Inducción corregido

1. Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 cm
de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 T,
siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético
disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine:
a. el flujo inicial que atraviesa el solenoide
b.
la fuerza electromotriz inducida;
c. la intensidad recorrida por el solenoide (indicar el sentido)
Solución
Apartado a
Aplicando la definición de flujo: producto escalar del vector campo por el vector superficie
para cada espira, para N espiras será N veces ese producto.
Φ = N ·S·B·cos θ
En la situación descrita el coseno del ángulo entre ambos vectores es 1, por tanto el flujo
es máximo y vale
R = 2,5 / 2 = 1, 25cm = 1, 25·10 −2 m
Φ = N ·S·B·cos θ = 500·(π·1, 25·10 −2 ) 2 ·0,3·1 = 7,35·10 −2 Wb
Apartado b
La fuerza electromotriz inducida la calculamos por la ley de Faraday-Lenz
ε=−
dΦ
dB
= − NS·
dt
dt
Como el campo varía de manera uniforme con el tiempo podemos calcular la variación del
flujo
ε = − NS·
B final − Binicial N ·S·Binicial
∆B
= − N ·S·
=
∆t
∆t
∆t
El flujo inicial lo calculamos en el apartado anterior y el tiempo empleado en esta variación es
0,1 s
N ·S·Binicial 7,35·10 −2
ε=
=
= 0, 735V
∆t
0,1
Apartado c
La intensidad la calculo a partir de la Ley de Ohm
I=
ε
R
=
0, 735
= 0, 037 A
20
Si la base del solenoide está paralela al papel y el campo es entrante en éste, la corriente circulará
de forma que compense la variación del flujo. El flujo va disminuyendo por tanto el campo debe
aumentar, como va hacia dentro del papel la corriente debe girar en el sentido de las agujas del reloj.
2. En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con
una velocidad constante de valor v = 2 m/s en dirección
perpendicular a un campo magnético uniforme de valor
0,4 T. Sabiendo que el valor de la resistencia R es de 60
Ω y que la longitud de la varilla es 1,2 m:
a. Determine la fuerza electromotriz inducida y la
intensidad de la corriente que circula en el
circuito (incluido su sentido)
b. Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena con aceleración
constante hasta pararse en 2 s, determine la expresión matemática de la fuerza
electromotriz inducida en función del tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos
Solución
Apartado a
Tenemos un conductor formando un rectángulo cerrado que es atravesado por un campo
magnético constante, pero la superficie del rectángulo cambia con el tiempo, por tanto el flujo
es variable y da lugar a una f.e.m.i. y una intensidad cuyo sentido tiende a contra restar la
variación del flujo. Según la ley de Faraday-Lenz (el ángulo superficie campo magnético es de
0º por tanto su coseno es 1)
ε=−
dΦ
dS·B
dS
dL·x
dx
=−
= − B· = − B·
= − B·L· = − B·L·v
dt
dt
dt
dt
dt
Pues B es constante y L representa la distancia MN (el lado del rectángulo que no varía)
ε = − B·L·v = −0, 4·1, 2·2 = −0,96 V
Para calcular la intensidad aplicamos la ley de Ohm para una resistencia de 560 ohmios a la
que se aplica una diferencia de potencial de 0,96 V (aquí el signo no es necesario)
I=
ε
R
=
0,96
= 0, 016 A
60
Según la ley de Lenz el sentido de la corriente debe ser tal que se opone al cambio del flujo,
como éste aumenta la corriente inducida debe crear un campo contrario al que provoca este
flujo. En este caso se producirá, según la figura, un campo entrando en el papel por tanto la
intensidad deberá recorrer el circuito en sentido horario
Apartado b
La varilla se frena con aceleración constante por tanto la velocidad no es constante. Su valor
depende la aceleración el tiempo: ecuación del movimiento uniformemente acelerado
v = v0 − a·t ;
v = 2−t
a=
0−2
∆v v final − vinicial
=
=
= −1 m / s 2
2
∆t
∆t
Usamos esta expresión de la velocidad en el cálculo de la f.e.m.i. y tenemos que
ε = − B·L·v = B·L·(2 − t ) = −0, 4·1, 2·(2 − t ) = 0, 48·t − 0,96 V
3.
Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está inmersa en un
campo magnético uniforme: B = 0,03 T dirigido según el sentido
positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un ángulo α
variable con el plano YZ como se ve en la figura.
a.
Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una
frecuencia de rotación de 60 Hz, siendo
α
= π/2 en el
instante t = 0, obtenga la expresión de la fuerza
electromotriz inducida en la espira en función del tiempo.
b. ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que
la corriente máxima que circule por ella sea de 2 mA?
Solución
Apartado a.
El campo magnético y la superficie de la espira son constantes, sin embargo el ángulo formado por el
vector superficie y el vector campo no es constante, por tanto el flujo a través de la espira es variable
y ello conlleva la aparición de una fuerza electromotriz inducida. El valor de este ángulo viene dado
en función del tiempo por la velocidad de giro
θ = θ 0 + ω·t
Por tanto el flujo a través de la espira será
Φ = S·B·cos θ = S·B·cos(θ 0 + ω·t )
Y la f.e.m.i la calculamos usando la ley de Faraday-Lenz
ε=−
dΦ
= B·S·ω·sen(θ 0 + ω·t )
dt
La velocidad angular en radianes/s la calculamos a partir de la frecuencia de rotación 60 Hz (vueltas
en un segundo)
ω = 60·2·π = 120π rad / s
Por lo tanto
ε = 0, 03·(2·10 −2 ) 2 ·120·π sen(π / 2 + 120π·t )
ε = 4,5·10−3 sen(π / 2 + 120π·t ) (V )
Apartado b
La corriente máxima se producirá, según la ley de Ohm, cuando la f.e.m.i sea máxima o sea cuando
el factor seno de la expresión de la f.e.m.i. sea 1
I max =
ε max
R
; ε max = 1,5·2·10 −3 = 3·10 −3 V
ε max = B·S·ω ; 3·10 −3 = 0, 03·(0, 02) 2 ·ω ;
3·10 −3
ω=
= 250 rad / s;
0, 03·(0, 02) 2