La Distribución Normal - UniversidadFinanciera.mx

La Distribución Normal
Al j d V
Alejandro
Vera T
Trejo
j
L Distribución
La
Di t ib ió Normal
N
l
I t d
Introducción
ió
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas
es la utilización de la curva normal p
para describir
situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos
permite tomar decisiones que vayan a la par con las
metas y objetivos de la organización.
organización
En este módulo se describe la Distribución normal. Se
utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la
determinación de probabilidades y sus aplicaciones.
Obj ti
Objetivo
ƒ Identificar las propiedades
de una distribución normal.
ƒ Encontrar el área bajo una
distribución normal estándar.
ƒ Interpretar áreas bajo la
curva normal de acuerdo a
diferentes problemas y su
aplicación
al
medio
financiero.
¿Cuál
C ál es su Utilid
Utilidad?
d?
Š Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables
asociadas a fenómenos naturales que siguen el
modelo de la normal.
normal
Š Caracteres morfológicos de individuos (personas,
animales,
i l
plantas,...)
l t
) de
d una especie,
i por ejemplo:
j
l
tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...
Š C
Caracteres fisiológicos,
f
por ejemplo: efecto
f
de una
misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad
de abono
¿Cuál
C ál es su Utilid
Utilidad?
d?
Š Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de
cierto p
producto p
por un mismo g
grupo
p de individuos,,
puntuaciones de examen.
Š Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio,...
Š Comportamiento de los precios en el medio financiero,
por ejemplo: los precios de las acciones, el tipo de
cambio, la cotización de los metales.
¿Cuál
C ál es lla función
f
ió F(x)?
F( )?
¿Cuál
C ál es lla función
f
ió F(x)?
F( )?
En la siguiente gráfica vemos la representación
gráfica de la función de Z.
¿Cuáles
C ál son sus P
Propiedades?
i d d ?
Š Es simétrica respecto a su Media.
Š La moda y la mediana son ambas iguales a la media.
media
Š Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y
x = µ + σ.
Š En el intervalo [µ - σ, µ + σ] se encuentra comprendida,
aproximadamente,
p
, el 68,26%
,
de la distribución.
Š En el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] se encuentra,
aproximadamente, el 95,44% de la distribución.
Š Por
P su parte,
t en ell intervalo
i t
l [µ
[ -3σ,
3 µ + 3σ]
3 ] se encuentra
t
comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la
distribución.
¿Cuáles
C ál son sus P
Propiedades?
i d d ?
¿Qué es la
estándar (σ )?
desviación
Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar
Q é es lla media
di µ?
?
¿Qué
Compruebe el cambio de la distribución variando la media
Ej
Ejemplo
l
En el siguiente histograma podemos observar la
distribución de frecuencias por peso de acuerdo a la
edad.
d d De
D acuerdo
d a este
t teorema
t
según
ú aumenten
t
l
la
cantidad de dato se podrá trazar una curva que tome
cada vez más formación en forma campana.
p
¿Cómo determinar el área
bajo la curva normal?
Š Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.
interés
Š Paso 2 - Determinar el valor Z
por medio de
Š Paso 3 - Encontrar el valor de Z en excel p
la función DISTR.NORM.ESTAND
Š Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para
encontrar la probabilidad deseada
Ej
Ejemplos
l y ejercicios
j
i i
Supóngase que se sabe que el peso de los/as
estudiantes universitarios/as sigue
g
una distribución
aproximadamente normal, con una media de 140 libras y
una desviación estándar de 20 libras.
Determinar la probabilidad de que una persona tenga un
peso menor o igual a 150 libras
Ejemplo 1
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a
a=150
150 libras,
libras por lo tanto el área de la
curva de la curva requerida es:
Ejemplo 1
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
=
150 − 140
= 0.50
20
Paso 3 - Encontrar en excel el valor Z=0.50 con la
función DISTR.NORM.ESTAND de aquí resulta que el
área de 0.6915
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas (de ser
necesario) para encontrar la probabilidad deseada. Y la
probabilidad
b bilid d de
d que una persona pese 150 lbs.
lb o
menos es de 0.6915
Ejemplo 2
Se desea obtener la probabilidad de que una persona
elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a=150 libras,
libras por lo tanto el área de la
curva buscada es:
Ejemplo 2
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
150 − 140
=
= 0.50
20
Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=0.50 con la
función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.6915
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar
la probabilidad deseada.
El área de 0.6915 no representa el área requerida sino
la contraria. En este caso se debe restar 1 a la
probabilidad encontrada.
p
1 - .6915 = 0.3085
Ejemplo 3
Determinar la probabilidad de que una persona, elegida
al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a=115 libras,
libras por lo tato el área
buscada es:
Ejemplo 3
Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =
X −µ
σ
115 − 140
=
= −1.25
20
Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=-1.25 con la
función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.1056.
En este caso la probabilidad de que una persona pese
115 lbs. o menos es de 0.1056
Ejemplo 4
Determinar la probabilidad de que una persona, elegida
al azar, tenga un peso entre
115 y 150 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece q
que a=115 libras y b=150 libras,, p
por lo tanto
el área de la curva buscada es:
Ejemplo 4
Paso 2 - Determinar los valores de Z
Cuando X=115
Z=
Cuando X=150
Z=
X −µ
σ
X −µ
σ
=
115 − 140
= −1.25
20
=
150 − 140
= 0.50
20
Paso 3 - Se encuentran los valores de Z=-1.25 y Z = 0.50,
de donde las probabilidades resultan de: 0.1056 y 0.6915
respectivamente.
Paso 4 - Al área de 0.1056 se le resta la de 0.6915 y el
resultado es = 0.5858
Ejemplo 5
Determinar la probabilidad de que una persona elegida al
azar, tenga un peso entre
150 y 160 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece q
que a=150 libras y b= 160 libras,, p
por tanto el
área de la curva buscada es:
Ejemplo 5
Paso 2 - Determinar el valor Z
Z=
X −µ
σ
=
160 − 140
= 1 .0
20
Paso 3 - Se encuentran los valores de Z
Š Cuando Z = 0.50 el área es de 0.6915
Š Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413
Paso 4 - Al área de 0.8413 se el resta la de 0.6915 y el
resultado es = 0.1499
Ejemplo 6
Determinar la probabilidad de elegir a una persona que
pese entre 115 y 130 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Se establece que a
a=115
115 libras y b
b= 130 libras,
libras el área de
la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 6
Paso 2 - Determinar el valor Z
para X=130
X 130
Z=
X −µ
σ
=
130 − 140
= −0.50
20
Paso 3 - Encontrar el valor de Z=-0.50 el área es de
0.3085
Paso 4 - Haciendo la resta correspondiente la
probabilidad buscada resulta de 0.3085 - 0.1056=0.2029
Bibli
Bibliografía
fí
9Estadísticas para administración y economía, by David
R. Anderson and Dennis J. Sweeney (Paperback - Jan. 2,
2008)
9Statistics
Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold,
William Carlson, and Betty Thorne (Hardcover - Mar. 23,
2009)
9Elementary Statistics: A Step By Step Approach by Allan
G. Bluman (Hardcover - Oct. 27, 2008)
La Distribución Normal
Al j d V
Alejandro
Vera T
Trejo
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