PDF (Capítulo V)

-89­
tud debe ser tal que entre estaciones no resulte un
cambio de pendiente mayor de 0,2 %;
,,
7°.-Las curvas verticales deb en ponerse en el
perfil para chaflanar con las cotas que ellas den. .
-'
"
.CAP I T U LO
L 0 C AL I Z
59
A C ION
Ejemplo (le' instrucciones dadas para el'trazado
definitivo de un ferrocarril de montana
'
1 .-La·localizaci6n debe hace~se con la mayor
precisi?n posible, con el objeto de que el trazado pa­
ra enrIelar se aproxime al de construcci6n. Sobre
todo, la medida dedistancia debe hacerse con cin­
ta metalica
y plomada, de 10 en 10 metros.
Q
, " ,2 .-Deben trazarse las espirales de empalme
entre recta y la curva para que la construcci6n se
haga por elIas;
,
3 .-Se deben ponerespira.,les para cm'vas de 49
y mayores;
'4 .-La longitud de la espiral debe ser de 200
a 400 veees el peralte;,
'"
5 .-El peralte se computara a raz6n de 1 em.
por cada grado.
-. .
9
Q
'
Perfil'
SQ.-La compensaci6n debe ser de 0,05 como
maximo pOI' cada grado de curvaturat bajandole un
poco en el caso de grado iinpar y de 5 grados en a~
delante, y subiendola un poco para curvas de 1, 3 y
5 grados, a fin de evitar fracciones menores de 0,10
y no perder altura;
9 .-El perfil definitivo debe proyectarse sobre
el perfil compensado, en secciones de pendiente u­
niforme no menores de 200 metros, a fin de . evitar
pendientes en escala atramos eortos y de dificil sos­
tenimiento;
10Q.-La pendiente en los tun~les no debe ser
mayor de % de la pendiente maximacompensada;
1P.-Para el arranque de b'enes a la salida de
las estaciones, debe dejarse entre el tramo a nivel y
la pendiente maxima compensada, un trayecto' no
menor de 200 metros con pendienteque no pase de
1,7% eompensado.
'
Q
.
9
Fajas
Q
Curvas verticales
,
69.-Deben ponerse curvas verticales para di-,
ferencias de pendiente de 0;2% y mayores. Su longi­
12Q.-'Una vez chaflanada la linea, se puede levah­
tar el plano de las fajas. Los linderos de las fajas
deben fijarse pOl' media de una linea poligonal con
l'ectas' no ,menores de 30 metros de 10ngitud y apar­
tadas pOI' 10 menos 5 metros de los chaflanes mas a- '
1ejados del eje, a fin de evitar los angulos rimy agu- ,
dos..
12
I
tud dehe sel' tal que entre estaciones no resulte un
cambio de pendiente mayor de 0,2%;
7Q.-Las CUl'Vas verticales deben ponerse ,en el
perfil para chaflanar con las cotas que elIas den .
...:.
'
Perfil '
SQ.-La compensaci6n debe ser de 0,05 como
maximo por cada grado decurvatura: bajandole un
poco en el caso de gr'ado 'impar y de 5grados en a~
delante, y suhiep.dola un poco para curvas de 1, 3 y
5 grados, a fin de evitar fracciones menores de 0,10
y no perder altura;
9 .-El perfil definitivo, debe proyectarse sohre
el perfil compensado, en secciones de pendiente u­
niforme no menores de 200 metros, a fin de ' evitar
pendientes en esc ala a tramos cortos y de dificH sos­
tenimiento; ,
10Q.-'La pendiente en los tun~les no ,dehe ser
mayor de % de la pendiente maxima ,compensada ;
IP.-Para el arranque de trenes a la salida de
las estaciones, ,debe dejarse entre el tramo a nivel y
la pendiente maxima compensada, un trayecto' no ,
menor de 200 metros con pendiente que no pase de
1,7% compensado.
'
Q
Fajas
12Q.-'',Una vez chaflanada la linea, s~ pUE:!de levan­
tal' el plano de las fajas. Los linderos de las fajas
deben fijarse pOl' medio de una linea poligonal con
rectas no ,menores de 30 metros ,de longitud y apar­
tadas por 10 menos 5 metros de los chaflanes mas a­
lejados del eje, a fin de evitar los angulos rilUyagu- , '
do& '
'
,! ,
12
•
-90-­
===
" ,PIanos
, r
Q
13 .-Todo plano, ~unque sea en' borradbc, de­
be llevar la feeha, la eseala, la linea norte, la firma
del ingeniero y el r6tulo ae 10 que representa;,
,
. 14Q.-Las esc alas de los pIanos y perfiles de tra­
bajo deben; ser .las siguientes:
Plano.~ .............. 1 em. = 10mts.
Perfil horizontal.. .. .. .'. 1 cm. = 20 mts.
Perfil vertical. . . . . . . . . . ,1 cm. = 2 mts.
Banca ytalud
15 Ancho de la banca en cortes, 4.90 mts.
Ancho de labanca en terraplenes, 4.50 mts.
'Ta1ud para tierra % a 1: 1, segun 1a tierra..
Ta1ud en l'oea :1A..
El'ing£miel'o jefe de 1a eonstl'ueei6n podl'a ha­
eel' en' los taludes las variaciones que juzgue con-,
venientes de aeuerdo con la natul'aleza de las tie..;
'rl'as;
,
,
, 169. - 'Una vez terminado el trazado, se deben
saear los puntos, es deeir, poneI' puntos de referen-'
cia de 1a banca y colo carlos de manel'a que los tra­
bajos de construeei6n no los toquen ni los cubran.
Los Pl1ntos que se deben saear son: los dos ex­
tremos de todas las, reetas y uno 0 vflrios puntos in­
termedios de las eurvas, cuando estas sean'las mas
largas, y de las l~ectas cuando estas sean las mayo­
res. " Q
" 17 .-Debe, evitarse, hasta, donde sea posible,
que el T. P; y e1 P. C. de, las 'curvas queden a una
distancia, menor de 20 mts. de los extremos de los
puentes;
, ,"
~
. 18 .-Pendiente maxima compensada1 3%,
Q
,.-'
Q
o
J
r
I
.
i
Radio minimo de curva, 80 mts. Tangente minima entr'e curvas rever'sas, 40 mts. Tangente minima entre curvas del mismo sen­
tido, 80 mts.
'
. En caso de no poder poner esta tangente entre
curvas del mismo sentido, es preferible usar una 'cur­
vacoinpuesta;
199.-Al hacer el trazo definitivo se debe evi­
tar, hasta donde sea' economica,mente posible, 'los
cortes altos y los grandes terraplenes, los cuales pue­
den ser reemplazados pOl' tuneles y viaductos respec­
tivamente, a fin de obtener la linea mas estable.
Los tuneles en curva, ademas de ser' una cons­
truccion mas dificil, son mas costosos por el mayor
ancho que hay que darles; por, consiguiente, si las
condiciones' del terreno' 10 permiten, hay que pro­
curar queestos sean en recta. Lo mismo puede de­
'.
cirse para los viaductos;
20Q.-En los viaductos no debe hacerse reduc­
cion ninguna en'la pendiente.Q
, Nota.-.En la curva de 3 se compensa 0,2ro 0
sea, se pone 2,8 %.
En la curva de 9Qse compensa 0.40% 0 sea, se
pone 2,6%.
Curvas
En el proyecto del capitulo anterior, habia ali­
neamientos en recta y curvas.
.
En ferrocarriles se usan tres clases de curvas:
las' curvas circulares simples, las curvas circulares
compuestas, de uno 0 mas radios, y las: espirales.
.La curva circular simple es una parte de una
circunferencia con un radio determinado.,La mayor
o menor curvatura depende del menor 0 mayor ra­
I
/
.
T
dio; as!, a mayor radio corresponde menor curva­
tura.
EI grade de una curva es el angulo subtendido
pOI' una cuerda de 20 metros en una circunferencia
que tenga por radio el radio dado (vease la fig. 7) .
.De la fig. 8 Y de la definicion anterior se tiene:, .
2~ =Rx: sen
1/2
G :. R
En las tablas adjuntas: c.onociend? el,;. grado, se
obtiene el radio y el logaritmq del radIo.
.
. De la fig. 8 tambien se obtiene que AO, 0 sea la
.
.
tangente, es: AO=T=R. tan. %A
f' ,
'Ahora, la longitud de la c~rva se obtiEme as!: Sia GeOl'responde una cuerda de,20 metros, ,a ,6. . . corresponde ,:una longitud L; qe donde: L
20,6.
f6rmula que 'es, aproximada si se to~a como longi­
tud de ·la cm'va la del areo; pero es exacta si se to­
ma como 10ngitu<I la que en realidad se pone en el terreno, yes: la suma de una serie de cuerdas que forman un poligono inscrito a la curva.
"'. Fu~ra de las f6rmulas anteriores,' a veces son
necesarias, para lqcalizar, las dos f6rmulas siguien.,;
, tes: la cuerda larga: C=2R. sen lh',6. Y la secante
externa: E=T. tan %,6.
Localizaci6n en el' terreno '
, EI metodo generah~ente, usado es el siguiente: . Se lleva el plano allugar dOIfde se va a ejecutarel trabajo y,de else sacan todos los datos necesarios para localizar, el proyecto con respecto a la prelimi':' , nar. Cuandose emplee este procedimiento, no hay necesidad de dibujar la 10calizaci6n. . El proyecto que se muestra en el plano se loca­
liz6 de la manera siguiente (para mayorclaridad supongamosque la fig. 9 represertta la primera . parte del proyecto) : se fij6 la posici6n del punta A, que, como se ve en el plano, corl;esponde al punta de intersecci6n· de la preliminar con el· proyecto y queda en Ia .estaci6n 66099 de la preliminar, que co­
. rresponde·a la estaci6n 66136,79 del proyecto loca­
lizado. La posici6n de A se fij6 en el terreno midien­
do un metro hacia atras de la estaci6n 66100 de la'
preliminar, que estaba marcado en el terreno, y cla­
vando una estaca. Luego se midi6enelplano la Ol'~
,
\
T
J
denada BM a la preliminar, en la estaci6n 66174 y
en el terreno se levant6 una orden ada a la prelimi­
nar en la estaci6n 66174, igual a la medida en, el
plano (3,80 mts.)
.
,
De esta ~anera qued6 fijada la posici6n de la
tangente AM, con respecto a la preliminar.
La posici6n de CN se fij6 de una manera seme- '
jante. Se fij6 la posici6n del punta C, punta de interseccion de la preliminar con el proyecto; como ,
se ve en el plano, el punta C corresponde a la esta­
cion 66229 de la preliminar. La posicion del pun­
to C se fij6 en el terreno, midiendo un metro hacia '
atras de la estacion 66230 de la prelimiriar y cla­
vando una estaca en este punto.
..
Luego se midi6 en el plano la ordenada RN a
la preliminar en la estaci6n 66270 y en el terreno se
hizo 10 mismo. De esta manera se fij6 la posici6n de
la tangente CN con respecto a la preliminar.
Una vez hallada la posicion de estas ,aos tan­
. gentes, 'se hallo el pUl)to de interseccion, es decir,
el P. I. . .
I
Este punta se halla de la manera siguiente:
(vease la fig. 9): se centra el aparato en el punta
M, se toma la linea al punta A, se transita y en la di­
recci6n de lavisual, se ponen dos estacas, DyE,
/ de tal manera que la prolongaci6n de la tangente
CN, intercepte la Unea DE; luego se pasa el aparato
a C, se toma lfnea en N, se transita y los cadeneros
tienden un hilo entre DyE sobre el cual se hace mo­
ver una plomada y en el punta donde la visual, in­
tercepte el hilo de la plomada'se clava ,una estaca
",
.
que corresponde al P. I. '
Una vez hallado el P. I., se mide el angulo en­
tre las dos tangentes, es decir, el angulo que hacc .
la prolongacion de la tangente MA con la tangente
CN; este Angulo se llama Angulo de deflecci6n y se
o
I
r
I
I
representa con la letra .6. . Para medir este angulo
se centra el,aparato en el P. I., se pone' el -vernier
horizontal ericeros y con el anteojo transitado se to~
rna linea en M (Vease la fig. 9), se ajusta el mo­
vimiento·inferior,se transita, se afloja el movimien­
to superior, se toma linea en C y se hace la lectura
del angulo; en este caso.6. ,43°30' Izq.Es bueno
,repetir la lectura del angulo siquiera, dos veces.
Una vez hallado el angulo.6. ,se calcula el
valor de la tangente por la formula siguiente:
T=R. tan lh .6.
'
Fig. 9 Siendo :T=valor de la tangente.
"
, R=radio de, la curva, el cual se saca de las ta­
bIas conqciendo el grado de la curva.
'.6.= angulo entre las dos tangentes.
Para este caso: .6. =43 9 30'.
, G=D=12Q~grado de la curva.
,
R=95,668 mts. (de las tablas).
'
Por 10 tanto, T=95,668 tanlh (43°,:,30') =38,17 mts.
I"
•
Luego, aesde el P. I,y sobre cada una de, las
tangentes, se mide el valor de T=38,17 mts., que­
dando asi fija la posicion del P. C. y P., T. de la
curva. Despues, se estaca la tangente de 10 en 10
mts. desde A hasta el P. C. Se acostumbra marcar
Iae esta(!iones con una estaca que se coloca aun lado
"
del eje y que tiene una cara labrada en donde se
mat'ca el numero de'la estacion. TambUin, al lado
del P. C., se clava una estaca en donde se marca el
numero de la estacion, que en este caso es 66193,37, ,
y se marca asi:
. P. C. 66193,37
Luego se calcula el desarrollo de la curva porIa
• formula: '
"
20.[:,
L=a-
Siendo: L=desarrollo de la curva en metros.
'6.=angulo .al centro de la ,curva=an­
, gulo entre las tangentes; se toma en
grados y decimales de grado.
G=gradodela curva; se toma tam­
blen' en grados y decimale~ de grado.
Para este caso: A =43 -30'=43,59
G =12
luego
,
L=~= 7250m
12
"
"
Q
Si a la abscisa I:> estacion del P. C. se Ie surna el
desarrollo de la curva se obtiene la abscisa del P.T.
As!, en estecaso~ la abscisa del P.. T. es igual a,
66193,37+72,50 ' 66265,84. (Vease la fig. 10).
Localizacion de la curva.-EI metoda 'general­
mente usado es el de las deflecciones, poniepdo es­
tacas de 10 en 10 metros.
'
RegIa pradica.-La defleccion para un metro .
es igual al grado, mas la mitad del grado tomando el
total en minutos. Esta regIa se aplica solo para las
curvas:metricas. '
Demostraci6n.-Llamando G=angulo al centrol
que subtiende unacuerda. de 20 metros.
.'. G/2=defleccion .para una cuerda' de 20 mts.
deflecci6n 'para .una 'cuerda de 1 m· "
Por consiguiente d= 2JO(en grados):
=%G
{en minutos).·'
"
.
Es decir, que la: deflecci6n por metro es igual
al grado mas la mitad del grado, tomando el total
en minutos.
' .,
.
Asf, para una curvade 12Q la deflecci6n para un
metro sera 12+6=18, y para 20 metros sera:
. 18X20 . 360'=6 %G
Q
'
.i'..... ,
I . ... ... ,
,
'I
............
............ I
I
I'
'/
I
I
~/ .6.:: 4 ':>!"O'
·cI
'
.
_-d..------­
FI
P
_'-:'-:..-~'~'7=---'
66,19::>(..
.
"
,
. Fig, 10
La fig. 10 representa la curva que vamos a' 10­
calizar. Lo ,primero que ,se hace es calcular las de- "
flecciones ,para estaciones de 10 en 10 metros..
.Asi, en este caso se calculan las deflecciones
para las estaciones 66200,.66210-66220-66230-66240­
'.66250-260 Y 265, 87. Sean d1, d2, d 3, etc. las deflec­
ciones correspondientes' a cada una de las' estacio­
nes anteriores,
i
T
;
":"'98­
Como ~ la curva es de 12· grad os, la deflecci6n
por metro es 18 minutos y para 10 mts.=3 9
,
Luego: Para Ia estaci6n 66200
Para
estaci6n
210
Para Ia· estaci6n
220
Para'Ia estaci6n
230
la
d l =6,63 XI8
= )0·59'
d'1= 1°.59' +lOX18= 40.59'
d~= 4 0 .59'+10,>(18= 7°~59'
£1.=7.°.59'+lOXJ8 --IO°.S9'
Para Ia estaci6n
240 d5=J00.59'+JOXI8=1~0.59'
Para Id estaci6n
250 0 0 =13°.59'+3
.=16°.59'
Para Ia estaci6n
260. d7=16°~59' +3
=19°.59'
y para Ia estaci6n 66265,87
. dR-=19°.59'+5,87xI8=2P.45,=1!2.6.
Estas .deflecciones se apuntan en la cartera de'
transito de! la manera indicada mas adelante.
Para deflectar la curva se procede de la mane­
ra sig-uiente: Se centra el aparato en el P. C., se po­
ne el vernier horizontal en ceros, se tom a linea at
. P. 1. 0 a cualquier punto de la tang-ente, se f4ja el mo­
. vimiento inferior del aparato, se sue Ita el movimien:.
t.() superior y se pone el vernier horizontal leyendo
dl =19-59'. ly los cadeneros mid en en la direcci6n
de la visual, 6,63 metros, que es 10 que falta para po- .
ner una e~taci6n completa (la estaci6n 66200), y
clava una estaca en el punto; una vez clavada la es­
UlCa, se hace de nuevo la medida con la ayuda de la
plomada marcando dicha medida sobre la estaca.
'
Esto se hace con las demas estacas.
. Luego se pone el vernier horizontal leyendo
4\>-59 y el <;adenero de atras sujeta la cinta en cera,
en el punta marcado en la estaca anterior, y el de
adelante tom a la cinta en una mana, marcando 10
metros, y en la otra un ja16n; manteniendo horizon­
tal Ja cinta' y vertical el ja16n, se mueve hasta lograr
. que la visual intercepte el ja16n; cuando haya Iogra­
do esto, deja caer el ja16n y con una estaca se marca
0,
,
el punto. Este punto corl'esponde ala estaci6n 66210.
. Par~ localizar la estaci6n 66220. se pone el ver­
mer hOrIzontal leyendo 7 -59', el cadenero de atnis
no se mueve y sujetala cinta en cero" sobre la esta­
ea de la estaci6n 66200; el cadenero de adelante la
eoge en 20 metros y se mueve hasta interceptar la
visual; en el punta donde esto suceda se clava una
estaca que estara sobrela curva y que corresponde a
la estaci6n 66220.
"
Para ·localizar la estaci6n 230, se pone el ver­
nier horizontal leyendo 10Q-59'; el cadenero de a­
tras se pasa a la estaci6n 220 y sujeta la cinta en ce­
ro sobre la estaca; entonces el de adelante la toma
en .10 metros y se mueve hasta terminar la visual.
De esta manera se continua para las demas es­
taciones, teniendo siempre en cuenta que la medida
debe hacerse por cuerdas de 20 metros"y no .por
cuerdas de 10 metros. Esto, porque el calculo del
desarrollo de la curva se hizo en funci6n de cuer­
das de 20 metros.
, Para poner el P. T., se pone el vernier horizon­
talleyendo 112 ~ =2P-45', y si el trabajo esta bien
hecho la visual debe coincidir con la estaca del P. T.
puesta anteriormente; la abscisa con que se llegue
en la localizaci6n al P. T. debe ser igual ala calcula­
da anteriormente, esto es, 66265,87.
. Las diferencias en angulo y distancia se lla­
man error de cierre y son admisiblesdiferencias de
0.03 y 0.05, respectivamente, en buen terreno, y 0.05
Y0.10 en terreno ·dificil.
.
Cuando desde el P.. T. no son visibles todas las
estaciones se pasael aparato a la ultima estaci6n que
se haya puesto, se pone el vernier horizontal en ce:­
ro y con el anteojo transitado se tom a lfnea al P. C.;
luego se transita y se mide, en el sentido de la cur­
va deflectada, las deflecciones calculadas a~tes. Es
Q
I
.
•
conveniente rectificar en un2 esta ea de las puestas
anteriormente.
'
, Cuando no son visibles desde ese nuevo punta
donde esta el aparato, todas las estaciones que si~
guen, se pasa el aparato a la ultima estaci6n que se
haya puesto, se pone el vernier horizontal levendo
la deflecci6n correspondiente al punta en donde es­
taba el aparato y con el anteojo transitado se tom a
linea en ese punto, se transita. y se hace girar el
transito en el sentido en que Ia cm'va se deflecta, un
numero de angulos correspondiente a las defleccio­
nes caiculadas antes.
Asi, por ejempIo: Si se tiene el aparato en Ia es­
taci6n 210 y s610 se aicanza a localizar hasta la es­
taci6n 230, entonces, para seguir adelante,' se pasa
el aparato a la estaCi6n 230, se pone el vernier hori­
zontal leyendo la deflecci6n correspondiente a la
estaci6n 210, es decir, 4Q-59', se mira con el anteojo .
transitado a la estaci6n 210, se fija el movitniento
inferior, se transit a y queda eT aparato listo para se­
guir la 10calizaci6n de la cutva, con las deflecciones
caJculadas antes.
. Cuando el terreno es inclinado y no se puede
hacer la:medida extendiendo de una sola vez los 20
metros de la lienza, e1 cadenero de ade1ante pi de Ii­
, nea extendiendo la lienza una distancia mayor de
. los 20 metros; porque la distancia horizontal; que
es como debe quedar la medida, y Ia inclinada, no
son iguales y' si no se opera asi no quedaria donde
debe ser el punta de intersecci6n de 1a cuerda y el
angulo, quees el verdadero punta de la curva, El
mayor valor que debe ~gregarle el cadenero a los
20 metros depende del terreno; si es muy inclinado,
es mas, y si poco, es menos~ Estc detalle es indispen­
sable tenerlo en cuenta para la buena medida de
la' curva.
r
Una vez terminada la Iocaliza:cion de la curva,
se pasa el aparato al P. T. y se pone en tangente. Pa­
ra esto se toma la linea de atras, con el anteojo tran­
sitado, en er punta de donde se arranco el aparato,
con el vernier leyendo la defleccion correspondien-:
te a este punto, se transita y se mueve el vernier bo­
. rizontal. hasta leer 112.6. Y asi queda el aparato ell
tangencia, listo para seguir la loca;lizacion de la tan­
gente. En este punta d~be comprobarse con la bru­
.
jula el rumbo calculado que" se trae.
Es .conveniente no trazar tdda la curva desde
el P. C., aun cuando se pueda hacer; el mejor pro.,.
cedimiento es tl'azar la mitad desde el P. C. y la
otra mitad del P. T. Para trazar desde el P. T. se
centra alli el aparato y antes demirar en· el senti-·
do de la tangente se pone en el vernier un angulo
igual.a 112 .6. en sentido contrari9 a aquel en el cual
se esta deflectando la curva. En el 'ejemplo que te':'
nemos seria 21Q-45'; despues se v.an poniendo las de­
flecciones .asi: para la 240, 13 -59; para la 250,
16 -59' y para la 260, 19 59'. (Vease erejemplo).
Q
Q
Q
LOCALIZACION DE LA CURVAPOR ORDENA­
DAS SOBRE LA TANGENTE
Cu~ndo la curva comienza en una estacion: Su­
pongamos"que A, .(fig. 11) sea el P. C. en una esta­
. cion. La proxima estacion a se localiza porIa 01'­
denada t calculada porIa ecuaci6n.
t=R. vers G.
Para calcular las distancias y las ordenadas pa­
ra las siguientes estaciones b, c,etc., en el diagrama
setrazan line'as a traves de los puntos b, c, etc.,. pa­
ralelas a la tangente AV, intersectando el radio AO,
en g'; g", etc, y trazando las lineas bx', cx", etc., per­
pendicularcs a 1a tangente, se tiene:.
Ax' g'b=Ob sen bOA
Ax'=R. sen. 2G
Ax"=R. sen 3 G
Tambit~n': bx' g'A=Ob vers. bOA t' R. vel's. 2G t" R. vel'S. 3G etc. · Fig. 11
Pero estos ealeulos pueden ser simplifieados si
se tiene en cuenta quedos veces ag es iguala 1a cuer':'
da de dos estaciones, dos veces bg', es igual a la cuer­
da de cuatro estaciones y dos veces cg" es igual a la
euerda de seis estaciones, etc. POI' 10 tanto, Ag es 1a
ordenada media de dos estaciones, Ag' ~s la ordena­
da media de cuatro estaciones, y Ag" la ordenada
media de seis estaciones, etc.; luego podemos esta­
blecer 1a siguiente regIa:
.
La distancia media en la tangente y compren­
dida entre el punta de tangencia y el punta en quela
ordenada que pasa POI' el extremo del arco encuen­
tt'-a la tangente, es igua1 'a la mitad de la cuerda 1ar­
ga para el doble de dicho areo; y 1a ordenada desde
-103­
==========~======~=================
la tangente hasta la' extremidad de ,un arco, es igual
a la ordenada media del doble de este arco.
Las cuerdas largas y ol'denadas medias pueden
sel' tomadas de las tablas VII y VIII de la' cartera
de Searles 0 de otra cualquiera, para 2, 4, 6, 8, etc,
estaciones, cuando el P. C. esta en una estacion, 0
para 1, 3, 5, 7 etc., estaciones, cuando el p. C. esta en
0,50, 0 en rn,edia estacion.
\
Si las ordenadas trazadas sobre la primel'a tan- ,
gente AV, presentan algun inconvenientepol' ser,
demasiado largas, la segunda mitad de la curva pue·
de ser localizada desde la otra tangente BV, co­
menzando en el'punto de tang en cia B, y cerrando en
una estacion colocada' desde la primera tangente.
Cuando la curva comienza con una subcuerda.', '
-Si d ,al angulo' en' el centro, subtendido por la
tangente. (Vease la fig. 12).
.
.
..
'
Ax=F. sen. d
Ax'--R. sen. (d+G))
Axll=R. Ren~ (d+2G)
Etc.,
Y nara las ordenadas
t=R. vers; d
t' 'R. vel'S (d +G)
t"-R. vers., (d+2G)
Etc.
'
----!. )(
1------:-----1-4
o
Fig. 12
, Si la primera subcuerda es igual a 10 metros,
entonces d=% G.
,
Las tablas pueden ser usadas en todo caso, a­
doptando un,a tangente provisional a traves de cual­
~104-
quiera estaci6n, obteniendo las distancias y dedu.:.
ciendo las ordenadas.
Cuando la curva esta localizada pOl' ordendas,' debe llevarse la lienza al rededor de la curva, hasta donde sea posible, para cerciorarse de que las esta~ Ciones estan apartadas 20 metros. . LOCALIZACION DE LA CURVA POR ORDENA­
DAS SOBRE LA CUERDA LARGA Cuando la curva comienza y termina en una es­
,taci6n: En .la fig, 13 se traza la cuerda larga, AB,
. juntando los puntos de tangenci?, yde esta se trazan
ordenadas' a todas las. estaciones de la curva. Es preciso conocer las vadas distancias Aa', a'b', b' c', etc, y la longitud de la ordenada en cadapunto... Supongamos que C es igual a la cUel'da larga AB, entonces: C 2Rsenl!.l~
.
Uniendo a, segunda estaci6n de la curva ·con ,i, penultima, tendremos la cuerda ai ' C'. Entonces, siendo los arcos Aa=ik-G, el 'angulo en. el centro subtendido pOl' 0', sera: (~~2G). " , .. ,', C'=2R. sen % (~-2G)
. Tambien, si juntamos b con h (tercera y ante­
: penultima estacipnes) y hacemos bh=C", tendre­
mos:
.
C" , 2R. sen. 1h ( 6; .4G)
Y asi para tadas las demas cuerdas.·
Aa'=ki',
C .. C'+2Aa
:. Aa'=
C-C'
..
,
.
.
c' e"
. 'I armente .. ,'. .. a 'b'= - 2
. ­
Y, SImI
Y asi se continua hasta enco;ntrar la distancia
aI' punta medio de la cUel'da, despues de 10 cual se
repiteen sentidol inverso.·
.
.
.'
,~
f
-105­
Ouando la cuerda larga subtiende un numero par
de estaciones (como la figura 13) , la ordenada media
dela cuerda es la ordenada de la estaci6n media, en
. este caso e. Biendo las cuerdas AB 'y ai paralelas, la
ordenada a'a 0 i'i es evidentemente igual a la dife­
rencia de las ordenadas inediasde estas cuerdas.
Bupongamos que M; M', M", etc., sean las orde­
nadas medias de ~as cuerdas 0, C', C", etc., enton­
ces, de la ecuaci6n M=R. verso 1h'~, tenemos:
M=R. vel's. 1,4 ~
M'=R. verso 1h ( ~ -2G)
M"=R. verso 1/2 (~-4G),'
etc·
Tambien: . a'a=i'i=M-M' b'b h'h---:M-M" etc.
Fig. 13
Cuando'la curva comienza
0
terminacon una
subcuerda.-Supongamos qu~ A, fig. 14, sea el P. C.
y Aa=c la primera subcuerda, yd. el angulo que
ella subtiende en el centro. En el diagrama se traza ,
la cuerda larga, AB, y las ordenadas a cada esta-'
14
,
-106­
cion, y a traves de cada estacion se traza una linea
paralela a ,AB, y se supone que AOB=.6.
Si elangulo VAB=% .6., Y VAa=%d, el' an­
gulo aAB=% (.6. -d). EI ungulo comprendido en- .
tre la subcuerda Aa prolongada y la subcuerda ab,
es 112 (d +G), y el angulo de defleccion entre cada
dos cuerdas consecutivas, de 20 mts., 'es %(G+G)
=G. Por lq tanto, elangulo
,
.
bab"=1h (i.6. -d)-1h (d+G)=% (.6.-2d-G)
cbc"=% (.6. -2d-G)-% (2G) = ~-2 (.6.-2d-3G).
cdd"=¥2 (.6. -2d-3G)- % (2G)=% (Ll -2d-5G)
etc.
Resolviendo los· triangulos rectangulos, se tiene:
Aa=c. cos % , ( .6. -d)
ab"=20 cqs %(.6.-2d-G)
bc"=20 cos % (.6.-2d-3G)
dd"=20 co's % (.6. .2d-5G)
etc.
aa= c. sen 1h (.6. -d)
b"b=20 sen %(.6.~2d-G)
c"c=20sen 1h (.6.-~d-3G)
d"c=20 sen.% (Ll-2d-5 G)
etc.
/3
v
Fig. 14
Cuand,o la segunda parte del parentesis. es maI
-107­
yor que ~ , el parentesis se -vuelve negativo, y por
consiguiente, °el seno es negativQ; por 10 tanto 'estos
v~lol'~s deben sel' medidos sobre la cuel'da larga,AB.
Sumando las cantidades determinadas por las
dos illtimas series de ecuaciones, se obtienen las dis­
tancias Aa', Ab', Ac', etc., y las ol'denadas a'a, b'b,
c'c, 'etc., y la curva puede ser localizada. Es conve­
niente hacer todos los ciiJculos necesarios' antes de
empezal' a poneI' las lineas en el terreno;con el fin. ,
de evitar confusiones y errores.
"
Cuando la, cum'da larga C, subtiende un ml­
niero impar de estaciones, la ordenada media caera
en 13. mitad entre dos estaciones consecutivas, y pOl'
10 tanto no hay necesidad de trazarla.·
,
Silas ordEmadas pr6ximas al centro de la cul'­
va resultan de dificil colocaci6n pOl' su longitud,
se puede restarM-M', M'-M", etc., y asi se obtienen
a'a, b"b,c'~c, etc. (fig.' 14); luego,se trazan Aa',
a'a, ab", b"b, bc", etc., girando un angulo recto en
cada punto; Al mismo tiempo la lienza debe ser lle­
vada a 10 largo de la curva para comprobar que las
.
estaciones queuen
, separadas20 mts.
. EI metodo delocalizar curvas por medidas li­
neales no requiere el uso del transito. Cuando el tran- ,
sito no se usa, los :ilineamientos deben hacerse con
llneas de plomada, suspendiendo esta sobre puntos
exactos marcados previamente sobre la cabeza de
las estacas. Un triangulo rectangulo puede ser facil­
mente obtenido, sin necesidad de instrumento, colo­
cando en el terreno los tres lados de un triangulo
rectangulo cualquiera. Se acostumbra que la base
"
" , ___,_
coincida con la linea dada. ,
.'
-108­
CALCULO DE LAS CURVAS EN CARRETERAS
En carreteras el trazado preliminar se hace de
la .manera ya indicada. La localizaci6n varia en la
forma que se va a explicar.'
.
Los elementos de una curva de carreteras son:
G=grado de la curvaangulo~ al centro subtendido
pOl' una cuerda de 5 metros; T. tangente a la curva;
L=longitud de la curva; R=radio de la curva; .6 =
angulo de intersecci6n de las t~ngentes; d5 =deflec­
ci6n para una cuerda de 5 metros; d1 . deflecci6n
pa,r:,l. cuerda de 1 metro'; de =deflecci6n para cuer­
da menor de 5 metros, siendo c la cuerda.
G y R se obtienen de las tablas (pag. 110)
.... (2)
T . R t an 1/2~ • • • •. (1)', L= 5~
G
d5 =-4-........ (3);d1 =6.G (en minutos) ..... (4); d c =6Gc;:.......(5)
Ejempl0 :-Dados: G=5 y ~ =339 , calcular la·
curva. .
'
Soluci6n: De las tablas: R=57.31
Log R=1.7582604
Q
Reemplazando en las formulas, tenemos:
T=57,31 X tan 16930' .. de (1)
log 57,31. .. , .. =1.7582604
log tan 16 -30' =T.4533418
Q
log T ........ =1.2116022·:T=16,278 mts. L= S~33 =33 mts. de (2); dr;=5/2=2°.30' .... de (3);
, d 1 =6X5=30' .... de (4); para c=3 mts., tenemos:
da . 6X5X3=1°.3G'........ de (5). 17
Ccilculo de la curva'
Estacion
I
Deflec.
II'. T. 331160.30'
I
30 1] 50 ,00'
25.12 0 .30'
20'10°-00'
15 7°.30'
10 5°·0u'
5 20·00'
P. C. 0 0 0 .00'
.
-_
....
Las deflecciones se' han'
calculado' a base del ejemplo
propuesto y se ha tornado co­
mo P ~ C. la' estacion 0 (cero)
para mayer sencillez.
Comprobacion: la deflec­
cion para localizar el P. T.,
debe ser igual a' % 6
_----..;
ADVERTENCIAS,
a) -"Cuando las curvas se tracen pOI' el metodo
de las cuerdas largas, tengase en cuenta que estas
van medidas desde el P. C.; (vease su valor en el
cuadro, pagina siguiente).
b) .-Cualquiera que sea el sistema de cuerdas,
el numero de deflecciones hecho desde un punta no
debe ser mayor de 7, 0 el angulo de defleccion de un
solo punto no debe pasar
de 30 9 ;
.'
c) .-Cuando no se pueda localizar una estaca,
debido a un obstaculo, se procede asi :pasese el ins­
trumento a una estaca ya- colocada, desde la cual
pueda versela que se va a localizar; pongase en el
limbo horizontal la defleccioncorespondiente a u­
na estaca de las anteriores; mirese a esta y tran-'
sitese; luego se hacen las deflecciones de aqui 'en
adelante,' como queda indicado. Sipuede verse el
P. C., es mas sencillo mirar a el poniendo en ceros
el limbo.
'. " .
..
~
ELEMENTOS PARA EL Tll.AZO·DE CtJRVAS CIRCULARES EN CARRETERAS CUERDAS LARGAS IGI
R
I
I
Log R / 2 est. 13 cst. 4 est.! 5 est. 6 est.!7 est., 20'0012~.qo(!
I
0.30t 572',9812.7581240) 10.00115.00),
30.00/ 35.(0) 1 1 286.48 2.45709?11 10.00 15.001 20.001 24.99 29.991 34.981
1
·\1.30( 190.9912.28101381 10.00),15.00 19.991 24.981 29.97 34.95)
I
\ 2
\ 143.34
2.1560847 10.00)15.00) 19.98[ 24.97/29.95 34.92 1
1 2.151 127.33 .2.1049500
1
10.00115.001 19.981
24.~7,
29.95 34.91 1
I , .
2.30
114.60 2.0591871) 10.00 14.99/ 19.98 24.95 29.92 34.87
2.45
104.18 2.01780961 10.00114.99119.98 24,,94129.90 34.861
3.001
95.5011.9800210110.0014.99 19.:;7! 24.931 29.88 34.81
3.15
88.16
1.9452732
10.0014.99/19.96124.92 29.86 34.78
3.3081.86
1.9130921
10.0014.981 19.95 24.91 29.84 34.74
3.45
76.41
1.8831432
10.00 14.9~ 19.95 24~90 29.82 34.68 1.
4.00
71.63
1.8551208
9.9914.98 19.94 24.88 29.78 34.66
4.15
67.42
1.8288177
9.99 14.98 19.93
4.30 . 63. 67 11.8039917
4.45
60.34 1:7806171
2~.87
1
29.77 34.631
9.9914.97 19.92 24.85 29.73 34.571
1
9.9914.97 19.92 24.83 29.71 34.53j
1
5.001
57.31
5.15!
5.30
54.58
1.7370935
9.99 14.96 19.91 24.81 29.67 34.47'1
1
9.9914.96 19.90 24.19 29.64 34.43
52.10
1.7168967
9.9914.95 19.8824!77 29.60 34.361
5.45
50.07
1.7582604
I
1.6996099
9.99 14.95 19.88 24.75 29.57 34.32
,47.77\ 1.6791398
45.87
1.6615305
6.30\, 44.10
1.6444122
9.991 14 . 95 19.86 24,13 29.52 34.23
9.9914.95 29;49 34.19
19',85\' 2~'7,1
9.9814.94 19.84 24.68 29.44 34.11
6.45
42.46
1.6280414
9.9814.94 19.83124.66 29.41 34.01
7
40.95
1.6122647
9.9814.93 19.821 24.63 29.35 33.96
7.15
39.54 1.5970556
9.98j14.93 19.801 24: 6 1 29.32 33.91
7.301
38.22 1.6823416
19.791 24.57 29.26 33.81
6
6.15\
I
9.~8 14.91.
1
~R
es~j 7
36.991
(
35.84
1.55434511
9.98 14.90119.751 24.51 29.15 33.65 '8.151
34.75
1.5410149
1'7.45/
I8
9.9814.91 \
19.77~
est.. J6
est.'
24.55 29.22 33.76 8.30
33.73
1.5280721)
9.97114.90 19.741 24.49 29.07 33.59 9.97 114.89 19.721 24.45 29.04 33.48 8.45
32.77
1.5155075)
9.97114.88 19.71124.43 29.01 33.36 I r 31.86\ 1.5032971',
9..97114.88 19.69 24.39 28.93 33.30 I9
,9.151
31.071 1.4924244;
9.45/
10
I
29.42
1
28.68
9.97 14.87 19.681 24.36 28.84 lm.231 1
I' 9.30[' 30.19!' 1.4798666
I
est.l~ est.14 est.. 15
12
1.5681~311
Log R
9.9714.861' 19.66124.32 . 28.81 33.11
1
1.4686138
9.97,1 14.86 19.64124.29 28.72 33.04
1.4576438
9.97114.85 19.62
24~251
28.68 32.91
10:15\
27.98 1.4469486
9.96114.84 19.61 24.22 28.64 32.83
[10.30\
27.321 1.4365111
9.96 14.83 19.58 24.17 28.55 32.69
24~14
\iO.45 1 26;68i 1.4263219,' '9.95114.82, 19.57
28.50 32.62
1
'11 I 26.081 1.41636711 9.95114.821 19.54124:~9 28.41 32.48
{11.151'
25.48,1 1.4063385,
I11.30 !,
24.95\"
1.397~2411
9.95 14.801 19.50 24.05 28.27 32.35
24.42[ 1.38781651
,'
I
'
I, 23.92 1,1.3787050
9.9514.79119.48 23.97 28.21 32.19
1.3707845
9.9414.77 19.44123.88128.06 31.92
1
111.451
12
9.95114.81119.53 24.06 28.36 32.40
I
12.15123.4~\
9.94 14.78 19.46\ 23.92 28.12 32.01
27.9~ 3~.76
1230(22.96\ 1.3610440
9.9414.76 19.41 23.831
112:451
22.511 1.3524793
9.94 14.76 19.39 23.79 27.90 31.67
113
22.08\ ,1.3440811/" 9.9414.75 19.361 23:73 '27.80 31.50
II
\13.151
21.671 1.33584531
9.94 14.731 19.34 23.70 27.74 31.41
13.30
21.27/.1.3277640
' I
20.881,1.31983291
"
20.5111,.3~20461!,
20.15' 1.3043980
9.93 14.72 19.31 23.63 27.63 31.24
9.93 14.71 19.29 23.60 27.52 31.19
.
9.93 14.701 19.26! 23.53 27.45 30.96
9.92 14.69 19.24\ 23.50 27.39 30.87
14.301'. 19.811' 1.2968841]
9.92 14.68 19.21 23.43 27.27 30.68
I
13.451
I
\14 I,
114.151
114.45
115
1
' 19.47(; 1.2895008 ,9.9114.67, 19.191 23,.39 27.21 30:58
1
19.151: 1.28224231
9.9114.66
1~.151
23.32 27.09 30.39
,
Equipo y personal.-El equipo es el mismo que,
quedo ,enumerado al tratar del preliminar y 10 mis­
mo puede decirse del personal, con laexcepcion del
topografo, que se sup rime.
PROBLEMAS DE CAMPO
,
Cuando el P. I. es inaccesible.-Ejemplo: En la
fig. 15 s~ presenta el caso de dos tangentes, OA y
OB, cuyo P. I. eS'inaccesible. ,
B
.......
---COI------r-I!1','
.4
Re.
P.
~
,..­
,..­ ...
RI.
t:.. - - - __ - - ­
Fig. 15,
Proc.edimiento: Se escogen dos puntos, DyE,'
tan cerca como seaposible del P. L; se miden los
angulos a y (3 y la distancia DE. Para medir el
angulo a ,se procede as!: se coIoca el aparato en
el punto D, se pone el vernier horizontal en cero, se ,
mira a A, se transita y tendremos el telescopio en
la direccion DO; luego se fija elmovimiento infe­
rior y se deflecta hasta que se yea el punto E; ter­
minada esta operaci6n, quedara marcado enel lim­
bo horizontal el'valor del angulo a
Colocado el aparato en el punto E, se repite el
tl
r
-113­
===================
mismo procedimiento para obtener el valor del an­
gulo (3. Ahora se tiene:
Por geometria: .6=a+f3
'
,
OD= DE sen, (3
Por trigonometria: .
Sen.6
'OE= DE Sen a
Sen .6
Conocido el valor de.6 , se calcuia T porIa
formula: T=R. tan%.6
Si al valor de T Ie restamos OD, obtendremos
.10 que hay que medir de D hacia A para localizar el
.
.
P. C·
De la misma manera, si al valor de T.Ie resta­
mos OE, obtenemos, 10 que hay que medir desde E
hacia B para localizar el P. T. ,
" Cuando el P. I. es inaccesible se puede poner
tambien el P. T. con Ia cuerda Iarga C=2R sen% .6
tomando del dibujo el P. C.
Localizar una curva cuando el P. C. es inacce­
que en un tramo inaccesible de
curva, Ap, p es el primer punto accesible. (:b'ig. 16)
sible.~Supongamos
Fig. 16
15
De la ecuaci6n: A =
pOA-:- 0
a;qL
,tenemos: ~ot\ P Ap'=R. sen pOA
p'p=R. .vers pOA
Vp'=VA-Ap'
Midie~do Vp? y p'p, para 10calizar unpunto de
transito en 'p, y midiendo una ordenada igual desde
algnn punto de transito sobre 1a tangente, como qq',
obtendremos unalfnea, pq', paralela a" la tangente;
luego, desde p, se deflecta un angulo igual a· pOA,
para obtener la direcci6n de 'la tangente a traves del
punta p~"
"
En. ca90 de inconvenientes para medir la se­
gunda orde,nada, qq~, se puede colo car el aparato en .
. p, orientarel telescopio en la direcci6n pq y deflec­
tar el angulo qpq' cuya tangente es qp.:; de esta
manera obtendremos la llnea pq'paralela a la tan;.
gente. Tambien
puede mirarse a V, transita!'
y de­
.
.
,
.
flectar·el angulo pVp' cuyatangente.es ~,yasften-.
dremos el telescopio en Ia direcci6n pq'; Iuego, pa­
ra orientarlo en el sentido de la tangente, se procede como qued6 indica do arriba.
.
Tambien es facil. poner la bisectriz del angulo
AVB, y sobre ella marcar la distancia Vh, dada por
la f6rmula Vh=tanl4 A. Obtenido el punto h, se
traza alIi una perpendicular a la linea hV, y esta per­
pendicular ,es la tangente a la curva en el punto hi
con esta tangente se puede localizar.la curva en am­
bas direcciones.
..
.
, Tambi'en se puede localizar la curva al reves,
desde el P. T., POI' el metodo de las deflecciones. Pa­
ra el efecto de la numeraci6n de la abscisa corres­
t1.
r::. c. se h~ce una ,cosa amiloga a 10
que se mdlCara al estudIar el casoen el queer p.
T. es inaccesible.
Localizar unacurva cuando el P. I. y el ,P., C.
son "inaccesibles.-De un punta p, en la tangente,
se traza una linea' pq' a laotra tangente, y asise
determina el P.C., como quedoexplicadoen el pri­
mer ejemplo.
!
'
:
pondien.te~1
o~-----+~
p
p,
'Pig. 17
Supongamos la 'curva prolongada hasta p', so­
bre la ordenada perpendicular, pp'; entonces:
"
" sen p'oA=~f y pp'=R vel'S p'OA
Habiendo localizado el punto' p', se trazauna
cuerda, paralela,p'q, ·que nosdara,sobrela' curva
elpunto q ,po~:la igualdad: ,p' q , ,2'X pA..
Conel ,aparatocolocado enq y onentado en
ladireccion ,qp', -se deflecta unangulo'igual.a ,p'OA,
yobtendremos una tangente a la curva ,·enel pun­
~~
,
,
'
"
, Si por causa de un obstaculo es imposible tra­
'zar la cuerda p'q, se ,aprovecha otra'cuerda, .P's, por
ejeJ;nplo, deflectando:de,,la direcci6n p' q, el ,iingu,­
l'
!
-116-'
====
,.
10 qp's=% (qOs). La longitud de la cuerda' p's=
2R sen (pOA+qp's).
.,
Con el aparato colocado en el punto s, y orien·
tado en la direcci6n sp';' deflectainos un angulo
igual a (p'OA+qp's) y obtendremos la tangente a
.
la' curva en el punta s.
Localizar una curva cuando el P. T. es inac­
; cesible.-Supongamos, como en el caso de la figu­
. ra que el P. T. cay6 dentro de una casa y es imposi­
ble determinarlo.·
•
Fig. 18
El modo de solucionar este problema es muy
sen cillo: pOl' el· metodo ya conocido de las deflec­
ciones se determinan desde el P. C. todos los pun­
tos de la curva posibles, hasta llegar, pOl' ejemplo,
al punta D tan: cercano al 0 bstaculo como sea posi­
ble. Ahora, para el efecto de la continuaci6n' de la
numeraci6n, como se sabe a que distan,cia de V ha
de quedar el P. T., 10 que se'hace esque se comien­
za a medir. la tangente desde V y cuando ya se
vaya a llegar al obstaculo, (p. ej. en D en la fig.
18) se vence este de la manera indicada en la fig.,
pOI' medio de laconstrucci6n auxiliar EFGH u otra
t
f
•
I
r
!
-117­
que la substituya; de esta manera sepasa la medi­
da de la tangente desde V hasta H. Conocida la
10ngitud VH y conocida tambh~n la tangente VB,
la diferencia dara la 10ngitud BH; y como se cono­
.' ce la abscisa del P. T., se conocera entonces la del
punta H, y as! se podracontinuar ,con la nUlnera­
cion a todo 10 largo de la tangente HI.
Localizar una curva cuando hay necesidad de
salvar un obstaculo.'--Sea, p. ej.,el caso represen:­
tado en la fig. 19, en el que al localizar sobre el te­
rreno la cuerda CE de la curva se tropieza con el
obstacu!o F.
oL--------------4
Fig. HI
Este caso -se resuelve as!: Despues de locali­
zar desde A todos los puntos de la curva ante rio­
res al obstaculo,se localiza con estaca y puntilla el .
punta C que es uno de los q:ue corresponden a dicha
c~a; .luego se' pasa el, aparato -a dicho punto, en
donde se centra y se nivcla ;por el metodo indica­
do antesseorienta el telescopio en la direccion de la
cuerda CE; perocomo no se puede .medir directa­
mente esta cuerda, se apela a la construccion auxi­
liar CDE. Suponiendo que la cuerda CE sea de 10m.
entonces, una vezorientado e1 tninsito en la direc­
. cion CE, se deflecta un angulo ECD de 60 9, se mide .
una distancia de 10 m. y aSI se determina e1 punta
con estaca y tachuela; luego se centra e1 aparato en
dichopunto, se toma ·linea en C, se·deflecta otro an­
guloCDEigual tambien a60 y se miden ·en esta
'nuevadireccion 10 m.Es evidente que e1 puntoE as!
determinado pertenece a la curva y quedaasI .salva­
do el obstaculo. Luego se pasa cl aparato al P.T.
y se cierra 1a. curva en e1 punto E.
En Iugar de esta construccion se pueCie ape1ar a
la de un rectangulo 0 a la de un triangulo isosceles, '
pero aquella se escoge casi siempre pOl' ser Ia niiis
sencilla de ejecutar.
Ademas, la cur va entera 0 una parte de ella,
puede ser trazada pOl' ordenadas sobre la tangente
o sobre 1a cuerda larga, como queda explicado atras.
En caso de que alguna distancia de 1a cur-'
va deba ser medida pOl' triangu1acion, como en. e1
caso de atravesar un rio, debe elegirse una cuerda
larga cuyo's extreqlOs sean accesibIes, y Ia trianguIa­
cion se hace sobre esta cuerda 0 sobre una parte de·
ella, como si se tratara de una linea recta cualquie­
ra.
Q
CURVAS COMPUESTAS
Cuando en un trazado doscurvas tienen. una
. tangentecomun en su puntode union y ambas·que- .
.dan ,aI mismo lado de 'la. ;tangente ~comun,se ·dice
,
que las dos curvas forman una. curva compuesta
(vease la fig.· 20).
Fig. 20
Si de e~tas curvas queda una a un lado y otra
al otro lado de la tangente comun, entonces se dice
,que las dos curvas forman una curva reversa. En u­
na curva compuestael puntoC de las dos curvas se
denomina el P.C. C . .
.
En una ,curva reversa dicho pun to , se llama el
P. R. C. . '
'
Estudio de la curva· compuesta.-'EI punto de
intersecci6n, D, de las tangentes AP y BE, es el P. I.
comun para las dos curvas.
.
Los numeros subrayados indican las abscisas.
EI angulo en el P. I. comun, se denomina Lit Y
~=a+~~'
'
Entonccs, tenemos como en la curva simple:
AP==PC=R. tan ~
CE=EB=R'. tan~'
2
I
4
Ahora bien: AD=AP+PD
.
Tangentes totales
"."
y BD=EB+ED"
.
•
Los puntos P (P. 1. de la primera curva), E (P.
I. de la segunda) y D (P. 1. comun), nos dan el trian­
gulo PED, del eual sacamos los valores de PD y ED,
tangentes comunes, as!:
PD
PC+CE
Sen ~'=Sen[180-(~+~')] ':PD
ED
PC+CE "
(PC+CE) Sen /1'
= Scn[]80.(~+S)J (PC!f-CE) Sen 6 Sen~ =SEN[180.(~+S)] ': ED ,"=Sen[180.(~+6')] Ejemplo para una curvacompuesta (en carreteras)
G de" la primera curva=89 "
G de la segunda curva=14Q
~=42° y,:~'=22°
.:
~t-':'64°.
Ahora bien: AP=PC=R. tan 21Q=275,15 EB=CE= R tan 11 9 = 7975
,
9
PD=354,90 sen 22 =14792
,
. sen 1169
"
1
.
D 354,90 x sen 42 0
E =
sen 1160
= 264,2
Luego AD=AP+PD=275,15+ 147,92=423,07
BD jEB+ED= 79,75+264,21=343,96
0,
r
!
i .
-121:"­
De donde
AD AP+PD=275,15+147,92=423,07
BD EB+ED= 79,75+264,21=343,96
Luego se miden, a partir del P. I. comnn, 423,0.7
metros hacia A: y 343,96 metros hacia B, y se tiene
el P. C. yelP. T· de la curva compuesta. (V ease la
.
fig. 20.).
for 10 tanto: P. I.=538,0.7
,
, P. C.=538,o.7-423,07=115,
P. T. ' 538,0.7+343,96=882,0.3
P. T. (por la curva)=115+26,25 ,
, +7,85=149,10.
Porque: L= 5L\' s~ 42 26,25"
, 1'= 5L\'._ 5 X 22=7,85
G'
14
.
Luego el puntoC estara a 115+26,25=141,25.
el punta B estara a 141,25+7,85=149,10.
Despues se calcula la curva, as!:
I Abscisa
Defleecion
,
P. O.
115,
120
125
130
135
140
P. O. O. , 141,25
(
P.T
145
149,10
0°· 4°· 80 •
120 •
160 •
20°·
21 0 •
26°·15'
32 0 •
Para el trazado de la primera curva se pro­
cede como si fuera una sola, siendo la deflecci6n ptt­
16
1
1
,
'.6.
. ' )
,
ra el P. C. C. igual a'2' Al llegar al P. C. C., se pasa
el aparato a este punta y de ahi se puede seguir de
dos maneras:
. 1....-·Se pone en cero, se mira el QP. C., se tran­
sita y sed~flectan sucesivamente 26 -15' y.32Q; de
este modo debe obtenerse:
Deflecci6n para el P. T.-~t "
2~.-Se pone en 21 Q el 'vernier en sentido con­
trario a aquel en que se deflecta la curva, se mira al
P. C. y se transita; se pone el vernier en cero para
ponerse en tangentey Iuego se deflectan 5 -15' y Ito;
de este modo, la deflecci6n paI;a el P. T. debe ser
if5Ual H~~. Es mas reconlendable el1primer metoda,
Q
, ,
j
f
, "'-:
..•--.--•.- ...
Defl.
I I
I
Pagina de la izquierda
I
.I R.umbos:
Mag. y Cal.
Observaciones
Pagina de la derecha
MODELO DE NOTAS DE CAMPO Localizaci6n de la Estaci6n 66136,19 en adelante -~--.---
I
---"I:
It
I . :-. ':. I
I
____
~~~----~~--------~------~----------------------~
I
I
66310
I
66311,37
66270 Localizada
Preliminar 300
·290
, 280
. I
I
270
.I
66229
66268,87
I
265,87 P. T. 211,1-45'
Preliminar Localizada
. .
'/ S61 9-E .
260
19<)-59~ T=38,17
(S61 9 -04'E)
... ·'161,1.:.59'·;"
. 250' .
L-':'72,50 .;.
D=12Q '
. '
240"
13 9-59' 230 .
10Q-59'
[::., , 431,1-30
220
71,1-59'
210 '41,1-59'
. I
200
11,1-59'
193,37 P. C. 190 180 170 S17 9-30' E 160 (S17 Q-35'E) 150 140 166136,79
.
I'
66099 =
66136,79
I
I '
Preliminar
Localizada Est.
-•....•
'''''I
TABLA PARA'EL'TRAZADO DE CURVAS·CON
!
CUERDAS DE 20 METROS (SISTEMA METRICO)
I
Grado I Radio
'G I
R
Logtmo.
del radio
Grado I Radio
R
G I
Logtmo.
del radio
09-20'
3437,75
3.536274
89 -20'
I
137,63
2.1~87171
1\'-00'
1145,93
3.059158
9'.'-00'
.
127,45
2.105357
19 -20'
859,46
2.934224
9Q.-20'
'122,91
2.089596
2'.'-00'
572,99
29 -20'
491,14
2.691206
109-20'
3 Q-00
382,02
I 2.582081
119-00'
104,33
2.018427
3 Q -20'
343,82
2.536335
11Q-20'
101,28
2.005503\
4"'-00'
286,54
2:457181" 129-00'
95,67
1.980765
,
! 2.758145 10'.'-00' ' 114,74 2.0597041
-
I
111,05 ; '2.045501
4 9-20' , 264,51
2~422434
12Q-20'
93,09
1.968911
229,26
~.360320
139-00'
88,34
1.946141
214,94
2.332311
13')-20'
86,14
1.935194
6I 9 ,00'
'191,07
2.281200
149-00'
82,06
1.914106
6?-20'
"
7Q-OO'
181,03
2.257741
14"-20'
. 80,16
1.903938
' 163,80
2.214325
159 -00'
76,61'
1.884302
79-20'
156,37
2.194148
16\>-00'
,71,85
1.856445
81>-00'
143,36
2.156415
I
, 59 -00'
5Q-20'
,I
I
l.
Comparacion entre las curvas del sistema metrico '
(cuerda de 20 mts.) y las curvas en el sistema ame­
ricano (cuerda de 100 pies),
Como entre nosotros es muy comun ~l usa de las
carteras americanas,es bueno que se sepa la equi- '
. valencia de un sistema a otro para poder usaI' his ta­
bIas americanas de radio y de funciones para la
curva ,de P en el trazado con cuerdas de 20 mts.
- La cuerda de 100 pies, con que se mid en las
curvas en el sistema americano, es 5 veces menor que
la cuerda de 20 mts- empleada en el sistema metri­
co. (naturalmente se entiende,que ~s numeros ab/.io­
lutos). De manel'a que para usaI' bien las tablas ame­
ricanas dichas, basta multiplicar el grado· GpOI' 5
y con ese' valor como grado verdadero se usa la ta­
bla,' obteniendo un resu1tado correcto en metros di­
rectamente.
Ejemplo:
G=10
~. '80
Q
Q
Para un .6. de 80 la tabla de funciones para un
grado en cualquier cartera americana da T-4807.7
pies. Para reducirlo al sistema metrico se hara as!:
Q
, T= 4807.7 =9615
,
l
,
i
'
•.
.
~
~:
,
.•.•.
'f
10 X5
.
que es la tahgente en el sistema metrico ealculada con la formula T=R tang %~ , De la misma manel'a se haria para bus car en-las tablas la secante, externa E.
.
Para averiguar el radio R de una curva de gra­
doG, conociendo el radio de la curva deP se pro­
cede as!:
.
-126~-
Ejemplo: G=8
R=143,35 en sistema metrico.
En el sistema americano se averigua dividien­
do 5.730 pies pOl' 8 X 5=40, as!:
Q
.:
5730
~ =8X5 =143.26.
Si se emplean las tablas de radios, bastarn divi­
dir el valor tabular en pies por 5 para obtener el ra­
dio en mts. as!: la tabla da para 8-grados 716,18 pies;
dividiendo por 5 da R=
716:18
. 143.35 que es el ra­
,:
a
dio en el sistema metrico.
l ..
< '