̂ . Sustituyendo término a término en ambos miembros de las ecuaciones anteriores obtenemos las ecuaciones (3.4). Derivando una segunda vez cada ecuación se obtienen las ecuaciones para las componentes de la aceleración (3.10). 2 Los primeros cuatro problemas son de tipo “teórico”; su finalidad primordial es contribuir a la comprensión de la teoría y desarrollarla con mayor detalle. Por ello es recomendable que Usted estudie el modelo propuesto de resolución (después de haber reflexionado sobre el enunciado del problema) y pasado un cierto tiempo intente hacerlos de nuevo por su cuenta. Los restantes problemas buscan afianzar los conceptos y desarrollar la competencia en su aplicación. Los respectivos modelos de solución ofrecidos se limitan a indicaciones y sugerencias, sin desarrollar por completo el proceso. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 6/13 Guía de estudio C. Discusión La notación vectorial nos proporciona una forma compacta o económica de describir un movimiento tridimensional agrupando las tres coordenadas en una única magnitud (⃗⃗), sus tres velocidades lineales en otra magnitud (⃗⃗) y sus tres aceleraciones lineales en una tercera magnitud ⃗⃗. 2. A. Descripción y análisis del problema Conocida la aceleración del móvil como función del tiempo, es decir, la derivada de la velocidad, encontramos ésta mediante la resolución del problema inverso de la diferenciación (integración). Reiterando el proceso obtenemos la posición como función del tiempo. Tanto la diferenciación como la integración de una función vectorial fx (u) ̂ + fy (u) ̂ + fz (u) ̂ de la variable real u se realizan de manera idéntica a la diferenciación y la integración de una función real, considerando a los vectores unitarios ̂, ̂ ̂ como factores constantes. Obsérvese que una función vectorial es un conjunto ordenado de tres funciones escalares 3. La parte (b) del problema requiere simplemente evaluar las funciones posición y velocidad para un instante particular, y a partir de allí obtener las magnitudes solicitadas utilizando la aritmética vectorial. B. Planteo y solución de ecuaciones a) A partir de la ec. (3.9) e integrando, obtenemos: ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ (t’) dt’ = ( 5 ̂ ∫ – 3 s-1 ̂ ∫ + 2 s-2 ̂ ∫ ) m/s2 = = (5 t ̂ – s-1 t2 ̂ + s-2 t 3 ̂ ) m/s2 Sustituyendo el valor dado de ⃗⃗⃗⃗ = (2 ̂ + ̂ - 5 ̂ ) m/s y factorizando términos semejantes obtenemos: ⃗ = ((2+5 s-1t) ̂ +(1– s-2 t2) ̂ +(-5+ s-3 t 3) ̂ ) m/s Por otra parte: ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ (t’)dt’ = ((2 s-1 t + s-2 t 2) ̂ +(1 s-1t – s-3 t3) ̂ +(-5 s-1t + s-4 t 4) ̂ ) m Como el vector posición inicial es cero, la anterior función es también el vector posición en cualquier tiempo. b) Al sustituir en la función ⃗(t) el valor t = 1 s obtenemos el vector ⃗(1 s) = ( ̂ + magnitud: √( ) () ( ) ̂- ̂ ) m, cuya 6,6 m, nos proporciona la distancia al origen en ese instante. Para encontrar la rapidez evaluamos la función velocidad en t = 1 s, obteniendo el vector ⃗(1 s) = (7 ̂ cuya magnitud √ ( ) ( ) ̂- ̂ ) m/s, 8,25 m/s nos proporciona la rapidez tras 1 s. La dirección del vector ⃗(1 s), es decir el ángulo que forma con cada uno de los ejes de coordenadas, se calcula de la manera más fácil usando el concepto de producto escalar (ver sección 1.10 del texto). Si tomamos el producto escalar de un vector ⃗ con el vector unitario ̂ el resultado es simplemente la componente en X del vector (ecuación 1.21), puesto que Bx = 1, By = Bz = 0. Por otra parte, la ecuación (1.18) nos dice que ese producto escalar es también el producto de la magnitud del vector ⃗ por el coseno del ángulo desde el vector ̂ hacia el vector ⃗, o lo que es igual al ángulo que forma éste último con el eje X. En consecuencia, obtenemos las importantes ecuaciones para los ángulos de un vector con los tres ejes coordenados usando la función arco coseno, o la función inversa del coseno: = arccos (Ax / || ⃗ || ); = arccos (Ay / || ⃗ || ); = arccos (Az / || ⃗ || ) Substituyendo los valores numéricos y evaluando con calculadora (asegúrese que entrega como resultado de la tecla arccos un valor entre 0° o 180°), obtenemos: = arccos (7 / 8,25) = 32°; = arccos (-0,5/8,25) = 93,5°; = arccos (-4,3/8.25) = 121,7° 3 En realidad, es condición necesaria, para que constituyan un vector, que cuando se hace un cambio de ejes coordenados las “componentes” de la función se combinen de una determinada manera para dar las nuevas componentes. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 7/13 Guía de estudio C. Análisis y evaluación de la solución Al triplicar el número de integrales o de derivadas que se deben evaluar para obtener las magnitudes cinemáticas básicas a partir de la que se conoce exige gran cuidado al trabajar para evitar errores. Para verificar la respuesta a la pregunta (a) se deriva la función posición dos veces, obteniendo de nuevo la aceleración dada. La pregunta (b) es un ejercicio numérico en el cual el estudiante debe mostrar su competencia para trabajar con orden y manejar eficientemente la información que debe procesarse para llegar a las respuestas correctas4. La especificación de la dirección de un vector en tres dimensiones es bastante dispendiosa, por exigir tres parámetros (aunque sólo dos de ellos son independientes, como se demuestra en la geometría analítica). Pero la casi totalidad de los problemas de aplicación se harán en dos dimensiones (movimiento en el plano), en donde basta un único parámetro para especificar cualquier dirección. 3. A. Descripción y análisis del problema El movimiento uniformemente acelerado es aquel en el cual la aceleración es un vector constante ⃗⃗. Como no se han especificado ejes de coordenadas predeterminados, tenemos libertad de construir nuestro sistema de coordenadas de forma que se reduzcan al máximo el número de componentes de las magnitudes cinemáticas. Tomemos la dirección dada del vector ⃗⃗ como la dirección de uno de los ejes, digamos el eje Y. La velocidad inicial es otro vector dado ⃗⃗⃗⃗⃗, que puede tener cualquier dirección. Supongamos que esta dirección es diferente a la del vector ⃗⃗ (en caso contrario el caso sería de MRUA, no de movimiento curvilíneo). Como dos vectores no colineales determinan un único plano, sea XY el plano determinado por los vectores ⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗. Escojamos como origen O del sistema de coordenadas la posición inicial del móvil. Definamos como eje Y la recta que pasa por ese punto orientada en la misma dirección del vector ⃗⃗ y como eje X la recta perpendicular al eje Y trazada por O orientada en alguna de las dos posibles direcciones. Por último, el eje Z será una recta trazada por O y perpendicular al plano XY. Como la aceleración no tiene componentes en las direcciones X y Z, no hay cambios en las componentes de la velocidad en estas direcciones (no se olvide que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad). Dado que la componente inicial de velocidad en Z es cero, la velocidad en Z siempre es cero y en consecuencia así también lo es la coordenada Z del móvil. En conclusión, el movimiento se produce únicamente en el plano XY, siendo entonces un movimiento en dos dimensiones, requiriéndose únicamente dos coordenadas, x y y para localizar la posición del móvil. Los parámetros del movimiento son entonces la magnitud de la aceleración, a, la magnitud de la velocidad inicial, vo, y el ángulo entre los vectores ⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗, que llamaremos . B. Planteo de ecuaciones Integrando la ecuación (3.9) para ⃗⃗ constante (por lo que puede salir de la integral), obtenemos y ⃗⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗ t. Substituyendo esta función en la ecuación (3.3) e integrando nuevamente obtenemos: ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ t+ ⃗⃗ t2 (1) Utilizando ahora la definición del sistema de coordenadas realizada en la parte A, la ecuación (1) se expande en las siguientes ecuaciones escalares: x = vox t y = voy t + a t2 De la primera ecuación podemos despejar t en términos de x y luego substituir en la segunda, obteniendo la ecuación de la trayectoria: y= 4 Este manejo de la información es rutinario, pero es necesario para la solución efectiva de los problemas. La situación es algo análoga a la cirugía. Las técnicas de esterilización son rutinarias y no demandan habilidad intelectual, pero son indispensables para que el paciente no se infecte. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 8/13 Guía de estudio Las componentes del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ están dadas por: vox = vox cos y voy = voy sen (siendo = /2 - el ángulo que forma la velocidad inicial con el eje X). Substituyendo obtenemos: y = (tan ) x + Las “gráficas cinemáticas” son las gráficas cartesianas de las funciones posición contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo. A diferencia del movimiento rectilíneo, en el movimiento en el plano se requieren seis gráficas, dos por cada magnitud. En cambio, la “gráfica de trayectoria”, o “diagrama de movimiento” (ver texto guía, pág. 47) que en el caso rectilíneo es una recta sobre la que se indican en ciertos instantes específicos los vectores velocidad y aceleración, en el caso curvilíneo plano es una curva en el plano XY. Las siguientes figuras presentan las gráficas cinemáticas y el diagrama de movimiento para la situación en que la velocidad inicial es perpendicular a la aceleración constante. El color rojo se usa para las magnitudes en la dirección X y el verde para las magnitudes en la dirección Y. posición velocidad aceleración X 5s Y Las líneas amarillas permiten seguir la evolución temporal de las coordenadas por separado, haciéndose evidente que la coordenada x del móvil (o su proyección sobre el eje, ver problema 1) tiene MU, mientras la coordenada y tiene MRUA. C. Análisis y evaluación de la solución La ecuación (1) es estructuralmente idéntica a la ecuación para la posición en el MRUA pues los conceptos básicos implicados son los mismos para el movimiento en una, dos o tres dimensiones. Pero un movimiento en línea recta acelerado uniformemente es superficialmente muy diferente al movimiento parabólico. En el siguiente módulo veremos que esta diferencia es de perspectiva. La curva parabólica del gráfico y versus t es muy diferente de la curva parabólica que representa la trayectoria del móvil en el espacio real. Mientras la curvatura de la primera es a, la de la segunda es Y P(x , y) Las coordenadas de los puntos que forman una circunferencia de radio R se pueden obtener, conociendo el ángulo entre el radio y el eje X, mediante la definición del seno y el coseno. Considere el triángulo rectángulo OPQ. El coseno del ángulo es la razón entre el cateto adyacente OQ = x y la hipotenusa OP = R. El seno es la razón entre el cateto opuesto PQ = y y la hipotenusa. De allí la relación básica buscada: Rsen 4. A. Descripción, análisis del problema y planteo de ecuaciones Q X O Rcos x = R cos ; y = R sen Ahora bien, si el punto P se mueve con rapidez uniforme siguiendo la circunferencia el ángulo varía proporcionalmente con el tiempo. Sea (omega minúscula) la constante de proporcionalidad, el parámetro que describe la rapidez con la que cambia el ángulo, la variable esencial del problema porque determina las dos coordenadas cartesianas. Así pues, = t, por lo que se denomina “velocidad angular” (ya que desempeña el mismo papel que la rapidez en el movimiento uniforme, distancia = v t). Como se debe medir en radianes, UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 9/13 Guía de estudio la “unidad natural” angular (ver modelo de solución al problema 4 de la actividad 4, en especial la nota al pié de página 10), la cual es “adimensional” (sin dimensiones), la dimensión de es s-1 (sin embargo, por razones didácticas algunos textos, entre ellos el nuestro, la expresan como rad/s, para recordar que el desplazamiento angular se expresa en radianes y no en grados sexagesimales. El vector posición con respecto al centro del círculo, que consideramos como origen del sistema de coordenadas, estará dado entonces por: ⃗⃗ = x ̂ + y ̂ = R ( cos (t) ̂ + sen (t) ̂ ) De donde (usando la derivación en cadena y teniendo a R y constantes): ⃗⃗ = ⃗⃗ = R (- sen(t) ̂ + cos (t) ̂ ) El vector - sen(t) ̂ + cos (t) ̂ tiene magnitud 1 y es tangente a la circunferencia, pues es perpendicular al “vector unitario radial” que va del origen al punto P, a saber cos (t) ̂ + sen (t) ̂ , como se puede comprobar efectuando el producto escalar de ambos vectores. La rapidez del punto está dada por la importante relación: v = R (1) Por último, la aceleración está dada por: ⃗⃗ = ⃗⃗ = - R2 ( cos (t) ̂ + sen (t) ̂ ) La anterior expresión nos dice a la vez la magnitud de la aceleración, R2, y su dirección: un vector opuesto al vector unitario radial, y por lo tanto normal a la velocidad. Si sustituimos como v/R en la magnitud de la aceleración, obtenemos de nuevo la relación (3.28) para la “aceleración centrípeta”, que constituye uno de los resultados más conocidos y fundamentales de la cinemática rotacional: acentrípeta = R2 = 𝑣 (2) R La teoría del MCU incluye otros dos familiares parámetros relacionados con , el periodo T y la frecuencia f. T es el tiempo que el punto tarda en dar una vuelta completa al círculo (o una „revolución‟, como se suele decir). Por otra parte f se define como el número de vueltas dadas en una unidad de tiempo; es por tanto idéntica a la velocidad angular cuando el ángulo se mide en la nueva unidad “revolución” (rev) , donde 1 rev = 2 rad). Así, cuando t = T, = 2 rad = 1 rev = 360°. A partir de la definición de como coeficiente de proporcionalidad entre y t (a saber, = t) obtenemos la relación (substituyendo los anteriores valores de t y despejando luego ): = 𝜋 (3) T Para convertir la unidad rad que aparece en el numerador de a la unidad revolución hemos de dividir el valor numérico por 2 (lo que equivale a multiplicar por 1 = 1 rev/ (2 rad) y cancelar luego la unidad rad). Las fórmulas para la frecuencia son entonces: f = 2𝜋 = T (4) B. Análisis y evaluación de la solución Como se dijo en la nota 2, los problemas propuestos en este módulo son “problemas teóricos”, no ejercicios de aplicación de procedimientos algorítmicos ya definidos. Estos son los verdaderos problemas que enfrenta un científico en su trabajo: a partir del conocimiento que ya posee y de un objetivo cognoscitivo (a saber, llenar una laguna en ese conocimiento), ejercer su creatividad para aumentar su conocimiento del problema inventando si es del caso nuevos conceptos. Lo que hicimos en este problema fue particularizar las definiciones generales de velocidad y aceleración a una función posición ⃗⃗(t) explícitamente dada por una UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 10/13 Guía de estudio expresión analítica, que fue construida geométricamente sabiendo la trayectoria y el carácter uniforme del desplazamiento angular. Posteriormente utilizamos los resultados para ampliar la base de conocimientos sobre el MCU, los cuales serán utilizados con frecuencia y deben ser memorizados. La fórmula (1) nos da la “velocidad tangencial”, que no es más que la rapidez en el contexto del movimiento curvilíneo (en realidad la velocidad como vector es siempre tangente a la trayectoria). Las fórmulas (3) y (4) son variaciones de la rapidez angular; una forma adicional de expresarla es en “revoluciones por minuto” (rpm), cuyo valor numérico se obtiene multiplicando por 60 la frecuencia (dada en rev/s, que normalmente se expresa en s-1, pues la unidad revolución, como la unidad radián, es adimensional). Pero la fórmula más importante es la (2), pues nos permitirá obtener la llamada “fuerza centrípeta”, que tuvo excepcional importancia en el desarrollo histórico y conceptual de la mecánica, y por lo mismo tiene una altísima importancia pedagógica en la comprensión de la física por parte del estudiante. Pistas para la solución de los ejercicios del texto sugeridos 3.6 Conocemos la aceleración media en un intervalo (en magnitud y dirección) y la velocidad al comienzo de ese intervalo (en componentes cartesianas), y nos piden la velocidad al final del intervalo (en ambas formas). Sabemos que ⃗⃗ = ⃗⃗ t. De donde: ||⃗⃗||= ||⃗⃗ || t y la dirección de ambos vectores es idéntica (la multiplicación de un vector por un escalar no altera su dirección). Lo más fácil es calcular primero las componentes cartesianas de ⃗⃗2 : vx2 = vx1 + ⃗⃗x, vy2 = vy1 + ⃗⃗y, Las componentes cartesianas del cambio de velocidad se obtienen multiplicando su magnitud por el coseno y el seno, respectivamente, del ángulo dado (31,0°) que indica la dirección de este vector. La magnitud y dirección de ⃗⃗2 se obtienen por las fórmulas (1.8) y (1.9). El dibujo sobre papel cuadriculado de los vectores velocidad inicial y final permite verificar la respuesta, restándolos gráficamente y comparando el resultado con el vector ⃗⃗ t. R/ ⃗⃗2 = (6,46 ̂ + 0,52 ̂ ) m/s; ⃗⃗2 = 6,48 m/s; ángulo entre el eje X y ⃗⃗2 : +4,6° (en sentido antihorario); los vectores difieren en magnitud y dirección. 3.7. Estructuralmente este ejercicio es idéntico al problema 3, en cuanto la aceleración es el vector constante 2 ̂ y la velocidad inicial el vector ̂, como se puede ver al derivar dos veces las funciones de posición dadas multiplicadas por los respectivos vectores unitarios (la función velocidad es ̂ 2t ̂) . La eliminación del tiempo nos da la ecuación de la trayectoria: y = 3 - x2: una parábola con vértice en (0, 3) y que corta al eje X en x= √ . En t = 0 las coordenadas son (0, 3) y en t = 2 s son (4,8, -1,8), como se ve de inmediato al evaluar las funciones posición en tales instantes. Evaluando la función velocidad en t = 2 y calculando el módulo y la dirección del vector obtenido, tenemos que la rapidez es 5,4 m/s en dirección -63,4° (desde el eje X hacia el negativo del eje Y). La aceleración, que es un vector paralelo al eje Y hacia abajo, tiene una componente paralela a la velocidad, por lo que la rapidez está aumentando. Como también tiene componente normal a la velocidad apuntando hacia la derecha, el ave está virando hacia ese lado. 3.29 (a) Nos dan el periodo del MCU del objeto (T = 24 horas) y el radio de su trayectoria (R = 6,380 km). Nos piden la magnitud de la aceleración (0,0342 ms-2 = 0,0035g)5 , que obtenemos de la ecuación (3.30), o de las ec. (2) y (3) del problema 4. (b) Es el problema inverso: nos dan la magnitud de la aceleración (1,0 g) y el radio, y debemos encontrar T (1,42 horas). 3,33 Se conoce el radio de la trayectoria circular (14 m) y que el movimiento es uniforme, con una rapidez (velocidad tangencial) de 7,00 m/s. La magnitud de la aceleración es entonces constante, y está dada por la fórmula (3.28), obteniéndose = 3,5 m/s2. Como la aceleración en el MCU apunta siempre hacia el centro de la trayectoria, en el punto más bajo es vertical hacia arriba y en el más alto es vertical hacia abajo. La distancia 5 Otra de las posibles unidades para la aceleración es la llamada “unidad g”. 1 g es igual a 9,8 ms-2. En el módulo 3 se estudiará la razón de la escogencia de este valor y del nombre de esta unidad. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 11/13 Guía de estudio recorrida en una revolución es igual al perímetro de la trayectoria, es decir a la circunferencia del círculo (2R=88 m). A razón de 7,00 m/s, recorrer esta distancia tarda 88/7 s = 12,6 s. 3.34. Ahora el movimiento no es uniforme. La aceleración del pasajero tiene pues una componente tangencial en la misma dirección horizontal de izquierda a derecha que tiene la velocidad, puesto que la rapidez aumenta. La magnitud de esta componente tangencial es igual a la razón de cambio de la rapidez. La magnitud de la componente normal de la aceleración se sigue calculando con la fórmula (3.28). R/ Magnitud de la aceleración: 0,81 m/s2; dirección: 52° medidos desde la horizontal hacia el centro de la rueda. 3.44. La parte a) se hace por integración, como en el problema 2, obteniéndose: ⃗ = ((vox+ t3) ̂ +( voy + t– t2) ̂ ) m/s; ⃗ = ((voxt + t4) ̂ +( voyt+ t2– t3) ̂ ) m b) Cuando la altura y es máxima la componente vertical de la velocidad vy se anula. El tiempo correspondiente es entonces la solución positiva a la ecuación cuadrática voy + t– t2 = 0, a saber 13,6 s. Evaluando la función y(t) en ese punto obtenemos la altura máxima, 341 m. c) Mediante el programa EXCEL se realizó una tabla de valores de las funciones x(t) , y(t) para los valores 0, 0,25 s, 0,5 s, …. hasta 21 s, graficándose luego y vs x, obteniéndose el siguiente gráfico: d) El valor preciso en el que la coordenada y se hace cero de nuevo se calculó resolviendo la ecuación cuadrática voy+ t– 𝛾 t2 = 0, obteniéndose la solución 20,7 s 3.46 b) Como x(t)=t t3, x=0 t = 0 ó t = √ = 2,12 s. En el último instante la coordenada y es 9 m. 3.50 El periodo del MCU que describe la proyección del ave sobre el plano horizontal es 5 s. En este intervalo recorre la distancia 2R = 50,3 m, lo que nos da una “rapidez horizontal” de 10,1 m/s, que es tangente al cilindro imaginario sobre el cual se desarrolla la trayectoria. Esta rapidez se compone con la rapidez vertical (3,00 m/s) usando el teorema de Pitágoras para obtener la rapidez resultante de 10,5 m/s formando un ángulo de 16,7° con la horizontal. La aceleración está en el plano xy y tiene una dirección variable, siempre hacia el centro del círculo, de magnitud constante igual a la rapidez horizontal al cuadrado sobre el radio (13 ms-2). Para convencerse de que el movimiento de ascenso superpuesto al circular no afecta la aceleración, analice la el vector posición: ⃗⃗ = x ̂ + y ̂ + z ̂ = R ( cos (t) ̂ + sen (t) ̂ ) + 3 m/s t ̂ Autoevaluación Resuelva los ejercicios 3.4, 3.8, 3.32, 3.35, 3,45 UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 12/13 Guía de estudio Respuesta a la pregunta 8, secc. 3.2 Si la aceleración tiene componente en la misma dirección que la velocidad (es decir, si tiene componente paralela a la velocidad), la rapidez aumenta; si la aceleración tiene componente en dirección opuesta a la de la velocidad, la rapidez disminuye. Si la aceleración es normal a la velocidad (en otras palabras, si no tiene componente en dirección paralela a la velocidad), la rapidez es constante. Solución a los problemas de autoevaluación pares 3.4. t = (2b)/(3c) 3.8. 3.32. a) 2,99 x104 m/s 108 000 KPH (es importante –por razones teóricas que veremos en la 2ª unidad–, comparar este resultado para la rapidez orbital de la Tierra con: i) la “rapidez tangencial” de un punto en el Ecuador terrestre debida a la rotación diurna de la Tierra, que se puede obtener con los datos del ejercicio 3.29, a saber 471 m/s 1700 KPH; ii) la rapidez del sistema solar en su movimiento de rotación alrededor del agujero negro situado en el centro de la Vía, Láctea6, 2,29 x 105 m/s 826 000 KPH). b) 5,95 x10-3 m/s2 (compare con la aceleración debida a la rotación de la Tierra obtenida en el ejercicio 3.29, 0,0342 m/s2, y con la aceleración del sistema solar debida a su rotación galáctica, del orden de 2x10-10 m/s2). c) 4,78 x104 m/s; 3,95 x10-2 m/s2 6 Según los más recientes datos, el sistema solar se encuentra a unos 28 miles de años luz del centro galáctico, y completa una órbita en unos 230 millones de años. He usado para la velocidad de la luz el valor definido exactamente en 1983 como 299.792.458 m/s (ver texto guía, p.6), y para la duración de un año el valor 365,2422 días (año tropical), que equivalen a 3,1556926x10+07 s, un año luz es igual a 9,4605284×1015 m. Si no se requiere mucha precisión se suele tomar el valor de 9,5 billones de kilómetros. UNIDAD 1 (Matematizar la descripción…) MÓDULO 2: ¿Cómo medir el movimiento en general? Pág 13/13