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Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
Este estadístico tiene distribución F con (n1 – 1) y (n2 – 1) grados de libertad.
Recordar que para encontrar los valores de la distribución F, la cola derecha se
encuentra directamente en tabla, y para la cola izquierda es necesario invertir los
grados de libertad y obtener el recíproco del resultado encontrado en la tabla. En
este caso, como los tamaños de muestra son iguales (10 para ambos casos), los
valores de la F se buscan para ambos extremos con 9 grados de libertad8/.
Gráficamente, tenemos:
Si se coloca la mayor varianza muestral en el numerador, y se establece un nivel de
significación de α = 0.05, el valor crítico (derecho) será (ver pié de página número 6):
*
 s12 
 2  = F0.975;( n1 −1);( n2 −1)
 s2 
La evidencia muestral para tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es el
cociente de varianzas muestrales
s12
s22
.
La regla de decisión será:
Si
*
 s12   s12 
 2 ≥ 2 
 s2   s2 
se decidirá rechazar la hipótesis de igualdad de varianzas poblacionales.
En cambio, si:
*
 s12   s12 
 2 < 2 
 s2   s2 
se tomará la decisión de no rechazar la hipótesis nula.
8/
En realidad, la prueba esta planteada como bilateral pero para evitar los cálculos necesarios
para el extremo izquierdo, suele adoptarse el criterio de ubicar en el numerador a la varianza
muestral mayor, de manera que sólo será necesario mirar el extremo derecho de la zona de
rechazo (calculado con
α
2 ).
119
Vamos a probar la igualdad de varianzas poblacionales en el ejemplo.
s22 4.1
F= 2 =
= 1.71
s1 2.4
Este cociente de varianzas muestrales se debe comparar con el valor de la
distribución F graficada, que acumula el 0.975 de probabilidad y con 9 y 9 grados
de libertad.
F9,9,0.975 = 4, 03
El valor de F observado (1.71) es menor que el valor tabulado por lo cual se toma
la decisión de no rechazar la hipótesis nula.
¿Comprende ahora por qué, al colocar siempre la mayor varianza muestral en el
numerador, siempre el F observado quedará hacia el lado derecho de la
distribución, y no será necesario calcular el F crítico del lado izquierdo?
En consecuencia, puede considerarse que los dos grupos de familias provienen de
poblaciones con varianza común σ2.
Una vez comprobada la igualdad de las varianzas para los dos grupos, se calcula
la varianza común s2 que es la estimación de la varianza poblacional σ2 y se pasa
a probar la igualdad de las medias poblacionales.
s2 =
9 x 2.4 + 9 x 4.1
9+9
= 3.25
Calculamos ahora los dos valores críticos (por tratarse de una prueba bilateral,
hay un valor crítico a la izquierda y otro a al derecha):
 1
1 
( x1 − x 2 ) *1 = t 0.025;18 s 2  + 
 n1 n2 
1 
 1
= − 2.101 3.25  +  = − 2.101 x 0.81 = − 1.70
 10 10 
( x 1 − x 2 ) *2 = 2 .1 0 1 x 0 .8 1 = 1 .7 0
La evidencia proporcionada por la muestra es la diferencia de medias muestrales:
( x1 − x2 ) = 25.8 − 21.9 = 3.9
Como:
( x1 − x2 ) > ( x1 − x2 )*2
se toma la decisión de rechazar la hipótesis nula.
Concluimos que el consumo promedio semanal en alimentos es diferente para las
zonas consideradas; de acuerdo a la evidencia, por el signo de la diferencia
observada, el consumo promedio de las familias de la zona 1 es significativamente
superior al consumo promedio de las familias de la zona 2.
120
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También es posible comparar los valores estandarizados, o sea, el valor de t
observado con valores críticos obtenidos de la distribución t de Student.
En este ejemplo, el valor de t observado es:
t=
( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 )
 1
1 
s2  +

 n1 n 2 
3.9 − 0
=
1 
 1
+
3.25 

10
10


=
3.9
= 4.81
0.81
Los valores críticos buscados en la tabla de t son t1* = - 2.101 y t2* = 2.101.
La regla de decisión será:
Si t < t1* o t > t2* se rechaza H0
Si t1* < t < t2* no se rechaza H0
¿Cómo se comprueba el cumplimiento del supuesto de normalidad?
El supuesto de normalidad se refiere a los residuasles (eij), pero es posible realizar
pruebas de normalidad para la variable de respuesta en el estudio. Como el modelo
estadístico expresa: xij = ti + eij
despejando eij:
eij = xij - ti
Si xij se distribuye normalmente, también lo hará la variable eij pues ambas difieren
solamente en una constante.
Una manera de observar si la variable se distribuye normalmente consiste en graficar
el histograma de los datos, o mejor utilizar un normal plot .
Grafico nomal plot de la variable
Valor Normal esperado
consumo semanal de alimentos
30
28
26
24
22
20
18
16
18
20
22
24
26
28
30
Valor observado
Los puntos están prácticamente sobre la línea recta evidenciando que podemos
aceptar que la variable en estudio se distribuye aproximadamente normal. En el
extremo inferior izquierdo del gráfico hay un punto que se diferencia de los demás el
121
cual corresponde a una familia que realiza un gasto en alimentos bastante menor que
las demás familias encuestadas.
Consumo
El gráfico box plot correspondiente es:
30
28
26
24
22
20
18
16
N=
20
Consumo
No se observan alejamientos importantes de la simetría de la distribución de la
variable consumo en alimentos ni se observan valores atípicos.
30
28
26
24
22
20
18
15
16
N=
10
10
Zona 1
Zona 2
Zona
En el gráfico anterior se han representado los consumos de alimentos para cada una
de las zonas por separado. Evidentemente, los gastos en alimentos parecen ser
mayores en la zona 1 en comparación con los de la zona 2. En la zona 2 aparece la
familia que aparentemente consume bastante menos que las demás.
De quedar bien en claro que la aplicación de la informática a la resolución de los
problemas de investigación debe estar acompañada por el conocimiento de los
supuestos que subyacen a la utilización de cada metodología. La responsabilidad del
investigador no solamente se limita a la obtención adecuada de los datos sino también
a la correcta aplicación de programas computacionales y a la cuidadosa interpretación
de los resultados. La computadora solo realiza los cálculos, el investigador es el
responsable de pensar.
122
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En síntesis, para que el problema planteado pueda ser correctamente analizado, seria
necesario tomar las siguientes precauciones:
1) Establecer hipótesis adecuadas al problema.
2) Investigar la presencia de valores atípicos en los datos.
3) Tomar tamaños de muestra acordes con la variabilidad del material experimental
(recordar del Capítulo I que el tamaño de la muestra depende fundamentalmente
de la variabilidad).
4) Analizar el cumplimiento de los supuestos.
5) Elegir la prueba adecuada.
A continuación se presenta una actividad realizada por medio de un programa
de computación.
En el ejemplo de los empleados de la empresa de la Pág. 100, se podría plantear
como hipótesis de trabajo que los varones ganan más que las mujeres. Las
hipótesis planteadas serian:
H0) µ1 - µ2 = 0
H1) µ1 - µ2 ⟩ 0
siendo µ1 = salario promedio de los varones en la población
µ2 = salario promedio de las mujeres en la población
Estadistica descriptiva de la variable salario segun sexo de los empleados
Sexo
Varon
Mujer
Media
932,3750
Varianza
285825,125
Desv. típ.
534,62615
Media
546,1429
Varianza
29330,810
Desv. típ.
171,26240
Salario
Salario
Estadístico
3000
2
2000
1000
15
5
0
N=
8
7
Varon
Mujer
Sexo
123
Error típ.
189,01889
64,73110
La distribución del salario de los varones presenta una simetría con la presencia de
un valor atípico. Las mujeres ganan todas prácticamente lo mismo y se observa la
presencia de una empleada que gana bastante menos que las demás y una que
gana bastante más que el resto.
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene para la
igualdad de varianzas
F
Salario Se han asumido
varianzas iguales
4,606
No se han asumido
varianzas iguales
Sig.
,051
Prueba T para la igualdad de medias
t
Diferencia
Sig. (bilateral) de medias
gl
Error típ. de
la diferencia
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
Superior
1,824
13
,091
386,2321
211,78017
-71,29109 843,75538
1,933
8,600
,087
386,2321
199,79554
-68,96022 841,42450
En primer lugar aparece una prueba de igualdad de las varianzas poblacionales
(prueba de Levene; no es la misma que hemos explicado más arriba, pero su
interpretación es similar). Como el valor de significación p = 0,051 es
prácticamente coincidente con α = 0,05, podemos decir que se rechaza la igualdad
de las varianzas poblacionales. El nivel de significación del test de Levene se
interpreta como todos los que hemos venido estudiando hasta ahora. El salario
de los varones presenta mayor variabilidad que el de las mujeres9/. En general,
los paquetes estadísticos presentan la salida para realizar una prueba de igualdad
de medias considera las situaciones donde se acepta la igualdad de las varianza
poblacionales y cuando se rechaza. En este ejemplo, la situación es la de rechazar
la igualdad de las varianzas poblacionales por lo cual hay que mirar la segunda
línea para interpretar la diferencia de medias y en este caso el valor “p” o valor
de significación correspondiente a la diferencia de medias poblacionales es p =
0.087. Si nos atenemos a que este valor es mayor a 0.05, deberíamos concluir
que no existen diferencias significativas entre los promedios de salarios de
varones y mujeres en la población.
Nuevamente recordamos que la hipótesis nula no se acepta, sino que “no se
rechaza”, lo que indica que en este caso, no hay evidencias significativas para
afirmar que el salario de los varones es mayor que el de las mujeres. Es
interesante ver que, en este ejemplo, los tamaños de muestra son pequeños y en
estos casos, a veces aunque exista la sospecha fundada de que la hipótesis nula
es falsa, la evidencia muestral suele no ser suficiente para rechazarla. Cuando
esto ocurre, si es posible, es conveniente aumentar los tamaños de muestra.
Actividad 18:
Los siguientes datos se refieren a cotizaciones de acciones de un banco. Indique
si el agente de bolsa puede informar que no existe diferencia en los precios de
dicha acción, entre la primera y la segunda quincena. Analice medias y
varianzas, y utilice α = 0,01.
Resumen
n (quincena 1º)
Media
Var(n-1)
E.E.
Mín
Máx
Mediana
Suma
9/
Estadística descriptiva
cotización
15
n (quincena 2º)
134,40
Media
56,65
Var(n-1)
1,94
E.E.
119,17
Mín
148,73
Máx
133,71
Mediana
2016,03
Suma
cotización
9
131,35
80,43
2,99
117,56
143,64
130,98
1182,11
Si bien el no cumplimiento de la igualdad de varianzas puede significar un problema como se
explicó más arriba, el test de igualdad de medias se realiza pero con un estadístico modificadoVer Capítulo I, punto 9.1.2.
124
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Box plot
150,21
cotización
141,72
133,23
124,74
116,26
cotización-1º quinc.
cotización-2º quinc.
Actividad 19:
El Ministerio de Educación desea estudiar el ausentismo de los docentes de
nivel inicial y primario respecto a los docentes de nivel medio. Seleccionado un
conjunto de docentes regulares de diversas escuelas de la provincia obtuvo la
siguiente información:
Descriptives
NIVEL
FALTAS inicial Mean
5% Trimmed Mean
Median
Variance
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Range
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis
medio Mean
5% Trimmed Mean
Median
Variance
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Range
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis
Statistic
8,9600
8,9667
9,0000
7,957
2,8208
3,00
15,00
12,00
4,0000
-,162
,031
8,6400
8,7889
10,0000
14,573
3,8175
,00
14,00
14,00
5,0000
-,407
-,488
Std. Error
,5642
,464
,902
,7635
,464
,902
A continuación se presentan los correspondientes diagramas de tallo y hojas:
125
Stem-and-Leaf Plot
NIVEL = inicial (1)
Stem-and-Leaf Plot
NIVEL = medio (2)
Stem & Leaf
0
0
0
0
1
1
1
.
.
.
.
.
.
.
Stem & Leaf
3
45
67777
88999
00000111
223
5
Each leaf:
0
0
0
0
0
1
1
1
1 case(s)
.
.
.
.
.
.
.
.
0
33
4
6666777
9
00001111
33
444
Each leaf:
1 case(s)
Shapiro-Wilks (modificado)10/
nivel
1
2
Variable
faltas anuales
faltas anuales
n
25
25
Media
8,96
8,64
D.E.
2,82
3,82
W*
0,97
0,92
p (una cola)
0,9065
0,1932
Prueba F para igualdad de varianzas
Variable
faltas anuales
n(1)
25
n(2)
25
Var(1)
7,96
var(2)
14,5
F
0,55
p
0,1453
con un α = 0,10 ¿qué se podría decir del promedio de días de ausentismo si se
comparan ambos niveles?
Actividad 20:
Si bien la nota promedio en el examen de Estadística fue la misma en el turno
mañana y en el turno tarde, ¿se puede decir que ambos turnos presentan la
misma variabilidad en las notas a un α = 0,05? Analice la salida que se
presenta a continuación. ¿Es viable el supuesto de normalidad al 1%? ¿Y al
5%?
Prueba F para igualdad de varianzas
Variable
nota
n(1)
53
n(2)
50
Var(1)
4,62
Var(2)
5,51
F
0,84
p(prueba bilateral)
0,5380
Shapiro-Wilks (modificado)
turno
1
2
Variable
nota
nota
n
53
50
Media
6,38
6,40
D.E.
2,15
2,35
W*
0,93
0,92
p (una cola)
0,0158
0,0142
Actividad 21:
El ingreso medio de 400 empleados de una empresa de telefonía fija es de
$ 1150 con una desviación estándar de $ 110; mientras que el ingreso medio
de 400 empleados de una empresa de telefonía móvil es de $ 1220 con una
desviación de $ 250. ¿En base a estos datos, puede decirse que las empresas
de telefonía móvil pagan mayores sueldos que las de telefonía fija? Utilice un
nivel de significación del 10%.
10/
Este es otro test para probar la normalidad. Si bien no lo explicamos en este texto, su interpre
tación es igual a la de todos las pruebas tal como pueden leerse en las salidas de
computadora: se mira el “valor p” o “significación”, cuando es mayor con un α razonable (0,05
por ejemplo), no se rechaza la hipótesis de normalidad; si es inferior, se rechaza. En este caso
no se rechaza para ninguna de las poblaciones.
126
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4.4.2. Comparación de medias: muestras dependientes
Esta estrategia de investigación surge cuando cada observación para un tratamiento
está “apareada” con una observación para el otro tratamiento. Esta pareja esta
constituida por las mismas unidades experimentales observadas en dos momentos
distintos del tiempo o por dos unidades experimentales con experiencias comunes
(muy similares). Es decir, se tiene dos variables aleatorias, pero no se trata de “dos
muestras independientes” sino que, en general, se trata de una muestra observada en
dos momentos u otra situación comparable. Se habla entonces de “muestras
dependientes”. Los estadísticos anteriores no pueden utilizarse porque el error
estándar (denominador del estadístico) debería ser corregido por las covarianzas, dato
que en general no se dispone. La situación experimental es también diferente.
Por ejemplo, se puede estudiar a un grupo de familias a las cuales se les ha
preguntado acerca del gasto semanal en alimentos antes y después de haber sido
beneficiadas con algún plan social de ayuda.
También en esta situación podemos simbolizar a cada medición con xij, donde el
subíndice i representa al tratamiento (plan social) y el subíndice j a la familia
pertinente.
Cada una de las mediciones representa:
a) el efecto del tratamiento (ti)
b) el efecto propio de la unidad experimental (la familia) que es común a ambos
tratamientos (pj)
c) el efecto de la variabilidad intrínseca de cada unidad experimental (eij)
Expresando matemáticamente esta situación, se tiene:
xij = ti + pj + eij
i = 1,2
j = 1, 2, .., n
La diferencia con el modelo planteado para muestras independientes es la
presencia del termino pj.
Este modelo presenta los mismos supuestos que en el caso de muestras
independientes salvo el referido a la igualdad de varianzas poblacionales porque
ahora se trabajara con una variable a la cual denominaremos diferencia y la
simbolizaremos con dj.
Supongamos que designamos con x1j al consumo semanal en alimentos de la
familia antes de recibir la ayuda social. Luego, cada consumo estará dado por el
siguiente modelo:
x1j = t1 + pj + e1j
x1j = consumo semanal en alimentos de la familia j antes de recibir el plan de
ayuda social
t1 = efecto del tratamiento (ayuda social)
pj = efecto común asociado a la j-esima familia
e1j = error experimental no controlado por el investigador social
El consumo en alimento de una familia después de recibir la ayuda social será:
x2j = t2 + pj + e2j
Introducimos ahora una variable diferencia que simbolizaremos con dj11/.
dj será la diferencia entre el consumo de la j-ésima familia antes y después de
recibir la ayuda social.
11/
Revisar en el Capítulo I, el tema 9.2.
127
En símbolos:
dj = x1j – x2j = (t1 + pj + e1j) – (t2 + pj + e2j) = (t1 – t2) + (e1j – e2j)
Al efectuar, la diferencia, ha desaparecido el termino pj. Esto implica que se ha
eliminado el efecto común asociado a la familia j.
Entonces, cuando se trabaja con muestras dependientes conviene utilizar como
variable la diferencia de las respuestas de las familias antes y después de la
aplicación del plan de ayuda. La diferencia refleja el efecto del plan antes y
después y no se ve influenciada por la situación de la familia antes o después en
relación a la media de su propio grupo.
El termino t1 – t2 es constante para todas las unidades experimentales y el
termino e1j – e2j varia de unidad experimental a otra (es la variable aleatoria que
consideramos).
Podemos calcular el promedio de la variable di como:
n
d=
∑ dj
j =1
n
=
∑ (t1 − t2 )
j =1
n
+
∑ (e1 j − e2 j )
j =1
n
n
n
(t − t )
= n 1 ´2 + (e1 − e2 ) = (t1 − t2 ) + (e1 − e2 )
n
Un ejemplo: Supongamos que una empresa esta implementando un programa
para disminuir la cantidad de horas hombre perdidas mensualmente por
accidentes de trabajo. Las mediciones se hicieron 6 meses antes y 6 meses
después de ponerse en marcha un plan de seguridad industrial.
Este es un caso típico de experimento antes-después pues el mismo periodo (un
mes) en la misma empresa, es medido antes y después de ponerse en marcha el
plan de seguridad industrial.
Tener en cuenta que si el plan tuvo éxito, la media “antes” se espera sea mayor
que la media “después”, esto se refleja en la hipótesis alternativa, con una diferencia “antes” menos “después” positiva); si se rechaza la hipótesis nula, será que
el plan tuvo éxito; si no se puede rechazarla, con esos seis meses no se puede
probar su efectividad.
La hipótesis nula será:
H 0 : µantes ≤ µdespues
µantes − µ despues ≤ 0
o
o, como se planteó en el Capítulo I llamando
cionales en este caso:
∆
a la diferencia de medias pobla-
H 0 )∆ ≤ 0
y la alternativa:
H1 ) µantes > µdespues
o
o
µantes − µdespues > 0
H1 ) ∆ > 0
128
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Calculamos ahora el promedio de la variable diferencia, estadístico que se utilizara
como criterio de test o medida de discrepancia para tomar una decisión en cuanto
a la hipótesis nula.
d = x1 − x2
La esperanza será:
E (d ) = E ( x1 − x2 ) = µ1 − µ 2
por lo cual se puede concluir que
medias poblacionales12/.
d
es un buen estimador de la diferencia de
Luego, si d se distribuye aproximadamente normal, el estadístico:
d − ( µ1 − µ2 )
sd2
n
~ tn −1
se distribuye como una t de Student con n – 1 grados de libertad.
Para finalizar el procedimiento de test de hipótesis nos falta especificar los valores
críticos y las reglas de decisión. Si la hipótesis es bilateral se deben calcular dos
valores críticos utilizando a la distribución t. En este caso es unilateral, por lo
tanto se calcula sólo el valor crítico derecho.
12/
A fin de comprender mejor la ventaja de trabajar con este tipo de muestras cuando las variables están correlacionadas, veremos qué ocurre con la varianza de dj, en término de las
varianzas de las x:
sd2 j = s 2 ( x1 j−x2 j ) = sx21 j + sx22 j − 2 cov( x1 j , x2 j )
= sx21 j + sx22 j − 2r12 s1s2
siendo r12 el coeficiente de correlación lineal que existe entre las mediciones.
Esta varianza no necesita ser calculada de esta forma ya que el estadístico la calcula
directamente a partir de las diferencias.
Una de las ventajas primordiales de los diseños de mediciones repetidas es la reducción
potencial de la varianza debida al error experimental. Para este diseño:
sd2 = s(2x1 − x2 ) =
sd2 s12 s22
ss
= + − 2r12 1 2
n
n n
n
Mientras la correspondiente estimación para el caso de observaciones no correlacionadas
(muestras independientes) sería:
s(2x1 − x2 ) =
s12 s22
+
n n
Si la correlación entre las observaciones es positiva, la estimación del error experimental de un
diseño de comparaciones dependientes donde se emplea
sd2
diseño de observaciones no correlacionadas en el factor
2r12 s1s2 . Si en cambio ocurriera que
será menor que la obtenida de un
esa correlación es nula (situación posible aunque infrecuente), entonces convendría hacer la
prueba como si se tratara de dos muestras independientes. Las salidas de programas de
computación, incluyen siempre para estos casos una prueba de hipótesis que permite inferir si
la correlación existe o no.
129
Gráficamente, tenemos:
los valores críticos (si fuera bilateral) se calculan como:
d1* = −tn −1;α / 2
sd2
n
y
d 2* = tn −1;1−α / 2
sd2
n
la regla de decisión será:
Si
d < d1* o d > d 2*
Si
d1* < d < d 2*
se rechaza
H0
no se rechaza
H0
Como en este ejemplo la prueba es unilateral, sólo se calcula el punto crítico del
lado derecho, con el valor tabulado correspondiente a α .
Siguiendo con el ejemplo de la seguridad industrial para evaluar si disminuyeron
las horas hombre perdidas por mensualmente por accidentes de trabajo.
Para probar la hipótesis planteada más arriba, se deben calcular la media y la
varianza de la variable diferencia en la muestra:
d y sd2 .
Los resultados evaluados durante 6 meses fueron:
Meses
1
2
3
4
5
6
Antes del programa
38
64
42
70
58
30
Después del programa
31
58
43
65
52
29
n
∑ dj
24
d = i =1 = = 4
6
n
130
dj
7
6
-1
5
6
1
24
dj2
49
36
1
25
36
1
148
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n
sd2 =
2
2
∑ d j − nd
j =1
=
n −1
sd2 =
148 − 96
5
= 10.4
sd2 10.4
=
= 1.73
n
6
sd = 1.73 = 1.31
A continuación buscamos el valor de t con n – 1 = 6 – 1 = 5 grados de libertad.
Si se fija α = 0.05, se tiene t5;0.95 = 2,02
El valor crítico será:
d * = 2.02 x1, 31 = 2, 65
Regla de decisión:
Si d > 2, 65
se rechaza
Si d < 2, 65
H0
no se rechaza
H0
Como d = 4 , estamos en la primera situación por lo cual concluimos que el plan
de seguridad industrial ha sido exitoso. El promedio mensual de horas hombre
perdidas por accidentes de trabajo se han reducido después de la implementación
del plan (la media “antes” es mayor que la media “después”).
A continuación repetimos este ejemplo, pero resuelto mediante la salida de un
programa de computación.
Aquí, tal como comentábamos más arriba, primero se calcula el coeficiente de
correlación y se prueba su significación: si ésta no fuera significativa convendría
utilizar el test para muestras independientes. Si bien el tratamiento del test acerca
del coeficiente de correlación se hace en otro capítulo, digamos que si en la salida
de computación se observa el “valor de significación” (p) y si es menor que el α
entonces se concluye la conveniencia de usar esta prueba de muestras apareadas.
Esto es lo que ocurre en este ejemplo, donde Sig = 0,001 (o también llamado
“p”).
Correlaciones de muestras relacionadas
Coeficiente de
correlacion
lineal
n
Par 1
ANTES y DESPUES
6
Sig.
,981
,001
Prueba de muestras relacionadas
Diferencias relacionadas
Media
Par 1
ANTES - DESPUES 4,0000
Error típ.
Desviación típ. de la media
3,22490
1,31656
131
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
,6157
Superior
7,3843
t
3,038
gl
Sig. (bilateral)
5
,029
Las salidas de computación para este tipo de problemas, generalmente proporcionan el “valor de significación” para las dos colas (bilateral); en este caso es 0,029.
Pero como la prueba es unilateral, en la cola derecha queda sólo la mitad de este
valor (0,029/2 = 0,015) que es inferior a 0,05 y por lo tanto se toma la decisión
de rechazar la hipótesis nula, el mismo resultado obtenido trabajando a mano. (Es
interesante observar en este caso, que si α hubiera sido 0 ,01, la hipótesis no se
hubiera rechazado. ¿Qué les sugiere esa aparente contradicción?).
Actividad 22:
En un laboratorio se está probando la acción de una sustancia "H" sobre
determinado tipo de tumor. Para ello se seleccionaron 80 conejos de iguales
características (especie, procedencia, etc.) a los que se había injertado el tumor
y se los dividió en dos grupos, al primero se lo trató con dicha sustancia mientras
que al segundo no, y se computó los días de sobrevida de cada uno.
El informe presentado por el laboratorio contenía dos salidas de un soft estadístico. Explique de qué se trata la información presentada, la herramienta
estadística utilizada en cada caso y seleccione la que resulta adecuada en este
caso concluyendo respecto de la efectividad de la sustancia “H” en el tratamiento
del tipo de tumor que se está estudiando.
Prueba T (muestras apareadas)
Obs(1) Obs(2) N media(dif) DE(dif)
Trat.
No trat. 40
2,80
2,33
LI(99%)
1,80
LS(99%) T
p(2 colas)
3,80 7,59 <0,0001
Prueba T (muestras independientes)
Variable
Ds.de sobrev
Grupo(1)
Trat.
LI(99%)
1,72
LS(99%)
3,88
Grupo(2)
No Trat.
n(1)
40
n(2)
40
p(Var.Hom.)
0,3755
media(1)
28,85
T
6,87
media(2)
26,05
p
<0,0001
Normal Q-Q Plot of DIFERENC
8
6
Expected Normal Value
4
2
0
-2
-2
0
2
4
6
8
10
Observed Value
Actividad 23:
La Escuela de Graduados de la Facultad está invitando a los profesionales a
participar de su oferta académica (Maestrías y Posgrados) aduciendo que el
ingreso individual aumenta luego de realizar algún curso superior. Esta
afirmación se basa en un estudio realizado sobre 15 participantes de sus
cursos a los que se les preguntó sus ingresos mensuales antes y después de
egresar. Con los datos obtenidos.
132
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
a) ¿Está en lo cierto la Escuela de Graduados? Trabaje con α = 0,10
b) En caso afirmativo, ¿cuántos pesos más ganan los profesionales luego de
graduarse, en promedio?
Graduado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
$ antes
900
1260
1750
1100
800
2100
1700
1380
1000
1550
3500
2600
1250
1450
2100
$ después
1300
1500
1750
1100
1100
2100
2000
1500
1600
1800
3500
2600
1500
1450
2500
4.4.3. Comparación de dos proporciones, muestras independientes
Seguimos en la situación de investigación en que se seleccionan dos muestras de dos
poblaciones pero ahora la variable en consideración es dicotómica (éxito o fracaso),
el interés se centra en la comparación de la proporción de éxitos entre ambas
poblaciones.
Supongamos que se ha efectuado una encuesta a 1469 jefes de hogar de una
cierta comunidad, una de las preguntas estaba referida al sexo y otra a si eran
beneficiarios o no de un plan jefes y jefas de hogar.
Los resultados se encuentran volcados en la siguiente tabla:
Sexo
Beneficiarios plan
No beneficiarios plan
Total
Varones
117
950
1067
Mujeres
54
348
402
Total
171
1298
1469
La hipótesis de trabajo es que la asignación de planes a los jefes no es igual para
hogares con jefes varones o mujeres.
Las hipótesis planteadas son:
H0) P1 = P2
o
P1 - P2 = 0
H1) P1 ≠ P2
o
P1 - P2 ≠ 0
P1 = proporción de jefes de hogar mujeres beneficiarias del plan
P2 = proporción de jefes de hogar varones beneficiarios del plan
El parámetro establecido en las hipótesis es una diferencia de proporciones
poblacionales y, por lo tanto, lo lógico seria pensar que su mejor estimador
puntual será la diferencia de proporciones muestrales:
¿Cuál es la distribución de este estimador?
133
pˆ1 − pˆ 2 .
(Sugerimos revisar la cuestión en el Capítulo I , punto 9.3.).
Ya se ha visto que si los tamaños muestrales son suficientemente grandes (nP y
nQ > 5 para ambas poblaciones en este caso), se tiene:

PQ P Q
pˆ1 − pˆ 2 ~ N  ( P1 − P2 ); 1 1 + 2 2
n1
n2

En el Capítulo I, al desconocer los valores de
P1
y
P2



se utilizaron en el estadístico
sus estimadores. Pero ahora, aunque éstos siguen siendo valores desconocidos, la
hipótesis nula establece su igualdad13/.
El estadístico que sería:
( p1 − p2 ) − ( P1 − P2 )
~ N (0,1)
PQ
P2Q2
1 1
+
n1
n2
Se modifica ya que al suponer que P1 – P2 = 0, la estimación de esa proporción
“común’ a ambas poblaciones puede hacerse combinando ambas muestras (éste
estimador se conoce como p amalgamado):
p=
n1 pˆ1 + n2 pˆ 2
n1 + n2
Los puntos críticos serán los correspondientes a la distribución normal estandarizada, y la regla de decisión:
Si z < -z*
o
si z > z*
se rechaza H0
Si –z* < z < z*
no se rechaza H0
Calcularemos ahora el estadístico con los datos del ejemplo:
pˆ 1 =
pˆ 2 =
p=
54
= 0.1343
402
117
402x0.13 +1067x0.11
402 +1067
z=
(0.13 - 0.11)
0.115x0.885
402
+
=
0.115x0.885
=
169.63
= 0.115
1469
0.02
0.00025 + 0.00009
=
0.02
= 1.05
0.019
1067
Si fijamos α = 0.05, los valores de
13/
= 0.1097
1067
z * son ± 1.96.
Recordar que siempre en las pruebas de hipótesis el estadístico se construye “suponiendo que
la hipótesis nula es verdadera”.
134
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
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