TEMA 0. ERRORES.

Introducción al cálculo de errores 1/5
Introducción al cálculo de errores
Los errores indeterminados son aquellos que se deben al azar. Por ejemplo, al
realizar la medida de una masa en una balanza casi siempre nos ofrece valores
diferentes debido a factores accidentales.
1. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. REDONDEO DE CIFRAS DECIMALES.
Las cifras significativas son aquellas que tiene una cantidad sin contar los
ceros a la izquierda del último número distinto de cero.
Cantidad
2,307 m
0,0025 cm
10008 km
2,1 g
2,100 g
3,652 m
0,3652 m
0,06 s
C.S
4
2
5
2
4
4
4
1
Redondear una cantidad supone expresar una cifra que tiene un cierto número
de cifras significativas con otra con menor número de cifras significativas de acuerdo a
las siguientes reglas:
a) Si el dígito siguiente a la última cifra significativa deseada es mayor o igual a
5, se redondea por exceso, o sea, se suma uno a la última cifra significativa deseada.
b) Si el dígito siguiente a la última cifra significativa deseada es menor de 5, se
redondea por defecto, es decir, no se altera la última cifra deseada.
Ejemplo: Expresar las siguientes cantidades con 3 cifras significativas.
a) 2,6148 b) 2,6178. c) 0,2465. d) 0,2461.
2,6148 (5 c.s.) → 2,61 (3 c.s.)
2,6178 (5 c.s.) → 2,62 (3 c.s.)
0,2465 ( 4 c.s.) → 0,247 (3 c.s)
0,2461 (4 c.s.) → 0,246 (3 c.s)
2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN OPERACIONES MATEMÁTICAS.
2.1. ADICIÓN Y SUSTRACIÓN.
El resultado de una suma o de una resta no debe tener más dígitos a la derecha
de la coma que los que tenga la medida con menor número de decimales.
4,47 + 21,5 + 0,622 = 26,592 → 26,6
2d
1d
3d
1d
Introducción al cálculo de errores 2/5
12,95 + 0,0185 = 12,9685 → 12,97
2d
4d
2d
6,93 – 1,702 = 5,228 → 5,23
2d
3d
2d
141,8 – 56,12 = 85,68 = 85,7
1d
2d
1d
2.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
Por lo general, el resultado de dichas operaciones llevará igual número de cifras
significativas que el número que tenga menos cifras significativas.
5,82 · 65,358 = 380,38356 → 380
3 cs
5 cs
3 cs
1,731:1,14 = 1,5184211 → 1,52
4 cs 3 cs
3 cs
⇒ Para todas las operaciones las cifras significativas de los números exactos
no se tendrán en cuenta.
Perímetro de un cuadrado 12,6 m de lado:
P = 4 · 12,6 = 50,4 m.
⇒ Si en la operación interviene el número π, se toma con una cifra significativa
más que la medida que menos tenga.
Longitud de una circunferencia de 2,45 m de radio:
L = 2πr = 2 · 3,142 · 2,45 = 15,3958 → 15,4 m
3. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO.
3.1. EN UNA SÓLA MEDICIÓN.
Imaginemos que una persona realiza la medición de la longitud de un lápiz con
una regla milimetrada y nos dice que su longitud es de 115 mm. En realidad sólo puede
afirmar que su longitud se aproxima a 115 mm, ya que la exactitud es una utopía. Pero,
ya que se ha efectuado la medición con una regla milimetrada, si podríamos afirmar que
la longitud del lápiz oscila entre 114 y 116 mm, es decir:
114 mm ≤ l ≤ 116 mm
En la práctica el resultado puede escribirse como: l = 115 mm ± 1 mm.
Introducción al cálculo de errores 3/5
Es decir, se deja un margen de duda de 1 mm por encima y por debajo de esa
cantidad.
Otro ejemplo podría ser la medición de la masa de una cierta cantidad de
sustancia mediante una balanza que aprecie hasta los mg. Si el valor de dicha masa en
la escala es de 1,246 g, se ha de afirmar que esa cantidad de sustancia tiene una masa
de :
m = 1,246 ± 0,001 g
Así pues, cualquier medición se puede expresar como:
V±I
donde V es la cantidad que se mide e I la incertidumbre.
Cantidad
2,307 m
0,0025 cm
10008 km
2,1 g
2,100 g
3,652 m
0,3652 m
0,06 s
C.S
4
2
5
2
4
4
4
1
Incertidumbre
± 0,001 m
± 0,0001 cm
± 1 km
± 0,1 g
± 0,001 g
± 0,001 m
± 0,0001 m
± 0,01 s
Cuando hacemos una única medición se define:
a) Error absoluto (εa): Cota máxima de error de una medida, es decir, a la
máxima diferencia que puede producirse entre el valor verdadero de una magnitud
medida y el valor medido. En el caso de una única medición coincide con la
incertidumbre del aparato de medición. Por ejemplo, si se hace una medición con un
cronómetro que aprecia centésimas de segundo, el error absoluto será:
ε a = I = 0,01 s
b) Error relativo (εr): Es el cociente que resulta de dividir el error absoluto y el
resultado de la medición. Se suele expresar en %. En nuestro ejemplo, si el resultado de
la medición hubiese sido 3,47 s el error relativo sería:
εr =
εa
V
=
0,01
= 0,00288 → 0,003 ⇒ ε r (% ) = 0,3 %
3,47
El error relativo nos da una precisión de la medida, pues ésta no sólo depende
de la aproximación de la medición sino también del valor de la cantidad. Supongamos
dos mediciones: 1ª) La anchura de un folio: 210 ± 1 mm. 2ª) La distancia entre Valencia
y Barcelona: 350 ± 1 km. Los respectivos errores relativos serán:
Introducción al cálculo de errores 4/5
ε a1
ε r1 =
V1
εr2 =
εa2
V2
=
1
= 4,76 ⋅ 10 −3.......... → ε r1 (% ) = 0,5 %
210
=
1
= 2,86 ⋅ 10 −3........... → ε r 2 (% ) = 0,3 %
350
Como vemos, a pesar de que en la segunda medición se comete un error absoluto
de 1 km, esta medición es más precisa que la primera.
Nótese que el error absoluto tiene las mismas dimensiones que la magnitud que
se trata de medir mientras que el error relativo no tiene dimensiones ya que es el
cociente de dos magnitudes idénticas.
3.2. EN UNA SERIE DE MEDICIONES.
Supongamos que tres alumnos quieren medir el tiempo que tarda una esfera en
descender por un plano inclinado. Para ello, cada alumno realiza una medición
llegándose a los siguientes resultados: t1 = 2,25 s, t2 = 2,28 s, t3 = 2,19 s
¿Qué valor tomar como verdadero?. Una buena solución consiste en hallar la
media aritmética de las mediciones, es decir, la suma de todas las mediciones dividida
por el número de ellas.
X =
∑V
i
n
=
V1 + V2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Vn
n
En nuestro caso:
X =
2,25 + 2,28 + 2,19
= 2,24 s
3
Para una serie de mediciones se define:
a) Error absoluto (εa): Valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero
o aceptado como tal (media) y el valor individual de una medida:
ε a = X − Vi
b) Error absoluto medio o error de dispersión (εd): Media de los errores
absolutos individuales:
εd =
∑ε
n
ai
=
ε a1 + ε a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +ε an
Para nuestro ejemplo:
n
Introducción al cálculo de errores 5/5
Valor medido
2,25 s
2,28 s
2,19 s
εd =
Valor medio
2,24 s
2,24 s
2,24 s
Error absoluto
0,01 s
0,04 s
0,05 s
0,01 + 0,04 + 0,05
= 0,033333.... = 0,03 s
3
A la hora de expresar el resultado si la imprecisión del aparato es menor que el
error de dispersión se debe indicar:
X ± εd
En caso contrario:
X±I
donde I es la incertidumbre del instrumento de medida.
En nuestro ejemplo, como el error de dispersión es superior a la incertidumbre
del cronómetro, el resultado será:
2,24 ± 0,03 s
c) Error relativo (εr): Es el cociente que resulta de dividir el error de dispersión
o la incertidumbre del aparato (según el caso) entre el valor medio de los resultados
experimentales. Se suele expresar en %. En Física, se considera aceptable todo error
relativo no superior al 2 %.
En nuestro caso:
εr =
0,03
= 0,01339..... = 0,01 → ε r (% ) = 1 %
2,24